carpeta dematemática
IIIIII
carpeta dematemática
Libro para el docenteLibro para el docente
Tapa carpeta de matematica III docente.indd 1 11/29/13 11:29 AM
Romero, Gustavo G. Carpeta de matemática III : recursos para el docente / Gustavo G. Romero y Martín Miguel Pérez. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2013. 24 p. ; 28x22 cm.
ISBN 978-950-46-3659-5
1. Matemática. 2. Guía Docente. I. Pérez, Martín Miguel II. Título CDD 510.712
Jefa de arte: Claudia Fano.Diagramación: Diego Ariel Estévezy Exemplarr.Corrección: Paula Smulevich.© 2013, EDICIONES SANTILLANA S.A.Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. ISBN: 978-950-46-3659-5Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723.
Impreso en Argentina. Printed in Argentina.Primera edición: diciembre de 2013.
Este libro se terminó de imprimir en el mes de febrero de 2014, en Gra� sur S.A., Cortejarena 2943, Ciudad Autónoma de Bue-nos Aires, República Argentina., República Argentina.
Libro para el docente
CARPETA DE MATEMÁTICA III Libro para el docente es una obra colectiva, creada,
diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana,
bajo la dirección de Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo:
Gustavo G. RomeroMartín M. Pérez
Jefa de edición: María Laura Latorre.Gerencia de gestión editorial: Mónica Pavicich.
ÍndiceRecursos para la plani� cación, pág. 2
Soluciones, pág. 6
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Nota: las respuestas que no figuran se consideran a cargo de los alumnos.
1 Divisibilidad de enteros.
Números racionales
1. a) 1; –1; 3; –3; 5; –5; 15 y –15.
b) 1 y –1.
c) 1; –1; 2; –2; 4; –4; 7; –7; 14; –14; 28 y –28.
d) 1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 9; –9; 12; –12; 18; –18; 36 y –36.
2. No, porque 2, –2 y 0 son pares y no son compuestos.
3. Hay 2 entre el 20 y el 30, y 3 entre el 40 y el 50.
4. Infinitos. Todos los números enteros distintos de cero.
5. a) 52
b) 19
c) 23 · 32
d) 7 · 13
6. a) Porque es múltiplo de 2.
b) Se puede escribir como 4 · 2 · 13 · 5.
c) Porque es múltiplo de 2 y de 5, o sea, de 10.
d) Porque 3 no aparece en el factoreo.
e) Se puede escribir como 8 · 13 · 5.
7. a) 4 c) 1
b) 10 d) 9
8. n = 21
9. Puede dividirse en 40 parcelas de 24 m de lado. Se usarán 54 postes.
10. a) 18 c) 420
b) 120 d) 180
11. El número p podría ser 5, 10, 15, 30, 45 o 90.
12. Cada un minuto (60 s).
13. 42 arreglos.
14. a) –0,2 = – 15 = 15− = – 2
10
b) – 16 = – 212 = 3
18− = �
0,16−
c) 4 = 82
= 82
−−
= 41
d) 0 = 030
= 05−
= 01
15. a) Decimal exacto.
b) Decimal periódico.
c) Decimal exacto.
d) Decimal periódico.
e) Entero.
f) Decimal periódico.
16. a) 72
c) 115
b) 54
d) 163
17. a) 52
b) – 201100
c) 150.000
d) 11.000
e) 1115
f) – 9825
18. 0,75 = 600800
= 34
= 7501.000
= 1216
−−
738600
123100
246200
= = = 1,23
152
= 7,5 = 7510 = 45
6
19. a) 4
10 = 0,4
b) No se puede.
c) 175100
= 1,75
d) 3751.000
= 0,375
e) No se puede.
f) 36100
= 0,36
20. a) – 21599
b) 109
c) 2900
= 1450
d) 1495
e) – 17755
f) 6.599999
Soluciones
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21. a) 52
b) 1
c) – 1310
Los números de período 9 también pueden expresarse como decimales exactos.
22. a) � �
1,02 y 0,002.
b) � �
0,3 y 1,6.
c) No es posible.
25. 19
; 16
; 29
; 13
; 23
.
26. Hay infinitas soluciones correctas.
27. Hay infinitas soluciones correctas.
28. a) 0
b) – 38
c) – 78
d) 76
29. a) –0,49
b) –97,8
c) –4,37
d) 2
30. a) – 12
b) – 815
c) – 18
d) –1
31. a) 225 g
b) 75 g
32. a) F: 32
· 52
= 154
.
b) V: 12
· 53
= 56
.
c) V: 0,3 · 0,2 = 0,06.
d) F: 0,3 35
0,2�
⋅ = .
e) F: 0,2 : 0,6 = �
0,3.
33. a) – 13
b) 2227
c) 9
16
d) 6619
e) –15,2
f) 59
g) – 173
h) 4,8
i) –0,015
j) 95
34. Sí, ya que la suma de las fracciones recorridas da más que el entero.
35. a) El error está al pasar �
0,16 a fracción, que es 16. El resultado
correcto es 922.
b) En el segundo paso no se respetan los términos. El
resultado correcto es 79.
36. a) – d) ×
b) × e) ×
c) – f) +
37. a) 3
20 del total son pequeños.
b) Hay 1.250 en total.
38. a) 3625 d) 2
b) 6427 e)
12527
c) 36 f) 25681
39. a) –3 b) 1
16
40. a) 43 e) 1
b) 1 f) 2764
c) 36 g) 449
d) 4964 h)
425
41. a) 81 b) 36
42. a) 7,8 · 1010
b) 1,28 · 105
c) –2,34 · 108
d) –1 · 104
e) 4 · 10–5
f) 1,23 · 10–2
g) 103
· 10–9
h) –2,8 · 10–5
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43. a) 33.000.000
b) 0,09
c) –51.000
d) 4.090.000.000
e) −1.333.333,3
f) –0,00031
44. 37
· 10–12; 10,2 · 1031; 14 · 106, y –0,3 · 10–23 no están expre-
sados en notación científica, ya que el factor que no es potencia de 10 no está entre –10 y –1 ni entre 1 y 10.
45. Algunos ejemplos pueden ser la medición de células o vi-rus, el pesaje en farmacéutica, mediciones astronómicas, etcétera.
46. El b), porque el exponente de 10 es –17; el c), ya que el resul-tado es negativo, y el d), porque el exponente de 10 es –11.
47. Aproximadamente 8 minutos y 20 segundos.
48. Aproximadamente 2,24 · 1030 granitos.
49. 113 y 127.
50. a) 9 (hay más ejemplos).
b) No es posible, porque los divisores primos vienen de a dos (uno y su opuesto); por ejemplo, 2 y –2.
c) –1 (o 1).
d) Cualquier número entero excepto el cero.
e) 6; 28 y otros.
51. Por ejemplo, 11 (son infinitos).
52. p = 3, q = 2 y r = 5.
53. a) 3 d) 1
b) 1 e) 14
c) 20
54. a) 168
b) 380
c) 1.260
d) 1.716
e) 140
55. a) 4 c) 5
b) 5 d) 26
56. Se trata de 45.
57. a) 30 chicos.
b) 8 lápices, 12 biromes y 5 cuadernos.
58. a) Podrían ser de, por ejemplo, 12 cm, aunque hay otras posibilidades.
b) De la varilla más larga se obtendrían 12 y de la otra, 9. (Cada recorte mediría 8 cm).
c) Mediría 24 cm.
59. a) 20 minutos.
b) Benjamín dio 4 vueltas y Mateo hizo 5.
60. a) 600 b) 1.800
61. Sí, 55 = 1.
62. a) 4710 f)
190
b) �
0,6 g) 1,8
c) 04
h) 319
d) 2,75 i) 332165
e) 0,428571� j) 10099
63. a) F: tiene infinitos.
b) F: 52 = 2,5 = �
2,49.
c) F: �
1,16 · 0,857142 = 76 · 67 = 1.
d) V.
e) F: 1,3 0 0�
=0 ; 0,3 3�
=3 1.
64. �
3,6;− – 185
; – 247
; �
0,016; 16
; 52
; 3; 163
.
65. Hay infinitas respuestas correctas.
66. En la segunda oferta.
68. a) x = 3655
b) x = – 2524
c) x = – 1145
69. a) 5
14 b) 84
70. a) 13 novelas, 1
3 del cole, 112
poesía, 112
cuentos, y 16 enci-
clopedias y diccionarios.
b) 12
71. La usa 2 h para jugar, que es 16
del total.
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72. a) –0,02
b) –11,052
c) 0,5
73. a) –1
b) 4
c) – 34
d) 2110
e) 965
f) 4399
g) 136
74. a) 0,25 · (( )(( ))) – 18
· 1,5 = 3748
b) ( )0,75 [(0,3 1) 1,5] : , , 3320
� �− [(0 3 =( )15] :
c) ( ), , ( 1 0,3) 29
� �⋅) −1 = −
75. a) 12 c) 4 e) 3
b) 3 d) 54
f) 9
76. a) 3,5 b) 0,7
77. 3–8
78. a) 6160 b)
54
c) – 14
79. a) 4,57 · 10–8
b) 2,5 · 108
c) 2 · 10–5
d) 3,6 · 1010
e) 1,58 · 10–8
80. Los ítems a), c) y e) están bien. La forma correcta de expre-sar los restantes es:
b) 1,2 · 10–3
d) 2 · 101
f) 1 · 1011
81. a) 9,8 · 106
b) 1,01 · 10–3
c) 2,21 · 102
En todos los casos es posible darse cuenta porque el expo-nente de 10 es el mayor.
82. a) 2,3 · 100
b) 5 · 105
c) 2 · 10–16
2 Expresiones algebraicas
Letras y números
a) a · b = b · a
b) a – b ≠ b – a (aunque la igualdad vale si a = b).
c) a · 1a = 1 (no vale para a = 0, porque 0 no tiene inverso).
d) 3n + 3 = 3(n + 1)
e) n < n + 1
1. Son polinomios: 3p3 – 1; –2 + 5y2 + y; 12
x – 3.
2. El grado de 3p3 – 1 es 3; el de –2 + 5y2 + y es 2; y el de 12x – 3 es 1.
3. La primera fila se completa con: 6; 0; –1; 1; 0 y 0. La segun-
da, con: 10; –6; 12
; –31; –34; –56. La tercera fila, con: 10;
–3; – 74
; –1; 2; –2.
4. a) Hay varios, por ejemplo, –x3 + 2x + 1.
b) 0,2x5.
5. a) –x5 + x4 + x3 + 4x2 + 3
b) –x5 + 5x4 + 5x3 – 4x2 – 3
c) 2x3 – 2x2 – x – 4
d) 0
e) –x3 + 0,1x2 – 1,5x + 0,8
f) 14
x3 + 2x2 + 15
x – 176
6. Se completan con:
a) – x3 + 3x2 + 1
b) –x3 + 6x2 + 7
c) 2 – x2 – 4x3
d) – 34 x3 + 2x2 – 23
x + 15
7. a) El primer polinomio se completa con x; el segundo, con –x3 – 6x2, y el tercero, con 0.
b) El primer polinomio se completa con 0x3 y 3x; el segun-do, con 0x2, y el tercero, con –5.
c) El primer polinomio se completa con –5x3 + 10x2 + 0x + 16; y el segundo, con 0x4.
d) Se puede completar de muchas formas.
8. a) –6x7 – 6x6 – 8x5
b) –25x5 + 5x4 – 15x3
c) 1,5x5 – 3x4 + 6x3 – 1,5x2
d) – 710
x5 + 32
x3 + x2
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9. a) Cociente: 13x2 – 2x – 1.
Resto: 0.
b) Cociente: –0,5x3 + 0,75x2 + 1,5x.
Resto: 0.
c) Cociente: –0,3 x2 – 0,25.
Resto: 1,2x2 + 1,5x.
d) Cociente: –0,25x2 + 0,5x + 2.
Resto: –0,5.
10. a) 2x3 + 9x2 – 6x
b) –8x4 – 8x3 + 10x2 – 4x
c) –8x5 + 12x3 + 20x2 + 7x
d) –14x4 + 21x2 + 42x
11. a) –1,2x5 – 3,6x4 – 6x3
b) 2x3 – 1,5x + 3,5
c) –25x4 + 10x3 – 10x2 – 2x + 3
d) x5 – 6x4 + 10x3 – 7x2 + 6x
e) x5 – 8x4 + 5,25x3 – 15,25x2 + 2x – 6
12. Se puede resolver de muchas formas; por ejemplo:
a) 3x2 · (–2x3 + 4x2 + 1)
b) 3x2 · (5 + 4x2 – x)
c) 7x · (2 – x2 + 7x3)
13. a) 2x b) –2x3 c) 0,5x2
14. Podría expresarse como 1,5x · (x + x) + 2 · x, o también como (1,5x + 2) · x + 1,5x · x, o como resta, (1,5x + 2) · (x + x) – 2 · x. En todos los casos, al desarrollarlo se obtiene 3x2 + 2x.
15. a) V(x) = x · (2x + 5) · (0,5x + 2) = x3 + 6,5x2 + 10x
b) El lado más chico de la base debe medir 6 cm, por lo que los otros lados miden 5 cm y 17 cm.
c) Ani tiene razón, porque si el lado más chico de la base se agranda 2 cm, o sea, es de 8 cm, el volumen es de 1.008 cm3.
16. Se tachan: a), b), f) y h).
c) 25x4 – 9
d) 25x4 – 9
e) –4x4 + 1
g) 9x2 – 4x4
17. a) 9x8 + 6x5 + x2
b) 0,25x4 – x2 + 1
c) x2 – 4x4 + 4x6
d) x6 + 2x4 + x2
e) 27 – 27x2 + 9x4 – x6
f) –8x6 + 12x4 – 6x2 + 1
g) 27x3 – 54x4 + 36x5 – 8x6
h) –125x6 – 225x4 – 135x2 – 27
18. a) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
b) x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1
c) x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1
d) –2x3 + 2
19. a) Emi tiene razón.
b) Se tachan el segundo y el cuarto.
x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
20. a) 4x + 12
b) π · (3x2 + 22x + 40)
c) 4x2 + 12x + 8
d) 1 18
π)) )4 12 ((4 1
2π)x2π x +x)1
2π −
21. a) V(x) = 312 π x3 – 130 π x2 – 523
π x + 263
π.
b) Sería de alrededor de 20 cm3.
22. a) x = –6
b) x = –20
c) x = – 23
d) x = 2,5
e) x = 0,3
f) No tiene solución.
g) x = 3,75
h) x = –0,5
23. Male se equivocó; a Toti le faltó la solución x = 0.
24. a) x = 0; x = 53.
b) x = –9; x = 0,2.
c) x = –3; x = 0,5.
d) x = 3; x = 0.
e) x = –4; x = 0; x = 13.
f) x = 0; x = –1; x = 1,5.
25. Lucas: el segundo renglón se completa con (x – 3) y (x + 3); el tercero, con 3 y –3.
Raquel: el primer renglón se completa con “un trinomio cuadrado perfecto”; el segundo, con “el cuadrado de un binomio”; en el tercer renglón va 2 y –2, y en el último, 3 y –1.
26. a) x = 43
; x = – 43
.
b) x = 0,4; x = –0,4.
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c) x = 1,5; x = –1,5.
d) x = –2
e) x = 0,5
f) x = 3
27. a) Dos lados miden 6 cm y los otros dos, 10 cm.
b) Los lados del cuadrado medían 4 cm.
29. a) x ≥ –4
b) x < 1
c) x > –2
d) x ≤ –1
30. Pao dice lo correcto.
31. a) 0 ≤ x < 4
b) –2 ≤ x ≤ 3
c) –5 < x < –1
d) –3 < x ≤ 3
32. a) x > 0,1
b) x ≤ –2,8
c) x > 1,25
d) No tiene solución.
e) x ≥ –1
f) x > 1,4
g) x ≤ 0,25
h) x ≤ 5
33. Sí, porque se obtiene una desigualdad que siempre es ver-dadera: –1 > –3.
35. a) –x3 – x2 + x + 4
b) –2x4 + 2x3 + 4x2 + 5x + 3
c) –0,9x4 + 0,6x2 + 0,8
d) – 14x3 + 4x2 – 54x + 34
e) –x
36. a) –20x6 + 5x5 + 10x4 – 15x3
b) –x5 + x3 – 0,4x4 + 1,2x
c) – x4 – 43x5 + 103 x6 – 7
3x2 + 10
3 x3
d) –8x5 – 43x6 + 23x4 + 143 x3
37. a) C: –2,5x2 + 0,5x + 1. R: 8.
b) C: 13x2 – 13
x + 12. R: 4x – 5.
c) C: x3 + 4x + 1. R: 3x – 1.
d) C: 8x2 – 4x3 + 4x. R: –5.
38. –6x4 + 9x3 – 3x2 – x + 3
39. –2x4 + 23x2 – x + 23
40. Hay más de una respuesta correcta, por ejemplo, –5x4 + 10x3 – 5x2.
41. a) 6x7 – 12x5 + 8x3
b) 4x4 + 12x3 – 17x2 + 5x
c) x4 – x2 + 2x – 1
d) 2x4 – x3 – 256 x2 + 43x + 2
e) 25x6 – 4
25x5 + x4 + 35
x3 – 25
x2 + 52x – 1
42. a) –0,1x2 + 0,2x – 0,6
b) No se puede.
c) –7 + 2x2 – 5x
43. Se completan con:
a) 2x5
b) 0,5x
c) (– 0,5x2 + 1,5x – 2)
d) –x3
e) (– 2x3 + 6x2 – 8)
44. a) 0,01x2 – 1
b) 4
25 – x6
c) 1,44x2 – 4,8x + 4
d) 9x4 + 2x2 + 19
e) x4 – x5 + 0,25x6
f) 1
27 x3 + x2 + 9x + 27
g) –27x6 + 27x5 – 9x4 + x3
h) –0,5x + 1
i) x3 + 3x2 + 5x + 3
j) –4x2 + 4x – 1
45. a) (6x – 5) · (6x + 5)
b) (9 – 2x) · (9 + 2x)
c) (5x – x3) · (5x + x3)
d) (0,1x2 – 1) · (0,1x2 + 1)
46. a) No.
b) (x – 5)2
c) No.
d) (0,1x2 + 1)2
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47. Se completan con:
a) 60x
b) 12x
c) 16
d) 0,01x4
48. a) (2 + π)x2 – (12 + 6π)x +(18 + 9π)
b) (0,125π – 0,25)x2 + (1,25π – 2,5)x + (3,125π – 6,25)
c) 9,5πx2 + 28,5πx + 21,375π
49. Los valores se aproximaron a los centésimos.
a) 5,14 b) 6,99 c) 365,61
50. Las raíces son 0,5; –0,4 y 3.
51. a) x = 0
b) x = 0; x = – 53
c) x = 3; x = –3
d) x = 0; x = 3
e) x = –2
f) x = 0,5; x = –5; x = –3
g) No tiene solución.
h) x = –2,6
i) x = 5; x = –0,25
j) x = –4
53. a) x = –3
b) x = –0,5; x = –2,5
c) No tiene solución.
d) x = – 27 e) x = 5
54. Los lados más largos miden 15 cm cada uno y los más cortos, 10.
55. a) x < 458
b) x ≥ 8
c) x ≥ – 1320
d) x < 3
e) x > 1
3 Números reales:
Números que trajeron problemas
a) Son enteros y no negativos: 0; 7; 2.503.
b) Expresan cantidades enteras. Pueden ser negativos: –23; 0; 45.
c) Se pueden expresar como fracción: 0,5 = 12
; –7 = – 71
;
�
0,3 = 13
.
1. Son racionales: 0,555555… (suponiendo que continúe siempre con 5);
�0,24 y 9. En cambio, 3 y π + 2 son
irracionales.
2. a) Está formado por los impares escritos uno a continua-ción del otro.
b) Está formado por los múltiplos de 5 escritos uno a con-tinuación del otro.
c) Está formado por los números pares, cada uno seguido de la misma cantidad de ceros que el número que lo antecede.
3. Por ejemplo, 1253 y 144 son racionales, mientras que 5,
7, 26, 50 y 43 son irracionales.
4. a) Algunos de…
b) Algunas de…
c) Todos…
6. Ambos son correctos.
7. a) 2 2
b) 6 (no es irracional).
c) 3 2
d) 13 3−
e) 5 2
f) 4 2 3 3+ (queda así).
g) 31,8 2
h) 0 (no es irracional).
i) 25−
j) 4 33
8. a) 4 (racional).
b) 0,5 (racional).
c) 2 (racional).
d) 4 3 2
e) 3 (racional).
f) 15 3 3 5 5 15− +3 3 −
g) –22 (racional).
h) 11 (racional).
i) 8 2 7
j) 8 2 15
9. Se pueden completar de muchas formas, por ejemplo…
a) 2− d) 2
b) 7 2− e) 3
c) 1 5 f) 33
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10. Por redondeo Por truncamiento
0,333 0,333
0,667 0,666
1,414 1,414
3,142 3,141
1,732 1,732
1,618 1,618
11. a) Por truncamiento.
b) A veces se obtiene un número mayor al redondear.
12. a) [0; 3,4)
b) (–2,4; –1,2)
c) (–0,4; 2,2]
d) [–1,5; –0,5]
e) [1,1; 1,2)
13. a) 1 ≤ x < 2,5
b) –2,3 < x ≤ 0
c) –0,5 < x < 1,5
d) –1 < x ≤ 5,1
e) –3,6 ≤ x ≤ 2,5
14. a) Por ejemplo, los racionales pueden ser –0,92 y –0,95, y los irracionales, –0,91929394… (agregando cada vez el
siguiente) y – 83
.
b) Ninguno.
c) Hay uno, el –1.
d) [–1; –0,9)
15. a) x > –0,5
b) x ≤ 5,1
c) x < 2,2
d) x ≥ –3
16. Se equivocaron Carla y Julián.
17. Por ejemplo…
a) (–5,5; –3,5)
b) [3; 4]
c) No, porque entre dos números siempre hay otro racional.
d) [0; ∞)
e) (–∞; 0)
f) (–∞; ∞)
18. a) (–1; ∞)
b) (–∞; 3)
c) [1,2; ∞)
d) [–8; ∞)
e) (–∞; 3]
f) 177
;∞)(− g) (–2; ∞)
h) [–2,5; ∞)
19. Son racionales –1,5; π – π y �
0,5. Los otros son irracionales.
20. En el b).
21. Por ejemplo, 3 y 4. Pueden encontrarse otros.
22. a) –π
b) 0 y 2π.
c) π – 1 y π + 1.
23. a) 5 2 2
b) 6 4 2−6
c) 4 2 2−4
d) 7 5−
e) 3 5
f) 3 2 3
g) 5 23−
h) 7
i) 0
j) 9 5 23
24. Racionales enteros: h) e i); no hay resultados racionales no enteros. Los restantes son irracionales.
25. Se unen 8 con 2 2; 8 2 y 18 con 3 2; y 2 6 con 12 y 2 3.
26. a) 6
b) 6 2
c) 7 21 2
d) 5
e) − −5 25 2 6
f) 6
g) –3
h) 54 14 5−
i) 21 14 2−
j) −4 3− 5 3+ 253 35 3+
27. a) 11 d) 95
b) 2 e) 43
c) 3
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28. P = 10 7 3+ 7 A = 8 3
29.
Por redondeo Por truncamiento
3,87 3,87
0,29 0,28
2,52 2,51
0,36 0,36
9,87 9,86
30. Por ejemplo…
a) 0,31
b) 1,121
c) 2,3547
31. No, porque al redondear 23 queda 0,7.
32. a) 15,87 m
b) 16 tiras.
c) 53 tiras.
33. a) 22 ≤ x ≤ 26
b) 6 ≤ x ≤ 23
34. a) –7,5 < x < –7
b) –5 < x ≤ –1
c) 4 ≤ x < 4,5
d) –1 ≤ x ≤ 0
e) 25
< x ≤ 85
f) 0 ≤ x < 5 1,�
g) 0,5 ≤ x ≤ 0 5,�
h) − 2 < x < 2
35. a) (–5; –2)
b) (–2; 5)
c) (–2; 2)
36. a) (–2; 0]
b) [–5; ∞)
c) [–3,2; –3)
d) (–1,25; ∞)
e) ∞; 2,2�)(−
f) ∞; 0,6�(−
g) 0,3; 0� )(−
h) ; 2 2(−∞
37. Carla y Romi tienen razón.
38. a) x ≥ 9,5 [9,5; ∞)
b) x > 13
(0 3,�; ∞)
c) x ≥ 0 [0; ∞)
d) x > 7 (7; ∞)
e) x ≤ 0,75 (–∞; 0,75]
4 Funciones. Sistemas de ecuaciones
Funciones por aquí, funciones por allá
a) Entre las 3:00 y las 7:00. Son 10.000 usuarios.
b) Unos 65.000. A las 23:00.
c) Entre las 7:00 y las 12:00, y entre las 16:00 y las 23:00 aumentan. Entre las 0:00 y las 3:00, y entre las 23:00 y las 24:00 disminuyen.
1. a) No representa una función.
b) No representa una función.
c) Representa una función.
d) Representa una función.
2. a) Dom = ; Im = (–∞; 9]; raíces: x1 = –1 y x2 = 5; ord. ori-gen: y = 5; int. crec.: (–∞; 2); int. decrec.: (2; +∞); máx. abs.: y = 9 en x = 2.
b) Dom = ; Im = (–∞; 4]; raíces: x1 = –2 y x2 = 3; ord. ori-gen: y = 2; int. crec.: (–∞; 2); int. decrec.: (2; +∞); máx. abs.: y = 4 en x = 2.
c) Dom = [0; 20]; Im = [–3; 3]; raíces: x1 = 5 y x2 = 15; ord. origen: y = 3; int. crec.: (10; 20); int. decrec.: (0; 10); máx. abs.: y = 3 en x = 0 y en x = 20; mín. abs.: y = –3 en x = 10.
3. El error está en la última fila, porque f(3) = 13
.
4. a) f(x) = 2x – 1
b) f(x) = –x + 2
5. a) f(x) = x + 3; raíz: x = –3; ord. origen: y = 3. Creciente.
b) f(x) = – 13x + 1; raíz: x = 3; ord. origen: y = 1. Decreciente.
c) f(x) = –2; no tiene raíz; ord. origen: y = –2. Constante.
d) No es función.
8. f(x) = x + 1
9. f1(x) = 2x + 1; f2(x) = –0,5x + 3,5.
10. y = 14
x + 54
; y = 14
x + 134
.
11. a) f1(x) = 3x; f2(x) = – 13x + 2. Perpendiculares.
b) f1(x) = x + 2; f2(x) = x – 2. Paralelas.
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c) f1(x) = x + 2; f2(x) = –4x + 2. No son paralelas ni perpendiculares.
d) f1(x) = 3x + 1; f2(x) = 3x – 3. Paralelas.
12. a) y = 12x – 1
b) y = –2x + 1
13. Es rectángulo porque las rectas y = – 12x + 52
e y = 2x son perpendiculares.
14. a) Verdadera. Al cambiar solo la ordenada al origen, la pen-diente se mantiene constante, por lo tanto, la inclina-ción de la recta no cambia.
b) Falso. La recta es única.
c) Verdadero. Todas tienen la misma pendiente.
d) Falso. Hay infinitas rectas que no son paralelas ni per-pendiculares a la dada.
15. a) Las ramas van hacia abajo. Las raíces son x = 3; x = –1.
b) Las ramas van hacia arriba. El vértice es (1; –4).
c) Las ramas van hacia arriba. La ordenada al origen es y = 2.
d) Las ramas van hacia abajo. La ordenada al origen es y = –2 y el vértice es (0; –2).
16. a) Dom = ; raíces: x1 = –2 y x2 = 2; ord. origen: y = 4; eje de simetría: x = 0; vértice: (0; 4); Im = (–∞; 4]; int. crec. = (–∞; 0), int. decrec. = (0; ∞).
b) Dom = ; raíces: x1 = 1 y x2 = 3; ord. origen: y = 9; eje de simetría: x = 2; vértice: (2; –3); Im = [–3; ∞); int. crec. = (2; ∞), int. decrec. = (–∞; 2).
c) Dom = ; raíces: x1 = –4 y x2 = 0; ord. origen: y = 0; eje de simetría: x = –2; vértice: (–2; 8); Im = (–∞; 8]; int. crec. = (–∞; –2), int. decrec. = (–2; ∞).
d) Dom = ; raíces: x1 = –1 y x2 = 3; ord. origen: y = –3; eje de simetría: x = 1; vértice: (1; –4); Im = [–4; ∞); int. crec. = (1; ∞), int. decrec. = (–∞; 1).
17. a) f(x) = –(x – 2)(x + 2)
b) f(x) = 3(x – 1)(x – 3)
c) f(x) = –2x(x + 4)
d) f(x) = (x – 3)(x + 1)
18. a) x1 = 2; x2 = 12
b) x1 = 8; x2 = 0
c) x1 = x2 = –2
d) x1 = x2 = 0
19. a) I) Dos. II) Una.
b) Gráficos a cargo de los alumnos.
I) Dom = ; raíces: x1 = 1 7−1 y x2 = 1 7− +1 ; ord. ori-gen: y = –6; eje de simetría: x = –1; vértice: (–1; –7); Im = [–7; ∞); int. crec. = (–1; ∞), int. decrec. = (–∞; –1).
II) Dom = ; raíces: x1 = x2 = 3; ord. origen: y = 9; eje de simetría: x = 3; vértice: (3; 0); Im = [0; ∞); int. crec. = (3; ∞), int. decrec. = (–∞; 3).
20. a) f(x) = 2x2 – 12x + 10
b) f(x) = x2 – x – 6
21. Tiene infinitas soluciones, por ejemplo, x = –3 e y = 0, o bien, x = 0 e y = 1. En general, para cualquier valor de x, el
valor de y se calcula con la fórmula y = 13
x + 1.
22. Compatible determinado. x = 3; y = 1.
23. a) x = –1,4; y = 0,8.
b) x = 1; y = 2.
c) No tiene solución.
24. a) a = 3; b = 1,5.
b) a = –4; b = 2.
c) a = 6; b = 1.
d) a = 3; b = 295
.
25. y = 13
x + 4; x = –1,8; y = 3,4.
26. Se pueden completar de distintas formas, por ejemplo…
a) …y = 2x + 7. Las pendientes deben ser distintas.
b) …y = 7x + 3. Las pendientes deben ser iguales y las ordenadas al origen, distintas.
27. Sole se equivoca, porque pueden tener distinta ordenada al origen y formar un sistema incompatible.
Caro también está equivocada, porque pueden tener la mis-ma pendiente y en ese caso el sistema es incompatible.
Martu comete un error, porque si las pendientes son distintas, siempre forman un sistema compatible determinado.
Lore está en lo cierto.
28. Se puede armar un sistema y resolverlo igualando la fórmu-la de la posición de cada uno. Lo alcanza cuando están a 40 m de su casa, 20 segundos después de salir.
30. a) Dom: ; Im: [0; +∞); int. crec.: (0; +∞); int. decrec.: (–∞; 0); mínimo absoluto: y = 0 en x = 0; raíz: x = 0; ord. origen: y = 0.
b) Dom: ; Im: ; int. crec.: (–∞; +∞); raíz: x = 0; ord. ori-gen: y = 0.
c) Dom: ; Im: ; int. crec.: (–∞; –2) U (0; +∞); int. decrec.: (–2; 0); mínimo relativo: y = 0 en x = 0; máximo rela-tivo: y = 4 en x = –2; mínimo relativo: y = 0 en x = 0; raíces: x1 = 0 y x2 = –3; ord. origen: y = 0.
31. a) Raíz: x = 2, ord. origen: y = –10.
b) Raíz: x = 103
, ord. origen: y = –2.
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c) Raíz: x = 34
, ord. origen: y = 32
.
d) Raíz: x = 152
, ord. origen: y = 3.
e) Raíz: x = 10, ord. origen: y = –4.
La e) pasa por (60; 20).
32. f(x) = 0,5x – 0,5
33. a) y = –5x + 7
b) y = 15
x + 3
34. a) Pedro tiene razón y Luis no, porque las rectas son
y = 3x e y = – 13
x + 10, y se cortan en el punto (3; 9).
b) Lucas tiene razón y Belén no, porque las rectas
y = 12
x + 3 e y = 12
x + 7 son paralelas y tienen distinta orde-
nada al origen, entonces no presentan puntos comunes.
c) Ninguna de las dos tiene razón, porque las rectas
y = 2x + 5 e y = 23
x + 2 se cortan (porque no son para-
lelas) y no son perpendiculares.
d) Sofi tiene razón y Male no, porque las rectas y = 6x – 2 e y = x + 3 no son paralelas.
35. a) Dom = ; raíces: x1 = 0, x2 = 2; ord. origen: y = 0; eje de simetría x = 1; vértice: (1; –5); Im = [–5; ∞); int. crec. = (1; ∞), int. decrec. = (–∞; 1); mínimo absoluto: –5 en x = 1.
b) Dom = ; raíces x1 = 3, x2 = 5; ord. origen: y = 6; eje de simetría: x = 4; vértice: (4; –0,4); Im = [–0,4; ∞); int. crec. = (4; ∞), int. decrec. = (–∞; 4); mínimo abso-luto: –0,4 en x = 4.
c) Dom = ; raíces x1 = –3, x2 = 1; ord. origen: y = 6; eje de simetría: x = –1; vértice: (–1; 8); Im = (–∞; 8]; int. crec. = (–∞; –1), int. decrec. = (–1; ∞); máximo abso-luto: 8 en x = –1.
d) Dom = ; raíces x1 = 1, x2 = 3; ord. origen: y = 1,5; eje de simetría: x = 2; vértice: (2; –0,5); Im = [–0,5; ∞); int. crec. = (2; ∞), int. decrec. = (–∞; 2); mínimo absoluto: –0,5 en x = 2.
e) Dom = ; raíces x1 = –5, x2 = –1; ord. origen: y = 5; eje de simetría: x = –3; vértice: (–3; –4); Im = [–4; ∞); int. crec. = (–3; ∞), int. decrec. = (–∞; –3); mínimo absoluto: –4 en x = –3.
f) Dom = ; raíces x1 = x2 = –2; ord. origen: y = 2; eje de simetría: x = –2; vértice: (–2; 0); Im = [0; ∞); int. crec. = (–2; ∞), int. decrec. = (–∞; –2); mínimo abso-luto: 0 en x = –2.
g) Dom = ; no tiene raíces; ord. origen: y = –5; eje de simetría: x = –2; vértice: (–2; –1); Im = (–∞; –1]; int. crec. = (–∞; –2), int. decrec. = (–2; ∞); máximo absoluto: –1 en x = –2.
h) Dom = ; raíces x1 = –3, x2 = 1; ord. origen: y = –1,5; eje de simetría: x = –1; vértice: (–1; –2); Im = [–2; ∞); int. crec. = (–1; ∞), int. decrec. = (–∞; –1); mínimo absoluto: –2 en x = –1.
36. a) f(x) = 2(x + 2)(x – 1); eje de simetría: x = –0,5; vértice: (–0,5; –4,5).
b) f(x) = –0,5(x + 4)(x – 2); eje de simetría: x = –1; vértice: (–1; 4,5).
c) f(x) = (x + 1)(x – 2); eje de simetría: x = 0,5; vértice: (0,5; –2,25).
37. Se unen: f(x) = –(x + 2)2 con f(x) = –x2 – 4x – 4; f(x) = x(x – 5) con f(x) = x2 – 5x; f(x) = 5(x – 2)(x + 3) con f(x) = 5x2 + 5x – 30; f(x) = –3(x + 3)x con f(x) = –3x2 – 9x; y f(x) = (x + 5)(x – 3) con f(x) = x2 + 2x – 15.
38. a) t = 0,5 s.
b) 1,25 m.
c) t = 1 s.
39. a) La coordenada x del vértice es 3.
b) y = 2x2 – 12x + 16.
c) Dom = ; raíces x1 = 2; x2 = 4; ord. origen: y = 16; eje de simetría: x = 3; vértice: (3; –2); Im = [–2; ∞); int. crec. = (3; ∞), int. decrec. = (–∞; 3); mínimo absoluto: –2 en x = 3.
40. a) Tardan alrededor de 1,55 segundos en caer. El otro va-lor obtenido (t = –1,55) carece de significado físico.
b) Llegan con una velocidad de –15,5 m/s (el “–” es por-que las llaves se desplazan en contra del sentido de medición de la altura, o sea, hacia abajo).
41. a) x = 4,5; y = 0,8.
b) x = –2; y = 43
.
c) Compatible indeterminado.
d) x = –2,5; y = –1,5.
e) Incompatible.
f) x = 0,8; y = –0,5.
42. Se cortan en los puntos (0; 0) y (2; 4).
5 Figuras geométricas
Figuras en la naturaleza
a) 6, y una en el centro.
b) La misma cantidad.
c) Por ejemplo, puede ser las celdas de un panal de abejas, o la forma de un copo de nieve.
1. Todos los cuadrados son rombos.
2. El primero y el último son rectángulos.
3. a) Sí, es posible.
b) Sí, es posible.
c) No es posible.
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4. a) Tiene dos ejes que pasan por los vértices y ningún otro.
b) Solo tiene uno y no pasa por los vértices.
c) No tiene ejes de simetría.
d) Tiene dos ejes que pasan por los vértices y dos que no.
5. a) Falso. Por ejemplo, trapecio isósceles.
b) Verdadero.
c) Verdadero.
d) Verdadero.
e) Verdadero.
6. b) Equiláteros, porque tienen lados congruentes y ángulos congruentes.
c) No, porque los ángulos centrales del resto de los polígo-nos regulares no medirán 60°.
d) Cada ángulo interior mide 120° y cada central, 60°.
7. a) 900° b) 900°
8. Los ángulos del pentágono abcde son 110°, 120°, 90°, 60° y 160°.
9. a) El hexágono.
b) El triángulo.
c) El cuadrado.
10. a) 5 2
b) Cateto 38
3 e hipotenusa 58
3.
11. a) 12 m.
b) 481 9− � 12,93 m.
12. Perímetro: 5,5 0,5 5.
13. Se puede calcular a partir de los lados: L2; o a partir de las diagonales: D2 : 2; o con el perímetro y la apotema: per · ap : 2.
14. a) 120 m2, porque el área blanca es igual a la coloreada.
b) Perímetro del rombo: 40 m.
15. El perímetro es 128 cm.
16. Perímetro: 60 cm. Área: 240 cm2.
17. 96 3 cm2
18. a) Tienen en común las medidas de la base (24 cm) y de la altura (4 cm).
b) 40 cm2.
c) 8 cm2.
d) El segmento ge mide ( )884 24− cm (alrededor de 5,73 cm).
19. a) La cuerda ac mide 30 cm.
b) 5 3 cm2.
20. Tienen razón Facu y Pedro.
21. Aproximadamente 19,23.
22. c) Hay una única tangente a la circunferencia, que pasa por c (y es perpendicular al radio oc), e infinitas secantes.
23. a) Trapecio rectángulo, porque el radio od es perpendicu-lar a la recta ij, tangente a la circunferencia.
b) Isósceles, porque los lados oi y og son radios de la circunferencia exterior.
c) El triángulo ojh.
d) Trapecio isósceles, porque los lados ig y hj son congruentes.
24. b) Sí, son infinitos.
26. b) Los arcos son semicircunferencias. Además, en los dos casos el ángulo central es llano.
27. Mide 90°, ya que el ángulo central asociado mide 180°.
28. Se puede buscar el punto medio de la hipotenusa y trazar una semicircunferencia que tenga a la hipotenusa por diá-metro. Cualquier punto de la semicircunferencia podría ser el tercer vértice, porque el ángulo con ese vértice mide 90° (está inscripto en una semicircunferencia).
29. Se puede trazar una semicircunferencia de diámetro op, y el punto donde corta a la circunferencia de centro o, es el de tangencia. Entonces, se une ese punto con p y se obtiene la recta pedida.
30. b) Ambos miden 90° porque las rectas son tangentes a la circunferencia en b y d, y los lados ab y ad son radios.
c) El ángulo a mide 130° y el ángulo c, 50°.
d) Es un romboide.
31. a) x 4ˆ 5 ; y 2ˆ 545 °25 .
b) x 9ˆ 0 ; y 6ˆ 590 °65 .
34. b) En el triángulo rectángulo isósceles los cuatro puntos notables están alineados; además, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa y el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.
En el triángulo equilátero los cuatro puntos notables coinciden.
35. Los lados con extremo en el punto a son tangentes a la circunferencia (se trazan como en la actividad 29); el tercer lado es perpendicular al radio op por el punto p.
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36. a) Trapecio rectángulo, porque los lados ce y ob son per-pendiculares al lado oc.
b) También es un trapecio rectángulo.
c) El ángulo b mide 15°, el c mide 45° y el f, 120°.
37. a) Falso (contraejemplo: romboide).
b) Falso (contraejemplo: rombo de lados no perpendiculares).
c) Falso (contraejemplo: rectángulo de lados no todos congruentes).
d) Verdadero, de esta manera cumple con las condiciones de rombo y de rectángulo, por lo tanto, es un cuadrado.
e) Falso (contraejemplo: rombo).
38. a) Solo puede construirse uno.
b) Se pueden construir infinitos rombos con esa medida de lado.
39. a) Es posible, sería un pentágono regular.
b) No es posible, porque según la fórmula para calcular ángulos interiores, tendríamos un polígono con una can-tidad no entera de lados.
c) No es posible, porque 80° no entra una cantidad entera de veces en 360°.
d) Es posible, sería un decágono regular.
40. a e 135 ; h f 112 30'; i 45= =e ° =; h = °112 °45
41. a) Sí; hipotenusa: 10.
b) No.
c) Sí; hipotenusa: 2.
d) Sí; hipotenusa: 2.
42. Área: 9; perímetro: 12.
43. Perímetro: 30 cm; área: 64,95 cm2 (en forma aproximada).
44. Perímetro: 40,57 cm; área: 21,86 cm2 (en forma aproximada).
45. Perímetro: 8 13 cm (unos 28,84 cm).
46. Perímetro: 34,67 m (aproximado).
47. a) Las diagonales deben ser diámetros.
b) Una diagonal debe ser un diámetro; la otra no, pero de-ben ser perpendiculares.
c) Las diagonales deben ser diámetros perpendiculares.
48. a) Dos. b) Una.
49. Tiene razón Sol.
50. a) α = ° β = °ˆ 60 ˆ 30 .
b) α = ° β = °ˆ 70 ˆ 40 .
51. El circuncentro coincide con el punto medio de la hipote-nusa, ya que si se la considera diámetro de una circunferen-cia, los catetos forman siempre un ángulo inscripto en una semicircunferencia.
52. No, porque las bisectrices son interiores al ángulo que bise-can, por lo que no podrían cortarse fuera de alguno de los tres ángulos del triángulo.
53. Sí, si es obtusángulo.
54. Ortocentro, baricentro y circuncentro.
55. Se puede hacer pensando al segmento dado como media-na de un triángulo, aprovechando que las medianas se cor-
tan en un punto que las divide en 13
y 23
de su medida.
6 Movimientos
1. b) En el III.
2. Sí, tiene que estar sobre el eje de simetría.
3. a) El eje debe ser horizontal.
b) El eje tiene que estar a 45° respecto de la horizontal y debe subir de izquierda a derecha.
4. Sí, cuando el punto es el centro de la simetría.
6. Se une cada vértice con su imagen; el punto donde se cor-tan los segmentos es el centro de la simetría.
7. El paralelogramo, el rectángulo y el cuadrado. En cada caso el centro es el punto de intersección de las diagonales.
9. Sí, es lo mismo, porque los ángulos suman, en valor abso-luto, 360°, o sea que los recorridos de los puntos (en un sentido y en el contrario) forman en total una circunferencia.
11. Se refiere a una simetría central de centro c.
12. Para las rotaciones en las que el ángulo de giro es un múlti-plo entero de 90°; por ejemplo, de 90°, de 180°, de 270° y de 360°, en ambos sentidos.
13. a) 110°
b) –250°
14. Sí, sucede cuando uno de los vértices es el centro de la rotación.
15. 360° o cualquier múltiplo entero de 360°.
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16. a) El centro es el punto de intersección de las diagonales.
b) Es el punto de intersección de las mediatrices del seg-mento aa’ y del segmento bb’. El ángulo de rotación es de 150°.
18. b) No es la única; todas las rectas son paralelas al vector.
20. El triángulo mln, porque conserva el tamaño y la orienta-ción, que no cambian a través de una traslación.
21. No es posible, ya que la orientación de la figura no cambia con las traslaciones.
22. a) Se pueden encontrar dos imágenes; ambas están so-bre una recta paralela a R que pasa por el punto p, una a cada lado y a 3 cm de este.
b) Todas las imágenes forman una circunferencia de cen-tro p y 2 cm de radio.
23. Puede ser, por ejemplo, el vector ee’ (o cualquier otro paralelo, con el mismo sentido e igual módulo).
24. Con la figura a). El vector es horizontal, de módulo 1 y cual-quier sentido.
26. No siempre se obtiene la misma imagen si se cambia el or-den de los movimientos (en la actividad anterior, en ningún caso ocurrió).
28. En a) se puede hacer una traslación de vector 2cd������
; mien-tras que en b) se puede hacer una rotación con el mismo centro, pero con los ángulos sumados, es decir, de cen-tro d y 100°.
29. a) Puede ser el vector aa’.
b) El vector de la nueva traslación debe tener iguales di-rección y módulo que el de la traslación original, pero sentido contrario; por ejemplo, el vector a’a.
30. a) 100°
b) Con una rotación con el mismo centro e igual ángulo, pero con sentido de giro opuesto.
31. a) El eje es la mediatriz del segmento aa’.
b) Si se compone haciendo de nuevo la simetría con el mismo eje, se vuelve a la figura original.
32. Sí, las propuestas de los hermanos son correctas.
33. b) So
c) R(o, 180°)
34. Se puede hacer tres rotaciones sucesivas de 60° (con el mismo centro).
35. Es el punto de intersección de los segmentos aa’ y cc’.
37. La simetría de Laura no conserva el tamaño de la figura, no están bien tomadas las distancias de las imágenes. La construcción de Sofía es correcta. En la construcción de Mateo no están bien unidos los puntos.
38. a) El rectángulo.
b) El triángulo equilátero.
c) El cuadrado.
39. Se puede encontrar trazando la mediatriz del segmento que une cualquier punto con su imagen.
40. R(p, 120°)
41. No, porque si fuera así, alguno de los vértices debería ser imagen de sí mismo.
42. R(o, 72°); R(o, 144°); R(o, 360°), y cualquiera en las que el ángulo de giro es múltiplo entero de 72°.
43. a) Queda en un punto de la circunferencia original.
b) Sí, el punto o pertenece a la imagen de la traslación.
44. Debe tener la misma dirección e iguales sentido y módulo que el vector dc.
45. No es correcto, porque cambió la orientación. Pudo haber efectuado una composición de movimientos; por ejemplo, una simetría axial y una traslación.
46. Sí, pero solo si la figura original es una recta paralela al vector porque, como se vio antes, la imagen de una recta paralela al vector es la misma recta.
47. Por ejemplo, una rotación o una simetría de centro (hay mu-chos movimientos que lo hacen).
48. R(o, 180°) o So
49. No es posible.
50. Deben sumar un múltiplo entero de 360°.
51. No, porque los movimientos estudiados conservan el ta-maño de las figuras.
52. Una traslación de vector 2ba������
.
53. Por ejemplo, una simetría central y una traslación.
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7 Proporcionalidad, semejanza
y trigonometría
Las proporciones y la arquitectura
a) Con la de Marcelo.
b) Las medidas que se obtienen con la escala que pro-pone Marcelo son 40 cm de largo por unos 24,75 cm de ancho, y con la de Darío, 28 cm de largo por casi 17,5 cm de ancho.
Ambas entran en la hoja A3.
1. Se unen: la razón entre 1,5 y 3 con 12
; la razón entre 125 y
25, con la razón entre 1,25 y 0,25 y con 5; y la razón entre
8,75 y 11,25 con 2127
.
2. Por ejemplo: la razón entre 9 y 7 equivale a 1814; la razón en-
tre 54 y 27 equivale a 2 = 168
; 43 equivale a 129 ; 15 equivale a
315
; y 0 equivale a 02.
3. Por ejemplo:
a) 165
f) 9110
b) 92
g) 2720
c) 8010
h) 418
d) 18
i) 69
e) 96
4. Por ejemplo:
a) c = 12; d = 15. c) a = 1; c = 4.
b) b = 16; d = 6. d) b =1; c = 27.
5. No es cierto. Lo correcto es b · e = a · f.
6. a) x = –24
b) x = 83
c) x = 18= 3 2 o bien, x = – 18 = –3 2.
d) x = –158
7. Por ejemplo, la cantidad de pan que se compra y el precio a pagar; la constante es el precio por kilo. También, los mensajes de texto excedentes y el precio a pagar por ellos; la constante es el precio de cada mensaje excedente. Además, se relacionan la cantidad de caramelos consu-midos (suponiendo que todos sean iguales) y las calorías ingeridas; en este caso, la constante de proporcionalidad representa las calorías por cada caramelo.
8. La constante es k = 10 g/cm.
La tabla se completa con 80, 5 y 100.
9. a) Proporcionalidad directa; k = 2. La tabla se completa con 4 y 12,5 en la primera columna, y con 10 y 30 en la segunda.
b) Proporcionalidad inversa; k = 100. La tabla se completa
con 20 en la primera columna, y con 209 , 20
3 y 53 en la
segunda.
c) No es una relación de proporcionalidad.
d) Proporcionalidad directa; k = 5. La tabla se completa con 0,4 y 4,2 en la primera columna, y con 160 y 75 en la segunda.
11. cd = 1,59 cm; ef = 2,29 cm.
12. ac = 5,64 cm.
13. El perímetro es 24 cm.
14. ad = 2,97 cm; fg = 4,12 cm.
15. x = 1; bc = 5 cm; de = 4 cm.
16. Mile tiene razón. No se cumple el teorema de Thales.
17. El triángulo mra es semejante al pcz.
18. a) ac cm� 3 89 4cm vw 635, ;89 cm , .
b) ab cm fd cm=fd= 1875 3 76, ;cm;cmcm875 , .
19. rst� = °60 ; tsu� = °30 ; rts uts� �= =uts °90 . Los lados que se co-
rresponden son: rs con su; st con ut, y tr con ts.
20. ad cm ac cm=ac= 6 705 4 6cm ae =, ;cm;cmcm705 ; .
21. Paula tiene razón, porque en los triángulos equiláteros todos los lados son iguales, entonces si se comparan dos triángulos de ese tipo, la relación entre sus lados siempre es la misma. No pasa lo mismo con los isósceles; por ejemplo, si dos trián-gulos isósceles tienen dos lados de 2 cm cada uno, y el tercer lado de uno mide 1 cm, mientras que el tercer lado del otro triángulo mide 3 cm, los triángulos no son semejantes.
22. El edificio mide 17,20 m.
23. a) Son semejantes. Se puede usar el criterio A-A porque ambos tienen un ángulo recto y otro que mide ß.
b) La imagen mide 0,5 cm.
24. a) Los datos que se dan no alcanzan para saber si son semejantes.
b) Los datos alcanzan, pero no son semejantes.
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25. a) k = 1,45 o bien, k = 2029
.
b) k = 43
o bien, k = 0,75.
26. a) Falso. Por ejemplo, un rectángulo común no es seme-jante a un cuadrado.
b) Verdadero. Si son regulares, tienen todos sus lados iguales, por lo tanto, es posible encontrar una relación de semejanza entre dos cualesquiera.
c) Falso. Se puede tener un triángulo rectángulo isósceles y otro escaleno.
d) Falso. Se puede tratar de un rombo cuadrado y otro que no lo sea.
e) Verdadero. El cuadrado es un polígono regular.
f) Verdadero. Porque al comparar dos cualesquiera, la ra-zón entre sus lados siempre es la misma.
27. a) Cocina: 1,6 m × 2 m; living-comedor: 2,4 m × 3 m; baño: 1,6 m × 1,8 m; dormitorio: 2,4 m × 2,4 m.
b) Cocina-comedor-living: 2,4 m × 3,9 m; baño: 2,55 m × 1,80 m; dormitorio: 2,4 m × 3,3 m.
28. a) 1:400.000
b) 1:1.400
29. Mide 4,20 m.
30. a) Lado pa, opuesto; lado an, adyacente.
Cos n = 0,779; sen n = 0,627; tg n = 0,806.
b) Lado so, opuesto; lado on, adyacente.
Cos n = 0,834; sen n = 0,554; tg n = 0,664.
31. a) 0° 30° 45° 60° 90°
sen 012
22
32
1
cos 1 32
22
12 0
tg 0 33
1 3
b) Entre 0 y 1.
c) Entre 0 y 1.
d) No.
32. Los ángulos de la primera fila son: 0°; 11° 32’ 13’’; 23° 34’ 41’’; 36° 52’ 12’’; 53° 7’ 48’’; 90°; el último casillero queda libre porque no hay ningún ángulo cuyo seno sea 1,5.
Los ángulos de la segunda fila son: 90°; 78° 27’ 47’’; 66° 25’ 19’’; 53° 7’ 48’’; 36° 52’ 12’’; 0°; el último casillero queda libre porque no hay ningún ángulo cuyo coseno sea 1,5.
Los ángulos de la última fila son: 0°; 11° 78’ 36’’; 21° 48’ 5’’; 30° 57’ 50’’; 38° 39’ 35’’; 45°; 56° 18’ 36’’.
33. a) Los lados miden 2 2.
b) Se puede usar el teorema de Pitágoras considerando que los catetos son iguales, o calcularlos a partir del seno o del coseno de 45°.
34. a) c = 23° 11’ 55’’; b = 66° 48’ 5’’; bc � 7,62 cm.
b) rq � 2,16 cm; pq � 0,81 cm; r = 22°.
c) bc � 3 cm; a = 36° 52’ 12’’; b = 53° 7’ 48’’.
d) uw � 6,93 cm; uv = 4 cm; w = 30°.
35. a) Alrededor de 2,486 cm.
b) Perímetro = 14,45 cm (aproximado).
36. El lado mide 2 cm. La apotema, 3 cm (1,73 cm aproxima-damente).
37. a) Recorre 8 m.
b) Recorre 4 m.
c) La base mide aproximadamente 6,93 m.
38. a) Un ángulo es de 63° 26’ 6’’ y el otro, 71° 33’ 54’’.
b) Mediría 10 m (3,16 aproximadamente).
39. a) Formará un ángulo de 26° 44’ 37’’.
b) Necesita 2,79 metros, aproximadamente.
41. La tabla de Mili se completa con 1.053 y 195 en la primera columna, y 75 en la segunda (k = 7,8 g/cm3). La tabla de Nico se completa con 216 y 405 en la primera columna, y con 75 en la segunda (k = 2,7 g/cm3).
42. a) Tardará 3,4 horas, o sea, 3 h 24 min.
b) Tardará el doble, o sea, 6h 48 min.
c) Son inversamente proporcionales.
d) k = 340 km (el total del espacio recorrido).
43. de � 1,80 cm; ef � 2,20 cm.
44. x = 3; ab = 3,6 cm; bd = 4,5 cm; be = 4 cm.
45. No pueden ser semejantes porque los ángulos obtusos son distintos.
46. rs = 1,016 cm; ts = 2,4 cm; tr = 1,84 cm.
47. a) La hipotenusa mide 8,5462 cm.
b) Lado fe = 3,04 cm.
c) 12,14 cm2
d) Lado bi = 1,14 cm.
e) 1,71 cm2.
f) No.
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48. Los dos tienen razón porque los tres triángulos tienen un ángulo recto y, además, los triángulos abc y abd comparten el a, mientras que los triángulos abc y bcd comparten el c.
49. b) Uno lo hizo más grande (duplicó la longitud de los lados) y el otro lo hizo más chico (cada lado mide la mitad).
50. Marce tiene razón porque los ángulos podrían medir a = b = 108° en uno de los pentágonos, y en el otro, k = 107° y j = 109°.
51. a) 0,956 e) 0,906
b) 0,906 f) 0,956
c) 0,616 g) 0,616
d) 0,424 h) 11,430
52. Son iguales.
53. a) 30°
b) 14° 28’ 39’’
c) 57° 8’ 24’’
d) 26° 33’ 54’’
e) 51° 41’ 2’’
f) 72° 32’ 33’’
g) 45° 31’’
h) 77° 28’ 16’’
54. Verdadero. En ese caso los ángulos agudos miden 45°, y el seno y el coseno toman el mismo valor.
55. Los lados miden 2,2 cm y los ángulos, 63° y 54°.
56. Los lados miden 3,01 cm y 5,01 cm, en forma aproximada.
57. Miden 3 cm, aproximadamente.
58. = =ab cd 3,5 cm; = =ad bc 5,78 cm.
59. =ac 13,23 cm y =bc 7,78 cm (aproximados); = °a 28 y = °b 127 .
60. La altura aproximada es de 1 m.
8 Estadística, combinatoria
y probabilidad
1. a) Cualitativa.
b) 125 alumnos encuestados.
c) Con una muestra, porque solo se encuestó a algunos.
d) La primera fila se completa con 55; 0,44 y 44; la segun-da, con 70; 0,56 y 56; la tercera con 125; 1 y 100.
e) 1 y 100.
2. a) Se completa con:
5 0,125 12,5 12,5
10 0,25 25 37,5
8 0,20 20 57,5
9 0,225 22,5 80
8 0,20 20 100
40 1 100
b) Cuantitativa continua. Se agrupó en intervalos.
c) 1 y 100, porque, como fr = fn
, al sumarlas se suman
todas las f, y se obtiene nn
= 1.
d) 8 cucuruchos.
3. a) f fr f%
Bariló 10 0,333 33,3
Carlos Paz 2 0,067 6,7
Mardel 3 0,1 10
Cataratas 15 0,5 50
Totales 30 1 100
b) En el gráfico los ángulos de cada sector son: Bariló 120°; Carlos Paz 24°; Mardel 36°; Cataratas 180°.
4. a) 550.
b) Es menor. Sí, porque hay más del 50%.
c) Cuadernos: 286; lápices de colores: 66; lápices negros: 99; otros: 55.
5. a) El primer intervalo es [11,5; 12,5), el segundo, [12,5; 13,5), y el tercero, [13,5; 14,5].
b) Midieron 30 manitos.
c) Entre 11,5 cm y 14,5 cm.
6. a) La preferencia de los juegos en la red.
b) ¿Cuál es tu juego preferido?
c) La moda.
d) No, porque la variable es cualitativa.
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7. a) Se completa con:
5 0,1 10 10
18 0,36 36 46
14 0,28 28 74
12 0,24 24 98
1 0,02 2 100
50 1 100
b) Cuantitativa discreta.
c) Significa que 14 alumnos manifestaron que asistirán con 3 acompañantes.
d) Moda: 2 la respuesta más recibida fue “2 acompa-ñantes”.
Mediana: 3 la mitad irá acompañada de 3 o menos personas, y la otra mitad, de 3 o más.
Media: 2,72 en promedio, los alumnos serán acom-pañados por unas 3 personas.
8. a) Se completa con:
12 0,08 8 8
15 0,1 10 18
33 0,22 22 40
39 0,26 26 66
36 0,24 24 90
15 0,1 10 100
150 1 100
b) Moda: 4. Mediana: 4. Media: 3,78.
9. a)
f fr f% % acum.
[33,5; 38,5) 3 0,075 7,5 7,5
[38,5; 43,5) 8 0,2 20 27,5
[43,5; 48,5) 15 0,375 37,5 65
[48,5; 53,5) 7 0,175 17,5 82,5
[53,5; 58,5) 4 0,1 10 92,5
[58,5; 63,5] 3 0,075 7,5 100
40 1 100
b) Intervalo modal: [43,5; 48,5). La mediana cae en el mis-mo intervalo. Media: 47,25.
10. a) La moda es 1,97.
b) La mediana es 1,97 y la media, 1,95.
c) Ahora la mediana es 1,97 y la media, también es 1,97. Sin considerar 1,68, la media es igual a la moda y a la mediana. Esto ocurre porque esa altura está lejos de las restantes y cambia el valor de la media, que deja de ser representativa si se la considera.
11. a) 720 claves distintas.
b) 64.800 claves distintas.
12. Martina tiene razón porque serían 72.000.
13. Puede haber 56 combinaciones.
14. a) 15 partidos.
b) 120 formas de armar el podio.
15. a) 17.576.000 patentes.
b) En Uruguay, porque se pueden patentar 128.440.000 autos.
16. a) 792 grupos.
b) 22.176 grupos.
17. a) {cara; ceca}
b) {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
18. a) 12
b) 440
= 110
c) 1050
= 15
d) 411
19. a) 1
b) 0
c) 1
d) 0
20. a) La menor es 0, cuando el suceso es imposible.
b) La mayor es 1, cuando el suceso es seguro.
21. 1185
22. a) 14
b) 3
20
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24
© S
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Ley
11.
723
23. Hay 50 cartas en el mazo.
24. Puede hacer 1 – 0,8, que es la probabilidad total menos la de que no se produzca.
25. a) 1
63
b) 161
c) ⋅163
161
26. a) Se completa con 0,15 y 1.
b) 0,38
c) 0,15
d) Rosales: 40; azaleas: 76; margaritas: 30; trepadoras: 54.
e) 54
199
27. Mateo y Lili, porque les dio un valor entre 0 y 1.
28. El gráfico c) corresponde a esa tabla porque, por un lado, al dato A le corresponde justo la mitad, y por el otro, el dato B tiene mayor frecuencia que el C.
29. a) Moda.
b) Mediana.
c) Media.
d) Moda.
30. La que tiene razón es Luli. Mati y Moni no, porque, como dice Luli, la barra más alta corresponde al intervalo modal.
31. a) De 5.040 maneras.
b) De 210 formas.
32. a) De 6 formas.
b) Cada una tiene 3 temas de 3,5 minutos, entonces, para escuchar las seis formas, se tardarán 63 minutos.
c) Se necesitarían 18.816 horas, o sea, 784 días ininte -r rumpidos.
33. a) 112!
b) 1
12!
c) 2
12!
34. a) 636
b) 1235
c) 1234
35. a) 4
36
b) 1036
c) 2636
d) Suman 1.
e) Es 7. P(7) = 636
f) 3336
g) 3236
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