MATEMÁTICA II - 2014 EJE TEMATICO IV
UNIDAD 6 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Parte I: Funciones en R3
Parte II: Derivada ParcialParte III: Optimización
MSc. Prof. Graciela Gatica
ƒ
P(x,y)
Domf
x
y
Caso especial 2 var.indep.
z=f(x,y)
-3 -2 -1 0 1 2 3 z
z
Parte I: Funciones en R3
Funciones de 1 variable indep. y=f(x)Funciones de varias var. independ: z = ƒ(x,y,t,r,…)
Representación Gráfica de Puntos en el Espacio Tridimensional R 3 P0 = (1,5,3)
P1 = (-2,2,-4)
P2 = (3,-2,6)
P3 = (5,-7,-1)
P4 = (6,8,-3)
-3
-2
-1
512
3
y
-4
3
56
-7
-2
8
x
z
P0
P1
P2
P3
P4
Representación Gráfica de Planos en el Espacio Tridimensional R 3
xy
zS0: x = 0
S1: y = 0
x
z
y
Plano yz
Plano xz
S2: z = 0
x
z
y
Plano xy
S3: z
= 3
x
z
y
Plano paralelo al xy
3
Representación Gráfica de Superficies z = ƒ (x,y) en R 3
x
y
z
z0
z1
Im ƒ
(x1, y1)
(x1, y1, ƒ(x1, y1))
x1
y1
z = ƒ (x , y)
(x0, y0, ƒ(x0, y0))
(x0, y0)x0
y0
Dom ƒ ⊆ lR2
Curvas de Nivel de una superficie
Características:Los puntos de una misma curva de nivel tienen el mismo valor de z. Las curvas de nivel no se intersectan entre sí, caso contrario un punto (x,y) del dominio tendría más de una imagen z .
Las curvas de nivel de una superficie z=f(x,y) se obtienen intersectando dicha superficie con planos de ecuación z=k (k cte.) es decir: F(x,y) =k
y)f(x,z
Curvas de Nivel de una superficie
x
y
z
3
2
1
4
5
6
7
8
9
z = 1
z = 4
z = 9
-3
-2
-1
1
2
3y
-2 3-1 x-3 21
x2 + y2 = 9
x2 + y2 = 4
x2 + y2= 1
z = x2 + y2
z = k
Ejemplo: Obtener las curvas de nivel de z = x2 + y2
con planos z=k (k= 1, 4 , 9)
x2 + y2 =k
Aplicación a la función Costo Total: Líneas de Isocoste
Problema (Pág 121-guía): Empresario utiliza 2 medios de propaganda para promocionar sus productos
a= cantidad de veces que aparece el aviso en el medio A. b= cantidad de veces que aparece el aviso en el medio B .PA= $600 (precio de c/aviso en el medio A)PB= $300 (precio de c/aviso en el medio B)Costo fijo por la confección del aviso=$3.500Se pide:
Cada línea de isocoste representa una combinación de insumos o factores para obtener un nivel determinado de producción a un MISMO COSTO; o sea, combinaciones de insumos con costos iguales
Líneas de Isocoste 1º) Función Costo Total:
15.5003.500b300600a15.500CPara 1
12.00012.000
b12.000
300a
12.000600
12.000300b600a 140b
20a
155ba
255
180b
40a
3.500b300600ab)C(a,
20.0003.500b300600a20.000CPara 2
27.5003.500b300600a27.500CPara 3
2º) curvas de nivel de la función Costo Total :
Líneas de Isocoste
10
a20
30
40
50
10
20
30
40
50
60
70
80
b
ℂ1
ℂ2
ℂ3
Cuanto mayor es el costo total, la línea isocoste correspondiente se encuentra más alejada del origen de coordenadas
2300600
En cada línea de isocoste los puntos (x,y) representan las combinaciones de las cantidades de cada insumo entre las cuales los empresarios pueden optar, con el mismo nivel de gasto.La pendiente de las rectas de isocoste es igual a la razón de los precios de los insumos con signo negativo:
En el problema las curvas de nivel representan las combinaciones de cantidades a y b de avisos que se pueden hacer por un costo total determinado.3500b300a600)b,a(C
Aplicación a la función Utilidad u(q1,q2): Curvas de Indiferencia
Curva correspondiente a todas las combinaciones diferentes de cantidades q1,q2 para las cuáles el consumidor obtiene el mismo nivel de utilidad k.
Las curvas de indiferencias son decrecientes pues si aumenta el consumo de un bien disminuye el del otro para mantener constante la utilidad.
Al aumentar el valor de la función utilidad u , aumenta el nivel de satisfacción, las curvas se alejan del origen, aumentando las cantidades consumidas de ambos bienes.
Las curvas de indiferencias son convexas respecto al origen de coordenadas.
1
2
3
4
q2
1 2 3 4q1
k1
k2
k3
Hipérbolas equiláteras del Primer cuadrante
Curvas de IndiferenciaConsideremos el caso simplificado en que las adquisiciones de un consumidor están limitadas a dos artículos: u = q1.q2
En c/ curva los pares (q1,q2) representan las combinaciones que proporcionan = grado de satisfacción al consumidor.
Al aumentar u aumenta el nivel de satisfacción, las curvas se alejan del origen.
12 q
1q
12 q
2q
12 q
4q
Para K1=1Para K2=2
Para K3=4
1
2
3
4
q2
1 2 3 4q1
k1
k2
k3
Hipérbolas equiláteras del Primer cuadrante
Curvas de nivel: q1 . q2 =K
Aplicación a la función Producción q= q(x1,x2): Isocuantas
Curva correspondiente a todos las combinaciones de insumos variables x1 y x2 que proporcionan un mismo nivel de producción P0
La función de producción: q = q ( x1, x2 )Consideramos un proceso de producción en el que intervienen dos insumos variables x1 y x2 y el resto de los insumos fijos.
Estas curvas de nivel representan distintos niveles de producción.
Son convexas respecto al origen. Cuanta más distancia existe entre
el origen de coordenadas y la isocuanta, mayor es el producto que representa.
Se considera intervalo relevante de la curva aquel donde la pendiente es negativa, puesto que el intervalo de pendiente positiva indica un aumento en las cantidades de ambos insumos para el mismo nivel de producción.
x2
x1
Zona de Producción o Intervalo relevante
Parte II: Derivadas parciales
FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE
Sea z = ƒ (x , y) una función de 2 variables independientes, podemos obtener en cada punto P0:
Δx
y,xfyΔx;xfLímP
xz 0000
0Δx0
Δy
y,xfΔyy;xfLímP
yz 0000
0Δy0
Derivadas parciales
la derivada parcial de z con respecto a x en P0
la derivada parcial de z con respecto a y en P0
Cálculo de derivadas parciales. Reglas
Funciones CompuestasA) En z = ƒ ( x , y ) las variables x e y a su vez dependen de otra
z = ƒ ( x , y ) = ƒ ( x( t ) , y( t ) ) = F( t )
Derivada total de z con respecto a la variable t.
Derivada parcial de z con respecto a la variable x o y.
x = x ( t )
y = y ( t )e z
x t
y t
a)
b)
c)
Funciones Compuestas
x = x ( u , v)
y = y ( u , v)z = ƒ [ x ( u , v ), y ( u , v ) ] = F( u , v )
z tiene 2 derivadas parciales que se obtienen así:
( 1 )
( 3 )
( 2 )
( 4 )
z
y
xu
v
u
v
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
B) En z = ƒ ( x , y ) las variables x e y dependen de dos variables u y v:
Reglas Práctica para Calcular las Derivadas de Funciones CompuestasEsquema que parte de la variable dependiente de la función compuesta, de ella parten tantas flechas como variables independientes tenga, y de cada una de éstas hacemos lo mismo:
Todas las flechas terminan en una misma variable:
Las flechas terminan en más de una variable:
Derivada Total: z depende de una sola variable: v
Derivada Parcial: z depende de dos variables: t y v
yz
x v
uv
( 1 )
( 2 )v
t u v( 3 )
( 4 )( 2 )
u t
z
y
x
v
u
v
t
( 1 )
( 3 )
( 4 )
Derivadas Sucesivas para Funciones de dos Variables Independientes
derivada parcial segunda de z respecto a x dos veces. ∂ x
∂ z ∂ x ∂ x∂
2 z =
∂ x 2
∂ 2
z
∂ x ∂ y∂
2 z
derivada parcial segunda de z respecto a x y a y (derivada parcial cruzada)
∂ y 2
∂ 2
z
∂ y ∂ x∂
2 z
∂ y∂ z
∂ y ∂ y∂
2 z =
derivada parcial segunda de z respecto a y dos veces
derivada parcial segunda de z respecto a y y a x. (derivada parcial cruzada)
Sea z = ƒ(x ,y) una función de dos variables, obtenemos dos derivadas parciales y podemos volver a derivar cada una de ellas obteniendo las derivadas parciales segundas:
Derivadas Sucesivas para Funciones de dos Variables Independientes
∂ x 3
∂ 3
z
∂ x2 ∂ y
∂ 3
z ∂ y ∂ x∂
2 z
Estas derivadas parciales segundas a su vez también son funciones de x e y, entonces las podemos volver a derivar obteniendo las derivadas parciales terceras:
∂ x 2
∂ 2
z∂ x ∂ y∂
2 z
∂ x ∂ y2∂
3 z
∂ x ∂ y ∂
x
∂ 3
z∂ y ∂ x2∂
3 z
∂ y ∂ x ∂
y
∂ 3
z∂ y
3
∂ 3
z
∂ y2 ∂ x
∂ 3
z
∂ y 2
∂ 2
z
Si las derivadas parciales de z son continuas entonces las derivadas parciales segundas cruzadas son iguales
Propiedad : conmutabilidad de las derivadas segundas cruzadas
PARTE III OPTIMIZACION DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE
FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE
Máximo Absoluto
x
y
z
P0
x0
y0
πz
Ty
Tx
(x0 , y0 ,ƒ ( x0 , y0 ) )
z = ƒ ( x , y )
A = Dom ƒ
La función z= ƒ (x , y) presenta un máximo absoluto en el punto P0 = ( x0 , y0 ) ∈ Domf si y solo si para cualquier punto (x,y) del Domf se cumple que:
ƒ(x0 , y0) > ƒ (x , y)
Mínimo Absoluto
z = ƒ ( x , y )
(x0 , y0 ,ƒ ( x0 , y0 ) )
A = Dom ƒ
x0
y0
P0x
z
y
Ty
Tx
πz
La función z= ƒ(x ,y) presenta un mínimo absoluto en el punto P0 = ( x0 , y0 ) del Domf si y solo si para cualquier punto (x , y) del Domf se cumple que: ƒ (x0 , y0) < ƒ (x , y)
Máximos y Mínimos Relativos
x
zz = ƒ ( x , y )
A = Dom ƒE (P ; ઠ)
PP
y
x
zz = ƒ ( x , y )
A = Dom ƒE (P ; ઠ)
PP
y
P mínimo relativoP máximo relativo
P0 es un mínimo relativo de f si cumple:
ƒ (x0 ,y0)<ƒ (x,y) para todo punto de EP0 es un máximo relativo de f si cumple:
ƒ (x0 ,y0)>ƒ (x,y) para todo punto de E
El punto P0 = (x0,y0) ∈ E (P ; ઠ) entorno de P, radio delta
Puntos de Inflexión - Punto de Ensilladuracambio de concavidad de la curva
x
y
z
P0
x0
y0
Ty
z = ƒ ( x , y )
Tx
z0
x
y
zP4
P1
P3
P2
P5
P0 es punto de inflexión
P1 punto de ensilladuraP1 máximo en curva que une P2 P3P1 mínimo en curva que une P4 P5 f en P1 no presenta ni máximo ni mínimo
6.5.3.Determinación de Extremos (2 variables indep.)C. Necesaria: Si f presenta un extremo en P0 entonces
adicionalanálisisconclusiónNinguna0=)H(P
inflexión PuntoPenMín.niMáx.Ni0<)H(P
PenMínimo0>)(Pfy0>)H(P
PenMáximo0<)(Pfy0>)H(P
0
00
00xx0
00xx0
⇒⇒
⇒⇒
⇒
⇒
⇒
0=)(Pf=y
)f(P
0=)(Pf=x
)f(P
0y0
0x0
∂
∂∂
∂
real
PopuntoelencalculadoHessiano
N=
)(Pf)(Pf
)(Pf)(Pf
=)H(P
0yy0yx
0xy0xx
0
C. Suficiente: Signo del Hessiano (determinante calculado en el punto Po)
críticopuntoPoobtenemos
Ejemplo: Determinar los extremos ( con 2 var. indep.)
C.N.: resolver el sistema:
0=f
0=f
y
x
⇒
( ) ),(=Py0,0=P 31
31
21
-1=f;-1=f
6y=f;6x=f
Aux. . cálc
yxxy
yyxx yyyx
xyxx
ff
ff=PH
( ) ( ) 0<-1=0,0H=PH 1
( ) 0>3=),H(=PH 31
31
2
0>2=),(f 31
31
xx
xy-y+x=y)f(x, 33
C.S.: signo del Hessiano
No hay extremo en (0,0)
Hay mínimo en ),(=P 31
31
2
Y el valor mínimo de la función es 271
31
31 -=),f(
0=x-3y
0=y-3x
2
2
Obtenemos los puntos críticos:
1-36xy=6y1-
1-6x
Determinación de extremos (con 3 var. indep.)
inflex. de punto P0)(PHSi
Mín.P0>)(PH0>)(PH,0>)(PHSi
Máx.P0<)(PH0>)(PH,0<)(PHSi
002
0030201
0030201
⇒
⇒
⇒
y
y
0)(Pf=)(Pf=x
)f(P
0)(Pf=)(Pf=x
)f(P
0)(Pf=)(Pf=x
)f(P
030x3
0
020x2
0
010x1
0
3
2
1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
)(Pf)(Pf)(Pf
)(Pf)(Pf)(Pf
)(Pf)(Pf)(Pf
=)(PH
033032031
023022021
013012011
03
C. S. Para 3 variables independientes analizamos el Hessiano de orden 3 y de sus menores H1 y H2)
)(Pf)(Pf
)(Pf)(Pf=)(PH
022021
01201102
)(Pf=)(PH 01101
C.N.: resolver el sistema:
6.5.4. Generalización de CN y CS para funciones de n variables independientes
C.N.: las derivadas parciales de 1º orden en P0 deben ser nulas
0=)(Pfx,...,0=)(Pfx,0=)(Pfx on0201
C.S.: Se expresa a través del Hessiano de orden n y sus menores principales H1, H2, ..,Hn.
)(Pf=)(Pxfx)(PH 01101101 )(Pf)(Pf
)(Pf)(Pf)(PH
022021
01201102
)(Pf...)(Pf)(Pf
............
)(Pf...)(Pf)(Pf
)(Pf...)(Pf)(Pf
)(PH
0nn0n20n1
02n022021
01n012011
0n
0>H..........
;0>H;0>H
0;>H
n
3
2
1
0>H.(-1)
.........;0<H;0>H
0;<H
nn
3
2
1
6.5.4. Generalización de CN y CS para funciones de n variables independientes. Conclusiones:
f presenta un máximo en P0 si todos los menores principales alternan su signo siendo H1 negativo. Es decir:f presenta un mínimo en P0 si todos los menores principales son positivos. Es decir:
f presenta un punto de inflexión en P0 si H2 es negativo o cero. Es decir:
0)(PH 02
Problema de Aplicación: Extremos libres
Ejemplo 10: C(q1,q2,q3 ) es dato.
p1=12, p2=18 y p3=24 los precios de los bienes q1, q2 y q3
Determinar q1, q2 y q3 para lograr el Beneficio máximo.
C ( q1 , q2 , q3 ) = 2q12 + q1 . q2 + 2q2
2 + 3q32 + 4
I ( q1 , q2 , q3 ) = p1 . q1 + p2 . q2 + p3 . q3 = 12 q1 + 18 q2 + 24 q3
ℬ ( q1 , q2 , q3 ) = 12 q1 + 18 q2 + 24 q3 - 2q12 - q1 . q2 - 2q2
2 - 3q32 - 4
C.N.:
ℬq1 = ℬ1 = 12 - 4q1 - q2 = 0 ( 1 )ℬq2= ℬ2 = 18 - q1 - 4q2 = 0 ( 2 )
ℬq3 = ℬ3 = 24 - 6q3 = 0
∴ P0 = ( q1 , q2 , q3 ) = (2, 4, 4)
ℬ (P0) = 92
( 3 )
Ejemplo 10C.S.: Hessiano de orden 3 y sus menores principales H1, H2 y H3 (ver 6.5.4)
Conclusión: Como los menores del Hessiano alternan sus signos comenzando por H1 negativo, H2>0 y H3<0, el Beneficio es MÁXIMO para 2 unidades producidas de q1 , 4 de q2 y 4 de q3,, y alcanza a $ 92 su valor mayor.
Problema de Aplicación: Extremos Libres
-4(2,4,4)B=)(PH 1101
906)(96
60 0
0 41
0 14
)0(P33B)0(P32B)0(P31B
)0(P23B)0(P22B)0(P21B
)0(P13B)0(P12B)0(P11B
=)0(P3H
1511641
14
22B21B12B11B
=)0(P2H
(2,4,4))q,q,(qP 3210
36q- 243B24q-1q -182B2q -14q-121B
:cordarRe
Extremos condicionados
restricción ഴ (x , y)
x
y
z
z = ƒ ( x , y )
Máximo libre
P0P1 Máximo restringido
Dom ƒ
MAXIMO LIBRE: mayor valor que toma la función sobre todo su dominio MÁXIMO RESTRINGIDO: mayor valor que toma la función sobre la curva de intersección entre superficies z=f(x,y) y la restricción ഴ (x , y)
Para determinar los extremos de una superficie z=f(x,y) que está condicionada a la función (x,y)=0 utilizamos el Método de los multiplicadores de Lagrange
Función Restricción:
C.N. de extremos: Resolvemos el sistema
6.5.5. Extremos condicionados
Función auxiliar: y)(x,λ.+y) f(x,=λ)y,L(x,
0y)(x, =λ)y,(x,L
0y)(x,λ.+y)(x, f=λ)y,(x,L0y)(x,λ.+y)(x, f=λ)y,(x,L
λ
yyy
xxx
)λ,z,y,(xP:críticopto.
00000
0y)(x,
)(PL)(PL)(PL)(PL)(PL)(PL)(PL)(PL)(PL
)(PH0λλ0λy0λx
0yλ0yy0yx
0xλ0xy0xx
02
6.5.5. Extremos condicionados
C.S.: construimos el Hessiano ampliado
0y)(x,adocondicionaP en máx. tienef0)(PHSi 002
0y)(x,adocondicionaP en mín. tienef0)(PHSi 002
Conclusión:
Ejemplo 11: Maximización de la utilidad con restricción presupuestaria - Aplicación Extremos condicionados
C.N.extremos:
LagrangedeFunción)x,(xλ.+)x,U(x =λ),x,L(x 212121
60)-2x(4xλx2+xx =λ),x,L(x 2112121
060-2x4x =L
0λ2+xL =L
04λ2+xL =L
21λ
12x
21x
2
1(1)
42)-(x
=λ 2 2
x-4
2)(x-(2)y(1)Igualando
12
(3)12
xx 2
1
UtilidadFunción2x.xx)x,U(x 12121
nrestricció060-2x4xx2)(x1, 21
(2)2x-
=λ 1
602x42x 220602x12
x4
:Len(3)Reemplazo
22
λ
812
14x
:(3)enxReemplazo
1
20
8x01
-4λ0
060-2x4x =L 21λ
2-8
=λ:(2)enxReemplazo01
14x02
:Uen4)(8,14,)λ,x,(xP Reemplazo 0210 00
)λ,x,L(x12882.148. =)x,U(xU 021210 0000
(3)12
xx 2
1
Extremos Condicionados (Ej. 11 continúa)
(2)2
-x =λ 1
L funcióndecrítico punto
4)(8,14,λ,x,(xP 0210 00 )
Ejemplo 11: (continúa)
C.S.: calcular las derivadas segundas para obtener el Hessiano ampliado
Conclusión: La Utilidad es Máxima para 8 unidades consumidas de x1, 14 de x2 , con un gasto total de $60 como establece la restricción y un nivel de Utilidad de $ 128.
L de máx.Po016024201410
)0(PλλL)0(Pλ2L)0(Pλ1L)0(P2λL)0(P22L)0(P21L)0(P1λL)0(P12L)0(P11L
)0(P2H
60-22x14x =λL
λ2+1x2L
4λ2+2x1L
:Recordar
Ldecrítico4)(8,14,P0
(8,14))x (x en máximo tieneU 0,1 02 12882.148. =U(8,14)
Fin Unidad 6- Eje Temático IV
Fin de la Asignatura MATEMÁTICA II - 2014
La cátedra les desea muchos éxitos !!
Prof. Titular: MSc. Graciela Gatica de Aldalla
Prof. Adjunta: Lic. Flavia ZalazarJefe de T. Prácticos: Lic. Carina
MurcianoAyudante: Matías Silva