Ms. Marilyn Delgado Bernu
1
LMITES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
Definicin 1. ( Lmite de una Funcin )
Sea f: D una funcin. Se dice que el lmite de la
funcin f(x) cuando x tiende a a, es igual a L, lo cual
se escribe como (a puede estar o no en D).
Lf(x)ax
lim
>0 ()>0 tal que 0 < |x-a|< |f(x)-L|0 ()>0 tal que 0
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2
Ejemplo 1. Demostrar que 312x1x
lim
Solucin
Dado >0 >0 tal que
|x-4|
Ms. Marilyn Delgado Bernu
3
|x-1|
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4
Sec=b
c Csc=
a
c Sec =
x
r Csc =
y
r Sec=
x
1 Csc=
y
1
2. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Senx.Cscx=1 Cosx.Secx=1 Tanx.Cotx=1
Tanx=
cosx
senx
Cotx=
x sen
x cos
Sen2x+Cos2x=1 1+Tan2x=Sec2x 1+Cot2x=Csc2x
3. IDENTIDADES DE SUMAS Y DIFERENCIAS
Sen(xy)= Senx.Cosy Seny.Cosx
Cos(x+y)= Cosx.CosySenx.Seny
Cos(xy)= Cosx.Cosy+Senx.Seny
4. FORMULAS DE REDUCCI0N
Se(-x)=Senx Cos(-x)=Cos x
Sen(-x)=Sen x Cos(-x)=-Cos x
TEOREMAS DE LMITES
Teorema 1. (Unicidad de los Lmites)
Si 1Lf(x)
axlim y
2Lf(x)
axlim , entonces L1=L2.
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5
Teorema 2. ( Lmite de la suma de funciones)
Si nLxnf
axlim;;2Lx2f
axlim;1Lx1f
axlim
)()()(
, entonces
nL...2L1Lxnf...x2fx1fax
lim
)()()(
Ejemplo 1. 3e123e102xe13x1x3x
lim
Ejemplo 2. xx2
x1x
lim
=1-1+1=1
Teorema 3. ( Lmite del producto de funciones )
Si Mg(x)ax
limyLf(x)ax
lim
, entonces L.M.f(x).g(x)ax
lim
Ejemplo 3. 6379.6x72x1x
lim
Ejemplo 4. 61)(1)(3)2(3x1x1x1x20x
lim
Teorema 4. ( Lmite de la divisin de funciones )
Si 0Mg(x)
axlimyLf(x)
axlim
entonces M
L
g(x)
f(x)
axlim
Ejemplo 5.
25
13
43x
12x
7xlim
Ejemplo 6.50
1
100
2
2x
3x
1x
5xlim
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6
Teorema 5.
Si Mg(x)ax
limyLf(x)ax
lim
entonces M
L
xg
f(x)ax
lim
Ejemplo 7. 481x
22x3x
lim
Ejemplo 8. 150114x
1-2x1xlim
xln= 0
Teorema 8.
n f(x)
ax
limnf(x)
ax
lim Lf(x)ax
lim
, donde para n par, L>0
Ejemplo 9. 4
342x
4x
5x
2xlim
Ejemplo 10.E2
5 342x4x5x95
1xlim
2.2. Clculo de lmites
Consideraremos lmites para los cuales nuestras propiedades de
los lmites no se aplican y no pueden evaluarse por sustitucin
directa. La tcnica consistir en realizar operaciones
algebraicas sobre f(x) de modo que obtengamos una forma en la
cual nuestras propiedades de los lmites puedan aplicarse.
2.2.1 Caso algebraico
Cuando las funciones que intervienen en los lmites son
algebraicas
Ms. Marilyn Delgado Bernu
7
Ejemplo 1. Calcular
7
49
lim
2
7
x
x
x
Solucin
7
492
7
x
x
xlim
=
14777
77
7
x
xlim
x
xx
xlim
Ejemplo 2. Calcular 12
1
1
x
x
xlim
Solucin
12
1
1
x
x
xlim
= 111
1
xx
x
xlim
= 2
1
1
1
1
xxlim
Ejemplo 3. Calcular 1
13
1
x
xlimx
Solucin
31
1
1
11
1
1
1
33 2133 23
3
1
3
1
xx
lim
xxx
xlim
x
xlim
xxx
Ejemplo 4. Calcular 4
24
2
34
2
x
xxlimx
Solucin
114
1212128
22
12632
4
2423
22
34
2
xx
xxxxlim
x
xxlim
xx
Ejemplo 5. Calcular
x
xx
x
4
12
lim16
Solucin
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8
734
34
1616
xlim
x
xxlim
xx.
Teorema 1. (Lmite Notable)
nx-
xlim
n
x
1
1
1 (*)
Ejemplo 6. Calcular 1
210
1
x
xxlimx
Solucin
Adecuando el lmite al lmite notable (*), tenemos
1
210
1
x
xxlimx = 1
1
1
1
1
11
1
10
1
10
1
x
xlim
x
xlim
x
xxlim
xxx
Por lo tanto 1
210
1
x
xxlimx =10+1=11
Ejemplo 7. Calcular 1
65lim
61
1
x
xx/
x
Solucin
Adecuando el lmite al lmite notable (*), tenemos
=10
Ms. Marilyn Delgado Bernu
9
1
65lim
61
1
x
xx/
x=
1
15
1
1
1
551
1
61
1
61
1 x
xlim
x
xlim
x
xxlim
x
/
x
/
x
Por lo tanto 6
315
6
1
1
6561
1
x
xxlim
/
x .
2.2.2 Caso trigonomtrico
Cuando las funciones que intervienen en estos lmites son
funciones trigonomtricas
Lmite Notable: 1
0
x
xSenlimx
TABLA DE EQUIVALENCIAS: cuando x0
senx x
tanx x
arcsenx x
arctanx x
1-cosx 2
2x
Ejemplo 8. Calcular x
xtanlimx
3
0
Solucin
Como tan3x= xCos
xSen
3
3
, entonces x
xtanlimx
3
0 =xCos.x
xSenlimx 3
3
0
Multiplicando por 3, tanto al numerador como al denominador,
para obtener el lmite notable x
xSenlimx 3
3
0 , resulta: xCos.x
xSenlimx 3
3
0 =
x Cos.x
x Senlimx 33
33
0=
xCoslimx 3
3
0 =3. Por lo tanto x
xtanlimx
3
0 = 3.
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10
Ejemplo 9. Calcular x
Cosxlimx
1
0
Solucin
x
Cosxlimx
1
0 =
Cosxx
CosxCosx
xlim
1
11
0= = Cosxx
xCoslimx
1
12
0 = Cosxx
Senx.Senx lim
Cosxx
xSenlim
xx
11 0
2
0
= 0
2
0
10
Cosx
xSenlimx
Ejemplo 10. Calcular xSen
xlimx
2
0
Solucin
xSen
xlimx
2
0 =
000
xxlim
x
xSen
xlimx
Ejemplo 11. Calcular xcot.xCscxlim
x222
0
Solucin
x cot.xCsc xlimx
222
0 = xx TanSen
xlimx 22
2
0=
4
1
2
2
24
2lim
0
x Tan
x.
x Sen
x
x
Por lo tanto
xcot.xCscxlimx
222
0 = 4
1
.
Ejemplo 12. Calcular xtan
xtanlimx 5
3
0
Solucin
Ms. Marilyn Delgado Bernu
11
xtan
xtanlimx 5
3
0 = x
xtan
x
xtan
limx 5
3
0
=
5
3
5
55
3
33
0
x
xtan
x
xtan
xlim
2.2.3 Caso exponencial
Cuando las funciones que intervienen en estos lmites son
funciones exponenciales.
En este caso, para simplificar las expresiones exponenciales
y logartmicas, es necesario aplicar la equivalencia dada,
teniendo en cuenta la tendencia de x hacia cero.
ax1+xlna
si x 0.
Ejemplo 13. Calcular xx
xx
limx 56
24
0
Solucin
Aplicando la equivalencia:
414 lnxx
212 lnxx
616 lnxx
515 lnxx
resulta
5
6
2
56
24
05161
2141
0ln
ln
)lnlnx(
)lnlnx(
xlim
)lnx(lnx
)lnx(lnxlimx
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12
Ejemplo 14. Calcular x
xsen x -
limx
12
0
Solucin
Aplicando la equivalencia para x4 y senx,, resulta:
x
ln-x x-
xlim
x
xsen x -
limx
121
0
12
0
x
)ln-x(lim
x
21
0
2ln1
Ejemplo 15. Calcular x
)x
(tanlimx
12
0
Solucin
Aplicando la equivalencia:
2ln12x
x
resulta
x
)ln(xtanlim
x
)lnx(tanlim
x
)x
(tanlim
xxx
212112
000
y por la equivalencia
22 lnx)ln(xtan
resulta
2212
00ln
x
lnxlim
x
)x
(tanlim
xx
Ejemplo 16. Calcular x
senx
limx
12
0
Solucin
Aplicando la equivalencia, resulta
Ms. Marilyn Delgado Bernu
13
x
senx
limx
12
0
= x
lnsen(x) limx
121
0
= ln2
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14
HOJA DE TRABAJO SESIN 1
I. Haciendo uso de la tabla de valores, hallar f(x)ax
lim
y f(a) en los puntos indicados.
1. f(x)= x-5, a=1 2. f(x)= 4x + 3, a=5
3. ,2x
2x)x(f
a=3 4.
3-x x,2
3-x,xf(x)
3 a=3
5.
5x; 2x
5x; x1
f(x) , a=5 6. ,1-
2x
3x2
xf(x)
2 a=4
7. ,1xf(x) a=3 8. f(x)=3-x+1, a=2 II. Para la funcin f(x), cuya grafica se da, encontrar el lmite indicado: .
7
2
f(x)5x
lim
= ........... f(x)5x
lim
= ............
III. Haciendo uso de los teoremas de lmites, resolver cada uno de los ejercicios dados:
1)
1x
13x2x
0xlim 2) 1x
2x
-2xlim
4
3) )2
x4
(x-4x
lim 100
4) 7)6)(x1)(x3x2
(x0x
lim
5) 5x
6x2x
3xlim
6) 43x 2xx
lim3x
7) 3
13x2
2x0x
lim
8) 72
2x1x
lim
9)
x cos
4x
5x
x
lim
2
10) 9cosxxtansenxlimx
11) 4)x2x(3sec0x
lim
5
5
6
4
5
5
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15
En los ejercicios 12-14, si 2
)x(flimax
y 5
)x(glimax
, encuentre los lmites indicados:
12) )x(g)x(flimax
3
13) )x(g)x(f
)x(g)x(flim
ax 4
63
14) 7
100 2)x(g)x(f
)x(f)x(glimax
IV. Eliminando las indeterminaciones, calcular los lmites
siguientes.
12
1442
12
x
xlim
x
7132
7152
2
2
2
1
xx
xxlim
x
123
19
2
2
31
xx
xlim
x
78
14194
2
23
7
x -x
xxxlimx
472
35
23
23
1
xxx
xxxlimx
34
23
5
4
1
xx
xxlimx
182773
42632234
2345
1
xxx-x
xx-xx-xlimx
12
2
53
1517
1 -xx
xxlimx
1
1
78
13
1
x
xlimx
Ms. Marilyn Delgado Bernu
16
Calcular los siguientes lmites:
1. 115
17
0
x
x
xlim
2. xlim
xx
x
289
0
3. 1
2121
1
x
xlim
x
x
4.
x
44
lim
xx
0x
5. xSen
xSenxSenlimx 2
76
0
6. x
xCosxCoslim
x
43
7. xSen
xSenxtanlimx
32
0