Lugar de las Raices1) Para las siguientes funciones de transferencia:
G1 (s) =(s+ 3)2 + 22£
(s+ 1)2 + 22¤(s− 8) =
s2 + 6s+ 13
s3 − 6s2 − 11s− 40 (1)
G2 (s) =(s+ 3)2 + 142£
(s+ 4)2 + 72¤(s− 4) =
s2 + 6s+ 205
s3 + 4s2 + 33s− 260 (2)
G3 (s) =
£(s+ 1)2 + 1
¤(s+ 7)
(s− 1) (s− 2) (s− 4) =s3 + 9s2 + 16s+ 14
s3 − 7s2 + 14s− 8 (3)
G4 (s) =
£(s+ 3)2 + 32
¤(s− 4)£
(s+ 1)2 + 82¤(s+ 15)
=s3 + 2s2 − 6s− 72
s3 + 17s2 + 95s+ 975(4)
G5 (s) =
£(s+ .5)2 + 784
¤(s+ 10)
1000 (s+ 6.6) (s+ 3.3) (s− 1.6) (5)
G6 (s) =
£(s+ 2)2 + 82
¤(s− 5)£
(s− 2)2 + 82¤ (s+ 15) (6)
G7 (s) =
£(s+ 8)2 + 900
¤(s+ 11) (s+ 16) (s+ 34)£
(s− 7)2 + 1156¤ (s+ 4) (s− 3) (s− 28) (7)
G7 (s) =s5 + 77s4 + 3034s3 + 82292s2 + 1150360s+ 5768576
s5 − 41s4 + 1543s3 − 31639s2 − 52904s+ 404880 (8)
a) Halle los valores de K que hacen el sistema estable usando el Criterio de Routh-Hurwitz.b) Halle los valores de los polos sobre el eje imaginario para cada una de las K obtenidas en la
parte a).c) Dibuje el lugar de las raíces.
1
2) Para la función de transferencia:
G (s) =
£(s+ 3)2 + 222
¤ £(s+ 2)2 + 222
¤(s+ 4)£
(s+ 1)2 + 32¤ £(s+ 0.5)2 + 182
¤(s− 3) (9)
Usando solo los fundamentos de la técnica del Lugar de las Raíces (no el Criterio de Routh-Hurwitz) y a partir de la Figura 1, determine los valores de K para que el sistema sea estable.
-6 -4 -2 0 2 4-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Real Axis
Imag
Axe
s
Root Locus Design
Figura 1
2
3) Para la función de transferencia:
G (s) =
£(s+ 1)2 + 1002
¤ £(s− 1)2 + 752¤ (s− 9)£
(s+ 1)2 + 1752¤ £(s− 1)2 + 302¤ (s+ 5) (10)
Usando solo los fundamentos de la técnica del Lugar de las Raíces (no el Criterio de Routh-Hurwitz) y a partir de la Figura 2, determine los valores de K para que el sistema sea estable.
-10 -5 0 5 10-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200Root Locus Design
Imag
Axe
s
Real Axis
Figura 2
3
4) Para la función de transferencia
G (s) =s+ 1.4
(s+ 5) (s+ 1) (s− 0.5) (11)
Usando sólo los fundamentos de la técnica del Lugar de las Raíces y a partir de la Figura 3,determine:a) Valores de K para estabilidadb) Valores de K para garantizar que el máximo pico o sobrepaso (Mp) no exceda 9.5% y que el
tiempo de subida (tr) no exceda 1.15 s.c) Si además se quiere garantizar un tiempo de estabilización mínimo (ts), ¿Cuál debería ser el
valor de K?
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5Root Locus Design
Ima
g A
xe
s
Real Axis
Figura 3
4
5) Para la función de transferencia
G (s) =
£(s+ 22)2 + 196
¤(s+ 62)
£(s+ 12)2 + 144
¤£(s− 4)2 + 484¤ (s+ 20) (s+ 1) (s− 38) (12)
Usando sólo los fundamentos de la técnica del Lugar de las Raíces y a partir de la Figura 4,determine:a) Valores de K para estabilidadb) Valores de K para garantizar que el máximo pico o sobrepaso (Mp) no exceda 16.3%, que el
tiempo de subida (tr) no exceda 0.205 s y que el tiempo de estabilización (ts) bajo el criterio del2% no exceda 0.3 s. Explique si es posible cumplir todas las especificaciones o no!.
-80 -60 -40 -20 0 20 40-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50Problema N° 2
Imag
Axe
s
Real Axis
Figura 4
5
6) Para la función de transferencia G (s) se pide diseñar un controlador PID (s) que haga queel sistema de control cumpla (simultáneamente) las especificaciones:
2.1) Máximo pico o sobrepaso: Mp ≤ 4.6%.2.2) Tiempo del máximo pico: tp ≤ 1.57 s.
Determine los límites de valores permisibles para los parámetros Kp, τ i y τd de este controlador.
NOTAS:1) En la Figura 5 se muestra el Lugar de las Raíces sólo para G (s) .
2) G (s) =1£
(s+ 1.8)2 + 16¤(s+ 12)
3) PID (s) = Kp
µ1 +
1
τ is+ τds
¶=
K£(s+ a)2 + w2
¤s
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
-10
-5
0
5
10
Root Locus Design
Imag
Axe
s
Real Axis
z=0.9
Figura 5
6
7) Para la función de transferencia G (s) se pide diseñar un controlador PID (s) que haga queel sistema de control cumpla (simultáneamente) las especificaciones:
2.1) Máximo pico o sobrepaso: Mp ≤ 4.6%.2.2) Tiempo de subida: tr ≤ 0.5 s.
Determine el valor máximo y el valor mínimo (exacto) de los parámetros Kp, τ i y τd de estecontrolador.Nota: El valor mínimo de Kp debe obtenerse analíticamente.
NOTAS:1) En la Figura 6 se muestra el Lugar de las Raíces sólo para G (s) .
2) G (s) =(s+ 5)2 + 122
(s+ 2) (s+ 4) (s+ 10)
3) PID (s) = Kp
µ1 +
1
τ is+ τds
¶=
K (s+ a) (s+ b)
s
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-15
-10
-5
0
5
10
15Root Locus Design
Imag
Axe
s
Real Axis
Figura 6
7
8) Para la función de transferencia:
G (s) =(s+ 30) (s+ 60)£
(s− 3)2 + 42¤ (s+ 20) (s+ 50) (13)
Diseñe un controlador PID (s) que haga que el sistema de control cumpla (simultáneamente)las especificaciones:
2.1) Máximo pico o sobrepaso: Mp ≤ 4.6%.2.2) Tiempo de estabilización (al 2%): ts ≤ 0.148 s.2.3) Tiempo del máximo pico: tp ≤ 0.06 s.
a) Determine el valor máximo y el valor mínimo de los parámetrosKp, τ i y τd para el controlador.b) ¿Cúal será la influencia del polo dominante del sistema resultante sobre el cumplimiento de
la específicación del tiempo del máximo pico?NOTAS:1) En la Figura 7 se muestra el Lugar de las Raíces solo para G (s) .
-80 -60 -40 -20 0 20-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Real Axis
Imag
Axe
s
Root Locus Design
Figura 7
8
9) Para la función de transferencia:
G (s) =(s+ 30) (s+ 60)
(s− 10) (s+ 20) (s+ 50) (14)
Diseñe un controlador PID (s) que haga que el sistema de control cumpla (simultáneamente)las especificaciones:
3.1) Tiempo de estabilización (al 2%): ts ≤ 0.16 s.3.2) Tiempo del máximo pico: tp ≤ 0.3 s.
a) Determine el valor máximo y el valor mínimo de los parámetrosKp, τ i y τd para el controlador.b) Determine el valor máximo y el valor mínimo del máximo pico (Mp) que ocurre dentro de la
zona de las especificaciones.NOTAS:1) En la Figura 8 se muestra el Lugar de las Raíces solo para G (s) .
-100 -80 -60 -40 -20 0 20-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40Root Locus Design
Imag
Axe
s
Real Axis
Figura 8
9
10) Para la función de transferencia:
G (s) =1£
(s+ 2)2 + 62¤(s+ 12)
(15)
Diseñe un controlador PID (s) que haga que el sistema de control cumpla (simultáneamente)las especificaciones:
2.1) Máximo pico: 4, 5988% ≤Mp ≤ 9, 4780%2.2) Tiempo del pico: tp ≤ 0, 4488s2.3) Tiempo de subida: tr ≤ 0, 334375sa) Determine el valor máximo y el valor mínimo de los parámetrosKp, τ i y τd para el controlador.b) Determine el tiempo de estabilización (al 2%) que ocurre dentro de la zona de las especifica-
ciones.NOTAS:1) En la Figura 9 se muestra el Lugar de las Raíces solo para G (s) .
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Root Locus Design
Imag
Axe
s
Real Axis
Figura 9
10
11) Para la función de transferencia:
G (s) =(s+ 2.6) (s+ 4.5)
£(s+ 2)2 + 32
¤(s− 1) (s− 2) £(s− 2)2 + 32¤ (16)
a) Determine los rangos de K que hacen el sistema G (s) estable (sin usar el criterio de Routh-Hurwitz).b) Determine los rangos de K que hacen que el sistema de control cumpla individualmente
las especificaciones:
b.1) Máximo pico: 3% ≤Mp ≤ 30% ≤ K ≤b.2) Tiempo del pico: 0.6 ≤ tp ≤ 2.5 ≤ K ≤b.3) Tiempo de subida: 0.35 ≤ tr ≤ 1.6 ≤ K ≤b.4) Tiempo de estabilización 1.33 ≤ ts ≤ 4 ≤ K ≤
c) Determine los rangos de K que hacen que el sistema de control cumpla simultáneamentelas especificaciones dadas en b) y también los nuevos rangos de esas especificaciones:
c.1) K ≤ K ≤c.1) Máximo pico: ≤Mp ≤c.2) Tiempo del pico: ≤ tp ≤c.3) Tiempo de subida: ≤ tr ≤c.4) Tiempo de estabilización ≤ ts ≤
11
Dibuje las especificaciones sobre el lugar de las raíces de la Figura 10.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus Editor (C)
Real Axis
Imag
Axis
Figura 10
12
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