Lección
Tercero Básico
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Mes 5
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Competencia: 2Estándar: 5
Ejemplo 1
Reflexión de una función cuadrática3
La función g(x) = − x2 es la reflexión de la función cuadrática de la forma f(x)= x2, como se observa en la gráfica.
Ambas graficas tienen el mismo dominio en el conjunto de los números reales. El rango es dife-rente para cada función.
El rango de la función f(x) = x2 es el intervalo:
[0, ∞+)
Lo anterior significa que el rango incluye el cero y abarca todos los números reales en el eje vertical hacia el infinito positivo.
El rango de la función g(x) = – x2 es el intervalo:
(–∞, 0]
Lo anterior significa que el rango incluye el cero y abarca todos los números reales en el eje vertical hacia el infinito negativo.
La función de la forma g(x) = – x2, es la re-flexión de la gráfica de la función f(x) = x2.
Graficar la función f(x) = –2x2 y su reflexión en el mismo plano.
— Como el eje de simetría de la función corres-ponde al eje y, evaluamos los elementos del dominio alrededor del cero como se observa en la tabla.
x f(x) = –2x2 y (x, f(x))
–2 f(–2) = –2(–2)2 –8 (–2, –8)
–1 f(–1) = –2(–1)2 –2 (–1, –2)
0 f(0) = –2(0)2 0 (0, 0)
1 f(1) = –2(1)2 –2 (1, –2)
2 f(2) = –2(2)2 –8 (2, –8)
Se puede comprobar cada resultado evaluado con el uso de una calculadora científica. Para el caso de x = –2, ingresamos la siguiente serie de teclas en la calculadora: z2(z2) dp. El resultado obtenido es –8. Después de calcular-los todos, marcamos en el plano los puntos que corresponden a los pares ordenados de la tabla y graficamos la función:
x
y
x
y
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Mes 5 Competencia: 2Estándar: 5
Ejemplo 2
Vemos que al graficar la reflexión de la función f(x) = –2x2, las imágenes para cada elemento del dominio cambian: por ejemplo, para x = –1 se ob-tiene –2 como imagen a través de f(x) y 2 a través de g(x).
El rango de la función f(x) = 2x2 que corresponde a la reflexión es el siguiente intervalo:
[0, ∞)
Este intervalo incluye el cero y se desplaza hacia arriba al infinito positivo.
Graficar la función.
f(x) = –2x2 + 5
Evaluamos en la tabla los elementos del dominio que se encuentran alrededor del cero por donde pasa el eje de simetría de la función.
x f(x) = –2x2 + 5 y (x, f(x))
–2 f(–2) = –2(–2)2 + 5 –3 (–2, –3)
–1 f(–1) = –2(–1)2 + 5 3 (–1, 3)
0 f(0) = –2(0)2 + 5 5 (0, 5)
1 f(1) = –2(1)2 + 5 3 (1, 3)
2 f(2) = –2(2)2 + 5 –3 (2, –3)
— Marcamos en el plano los puntos que corres-ponden a los pares ordenados y trazamos la gráfica.
El dominio de la función es el conjunto de los reales, el rango se expresa mediante el siguiente intervalo.
(–∞, 0]
El intervalo indica que el rango empieza desde el vértice de la gráfica, es decir en el origen, y se extiende hacia abajo al infinito negativo.
— Seguidamente trazamos en el plano la gráfica de la función que corresponde a la reflexión de la función, que en este caso es g(x) = 2x2.
x
y
x
y
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Mes 5Competencia: 2Estándar: 5
Ejemplo 3
Ac
tividad
3 Trabajo en el libro de actividades.
x f(x) = −x2 − 2 y (x, f(x))
−2 f(−2) = −(−2)2 − 2 −6 (−2, −6)
−1 f(−1) = −(−1)2 − 2 −3 (−1, −3)
0 f(0) = −(0)2 − 2 −2 (0, −2)
1 f(1) = −(1)2 − 2 −3 (1, −3)
2 f(2) = −(2)2 − 2 −6 (2, −6)
Grafiquemos la función
f(x) = –x2 – 2
— Hacemos una tabla que contenga un subcon-junto de números del dominio alrededor de x = 0 y los evaluamos en la función como se muestra.
— Seguidamente marcamos en el plano los pun-tos que representan los pares ordenados y tra-zamos la gráfica.
Observamos a partir de la gráfica que el rango de la función se encuentra determinado por el inter-valo siguiente: (–∞, –2]. Esto indica que el rango incluye desde –2 hacia abajo en el eje vertical.
Eje de simetría y vértice
El vértice de una parábola es el punto mas alto o más bajo de la curva según sea su concavidad. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola y es paralela al eje y.
y
x
eje de simetría
vértice
x
y
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