8/17/2019 Los vectores.docx
1/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
Los vectores
Tipos de magnitudes
Una magnitud física es cualquier propiedad física susceptible de ser medida.
Ejemplos: el tiempo (t ), la velocidad ( ), la masa (m), la temperatura (T ), el
campo eléctrico ( ).
Las magnitudes físicas se pueden clasificar en:
agnitudes escalaresLas magnitudes escalares son aquéllas que quedan completamente
determinadas mediante el conocimiento de su valor e!presado mediante
una cantidad (un n"mero real) seguida de una unidad (a e!cepci#n delas adimensionales). $sí, por ejemplo, si decimos que la masa de unobjeto es % &g, 'emos aportado toda la informaci#n necesaria.
agnitudes vectorialesLas magnitudes vectoriales son aquéllas que no quedan completamente
determinadas por su valor (cantidad unidad), sino que requierenadems el conocimiento de la direcci#n el sentido de su actuaci#n
su punto de aplicaci#n. $sí, al decir que sobre un objeto se aplica unafuer*a de % +, no poseemos toda la informaci#n, a que 'abr que
indicar 'acia d#nde se dirige dic'a fuer*a.rficamente, las magnitudes vectoriales se representan por una flec'a,siendo la longitud de esta flec'a proporcional al m#dulo de la
magnitud, su direcci#n sentido los de la magnitud vectorial.-ector ligado
uando el origen del vector est fijado (por ejemplo, una fuer*a que seaplica en un punto concreto no otro) se dice que tenemos un vector
ligado.-ector Libre
/i podemos cambiar el origen del vector sin que afecte al significado
físico de éste (como ocurre, por ejemplo, con el peso de un objeto) sedice que tenemos un vector libre.
Ejemplos de magnitudes
Escalares Vectoriales
Magnitud Símbolo Magnitud Símbolo
asa m 0osici#n
1iempo t -elocidad
1emperatura T 2uer*a
1
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
2/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
Energía E ampo eléctrico
3bsérvese la diferencia en la notaci#n entre magnitudes escalares
vectoriales. 0or la condici#n de la 'omogeneidad que se comenta ms abajo,es mu importante tener claro e indicar qué magnitud es escalar cul
vectorial. 0or ello, adoptaremos el convenio de siempre escribir lasmagnitudes vectoriales con flec'a (también es usual, especialmente en libros,
el usar negrita)
$dems de las magnitudes escalares vectoriales, e!isten otros tipos de
magnitudes 4de orden superior5, conocidas en general como magnitudestensoriales .Un ejemplo de magnitud tensorial son los 4esfuer*os5 en un
s#lido. uando se aplica una fuer*a en una direcci#n resulta una deformaci#nque puede ir en una direcci#n diferente. 0or tanto necesitamos la informaci#n
de la direcci#n sentido de los dos, fuer*a deformaci#n, por lo que no nos basta con una magnitud vectorial .En este curso las magnitudes tensoriales
aparecen mu raramente.
Principio de homogeneidad
Una propiedad importante de las lees físicas es que son 'omogéneas. Estoquiere decir que los dos miembros de una igualdad, o cada uno de los
sumandos de una suma, deben ser del mismo tipo:
• Una cantidad escalar ser igual a otra cantidad escalar, por ejemplo
• Una cantidad vectorial ser igual a otra cantidad vectorial
• pero nunca una cantidad escalar ser igual a una vectorial. 0or
ejemplo, el momento de una fuer*a es una cantidad cua unidad /6 es 7
+8m, la energía cinética es una magnitud cua unidad es 7 9 7 +8m,
pero, aunque se midan en las mismas unidades, el momento de una
fuer*a nunca puede ser igual a la energía cinética, pues la primera esuna magnitud vectorial la segunda es una escalar
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
3/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
La energía cinética sí podr ser igual al m#dulo del momento de la fuer*a, que
es una cantidad escalar
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR.
Cantidad vectorial o vector: Una cantidad vectorial o vector es aquella que tienemagnitud o tamaño, dirección u orientación y sentido positivo (+) o negativo (-) ypunto de aplicación, pero una cantidad vectorial puede estar completamenteespecificada si sólo se da su magnitud y su dirección.
Ejemplos!) "#$ %e&tons a "$' al norte del este, esto es nos movemos "$' aciael norte desde el este.
) # m al norte. ") !# *m. a "' es decir "' en sentido retrogrado.
Un vector se representa grficamente por una fleca y se nom/ra con una letramay0scula ej. 1 2 # l/. a !$'. 3a dirección de un vector se puede indicar con unngulo o con los puntos cardinales y un ngulo.
%o se de/e confundir despla4amiento con distancia, el despla4amiento esta indicadopor una magnitud y un ngulo o dirección, mientras que la distancia es unacantidad escalar.
5or ejemplo si un ve6culo va de un punto 1 a otro 7 puede reali4ar diferentescaminos o trayectorias en las cuales se puede distinguir estos dos conceptos dedistancia y despla4amiento .
!
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
4/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
8! y 8 8on las distancias que se recorren entre los puntos y son escalares. 9! y9 son los despla4amientos vectoriales.
3a distancia total ser la cantidad escalar S1 + S2 en la cual se puede seguircualquier trayectoria, y el despla4amiento total ser la cantidad vectorial
R =D1 +D2
TIOS DE VECTORES.Vectore! Colineale!: 8on aquellos que act0an en una misma l6nea de acción.
Ejemplos En los instrumentos de cuerda, el punto donde est atada la cuerda(puente) se puede representar a la fuer4a de tensión en un sentido y al puntodonde se afina la cuerda (llave) ser otra fuer4a en sentido contrario. :tro ejemplopuede ser cuando se levanta un o/jeto con una cuerda, la fuer4a que representa latensión de la cuerda va acia arri/a y la fuer4a que representa el peso del o/jetoacia a/ajo.
Vectore! Conc"rrente!. 8on aquellos queparten de un mismo punto de aplicación.
Ejemplos ;uando dos aviones salen de un mismolugar, cuando dos o mas cuerdas tiran del mismo
punto o levantan un o/jeto del mismo punto.
"
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
5/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
Vector Re!"ltante. #VR$ El vector resultante en un sistema de vectores, es unvector que produce el mismo efecto en el sistema que los vectores componentes.
Vector E%"ili&rante. #VE$ Es un vector igual en magnitud y dirección al vectorresultante pero en sentido contrario es decir a !
8/17/2019 Los vectores.docx
6/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
Suma
La suma de magnitudes escalares debe respetar el principio de 'omogeneidaddimensional, esto es, las magnitudes sumadas deben poseer las mismas
dimensiones (no se puede sumar una distancia a un tiempo).
La suma de magnitudes escalares posee las propiedades 'abituales:
conmutativa, asociativa, elemento neutro elemento simétrico.
Producto
En el producto de magnitudes escalares, el resultado tiene por dimensiones el producto de las dimensiones de los diferentes factores. $sí, por ejemplo la
densidad de masa
0ose dimensiones
se medir en el /6 en &g;m
8/17/2019 Los vectores.docx
7/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
Suma de vectores
las magnitudes vectoriales pueden sumarse, siempre respetando el principio de'omogeneidad dimensional (una fuer*a puede sumarse con otra, pero no con
una velocidad, por ejemplo).
rficamente, la suma de magnitudes vectoriales puede definirse de dos
formas equivalentes:
• olocndolos con el mismo origen: la suma vectorial ser la diagonal
del paralelogramo que definen (regla del paralelogramo).
•olocando uno a continuaci#n del otro uniendo el origen del primerocon el e!tremo del segundo (regla del triángulo).
Regla del paralelogramo Regla del triángulo
Esta suma así definida presenta las propiedades usuales de la suma:conmutativa, asociativa, elemento neutro elemento simétrico.
La propiedad asociativa, junto con la regla del tringulo, permitesumar n vectores a base de formar una línea quebrada disponiendo los
vectores en sucesi#n uniendo el origen del primero con el e!tremo del"ltimo.
0ara que dos vectores ligados se puedan sumar, deben poseer el mismo puntode aplicaci#n. +o tiene significado sumar, por ejemplo, el campo eléctrico en
un punto con el campo eléctrico en otro. /í lo tiene sumar dos camposeléctricos aplicados sobre el mismo punto. uando los puntos de aplicaci#n
coinciden, el punto de aplicaci#n de la suma ser el mismo que el de lossumandos.
%
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
8/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
Producto por un escalar
Las magnitudes vectoriales pueden multiplicarse por magnitudes escalaresresultando una nueva cantidad vectorial. $sí, por ejemplo, la fuer*a sobre una
carga puntual es proporcional al campo eléctrico en el que se encuentra
El resultado es un vector, la fuer*a, que tiene por m#dulo
por direcci#n la misma del vector original, en este caso el campo eléctrico, por sentido el mismo que el del vector si la magnitud escalar, la carga en este
caso, es positiva opuesto si es negativa.
Las dimensiones del producto de un escalar por un vector son las del escalar
multiplicadas por las del vector. $sí, por ejemplo, de la segunda le de +e=ton
!"!# Vectores unitarios
La multiplicaci#n de un vector por un escalar, permite definir el vectorunitario en una direcci#n dada
0or tratarse de la divisi#n entre dos cantidades con las mismas dimensiones sededuce que los vectores unitarios son adimensionales. Producto escalar
El producto escalar entre dos magnitudes vectoriales es una magnitudescalar, definida como el producto de sus m#dulos por el coseno del ngulo
que forman, >. $sí, para la potencia desarrollada sobre una partícula
3bsérvese que el producto escalar se representa con un punto entre los dos
vectores, mientras que el producto por un escalar no lo lleva (adems de la&
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
9/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
presencia o ausencia de flec'as que indican el carcter vectorial de las
magnitudes).
El producto escalar da como resultado una cantidad positiva o negativa seg"n
el ngulo que formen los dos vectores. Es positivo si el ngulo es agudo,negativo si es obtuso, nulo si los dos vectores son ortogonales.
El producto escalar también se anula si alguno de los dos vectores es el vector
nulo, por lo que se puede concluir
El producto escalar de un vector por sí mismo es igual a su m#dulo alcuadrado, a que el coseno es igual a la unidad,
El producto escalar es conmutativo, pero +3 es asociativo, a que ni siquieraest definido el producto escalar de tres vectores.
En la desigualdad
tenemos en cada miembro el producto de un escalar (el producto escalar dedos vectores) por un vector. El resultado en el primer miembro es un vector
que apunta en la direcci#n de en el segundo en la de , que ser diferenteen general, por lo que los resultados no son coincidentes.
Pro$ecci%n ortogonal
'
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
10/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
El producto escalar se relaciona directamente con la proecci#n de un
vector en la direcci#n de otro ( proyección ortogonal ).
Esta proecci#n ortogonal es una cantidad escalar con signo (dependiendo delcoseno del ngulo).
La proecci#n ortogonal sirve para dado un cierto vector un ciertovector , descomponer éste como suma vectorial de una parte paralela una
parte perpendicular a aquél
1(
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
11/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
El vector paralelo es igual a la proecci#n ortogonal multiplicada por el
unitario que nos da la direcci#n del vector
una ve* que tenemos éste, el clculo de la parte normal es inmediato
Producto vectorial
?ados dos magnitudes, , que forman
un ngulo @, podemos construir una nuevamagnitud como el producto vectorial de
estas dos . Esta magnitud estambién vectorial, con las propiedades:
#duloEs igual al producto de los m#dulos de
los dos vectores por el valor absolutodel seno del ngulo que forman. Equivalentemente, es el rea del
paralelogramo que definen ambos vectores.
?e aquí se deduce que las dimensiones del producto vectorial equivalen
al producto de las dimensiones de los factores. $sí, si es una posici#n
es una fuer*a, tiene las dimensiones
11
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
12/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
en el /6 se medir en +8m.?irecci#n
la perpendicular al plano definido por los vectores .
/entidoel dado por la regla de la mano derecha: si colocamos nuestra manoderec'a de forma que los dedos sigan el sentido de giro desde el primer
vector, , 'acia el segundo vector, , por el camino ms corto,
entonces el pulgar e!tendido apunta en el sentido de .
El producto vectorial posee dos importantes no-propiedades:
+3 es asociativo
+3 es conmutativo
En su lugar, el producto vectorial es anticonmutativo
El producto vectorial se anula cuando alguno de los vectores es nulo o se tratade vectores paralelos
El producto vectorial, adems de para 'allar reas, es mu "til para determinar
distancias.
Vector superficie
1
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
13/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
El producto vectorial permite e!presar el vector superficie correspondiente a
figuras planas. Este vector se define como uno que tiene por m#dulo el rea dela figura, por direcci#n la normal al plano en que se encuentra un sentido
que puede ir 'acia un lado del plano o 'acia el otro seg"n el convenio que seelija.
0or tanto, para un paralelogramo definido por dos vectores, el vectorsuperficie es el producto vectorial de ambos
/i en ve* de un paralelogramo tenemos un tringulo definido por esos dos
vectores, el vector superficie ser la mitad del anterior
&oble producto vectorial
1res vectores se pueden multiplicar sucesivamente de forma vectorial,
obteniéndose el doble producto vectorial , cua e!presi#n puede demostrarseque es equivalente a
3bsérvese que el resultado del doble producto vectorial contiene un término
en la direcci#n de otro en la direcci#n de . /e encuentra contenido por
tanto en el plano definido por estos dos vectores.
/i agrupamos de otra forma los vectores obtenemos la relaci#n similar, pero
no idéntica
Aestando estas dos ecuaciones operando con las propiedades del productovectorial se llega a la identidad de 9acobi
Producto mi'to
1!
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
14/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
?ados tres vectores se define su producto mi!to como la operaci#n
?ado que
es el vector superficie correspondiente al paralelogramo definido por ,
que tiene por m#dulo el rea de dic'o paralelogramo por direcci#n laortogonal a ambos, resulta que
siendo
la altura del paralelepípedo definido por , . 0or tanto el productomi!to nos da el volumen de dic'o paralelepípedo, con un signo que depende
de como estén orientados los tres vectores.
?e aquí se deduce que tres vectores son coplanarios cuando su producto mi!to
es cero (a que al aplastar el paralelepípedo su volumen se anula).
El producto mi!to cumple la propiedad
es decir se pueden intercambiar los paréntesis, como en la propiedad
asociativa, siempre que al mismo tiempo se intercambien los signos de producto escalar vectorial.
Resumen
1enemos entonces tres tipos de productos que 'a que distinguir:
Primer
elemento
Segundo
elementoOperaci%n Resultado Ejemplo
Escalar -ector 0roducto por un
escalar -ector
1"
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
15/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
-ector -ector 0roducto escalar (8) Escalar
-ector -ector 0roducto vectorial
(B)-ector
&escomposici%n de un vector
En física, es mu frecuente que sea necesario descomponer un vector en sumade dos vectores ortogonales. $sí por ejemplo, la aceleraci#n se descompone
en tangencial normal, el peso de un objeto en un plano inclinado se separaen una componente paralela al plano una ortogonal a él. Es fcil ver que esta
descomposici#n es "nica.
on auda del doble producto vectorial podemos dar una forma alternativa
para la descomposici#n de un vector en una parte ortogonal una paralela aotro. $plicando la e!presi#n al caso en que
queda
?espejando de aquí
El primer término es el paralelo a , mientras que el segundo es ortogonal,
por lo que la descomposici#n de es
1#
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
16/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
$unque 'emos empleado los símbolos de la velocidad la aceleraci#n, el
proceso es obviamente el mismo para cualquier otra descomposici#n anloga.
RECTA O LINEAS
1$
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
8/17/2019 Los vectores.docx
17/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
Línea
Una línea funciona como una sucesión continua de puntos trazados, como por ejemplo
un trazo o un guion. Las líneas suelen utilizarse en la composición artística, se denomina
en cambio «raya» a trazos rectos sueltos, que no forman una figura o forma en particular.
1
En matemticas ! geometría, línea suele denotar línea recta o cur"a
En geometría, la línea tambi#n puede considerarse la distancia ms corta entre dos puntos
puestos en un plano.
El otro concepto de la línea desde la teoría de $andins%! es, la línea geom#trica es un
ente in"isible. La línea es un punto en mo"imiento sobre el plano& al destruirse el reposo
del punto este se mue"e por el espacio dando origen a la línea.
La línea es el elemento ms bsico de todo grafismo ! uno de los sumamente utilizados.'epresenta a la forma de e(presión ms sencilla ! pura, que a la "ez puede ser dinmica !
"ariada. Enrique Lipsz!c e(presa) la línea que define un contorno es una in"ención de los
dibujantes, !a que «en la naturaleza un objeto es distinguido de otro por su diferencia de
color o de tono.» *a! "arios tipos de líneas, estn la línea e(presi"a ! la línea de contorno.
Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta
Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,1 establece "arias definiciones
relacionadas con la línea ! la línea recta)
• Una línea es una longitud sin anc+ura Libro -, definición /.
• Los e(tremos de una línea son puntos Libro -, definición 0/.
• Una línea recta es aquella que !ace por igual respecto de los puntos que estn en
ella Libro -, definición /.
Características de la recta
• La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.
• En geometría euclidiana, la distancia ms corta entre dos puntos es la línea recta.
• La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la
intersección de dos planos.
1%
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
https://es.wikipedia.org/wiki/Trazo_(escritura)https://es.wikipedia.org/wiki/Guion_ortogr%C3%A1ficohttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_del_arte#L.C3.ADneahttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_del_arte#L.C3.ADneahttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_rectahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/Kandinskyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttps://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttps://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Guion_ortogr%C3%A1ficohttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_del_arte#L.C3.ADneahttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_rectahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/Kandinskyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trazo_(escritura)
8/17/2019 Los vectores.docx
18/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
2emirrecta
2e le llama semirrecta a cada una de las dos partes en que
queda di"idida una recta al ser cortada en cualquiera de sus
puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los
puntos que se ubican +acia un lado de un punto fijo de la recta,
denominado origen, a partir del cual se e(tiende indefinidamente
en una sola dirección.
2emirrecta opuesta
La semirrecta opuesta de una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta que
define la primera.3 4
• 5ada semirrecta solo tiene una semirrecta opuesta.
• Una semirrecta ! su semirrecta opuesta tienen el mismo origen.
Ecuación de la recta en el plano
1&
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-c-5https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-d-6https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-d-6https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-c-5https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-d-6
8/17/2019 Los vectores.docx
19/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
6res líneas rectas 7 Las líneas roja ! azul poseen la misma pendiente m/ que en este ejemplo es
8, mientras que las líneas roja ! "erde interceptan al eje ! en el mismo punto, por lo que poseen
id#ntico "alor de ordenada al origen b/ que en este ejemplo es el punto (9:, !91.
En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación generaldefinida en dic+o plano !a sea mediante coordenadas usando puntos ! "ectores, o bien
funciones que especifican dic+as coordenadas.
;endiente ! ordenada al origen
orma simplificada de la ecuación de la recta?editar @
2i se conoce la pendiente m, ! el punto donde la recta corta al eje de ordenadas
es 0, b/, podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la
recta, )
1'
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
https://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Recta&action=edit§ion=8https://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Recta&action=edit§ion=8
8/17/2019 Los vectores.docx
20/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta ! se utiliza cuando se conoce
la pendiente ! la ordenada al origen, que llamaremos .
>orma segmentaria de la ecuación de la recta ecuación
sim#trica/
'ecta que corta el eje ordenado en ! la abscisa en .
.
Ecuación general de la recta
Es la e(presión A( B C! B 5 9 :,1: =ADC representa la pendiente ! =5DC seala
la ordenada en el origen cuando C sea diferente a cero.
8/17/2019 Los vectores.docx
21/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
2iendo d el "alor de la distancia entre la recta ! el origen de
coordenadas. El ngulo alfa α es el ngulo entre la recta ! la parte
positi"a del eje de ordenadas, cu!a tangente e(presa el "alor de la
pendiente de la recta.
Ecuación normal de la recta segunda forma/
6omando el "alor positi"o o negati"o de la raíz segIn corresponda.
'ectas que pasan por un punto
'ectas que pasan por el punto) ,/.
;ara determinar las rectas del plano que pasan por el
punto se usa la ecuación
donde m toma cualquier "alor real.
'ecta que pasa por dos puntos?editar @
2i pasa por dos puntos ! , la ecuación de la recta puede e(presarse
como)
1
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
ROBERTH RESNICK
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Recta&action=edit§ion=14https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Recta&action=edit§ion=14
8/17/2019 Los vectores.docx
22/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
'ectas notables
'ectas perpendiculares.
La ecuación de una recta "ertical responde a la ecuación general constante/.
La ecuación de una recta +orizontal responde a la ecuación general constante/.
Una recta trigonoidal que pase por el origen G (0, 0), cumplir la condición b = 0, siendo su
ecuación) .
'ecta secante
'ecta tangente
8/17/2019 Los vectores.docx
23/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
SOLUCIONARIO DE FISICA
BASICA
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
Ejemplo
8/17/2019 Los vectores.docx
24/24
ANALISIS MATEMATICO I
TOPICOS DE CALICULO I
UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II
"
EDUARDO ESPINOSA
MAXIMO MITACC VOL I
DAVID HALLIDAY
Top Related