Material Suplementario
Introducción a la
teoría de conjuntos
crodzmateupra.wordpress.com
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Departamento de Matemáticas
Original: Prof. Yuitza T. Humarán Martínez
Adaptación: Prof. Caroline Rodríguez
Conjunto
Un conjunto es una colección bien definida
de objetos.
“Bien definida” se refiere a que para cualquier elemento
que consideramos, podemos determinar si está o no, en el
conjunto. Esto es, hay que evitar definir conjuntos que
dependan de opiniones o preferencias.
Ejemplos
Conjuntos bien definido
– El conjunto de las vocales del alfabeto españon.
– El conjunto de los profesores de matemáticas de la
UPRA durante el primer semestre del 2012-2013.
Conjunto que NO está bien definido
– El conjunto de los mejores sabores de mantecado
– El conjunto de los actores más guapos de Hollywood
Elementos
A los objetos que forman un conjunto se les llama
elementos.
Se dice que un elemento pertenece al conjunto o
que es miembro del conjunto.
Por ejemplo,
– “a” es elemento del conjunto de vocales de la
lengua española.
– “azul” es elemento del conjunto de los colores
primarios.
Notación de lista para conjuntos
Un conjunto puede representarse haciendo la lista de sus
elementos separados por comas y entre llaves. Esta
notación se conoce como forma de listado o lista.
Por ejemplo:
1. El conjunto de las vocales de la lengua española se
denota
{a, e, i, o, u}.
2. El conjunto de los colores primarios se denota
{azul, rojo, amarillo}.
Notación de conjuntos
Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, C,…, para
denotar o representar conjuntos.
Por ejemplo:
– El conjunto de las vocales de la lengua española se
puede denotar,
V = {a, e, i, o, u}
– El conjunto de los colores primarios se puede denotar,
C = {azul, rojo, amarillo}.
Notación de elementos
Un elemento cualquiera de un conjunto se denotan con una
letra minúscula.
Para un conjunto A, escribimos a ∈ A si a es elemento de A
(a pertenece al conjunto A).
Si b NO es elemento de A, escribimos b ∉ A.
Por ejemplo:
– Sea B = {☼, ♫, ☺, □} entonces,
• ☺∈ B
• @ ∉ B
Conjunto vacío
El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que no contiene
elementos.
Se denota como { } o Ø.
Por ejemplo:
– El conjunto de los estudiantes de este salón que han
ido al satélite de la Tierra, la luna.
Naturales
Números de conteo
– {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
– A este conjunto se le asigna la letra N.
– N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Nota: La elipsis, …, se utiliza para denotar que el conjunto
continúa, siempre y cuando se entienda cuál es el patrón
que genera los elementos.
Notación constructiva para conjuntos
Otra representación para un conjunto es la forma
constructiva o generadora de conjuntos.
Al igual que en forma de listado se utilizan llaves.
Ejemplo:
– El conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, …, 10} en notación
descriptiva se puede escribir,
A = { a | a es un natural menor que 11} ó
A = { a | a es un natural menor o igual a 10}
A = {a∈N | a < 11}
A = {a∈N | a ≤ 10}
Notación de lista a constructiva
Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, 100}
en notación constructiva.
C = {x ∈ N | x < 101}
C = {x | x ∈ N y x < 101}
C = {x ∈ N | x ≤ 100}
C = {x | x ∈ N y x ≤ 100}
Observación: D = {x | x ≤ 100}, es un conjunto distinto, ya que
D contiene TODOS los números menores o iguales a 100.
Por ejemplo,
0 ∈ D pero 0 ∉ C;
-50 ∈ D pero -50 ∉ C;
½ ∈ D pero ½ ∉ C
2 ∈ D pero 2 ∉ C
25.35 ∈ D pero 25.35 ∉ C
Notación descriptiva a lista
Ejemplo: Escriba el conjunto en forma
descriptiva usando notación de conjuntos y
en forma de lista: El conjunto de los
naturales entre 5 y 10
Solución:
forma generadora: {x ∈ N | 5 < x < 10}
forma de lista: {6, 7, 8, 9}
Subconjunto
C es subconjunto de D y escribimos
C D si cada elemento de C es también un
elemento del conjunto D.
Por ejemplo:
Sea D = {1, 2, 3, %, 0} y
C = {%, 1} entonces,
C D.
¿D es subconjunto de D?
Ejemplo
Si A = {lunes, martes, jueves} y
B = {lunes, martes, viernes} entonces
B no es subconjunto de A.
– ¿Por qué?
– Porque B tiene un elemento(viernes)
que no es elemento de A.
– Si B no es subconjunto de A, escribimos
B A.
Conjunto universo
El conjunto universo es el conjunto que contiene todos los elementos de los conjuntos bajo consideración.
Se denota U.
Por ejemplo:
– A = {1, 2, 3, 5, 7}
– B = {2, 4, 6, 8}
– C = {2, 5, 10}
– El conjunto universo más pequeño para estos conjuntos es:
U={1, 2, 3,4,5,6,7,8,10}
Otro conjunto universo podría ser:
U={1, 2, 3,4,5,6,7,8,9,10}
Operación de conjuntos: Complemento
• El complemento de un conjunto A, denotado A’ o
𝐴 , es el conjunto de todos los elementos del
conjunto universo, U, que no pertenecen al
conjunto A.
• Ejemplo: Sea U={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} y
(1) A = {1, 2, 4, 10} entonces,
A’ = {3, 6, 7, 8, 9}
(2) B = { 2, 4, 6, 8, 10}
B’ = {1, 3, 7, 9}
Operación de conjuntos: Unión
Para los conjuntos A y B la unión de A
y B está dada por:
A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}.
Este conjunto contiene a los elementos
en A o en B o en ambos.
Ejemplo
Si A = {2, 4, 6, 8, 10},
B = {6, 8, 10, 12, 14} y
C = {14, 16, 18}, determine:
A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
A ∪ B ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
Ejemplo
Sea C = conjunto de los números
Cardinales.
Entonces, C se puede definir como
C = 𝑁 ∪ {0}
ya que C = {0, 1, 2, 3, 4,…}
Operación de conjuntos: Intersección
Para A, B la intersección de A y B está
dada por:
A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}.
Este conjunto contiene todos los
elementos que están en A y en B
simultáneamente.
Ejemplo
Si A = {2, 4, 6, 8, 10},
B = {6, 8, 10, 12, 14} y
C = {2, 16, 18}, determine:
1. A ∩ B =
2. A ∩ C =
3. B ∩ C =
{6, 8, 10}
{2}
{ }
Conjuntos disyuntos
Si A ∩ B = Ø entonces A y B son
conjuntos disyuntos.
Dos conjuntos son disyuntos si no
tienen elementos en común.
Por ejemplo,
Si A= {Jesús, María, José} y
B = {Juan, Esther, Angel}
Entonces A y B son disyuntos.
Si A= {1, 2, 3} y
B = {1.1, 1.2, 1.3}
Entonces A y B son disyuntos.
Práctica
Determinar si los siguientes conjuntos son
disyuntos o no.
1. el conjunto de los números naturales impares y
el conjunto de los números naturales pares
2. F = { tiza, profesor, regla}
E = { pizarrón, tiza, borrador}
3. V = {v | 6 < v ≤ 12}
W = {w | 12 < w ≤ 20}
4. N = conjunto de los números naturales
C = conjunto de los números cardinales
Práctica 1
En los ejercicios siguientes si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A= {1, 2, 4, 5, 8} B = {2, 3, 4, 6} Determine: a) B’ =
b) A ∩ B’ =
c) A′ ∪ (A ∩ B) =
d) (A U B)’ =
{1, 5, 7, 8}
{1, 5, 8}
3, 6, 7 ∪ {2,4} = 2, 3, 4, 6, 7
({1, 2, 3, 4, 5, 6, 8})’ ={7}
Práctica 2
En los ejercicios siguientes si U = {0,1, 2, 3, 4, 5, …} A= {1, 2, 3, 4, … }
B = {4, 8, 12, 16, …} C= {2, 4, 6, 8, … } Determine: a) A ∪ B =
Examimenos: A={1,2,3,4,…7,8,9,…11,12,13…15,16,17,… } B = {4, 8, 12, 16, …} Como cada elemento de B es natural, B A. Por lo tanto, A ∪ B = A
∅
Práctica 2- continucación
En los ejercicios siguientes si U = {0,1, 2, 3, 4, 5, …} A= {1, 2, 3, 4, … }
B = {4, 8, 12, 16, …} C= {2, 4, 6, 8, … } Determine: c) A’ ∩ C =
0 ∩ 2, 4, 6, 8… = ∅
Examimenos: A′={0}
C = {2, 4, 6, 8, …} Por lo tanto, A’ ∩ C =
Práctica 2- continucación
En los ejercicios siguientes si U = {0,1, 2, 3, 4, 5, …} A= {1, 2, 3, 4, … }
B = {4, 8, 12, 16, …} C= {2, 4, 6, 8, … } Determine: c) (B U C)’ U C=
C’ U C = U
Examimenos:
C= {2, 4, 6, 8, …,10, 12, 14, 16… } B = {4, 8, 12, 16, …} Note B C, por lo tanto (B U C) = C Y por definición de complemento,
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