Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN
Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A.
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idad
III –
ER
RO
RE
S
UNIDAD III: ERRORES
Hemos desarrollado:
• Sistemas numéricos: decimal, binario y hexadecimal.
• Representación interna de datos: números y caracteres.
Presentaremos hoy:
• Nociones básicas de errores.
Nociones básicas de errores.
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En esta UNIDAD comenzamos a introducirnos en los:
MÉTODOS NUMÉRICOS
Situación REAL NO SIEMPRE se requiere una RESPUESTA EXACTA
MODELO MATEMÁTICO para describir y analizar
APROXIMACIÓN
SOLUCIÓN ANALÍTICA: Puede NO tenerPuede ser DIFÍCIL o COSTOSA
(objetivos)MÉTODOS NUMÉRICOS
Una SOLUCIÓN APROXIMADA al PROBLEMA ORIGINAL
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MÉTODO NUMÉRICOResolver problemas numéricos COMPLEJOS utilizando operaciones aritméticas SIMPLES.
OBJETIVO
Conjunto FINITO de reglas o instrucciones bien definidas, tal que, siguiéndolas paso a paso se obtiene la solución a un dado problema.
ALGORITMO
RECORDEMOS
MÉTODO NUMÉRICOEs un
ALGORITMO
diseñado para dar respuestaproblema con una PRECISIÓN prescripta.
NUMÉRICA
a un
DIREMOS
CÁLCULO NUMÉRICOEVALÚA los
MÉTODOS NUMÉRICOS
diseñados.
OBJETIVO
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El CÁLCULO de un dado MÉTODO NUMÉRICO dará NÚMEROS que se APROXIMAN a los que se obtendrían aplicando la SOLUCIÓN ANALÍTICA de un problema, en el caso que existiera.
DIREMOS
¿Qué tan PRECISOS (próximos a la solución “exacta”) son los resultados?
O
¿Qué tanto ERROR se ha introducido?
NOS PREGUNTAMOS
Si el cálculo aproxima a la solución “exacta”:
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TRATAMIENTO INFORMACIÓN
RESUMIMOS
ENTRADAINFORMACIÓN
PROCESOINFORMACIÓN
SALIDAINFORMACIÓN
NOCIONES BÁSICAS DE ERRORES
DATOSMÉTODO NUMÉRICO
RESULTADOS
FUENTES DE ERROR• Distintos ERRORES en cada ETAPA.
ERROR
ERROR
ERROR
• Los ERRORES se PROPAGAN dando el ERROR TOTAL.
¿Cómo MEDIMOS el ERROR?
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MAGNITUD DEL ERROR
CUANTIFICAMOS el ERROR:
Siendo VA una aproximación de VV, y VV el valor real, entonces:
e = | VA – VV |
eR = | ( VA – VV ) / VV | con la condición VV ≠ 0
ERROR PORCENTUAL ABSOLUTO
ERROR ABSOLUTO
ERROR RELATIVO ABSOLUTO
eP = 100.| ( VA – VV ) / VV |(%) con la condición VV ≠ 0
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CIFRAS SIGNIFICATIVAS
EJEMPLOS
MEDIR la CONFIABILIDAD de un VALOR NUMÉRICO
Siendo VA una aproximación de VV (de la definición de ERROR RELATIVO)Si d es el mayor número natural tal que | ( VA – VV ) / VV | <
10-d/2 VA es una aproximación a VV con d CIFRAS SIGNIFICATIVAS
• VA = 3.14 y VV = 3.141592
|(VA – VV)/VV| = 0.000507 < 10-2/2
VA es una aproximación a VV con 2 cifras significativas.
• VA = 999 996 y VV = 1 000 000
|(VA – VV)/VV| = 0.000004 < 10-5/2
VA es una aproximación a VV con 5 cifras significativas.
• VA = 0.000012 y VV = 0.000009
|(VA – VV)/VV| = 0.25 < 10-0/2
VA es una aproximación a VV con 0 cifras significativas.
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S PROCESOMÉTODO
NUMÉRICOALGORITMO
COMPUTACIONAL
FUENTES DE ERROR
ERRORES• ERROR DE TRUNCAMIENTO (tiempo).
Tiempo
• ERROR DE REDONDEO (espacio).
ERRORES en el CÁLCULO al implementar en MÁQUINA el MÉTODO.Es decir:
TIEMPO FINITO (ALGORITMO)ESPACIO FINITO (COMPUTADORA)
INTENCIONALMENTE al usar un ALGORITMO COMPUTACIONAL
Introducimos restricciones:
Espacio
RIGUROSAMENTE: FINITO no alcanza. FINITO debe entenderse como RAZONABLE.
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FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL
ERROR DE TRUNCAMIENTO
SURGEN debido a la limitación en TIEMPO.
Debemos realizar un número finito de acciones.
EJEMPLOS:• Evaluar funciones con la Serie de Taylor.• Proceso iterativo convergente.• Evaluar por intervalos.
Faltará evaluar (ERROR) términos, iteraciones o intervalos TRUNCADOS.
NO PODEMOS IMPLEMENTAR EL LÍMITE ANALÍTICO
TRUNCAR
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FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL
ERROR DE REDONDEO
SURGEN debido a la limitación en ESPACIO (la memoria ocupa espacio).
Los números reales se representan por una INFINIDAD de dígitos.En MÁQUINA sólo podemos tener un representación FINITA.
X = ± 0, d1 d2 d3 …. dm x 10n , 1≤d1≤9 y 0≤di≤9
d1 d2 d3 …. dm: mantisa n: exponente
Trabajamos con: fl(x) = ± 0, d1 d2 d3 …. dk x 10n Tenemos almacenado un REDONDEO del número real que difiere (ERROR) del número real.
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El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí redondeamos 7/9 a 4 cifras significativas tenemos 0.7777
0.3333 + 0.6666 = 0.9999 (redondeo truncado)
0.3333 + 0.6667 = 1.000 (redondeo simétrico)
Errores
REDONDEO TRUNCADO
REDONDEO SIMÉTRICOEl redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida si la primera cifra descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual si la primera cifra descartada está entre 0 y 4.
Ejemplo: 1/3 + 2/3 = 1, su resolución mediante la calculadora puede llevarnos a un resultado diferente. Si realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras significativas se obtiene
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ERROR NUMÉRICO TOTAL
ERROR NUMÉRICO TOTAL
Agregando términos, iteraciones o disminuyendo el intervalo.
DISMINUIR UNA COMPONENTE DE ERROR CONDUCE A UN INCREMENTO EN LA OTRA
ERROR DE TRUNCAMIENTOERROR DE REDONDEO
Error de truncamiento
Significa
número de operaciones
Error de redondeo
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S There are 10 types of people in the world:
those who understand binary
and
those who don't.
2
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n24321 2xddd0.d )(
{0.10002 x 2-3, 0.10012 x 2-3, … , 0.11102 x 24, 0.11112 x 24}
Conjunto de todos los números reales positivos de la forma
n pertenece al conjunto {-3,-2,-1,0,1,2,3,4}.
Mantisa Exponente
n=-3 n=-2 n=-1 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4
0.1000(2) 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.1001(2) 0.0703125 0.140625 0.28125 0.5625 1.125 2.25 4.5 9
0.1010(2) 0.078125 0.15625 0.3125 0.625 1.25 2.5 5 10
0.1011(2) 0.0859375 0.171875 0.34375 0.6875 1.375 2.75 5.5 11
0.1100(2) 0.09375 0.1875 0.375 0.75 1.5 3 6 12
0.1101(2) 0.1015625 0.203125 0.40625 0.8125 1.625 3.25 6.5 13
0.1110(2) 0.109375 0.21875 0.4375 0.875 1.75 3.5 7 14
0.1111(2) 0.1171875 0.234375 0.46875 0.9375 1.875 3.75 7.5 15
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Por ejemplo que pasaría si en nuestra computadora de 4 cifras como describimos en los párrafos anteriores se realiza la operación (1/10 + 1/5) + 1/6? . Supongamos además que nuestra computadora redondea todos los números reales al número binario más próximo de los que dispone.
2-2
2-2
2-2
2-2
3-2
2x001111103
2x110102x1101051
2x0110102x11010101
)(
)()(
)()(
.
_______________
..
..
La computadora debe decidir ahora cómo almacenar el número 1.00111(2) x 2-2 . Supongamos que se redondea como 0.1010(2) x 2-1 . El paso siguiente es
1-2
1-2
2-2
1-2
1-2
2x11111015
7
2x0101102x101106
1
2x101002x1010010
3
)(
)()(
)()(
.
_______________
..
..
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02 2x10000
157
)(.
03330500004667010000157
2 .... )(
Ahora la computadora decide como almacenar el número 0.11111(2) x 2-1. Puesto que suponemos que redondea, almacena 0.1000(2) x 20 . Por lo tanto, la solución a nuestro problema original es
El error en el cálculo efectuado por la computadora es
Equivalente a un error del 7% aproximadamente !!...
(1/10 + 1/5) + 1/6 =? 1/10 + (1/5 + 1/6) ….
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Utilizando polinomios de Taylor analice el valor de exp(x) en funcion del numero de términos retenidos en la serie
exp(1)
)(5432
15432
xn
xxxxxxe n
nx P
!...
!!!!
(6 cifras significativas):
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S
a
acbbx
a
acbbx
2
4;
2
4 2
2
2
1
10.62000.2
2.124
000.2
06.6210.62
02000.0000.2
04000.0
000.2
06.6210.62
2
1
x
x
Ejemplo ERROR DE REDONDEO
x2 + 62.10 x + 1 = 0
Raíces aproximadas (7 cifras significativas):
x1 = -0.01610723 , x2 = -62.08390
Soluciones:
84406.623852000.414.3856000.410.624 22 acb
Usando aritmética de 4 cifras (para forzar el error):
Calculamos
x1 y x2
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Considere la serie de Taylor para el seno(x)
!...
!!!)sin(
n
xxxxxx
n
753
753
Para pequeños valores de x, solo un reducido numero de términos es necesario para obtener un “buena solución”.
Valor verdadero = Valor suma + Error de truncamiento
El valor del Error de truncamiento depende de x y del número de términos incluidos en Valor suma
Ejemplo ERROR DE TRUNCAMIENTO
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Se puede demostrar que para cualquier serie alternante convergente el error de truncamiento es menor que el primer término despreciado
663211
111
ex
trunc .!
E
Nótese que valores de x mayores a 0.5 aprox. el error aumenta rápidamente cuando x tiende a 1. El error máximo es de 3.54e-06, lo cual esta en acuerdo con el error de truncamiento expresado anteriormente.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5x 10
-6
pi/2 x
error to
tal
En el caso de utilizar 5 términos siempre
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Si usamos 15 términos …
2675229
129
ex
trunc .!
E
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-16
pi/2 x
error to
tal
El error por redondeo está controlando el comportamiento. Nótese de todas formas se logra todavía un resultado aceptable en el valor de la serie
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0 5 10 1510
0
105
1010
2 4 6 8 10 12 1410
-10
100
1010
1020
1030
1040
numeros de termninos
factorial
potencia (x=pi/2) potencia (x=pi/2)
potencia (x=13pi/2)
0 5 10 1510
-40
10-20
100
1020
sin(pi/6)
Error de truncamiento
sin(13pi/6)
Potencia .vs. factorial
potencia (x=pi/6)
potencia (x=13pi/6)
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TRES IMPORTANTES CONSTANTES EN LA COMPUTADORA
Estos tres valores definen el rango de números disponibles y la precisión de nuestra computadora
realmax := máximo número (normalizado) 21024 1.8E+308
realmin := minimo número (normalizado) 2-1022 2.2E-308
valor positivo mas pequeño de forma tal que sumado a 1 se obtenga como resultado un valor mayor que 1
eps = = 0.00…..12 x 20 = 2-52 2.2E-16
# número de dígitos binarios = - log2(eps) = 52
# número de dígitos decimales = - log10(eps) 15.6
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PROGRAM MACHINE_EPSILONIMPLICIT NONEREAL * 8 :: machEps = 1, tmp =1PRINT *, "currEp, 1 + currEp"DO PRINT *, machEps, tmp + machEps IF (tmp + machEps == 1.0) EXIT
machEps = machEps/2.0END DOmachEps = machEps*2PRINT *PRINT *, "Calculated Machine epsilon: ", machEps! Verify our calculation via the intrinsic F95 function EPSILON() PRINT *, "EPSILON(x) = ", EPSILON(machEps) END PROGRAM MACHINE_EPSILON
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TRES ERRORES DE REDONDEO CRÍTICOS
Cancelación
Underflow
Overflow
sustracción de dos números casi iguales
resultado más pequeño que realmin
resultado más grande que realmax
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• 25 de Febrero 1991. Falla en el sistema de defensa Patriot (Irak) Reporte GAO/IMTEC-92-26. Problema de software razón acumulación de errores de redondeo.(www.math.psu.edu/dna/455.f97/notes.html)
• 4 de Junio 1996. El cohete Ariane se auto destruye la corto tiempo del despegue. Causa del desastre un error de overflow. (www.rpi.edu/~holmes/NumComp/Misc/siam.ariane.html)
• 1997 un error de redondeo es descubierto en los procesadores Pentium-II. Problema no solo de imagen de la empresa (INTEL) sino el costo del reemplazo de un gran numero de procesadores defectuosos. (x86.ddj.com/secrets/dan0441.htm)
constantes de la computadora errores de redondeo críticos
Errores
Algunos datos …
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Ejemplo ERROR DE TRUNCAMIENTO
Compare el resultado “exacto” (provisto por la función de librería) de:
2/1
0x dxe2
= 0.544987104184
con el que se obtiene al integrar los primeros términos de la serie asociada al integrando.
Problema para el laboratorioEscriba un programa que le permita calcular el valor del coseno aproximándolo por su desarrollo en polinomios de Taylor alrededor de cero en orden creciente desde 1 hasta 4. Realice los cálculos para valores cercanos a 0, /2 y /4.
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Ejemplo ERROR DE REDONDEO
x2 + 62.10 x + 1 = 0
Raíces aproximadas (7 cifras significativas):
x1 = -0.01610723 , x2 = -62.08390
Resolver la ecuación cuadrática
Problema para el laboratorioEscriba un programa para sumar 0.00001 diez mil veces a la unidad usando simple precisión. Compare el resultado con el que se obtiene si implementa una estrategia de agrupamiento o si lo resuelve utilizando doble precisión.
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