Walter Orlando Gonzales Caicedo
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MATEMÁTICA
Gonzales Caicedo Walter Orlando
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INTRODUCCIÓN
El presente modulo está elaborado para el desarrollo del curso de Matemática.
Su finalidad es servir como primera referencia a los estudiantes que se preparan para
la vida profesional y que en el primer ciclo de las diferentes carreras profesionales
llevan el curso de Matemática Básica.
En la temática se han abordado los temas, como son: Lógica proposicional, relaciones
y funciones.
A lo largo de la historia ha sido una preocupación de los matemáticos, o de los
encargados de llevar registros y cuentas, resolver situaciones que implican conocer
una o más incógnitas. Existen referencias a métodos de resolución desde los años 200
a.c en la China, sin embargo, la teoría tal como la conocemos actualmente ha surgido
muy posteriormente consolidándose en los siglos XVIII, XIX y XX.
Esperamos este material se enriquezca permanentemente con el aporte de los
estudiantes y docentes.
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LÓGICA PROPOSICIONAL
LÓGICA PROPOSICIONAL
DEFINICIONES BÁSICAS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
1.1 Enunciados y Valor de Verdad
La lógica es la rama del conocimiento que trata los modelos de razonamiento,
mediante reglas y técnicas, con el fin de determinar si un argumento dado es válido. El
tema que nos ocupa es el de la lógica usada en matemáticas. Aquí trabajamos con
elementos básicos llamados Proposiciones.
1.1.1. Enunciado: Es toda expresión lingüística, que constituye una frase u oración.
1.1.2. Proposición: Enunciado que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la
vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. La
verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor de verdad.
Ejemplos:
Son proposiciones lógicas:
a) Las fórmulas científicas ya demostradas. Así como: 222 b2aba b) (a ; a, b R
b) Las leyes o hipótesis científicas aceptadas. Así como:
―Todo cuerpo ejerce una fuerza de atracción sobre otro‖
c) Los enunciados cerrados o definidos. Así como:
+ + = 180°; si , y = s internos de un mismo triángulo.
x + y = 50; si x = 10, y = 30
No son proposiciones lógicas:
a) Las creencias, mitos o leyendas. Así como:
―Dios es un ser misericordioso‖
―Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol‖
b) Las metáforas o refranes. Así como:
―El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro‖
―Has el bien, sin mirar a quién‖
c) Las supersticiones. Así como:
―Hoy día me irá muy mal por ser Martes 13‖
―Pase por debajo de una escalera‖
1.1.3. Clases de Proposiciones
1.1.3.1. Proposiciones Simples o Atómicas o no Estructurales: Carecen de
conector lógico, y pueden ser:
A. Predicativas: Cuando se le atribuye alguna cualidad al sujeto (utiliza el
verbo SER en cualquiera de sus tiempos).
Ejemplos:
Chiclayo es una provincia calurosa.
Freud tenía inclinación por la matemática.
B. Relacionales: Cuando se compara un sujeto con otro mediante una relación
que puede ser de orden, tiempo, espacio, parentesco, acción, etc.
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Ejemplos:
La selección peruana de futbol jugó un partido intenso con su similar de
Brasil.
Relación de acción.
Vallejo con Mariátegui fueron contemporáneos.
Relación de tiempo.
1.1.3.2. Proposiciones Compuestas o Moleculares (Coligativas): Se caracterizan
principalmente porque poseen conectores lógicos.
Ejemplos:
Lima está al sur de Chiclayo o al norte de Ica.
Los restos del Señor de Sipán fueron descubiertos por el arqueólogo Marco
1.1.4. Valor de Verdad: A la verdad (V) o a la falsedad (F) de una proposición se le
llama valor de verdad y se denota por:
V (p) = V; V (p) = F
Ejemplos:
p: ( x R) (x2 + 1 = 0); se tiene que: V (p) = F
q: ―Cero es un número real‖; se tiene que: V (q) = V
ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN
1. Indica si las siguientes expresiones, son enunciados, proposiciones simples
o proposiciones compuestas.
1. La guerra y la paz.
2. 17 x = 2x + 75
3. x > y – 9
4. Chimbote está entre Trujillo y Casma.
5. El hombre es un ser racional.
6. Cualquier canario es ovíparo.
7. Steffany estudia en Universidad Señor de Sipán.
8. Francisco Bolognesi murió en Arica.
9. Celeste trabaja en Lambayeque.
10. Juan Carlos es italiano.
2. Indica si las siguientes expresiones son proposiciones compuestas. Explique.
¿Por qué?
1. La tierra es el planeta azul sin embargo el sol es un astro que tiene luz propia.
2. Los dragones tenían respiración branquial.
3. Si en el planeta Marte hay atmósfera, entonces la lluvia es oscura.
4. La crisis mundial es un fenómeno económico sin embargo es controlable si todos
los países desarrollados apoyan a los de economías débiles.
5. Blanca Nieve amo a sus siete enanos.
3. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones
1. Ama a tu prójimo como a ti mismo.
2. Extensa selva cálida.
3. Existe al menos un habitante en la luna.
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4. 300 +250 = 750
5. No es cierto que el Amazonas es un río.
ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN
1. Indica si las siguientes expresiones, son enunciados, proposiciones simples
o proposiciones compuestas.
1. Hay reptiles que son carnívoros.
2. Muchos deportistas son peruanos y bolivianos.
3. La inflación peruana en el 2009 será menor a 4%.
4. Es probable que la suma de dos números sea menor a 20.
5. Es posible que la selección clasifique al mundial 2010.
6. Mancora es una playa norteña que tiene bastante acogida por los turistas
nacionales.
7. El oro es un metal sólido cuyo símbolo según la tabla periódica es Ag.
8. El pasaje urbano cuesta 1,20 soles a pesar que la gasolina ha bajado su precio.
9. Alejandro Toledo fue el presidente del Perú.
10. Cristóbal Colón descubrió el continente Americano y fue de nacionalidad
italiana.
2. Indica si las siguientes expresiones son proposiciones compuestas. Explique.
¿Por qué?
1. Chocano fue un poeta español sin embargo vivió en Cajamarca.
2. El bosque de Pómac es uno de los más importantes de Piura sin embargo Huaca
Rajada es reconocido a nivel internacional.
3. El número 16 es divisible por 4 si y solo si tiene raíz cuadrada.
4. Chiclayo es una ciudad calurosa y acogedora.
5. Ana y Bruno estudian música en el Conservatorio.
3. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones
1. Ningún Diplomático es extremista.
2. El oro es maleable sin embargo el acero es inoxidable.
3. Ama a tu prójimo como a ti mismo.
4. No es cierto que el Amazonas es un río.
5. El creador de la Relatividad fue americano.
SIMBOLIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES
2.1. Notación Proposicional
Según los datos históricos, Aristóteles introdujo las letras como: p, q, r, etc., con
la finalidad de representar a cada proposición declarativa. Las variables
proposicionales sólo pueden asumir los valores de verdad (V) o falsedad (F).
Así tenemos:
Para dos proposiciones: p, q se tiene la siguiente tabla de verdad:
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2.2. Conectivos Lógicos
Se denominan conectivos lógicos a aquellas palabras o términos funcionales que
ligan, juntan, unen o enlazan las proposiciones simples formando proposiciones
compuestas. Los operadores o conectores básicos son:
CONECTIVO SÍMBOLO NOMBRE DE LA PROPOSICIÓN
No ~ Negación
Y ^ Conjunción
o Disyuntiva inclusiva
o. . . o. . . Disyuntiva exclusiva
Si… entonces... Condicional
…si y sólo si … Bicondicional
2.2.1. Negación (~): Es un conectivo singular. Se denomina proposición negativa
aquella que cambia el valor de la proposición original. Se denota por: ~p, -p, p
y se lee: ―no p‖. Existen dos tipos de negadores:
La negación, puede traducirse como:
No es cierto que ... Nadie que sea ... Jamás ...
Es falso que... No es el caso que ... Es inconcebible que...
Nunca ... No es verdad que Es imposible que ...
No ocurre que... Es absurdo que Es erróneo que ...
Es mentira que ... No acaece que... De ningún modo …
No es el caso que… Es inadmisible que… Es incierto que…
Es refutable que… Es falaz que… En modo alguno…
Ejemplos:
p : La luna es de queso.
~p : La luna no es de queso.
Su tabla de verdad es como sigue:
p ~p
V F
F V
2.2.2. Conjunción: Dadas las proposiciones ―p‖, ―q‖. La conjunción es el resultado de
unir estas proposiciones con el conectivo lógico ―y‖. Se denota con el símbolo:
― ‖, ― ‖, se escribe ―p q‖, ―p q‖ y se lee: ―p y q‖. La proposición conjuntiva es
p q .. p q ..
V V 1 1
V F ó 1 0
F V 0 1
F F 0 0
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verdadera. Cuando las dos proposiciones son verdaderas. En nuestro lenguaje
podemos emplear:
Ejemplo:
Consideremos las siguientes proposiciones:
p: ―La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanque‖
q: ―Tiene corriente la batería‖
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología
lógica queda indicado por:
p q: ―La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene
corriente la batería‖
Su tabla de verdad es como sigue:
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
2.2.3. Disyunción: Es una proposición compuesta formada por ―p‖ y por ―q‖
relacionadas por el conectivo lógico ―o‖. Según el sentido del conectivo ―o‖, se
puede interpretar de dos maneras: inclusiva o exclusiva.
2.2.3.1. Disyunción Inclusiva o Débil: Se denota por ―p q‖, ―p + q‖ y se lee: ―p o
q‖. La disyunción inclusiva es falsa sólo en el caso que ambas proporciones
sean falsas. Se conoce como la suma lógica. Otras formas de conexión que
nos indican una disyunción inclusiva son:
A menos que O en todo caso
Excepto que O también
Salvo que O incluso
A no ser que O bien
Y bien o también Al menos uno de los dos …. o ….
O sino Alternativamente
Ejemplo: Consideremos:
p: ―La Universidad Señor de Sipán es privada‖
Pero Aún cuando No obstante
Sin embargo Al igual que Aunque
Además Tanto …. como …. Más aún
A la vez Siempre ambos…. con….. También
Incluso No sólo….sino también…. Es compatible con
Así como A pesar de Así mismo
Del mismo modo ….con …. los dos a la vez De la misma forma que
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q: ―La Universidad Señor de Sipán es estatal‖
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando
simbología lógica queda indicado por:
p q: ―La Universidad Señor de Sipán es privada o en todo caso la
Universidad Señor de Sipán es estatal‖
Su tabla de verdad es como sigue:
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
2.2.3.2. Disyunción Exclusiva o Fuerte: Se denota por: ―p q‖, ―p V q‖, ―p q‖, ―p
q‖, ―p q‖ y se lee: ―p o q‖ pero no ambos. La disyunción exclusiva es
verdadera sólo cuando una de las proposiciones es verdadera. Alguna formas
de conectivos a emplear son:
O ... o ... ... no equivale a ...
O bien ... o bien ... No es cierto que...equivale a...
No es equivalente ... con ... O solo .... o solo ....
....a menos que solamente... ...salvo que únicamente...
....excepto que sólo.... ....o bien necesariamente....
....o exclusivamente.... ....no es idéntico a....
....no es lo mismo que... Salvo que .... o ....
Ejemplo: Consideremos:
p: ―viajo a España‖
q: ―viajo a Brasil‖
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando
simbología lógica queda indicado por:
p q: ―O viajo a España o viajo a Brasil‖
Por lo tanto su tabla de verdad es:
2.2.4. Condicional: Proposición compuesta que resulta de la combinación de dos
proposiciones simples, a través del conectivo: ―Si ..., entonces ...‖ y su símbolo
es : ― ‖, ― ‖. La notación ―p q‖, ―p q‖ se lee ―Si p , entonces q‖ ; proposición
―p‖ se llama antecedente o hipótesis y la proposición ―q‖ se llama consecuente o
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
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conclusión. La manera de expresar la condicional en el orden antecedente-
consecuente (―p q‖ Implicación directa), son las siguientes:
Si p, entonces q p por tanto q
Siempre que p entonces q p por consiguiente q
p es suficiente para q p por ende q
p implica q p por conclusión q
Ya que p bien se ve que q Dado que p por eso q
En cuanto p por tanto q Porque p por eso q
Puede también expresarse en el orden consecuente-antecedente (―q p‖
Implicación inversa), son:
Ejemplo: consideremos:
p: ―Llueva‖
q: ―Mejorarán las cosechas‖
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología
lógica queda indicado por:
p q: ―Siempre que llueva entonces mejoraran las cosechas‖
q p: ―Mejoraran las cosechas siempre que llueva‖
Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:
2.2.5. Bicondicional: Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo lógico
―... si y sólo si ...‖, cuyo símbolo es: ― ‖, ― ‖, ― ‖. La proposición compuesta se
denota por: ―p q‖, ―p q‖, ―p q‖ y se lee: ―p si y sólo si q‖. La proposición
bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas
verdaderas.
q si p q es implicada para p q de modo que p
q siempre que p q cada vez que p q puesto que p
q es necesario para p q en vista que p q porque p
Sólo si p, q Sólo cuando p, q Solamente porque p, q
q dado que p q ya que p q cada vez que p
q a condición de que p q dado que p q se concluye de p
q supone que p q sigue de p Únicamente si p, q
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
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También se suele emplear expresiones como:
Ejemplo: Consideremos:
p: ―Los cuerpos chocan‖
q: ―Existe una fuerza que los atrae‖
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología
lógica queda indicado por:
p q: ―Los cuerpos chocan porque y solo porque existe una fuerza que los
atrae‖.
Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:
2.3. Valoración de las Proposiciones
Hasta el momento hemos conocido la simbolización de las proposiciones tanto
atómicas como las proposiciones moleculares. Para determinar los valores de verdad a
las segundas, es necesario tener en cuenta las tablas de verdad de las proposiciones
atómicas ya que, sólo ellas pueden recibir directamente los valores de verdad.
Considere los siguientes ejemplos:
a) Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces el número N es par o la
salida va a la pantalla.
Tenemos las proposiciones:
p: ―Los resultados se dirigen a la impresora‖
q: ―El número N es par‖
r: ―La salida va a la pantalla‖
Se simboliza:
p (q r)
Luego: como se puede observar se tiene 3 proposiciones simples, es decir que
para este caso se tiene: 23 = 8 asignaciones posibles para los valores de verdad
en total.
…siempre y cuando… Es suficiente para que suficiente sea
…es equivalente a… Es condición necesaria y suficiente para
…es lo mismo que… …por lo cual y según lo cual…
…cuando y sólo cuando… …cada vez que y sólo si…
Si y sólo si p, q …si de la forma…
…siempre que y sólo cuando… …implica y está implicado por…
…es idéntico a… Siempre que … y siempre que …
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
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La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:
(1) (3) (2)
Se observa que en la columna (1) se tienen los valores de la proposición ―p‖, en
la columna (2) los valores de la disyunción inclusiva y en la columna (3) el
resultado del esquema molecular inicial
b) Siempre que salga el sol entonces iremos a la playa, sin embargo sale el sol.
Por tanto iremos a la playa.
Tenemos las proposiciones:
p: ―Sale el sol‖
q: ―Iremos a la playa‖
Se simboliza:
(p q) p q
La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:
c) La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos pero los
analistas en economía buscan soluciones, a pesar de que la crisis mundial no
afecta a los países de bajos recursos.
Tenemos las proposiciones:
p: ―La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos‖
q: ―Los analistas en economía buscan soluciones‖
p: ―La crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos
económicos‖
Se simboliza:
(p q) p
La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:
p q r p (q r)
V V V V V V
V V F V V V
V F V V V V
V F F V F F
F V V F V V
F V F F V V
F F V F V V
F F F F V F
p q (p q) p q
V V V V V V V
V F F F V V F
F V V F F V V
F F V F F V F
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Como podemos apreciar las proposiciones, las expresamos en forma simbólica; a
su vez que podemos encontrar sus valores de verdad. Con el fin de diferenciar los
valores resultados de las expresiones, se definen los siguientes conceptos:
2.4.1. Tautología: Una expresión es tautológica, cuando los valores de su conectivo
principal resultan ser verdaderos, para todas las asignaciones posibles de la
tabla de verdad. Ver ejemplo (b).
2.4.2. Contradicción: La expresión resulta ser una contradicción, cuando los valores
de su conectivo principal resultan ser falsos, para todas las asignaciones
posibles de la tabla de verdad. Ver ejemplo (c).
2.4.3. Contingencia: Aquella expresión, que en su conectivo principal resulten valores
verdaderos y falsos a la vez, para todas las posibles asignaciones de la tabla de
verdad. Ver ejemplo (a).
ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN
1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1. Los restos del Señor de Sipán fueron descubiertos en 1989 sin embargo su
museo de sitio fue inaugurado en febrero del 2009.
2. Qy 222
3. Miguel Grau nació en Piura, no obstante es chileno.
4. 3/7 es un número par o impar.
5. Cajamarca es una ciudad minera por excelencia de modo que invertir en
minería es la mejor opción.
6. O estudias o trabajas.
7. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no
tengo que ir a trabajar.
8. La producción de mango es buena, me hare millonario. Si me hago millonario,
dormiré plácidamente.
9. La suma de dos números impares es igual a otro número impar no es lo mismo
decir que la suma de dos números pares es otro número impar.
10. Perú así como Ecuador son países demócratas.
2. Escribe en forma simbólica, identificando cada una de las proposiciones
atómicas que aparezca en las afirmaciones siguientes:
1. Si Anabel esta en el cine, entonces Raquel debe estar en el cine también.
2. El asaltante se escapó en un carro rojo o azul.
3. Los resultados del análisis médico no son buenos.
p q (p q) p
V V V F F
V F F F F
F V F F V
F F F F V
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4. Estarás a tiempo sólo si te da prisa.
5. Él vendrá si tiene tiempo.
6. Si ella estaba allí, entonces debió haberlo oído.
7. Es un día agradable si está soleado, pero sólo si no hace calor.
8. María es alta, pero Jaime es pequeño y ágil.
9. Si x es mayor que y, y es mayor que z, entonces x es mayor que z.
10. Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz,
entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y
pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado.
3. Formaliza cada una de las siguientes proposiciones, luego construye su tabla
de verdad.
1. Estudiar y trabajar es condición suficiente para ser responsable y admirado por
aquellos que nos saben valorar.
2. Ellos son actores, a menos que cantores. Si Paola canta, Liz baila y Marcelo
recita.
3. La computadora es compatible con la impresora así como con el programa;
entonces, el precio de venta es cómodo o financiable.
4. O bien el SIDA afecta a las defensas del cuerpo o bien afecta al corazón; pero
no es el caso que afecte al corazón del mismo modo al sistema nervioso.
5. Sólo si los gusanos son invertebrados, las arañas también lo son; a no ser que,
los peces son vertebrados al igual que los batracios.
6. Es falso que sea indisciplinado y ocioso, porque estudio en la Universidad, pero
soy ocioso; en consecuencia nunca seré profesional.
7. Es suficiente que sea necesaria la matemática para la física, para que el
avance científico no quede estancado.
8. Es falso que si se administra teniendo en cuenta los principios directrices un
negocio entonces este tiene muchas posibilidades de crecer en el futuro.
9. Si un hombre es honrado, no tiene problemas personales. Este hombre no
tiene problemas. En consecuencia, es honrado pero no tiene dinero y esto lo
hace podre.
10. Es falso que si Vallejo es poeta, entonces Arguedas lo es también.
11. Sin excepción se da que, la suma de los ángulos internos de un triángulo es
180° es equivalente a la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero
regular.
12. El abogado no es justo ni competente, a condición de que es falso que no
haya consultado con los peritos sobre la cotización del inmueble embargado.
13. Cuando la producción de una empresa aumenta, en consecuencia aumenta la
productividad y en algunos casos la demanda.
14. Es inobjetable que, una condición suficiente para que los países europeos
tengan baja inflación por lo tanto estabilidad económica, es que sus gobiernos
tienen programas estratégicos de crecimiento así como modelos económicos.
15. Subirán los intereses bancarios porque subirá la cotización del dólar, en vista
de que, subirá la cotización del dólar solo si el gobierno no puede controlar la
inflación.
4. Construye la tabla de verdad para cada una de los siguientes esquemas
moleculares, y determina si es: tautología, contradicción o contingencia.
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1. (p q) (p q) (p q) (q p)
2. p (q r) q (p r) (p q) r
3. p q) ( p r) ( r q) r
4. (p q) ( p q)
5. q (r s)
6. (p q) (p q)
7. (p q) (q p)
8. ~[~(p q) ~ q] p
9. [(p q) ~ p] (~ q p)
10. [(p q) (p ~ q)] (~ p ~q)
5. A continuación se presenta una serie de ejercicios en la cual se especifica lo
siguiente:
1. Si p es una proposición falsa, determinar el valor de verdad de:
(p r) r ( q p) (p q)
2. Si (p s) (r s) (q s) es Falsa. Determine los valores de verdad
de:
a) p q
b) r s
c) r s
d) (p q) r
3. Si (p ( s q)) (r q) es verdadera. Determine los valores de verdad
de:
a) (r p) (q s)
b) r s
c) r q
4. Se define la siguiente operación p * q = q p, hallar la diferencia entre el
número de V y el número de F de la matriz principal de: [ (p * r) (r * p)]
5. Determinar el valor de verdad de la proposición molecular [(p q) p] (r
p) sabiendo que p es verdadera, q y r falsas. Hallar su valor de verdad.
6. Si la proposición (p q) ( r s) es falsa, deduzca el valor de verdad de los
esquemas moleculares:
a) ( p q) p
b) (p q) [(p q) q]
c) ( r q) [( q r) s]
7. Si p y r son dos proposiciones cualesquiera y q: ―2 es número impar‖, y [(r q)
(r p)] es verdadera entonces el valor de verdad de los siguientes esquemas
moleculares es:
a) r ( p q)
b) [r (p q)] (q p)
ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN
1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
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1. Dado que la luna es un satélite por lo cual gira alrededor de la tierra.
2. Perú y Ecuador se pondrán de acuerdo salvo que intervenga EE.UU.
3. Las aves poseen pico excepto que también alas, pero no ocurre que sean
animales acuáticos.
4. Eres campeón o subcampeón.
5. Este año viajaré al extranjero salvo que sólo viaje a Lima.
6. A menos que solamente seas Ingeniero, serás matemático.
7. Un numero es positivo si y sólo si es mayor que cero
8. Barack Obama es el primer presidente de raza negra de los Estados Unidos es
suficiente para que sea admirado por todo el mundo.
9. El 18 de abril celebraremos el aniversario de Chiclayo o la caída del muro de
Berlín.
2. Escribe en forma simbólica, identificando cada una de las proposiciones
atómicas que aparezca en las afirmaciones siguientes:
1. Esta fiesta es muy divertida y la música es muy buena, por lo cual y según lo
cual todos la pasaron de maravilla.
2. No es cierto que no me guste bailar.
3. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción, más aún si la música es
merengue a no ser que no baile.
4. Alberto es feliz si y sólo si es rico.
5. Si la liebre está alerta y es rápida, ni el zorro ni el lince podrán atraparla.
6. Si no estoy equivocado, ella conducía un carro rojo, y había un hombre sentado
a su lado.
7. Podemos o bien tratar de obtener la aprobación del préstamo y comprar la casa
o bien esperar a ver si llegamos a un mejor acuerdo.
8. Si no te vas, llamaré a la policía.
9. Dos niños tienen los mismos si y sólo si tienen la misma madre y el mismo
padre.
3. Construye la tabla de verdad para cada una de los siguientes esquemas
moleculares, y determina si es: tautología, contradicción o contingencia.
1. [~(p q) ~r] (~p q) ~r s
2. [p (q r)] ~(p q) (r s)
3. [~(p q) ~r] (q ~p) (r ~s)
4. (p r) (~q s)
5. p [q (r ~p)] (q ~s)
6. ~(~p ~q)
7. ~(~p ~q)
8. [~p (~q r)] (q r) (p r)
9. [(p q) r] (p q) r
10. (p q) (~p q)] (p ~q) (~p ~q)
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EQUIVALENCIAS E IMPLICACIONES NOTABLES
Ejemplos: a) Consideremos las proposiciones atómicas:
p: ―El trabajo de lógico matemática está bien escrito‖
q: ―El trabajo de lógico matemática está bien documentado‖
Tenemos:
El trabajo de lógico matemática está bien escrito y bien documentado.
Su esquema molecular es: (p q)
El trabajo de lógico matemática está bien documentado y bien escrito.
Su esquema molecular es: (q p)
Los dos esquemas moleculares anteriores son lógicamente equivalentes, es decir:
(p q) (q p)
Los dos esquemas moleculares anteriores son lógicamente equivalentes, es decir:
( p q) (q p)
Demostrar los resultados obtenidos en las tablas de verdad.
¿Qué puedes afirmar de esas comparaciones? ¿Se podría decir que son iguales?, o
¿De qué otra manera puedes expresarlas?
De lo hallado y observado en las tablas de verdad, afirmamos:
3.1. Definición de Equivalencia Lógica
Decimos que dos expresiones lógicas son equivalentes si y sólo si tienen siempre
los mismos valores de verdad. Es decir, A es lógicamente equivalente a B, si la
compuesta A B es una tautología.
La equivalencia, la simbolizamos por ― ‖ o también por ― ‖
Ejemplos:
a) Demostrar si los siguientes esquemas moleculares son equivalentes, es decir:
p q p q
Solución:
Tenemos:
p q p q p q
V V V V V
V F F V F
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Por tanto se observa que los dos esquemas son equivalentes, es decir: p q
p q
b) Demostrar si los siguientes esquemas moleculares son equivalentes, es decir:
p q (p q)
Solución:
Tenemos:
Por tanto se observa que los dos esquemas son equivalentes, es decir: p q
(p q)
Mediante éstas tablas de verdad, comprobamos que en la equivalencia de
esquemas moleculares proposicionales, podemos emplear la Bicondicional tautológica.
Para mayor comodidad utilizaremos el símbolo: ― ‖
3.2. Leyes de la Equivalencia Lógica
Estas leyes tienen como conectivo principal una bicondicional lo cual nos indica
que los enunciados enlazados son lógicamente equivalentes. Las leyes de
equivalencia más conocidas son:
3.2.1. Ley de la Doble Negación: p p
3.2.2. Ley de Idempotencia de la Conjunción y la Disyunción:
p p p
p p p
3.2.3. Leyes Conmutativas:
p q q p
p q q p
p q q p
3.2.4. Leyes Asociativas:
(p q) r p (q r)
(p q) r p (q r)
F V V V V
F F V V V
p q p q (p q)
V V F V F V
V F F V F V
F V F V F V
F F V V V F
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(p q) r p (q r)
3.2.5. Leyes Distributivas:
p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
3.2.6. Leyes de Identidad:
p V p p F p
p F F p V V
3.2.7. Leyes de D`Morgan:
(p q) ( p q)
(p q) ( p q)
3.2.8. Leyes de la Absorción:
p (p q) p
p ( p q) p q
p (p q) p
p ( p q) p q
3.2.9. Leyes del Condicional:
p q p q
(p q) p q
3.2.10. Leyes del Bicondicional:
p q (p q) (q p)
p q (p q) ( p q) (p q)
3.2.11. Leyes de Contraposición:
p q q p
p q q p
3.2.12. Leyes de Exportación:
(p q) r p (q r)
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3.2.13. Ley del Tercio Excluido:
p p V
3.2.14. Ley de la Contradicción:
p p F
3.2.15. Reducción al Absurdo:
p q (p q) F
3.3. Observación:
Estas leyes pueden ser empleadas para verificar la equivalencia entre esquemas
moleculares o también para simplificar un esquema molecular relativamente complejo
a uno más pequeño o reducido. Y para simplificar es necesario transformar los
conectivos a disyunción o conjunción, ya que se hace más fácil trabajar.
Ejemplos:
a) Simplificar: (p q) ( q p)] p
Tenemos:
( p q) ( q p)] p Condicional
( p q) ( q p)] p Morgan
{p q ( q p) p Doble negación
(p q) p Absorción
p (p q) Conmutativa
p Absorción
Luego: (p q) ( q p)] p p
b) Simplificar el esquema: (p q) ( p q)
Tenemos:
(p q) ( p q)] ( p q) Bicondicional y condicional
(p q) ( p q)] (p q) Morgan
( p q) ( p q)] (p q) Morgan
( p q) (p q)] (p q) Doble negación
(p q) (p q) ( p q) Conmutativa
(p q) Absorción
Por lo tanto: (p q) ( p q) (p q)
3.4. Implicaciones Notables
Determina las conclusiones correctas de las proposiciones siguientes:
a) Como Barack Obama tiene descendencia Keniana es evidente que es
afroamericano. Barack Obama tiene descendencia Keniana. Por lo tanto:
…………………………………………………………………………………………………
…
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b) Salvo que no diga la verdad, soy honesto. Más si fuese el caso que dejé de ser
honesto. Concluiríamos:
…………………………………………………………………………………………….
c) Si Gilberto es cantante, es autor. Al ser autor es obvio que siempre está feliz. En
consecuencia:
……………………………………………………………………………………………..
d) La UNPRG brinda sus servicios de formación académica a no ser que se considera
una de las mejor del norte del país. La UNPRG apertura una nueva carrera si se
considera una de las mejor del norte del país. La UNPRG no apertura una nueva
carrera. En conclusión:
........………………………..............................................................................................
.....
e) Si Dios existe, no es cierto que el mal exista. Pero existe el mal en el mundo. Luego:
…………………………………………………………………………………………………
Analicemos el ejemplo (e), es decir:
Si Dios existe, no es cierto que el mal exista en el mundo. Pero existe el mal en el
mundo. Luego: Dios no existe
Simbolizando las proposiciones atómicas:
p : ―Dios existe‖
q : ―Existe el mal en el mundo‖
q: ―No es cierto que el mal exista en el mundo‖
p: ―Dios no existe‖
Tenemos:
El esquema molecular, sin la conclusión, está dado por: (p q) q
Y, tomando en cuenta la conclusión el esquema quedará de la siguiente manera:
(p q) q] p
Entonces afirmamos, que ésta condicional es una implicación.
Al determinar sus valores de verdad encontramos que la implicación resulta ser
una tautología.
Es decir:
En consecuencia: El símbolo ― ‖ significa implicación. Dada una estructura
lógica, de la cual se obtiene una conclusión lógica; se dice que la condicional es una
implicación siempre que sea una tautología.
La implicación lógica se puede expresar de dos formas: horizontal y vertical.
p q (p q) q] p
V V F F V F
V F V F V F
F V V V V V
F F V F V V
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3.4.1. Forma Horizontal: Cuando la conjunción de premisas que implican la conclusión
se escribe en forma horizontal en forma explícita usando los conectivos lógicos:
― ‖ ― ‖. Se tiene:
p1 p
2 p
3 ... p
m q
3.4.2. Forma Vertical:Es también la forma clásica. En este caso no se escriben en
forma explícita los conectivos lógicos ― ‖; ― ‖. La conjunción de las premisas se
escriben verticalmente una después de otra y al término de la última premisas se
dibuja una raya horizontal y luego ― ‖ y a continuación la conclusión. Se escribe:
p1
p2
.
.
.
pm
___
q
Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración
formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p
2 es
verdadera,... y pm también es verdadera, entonces se sabe que ―q‖ es verdadera.
Donde las pm son llamadas hipótesis o premisas, y ―q‖ es llamada conclusión.
―Demostrar el teorema‖, es demostrar que la implicación es una tautología. Note que
no estamos tratando de demostrar que ―q‖ (la conclusión) es verdadera, sino
solamente que ―q‖ es verdadera si todas las pm son verdaderas.
Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías
y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.
Para probar la validez e invalidez de los argumentos se hace atreves de las
tablas de verdad o empleando en método abreviado que consiste en suponer la
conjunción de premisas verdaderas y la conclusión falsa.
Ejemplo:
Probar si el siguiente argumento es válido: ~p (p q) q
Demostración:
Tenemos:
~p (p q) q
V F
Es decir:
q es falso, V(q) = F
~p (p q) = V, entonces: ~p es verdadera y (p q) es verdadera por definición
de la conjunción.
Si ~p es verdadera, entonces p es falsa por la ley de la negación, V(p) = F
Como: (p q) = V
V(p) = F y V(q) = F al reemplazar estor valores en (p q) = V se llega a una
contradicción y por esta razón se dice que el argumento es válido.
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También podemos hacerlo mediante la tabla de verdad y verificando que su
resultado es una tautología, lo dejamos como tarea al alumno.
3.5. Leyes de Implicación
Son aquellas proposiciones compuestas donde un antecedente implica
tautológicamente a un consecuente. Leyes de las implicaciones lógicas más comunes
son:
3.6.1. Ley modus Ponendo Ponens: Se presenta de las formas siguientes:
p q o también: (p q) p q
p
_______
q
Si se afirma el antecedente de una premisa condicional se concluye en la
afirmación del consecuente.
Ejemplo:
Si en verano hay concurrencia a las playas, entonces hay equipo de salvavidas.
En verano hay concurrencia a las playas. Luego: Hay equipo de salvavidas.
3.6.2. Ley Modus Tollendo Tollens: Se representa por:
p q o también: (p q) ~q ~p
~q
_______
~p
Si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye en la
negación del antecedente.
Ejemplo:
Tú eres un excelente administrador si trabajas como gerente en el Banco
Continental. Tú no eres un excelente administrador. Por lo tanto: No es cierto que
trabajes como gerente en el Banco Continental.
3.6.3. Ley del Silogismo Disyuntivo: Se representa por:
p q o también: (p q) ~p q
~p
_______
q
Si se niega uno de los miembros de una premisa disyuntiva, se concluye en la
formación de la otra premisa.
Ejemplo:
La USS se encuentra ubicada en el norte del Perú o en todo caso al sur de Chile.
La USS no se encuentra al sur de Chile .Por lo tanto: La USS se encuentra ubicada
en el norte del Perú.
3.6.4. Ley del Silogismo Hipotético: Se representa por:
p q o también: (p q) (q r) p r
q r
_________
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p r
Si p q es verdadero y q r es verdadera, entonces p r es verdadero. Esta
ley indica que el condicional es transitivo.
Ejemplo:
La crisis financiera mundial está afectando las economías de los países
industrializados es suficiente para que haya despidos de personal en las grandes
empresas productoras de artefactos eléctricos. Estados Unidos tendrá una economía
estable si hay despidos de personal en las grandes empresas productoras de
artefactos eléctricos. Por consiguiente: Estados Unidos tendrá una economía
estable en vista que La crisis financiera mundial está afectando las economías
de los países industrializados.
3.6.5. Ley de la Conjunción: Se representa por:
p o también: p : q p q
q
________
p q
Ejemplo:
La UCV está en el departamento de La Libertad.
La USS está en el departamento de Lambayeque.
Por lo tanto: La UCV está en el departamento de La Libertad sin embargo La
USS está en el departamento de Lambayeque.
3.6.6. Ley de la Adición: Se representa por:
p o también: p p q
________
p q
Ejemplo:
Hago mucho deporte.
Por consiguiente: Hago mucho deporte o estoy cansado
3.6.7. Ley de la Simplificación: Se representa por:
p q o también: p q p
________
p
De una premisa conjuntiva se puede concluir en cualquiera de sus componentes.
Ejemplo:
La Tierra es plana, pero la Luna no es verde.
Por lo tanto: La Tierra es plana.
3.6.8. Ley del Dilema Constructivo: Se representa por:
p q o también: (p q) (r s) (p r) q s
r s
p r
_________
q s
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Si en la conjunción de dos condicionales afirmamos los dos antecedentes
disyuntivamente, se puede concluir en la afirmación disyuntiva de los consecuentes.
Ejemplo:
Si Paola estudia entonces ingresará a la USS. Si Paola trabaja entonces ganará
dinero suficiente para ser feliz. Pero, Paola estudia o trabaja. Luego: Paola ingresará
a la USS o ganará dinero suficiente para ser feliz.
3.6.9. Ley del Dilema Destructivo: Se representa por:
p q o también: (p q) (r s) (~q ~s) ~p
~r
r s
~q ~s
_________
~p ~r
Si en la conjunción de dos condicionales negamos los dos consecuentes
disyuntivamente, se puede concluir en la negación disyuntiva de los antecedentes.
Ejemplo:
Si Paola estudia entonces ingresará a la USS. Si Paola trabaja entonces ganará
dinero suficiente para ser feliz. Pero, Paola no ingresará a la USS o no ganará dinero
suficiente para ser feliz. Luego: Paola no estudia o no trabaja.
3.6.10. Ley del Absurdo: Se representa por:
p (q ~q) o también: p (q ~q) ~p
______________
~p
~p (q ~q) o también: ~p (q ~q) p
______________
p
Ejemplo:
Si Carlos de España es el rey, entonces es el que gobierna pero sin embargo no
gobierna. Luego: Carlos de España no es el rey.
ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN
1. Demostrar que en cada uno de los casos siguientes si los esquemas
moleculares son equivalentes:
1. P: ~(p q) (q ~r) es equivalente a:
A: [p (p ~ r)] ~q
B: (p ~q) ~(q r)
C: (p ~q) [(p ~ r) ~q]
2. A: ~(q ~p) (q p), B: [(~ p ~q) ~ q] ~[(p q) q],
C: ~(p ~q) (p q) y D: ~(p q) [(p q) ~q]
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3. [(~ p q) (~ q r)] (p r)
4. ~(p q) (~p q)
5. ~ [(p q) r] [~(p r) ~(q r)]
6. ~ [ ~(p q) (~q)] (p q)
2. Simplificar cada una de las siguientes Proposiciones:
1. (p q) (~q p)
2. (p q) p p
3. (p q) (p q) p
4. ~(p q) ~(q ~p)
5. ~(p q) (~p q)
6. ~(p q) (r s) s
7. (~p q) (~s r) ~q
8. (p ~ r) (~ q r)
9. [(~q ~p) (~p ~q)] ~ (p q)
10. ~ {[(~p ~ q) (p (~p q))] ~ (p q)}
3. Determina la conclusión de las afirmaciones
1. Si digo siempre la verdad, los demás confían en mí. Y si los demás confían en
mí, me siento seguro e independiente. Cuando me siento seguro e
independiente, soy capaz de afrontar cualquier problema. Como yo digo
siempre la verdad. Luego:
……………………………………………………………………………………………
…
2. El crimen se cometió de noche en la más absoluta oscuridad o el principal
sospechoso es ciego. Pero, el principal sospechoso no es ciego o miente al
declarar que no vio nada. Pero, no miente o el detector de mentiras "Zopilotz"
está estropeado. El caso es que el citado detector es infalible (no puede estar
estropeado jamás).por lo tanto:
……………………………………………………………………………………………
…
3. No es verdad que estudies y trabajas. Si quieres conseguir dinero entonces
trabajas. Luego:
……………………………………………………………………………………………
…
4. Demostrar cada uno de los argumentos anteriores si son válidos o no.
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5. Demostrar la validez o invalidez de los siguientes argumentos empleando
tablas de verdad y el método abreviado.
1. [( q → p) p] → q
2. [(p → q) (q → r) p] → r
3. Ahorro el sueldo cada mes o lo gasto para vivir. Si lo ahorro, no puedo vivir.
Pero si quiero vivir no puedo ahorrar. Por tanto no es posible vivir y ahorrar.
4. Las cosas son buenas en la medida en que son apetecibles y son apetecibles
en la medida en que son perfectas. Por donde se ve que el grado de bondad
depende del grado de perfección.
5. Cuando dos cosas pueden conocerse la una por la otra y la una puede ser
causa de la otra, es que tienen algo en común. Pero no existe en la naturaleza
dos cosas que tengan algo en común, por tanto no pueden conocerse la una
por la otra y así la una no puede ser causa de la otra.
6. Elabora una proposición molecular por cada una de las leyes de equivalencia
y de implicación.
7. Prueba las reglas de inferencia y las identidades en Lógica Proposicional,
mostrando en cada paso la regla o identidad implicada y las premisas
utilizadas para los siguientes casos.
1. Si Julián le apostó a Alfonso, entonces se gastó el dinero. Si Julián se gastó el
dinero entonces su esposa no compra joyas y su esposa pide divorcio. Si su
esposa no compra joyas, entonces los niños no comen o la esposa está
enojada. Julián le apostó a Alfonso y los niños comen por lo tanto su esposa
está enojada.
2. Si el grupo no toca Rock and Roll, o las bebidas no llegan a tiempo, entonces
el baile se cancela y Patty está enojada. Si el baile se cancela entonces hay
que regresar el dinero de las entradas. No se regresó el dinero de las entradas.
Por lo tanto, el grupo toca Rock and Roll.
ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN
1. Demostrar que en cada uno de los casos siguientes si los esquemas
moleculares son equivalentes:
1. ~[(~p) q] (p q)
2. ~{(p q) [p (~p q)]} (p ~q)
3. ~ [~(p q) ~q] (p q)
4. ~(~ p q) (p q)
5. ~{(p q) [p (~p q)]} (p ~q)
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6. La formula {(E W) [(~E W) (W U)]} ( ~W E) equivale a : M : ~(E ~
E), R: D ~D, S: E W, O: ~E W
2. Simplificar cada una de las siguientes Proposiciones:
1. ~{~[~(~ p q) ~ q] [~(p ~ q)]}
2. {[(~p ~ q) p q] [(p q) (~p ~ q) p]} ~q
3. [~(~p ~ q) ~(p q)] [p (~p q r)]
4. [p q (p q)] [r (~r q) p]
5. (p q) (q p)
6. p (q r) (p q) (p r)
7. (p ~q) q
8. p (p q)
9. [(p q) (r s)] [(p r) (q s)]
10. (p ~q ) (~p q) (~p ~q)
3. Determina la conclusión de las afirmaciones
1. Me llevas a casa o no voy a la fiesta. Si no llueve entonces voy a la fiesta. En
consecuencia:……………………………………………………………………………
…………………………..
2. Todos los que no se presentan al examen de lógico matemática, tendrán que
presentar una justificación. Aldo no se presenta al examen de lógico matemática.
Por lo tanto:
………………………………………………………………………………………………
…
3. Ningún ánade baila vals. Ningún oficial declina nunca una invitación a bailar el
vals. Todas mis aves de corral son ánades. Por lo tanto:
………………………………………………………………………………………………
…………..…
4. Lancelot ama a la reina Ginebra. Lancelot no ama a ninguno de sus amigos. El
rey Arturo es amigo de Lancelot. Los amigos de Lancelot odian a aquellos a
quienes Lancelot ama. Por lo tanto:
………………………………………………………………………………………………
…
5. Si el reloj esta adelantado, entonces Rosario llego antes de las diez y vio partir al
carro de Carlos. Si Carlos dice la verdad, entonces Rosario no vio partir el carro
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de Carlos. Carlos dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del
crimen. El reloj estaba adelantado: por lo tanto:
………………………………………………………………………………………………
…
4. Demostrar cada uno de los argumentos anteriores si son válidos o no.
5. Demostrar la validez o invalidez de los siguientes argumentos empleando
tablas de verdad y el método abreviado
1. [(p → q) (q → r) r] → p
2. [(p → q) (r → p) (q → s)] → (r → s)
3. {(s → r) [r → (p q) ] (p q)} → s
4. {(p → r) (s → r)] ( t s)} → p
5. Si es día festivo, entonces salimos al campo. No salimos al campo, luego no es
día festivo.
6. Si no hace frío, sube la temperatura y aumenta la venta de ventiladores. Es
cierto que hace calor, por tanto sube la temperatura y aumenta la venta de
ventiladores.
6. Elabora una proposición molecular por cada una de las leyes de equivalencia
y de implicación.
7. Prueba las reglas de inferencia y las identidades en Lógica Proposicional,
mostrando en cada paso la regla o identidad implicada y las premisas
utilizadas para el siguiente caso:
Angelina Dolores está agobiada por problemas amorosos. No se aclara. Si ama a
Fierre, no ama a don Alfonso Pacheco, pero si no ama a don Alfonso Pacheco, ama
a Robert. Si ama a Robert, deja de amar a Vicentico, pero si no ama a Vicentico,
entonces ama al lechero de la esquina Francois. Angelina, por favor, la increpamos,
¿es que no estás segura de tus sentimientos?—Una cosa es cierta —nos
responde-segura de que amo a Pierre.¿Podrías ayudarla aclarando sus ideas?
CUANTIFICADORES Y
CIRCUITOS LÓGICOS
A diferencia de las proposiciones que hemos manejado hasta ahora, el
enunciado x≥3 no es Verdadero ni Falso. Cuando la variable x se reemplaza por
ciertos valores de x, por ejemplo 2, la proposición resulta Falsa. Este es un ejemplo de
un enunciado abierto, el cual viene a ser una proposición sólo cuando las variables son
remplazadas por los nombres particulares de los objetos.
Si un enunciado abierto se llama P y las variables x1, x2, …, xn; escribimos P(x1,
x2, …, xn) y en el caso de una sola variable escribimos P(x).
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El enunciado x1=x2+x3, es un enunciado abierto con 3 variables. Si denotamos el
enunciado por P(x1, x2, x3), entonces P(7,3,4) es Verdadero, ya que 7=3+4, pero
P(1,2,3) es Falso, ya que 1≠2+3.
4.1. Definición
La colección de objetos que al reemplazarlos en lugar de las variables en un
enunciado abierto lo convierten en una proposición verdadera se llama el conjunto de
verdad del enunciado.
Antes de determinar el conjunto de verdad es necesario saber cuáles objetos
están disponibles para ser tomados en cuenta. Es decir, debemos haber especificado
un universo de discurso. Denotemos por U = Dp el conjunto universo, es decir el
dominio de la función proposicional.
Ejemplo:
Sea Q(x) en enunciado ―x2 = 4‖. Si tomamos el conjunto de los números reales
como el universo del discurso, el conjunto de verdad será 2 y -2. Q(x) = {2,-2} en ℝ.
Si el universo del discurso fuera el conjunto de los naturales, entonces el
conjunto de verdad sería 2. Q(x) = {2} en ℕ.
Recordemos que un enunciado abierto P(x) no es una proposición, pero P(a) es
una proposición para cualquier ―a‖ en el universo del discurso. Otra forma de construir
una proposición a partir de P(x) es modificándola mediante un cuantificador.
4.2. Cuantificador Universal
Dado un enunciado abierto P(x) con variable x, el enunciado:
x Dp: P(x). Se lee: “Para Todo x en el dominio se cumple P de x”.
Y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad para P(x) es el
universo completo. El Símbolo se llama el “Cuantificador Universal”.
4.3. Cuantificador Existencial
El enunciado: x Dp / P(x). Se lee “Existe x en el dominio, tal que P de x”.
Y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad para P(x) no es
vacío. El símbolo se llama el “Cuantificador Existencial”.
Ejemplos:
Consideremos las siguientes expresiones:
a) Todo hombre es mortal.
Puede traducirse respectivamente como: Para todo x, si x es hombre entonces x
es mortal.
En forma simbólica tenemos: x Dp: P(x); donde P(x): x es mortal.
b) Algunos hombres son sabios.
Puede traducirse respectivamente como: Existe un x, tal que x es hombre y x es
sabio.
En forma simbólica tenemos:
x Dp / P(x); donde P(x): x es hombre y x es sabio
Ejemplo:
Suponga que el universo es el conjunto de los ℝ, entonces:
a) x, x ≥ 3 es Verdadero, pero
x, x ≥ 3 es Falso.
b) x, |x| > 0 es Verdadero, pero
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x, |x| > 0 es Falso.
c) x, x2 = -1 es Falso, pero
x, x+2 > x es Verdadero.
d) x, x3 = x es falso, pero
x, x3 = x es verdadero.
4.4. Negación de Proposiciones que Contienen Cuantificadores
La negación del cuantificador universal es el existencial y la negación del
cuantificador existencial es el universal. Es decir:
[ x Dp : P(x) = x Dp / P(x)
[ x Dp / P(x) = x Dp : P(x)
Ejemplos:
a) Halle una negación para: ―cada número real positivo tiene un inverso
multiplicativo‖.
Solución:
Sea el universo, el conjunto de todos los ℝ, el enunciado puede representarse
por:
x ℝ : x > 0 y ℝ / xy = 1
Si:
x=2, y=1/2 xy=1
x=3, y=1/3 xy=1
x=1/5, y=5 xy=1
Y así sucesivamente.
b) Entonces la negación de x ℝ: x > 0 y ℝ / xy = 1, es:
Solución:
[ x ℝ : x > 0 y ℝ / xy = 1] = ( x ℝ) / [: x > 0 y ℝ / xy = 1]
= x ℝ / [ (x > 0) y ℝ / xy = 1]
= x ℝ / x > 0 [ ( y ℝ): (xy = 1)]
= x ℝ / x > 0 y ℝ : xy 1
Esto último se lee: ―Existe un número positivo x para el cual no hay inverso‖.
4.5. Circuitos Conmutadores:
Un circuito conmutador es un circuito eléctrico que contiene interruptores para el
paso o interrupción de la corriente.
Para el diseño de estos circuitos designemos por ―p‖ y ―q‖ dos interruptores
eléctricos que dejan pasar corriente y por ―~p‖ y ―~q‖ los que no dejan pasar corriente
estos se pueden conectar por un alambre en serie o en paralelo.
Gráficamente tenemos:
p
+
q
-
p
q +
-
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Figura (1) Figura (2)
En la figura (1) se tiene un circuito en serie y se representa por: p q
En la figura (2) se tiene un circuito en paralelo y se representa por: p q
7.4.1. Observación: Su evaluación en tablas de verdad es:
Donde:
1 = verdadero (V) 0 = falso (F)
Ejemplo:
Describe simbólicamente el siguiente circuito:
Solución:
Observemos que el circuito esta en serie y en paralelo, tenemos:
~p y q están en paralelo es decir: ~p q
p, (~p q) y q están en serie, es decir: p (~p q) q
r y q están en paralelo es decir: r v q
~r , (r q) y ~p están en serie, es decir: ~r (r q) ~p
Luego: la representación de todo el circuito es:
[p (~p q) q] v [~r (r q) ~p]
4.6. Simplificación de Circuitos
Para la simplificación de circuitos se debe tener en consideración las leyes de
equivalencia.
Ejemplo:
Del ejemplo anterior se tiene que el circuito queda simplificado de la siguiente
manera:
[p (~p q) q] v [~r (r q) ~p] ≡ {[p (~p q)] q} {[~r (r q)] ~p}
≡ (p q) v [(~r q) ~p]
≡ (p q) [q (~r ~p)]
≡ q [p (~r ~p)]
≡ q (p ~r)
Luego: se obtiene el circuito:
p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
p q p q 1 V 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
q p
~r
p
~r
~p
~p
q
r
q
q
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Ejemplo:
Simplificar el siguiente circuito
Solución:
Tenemos:
{[p (p q) q] [q ( q p) p]} p (q p)
≡ { (p q) [(q p) p]} p
≡ { (p q) (q p)} p
≡ [(p q) p] [(q p) p]
≡ [(p p) q] (q p)
≡ [F q] (q p)
≡ F (q p)
≡ p q
Luego: se obtiene el circuito:
ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN
1. Simbolizar los siguientes enunciados:
1. Todo es perecedero.
2. Hay marcianos.
3. Alguien no es perfecto.
4. No hay cosas sólidas.
5. Si todo es rojo, hay algo rojo.
6. Nada se mueve.
7. No todo es perecedero.
8. Todos los nevados son colombianos.
9. Hay cetáceos que son peces.
10. Algunos números negativos no son enteros.
2. Negar los enunciados de la parte 1.
3. Expresar en el lenguaje corriente los enunciados simbolizados que se
presentan a continuación:
Sean: A(x) : x es un animal, H(x) : x es un hombre, M (x) : x es un mamífero
V( x) : x es un vertebrado
1. ∃x / A(x) V( x)
2. [∃x / H(x) M (x)]
3. [∀x : A(x) →M (x)]
4. ∃x / A(x) M (x)
5. ∀x : H(x) → M (x)
p
q
p
p
q
p
q
p p
q
q
~p q
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33
4. Negar los enunciados de la parte 3.
5. Diseñe los circuitos conmutadores correspondientes a:
1. ~ [p→ ~ (q v r)]
2. (p q) v [q ^ (p q) v (~p ~q)
3. (p Δ q) Δ (r Δ s)
4. (p v q) → [(~p v q) →(p q)]
5. (p Δ q) → (q Δ p)
6. Simplificar y hallar el equivalente a los circuitos dados:
1. 3.
2.
7. El costo de cada llave de instalación del siguiente circuito es S/15. ¿En cuánto
se reducirá el costo de la instalación si se reemplaza dicho circuito por el más
simple posible?
8. Halle el resultado (tabla de verdad) de conectar en paralelo los siguientes
circuitos:
1. 3.
2.
q
p
q p
~p ~q
~q
q
q
p p q
~r
q r p
q
p q
p p
~p
~q
~q
p
p
p
~q
q
~p
r
s
~
r ~
s
~
s
p
~
r
r
~p ~q
p
q
p ~q
~r
~p q
r
p
p
q q
p ~r
q
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ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN
1. Simbolizar los siguientes enunciados:
1. Nada es perecedero.
2. Existe un número real que no es positivo y no es negativo.
3. Existe un paralelogramo que es equilátero y equiángulo.
4. Todo número real elevado al cuadrado es no negativo.
5. Existe un número real; que sumado con cualquier número real, da por resultado
este último.
6. Hay cisnes negros.
7. Existen animales carnívoros.
8. Hay números perfectos.
9. Existen ciudades de clima frío.
2. Negar los enunciados de la parte 1.
3. Simbolizar y negar los siguientes ejercicios
1. Existe un elemento x perteneciente al conjunto de números reales tal que (la barra inclinada / se lee como "tal que" o "para el cual se cumple que") su cuadrado es 2.
2. Existe un elemento x perteneciente al conjunto de los números reales tal que x es positivo. Con este ejemplo queremos dejar claro que el cuantificador existencial no dice ni obliga a que el elemento en cuestión sea único - pueden ser muchos como es el caso.
3. Existen elementos x e y pertenecientes al conjunto de los reales tales que su producto es 1.
4. Existe un único elemento x perteneciente al conjunto de los números reales tal que multiplicado por dos se obtiene seis.
5. No existe un elemento x perteneciente al conjunto de los números racionales tal que su cuadrado sea 2 (y efectivamente, ya que √2 no es racional)
4. Diseñe los circuitos conmutadores correspondientes a:
1. {[(r v q) p] v ~r} q
2. [(p q) (q r) p] r
3. [(p q) (q r) r] p
5. Simplificar y hallar el equivalente a los circuitos dados:
1.
~q
p
~p
q
~q p
q ~p
~q
p
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2.
3. 6. Hallar la proposición “x” más simple de manera que el circuito lógico
siguiente:
Sea equivalente al circuito:
7. Se le pide a un grupo de candidatos someterse a un interrogatorio del tipo
cierto-falso, con 4 preguntas. Diseñar un circuito tal que un candidato pueda
tocar los botones de aquellas preguntas a las que quiere responder “cierto” y
que el circuito indique el número de respuestas correctas.
Sugerencias: Póngase 5 luces, correspondientes a 0, 1, 2, 3, 4 respuestas
correctas, respectivamente.
r q
p ~q r s
r ~s
p ~r
~p q ~r
~q ~r ~s
r q
p ~q r
~p ~q r
p
p
p
q
p
q p p
p
q p
q p
x
p
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RELACIONES Y FUNCIONES
PRODUCTO CARTESIANO
4.1. Par Ordenado: Un par ordenado es un conjunto de dos elementos ordenados de
acuerdo a como aparecen. Se representa con paréntesis y a los elementos se les
denomina componentes. (a; b) representa el par ordenado cuya primera
componente es a y b es la segunda componente. Debes observar que para que
dos pares ordenados sean iguales sus componentes deben serlo. Es decir; (a; b)
= (c; d) si y solo si a = c y b = d.
Ejemplo: Hallar ―x‖ e ―y‖ si (x + 3;9) = (7; y + 4)
Si (x + 3; 9) = (7; y + 4) entonces: i) x + 3 = 7 x = 4 ii) 9 = y + 4 y =
5
4.2. Producto Cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B
es el conjunto de todos los pares ordenados (a;b) donde a A y b B. El producto
cartesiano de dos conjuntos no vacíos se representa como:
AxB = ; / ,a b a B b B .
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1; 2; 3} y B= {4; 5; 6}. El producto cartesiano de
A y B, es:
AxB={(1;4),(1;5),(1;6),(2;4),(2;5),(2;6),(3;4),(3;5) ,(3;6)}
Observe que: El producto cartesiano AxB no es igual al producto cartesiano BxA.
BxA = )3;6(),2;6(),1;6(),3;5(),2;5(),1;5(),3;4(),2;4(),1;4(
4.3. Representación Gráfica del Producto Cartesiano AxB.
Gráficamente, el producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos se representa de
diferentes maneras: diagramas de flechas, diagramas de árbol, tablas y
gráficos cartesianos.
Ejemplo:
Si, el conjunto A = {1; 2; 3} y B = {4; 5; 6}. El producto cartesiano AxB es el
conjunto: AxB = {(1; 4), (1;5), (1;6), (2;4), (2;5), (2;6), (3;4), (3;5), (3;6)}.
Representar el producto cartesiano en las diferentes casos.
ACTIVIDADES DE APLICACIÓN
Ejemplo 1: Si se cumple que (3x – 5; 2y + 1) = (7 – x; 19 – y), determina el valor de la
expresión E =
x2 + xy + y2.
Solución:
Para que se cumpla la igualdad de pares ordenados las componentes
correspondientes deben ser iguales.
Igualando las primeras componentes: 3x – 5 = 7 – x 3x + x = 7 + 5
4x = 12 x = 3
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Igualando las segundas componentes: 2 y + 1 = 19 – y 2y + y = 19 – 1
3y = 18 y = 6
Reemplazando: E = x2 + xy + y2 E = 32 + 3(6) + 62 E = 9 + 18 + 36
E = 63
ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN
1. Responde con V o F, según sea el caso.
( ) (a;b) = (a;c), siempre que b = c.
( ) n(AxB) n(A).n(B)
( ) AxB = BxA, sólo si A = B.
( ) Ax(BC) = AxB AxC
( ) n (AxB) es el número de elementos que tiene el producto cartesiano AxB.
( ) Si, A = {oro, copa, bastos, espada}y B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11},
entonces A x B tiene 48 elementos.
( ) Si, (x – y; 3) = (2; 2x – 3y); entonces x + y = 4.
( ) Si, A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4}, entonces el par (4; 3) pertenece a AxB.
( ) Si, A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4}, entonces AxB = BxA.
2. Si, A = 2;3 y B = 1;5 . Determina el producto cartesiano AxB.
3. Si el producto cartesiano AxA tiene 16 elementos, ¿cuántos elementos tiene el
conjunto A?
4. Si, n(AXB) = 12, n(A) + n(B) = 7. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?
RELACIONES
5.1. Idea de Relación:
Sean los conjuntos: A= },,{ SantiagoDanielaEduardo y
B= }log,,min{ íaPsicoDerechoistraciónAd . Y la regla de correspondencia:
―.........es estudiante de la carrera profesional...............‖; Entonces se puede
establecer el siguiente esquema:
Otra forma de escribir el esquema anterior es con pares ordenados:
R = )}log,(),,(),min,{( íaPsicoSantiagoDerechoDanielistraciónAdEduardo
Eduardo Daniela Santiago
Administración Derecho Psicología
A B
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5.2. Relación
Teniendo en cuenta el ejemplo anterior podemos decir que una Relación es una
correspondencia entre un primer conjunto llamado dominio y un segundo
conjunto llamado rango o contra-dominio de modo que a cada elemento del
dominio le corresponde uno o más elementos del contra-dominio. Su definición
matemática es:
R = }/),{( xRyAxByx 5.2.1. Dominio de una relación: Es el subconjunto de A, formado por todos los
primeros componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación.
Dom(R) = }),(;/{ RyxByAx
5.2.2. Rango de una relación: Es el subconjunto de B, formado por todos las
segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación.
Ran(R) = }),(;/{ RyxAxBy
En el ejemplo anterior tenemos:
Dom(R) = },,{ SantiagoDanielEduardo = A
Ran(R) = },,min{ adContabilidDerechoistraciónAd = B
5.3. Clases de relaciones
5.3.1. Relación Reflexiva: Se llama relación reflexiva cuando un elemento está
relacionado consigo mismo y se escribe: (a, a) AaR, .
Ejemplo: Sean: A= 1;2;3;4 , R1, R2 y R3 relaciones de A en A, definidas como:
R 1 = (1;1), (2;2), (4;4) no es reflexiva porque (3,3) 1R
R 2 = (1;1), (2;2), (3;3), (4;4) es una relación reflexiva.
R 3 = (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (2;3) es reflexiva
5.3.2. Relación simétrica: es simétrica, si ( ; )a b , se cumple que el par
ordenado ( ; )b a
Ejemplo: Si A= 1;2;3;4 y R1, R2 y R3 relaciones de A en A, definidas como: R1 =
(1;3), (3;1) es una relación simétrica.
R 2 = (1;2), (2;1), (3;2) no es simétrica porque el (2;3) 2R
R 3 = (1;1), (2;2), (3;3), es reflexiva y simétrica
5.3.3. Relación transitiva: es transitiva, si ( ; ) ( ; )a b y b c , se cumple que el
par ordenado ( ; )a c .
Ejemplo: Si A= 1;2;3;4 y R1, R2 y R3 relaciones de A en A, definidas como:
R 1 = (1;2), (2;1), (1;1) no es una relación transitiva porque los pares (2; 1) y (1; 2)
R pero (2;2) R
R 2 = (1;2), (2;1), (1;1), (2;2) es una relación transitiva
R 3 = (1;1), (2;2) es una relación transitiva
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5.3.4. Relación de equivalencia: es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y
transitiva.
Ejemplos: La igualdad de números naturales es de equivalencia
La congruencia de triángulos es de equivalencia
La relación menor ―<‖ para números naturales no es de equiva lencia, no es
reflexiva, tampoco simétrica.
5.3.5. Relación antisimétrica: Una relación es antisimétrica, si (a;b) y (b; a);
, se cumple que a = b.
Por ejemplo la relación: “… es menor ó igual que …” es una relación
antisimétrica por qué: si, a b y b a; entonces a = b.
Ejemplo: Dado el conjunto A = {1, 3, 5, 7} determina cuales de las siguientes
relaciones son antisimétricas:
R1 = {(x, y) A2/ x – y < 2}
R2 = {(x, y) A2/ x + y < 7}
Solución:
R1 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7), (7, 5), (7,
7)}
En R1 no hay pares con componentes intercambiadas a excepción de (1, 1),
(3, 3) (5, 5) y (7, 7) que tienen componentes iguales R1 es antisimétrica
R2 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (5, 1)}
(1, 3) (3, 1) R2 pero 1 no es igual a 3 R2 no es antisimétrica
Ejemplo: Dado el conjunto A = {x/ x es un conjunto} determina cuales de las
siguientes relaciones son antisimétricas:
R1 = {(x, y) A2/ x y}
R2 = {(x, y) A2/ x y = }
Solución:
Si un conjunto C1 C2 y C2 C1 se cumple que C1 = C2 R1 es
antisimétrica
Si C1 C2 = significa que los dos conjuntos son disjuntos y que por lo
tanto son diferentes
Si un conjunto C1 es disjunto con C2 también C2 es disjunto con C1, sin
embargo C1 y C2 son diferentes R2 no es antisimétrica
5.3.6. Relación de orden: Una relación es de orden, si es reflexiva, antisimétrica y
transitiva. La relación anterior: ―… es menor ó igual que …‖ es relación de orden.
5.4. Relación inversa: La relación inversa cuya notación es: R-1, se determina
invirtiendo el orden de las componentes de las parejas ordenadas de la relación R.
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Matemáticamente, diríamos: Si R = {(x;y) / x A, y B}, R-1 = {(y;x) / (x;y) R}.
Con lo que: Si R BxA ; entonces R-1 BxA
Ejemplo: Sean: A= 1;5;7 , B= 2;3;4 , la relación R= {(1;4), (5;2), (7;3)}entonces
la relación inversa de R, denotada por R-1 = (4;1), (2;5), (3;7)
5.5. Gráficas de una relación de R en R
La gráfica de una ecuación en R2 es el conjunto de todos los puntos en R2 cuyas
coordenadas son números que satisfacen la ecuación.
Ejemplo: Sea la relación en R2 definida por 2x + y = 5. Trazar la gráfica,
determinar el dominio y el rango de esta relación real.
1° Interceptamos la recta con cada eje coordenado:
a) Si x = 0 2(0) + y = 5, y = 5 Existe intersección con el punto (0; 5)
b) Si y = 0 2x + 0 = 5, x = 2,5. Existe intersección en el punto (2,5; 0)
2° Trazamos la gráfica:
3° Determinamos el Dominio y Rango:
Dom ( ) = Todo el eje X = R
Ran ( ) = Todo el eje Y = R
5.6. RELACIONES DEFINIDAS EN R
LA RECTA: Son relaciones donde se da una correspondencia de primer grado
entre las variables ―x‖ y ―y‖, tienen la forma:
R = {(x, y) 2/ ax + by + c = 0 a, b, c a, b no son nulos a la vez}
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de la relación:
R = {(x, y) / x – 5 = 0}
Solución:
x – 5 = 0 x = 5, lo cual indica que para cualquier valor de y el valor de x
siempre es 5, así los puntos (5, 1), (5, 2), (5, 9) pertenecen a R
Construyendo la gráfica, teniendo en cuenta que dos puntos determinan
una recta, se obtiene una recta paralela al eje y, que intersecta al eje de
abscisas en x = 5:
-6 -4 -2 0 2 4 6-10
-5
0
5
10
15
20
Eje X
Eje Y
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Dom(R) = {5}
Ran(R) =
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de la relación: R = {(x, y) / y
+ 6 = 0}
Solución:
y + 6 = 0 y = -6, lo cual indica que para cualquier valor de x el valor de y
siempre es -6, así los puntos (1, -6), (2, -6), (7, -6), (-4, -6) pertenecen a R
Construyendo la gráfica, teniendo en cuenta que dos puntos determinan
una recta, se obtiene una recta paralela al eje x, que intersecta al eje de
ordenadas en y = -6:
Dom(R) =
Ran(R) = {-6}
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de:
R = {(x, y) / 2x – 3y – 12 = 0}
Solución:
Si x = 0 2(0) – 3y – 12 = 0 y = -4. El par (0, -4) R
Si y = 0 2x – 3(0) – 12 = 0 x = 6. El par (6, 0) R
Construyendo la gráfica de la recta que pasa por los puntos (0, -4) y (6, 0)
se tiene:
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Dom(R) = y Ran(R) =
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = 5x + 10}
Solución:
Si x = 0 y = 5(0) + 10 y = 10 El par (0, 10) R
Si y = 0 0 = 5x + 10 x = -2 El par (-2, 0) R
Construyendo la gráfica de la recta que pasa por los puntos (0, 10) y (-2, 0)
se tiene:
Dom(R) = y Ran(R) =
Cuando la ecuación tiene la forma y = mx + b, m da la pendiente, o tangente
del ángulo de inclinación, de la recta y b la ordenada del punto de
intersección con el eje y.
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / 164
yx}
Solución:
Si x = 0 164
0 y y = 6 El par (0, 6) R
Si y = 0 16
0
4
x x = 4 El par (4, 0) R
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Construyendo la gráfica de la recta que pasa por los puntos (0, 6) y (4, 0) se
tiene:
Dom(R) = y Ran(R) =
Cuando la ecuación tiene la forma 1b
y
a
x, se denomina forma simétrica y
los valores a y b indican la abscisa y ordenada de los puntos de intersección
de la recta con el eje x y con el eje y respectivamente.
LA CIRCUNFERENCIA: relación en la que los puntos en el plano cartesiano son
equidistantes de un punto fijo de dicho plano (centro). La distancia del centro a
cualquiera de los puntos se denomina radio. En forma general una circunferencia
corresponde a una relación de la forma:
R = {(x, y) 2/ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D2 + E2 > 4F}
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x2 + y2 – 9 =
0}
Solución:
x2 + y2 = 32 se dice que la ecuación de la circunferencia está en su forma
canónica, donde su centro es el origen de coordenadas O(0, 0) y su radio
mide 3
Construyendo la gráfica de la circunferencia se tiene:
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Dom(R) = [-3, 3] y Ran(R) = [-3, 3]
Cuando la ecuación de la circunferencia se expresa como x2 + y2 = r2 está
en su forma canónica, su centro está en el origen de coordenadas O(0,0) y
su radio mide r.
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x2 + y2 – 4x +
6y + 9 = 0}
Solución:
x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0 (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 4 (x – 2)2 + (y
+ 3)2 = 22
La ecuación de la circunferencia expresada como (x – 2)2 + (y + 3)2 = 22
está en su forma ordinaria, donde su centro es el punto C(2, -3) y su radio
mide 2.
Dom(R) = [0, 4] y Ran(R) = [-1, -5]
Cuando la ecuación de la circunferencia se expresa como (x – h)2 + (y – k)2
= r2 está en su forma canónica, su centro está en el punto C(h, k) y su radio
mide r.
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x2 + y2 + 8x –
2y + 1 = 0}
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Solución:
x2 + y2 + 8x – 2y + 1 = 0, la ecuación de la circunferencia expresada en su
forma general y su centro es el punto C2
2,
2
8= C(-4, 1) y su radio mide r
= 2
)1(4)2(8 22
=4
Dom(R) = [-8, 0] y Ran(R) = [-3, 5]
Cuando la ecuación de la circunferencia se expresa: x2 + y2 + Dx + Ey + F =
0 está en su forma general, su centro es el punto C2
,2
ED, su radio mide
r = 2
422 FED, su dominio es Dom(R) = r
Dr
D
2,
2 y su rango es
Ran(R) = rE
rE
2,
2.
LA PARÁBOLA: es una relación donde la regla de correspondencia relaciona una
variable lineal y una variable cuadrática y se expresa de cualquiera de las dos
siguientes formas:
R = {(x, y) 2/ y = ax2 + bx + c a ≠ 0} con eje de simetría vertical. Si a > 0 se
abre hacia arriba y si a < 0 se abre hacia abajo.
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R = {(x, y) 2/ x = ay2 + by + c a ≠ 0} con eje de simetría horizontal. Si a > 0 se
abre hacia la derecha y si a < 0 se abre hacia la izquierda.
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = 4x2}
Solución:
y = 4x2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su
vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es vertical y se abre
hacia arriba
Dom(R) = y Ran(R) = [0, + >
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = -2x2}
Solución:
y = -2x2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su
vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es vertical y se abre
hacia abajo
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Dom(R) = y Ran(R) = <- , 0]
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = 3y2}
Solución:
x = 3y2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su
vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es horizontal y se
abre hacia la derecha.
Dom(R) = [0, + > y Ran(R) =
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = -2y2}
Solución:
x = -2y2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su
vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es horizontal y se
abre hacia la izquierda
Dom(R) = <- , 0] y Ran(R) =
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = x2 – 4x +
6}
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Solución:
y = x2 – 4x + 6 y – 2 = x2 – 4x + 4 y – 2 = (x – 2)2, la ecuación de la
parábola está en su forma ordinaria, donde su vértice es el punto V(2, 2), el
eje de simetría es vertical y se abre hacia la arriba
Dom(R) = y Ran(R) = [2, + >
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = -y2 + 4y –
10}
Solución:
x = -y2 + 4y – 10 x + 6 = -(y2 – 4y + 4) x + 6 = -(y – 2)2, la ecuación
de la parábola está en su forma canónica, donde su vértice es el punto V(-6,
2), el eje de simetría es horizontal y se abre hacia la izquierda
Dom(R) = <- , -6] y Ran(R) =
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = -3x2 +
12x - 8}
Solución:
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y = ax2 + bx + c, la ecuación de la parábola está en su forma general y la
abscisa del vértice se puede determinar mediante la expresión x = a
b
2, el
valor de la ordenada se obtiene reemplazando el valor anterior en la
ecuación.
y = -3x2 + 12x – 8 la abscisa del vértice es x = )3(2
)12( = 2
Si x = 2 y = -3(2)2 + 12(2) – 8 y = 4 es la ordenada del vértice.
La parábola tiene vértice en el punto V(2, 4), su eje de simetría es vertical y
se abre hacia abajo.
Dom(R) = y Ran(R) = <- , 4]
Ejemplo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = 2y2 + 12y
+ 15}
Solución:
x = ay2 + by + c, la ecuación de la parábola está en su forma general y la
ordenada del vértice se puede determinar mediante la expresión y = a
b
2, el
valor de la abscisa se obtiene reemplazando el valor anterior en la
ecuación.
x = 2y2 + 12y + 15 la ordenada del vértice es y = )2(2
)12( = -3
Si y = -3 x = 2(-3)2 + 12(-3) + 15 x = -3 es la abscisa del vértice.
La parábola tiene vértice en el punto V(-3, -3), su eje de simetría es
horizontal y se abre hacia la derecha.
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Dom(R) = [-3, + > y Ran(R) =
ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN
1. Escribe por comprensión las siguientes relaciones.
1;4 ; 2;9 ; 3;16 ; 4;25
(0;1); 1;2 ; 2;5 ; 3;10
2; 5 ; 1; 3 ; 0; 1 ; 1;1 ; 2;3
2. Determina las inversas de las relaciones del ejercicio 1
3. Halla el dominio y rango de las siguientes relaciones reales.
1. 3 3 2 3 6 0x y xy
2. 2 24 9 36 0x y
3. 2 22 2 32x y
4. 23 6 12 0y x
4. Determina la relación inversa de la siguiente relación real. 2 4xy x y
5. Dados los conjuntos: A= 3;4;5;6 y B= 4;6;8 y la relación R=
}11/),{( yxAxByx ¿Cuántos pares ordenados satisfacen la relación ―R‖?
6. Dados los conjuntos: A= 1;2;3;4 y B= 1;4;6;9 y la relación R=2/),( xyAxByx
¿Cuántos
pares ordenados satisfacen la relación ―R‖?
7. Hallar el valor de x e y, para que los pares siguientes sean iguales. (2x-7y;5) y
(20,x-y)
8. Sean A = 2;3;8;9 y B = 4;6;7 ; R 1 = 2( , ) / 2 ,x y AxB x y
R 2 =
yxBxAyx /),( . Hallar Ran (R1 ) Dom (R 2 )
9. Sean los conjuntos: A= 2;4;6 , B= 1;3;5;7 Hallar las relaciones:R=
}6./),{( yxAxByx
ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN
1. Calcula x.y, sabiendo que: (5 – x, 2y – 3) = (3 x – 7, 5y – 18)
a) 12 b) 18 c) 16 d) 15 e) 21
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2. A que cuadrante pertenece el par ordenado (x – y, y – x), sabiendo que:(2x + y, 20)
= (15, 3x – y)
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) Está sobre uno de los ejes
3. ¿Cuántos pares ordenados cumplen con la condición (xy, x+y) = (24, 10)?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
4. 04. Dados los conjuntos A, B y C, sabemos que: n(A x B) = 84, n(B x C) = 98 y n(A)
+ n(C) = 26. Calcula cuántos elementos más tiene C que A.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7
5. En A = {1, 2, 3, 4, 5} se define R: R = {(1,1), (2,2), (3,3), (5,1), (2,4), (5,4), (5,2),
(4,3) (3,5)}
Si M = {x A / (x, 2) R
N = {y A / (3, y) R}
P = {x A / (x, 5) R}
Entonces: (M N) – P es:
a) {2, 5} b) {3, 5} c) {3} d) {5} e) {1,2,4,5}
6. Sean los conjuntos:A = {x N/ -1 x < 5}, B = {x Z/ 2 x 4} y las relaciones: R1
= {(x, y) A x B / x < y} R2 = {(x, y) A x B/ x + y = 3} Halla el número de elementos
de:Dom(R1) Ran(R2)
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
FUNCIONES
6.1. Función: Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A
uno y sólo un elemento de un conjunto B. El conjunto A es el dominio de la
función, y el conjunto B es el contra-dominio de la función.
Ejemplo 1: Dados los conjuntos: A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 4, 6, 8, 9}, determina
cuales de las siguientes relaciones son funciones:
R1 = {(x, y) A x B/ x + y es múltiplo de 5}
R2 = {(x, y) A x B/ x = y + 1}
R3 = {(x, y) A x B/ y = x2}
R4 = {(x, y) A x B/ x y deja resto igual 3}
Solución:
R1 = {(1, 4), (1, 9), (3, 2), (7, 8), (9, 6)} R1 no es función
R2 = {((3, 2), (5, 4), (7, 6), (9, 8)} R2 si es función
R3 = {(3, 9)} R3 si es función
R4 = {(3, 4), (3, 6), (3, 8), (3, 9), (5, 2), (7, 4), (9, 6)} R4 no es función
6.1.1. Dominio de una Función: Es el conjunto de todas las primeras componentes
y se denota por: fD o Dom f
Afy)(x,By!A/xDf
6.1.2. Rango de una Función: Es el conjunto de todas las segundas componentes
y se denota por fR o Ran f:
Bfy)(x,AxB/yfR
Ejemplo:
Sea f={(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}su dominio y rango es: fD ={1,3,5,7}; fR ={2,4,6,8}.
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6.2. Gráfica de una función
Al igual que en el caso de las relaciones, una forma sencilla de analizar las
funciones es a través de gráficas, que permiten visualizar el que sea una función,
el tipo de función, los pares que pertenecen a la función, su dominio y su rango.
Se puede utilizar un Diagrama Sagital, utilizando diagramas de Venn-Euler para
los conjuntos de partida y llegada, donde mediante flechas se indican los
elementos que están relacionados; o también un Plano Cartesiano donde en el
eje de abscisas o eje X se representan los elementos del conjunto de partida y en
el eje de ordenadas o eje Y se representan los elementos del conjunto de llegada,
Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 7, 9, 11, 13} y la
función: f = {(x, y) A x B / y = 2x + 1}. Determina y grafica f.
Solución:
x = 1 y = 2(1) + 1 = 3; x = 2 y = 2(2) + 1 = 5 B; x = 3 y = 2(3) + 1 =
7; x = 4 y = 2(4) + 1 = 9; x = 5 y = 2(5) + 1 = 11.
La función f es: f = {(1, 3), (3, 7), (4, 9), (5, 11)}
Diagrama Sagital Diagrama Cartesiano
Dom(f) = {1, 3, 4, 5} y Ran(f) = {3, 7, 9, 11}
6.3. Tipos de Funciones
Existen diversos tipos de funciones, algunas asocian a cada elemento del rango
un único elemento del dominio; en otras existe una preimagen para cada elemento
del conjunto de llegada. Etc.
En esta parte sólo abordaremos los tipos de funciones más características son
son las inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
6.3.1. Función inyectiva: Si f es una función de A en B, se dice que f es inyectiva si a
elementos diferentes del dominio les corresponde diferentes imágenes en B.
Una función f: A B es inyectiva x1, x2 Dom(f), x1 x2 f(x1) f(x2)
Una función f: A B es inyectiva x1, x2 Dom(f), f(x1) = f(x2) x1 = x2
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6.3.2. Función sobreyectiva: Si f es una función de A en B, se dice que f es
sobreyectiva si el rango de la función es igual al conjunto de llegada B.
Una función f: A B es sobreyectiva Ran(f) = B
Una función f: A B es sobreyectiva y B, x A/ (x, y) f
6.3.3. Función biyectiva: Si f es una función de A en B, se dice que f es biyectiva si
a la vez es inyectiva y sobreyectiva. Para todo elemento del conjunto de llegada
existe un único elemento que pertenece a A del cual es imagen.
Una función f: A B es biyectiva f es inyectiva y f es sobreyectiva
Una función f: A B es biyectiva y B, !x A/ (x, y) f
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6.4. Funciones Reales
Muchas funciones están definidas en el conjunto de los números reales R o en
algún subconjunto de R, estas funciones se analizan algebraica y gráficamente
para la determinación de sus propiedades, como dominio, rango y
comportamiento.
6.5. Regla Práctica para Calcular el Dominio
Si la función es polinomial el dominio es el conjunto de los números reales (R).
Además si la función polinomial es de grado impar, el rango también es R.
Ejemplo:
i) f(x) = 6x8 +x5 + x3 + 3 Dom(f)= R
ii) g(x) = x3 –2x2 +x +3 Dom(g) = R y Ran(f) = R
Si la función es racional: F(x) = )(
)(
xG
xH , el dominio se obtiene como:
Dom (f) = R – {x/ G(x) = 0}
Ejemplos:
i) F(x) = 2
32
x
x DF = R – { 2 }
ii) G(x) = 92x
xDF = R – { 3, -3 }
iii) H(x) = 16
52x
xDF = R
Observación: x2 + 16 0
Si la función es irracional: F(x) = )(xG , el dominio se obtiene como:
DF = {x 0)(/ xGR }
Ejemplos:
i) F(x) = x6
Observe que: 6 –x 0 6 x x 6
Luego: DF =<- ; 6]
ii) G(x) = 4
3
x
x
Obs. x - 4 >0 x > 4
Luego: DF =<4; + >
Nota: No existe una regla específica para el cálculo del rango, sin embargo se
recomienda despejar x en función de y para luego analizar para que valores de
―y‖ la función está definida.
Ejemplo: Halle el rango de: 2
13)(
x
xxF
Solución:
i) x - 2 0 x 2 Luego: DF= R – {2}
ii) Rango: 2
13
x
xy despejando x en función de y
yx –2y = 3x – 1 yx – 3x = 2y –1
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x(y-3) =2y – 1 3
12
y
yx
Como: y - 3 0 y 3 Luego: RF = R – {3}
6.6. Funciones Especiales
6.6.1. Función Constante: f(x) = c, es decir:
}constante es c"" c,RxR/yy)(x,{f
Donde fD =R; fR = {c}.
Su gráfica es:
6.6.2. Función Lineal: }0a b,axRxR/yy)(x,{f ,
Donde: fD =R; fR =R.
6.6.3. Función Raíz Cuadrada: xf(x) . Donde: fD = R ; fR = ,0 .
6.6.4. Función Valor Absoluto: A la función f le llamaremos función valor absoluto si
su regla de correspondencia es: f(x)=│x│ , es decir: 0. xx,
0, xx, x
f(x)=│x│ Donde: fD =R ; fR = ,0
X 0
Y
c
f(x)=c
Y
X
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6.6.5. Función Cuadrática: f(x) = ax2 +bx + c, a 0
Donde: v: Vértice
a
bac
a
bV
4
4;
2
2
Si a>0: Df= R, Rf = [a
bac
4
4 2, >
Si a<0: Df= R, Rf =<- , a
bac
4
4 2
Operaciones con Funciones
6.7.1. Suma de funciones: Sean f y g dos funciones de variable real definidas en un
mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g,
a la función cuya regla de correspondencia es:
6.7.2. Resta de funciones: Del mismo modo que se ha definido la suma de
funciones, se define la resta de dos funciones de variable real f y g, como la
función cuya regla de correspondencia es:
Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo
intervalo.
6.7.3. Producto de funciones: Sean f y g dos funciones de variable real, y definidas
en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función cuya
regla de correspondencia es:
6.7.4. Cociente de funciones: Dadas dos funciones de variable real, f y g, y
definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función
cuya regla de correspondencia es:
La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se
anula.
6.7.5. Producto de un número por una función: Dado un número real a y una
función f, el producto del número por la función es la función definida por:
6.7.6. Composición de funciones
Si se tienen las funciones: f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7), (6, 8)} y g = {(4,
1), (9,2),(7, 4), (10, 6), (12, 8)} entonces para algunos pares de g la segunda
componente es igual a la primera componente de algún par ordenado de f y
podríamos relacionar la primera componente del par de g con la segunda
componente del par ordenado de f, así:
Si a>0 se tiene
Si a<0, se tiene
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g f par resultante
(4, 1) (1, 3) (4, 3)
(9, 2) (2, 4) (9, 4)
(7, 4) (4, 6) (7, 6)
(10, 6) (6, 8) (10, 8)
Obteniendo de esta forma una nueva función h = {(4, 3), (9, 4), (7, 6), (10, 8)} la
cual se dice que es la composición de las funciones f y g, en ese orden, y que
se representa (f g).
Dadas dos funciones f: C D y g: A B, se denomina f composición g, y se
representa
f g, a la función de A D, donde a un valor x Dom(g) se le hace
corresponder el valor f[g(x)] Ran(f).
f g = {(x, y)/ y = f[g(x)], x Dom(g) g(x) Dom(f)}
Ejemplo: Dadas las funciones: f = {(2, 5), (4, 8), (6, 9), (7, 7), (8, 10)} y g = {(5,
8),
(8, 9), (9, 2), (10, 4), (11, 13)}. Determina (f o g) y (g o f).
Solución:
Para (f o g) su dominio es subconjunto del Dom(g) y su rango es
subconjunto del Ran(f), construyendo el diagrama correspondiente se tiene:
Del gráfico puede observarse que:
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(5, 8) g (8, 10) f (5, 10) f o g
(9, 2) g (2, 5) f (9, 5) f o g
(10, 4) g (4, 8) f (10, 8) f o g
f o g = {(5, 10), (9, 5), (10, 8)}
Para (g o f) su dominio es subconjunto del Dom(f) y su rango es
subconjunto del Ran(g), construyendo el diagrama correspondiente se tiene:
Del gráfico puede observarse que:
(6, 9) f (9, 2) g (6, 2) g o f
(4, 8) f (8, 9) g (4, 9) g o f
(8, 10) f (10, 4) g (8, 4) g o f
(2, 5) f (5, 8) g (2, 8) g o f
g o f = {(6, 2), (4, 9), (8, 4), (2, 8)}
Como puede observarse, en general f o g g o f, es decir la composición de
funciones no es conmutativa, y hay que tener cuidado con el orden en que
se componen las funciones.
Ejemplo: Dadas las funciones en : f(x) = 2x – 3 y g(x) = x2 + 1. Determina (f o
g)(x) y (g o f)(x).
Solución:
La composición de funciones, cuando éstas vienen dadas por ecuaciones
implica una sustitución de variables, reemplazando una función en otra.
(f o g)(x) = f[g(x)] = f(x2 + 1) = 2(x2 + 1) – 3 = 2x2 + 2 – 3
(f o g)(x) = 2x2 – 1
(g o f)(x) = g[f(x)] = g(2x – 3) = (2x – 3)2 + 1 = 4x2 – 12x + 9 + 1
(g o f)(x) = 4x2 – 12x + 10
6.7. Función Inversa
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Sabemos que toda función es una relación, pero la relación inversa no siempre es
una función. Por ejemplo: Si A = 2; 1;0;2 y B = 0;1;2;4;5 y f: A
2; ( )B f x x , entonces:
f = ( 2;4), ( 1;1), (0;0), (2;4)
La inversa de esta relación es el subconjunto de BxA:
g = (4; 2), (1; 1), (0;0), (4;2)
Se observa que g no es una función de B en A, por que no se cumple la
condición de unicidad, ya que 4 tiene un par de imágenes en A.
ACTIVIDADES DE APLICACIÓN
1. Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4. Definir la función f + g y calcular
las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.
Solución:
· La función f + g se define como
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = 3x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.
· (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7
(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18
(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2
Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman,
el resultado es el mismo.
Por ejemplo, para la imagen de 2,
(2) 3.2 1 7(2) (2) 7 0 7
(2) 2.2 4 0
ff g
g
2. Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).
Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.
Solución:
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por
separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.
3. Dadas las funciones ( ) 33
xf x y ( ) 2 1g x x . Definir la función f.g
Solución:
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Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por
separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.
4. Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.
Calcular las imágenes de los números –1; 2 y 3/2; mediante f/g
Solución:
La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2,
donde la función g se anula.
Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y
g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.
5. Dada la función f(x) = x2 + x – 2, calcular 3.f y 1
.3
f
Obtener las imágenes de
los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.
Solución: 2 23. ( ) 3. ( ) 3( 2) 3 3 6f x f x x x x x
21 1 1. ( ) . ( ) 3 6
3 3 3f x f x x x
(3.f)(2) = 3.22 + 3.2 – 6 = 12
(3.f)(1) = 3.12 + 3.1 – 6 = 0
(3.f)(0) = 3.02 + 3.0 – 6 = –6
ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN
1. Hallar ( a + b) para que:
A = { (2;5); (1;3); (b -2a; 3); (1; a2 – b2 ); (2; 2a + b)} sea una función.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
2. Sean f y g dos funciones definidas por:F = { (2; a + b + c), (1; a-b-c), (2;8),(3; b+c),
(4;a), (1;2)} y G = { (x; y) F / y – x = 1}. Entonces, el número de elementos de la
función G, es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Dado: BAF :
F
Si: F(1) + F(2) + F(3) = 0,
Hallar
abc
cacbbaE
333 )()()(
A) 3 B) –3 C) 2 D) 6 E) 1
1
2
3
a
b
c
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4. Hallar el dominio de la función:x
xxxF
21
2)(
2
A) [-1; ½> U [2; + > B) <- ; -1] U < 1/2; 2] C) < - ; -1] U
<1; 2]
D) <- ; -1> U <1/2; 2> E) [-1;2]
5. Determine el rango de: 5)( 2xxF
A) R B) R+ C) [ 5; + > D) R – {5} E) No se
puede.
6. Sea F una función real, tal que: 32;)( 2 xxxF el rango de F es:
A) [4;9] B) <4;9] C) [-4; 9] D) [0; 4] E) [0;9]
7. Si la función ganancia, en la editorial ― MI ACADEMIA‖, está dada por: G(x) = -3x2
+ 96x + 552. Indicar como respuesta la suma de las cifras de la ganancia máxima.
A) 6 B) 7 C) 4 D) 5 E) 7
8. Siendo F una función lineal tal que: { (n;n), (3;9), (-1;1)} F. Halle el valor de: 2n2
+3
A) 35 B) 3 C) 53 D) -32 E) 21
9. Una bola se coloca en el punto P de la parábola y = x2 – x – 6 cuya ordenada es 6.
Se le deja rodar por la parábola hasta que llegue a un punto Q, cuya ordenada es
-6, entonces la distancia mínima horizontal recorrida por la bola es:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
ACTIVIDADES DE EVALUACION
1. Si F representa a una función: F= {(3; 7a + 2b), (2; 5), (2;a+ 2), (3; 5b - 2a)} ¿cuál (o
cuáles) de los siguientes conjuntos son funciones?
A = {(a; b), (b -a; 5), (5; b - a), (a + b; 5)}, B = {(3; b), (b ; 3), (3; 8), (9; 2a - b)}, C =
{(3; 5), (9; 7), (b; a), (5a + 3b)}
2. Sean: f = {(0;2); (2;4); (4;6); (6;8)} y g = {(0;3); (–2;5); (4;–1); (–6;8)}. Calcular: f/g, g
– 3f, (4f)(2g), 2f-1 + g-1 , fog
3. Sean las funciones definidas como: f(x) = 2x – 4 y g(x) = x2 – 4x + 5.Calcular: f/g; g
– 3f; (4f)(2g), 2f-1 + g-1; fog
4. Determina: Dominio, rango y las inversas de las siguientes relaciones reales.
a)x2 + 4y = 4 b)3x2 + 2y – 8 = 0 c)3x2 – 4y2 = 12 d)x2 – 2x + y + 1 = 0
5. Sea g una función natural (g:N → N), definida por: g(x) = x + 5. Determina el
Dominio y Rango de esta función.
6. Siendo: f(x) = x2 – 5x + 6 + 1
57
xx
. Determina su Dominio.
7. Determina si las siguientes funciones son inyectivas o suryectivas.
a) f(x) = x2 – 3x + 5 b) f(x) = 1x c)f(x – 2) = 3x + 11
d) f(x – 5) = 3x + 7
8. Sea f una función real definida por: f(x + 1) = x2 + 1. Calcula f(a).
9. Calcula la función inversa de la función definida como: f(x – 5) = 3x + 7.
10. Halla: (f o g), si: f(x) = 2x+6, x [0, 8], g (x) = x2 – 1, x [ -2, 2 >
a) 2x2 – 4 b) 2x + 4
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c) 2x2 – 2 d) 2x2 + 4 e) 2x – 4