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AULA
7Grafos
META
Introduzir noes elementares da teoriados grafos.
OBJETIVOS
Ao final da aula o aluno dever ser capaz de:
Representar grafos por meio de matrizes e
diagramas;
Caracterizar uma rvore;
Identificar grafos isomorfos.
PR-REQUISITOS
Princpio da induo (aula 1);
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Grafos
AULA
77.1 Introduo
Caro aluno, a partir desta aula iniciaremos uma nova etapa do
curso de matemtica discreta. Passaremos a estudar alguns pro-
blemas famosos da teoria dos grafos. Para nos familiarizarmos
com os termos usados nas aulas seguintes, definiremos alguns con-
ceitos elementares. Afinal de contas, o que um grafo? Veremos
que muitos problemas podem ser modelados por grafos. Desde
uma simples caminhada pela cidade at a tarefa de construir uma
rede de comunicaes com custo mnimo, passando pelas estru-
turas atmicas de compostos qumicos. Daremos ainda o conceito
de isomorfismo de grafos, que nos permitiro compar-los. Para
concluir, apresentaremos problemas famosos da teoria dos grafos
que sero melhor tratados nas aulas seguintes.
7.2 Noes Elementares
Um grafo G uma tripla (V,E,I), onde V e E so conjuntos
finitos e I V E satisfaz 1 N({v V; (v, e) I}) 2, para
qualquer e E. Chamamos V(G), E(G) e I de vrtices, arestas e
relao de incidncia do grafo G, respectivamente. Notamos, pelo
nmero de elementos do conjunto Ie = {v V; (v, e) I}, que
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AULA
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Figura 7.1: Grafo com vrtices V = {u,v,w,x}, arestas E = {e,f,g,h,i} e
relao de incidncia I= {(u, e), (v, e), (u, f), (w, f), (v, g), (x, g), (v, h), (w, h), (i, x)}.
Observe que i um lao do grafo.
existem dois tipos de arestas. Se N(Ie) = 1, isto , se existe apenas
um vrtice incidente aresta e, dizemos que e um lao. Quando o
grafo no possui laoes nem arestas mltiplas, isto , dois vrtices
ligados por mais de uma aresta, o grafo dito simples. Vrtices que
no se ligam a nenhum outro so ditos isolados. Convencionamos
desenhar um grafo representando cada vrtice por um crculo e as
arestas por linhas ligando estes crculos.
Duas arestas incidentes num mesmo vrtice so chamados ad-
jacentes. O grau de um vrtice o nmero de arestas incidentes
no vrtice, sendo que cada lao conta como dois vrtices.
Figura 7.2: As arestas e e f so adjacentes, pois so incidentes ao vrtice u. O
grau do vrtice v dv = 4, j o grau de x dx = 3 e o vrtice z isolado, logo dz = 0.
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7Teorema 7.1. A soma dos graus dos vrtices de um grafo igual
ao dobro do nmero de arestas.
Demonstrao: Quando os graus so somados contamos cada
aresta duas vezes.
Corolrio 7.1. O nmero de ns de grau mpar de um grafo
par.
Demonstrao: Considere um grafo G = (V,E,I). Denotando
o grau do vrtice v por dv, segue do teorema anterior que:
2N
(E
) =vV
dv =
vV;dvpar
dv +
vV;dvimpar
dv
Separando o somatrio em duas parcelas, a primeira contendo os
graus pares e a segunda os graus mpares, vemos que a primeira
par e como a soma das duas parcelas tambm par, segue que a
segunda parcela deve ser par.
Figura 7.3: A sequncia (u,e,v,i,w,h,v,x) um ux-passeio, mas no ux-
caminho, pois o vrtice v se repete. J a sequncia (x,g,v,e,u,f,w) um xw-
caminho. A sequncia (x,g,v,h,w,f,u,e,v,g,x) um circuito, mas no um ciclo.
Contudo, (v,e,u,f,w,i,v) ciclo. Observe que este grafo conexo.
Um passeio do vrtice u para o vrtice v de um grafo (uv-
passeio) uma sequncia alternada de vrtices e arestas comeando
no vrtice u e terminando no v, tal que cada aresta incidente aos
vrtices que o cercam na sequncia. Um caminho um passeio que
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7no contm vrtices repetidos. Um circuito um passeio fechado,
isto , um passeio de um vrtice para ele mesmo. Um ciclo um
caminho fechado, isto , um passeio que contm exatamente dois
vrtices iguais: o inicial e o final. Dois vrtices esto conectados se
existe caminho entre eles no grafo. Um grafo conexo se qualquer
par de vrtices no grafo esto conectados.
Exemplo 7.1 (Rede de comunicaes). Deseja-se configurar uma
rede de comunicaes entre as cidades A , B , C , D , E de tal maneira
que possa haver comunicao entre cada par de cidades. As liga-
es devem ser efetuadas por cabos telefnicos. Admitimos que
mensagens possam ser retransmitidas, isto , qualquer cidade pode
mandar mensagem para outra por uma terceira. Modelar por meio
de grafos.
Soluo: O conjunto de cidades corresponde ao conjunto de vr-
tices e cada aresta corresponde a um cabo telefnico. A figura
mostra uma possvel configurao de cabos entre as cidades que
satisfaz exigncia do enunciado, ou seja, cada cidade pode se co-
municar com qualquer outra. O grafo da figura um exemplo de
rvore, um grafo com exatamente um caminho entre cada par de
vrtices. Ou seja, este tipo de grafo fornece o esquema de conexo
o mais "enxuto"possvel, pois, se retirarmos uma aresta que seja,
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7eliminamos pelo menos um caminho e desconectamos o grafo.
Este problema vem, em geral, formulado como um problema
de otimizao: a "construo"de cada aresta implica num custo e
queremos determinar quais arestas construir de modo a assegurar
a comunicao a um custo o menor possvel. Este mais um
problema na rea de otimizao combinatorial.
O grafo H = (VH, EH,IH) um subgrafo de G = (V , E ,I) se
VH V, EH E e a relao de recorrncia IH a restrio de I
a VH EH. As componentes conexas de um grafo so os subgrafos
conexos maximais deste grafo, ou seja, so os subgrafos deste grafo
que no esto estritamente contidos em outros subgrafos conexos.
Figura 7.4: Grafo desconexo com duas componentes conexas facilmente identi-
ficveis.
O desenho do grafo muito til em muitas situaes. Porm,
para grafos maiores e mais complexos precisamos de outro tipo
de descrio. Podemos representar grafos por meio de matrizes,
estabelecendo assim um elo til com a lgebra. Temos a matriz
de incidncia V E, cujas linhas esto associadas aos vrtices e
as colunas s arestas. Um elemento na linha i e coluna j 1 se o
vrtice i incidente na aresta j e 0 caso contrrio. A matriz de
adjacncia tem linhas e colunas associadas aos vrtices. O elemento
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7na linha i e coluna j o nmero de arestas que tm i e j como
extremidades.
A matriz de incidncia e de adjacncia do grafo anterior so
apresentadas abaixo.
MI =
1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 1
MA =
0 1 1 0 0 0
1 0 2 0 0 0
1 2 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0
7.3 rvores
Definio 7.1. Uma rvore um grafo simples conexo sem ciclos.
Teorema 7.2. Se T uma rvore com v 2 vrtices ento T
contm ao menos dois vrtices de grau 1.
Demonstrao: Desde que T tem v vrtices, todos caminhos em
T devem ter comprimento menor do que v. Ento deve existir um
caminho mais longo em T, digamos (v1, v2, . . . , vr). Afirmamos
que v1 e vr tm grau 1. Suponha que v1 tem grau maior do que 1;
ento existe uma outra aresta incidente a v1, digamos v1v0, onde
v0 diferente de todos os demais v2, . . . , vr, pois caso contrrio
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7existiria um ciclo. Ento (v0, v1, . . . , vr) seria um caminho mais
longo, contradio. Portanto, grau de v1 1 e similarmente, grau
de vr 1.
Teorema 7.3. Seja T um grafo simples com v vrtices. Ento as
seguintes afirmaes so equivalentes:
(i) T uma rvore;
(ii) T tem v 1 arestas e nenhum ciclo;
(iii)T
temv
1 arestas e conexo.
Demonstrao: (i) (ii) Devemos mostrar que todas rvores
com v vrtices possuem v 1 arestas. Isso verdade para v = 1.
Suponha verdade para todas rvores com v k vrtices e tome
uma rvore T comk + 1 vrtices. Ento pelo teorema anterior, T
possui um vrtice w de grau 1. Remova w e sua aresta incidente
de T para obter uma rvore T com k vrtices. Pela hiptese de
induo, T possui k 1 arestas; logo T possui (k 1) + 1 = k
arestas.
(ii) (iii) Suponha que T possui v 1 aresta, nenhum ciclo e
constitudo por t 1 componentes conexas T1, . . . , T t, cada uma
das quais no possui ciclo e portanto, deve ser uma rvore. Denote
por vi o nmero de vrtices de Ti. Ento
ipi = p, e o nmero
de arestas em T
i(pi 1) = p t. Ento p t = p 1, isto ,
t = 1, logo T conexo.
(iii) (i) Suponha queT conexo com v 1 arestas, mas no
uma rvore. Ento T deve ter um ciclo. Removendo uma aresta
de um ciclo, ns no destrumos a conexidade, ento podemos re-
mover arestas dos ciclos at no restarem mais ciclos e preservar a
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7conexidade. O grafo resultante deve ser uma rvore, com v vrtices
e a < v 1 arestas, contradizendo (ii).
Esse teorema pode ser usado para estabelecer uma natureza de
rvore de certas molculas qumicas.
Exemplo 7.2 (Alcanos). Mostre que os alcanos (parafinas) CnH2n+2
so molculas do tipo rvore.
Soluo: Cada molcula representada por um grafo com v =
n + (2n + 2) = 3n + 2 vrtices. Dessas, n tm grau 4 (valncia do
carbono) e 2n +2 tm grau 1 (valncia do hidrognio). Ento, pelo
teorema (7.1), 2a = 4n + 2n + 2 = 6n + 2, portanto, a = 3n + 1 =
v 1. Desde que molculas so conexas, segue do teorema anterior
que os grafos devem ser rvores, pelo teorema anterior.
Figura 7.5: Observe que existem duas rvores "diferentes"correspondentes ao
C4H10: butano e isobutano.
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77.4 Isomorfismo
Dois grafos G e H so isomorfos se existe uma relao 1-1 entre os
vrtices V(G) e V(H) que preserva adjacncia, isto , se i e j em
V(G) so adjacentes em G, ento os vrtices correspondentes em
V(H) pela relao tambm so adjacentes em H e vice-versa.
Figura 7.6: Grafos isomorfos. Considere a relao f(1) = y, f(2) = w, f(3) =
x, f(4) = u, f(5) = v.
No to simples perceber a relao entre os vrtices que com-
prove o isomorfismo entre dois grafos. Se tivermos sorte de detectar
por inspeo uma relao 1-1 que comprove o isomorfismo, timo.
Caso contrrio, temos que tentar verificar alguma diferena estru-
tural entre os grafos que evidencie no serem eles isomorfos. Os
itens mais bvios para verificar so nmero de vrtices, nmero de
arestas e graus de vrtices. Mas outros itens teis so conectivi-
dade ou planaridade (que ser estudada na aula 9).
Exemplo 7.3 (Isomorfismo e conexidade). Mostrar que os grafos
G e H no so isomorfos.Soluo: Note que G e H possuem o mesmo nmero de vrtices,
mesmo nmero de arestas, e o grau de todos os vrtices 2. No
entanto, G desconexo e H conexo. Portanto, os grafos no so
isomorfos.
Considere agora dois grafos isomorfos G, G. Seja I um subcon-
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junto de V(G) e I o subconjunto correspondente de V(G), com
respeito relao 1-1 que evidencia o isomorfismo entre G e G.
Ento, os subgrafos de G e G obtidos pela remoo dos vrtices
em I e I e as arestas a eles incidentes so tambm isomorfos.
Exemplo 7.4 (Isomorfismo e subgrafo). Mostrar que os grafos G
e H no so isomorfos.
Soluo: Os dois grafos em questo contm o mesmo nmero de
vrtices (6), de arestas (8) e o mesmo conjunto de graus de vrtices
(2, 2, 2, 3, 3, 4). No entanto, se removermos os vrtices de grau 3 de
G e H, obtemos os subgrafos G e H. Portanto, G e H no so
isomorfos, pois se fossem os subgrafos G e H seriam isomorfos,
que no o caso, uma vez que G desconexo e H conexo.
O grafo completo Kn o grafo simples com n vrtices, em que
cada par de vrtices so adjacentes. Desde que cada um dos n
vrtices deve ter grau n 1, o nmero a de arestas deve satisfazer
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72a = n(n 1), logo a = 12 n(n 1).
7.5 Grafos Famosos
Nessa seo apresentamos alguns problemas famosos que sero
nosso ponto de partida para as prximas aulas deste curso: rotea-
mentos, planaridade e colorao.
Exemplo 7.5 (As pontes de Knigsberg). O primeiro e mais
famoso problema na teoria dos grafos, resolvido por Euler em 1736,
o problema das 7 pontes. Na cidade de Knigsberg sete pontescruzam o rio Pregel estabelecendo ligaes entre duas ilhas e entre
as ilhas e as margens opostas do rio, conforme ilustrado na figura
a seguir. Ser possvel fazer um passeio pela cidade, comeando
e terminando no mesmo lugar, cruzando cada ponte exatamente
uma vez?
Figura 7.7: Ilhas no rio Pregel em Knigsberg
Euler transformou o problema em um problema de grafos. A
cada margem e ilha associou um vrtice e a cada ponte uma aresta,
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7obtendo o grafo da figura abaixo. Em termos de grafo, o problema
consiste em achar um circuito que percorra cada aresta exatamente
uma vez. Grafos para os quais isto possvel so chamados euleri-
anos. Na prxima aula veremos como Euler resolveu este problema.
Voc seria capaz de tentar?
Exemplo 7.6 (Ciclo Hamiltoniano). Um problema semelhante ao
problema das sete pontes de Knigsberg consiste em verificar se,
dado um grafo, possvel construir um ciclo que inclua todos os
vrtices. Tal ciclo chamado de hamiltoniano. Um grafo que con-
tenha tal ciclo chamado de grafo hamiltoniano. O grafo abaixo
hamiltoniano.
Figura 7.8: Grafo dodecaedro. Em destaque, ciclo hamiltoniano.
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7Embora semelhante ao problema de achar um ciclo euleriano, o
problema de achar um ciclo hamiltoniano muito mais complexo.
No so conhecidas condies necessrias e suficientes para que
um grafo genrico contenha um ciclo hamiltoniano, nem tampouco
mtodos para construir tal ciclo, caso exista.
Exemplo 7.7 (Fornecimento de servios). Trs companhias pbli-
cas devem fornecer trs tipos de servios, gua, luz e gs, a trs
prdios pblicos. Decidiu-se usar tubulaes subterrneas, todas
mesma profundidade, por motivos de segurana. Como realizar
esta tarefa? Este um famoso exemplo em teoria dos grafos, us-
Figura 7.9: Grafo associado ao problema de fornecimento de servios.
ado para introduzir e motivar o conceito de planaridade. Asso-
ciando um vrtice a cada prdio (P1, P2, P3) e cada fonte de servio
(A,L,G), obtemos o grafo acima. Voc consegue fazer essas 9 liga-
es sem que eles se cruzem?
Exemplo 7.8 (O problema das quatro cores). O teorema das qua-tro cores diz que possvel colorir as regies de qualquer mapa
desenhado no plano usando no mximo quatro cores, de maneira
que nenhum par de regies que tenham uma fronteira em comum
(no apenas um ponto) seja da mesma cor.
Para transformar este problema em um problema de grafos,
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associamos a cada regio um vrtice e dizemos que dois vrtices
so adjacentes se as regies correspondentes tm fronteira comum.
Note que, por contruo, o grafo associado a um mapa qualquer
um grafo planar. A afirmao que temos, em termos de grafos,
que: "usando no mximo quatro cores, um grafo planar pode
ter seus vrtices coloridos de modo que vrtices adjacentes tenham
cores diferentes".
7.6 Concluso
Nesta aula, nos familiarizamos com muitos novos conceitos da teo-
ria dos grafos. Vimos o que um grafo e como ele pode ser usa-
do para modelar diversos problemas. Aprendemos a representar
grafos de forma matricial, tanto por matriz de adjacncia como
por matriz de incidncia. Conhecemos ainda algumas tcnicas para
verificar se dois grafos so isomorfos. Por fim fomos apresentados
a alguns problemas famosos da teoria dos grafos e desafiados por
eles.
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...
RESUMO
...
Um grafo G uma tripla (V , E ,I), onde V e E so conjuntos
finitos e I V E satisfaz 1 N({v V; (v, e) I}) 2, para
qualquer e E.
A matriz de incidncia V E, possui linhas associadas aos
vrtices e colunas s arestas. O elemento na linha i e coluna j 1
se o vrtice i incidente na aresta j e 0 caso contrrio.
A matriz de adjacncia tem linhas e colunas associadas aos
vrtices. O elemento na linha i e coluna j o nmero de arestas
que tm i e j como extremidades.
O grau de um vrtice o nmero de arestas incidentes no vr-
tice, sendo que cada lao conta como dois vrtices. A soma dos
graus dos vrtices de um grafo igual ao dobro do nmero dearestas. O nmero de ns de grau mpar de um grafo par.
Um uv-passeio uma sequncia alternada de vrtices e arestas
comeando no vrtice u e terminando no v, tal que cada aresta
incidente aos vrtices que o cercam na sequncia. Um caminho
um passeio que no contm vrtices repetidos. Um circuito um
passeio fechado. Um ciclo um caminho fechado. Um grafo conexo
aquele tal que existe caminho entre qualquer par de vrtices no
grafo.
Uma rvore um grafo simples conexo sem ciclos.
Dois grafos G e H so isomorfos se existe uma relao 1-1 entre
os vrtices V(G) e V(H) que preserva adjacncia.
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...
PRXIMA AULA
...
Na prxima aula, estudaremos a soluo dada por Euler para o
problema das pontes de Knigsberg. Enunciaremos trs problemas
clssicos de roteamento: o carteiro chins, o caixeiro viajante e
caminho mais curto. Aprenderemos ainda o algoritmo de Dijkstra
para obter um caminho mais curto entre vrtices de um grafo.
...
...
ATIVIDADES
...
ATIVIDADE 7.1. Para cada grafo abaixo, determine as matrizes
de adjacncia e de incidncia.
(a) (b)
ATIVIDADE 7.2. Desenhe o grafo G que corresponde a cada
uma das matrizes de adjacncia seguintes:
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A =
0 1 0 1 0
1 0 0 1 1
0 0 0 1 1
1 1 1 0 1
0 1 1 1 0
B =
1 3 0 0
3 0 1 1
0 1 2 2
0 1 2 0
ATIVIDADE 7.3. Considere o grafo do item (b) da atividade 1.
Determine um u10u8-passeio que no seja um u10u8-caminho, mas
que possuam o mesmo nmero de arestas. Determine um u5u10-
passeio que passa uma nica vez por todas as arestas do grafo.
ATIVIDADE 7.4. Considere ainda os grafos da atividade 1. Eles
so Eulerianos? E Hamiltonianos? Justifique suas respostas.
ATIVIDADE 7.5. Desenhe todas as rvores com exatamente seis
vrtices.
ATIVIDADE 7.6. Mostre que todos alcois CnH2n + 1OH tm
molculas do tipo rvore. (A valncia de C,O e H so 4,2 e 1,
respectivamente.)
ATIVIDADE 7.7. A operao deletar vrtice de um grafo G
determina um subgrafo G com todos os vrtices de G exceto aquele
deletado e todas as arestas de G exceto as que contm o vrtice
deletado. Ache os subgrafos Gk, k = 1, . . . , 6 obtidos do grafo G
abaixo pela deleo do vrtice k.
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ATIVIDADE 7.8. Mostre que nenhum par de subgrafos Gk, k =
1, . . . , 6 obtidos na atividade anterior so isomorfos.
...
...
REFERNCIAS
...
LIPSCHUTZ,S. LIPSON, M. Matemtica Discreta. Coleo Schaum.
Bookman: So Paulo, 2004.
SANTOS, J.P.O., et al. Introduo Anlise Combinatria. Mod-
erna: Rio de Janeiro, 2007.
133
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