|1|
Unidad 7.5: Geometría
Tema 1: Figuras bidimensionales
Lección 1.1: Perímetro y área
Parte A - Figuras regulares e irregulares
Los polígonos
Los ángulos son las regiones que forman los lados al cortarse. Los vértices son los
puntos donde se cortan los lados. Se nombran con una letra mayúscula.
Un polígono es una figura cerrada compuesta por segmentos de recta.
La palabra polígono proviene del griego y significa muchos ángulos.
Es importante considerar en la definición que debe ser una figura cerrada
y compuesta por segmentos. Observa estos ejemplos:
a) La siguiente figura es cerrada, pero no está compuesta de segmentos de
recta. Por lo tanto, no es un polígono:
b) La siguiente figura está formada por segmentos de recta, pero no es
cerrada. Luego, no es un polígono:
|2|
Para que la figura sea considerada como polígono, tiene que cumplir con las dos
propiedades, cerrada y compuesta por segmentos.
Los polígonos se pueden clasificar según el número de lados en:
Los polígonos son irregulares cuando no tienen sus ángulos o sus lados iguales. Y
son regulares cuando todos sus lados y todos sus ángulos son iguales. Ejemplos:
Elementos de un polígono
1) Lados: son los segmentos que lo limitan.
|3|
2) Vértices: son los puntos donde concurren dos lados.
3) Ángulos interiores de un polígono: son los determinados por dos lados
consecutivos. La suma de ángulos interiores de un polígono para un polígono de n
lados es:
Suma de ángulos interiores de un polígono = (n − 2) · 180°
4) Diagonal: son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos.
El número de diagonales de un polígono para un polígono de n lados es:
Número de diagonales = n · (n − 3) ÷ 2
Figura Cantidad de diagonales Representación
Cuadrado 4 · (4 − 3) ÷ 2 = 2
Pentágono 5 · (5 − 3) ÷ 2 = 5
Hexágono 6 · (6 − 3) ÷ 2 = 9
|4|
Clasificación de polígonos según sus ángulos:
Convexos Cóncavos
Todos los ángulos interiores son
menores a 180°. Y por lo tanto, todas
sus diagonales son interiores.
Hay al menos un ángulo interior mayor
a 180°. Luego, al menos una de sus
diagonales es exterior.
Resumen de la clasificación de polígonos
Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta, o
bien por la forma de su contorno.
Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina:
1) Simple: si ningún par de aristas no consecutivas se corta.
2) Complejo: si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
3) Convexo: si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos,
es el que tiene todos sus ángulos interiores menores que 180º.
|5|
4) Cóncavo: si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos;
es el que tiene al menos un ángulo interior mayor que 180º.
5) Equilátero: si tiene todos sus lados iguales.
6) Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales.
7) Regular: si es equilátero y equiángulo a la vez.
8) Irregular: si tiene sus ángulos y lados desiguales.
Triángulos
Los triángulos son polígonos con tres lados. Se pueden clasificarse según dos
criterios: la medida de sus ángulos y la medida de sus lados. En el siguiente
cuadro puedes observar los distintos tipos de triángulos:
Clasificación según la medida de sus lados
Escaleno: los 3 lados miden distinto.
Isósceles: hay 2 lados iguales y uno distinto.
Equilátero: los 3 lados miden igual.
|6|
Clasificación según la medida de los ángulos
Acutángulo: los 3 ángulos son agudos (miden menos de 90°).
Rectángulo: hay 1 ángulo de 90° (recto).
Obtusángulo: hay 1 ángulo obtuso (mayor a 90°).
Los cuadriláteros
Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados, y vamos a clasificarlos en:
paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Paralelogramo Trapecio Trapezoide
Paralelogramos
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos, paralelos e
iguales.
|7|
Los paralelogramos son el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide. En el
siguiente cuadro se definen:
Cuadrado Tiene 4 lados iguales y 4 ángulos
rectos
Rectángulo Tiene dos lados iguales y paralelos
y 4 ángulos rectos.
Rombo Tiene 4 lados iguales y ningún
ángulo recto.
Romboide Tiene lados y ángulos iguales, dos
a dos.
Trapecios y trapezoides
Los trapecios solo tienen dos lados paralelos y los trapezoides, ninguno. Aquí se
puede ver una clasificación:
|8|
Trapecio rectángulo Tiene dos ángulos
rectos.
Trapecio isósceles
Tiene ángulos iguales
dos a dos. Los lados
no paralelos son
iguales.
Trapecio escaleno
Tiene dos lados
paralelos. Pero los 4
lados y los 4 ángulos
son distintos.
Trapezoide No hay lados
paralelos.
Ángulos interiores de polígonos
Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.
Un polígono es una figura plana con lados rectos.
|9|
Triángulos: Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.
90° + 60° + 30° = 180° 80° + 70° + 30° = 180°
Cuadriláteros: Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°.
90° + 90° + 90° + 90° = 360° 80° + 100° + 90° + 90° = 360°
Lo anterior se puede explicar porque al trazar una de las diagonales de un
cuadrilátero, se obtienen dos triángulos. Veamos para el caso de un cuadrado.
Y los de este cuadrado 360°, ya que podemos ver que el
cuadrado está hecho de dos triángulos.
Pentágono
Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en
tres triángulos, así que sus ángulos interiores
suman 3 × 180° = 540°. Y si es regular (todos los
ángulos son iguales), cada ángulo interior mide
540° ÷ 5 = 108°.
|10|
Regla general: si se añade un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a
pentágono, etc.) sumamos otros 180° al total:
Figura Lados Suma de los
ángulos interiores Si es un polígono regular, cada ángulo interior mide:
Triángulo 3 180° 180/3 = 60°
Cuadrilátero 4 360° 360/4 = 90°
Pentágono 5 540° 540/5 = 108°
Hexágono 6 720° 720/6 = 120°
Cualquier polígono
n n 2 180
n 2 180
n
Ejemplo: calcula la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 10
lados.
La suma de los ángulos interiores es:
(n-2) × 180° = (10-2) × 180° = 8 × 180° = 1440°
Y cada ángulo interior mide: 1440°/10 = 144°.
Ángulos exteriores de polígonos
Un ángulo exterior es un ángulo entre un lado de una figura y la línea que se
extiende desde el lado siguiente.
La suma de un ángulo interior y su respectivo ángulo exterior siempre es 180°. Es
decir, son suplementarios.
Los ángulos exteriores de un polígono suman 360°
|11|
En otras palabras, los ángulos exteriores suman siempre una vuelta completa.
Veamos un ejemplo para el pentágono:
Parte B – Perímetro y Área
El perímetro de un polígono se define es la suma de las longitudes de los lados de
un polígono. Representa el contorno o borde de la figura y se mide en unidades
lineales como: milímetro (mm), centímetro (cm), metro (m), pulgadas, pies, etc.
El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por
de un polígono. Se mide en unidades cuadradas como: milímetro cuadrado
(mmm2), centímetro cuadrado (cm2), metro cuadrado (m2), pulgadas cuadradas,
etc.
Propiedad fundamental de los polígonos regulares
En todos los polígonos regulares, el trazado de sus radios los divide en tantos
triángulos como lados posean; cuyas alturas son iguales a la apotema del
polígono, y cuyas bases sumadas son iguales al perímetro del polígono.
|12|
En consecuencia, la superficie de un polígono regular será igual a la suma de las
superficies de los triángulos que lo forman. Extendiendo la fórmula de cálculo de
la superficie del triángulo, se deduce:
Perímetro ApotemaÁrea de un polígono regular
2
Triángulo
El triángulo es un polígono con tres lados. El perímetro es igual a la suma de las
longitudes de sus lados, y se representa con la letra P.
Perímetro P b c d
A la mitad del perímetro se le denomina semiperímetro y se denota con la letra
p.
El área de puede calcular de dos formas según los datos que se tengan:
a) El área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por
la altura y se divide por 2
|13|
b hÁrea conociendo la base y la altura A
2
b) O bien, calculando la siguiente raíz cuadrada positiva utilizando el
concepto de semiperímetro:
Área conociendo los lados A p p b p c p d
La expresión anterior se conoce como la Fórmula de Herón.
Ejemplos: Halla el área de los siguientes triángulos.
22b h 3m 4m 12m
A A 6m2 2 2
La altura siempre es perpendicular a la base. En
este triángulo se encuentra en su interior.
22b h 2.5m 6m 15m
A A 7.5m2 2 2
|14|
En este caso la altura está en el exterior del
triángulo:
22b h 6cm 3cm 18cm
A A 9cm2 2 2
Rectángulo
El rectángulo es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales (rectos), pero
los lados adyacentes no son iguales.
El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados:
P = (b + b) + (h + h) = 2b + 2h
Perímetro P 2b 2h
Tomando factor común el 2, la fórmula del perímetro quedaría:
P 2 b h
El área es el producto entre la base y la altura:
Área A b h
Ejemplo: un rectángulo mide 16 cm de base y 20 cm de altura. Calcula su área y
perímetro.
Solución: el área de un rectángulo es el producto de la base por la altura:
2A b h A 16cm 2 A0cm 320cm
|15|
El perímetro es la suma de los lados:
P 2b 2h P 2 16cm 2 20cm 32cm 40 m P 2cmc 7
Se debe prestar atención a las unidades, siempre el perímetro se mide en
unidades lineales como centímetros, metros, pulgadas, pies, etc. Y el área se
mide en unidades cuadradas como centímetros cuadrados (cm2), metros
cuadrados (m2), pulgadas cuadradas, etc.
Cuadrado
El cuadrado es un rectángulo especial en el que la base y la altura miden igual. Si
llamamos L a la medida de cada alado del cuadrado, las fórmulas para calcular el
perímetro y el área son:
P 2b 2h b h L P P 4L2L 2L
2A b h A L A LL
Ejemplo:
Determina el perímetro y el área de
un cuadrado de 8 cm de lado.
P 4 8cm P 32cm
2 2A 8cm A 64cm
|16|
Paralelogramo
Observa que, en la siguiente figura, si
recortamos el triángulo ABM del
paralelogramo ABCD y lo colocamos a la
derecha del lado CD, obtenemos el
rectángulo MBCN que tiene la misma
superficie que el paralelogramo original.
Por tanto, el área de un paralelogramo cualquiera es el producto de la base por
la altura.
El área es: A b h .
El perímetro, como en todo polígono, es la suma de los lados:
P 2a 2b
Realizando factor común el 2, la fórmula es:
P 2 a b
Ejemplo: calcula el área y el perímetro del siguiente paralelogramo. Las medidas
están expresadas en cm.
|17|
Área: 2A b h A 7cm 3cm A 21cm .
Perímetro: P 2 a b P 2 7cm 5cm P 24cm
Rombo
En la figura siguiente un rombo está inscrito en un rectángulo. Los vértices del
rombo coinciden los puntos medios de los lados del rectángulo. Las medidas de
los lados del rectángulo coinciden con las de las diagonales del rombo.
|18|
La figura la puedes construir fácilmente con un folio. Dobla el por la mitad en los
dos sentidos del papel. Así obtienes los puntos medios de los bordes del folio.
Dibuja con tu regla cuatro líneas rectas uniendo los puntos medios de los bordes
consecutivos del folio. Con ello, has dibujado el rombo ABCD. Recorta con unas
tijeras los cuatro triángulos y colócalos para cubrir el rombo. Es fácil observar la
superficie de los cuatro triángulos coincide con la del rombo o, lo que es lo
mismo, el área del rombo es la mitad que la del rectángulo. Por tanto, el área de
un rombo es:
D dA
2
Donde D y d son las medidas de las dos diagonales del rombo.
Como se ha visto, un rombo tiene los 4 lados iguales. Por lo tanto, para calcular
el perímetro podemos aplicar la siguiente fórmula:
Ejemplo: determina el área y el perímetro del siguiente rombo.
|19|
P 4L P 4 5cm 20cm
2D d 8cm 6cmA A 24cm
2 2
Trapecio
El trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos.
El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados, por lo tanto, es la
suma de la base mayor B más la base menor b más los lados c y d:
Perímetro P B b c d
Para hallar el área de un trapecio puedes experimentar de la siguiente forma:
Recorta con unas tijeras dos trapecios iguales de la forma que quieras. Dale la
vuelta a uno de ellos y únelo al otro por uno de los lados no paralelos como en la
siguiente figura:
|20|
Al hacer esta operación, obtienes un paralelogramo cuya base es la suma de los
dos lados paralelos (llamados bases) del trapecio, B y b, y la altura h es la altura
del trapecio. La superficie del trapecio es la mitad de la del paralelogramo. Por
tanto, el área de un trapecio de bases B y b y altura h es igual a la semisuma de
las bases por la altura:
B bA h
2
Ejemplo: calcula el área de un trapecio de 10 y 20 cm de bases y 15 cm de
altura.
Aplicando la fórmula:
2B b 20cm 10cmA h A 15cm 225 cm
2 2
Trapezoide
Los trapezoides son los cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo a otro.
El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados y tenemos por tanto
que:
Perímetro P a b c d
|21|
Para calcular su área, se divide el trapezoide en dos triángulos, trazando una
diagonal, con lo cual su área es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos
en los que lo hemos dividido.
Área de los polígonos irregulares.
Cualquier polígono irregular, puede descomponerse en triángulos, mediante el
trazado de sus diagonales; o complementando estas con perpendiculares desde
un vértice a una diagonal.
Por lo tanto, conociendo la medida de las líneas que conformen las bases y
alturas de esos triángulos, será posible calcular su superficie; y sumarla para
obtener la superficie total del polígono irregular.
|22|
Enlaces de apoyo:
https://es.khanacademy.org/math/geometry/basic-geometry/area-non-
standard/v/perimeter-and-area-of-a-non-standard-polygon
http://educacionadistancia.juntadeandalucia.es/profesorado/autoformacion/mo
d/book/tool/print/index.php?id=304
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/poligono,perimetro%20y%20area.htm
Referencias:
Quintero, A. & Costas, N. (1994). Geometría. San Juan, P.R.: Editorial de la
Universidad de Puerto Rico.
Nogueira, G. (2003). Problemas con medidas. Buenos Aires: Grulla.
|23|
Resumen de perímetro y área de figuras simples
Figura Perímetro (P) y área (A)
Triángulo:
P a b c
b hA
2
Cuadrado:
P 4 L
2A L
Rectángulo:
P 2 b h
A b h
Paralelogramo:
P 2 a b
A b h
|24|
Rombo:
P 4 L
D dA
2
Trapecio:
P a b c B
B b hA
2
Trapezoide:
P a b c d
A A1 A2 A3 A4
Top Related