Materia: Matemática de Séptimo Tema: Intervalo de Clases e Histogramas

¿Qué pasa si quisieras matar algo tiempo mientras esperas tu vuelo de

conexión en el aeropuerto? Empiezas a contar el número de personas que

pasan frente a ti en un minuto durante 15 minutos consecutivos. ¿Cómo

puedes representar gráficamente estos datos? Después de completar éste

concepto serás capaz de hacer diagramas de tallo y hojas e histogramas

para mostrar datos como éste.

Marco Teórico

Imagínate preguntarle a una clase de 20 estudiantes de álgebra cuántos

hermanos y hermanas tienen. Probablemente obtendrás una gama de

respuestas de cero en adelante. Algunos estudiantes no tendrían hermanos

pero la mayoría tendrían al menos uno. Los resultados podrían tener este

aspecto:

1, 4, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 2, 2, 3 , 1, 1, 3, 6

Podríamos organizar ésta información de muchas maneras. La primera forma

podría ser creando una lista ordenada. Poniendo todos los números en orden

empezando por el más pequeño:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 6

Otra forma de enumerar los resultados es en una tabla de frecuencia:

Número de hermanos Número de estudiantes que coincidan

0 4

1 7

2 5

3 2

4 1

5 0

6 1

También se podría hacer una representación visual de los datos haciendo

una categoría para el número de hermanos en el eje y colocando

representaciones apiladas de cada estudiante encima del marcador de

categoría. Podríamos usar cruces, muñecos de palitos o incluso fotografías

de los estudiantes para mostrar cuántos estudiantes hay en cada categoría.

Hacer e interpretar Diagramas de tallo y hojas

Otra forma útil de visualizar los datos es con un diagrama de tallo y

hojas . Estos son especialmente útiles porque proporcionan una

representación visual de cómo se agrupan los datos pero conservan la

totalidad de la información numérica. Un diagrama de tallo y hoja consiste en

un “tallo madre" vertical que contiene el primer dígito de cada número y

“hojas” que son el resto de los números escrito a la derecha. En el diagrama

de tallo y hoja a continuación el primer número representado es 21. Es el

único número con un tallo (o raíz) de 2 lo que hace que sea el único número

en los 20. Los próximos dos números tienen un tronco común de 3. Ellos son

33 y 36. Los siguientes números son 40, 46 y 47.

Los diagramas de tallo y hojas tienen una serie de ventajas con respecto a

una simple enumeración de los datos en una sola línea.

Muestran cómo se distribuyen los datos y si es simétrica hacia el centro.

Pueden ser utilizados a medida que se recogen los datos.

Hacen que sea fácil determinar la mediana y la moda.

Estos diagramas no son ideales para todas las situaciones. No son

particularmente prácticos cuando los datos se agrupan demasiado. Por

ejemplo con los datos anteriores, sobre los hermanos estudiantes, todos los

puntos de datos podrían ocupar el mismo tallo madre. En ese caso no hay

información adicional que pueda ser obtenida a partir de un diagrama de tallo

y hojas.

Ejemplo A

Mientras viajaba en un largo viaje en tren Rowena recogió las edades de

todos los pasajeros que viajaban en su carro. Las edades de los pasajeros se

muestran a continuación. Organizar los datos en un diagrama de tallo y hojas.

Utilice éste para encontrar la edad mediana y la moda.

35, 42, 38, 57, 2, 24, 27, 36, 45, 60, 38, 40, 40, 44, 1, 44, 48, 84, 38, 20, 4, 2,

48, 58, 3, 20, 6, 40, 22, 26, 17, 18, 40, 51, 62, 31, 27, 48, 35, 27, 37, 58, 21

Solución

El primer paso es determinar un tallo potencial. Dado que todos los valores

se encuentran entre 1 y 84 el tallo debe representar la columna de las

decenas y debe tener un rango de 0 a 8 de modo que los números

representados puedan variar desde 00 (el cual representaríamos mediante la

colocación de una hoja 0 al lado del 0 en el tallo) a 89 (una hoja de 9 junto al

8 en el tallo). Llenemos nuestro diagrama:

Puedes ver inmediatamente que el intervalo con el mayor número de

pasajeros es el grupo de 40 a 49. A fin de determinar correctamente la

mediana y la moda, es útil para la construcción de un segundo diagrama de

tallo y hoja ordenado: se colocan las hojas en cada rama en orden

ascendente.

La moda es ahora evidente: hay 4 ceros en una fila en la 4ta rama por lo que

la moda es 40. La mediana es el punto medio, y ya que hay 43 datos, la

mediana es el dato número . (Utilizando nuestra fórmula de

antes, ). Así que el promedio es de 37.

Hacer e interpretar histogramas

Veamos de nuevo el ejemplo de los estudiantes de álgebra y sus

hermanos. Los datos fueron recogidos en la siguiente lista.

1, 4, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 6

Hemos sido capaces de organizar los datos en una tabla. Aquí está la tabla

de nuevo pero ésta vez vamos a utilizar la palabra frecuencia primero para

indicar el número de veces que cada valor se presenta en la lista.

Número de hermanos Frecuencia

0 4

1 7

2 5

3 2

4 1

5 0

6 1

Ahora podemos utilizar ésta tabla para hacer una tabla de coordenadas

para trazar un diagrama de líneas como ésta:

Si bien éste diagrama muestran los datos también es algo engañoso. Por

ejemplo, la línea continua que une el número de estudiantes con uno y dos

hermanos hace que parezca que sabemos algo acerca de cuántos

estudiantes tienen 1,5 hermanos (que, por supuesto, es imposible). En éste

caso aunque los puntos de datos son todos los números enteros ¡es erróneo

sugerir que la función es continua entre los puntos!

Cuando los datos que representamos caen en categorías bien definidas

(como los números enteros 1, 2, 3, 4, 5 y 6) es más apropiado utilizar

un histograma para mostrar los datos. Un histograma de estos datos se

muestra a continuación:

Cada número en el eje tiene una columna correspondiente cuya altura

muestra la cantidad de estudiantes que tienen ese número de hermanos. Por

ejemplo la columna tiene 5 unidades de altura lo que indica que hay

5 estudiantes con 2 hermanos.

Las categorías en el eje se llaman contenedores . Los histogramas son

diferentes a los gráficos de barras. Los histogramas son útiles para la

visualización de datos continuos ( data que varía de forma continua en lugar

de en cantidades enteras). Para ilustrar esto he aquí algunos ejemplos:

Ejemplo B

Precipitaciones mensuales (en milímetros) en Beaver Creek Oregon fueron

recogidos durante un período de cinco años y los datos se muestran a

continuación. Representa los datos en un histograma.

41.1, 254.7, 91.6, 60.9, 75.6, 36.0, 16.5, 10.6, 62.2, 89.4, 124.9, 176.7, 121.6,

135.6, 141.6, 77.0, 82.8, 28.9, 6.7, 22.1, 29.9, 110.0, 179.3, 97.6, 176.8,

143.5, 129.8, 94.9, 77.0, 60.8, 60.0, 32.5, 61.7, 117.2, 194.5, 208.6, 176.8,

143.5, 129.8, 94.9, 77.0, 60.8, 20.0, 32.5, 61.7, 117.2, 194.5, 208.6, 133.1,

105.2, 92.0, 60.7, 52.8, 37.8, 14.8, 23.1, 41.3, 75.7, 134.6, 148.8

Solución

Nótese la similitud entre histogramas y diagramas de tallo y hoja. Un

diagrama de tallo y hoja es como un histograma volteado de lado. Podríamos

empezar por hacer un diagrama de tallo y hojas de nuestros datos.

Para nuestros datos anteriores en nuestro tallo madre estarían las decenas y

abarcaría del 1 al 25. En lugar de redondear los decimales en los datos

los truncamos. Esto significa que simplemente eliminamos el decimal. Por

ejemplo: 165.7 tendría un tallo madre de 16 y una hoja de 5 pero dejamos de

lado las 7 décimas.

Al trazar alrededor de los números en el diagrama de tallo y hoja podemos

ver un histograma. Sin embargo con tantas categorías el histograma parece

hecho al azar sin un patrón claro y definido. En una situación como ésta

debemos reducir el número de categorías. En vez de hacer las categorías de

10 en 10 hagámosla de 25 en 25. Hagamos primero una tabla:

Precipitaciones (mm) Frecuencia

7

8

9

12

6

Precipitaciones (mm) Frecuencia

9

0

6

2

0

1

El histograma asociado con este ancho de caja es a continuación.

El patrón en la distribución es mucho más evidente con un número menor de

categorías o contenedores. Así que echemos un vistazo a cómo se vería el

histograma con menos categorías aún. Vamos a ir de 50 e 50. La tabla y el

histograma ahora se ve así:

Precipitaciones (mm) Frecuencia

15

21

15

6

2

1

El patrón está mucho más claro ahora. La precipitación mensual normal es de

alrededor de 75 mm pero hay meses que son mucho más húmedos que otros

y será más alta la precipitación.

Puedes ver que, a pesar de que vaya en contra de la intuición, a veces se

puede ver más información al reducir el número de intervalos o categorías en

un histograma. Es un poco como hacer zoom en una imagen.

Palabras Claves

Un diagrama de tallo y hoja consiste en un "tallo madre" vertical que

contiene el primer dígito de cada número con el resto del número escrito a

la derecha del tallo madre como una "hoja".

Una tabla de frecuencias es la que registra la frecuencia de cada valor

en un conjunto de datos.

Cuando los datos que representamos caen en categorías bien definidas

(como los números enteros 1, 2, 3, 4, 5 y 6) es más apropiado utilizar

un histograma para mostrar los datos. Un histograma es un gráfico de

una tabla de frecuencias donde la frecuencia de cada valor está

representado por la altura de una barra.

Ejercicios Resueltos

Rowena preguntó las edades de los pasajeros en su vagón de tren y recogió

los resultados en una tabla de frecuencias. Mostrar los resultados como un

histograma.

Rango de edad Frecuencia

0 - 9 6

10 - 19 2

20 - 29 9

30 - 39 8

40 - 49 11

50 - 59 4

60-69 2

70-79 0

80-89 1

Solución

Dado que los datos ya están recogidos en intervalos vamos a utilizar estos

como las categorías del histograma. A pesar de que el extremo superior del

primer intervalo es 9 la categoría en nuestro histograma se extiende a

10. Esto se debe a que, a pesar de que tenemos datos continuos, cada

categoría está reducida a el número en el cual terminan y comienzan. El

rango de valores para la primera sería y todos los otros

intervalos están hechos igual (del 10 al 20, del 20 al 30…).

Ejercicios

1. Crear un diagrama de tallo y hoja para los siguientes datos. Utiliza el

primer dígito (cientos) como el tallo madre y la segunda (decenas) como

la hoja. Truncar las unidades y decimales . Ordene la tabla para

encontrar la mediana y el modo. datos: 607.4, 886.0, 822.2, 755.7, 900.6,

770.9, 780.8, 760.1, 936.9, 962.9, 859.9, 848.3, 898.7, 670.9, 946.7,

817.8, 868.1, 887.1, 881.3 , 744,6, 984,9, 941,5, 851,8, 905,4, 810,6,

765,3, 881,9, 851,6, 815,7, 989,7, 723,4, 869,3, 951,0, 794,7, 807,6,

841,3, 741,5, 822,2, 966,2, 950,1.

2. Hacer una tabla de frecuencias para los datos de la pregunta 1. Utiliza una

frecuencia entre intervalos de 50 en 50.

3. Grafica los datos de la pregunta 1 como un histograma con una frecuencia

de categoría de:

a. 50

b. 100

Para las preguntas 4, 5 y 6 utilice el siguiente diagrama de tallo y hoja que

muestra los datos recopilados para la velocidad de 40 coches en una zona

límite de 35 mph en Culver City, California.

4. Halla la media, la mediana y la moda de velocidad.

5. Completa la tabla de frecuencias a partir de las 25 mph con una

frecuencia de intervalos de 5 mph.

6. Utiliza la tabla para construir un histograma con los intervalos de la tabla

de frecuencias.

Para las preguntas 7, 8, 9, 10 y 11 utilice el histograma que se muestra a

continuación. Éste muestra los resultados de un estudio a mayor escala del

número de hermanos de unos individuos. Utilízalo para encontrar:

7. La mediana de los datos.

8. La media de los datos.

9. La moda de los datos.

10. El número de personas que tienen un número impar de hermanos.

11. El porcentaje de personas encuestadas que tienen 4 o más hermanos.