Límites de Funciones
Definición de LímitesPropiedades de LímitesPrueba de las Principales PropiedadesLa Regla del SandwichLímites Laterales
Límite de funciones.
Límite de funciones.
Límites de FuncionesDefinición
Ejemplo
Notación
Una función f tiene límite L en un punto x0 si los valores f(x) se aproximan a L cuando x tiende a x0
sin llegar a serlo.
Observar que el valor de f en x0 no afecta al valor del límite (si existe). El límite puede existir incluso si la función no está definida en x = x0.
1
sin , 0f
1, 0
x xx x
x
La función
tiene límite 0 cuando x 0 a pesar de que f(0) = 1.
0
lim fx x
x L
Límite de funciones.
Definición de Límites
Definición
Ejemplo
Afirmación
Prueba
Así se acaba la demostración ya que para todo número positivo ε podemos encontrar un número positivo δ que satisfaga la condición de la definición.
Una función f tiene límite L en el punto x0 si
00 : 0 tal que 0 f .x x x L
20
1lim 1.
1x x
Sea ε > 0.
22
2 2
11
1 1x
xx x
si 0 .x x
Límite de funciones.
Límites Positivos
Teorema
Prueba
Suponer que Entonces existe un número positivo δ tal que 0 < |x – x0| < δ f(x) > 0.
En la definición de límite, hagamos ε = a > 0.
Esto implica que: f(x) > 0 si 0 < |x – x0|< δ.
0
lim f 0.x x
x a
Entonces, como hay un número positivo δ
tal que 0 < |x – x0| < δ |f(x) – a| < a = ε.
0
lim f 0,x x
x a
a=ε
δx0
La figura ilustra este teorema. Observar que f(x0) puede ser negativo incluso si el límite de f en x0 es positivo.
Límite de funciones.
Propiedades de Límites
0
lim fx x
x g x a b
0
lim fx x
c x ca
0
lim f gx x
x x ab
0
flim suponiendo que 0.
gx x
x ab
x b
1
2
3
4
La Regla del Sandwich
Si , entonces existe y 0 0
lim fl im gx x x x
x x a
0
lim h .x x
x a
0
lim hx x
x
Supongamos que cerca de x0, pero no necesariamente en x0, se verifica f(x) ≤ h(x) ≤ g(x).
5
0 0
Supongamos que limf y lim g , y sea .x x x x
x a x b c ¡
Límite de funciones.
Prueba de las Propiedades de Límites
0 0
Supongamos que limf y lim g , y sea .x x x x
x a x b c ¡
1
Prueba Sea ε > 0.
0
lim f g .x x
x x a b
Como , hay un número positivo δ1 tal que 0
lim fx x
x a
0 1 f .2
x x x a
Como , hay un número positivo δ2 tal que 0
lim gx x
x b
0 2 g .2
x x x b
Sea δ = min(δ1, δ2).
f g2 2
x x a b
f g f gx x a b x a x b f gx a x b
Por tanto si |x – x0| < δ.
Por la Desigualdad Triangular
Límite de funciones.
Prueba de las Propiedades de Límites3
Prueba
Sea ε > 0.
0
lim f g .x x
x x ab
Como , y como ,
Existen los números positivos δ1 y δ2 tal que
0
lim f 0x x
x a
0 1 f min , .2
x x x a ab
0
lim g 0x x
x b
0 2 g .4
x x x ba
Sea δ = min(δ1, δ2).
Lo haremos para el caso ab ≠ 0. La prueba en otros casos es más fácil y puede hacerse modificando ligeramente el razonamiento.
En la próxima diapositiva demostraremos que el número positivo δ tiene la propiedad deseada.
Podemos encontrar los números δ1 y δ2 por la definición del límite ya que lo que está a la derecha es positivo.
0 0
Supongamos que limf y lim g , y sea .x x x x
x a x b c ¡
Límite de funciones.
Prueba de las Propiedades de Límites3
Prueba (cont.)
0
lim f g .x x
x x ab
f g f g ffx x ab x x x b x b ab
f g ff f g fx x x b x b ab x x b b x a
f gx x ab Por tanto si |x – x0| < δ.
2 g fa x b b x a 24 2 2 2
a ba b
Supongamos |x – x0| < δ. Por las consideraciones anteriores,
f min , , y
2x a a
b g .
4x b
a
Obtenemos:
Aquí simplemente sumamos y restamos f(x)b. La expresión no cambia.
Usamos la Desigualdad Triangular
Observar que esto implica |f(x)|<2|a|. Usamos esto más abajo.
0 0
Supongamos que limf y lim g , y sea .x x x x
x a x b c ¡
Límite de funciones.
Prueba de la Regla del Sandwich5 La Regla del Sandwich
Prueba
Sea ε > 0. Como , hay un número positivo δ1 tal que 0
lim fx x
x a
Si , entonces existe y 0 0
lim fl im gx x x x
x x a
0
lim h .x x
x a
0
lim hx x
x
0 10 f .x x x a
Como , hay un número positivo δ2 tal que 0
lim gx x
x a
0 20 g .x x x a
Supongamos que cerca del número x0, pero no necesariamente en el punto x0, se tiene que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x).
La suposición sobre las funcionesf, g, y h significa que hay un número c > 0 tal que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para 0 < |x0 – x| < c.
Sea δ = min(c, δ1, δ2). Lo de arriba implica:
00 h .x x x a
a
f(x)ε
εg(x)
h(x)
Límite de funciones.
La Regla del Sandwich GráficamenteLa Regla del Sandwich
h
f
g
En la Regla del Sandwich, los valores de la función h cerca del punto x0 están acotados entre los valores de las funciones f y g. Si estas funciones tienen el mismo límite en x0, entonces la función h debe tener ese límite también.
Supongamos que cerca del puntox0 (pero no necesariamente en x0) las funciones f, g, y h satisfacen f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).
Si ,entonces existe y
.
0 0
lim fl im hx x x x
x x
0
lim gx x
x
0 0 0
lim g lim h lim fx x x x x x
x x x
Límite de funciones.
Cómo Calcular Límites (1)
21
1lim
1x
x
x
Métodos para calcular límites:
1. Si la función f está definida por una expresión que tiene un valor finito en el límite, entonces este valor finito es el límite.
2. Si la función f está definida por expresión cuyo valor es indeterminado en el límite, entonces se debe reescribir la expresión de una manera más sencilla o emplear la Regla de Sandwich.
Ejemplos
12
1 10
1 1
21
1s n
lim1 cosx
ex
x2
2
s n 1
1 cos 1
e
Límite de funciones.
Cómo Calcular Límites (2)Ejemplo en que reescribimos la expresión
10
lim1 1x
x
x x
0
1 1lim
1 1 1 1x
x x x
x x x x
2 20
1 1lim
1 1x
x x x
x x
0
1 1lim
1 1x
x x x
x x
0
1 1lim
2x
x x x
x
0
1 1lim 1
2x
x x
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador para librarse de las raíces del denominador.
Límite de funciones.
Cómo Calcular Límites (3)Aplicación de la Regla de Sandwich
1
0
1lim s nx
x ex
Recordar que, para todo α, -1 ≤ sen(α) ≤ 1.
Por tanto para todo x ≠ 0.
1s nx x e x
x
Como , podemos usar la Regla del Sandwich y concluir que:
0 0
lim lim 0x x
x x
0
1lim s n 0.x
x ex
Observar que los valores de la expresión x sen(1/x) son indeterminados para x = 0. El límite existe, sin embargo, y es 0.
Límite de funciones.
Sin Límite
Ejemplo
La función f no tiene límite en x=0 ya que cerca de x=0 la función toma valores entre -1 y 1.
Sea
1s n , 0
f
0, 0
e xx x
x
Límite de funciones.
Límites Laterales (1)Definición
Notación
Definición
Notación
Una función f tiene el límite por la derecha L cuando x tiende a x0 si los valores de f(x) se aproximan a L cuando x se aproxima a x0 mientras que x > x0.
0
lim f .x x
x L
Una función f tiene el límite por la izquierda L cuando x tiende a x0 si los valores de f(x) se aproximan a L cuando x se aproxima a x0 mientras que x < x0.
0
lim f .x x
x L
Límite de funciones.
Límites Laterales (2)
Ejemplo
La función f tiene límites laterales en x=0 pero no tiene límite en x=0.
0
limf 1x
x
0
limf 1x
x
Por tanto, la definición de la función f implica que
y .
, 0
f .
0, 0
xx
xx
x
Sea
Por las propiedades del valor absoluto, se puede reecribir la función f como:
1, 0
f 0, 0 .
1, 0
x
x x
x
Límite de funciones.
Definición Formal de Límites Laterales Definición
Definición
Conclusión
0 0
0Una función f tiene límite en si y sólo si
ambos límites laterales existen y lim f lim f .x x x x
x x
x x
El resultado es consecuencia inmediata de las definiciones.
Una función f tiene límite por la izquierda L cuando x tiende a x0 si: ε > 0: existe δ > 0 tal que
0 < x0 – x < δ |f(x) – L| < ε.
Una función f tiene límite por la derecha L cuando x tiende a x0 si: ε > 0: existe δ > 0 tal que
0 < x- x0 < δ |f(x) – L| < ε.Notación
0
lim f .x x
x L
Notación 0
lim f .x x
x L
Cálculo en una variable
Autor: Mika SeppäläTraducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa
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