Liceo Comercial Carahue
Depto. de Matemática
Prof. Cecilia B. Ávila Rodríguez
Estimar y aproximar
números irracionales.
Unidad 1 – OA1 Objetivo: Estimar y aproximar números irracionales.
Recordemos las Raíces Cuadradas
La raíz cuadrada (√𝑏) de un número natural b corresponde un único número positivo a que
cumple: 𝑎2 = 𝑏 y se representa como √𝑏 = 𝑎
√1 = 1 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 12 = 1 ∙ 1 = 1
√4 = 2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 22 = 2 ∙ 2 = 4
√9 = 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 32 = 3 ∙ 3 = 9
√16 = 4 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 42 = 4 ∙ 4 = 16
√25 = 5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 52 = 5 ∙ 5 = 25
√36 = 6 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 62 = 6 ∙ 6 = 36
√49 = 7 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 72 = 7 ∙ 7 = 49
√64 = 8 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 82 = 8 ∙ 8 = 64
√81 = 9 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 92 = 9 ∙ 9 = 81
√100 = 10 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 102 = 10 ∙ 10 = 100
√121 = 11 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 112 = 11 ∙ 11 = 121
√144 = 12 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 122 = 12 ∙ 12 = 144
√169 = 13 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 132 = 13 ∙ 13 = 169
√196 = 14 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 142 = 14 ∙ 14 = 196
√225 = 15 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 152 = 15 ∙ 15 = 225
√400 = 20 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 202 = 20 ∙ 20 = 400
√625 = 25 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 252 = 25 ∙ 25 = 625
√900 = 30 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 302 = 30 ∙ 30 = 900
√1600 = 40 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 402 = 40 ∙ 40 = 1600
√2500 = 50 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 502 = 50 ∙ 50 = 2500
Entonces, si me preguntan ¿Cuánto es la √49? (se lee: “la raíz cuadrada de 49”)
Para saber la respuesta basta con saber, ¿qué número multiplicado por sí mismo da como
resultado 49.
Entonces, empiezo a multiplicar en mi cabecita loca!!!
1 ∙ 1 = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 1 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 2 ∙ 2 = 4 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 2 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 3 ∙ 3 = 9 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 3 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 4 ∙ 4 = 16 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 4 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 5 ∙ 5 = 25 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 5 𝑛𝑜 𝑒𝑠.
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6 ∙ 6 = 36 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 6 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 7 ∙ 7 = 49 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 7 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜.
Por lo tanto, √49 = 7; como el resultado es un numero natural, se dice que la raíz cuadrada
de 49 es una raíz exacta.
Texto de Estudio 8° Básico, página N° 50
Cuaderno de Actividades 8° Básico, página N° 30
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Estimación de Raíces Cuadradas no exactas
¿Cuánto vale la √12?
Lo mismo, en mi cabecita loca empiezo a multiplicar;
1 ∙ 1 = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 1 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 2 ∙ 2 = 4 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 2 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 3 ∙ 3 = 9 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 3 𝑛𝑜 𝑒𝑠. 4 ∙ 4 = 16 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 4 𝑛𝑜 𝑒𝑠.
Multiplico hasta el 4 por 4, que da como resultado 16 que es mayor que el 12, por lo tanto
la √12 esta entre la √9 y la √16.
Esto quiere decir que la √12, no es exacta; es decir, no da como resultado un número
natural exacto, si no que el resultado va a ser un número decimal infinito que además no
tiene periodo; por lo que lo vamos a tener que aproximar. (Buscar un valor que se acerque
muchísimo a su valor exacto)
¿Por qué no sigo multiplicando? Porque los resultados van a ser cada
vez números más grandes, así que si ya con el 4 por 4 es 16, es
imposible que multiplique otros números más grandes que el 4, por sí
mismo y me dé como resultado el 12.
Matemáticamente sería así:
√9 < √12 < √16
Como yo sé que √9 = 3 𝑦 √16 = 4, entonces,
3 < √12 < 4
Por lo tanto, √12 es un número que está entre el 3 y el 4; es decir, puede ser:
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 ó 3.9
Por lo que tenemos ya la certeza que la √12 = a 3, … (tres como algo, ese algo puede ser el
1,2,3,4,5,6,7,8 ó 9)
Ahora, ¿cómo puedo saber el número que sigue después del 3,…?
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Pensemos.
√9 < √10 < √11 < √12 < √13 < √14 < √15 < √16
3 < √10 < √11 < √12 < √13 < √14 < √15 < 4
Si se fijan bien, la √12 a simple vista se ve que está más cerca del 3, que del 4;
Por lo que podemos pensar que puede estar entre el 3 y el 3,5 (que es la mitad)
3 < √10 < √11 < √12 < √13 < √14 < √15 < 4
3 < √12 < 3,5
Ahora, los números que están entre el 3 y el 3,5; son el 3,1 3,2 3,3 y 3,4
Para saber cuál de los cuatro es hay que multiplicar cada uno por sí mismo, y el resultado
más cercano al 12, ese será el resultado.
3,1 ∙ 3,1 = 9,61
3,2 ∙ 3,2 = 10,24
3,3 ∙ 3,3 = 10,89
3,4 ∙ 3,4 = 11,56
Como aun no paso el 12, así que intento con 3,5
3,5 ∙ 3,5 = 12,25
Esto quiere decir que √12 pude ser 3,4 ó 3,5
Para saber cuál de los dos es la mejor aproximación, debo saber quién está más cerca del
12; el 11, 56 ó el 12,25. El 12, 25; es fácil saber que está a 25 unidades del, y el 11,56 es un
poquito más difícil, debo pensar cuánto le falta al 56 para llegar al 100 (100 – 56 = 44), me
faltan 44 unidades, por lo tanto el 12,25 está más cerca del 12 que el 11,56; por lo tanto la
mejor estimación de √12 es 3,5
Por lo tanto, √12 ≈ 3,5
Este método de estimación de raíces cuadradas no exactas, también es conocido con el
nombre de “método de aproximación por acotación sucesiva”
Veamos otro ejemplo: Estima el valor de √23
√16 < √22 < √25
4 < √22 < 5
√22 ≈ 4, …
Este símbolo matemático
significa aproximadamente,
esto quiere decir que no es el
valor exacto, pero se acerca
muchísimo.
3 4 La mitad
3,5
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√16 < √17 < √18 < √19 < √20 < √21 < √22 < √23 < √24 < √25
Entonces, √22 ≈{4,6 – 4,7 – 4,8 ó 4,9
4,6 ∙ 4,6 = 21,16
4,7 ∙ 4,7 = 22,09
Por lo tanto, √22 ≈ 4,7
Texto de Estudio 2° Medio, página N° 26
Voy a desarrollar la 2f, como ejemplo de cómo ordenar en forma ascendente números
reales:
Lo primero, ordenar en forma ascendente es ordenar de menor a mayor; y a simple vista no
es fácil saberlo, por lo que cada uno de los números dados los vamos a transformar a
número decimal.
4 5 La mitad
4,5
El 22,09 está más cerca
del 22, que el 21,16
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Empecemos;
2√8 = 2 ∙ √8
= 2 ∙ 2,82842712474 …
= 5,65685424948 …
√15 = 3,8729833462 … 22
5= 22 ÷ 5 = 4,4
4,08̅ = 4,08888888888 …
Ordenamos los números decimales:
2√8 = 5 , 6 5 6 8… → Este es el más grande(4)
√15 = 3 , 8 7 2 9… → Este es el más pequeño (1) 22
5 = 4 , 4 0 0 0… → Tercero (3)
4,08̅ = 4 , 0 8 8 8… → Segundo (2)
Por lo tanto,
√15 < 4,08̅ <22
5< 2√8
Descomposición de raíces cuadradas: Ordena de forma descendente los siguientes números reales:
√72, 2√18, 3√8, 6√2 Calculamos cada una de las raíces:
√72 = 8,48528137423 …
2√18 = 8,48528137423 …
3√8 = 8,48528137423 …
6√2 = 8,48528137423 …
Todas valen lo mismo, es decir todas son iguales:
√72 = 2√18 = 3√8 = 6√2
En realidad lo que se hizo fue DESCOMPONER la √72 en factores
¿Cómo se hace?
√72 =
72 : 2
36 : 2
18 : 2
9 : 3
3 : 3
1
√72 = 2 ∙ 3 ∙ √2 = 6√2
Por cada pareja de números iguales,
se anota uno afuera de la raíz, y los
que quedan sin pareja se quedan
dentro de la raíz
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Pero en realidad lo que sucede es esto:
√72 = √2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3
√72 = √22 ∙ 2 ∙ 32
√72 = √22 ∙ √2 ∙ √32
√72 = 2 ∙ √2 ∙ 3
√72 = 2 ∙ 3 ∙ √2
√72 = 6√2
Otro ejemplo: Descomponer √540
540 : 2
270 : 2
135 : 3
45 : 3
15 : 3
5 : 5
1
√540 = 2 ∙ 3 ∙ √3 ∙ 5 = 6√15
Por lo tanto, √540 = 6√15
Vamos con otro ejemplo: Descomponer √32
32 : 2
16 : 2
8 : 2
4 : 2
2 : 2
1
√32 = 2 ∙ 2 ∙ √2 = 4√2
Texto de Estudio 2° Medio, página N° 32
Eso es todo!!!...
Por esta semana.
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