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ediciTexto
ión Fo para la C
DR.C ED
ForeCarrera Ing
Autor
DILIO ALDAN
2008
estalgeniería Fo
NA PEREIRA
orestal
PROLOGO
En los planes de estudios anteriores al Plan D, la asignatura que aporta las habilidades y
conocimientos relacionados con la medición y cálculo de las variables: altura, diámetro, área
basal, volumen y la forma ; se impartió con el nombre de Dasometría y aunque
etimológicamente, es la medida de las masas forestales, tiene como punto de partida la medición
de los árboles individuales (Dendrometría), así como la determinación del crecimiento y edad de
las diferentes variables dendrométricas y dasométricas (Epidometría).
El material bibliográfico básico utilizado fue muy limitado en los planes de estudios A y B, pues
consistió, en el primer caso (plan A), en un folleto titulado “Dasocracia” elaborado en 1970 por el
profesor Eliseo Matos González y que se utilizó en impresión ligera y nunca constituyó una
publicación oficial; en el segundo caso (plan B) también se utilizó un folleto en impresión ligera
titulado “Dasometría” y que fue elaborado en 1978 por el profesor Edilio Aldana Pereira y que
tampoco llegó a constituir una publicación oficial.
Ya para el plan de estudio C se publicó 1995, por la editorial Félix Varela, el libro titulado
“Manual de Dasometría” , elaborado por un colectivo de autores encabezado por los profesores
Edilio Aldana Pereira y Marisela Frías Tamayo. Este libro que se terminó de imprimir en mayo
de 1995 es más completo y abarcador que los otros materiales anteriores y llenó el vació que los
otros anteriores, desde el punto de vista teórico, científico y metodológico, dejaron.
El presente título que hemos considerado denominarlo “Medición Forestal” por ser más
abarcador, ya que encierra de manera bien explícita el contenido de la medición y cálculo de las
principales variables, tanto de árboles individuales como de las masas forestales; responde
totalmente al contenido del programa de la asignatura del plan de estudio D.
Por tanto está dirigido a los estudiantes de la carrera de ingeniería forestal del país matriculados
en los cursos regulares diurnos y en las Sedes Universitarias Municipales (SUM). Asimismo
constituye, por su valor teórico, práctico y cinético, un material de consulta valioso para los
técnicos de nivel medio y superior que ya ejercen la profesión y para aquellos que matricula
cursos de postgraduación, como diplomado y maestría.
El conjunto del libro está escrito en un estilo que consideramos preciso y ágil.
Está estructurado en tres partes, con numerosas ejemplos, bien elegidos, que facilitan la
comprensión.
La primera parte del libro tiene que ver con todos los aspectos relacionados con la medición y
calculo de todas las variables dendrométricas, es decir de árboles individuales (Dendrometría) y
está estructurada en de 6 capítulos, entre los que se encuentra un primer capítulo en el que se hace
una revisión de los “aspectos generales sobre la medición forestal” y un segundo capítulo en el
cual se hace una “revisión de algunos conocimientos básicos” relacionados con contenidos de la
matemática que necesariamente se tienen que emplear en el resto de los capítulos del libro.
La segunda parte que hemos titulado “Dasometría” consta de 5 capítulo, y aquí se analizan todas
las variables dasométricas, es decir, todo lo que se refiere a la medición y cálculo del diámetro,
altura, área basal y volumen en las masas forestales.
La tercera parte (Epidometría) con 2 capítulos y se tratan las cuestiones relacionadas con la edad
y la evaluación del crecimiento, tanto de árboles individuales como de las masas.
Esperamos que este libro encuentre en quien lo utilice una gran acogida y que les preste grandes
servicios a todos los que en su profesión recurren a él.
PINAR DEL RÍO, 20 DE NOVIEMBRE DEL 2008.
Índice CAPITULO I. ASPECTOS GENERALES SOBRE LA MEDICION FORESTAL
1.1. Surgimiento y desarrollo de la medición forestal 1.2. Consideraciones preliminares
1.2.1. Objetivos Comerciales. 1.2.2. Objetivo de manejo forestal 1.2.3. Objetivos de investigación. 1.2.4. Área de Actuación 1.2.5. Definición. 1.2.6. Sinonimia
1.3. Tipos de medidas 1.4. Unidades de medida y exactitud
CAPITULO 2: REVISIÓN DE ALGUNOS CONOCIMIENTOS BÁSICOS
2.1. Regla de Tres 2.1.1. Simple 2.1.2. Compuesta
2.2. Sistemas de ecuaciones de primer grado 2.2.1. Substitución 2.2.2. Comparación 2.2.3. Adición.
2.3. Potenciación 2.4. Productos Notables. 2.5. Factoración 2.6. Logaritmos 2.7. Relación trigonométrica 2.8. Operaciones con números decimales. 2.9. Álgebra matricial
2.9.1 Matriz 2.9.2. Multiplicación de matrices 2.9.3. Reglas de multiplicación de matrices 2.9.4. Inversión de matriz 2.9.4.1. Método de JORDAN para inversión de matriz 2.9.5. Matriz singular
2.10. Sistema métrico 2.11. Unidades de superficie
CAPITULO 3. MEDICIÓN DE DIÁMETROS
3.1. Diámetro a la altura del pecho (DAP), circunferencia a la altura del pecho (CAP) y área basal (g) 3.1.1. Consideraciones sobre el diámetro y la circunferencia 3.1.2. Medición de los diámetros y/o de las circunferencias
3.2. Instrumentos usuales para la medición de diámetro 3.2.1. La forcípula o calibre 3.2.1.1. Características 3.2.1.1. Procedimiento de uso 3.2.1.2. Desventaja 3.2.1.3. Errores 3.2.1.3.1. Errores debido al uso o colocación de la forcípula en posición inclinada 3.2.1.3.2. Errores debido al no‐paralelismo de los brazos en el acto de la medición 3.2.2.1.1. Ventajas 3.2.2.1.2. Desventajas 3.2.2.2. Cuidados 3.2.3. Comparación de la forcípula con la cinta 3.2.3. Aplicación de la forcípula y de la cinta 3.2.3.1. Aplicación de la cinta y de la forcípula en función de sus errores 3.2.4. Regla o vara de BILTIMORE 3.2.5. Visor de Diámetro o Forcípula Angula de BITTERLICH 3.2.6. La Regla 3.2.7. Tenedor o garfio de Diámetro 3.2.8. Forcípula Finlandesa o compás Finlandés 3.2.9. Dendrómetro de FRIEDRICH 3.2.10. Pentaprisma o forcípula óptica de WHEELER 3.2.11. Dendrómetro BARR‐STROUD 3.2.12. Relascopio de BITTERLICH
3.3. Errores en el proceso de cálculo de diámetros 3.3.1. Error por redondeo de los diámetros
CAPITULO 4. MEDIDAS DE LA ALTURA DEL ÁRBOL E INSTRUMENTO
4.1. Generalidades 4.1.1. Importancia de su conocimiento 4.1.2. Cuidados en las Mediciones de alturas 4.1.3. Conceptos de diferentes tipos de alturas
4.2. Instrumentos para medir alturas 4.2.1. Instrumentos con base en el principio geométrico 4.2.1.1. Plancheta Hipsométrica 4.2.1.1.1. Ventaja y desventaja de la plancheta hipsométrica 4.2.1.2. Método de la vara 4.2.1.3. Hipsómetro de CHRISTEN
4.2.1.3.1. Procedimiento para medir altura con el hipsómetro de CHRISTEN 4.2.1.3.2. Graduación del instrumento 4.2.1.3.3. Ventajas del instrumento 4.2.1.3.4. Desventajas del instrumento 4.2.1.4. Método de las dos balizas 4.2.1.4.1. Procedimiento de medición 4.2.1.5. Método de superposición de ángulos iguales 4.2.1.6. Medición de altura por la proyección de sombra 4.2.2. Instrumentos con base en el principio trigonométrico 4.2.2.1. Generalidades 4.2.2.2. Principio de graduación de los instrumentos 4.2.2.2.1. En terreno llano o ligeramente inclinado 4.2.2.2.2. En terrenos inclinados y el operador ubicado pendiente debajo de la base del árbol 4.2.2.2.3. En terrenos inclinados y el operador ubicado pendiente Arriba de la cima del árbol 4.2.2.3. Hipsómetros usados en la medición de altura de los árboles 4.2.2.3.1. Hipsómetro BLUME‐ LEISS 4.2.2.3.2. Hipsómetro HAGA 4.2.2.2.3. Clinómetro SUUNTO 4.2.2.2.4. Medición de altura a distancias diferentes de las utilizadas en la escala del instrumento
CAPITULO 5. VOLUMETRÍA
5.1. Generalidades 5.2. Métodos para calcular volumen de árboles
5.2.1. Desplazamiento del agua o método del xilómetro 5.2.1.1. Principio de Arquímedes 5.2.1.2. Método del Xilómetro 5.2.1.3. Graduación del Xilómetro 5.2.1.3. Uso del Xilómetro 5.2.2. Cálculo del volumen por el peso 5.2. 3. Cubicación Rigurosa 5.2.3.1. Métodos de cubicación absolutas 5.2.3.1.1 Fórmula de SMALIAN 5.2.3.1.2. Fórmula de HUBER 5.2.3.1.3. Fórmula de NEWTON 5.2.3.1.4. Fórmula de HOSSFELD 5.2.3.1.5. Recomendaciones sobre estos métodos 5.2.3.2. Métodos de cubicación relativos 5.2.3.2.1. Método de HOHENADL 5.2.3.2.2. Método de la FAO 5.2.4. Método Gráfico 5.2.5. Ejercicio de ejemplo 5.2.6. Volúmenes comerciales
5.2.6.1. Volumen de madera encuadrada 5.2.6.2. Volumen de madera laminada 5.2.6.3. Volumen Hoppus o Francon o 4° Reducido 5.2.6.4. Volumen de madera apilada 5.2.7. Volumen de corteza 5.2.7. 1. Obtención del volumen de corteza
CAPITULO 6: FACTOR Y COCIENTE DE FORMA
6.1. Coeficientes mórficos o factores de forma. 6.1.1. Factor de forma común o artificial (f ) 6.1.2. Factor de forma de HOHENADL o natural (f ) 6.1.3. Comparación entre el factor de forma normal y el factor de forma de
6.2. Cocientes de forma 6.2.1. Cociente de forma de GIRARD 6.2.2. Cociente de forma de SCHIFFEL 6.2.1. Cociente de forma de JOHNSON
CAPITULO 7: ESTRUCTURA Y CARACTERÍSTICAS DE LAS MASAS FORESTALES.
7.1. Generalidades 7.2. Distribución de las dimensiones de las masas
7.2.1. Masas irregulares 7.2.1. Masas irregulares
7.3. Relación de espaciamiento y relación de esbeltez 7.3.1. Relación de espaciamiento 7.3.2. Relación de esbeltez
7.4. Estructura espacial interna de las masas forestales 7.4.1. Distribución espacial de los árboles 7.4.1. Nuevos índices de densidad y competencia 7.4.1.1. Factor de competencia de copas 7.5. Método de área fija 7,5,1. Generalidades 7.5.2. Número de árboles por hectárea 7.5.3. Área basal 7.5.4. Volumen por hectárea 7.5.5. Ventajas y desventajas del método de área fija
CAPITULO 8: LOS ÁRBOLES MEDIOS DE LAS MASAS
8.1. Diámetros medios de las masas 8.1. 1. Media Aritmética 8.1. 2. Diámetro Modal 8.1. 3. Diámetro de la Mediana 8.1. 4. Diámetro Medio Cuadrático 8.1. 5. Diámetro de HOHENADL ( y ) 8.1. 6. Diámetro de Weisse ( ) 8.1. 7. Diámetro de los árboles dominantes ( ) 8.1. 8. Diámetro de la mediana del área basal ( ) 8.1. 9. Media de los diámetros de los árboles cortados ( ) 8.1.10. Media de los diámetros de los árboles remanentes ( ) 8.1.11. Diámetro del árbol de volumen medio 8.1.12. Supuesto práctico
8.2. Alturas medias y dominantes de las masas 8.2.1. Generalidades Curvas alturas – diámetros
CAPITULO 9: RELACIONES HIPSOMÉTRICAS
9.2. Características generales de las relaciones hipsométricas 9.3. Factores que influyen en la relación hipsométrica
9.3.1. La edad del rodal 9.3.2. La calidad de sitio del rodal 9.3.3. Influencia de la densidad en la relación hipsométrica 9.3.4. Influencia de la longitud de la copa de los árboles en la relación hipsométrica 9.3.5. Influencia de la posición sociológica en la relación hipsométrica
9.4. Relación hipsométrica en bosque natural 9.5. Construcción de curvas
9.5.1. Construcción de curvas h/d por método gráfico 9.5.2. Construcción de curvas h/d por método analítico
CAPITULO 10: RELASCOPÍA (MÉTODO DE BITTERLICH)
10.1. Introducción 10.2. Unidad de Muestreo
10.2.1. El conteo angular 10.2.2. Relascopio de espejo de BITTERLICH
10.3. Determinación y estimación del área basal 10.3.1. Importancia del área basal 10.3.2. Concepto de factor de área basal (FAB) 10.3.3. Determinación práctica del área basal
10.4. Estimación del número de árboles por hectárea 10.5. Estimación del volumen por hectárea 10.6. Determinación de la distancia horizontal
10.6.1. Distancia con base vertical 10.7. Medición del diámetro con el relascopio de BITTERLICH 10.8. Determinación de la altura del árbol con el relascopio de BITTERLICH
CAPITULO 11: TABLAS DE VOLUMEN
11.1. Generalidades 11.2. Clasificación de las Tablas de Volúmenes
11.2.1. En cuanto al número de variables independientes 11.2.2. En cuanto al Aprovechamiento 11.2.3. En cuanto al tipo de modelo
11.3. Construcción de las tablas de volumen 11.3.1. Criterios para la elección de la mejor ecuación 11.3.2. Construcción de tablas de una sola entrada
CAPITULO 12: ESTUDIO DE LA EDAD DE LOS ÁRBOLES
12.1. Generalidades 12.2. Criterios para estimar la edad de los árboles individuales
12.2.1. Observación del porte y de la corteza 12.2.2. Conteo de los verticilos del fuste 12.2.3. Conteo de los anillos de crecimiento 12.2.3.1. Conteo de los anillos en árboles derribados 12.2.3.2. Conteo de los anillos en árboles en pie 12.2.3.2.1. Descripción de la Barrena DE PRESSLER 12.2.3.2.2. Uso de la Barrena de PRESSLER
12.3. Criterios para estimar la edad en los rodales 12.3.1. Criterio de la media aritmética 12.3.3. Criterio Xilométrico
12,4. Definición de la edad en bosques tropicales 12.5. Grupos de edades
12.5.1. Clases de edades. Clases de desarrollo o de crecimiento
CAPITULO 13: ESTUDIO DE CRECIMIENTO
13.1. Generalidades 13.1.1. Predicción del crecimiento 13.1.1. Conceptos básicos
13.2. Crecimiento de los elementos dendrométricos
13.2.1. Crecimiento en diámetro 13.2.1.1. Periodicidad diaria en el crecimiento en diámetro 13.2.1.2. Periodicidad estacional en el crecimiento en diámetro 13.2.1.3. Intensidad del crecimiento en diámetro 13.2.1.4. Intensidad del crecimiento en diámetro 13.2.1. Crecimiento en Altura 13.2.2.1. Periodicidad diaria en el crecimiento en Altura 13.2.2.2. Periodicidad estacional en el crecimiento en Altura 13.2.2.3. Intensidad del crecimiento en altura 13.2.3. Crecimiento en área basal 13.2.2. Crecimiento en volumen 13.2.4. Crecimiento en peso 13.2.4. Crecimiento en porcentaje
13.3. Medición de crecimiento a través de parcelas permanentes 13.3.1. Método de control de las parcelas permanentes 13.3.2. Puntos a ser analizados en la medición del crecimiento a través de parcelas permanentes 13.3.3. Estimación de crecimiento por comparación de inventarios
13.4. Análisis de fuste, metodología, muestra 13.4.1. Conceptualización 13.4.2. Importancia del análisis de fuste 13.4.1. Metodología 13.4.3. Muestreo 13.4.4. Selección y preparación de las rodajas 13.4.4.1. Corte del árbol 13.4.5.2. Selección, marcación y corte de las rodajas 13.4.5.3. Transporte de las rodajas 13.4.5.4. Secaje y alisamiento de las rodajas 13.4.5.5. Medición de las rodajas
Dendrometría Capítulo I
1
CAPITULO I. ASPECTOS GENERALES SOBRE LA MEDICION FORESTAL
1.1. Surgimiento y desarrollo de la medición forestal.
La venta de la madera exigió, ya en el siglo XVIII, una determinación aproximada de sus
existencias. Al principio fueron suficientes los métodos de estimación ocular para los
árboles derribados. Por consiguiente, en los primeros inventarios también fue estimado
el volumen de madera en pie. De las literaturas es conocido que estas estimaciones
fueron usuales en Europa Meridional, Italia y Francia desde el principio hasta
aproximadamente la mitad del siglo XVIII.
Desde la mitad del siglo XVIII se comenzó a calcular el volumen de madera y a emplear
los métodos de medición para la venta de madera, así como para los inventarios
forestales. En la segunda mitad del siglo XVIII también fueron empleados los primeros
medios auxiliares para la medición del grosor de los árboles (cintas métricas para medir
circunferencias) y para la determinación de alturas.
Entre las primeras publicaciones científicas en la rama de la medición forestal, tenemos
en Francia a DUHAMEL de MONCEAU (1764) como el primer autor que en una obra
forestal concedió un espacio importante a la Dasometría. Después tenemos en
Alemania las publicaciones dadas a conocer por OETTELT (1765), PAULSEN (1787),
KAESTNER (1794), SPÄTH (1796) y HOSSFELD (1812), entre otros.
PAULSEN (1787) y V. COTTA (1804) elaboraron las primeras tablas que posibilitaron la
determinación de los volúmenes de los árboles con una exactitud satisfactoria para la
circunstancia de aquel tiempo. Las tablas de volúmenes publicadas más tarde por la
Administración Forestal Estatal de Baviera (1846) tuvieron más similitud a las
empleadas actualmente en Alemania para la determinación del volumen de los árboles
en pie.
Dendrometría Capítulo I
2
El cálculo, aún hoy usual, de madera de árboles derribados basado en el diámetro
medio y la longitud fue propuesto primeramente por KAESTNERT (1794) y apoyado
decididamente por HUBER (1825). A HUBER corresponde también el método de
medición por secciones, mediante el cual el volumen de los árboles puede determinarse
más exactamente. Con esto fueron encontradas las bases para el cálculo de los
factores de formas.
La teoría de los factores de formas viene en su comienzo desde PAULSEN. Una
contribución significativa a esta teoría también hicieron los clásicos de la Dasometría
HOSSHELD (1812), HUBER (1824), KÖNIG (1813), SMALIAN (1837) y KLAUPRECHT
(1842), quienes desarrollaron conceptos y métodos de cálculos. También BREYMANN
(1807-1870) tiene grandes méritos en el desarrollo de la medición forestal, el cual
calculó las primeras curvas de ajustes para las funciones de crecimiento.
Los primeros procedimientos de muestreo para la medición y evaluación de los rodales
los probaron HOSSFELD (1812), HUBER (1824), DRAUDT (1857), URICH (1881) y
HARTIG (1868). Con el auxilio de árboles de pruebas derribados y medidos fue
deducida o inferida la existencia del rodal y otras magnitudes dasométricas del rodal
completo. El empleo de parcelas de pruebas como unidad de muestreo fue discutida
durante largo tiempo y sólo después de la publicación de los métodos matemático-
edistadísticos se disiparon las dudas.
Las investigaciones más antiguas en el campo de la medición forestal fueron realizadas
en Alemania por HENNERT (1791), ZETSCHE (1891) y WIMMENAUER (1907). Este
último propuso parcelas circulares de 0,05 y 0,1 ha; un tamaño que hasta hoy se ha
impuesto. Los procedimientos de muestreo sobre la base de los métodos metemático-
estadísticos fueron empleados a gran escala por primera vez en Suecia, Finlandia y
Dendrometría Capítulo I
3
Noruega. Trabajos precursores en esta rama fueron realizados en Alemania por
KRUTZSCH y LOETSCH (1938).
PRESSLER (1815-1883) se ocupó de los cálculos de la rentabilidad neta del suelo y
tiene alto mérito en el campo de la investigación del incremento y en la construcción de
equipos sencillos para la medición y cálculos de los árboles. La barrena de PRESSLER
y el medidor de porciento de incremento de PRESSLES son equipos que aún en la
actualidad son familiar para cada forestal.
Importantes trabajos en la rama de la medición forestal realizó KUNZE (1838-1921), el
cual se ocupó de las investigaciones sobre la forma del fuste de las especies forestales
más importantes en Alemania. Publicó las tablas de rendimiento del abeto y del pino,
así como una serie de otros trabajos dasométricos y epidométricos.
Directamente con el desarrollo de la medición forestal están unidos nombres como
SCHIFEEL, GEHRHARDT, SIMONY, v. GUTTEMBERG, WEISE, BURR.,
SCHWAPPACH, SCHUBERT, EICHHORN, LOREY, FLURY, KNUCHEL y
TISCHENDORT, entre otros.
En la primera mitad del siglo XX los método de medición y cálculo dasométrico fueron
ajustado a una base biométrica moderna. Entre los forestales destacados pueden
resaltarse particularmente HOHENADL (1856-1950) y KRENN (1908-1948).
Existen numerosos tratados y manuales en el mundo que se pueden clasificar según
PARDÉ y BOUCHON (1961) en dos categorías, es decir:
• Los verdaderos tratados de Dasometría que son exhaustivos y se dirigen a un
público de especialistas ya informados y;
Dendrometría Capítulo I
4
• Las guías o manuales que intentan ante todo su utilización fácil y rápida por los
usuarios.
En el primer caso está por ejemplo “Holzmesslehre” de PRODAN (1965) en Alemán
que sigue a un Forstliche Biometrie”, traducido al inglés (1961), o la “Dendrometría”
de PATRONE (1963) en Italiano. Además hay muchos otros autores de calidad, que es
preciso citar:
- En Estados Unidos, el excelente “Forest mensuration” de MEYER que data de
1957, pero se recomienda mejor ahora, bajo el mismo título la obra de HUSCVH,
MILLER y BEERS (3a edición 1982), o el “Forest measurements” de AVERY y
BURKHART (3a edición 1983);
- En Europa, se pueden mencionar dos obras aparecidas en Varsovia, Polonia con el
mismo título, Dendrometría” de G. GROCHOWSKI (1973) y BRUCHWALD
(1986); otros dos buenos libros han aparecido, uno con una traducción del croata al
español de KLEPAC (1963 y 1975), el otro con una traducción del ruso al inglés de
ANUTSCHIN (1970 y 1977).
- Finalmente es preciso conocer la alta calidad de los dasómetras japoneses, de los
cuales un título bien representativo es el de OSUMI, KIRAMURA, IMANAGA y otros
tres autores (1971).
En el segundo caso o segunda categoría se pueden citar tres , de las que se han
apreciado directamente sus cualidades: La de HAMILTON (Londres 1985), la de
KRAMER y ARA (Frankfurt 1987) y la pareja de CAILLIEZ y ALDER (F:A:O, 1980),
especialmente destinado a los forestales tropicales , que pueden adquirirse en idioma
Francés, Inglés y Español. Además para el lector que desee estar al corriente de las
Dendrometría Capítulo I
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últimas novedades aparecidas en dasometría, podrá hacerlo fácilmente gracias a la
excelente revista bibliográfica inglesa “Forestry Abstracts”, publicada en Oxford en la
que el capítulo 4 está siempre dedicado a “Forestry Mensuration and Management”.
Existe un grupo de autores dasómetras que han escritos libros de calidad, entre los
cuales están: DÉCOURT, DUPLAT y PERROTTE (E:N:G:R:E:F:, 1984); MACKAY
(1964), PARDÉ (1994); en tablas de producción, DUPLAT y PERROTTE
1.2. Consideraciones Preliminares
La Medición Forestal es la rama de la ciencia forestal que trata de la determinación del
volumen de trozas, árboles y rodales, así como del estudio de incremento y producción.
Su importancia en la ciencia forestal puede ser entendida por el hecho, de la misma
estar envuelta de alguna forma en diversas otras ramas, como son: en la Silvicultura, en
el Manejo Forestal, en el Inventario Forestal, en la Economía Forestal, etc.
Se debe siempre distinguir la diferencia entre “determinación” y “estimación”, sea en
volumen o distancia. La determinación implica la medición directa, mientras que la
estimación implica la medición indirecta, como por ejemplo: la medición de la altura del
fuste utilizando algún instrumento óptico. Cuando se trata de un rodal siempre nos
estaremos refiriendo a “estimaciones”, hechas a partir de “determinaciones” directas
en pequeñas parcelas.
En cuanto a los últimos avances verificados en esta rama de la ciencia forestal, se
puede decir que fueron varios y de diversas naturalezas. Todavía merecen destaques,
la aplicación de la teoría estadística y de la computación.
Por otro lado debe ser recordado que esos dos elementos si constituyen un medio y no
un fin.
Dendrometría Capítulo I
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Al estudiar la Dendrometría es conveniente que el estudiante sepa cómo surgió esta
rama de la ciencia forestal y cómo se desarrollo hasta nuestros días. En principio la
Dendrometría es un medio utilizado para atender diversos objetivos, los cuales pueden
ser resumidos como:
- objetivos comerciales;
- objetivos de manejo forestal;
- objetivos de investigación.
1.2.1. Objetivos Comerciales.
Inicialmente no eran necesarias medidas exactas sobre las cantidades de madera,
debido a la abundancia de bosques existentes y su consecuente desvalorización.
Siendo así, compradores y vendedores no hacían muchas exigencias en cuanto a
las medidas, ya que los precios eran relativamente bajos. Pero con la gradual de las
masas forestales, notoriamente en Europa, los precios de la madera fueron
elevándose de tal manera, que tanto propietarios como compradores deseaban
conocer con suficiente precisión, aquello que vendían o compraban. De este modo
se fueron perfeccionando los métodos de medición de los productos y subproductos
forestales, con vista a su transacción.
1.2.2. Objetivo de manejo forestal
Sin embargo, no sólo objetivos forestales inmediatos son considerados en una
medición. Temprano el hombre notó que el bosque presentaba un capital, que
tratado adecuadamente podría rendirle intereses permanentes. Para esto necesitaba
mantener una reserva (existencia) constante, retirando sólo el equivalente al
incremento. A este tipo de manejo ideal para cualquier empresa forestal, se le llamó
Dendrometría Capítulo I
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“rendimiento sustentado o sostenido”. Para llegar a este punto, la empresa debe
elaborar un plan a largo plazo, llamado “Plan de Ordenación Forestal”.
Los planes de ordenación sirven para ordenar la plantación y la explotación del
bosque, buscando mantener a través del tiempo la continuidad de las producciones.
Para la elaboración de tales planes, son necesarias informaciones previas sobre el
bosque en estudio. Estas informaciones se refieren a la cantidad (volumen y número
de árboles), a la calidad (diámetro y altura) y la producción (incremento en volumen
y diámetro) de la especie plantada en aquel lugar. En posesión de estos datos es
posible calcular cuál es el área forestal necesaria que tenga un crecimiento igual a la
edad de corta exigida del bosque.
La ejecución y ejecución del plan de ordenación forestal, se llama “Manejo Forestal”
y para manejar bien un bosque es necesario conocer con precisión el desarrollo de
éste para las diversas especies y sitios.
1.2.3. Objetivos de investigación.
El conocimiento de las variables forestales para fines de investigación, exige una
mayor precisión tanto en los métodos de medición, como en los métodos de cálculo.
Como en otras ciencias, la investigación antecede a la práctica, y en la Medición
Forestal esto es visible a través de nuevos aparatos, tipos de tablas, técnicas de
muestreo y métodos más simples.
Por tanto, los objetivos de la Dendrometría consisten en obtener informaciones del
bosque o parte de éste, e modo que se pueda predecir la producción presente y
también efectuarla producción futura del crecimiento y de la producción, elementos
estos fundamentales para el manejo forestal.
Dendrometría Capítulo I
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1.3. Área de Actuación
La medición, la evaluación de cantidades y el estudio del crecimiento constituyen
prácticas corrientes dentro del conjunto de las actividades forestales. Tanto para venta
o compra de productos forestales como para el planeamiento del cultivo y explotación
del bosque, es preciso medir, evaluar y prever. La rama de la ciencia forestal que
estudia estos aspectos es denominada Medición Forestal, cabiendo a esta un lugar de
destaque dentro de esa ciencia, teniendo en cuenta que cualquiera que sea la actividad
de un ingeniero forestal, éste necesitará obligatoriamente de las técnicas de medición
de los árboles individuales y de los rodales para el mejor desempeño de sus funciones.
En nuestro medio la Dendrometría adquiere importancia aún mayor, puesto que
contribuirá para el conocimiento y evaluación de los bosques, aportando elementos
para el desarrollo de un manejo racional, más cuando tanto sobre el aspecto
cuantitativo como cualitativo aún partes de nuestros bosques (los pluvisilvas y otros)
son pocos conocidos.
1.4. Definición.
La Medición Forestal es el estudio, la investigación y el mejoramiento de los métodos
para:
a) la determinación de las dimensiones de árboles en pie o derribados y de productos
de los mismos, tales como: trozas, tablas, etc.;
b) la determinación del volumen de los árboles y de los rodales, así como de sus
productos, pudiendo ser volumen total o comercial;
c) la determinación o predicción de relaciones de crecimiento de los árboles
individuales, o de los rodales, así como de sus edades. Entonces, la Medición
Dendrometría Capítulo I
9
Forestal es la rama de la ciencia forestal que se encarga de la determinación o
estimación de las características de un recurso forestal dado que sea del propio
árbol o del propio rodal, con la finalidad de predecir con precisión el volumen, la
biomasa, la edad, el incremento, la producción y el surtido de un determinado
recurso forestal.
1.4.1. Sinonimia
La Medición Forestal se conoce con los nombres de Dendrometría (El término
DENDROMETRÍA es de origen griego, significando medida de los árboles
(DENDRO = árbol y METRÍA = medida), Silvimensuración, Dasometría (El término
DASOMETRIA es de origen griego, significando medida de los árboles (DASO =
MASA y METRÍA = medida), Silvimetría y Tasación e mensuración Forestal.
1.5. Tipos de medidas.
a)Medida Directa: son medidas al alcance del hombre, que pueden ser tomadas sobre
el árbol, ejemplo: diámetro a la altura del pecho (DAP), diámetro de trozas, longitud de
árboles derribados, número de anillos de crecimiento, grosor de la corteza, etc.. Cuando
usamos una medida directa, estamos haciendo en realidad una determinación.
b)Medida Indirecta: son medidas fuera del alcance directo del hombre, tomadas en la
mayoría de las veces con auxilio de aparatos ópticos, ejemplo: altura, área basal,
diámetro a alturas inaccesibles usando el Relascopio de Bitterlich, volumen de árboles
en pie con el Pentaprisma de Wheller, etc..
c)Estimaciones: consisten en las estimaciones de variables mensurables del árbol o
de los rodales, fundamentándose en métodos estadísticos. Este método economiza
tiempo y reduce los costos de medición y cuando están bien planeadas ofrecen
informaciones bastante seguras. Consiste en medir parte de la población y hacer
Dendrometría Capítulo I
10
inferencias para obtener resultado del todo, por ejemplo: curvas, ecuaciones, tablas,
etc., son un tipo de medida que cuando están bien planeadas ofrece resultados
bastante precisos a un determinado nivel de probabilidad.
1.6. Unidades de medida y exactitud
En el transcurso de la historia de la humanidad fue desarrollado y aplicado un gran
número de unidades de medida. Inicialmente partes del cuerpo, principalmente, el pie
y la falange del pulgar (pulgada), fueron usadas como referencia para unidades de
medidas. Existía una infinidad de medidas que varían de un lugar a otro. Con la
expansión del comercio y consecuente necesidad de un mejor entendimiento, los
sistemas se redujeron, básicamente, a dos: el sistema métrico, empleado en la mayoría
de los países y el sistema inglés, empleado en los países de lengua inglesa. En los
últimos años se verifica la tendencia de la adopción del sistema métrico por ser un
sistema decimal y de fácil manipulación.
La exactitud se refiere a la mayor o menor aproximación, así como el cuidado con que
son tomadas las medidas de cualquier variable. Debe ser relacionada, sobre todo, con
los objetivos para los cuales se hacen tales medidas. Siendo así, para fines de
investigación se debe usar aparatos con graduación que posibilite mayor aproximación,
ejemplo: Cintas diamétricas con graduación en milímetros. Ya para levantamientos
expeditos, se puede usar aparatos con aproximación de medio o un centímetro,
ejemplo: forcípula. Se puede decir entonces que una mayor o menor exactitud se
relaciona con la aproximación del instrumento usado.
La precisión, sin embargo, asociada a la exactitud se refiere al error estándar de
estimación y es calculado midiendo varios individuos con diferentes aparatos. Dentro de
los instrumentos probados, el que presente menor error estándar será el más preciso.
Dendrometría Capítulo I
11
Por otro lado hay errores de medición posibles de reducción, sólo con el aumento del
número de mediciones, pues la precisión de la lectura individual es baja, por el hecho
de usarse aparatos ópticos, como por ejemplo para medir la altura.
Para la orientación de aquellos que manejan bibliografía inglesa, sigue como ilustración
las unidades del sistema inglés y su equivalencia en el sistema métrico:
Factores de Conversión.
Sistema Inglés Sistema Métrico.
1" pulgada (inch – in) 2,54 cm
1' pie (foot – ft) = 12" 0,3048 m
1 yarda (yard – yd) = 3 ft 0,9244 m
1 milla (mile – mi) 1,6093 Km
1 pulgada cuadrada (sq. In) 6,4516 cm2
1 pie cuadrado (sq. ft) 0,0929 m2
1 milla cuadrada (sq. mi) 2,59 Km2
1 acre 0,4017 ha
1 pulgada cúbica (cu. In) 16,3871 cm3
1 pie cúbico (cu. ft) 0,0283 m3
1 pie cúbico por acre 0,06997 m3/ha
1 pie cuadrado por acre 0,2296 m2/ha
1 libra (pfound – pf) = 16 onzas 0,4536 Kg
1 libra por acre 1,1208 Kg/ha
1 cadena (chain) = 66 pies 20,1168 m
1.6.1 Tipos de errores.
Al tomar una medida cualquiera se puede cometer varios tipos de errores que pueden
ser reducidos al mínimo cuando son conocidos y cuando hubiera un buen manejo de
los aparatos. Estos errores pueden ser clasificados en:
a) Errores sistemáticos: son causados por defecto del aparato de medición o por
inhabilidad del operador. Se repiten con cierta frecuencia y siempre en un mismo
Dendrometría Capítulo I
12
sentido, esto es, en exceso o en defecto. Ejemplo: Medidas del diámetro a la altura
del pecho (DAP) cuando son hechas por un técnico muy alto o muy bajo; medida del
DAP con una forcípula cuyo encaje del brazo móvil esté desgastado, dando así
siempre un DAP menor que el verdadero.
b) Errores conpensantes: Son errores independientes del instrumento y del operador
y siempre es mayor en instrumentos de menor precisión. Se producen al redondear
cifras o al aproximar valores. Ejemplo: uso de la forcípula con graduación de 1 cm,
en vez de usar graduación de mm.
c) Errores de estimación: Son errores inherentes a los procesos de medición en que
apenas se mide parte de la población y son provenientes de la variación existente
entre las muestras tomadas. Son estimables estadísticamente y no pueden ser
evitados, a no ser que se tomen medidas de toda la población lo que, generalmente,
es imposible. Ejemplo: DAP medio (d) = 15,7 ± 1,3 cm, el error en este caso es 1,3
cm y la media verdadera estaría entre 14,4 cm y 17,0 cm.
d) Errores accidentales: son aquellos errores causados por la lectura o la anotación
de un valor, ya sea en las partes enteras o en las partes decimales del mismo. La
ocurrencia de tales errores influyen en la precisión o exactitud del trabajo realizado.
Dendrometría Capítulo II
13
CAPITULO 2: REVISIÓN DE ALGUNOS CONOCIMIENTOS BÁSICOS
2.1. Regla de Tres.
2.1.1. Simple.
Es simple cuando el problema envuelve solamente dos magnitudes proporcionales
directa o inversamente.
Ejemplo 1:
6 metros cúbicos de madera de pino cuestan $900,00 pesos. Cuanto cuestan
10 metros cúbicos.
6 m3 ____________ 900,00 m3
↓ ↓
10 m3 ____________ X
X = 6
00,90010∗ = $ 1500,00 pesos.
↓ ↓ = Magnitudes directamente proporcionales.
Ejemplo 2:
8 máquinas llevan 6 días para hacer un camino forestal. Cuanto tiempo llevará 12
máquinas para ejecutar la misma acción.
Dendrometría Capítulo II
14
8 Máquinas __________ 6 días
↓ ↑
12 Máquinas __________ X
X = 12
68∗ = 4 días
↓↑ = Se trata de magnitudes inversamente proporcionales
2.1.2. Compuesta:
Es compuesta cuando en el problema intervienen más de dos magnitudes.
Ejemplo: En 6 días de trabajo se talaron 7200 m3 de madera haciendo funcionar 16
motosierras. En cuántos días podrían talarse 10500 m3 si en virtud de un racionamiento
de combustible funcionan solamente 12 de aquellas máquinas.
6 días de trabajo ________ 7200 m3 __________ 16 Máquinas
↓ ↓ ↑
X ________ 10500 m3 __________ 12 Máquinas
X = 127200
16105006∗∗∗ = 11,67 días
Dendrometría Capítulo II
15
2.2. Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado.
Los sistemas de ecuaciones de primer grado pueden ser resueltos por substitución,
comparación y adición.
2.2.1. Substitución.
2x + y = 7 (1)
x – y = 2 (2)
Se despeja el valor de una de las incógnitas; en este caso fue escogida la ecuación (1)
2x + y = 7
y = 7 – 2x (3)
Se sustituye el valor de y de la ecuación (3) en la ecuación (2) y así se tiene que:
X – y = 2
X – (7 – 2x) = 2
X – 7 + 2x = 2
3x = 2 + 7 ∴ 3x = 9
x = 39 = 3
teniendo determinado el valor de x, encuentro ahora el valor de y, substituyendo este
valor en la ecuación (3). De esta manera se tiene:
y = 7 – 2x
y = 7 – 2(3)
y = 7 – 7 = 1
Dendrometría Capítulo II
16
2.2.2. Comparación.
x – 2y = -3 (1)
2x – y = 0 (2)
dos magnitudes iguales a una tercera, son iguales entre si.
x – 2y = -3
x = 2y – 3 (3)
2x – y = 0
2x = y
x =2y (4)
(podría ser despejada y en vez de x).
Siendo las ecuaciones (3) y (4) iguales, tenemos:
2y – 3 = 2y
4y – 6 = 6
3y = 6
y =36 = 2
substituyendo el valor y en la ecuación (3) ó (4); tenemos:
x = 2x – 3 = 2∗2 – 3 = 1
x = 2y = 1
22=
Dendrometría Capítulo II
17
2.2.3. Adición.
2x + y = 5 (1)
x – y = 1 (2)
a través de la suma se elimina una de las incógnitas.
3x = 6
x = 36 = 2
substituyendo el valor de x en la ecuación (1) ó (2) habremos encontrado el valor de y,
como sigue:
x – y = 1
2 – y = 1
- y = 1 – 2
- y = -1 (-1)
y = 1.
2.3 Potenciación
Potenciación de un grado n de una magnitud es el producto de n factores iguales a esta
cantidad.
23 = 8
donde:
3 = exponente de la potencia
2 = base de la potencia
Dendrometría Capítulo II
18
8 = resultado
a) Producto elevado a una potencia.
Se eleva cada factor a esa potencia. Ejemplo: ( ) nnnn baab .2.2 =
b) Cociente elevado a una potencia.
Se eleve el numerador y el denominador a esa potencia. Ejemplo: na⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
32 = ( )
n
na3
2 .
c) Producto y división de potencias de la misma base.
c.1) Producto: se mantiene la base común y se suman los exponentes.
Ejemplo: nmnm aaa +=∗
c.2) División: se mantiene la base común y se sustraen los exponentes.
Ejemplo: nmn
m
aaa −=
d) Exponente nulo.
Toda potencia de exponente nulo es igual a la unidad. Ejemplo: 30 = 1
e) Exponente negativo
Equivale a una fracción, cuyo numerador es la unidad y el denominador es la potencia
con exponente positivo. Ejemplo: ba − = ba1 .
f) Exponente fraccionario.
Equivale a una raíz, cuyo denominador del exponente de la potencia es el grado o tipo
de la raíz y el numerador es el exponente de la base de la potencia.
Dendrometría Capítulo II
19
Ejemplo: 8 32
= 3 28 = 3 64
g) Potencia elevada a otra potencia.
Se mantiene la base y se multiplican los exponentes. Ejemplo: ( ) nn aa 22 =
h) Potencia de un número relativo.
- de un exponente par es positivo. Ejemplo: ( ) 162 4 =− ; ( ) 42 2 = , etc.
- de un exponente impar es negativo, o sea, tiene el signo de la base negativo.
Ejemplo: ( ) ;273 3 −=− ( ) 322 5 = .
i) Potencia de diez.
Es representada por la simplificación de la representación de los números. Ejemplo:
23000 = 23 ∗ 10 3 = 2,3 ∗ 10 4 .
2.4. Productos Notables.
Existen ciertas igualdades matemáticas de uso frecuente en el cálculo algebraico que
son denominadas productos notables. Los principales son
a) Cuadrado de la sSuma o diferencia de dos términos.
Ejemplo: ( )2ba + = a 22 2 bab ++ , ó también, ( )2ba − = a 22 2 bab +−
b) Producto de la diferencia de dos términos.
Ejemplo: ( )( ) 22 bababa −=−+
2.5. Factoración.
Significa descomponer un número o una expresión en un producto indicado. Ejemplo:
( )( )yxbabyaybxax +−⇒−+− .
Dendrometría Capítulo II
20
2.6. Logaritmos
Siendo a un número positivo, log a es el exponente al cual se debe elevar 10 para que
la potencia sea igual a a . En lenguaje matemático se puede escribir de la siguiente
manera: log a = x , por tanto, 10 x = a , con a > 0.
El logarítmo decimal de N es la suma de un entero relativo c con un número decimal m
no negativo y menor que 1, donde:
- el número entero es la característica, y
- el número decimal es la mantisa.
Entonces, Nlog = mc + , con 10 ≤≤ m .
a) Característica.
Es igual al número de algorismo de la parte entera, disminuida de una unidad.
b) Restricción de Dominio.
aab →log >0; b >0 y 1≠
Ejemplo: 32232log2 =→= xx
522 =x
5=x
c) Propiedades.
- Producto: baba logloglog +=∗ - Potencia: aab b =log
- Cociente: baba loglog
loglog
−= - Potencia: aa bb loglog αα =
Dendrometría Capítulo II
21
- Potencia: ama m loglog = - Potencia: aaco bb loglog −=
Algunos ejemplos de cálculos de logarítmos son:
Ejemplo 1: Siendo x=32log16 ; tenemos: 3216 =x , por tanto: ( ) 54 22 =x
54 =x y, 45
=x
Ejemplo 2: Calcule el valor del x=2log41 . En este caso tenemos que: 2
41
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
x
, o sea,
221
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
x
, por tanto, ( ) 12 22 =− x ; 12 =− x y 21
−=x .
Ejemplo 3: Calcule x=38 4log , donde tenemos que 3 48 =x , o sea, ( ) ,22 3 23 =
x por
tanto, 32
3 22 =x , 323 =x , es decir:
92
31
32
=∗=x
2.7. Relación trigonométrica.
sen α = ACCB =
hipotenusaopuesto cateto C
b
cos α = ACAB =
hipotenusaadyacente cateto a b
tg α = ABCB =
adyacente catetoopuesto cateto B c A
α
Dendrometría Capítulo II
22
2.8. Operaciones con números decimales.
a) Adición.
Se reducen los números decimales a unidades del mismo orden y se procede como en
la adición de números enteros.
b) Substracción.
Se procede de forma semejante a la adición.
c) Multiplicación.
Se multiplican los dos números como si fuesen enteros y se separa en el resultado a
partir de la derecha para la izquierda, tantas casas decimales cuantas sean los
algoritmos de las partes decimales de los números dados..
Si un número decimal fuera potencia de 10, 100, 1000, K se desplaza la coma para la
derecha una, dos, tres, K casas.
d) División.
Debe ser tratada con más cuidado, pues no siempre su cociente puede no representar
una fracción decimal. Ejemplo: 82734120
273,812,4
= {no es una fracción decimal}.
1046
2,092,0
= {es una fracción decimal}.
PARTE ENTERA PARTE DECIMAL
Millares
Centen
as
Decen
as
Unidad
Decim
o
Centésim
o
Milésimo
Dendrometría Capítulo II
23
2.9. Álgebra Matricial.
El álgebra matricial ayuda bastante en la comprensión de las regresiones curvilínea y
múltiple. Los conceptos básicos y técnicos del álgebra matricial son presentados aquí
como preparación para el estudio de tópicos más avanzados de la regresión. Tales
puntos serán presentados enteramente bajo el punto de vista práctico.
Serán omitidas todas las terminologías e teoremas que no estén ligado directamente
con las regresiones.
2.9.1. Matriz.
Un arreglo de números como:
| 11a 12a 13a |
| 21a 22a 23a | (1)
| 31a 32a 33a |
Es llamado una matriz. Un ejemplo lo tenemos en el arreglo de los coeficientes de las
siguientes ecuaciones:
| 5x – 2y + z = 3| (2)
|2x + y – 5z = -6| (3)
|4x – 2y + z = 1| (4)
está formado por los nueve coeficientes
| 5 – 2 1 |
| 2 1 - 5 | (5)
| 4 - 2 1 |
Dendrometría Capítulo II
24
que es una matriz. Los números al lado derecho de las ecuaciones es otro ejemplo de
matriz. | 3 |
| -6 | (6)
| 1 |
El tamaño de la matriz se mide por su número de líneas y columnas. La matriz m∗n es
la que posee m líneas y n columnas. Por ejemplo, la matriz (5) es del tipo 3∗3, mientras
que la matriz (6) es del tipo 3∗1; no 1∗3. Si m = n se dice que la matriz es cuadrada.
La matriz (5) es una matriz cuadrada.
Cada número de la matriz se llama elemento de la matriz. La matriz (1) tiene nueve
elementos. La matriz (5) también. En general, una matriz m∗n tiene m∗n elementos.
Cada elemento consiste de su signo algebraico y dígitos correspondientes.
Dos matrices son iguales cuando sus elementos correspondientes son también iguales.
Frecuentemente una matriz es representada por una letra. Por ejemplo, la letra A puede
ser usada para representar la matriz (1), tal que
A = (aij)
i = 1,2,3;
j = 1,2,3;
donde: aij es el elemento que ocupa la i-ésima línea y j-ésima matriz.
Entonces la matriz m∗n puede ser representada por:
A = (aij) i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n
Esta abreviatura no altera el significado de una matriz.
Dendrometría Capítulo II
25
La transpuesta de una matriz es la matriz formada, cambiándose las líneas y las
columnas de la matriz original. Ejemplo la transpuesta de la matriz A es A', es decir:
| 11a 12a 13a | | 11a 21a 31a |
A = | 21a 22a 23a | (7) es A' = | 12a 22a 32a | (8)
| 31a 32a 33a | | 13a 23a 33a |
La transpuesta de la matriz (5) es
| 5 2 4 |
| -2 1 - 2 | (9)
| 1 - 5 1 |
La transpuesta de una matriz m∗n es la matriz n∗m. Por ejemplo:
| 4 2 1 |
B = | 5 -3 2 | (10)
Es una matriz 2∗3, pero su transpuesta es una matriz 3∗2, o sea,
| 4 5 |
B' = | 2 - 3 | (11)
| 1 2 |
Una matriz se dice que es simétrica cuando su transpuesta es igual a la matriz
original. Un ejemplo de matriz simétrica es:
Dendrometría Capítulo II
26
| 95 -42 73 |
| -42 50 82 | (12)
| 73 82 17 |
En la forma simbólica, se dice que la matriz A es simétrica si
(Aij) = (Aij) (13)
ó
A = A' (14)
donde: A' es la transpuesta de A.
Matriz Diagonal, es una matriz cuadrada con todos los elementos iguales cero (0),
excepto los de la diagonal, tal que:
| 11a 0 0 |
| 0 22a 0 | (15)
| 0 0 33a |
La matriz diagonal, naturalmente, es siempre simétrica. La matriz diagonal es
llamada matriz escalar cuando los elementos de la diagonal son iguales, como
| 12a 0 0 |
| 0 12a 0 | (16)
| 0 0 12a |
Dendrometría Capítulo II
27
La matriz escalar se dice que es una matriz identidad cuando todos los elementos de
la diagonal son iguales a 1, tal que
| 1 0 0 |
| 0 1 0 | (17)
| 0 0 1 |
Por tanto, una matriz identidad es escalar, diagonal y simétrica.
2.9.2. Multiplicación de Matrices.
El producto de dos matrices A y B, donde:
| 11a 12a | | 11b 12b |
A = | 21a 22a | y B = | 21b 22b | (1)
| 31a 32a |
está definido por
| 11a 11b + 12a 21b 11a 12b + 12a 22b |
AB = | 21a 11b + 22a 21b 21a 12b + 22a 22b | (2)
| 31a 11b + 32a 21b 31a 12b + 32a 22b |
El elemento en la i-ésima línea y j-ésima columna de la matriz producto AB es la suma
de los productos de los elementos correspondientes de la i-ésima línea de la matriz A y
j-ésima columna de la matriz B. Este proceso se llama multiplicación línea ∗ columna,
que puede ser ilustrado por el producto:
Dendrometría Capítulo II
28
A B C
| 1 2 3 | | 1 2 | | 22 28 |
| 4 5 6 | ∗ | 3 4 | = | 49 64 | (3)
| 7 8 9 | | 5 6 | | 76 100 |
Los elementos de la tercera línea de la matriz A son 7, 8 y 9 y los de la Segunda
columna de B son 2, 4 y 6. La suma de los productos de los tres pares de esos
elementos es: 7 10069482 =∗+∗+∗ , que son los elementos de la tercera línea y
Segunda columna de la matriz C.
Las matrices pueden ser usadas en la representación de un sistema lineal de
ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones (2), (3) y (a) del epígrafe 1.9.1 pueden ser
expresadas en la forma de matrices como:
| 5 -2 1 | | x | | 3 |
| 2 1 -5 | | y | = | -6 |
| 4 -2 1 | | z | | 1 |
Después de efectuarse todas las operaciones, se obtienen las tres ecuaciones
originales.
2.9.3. Reglas de multiplicación de matrices.
La ley conmutativa para la multiplicación generalmente no es válida para matrices, esto
es, AB = BA (1)
donde A y B son dos matrices. Por ejemplo:
Dendrometría Capítulo II
29
| 1 2 | | 5 6 | | 19 22 |
| 3 4 | ∗ | 7 8 | = | 43 50 | (2)
Cuando el orden de las matrices es cambiado, el producto también cambia
| 5 6 | | 1 2 | | 23 24 |
| 7 8 | ∗ | 3 4 | = | 31 46 | (3)
Como se puede observar el producto de la ecuación (3) es diferente al de la ecuación
(2). Este ejemplo ilustra la importancia del orden de las matrices en una multiplicación.
Hay casos en que se puede observar la propiedad conmutativa, por ejemplo, en el caso
de producto de matrices cuadradas, si una o las dos fueran escalar. Verifiquemos esto
mediante el siguiente ejemplo:
| 11a 12a | | b 0 | | 11a b 12a b |
| 21a 22a | ∗ | 0 b | = | 21a b 22a b | (4)
En este caso si cambiamos el orden de los productos se obtiene el mismo resultado
como se muestra en la ecuación (5).
| b 0 | | 11a 12a | | 11a b 12a b |
| 0 b | ∗ | 21a 22a | = | 21a b 22a b | (5)
Es decir, el producto de las matrices permanece igual, aún cuando se cambie el orden
de las mismas.
La multiplicación de dos matrices no puede ser efectuada a menos que el número de
columnas de la matriz de la izquierda sea igual al número de líneas de la matriz de la
derecha; esto es, una matriz m∗n no puede ser multiplicada por una matriz p∗q al
Dendrometría Capítulo II
30
menos que p = n. Si p = n el producto es una matriz del tipo m∗p. Por ejemplo, cuando
una matriz 2∗3 es multiplicada por una matriz 3∗2, el producto es una matriz 2∗2.
| 1 2 3 | | 7 8 | | 58 64 |
| 4 5 6 | ∗ | 9 10 | = | 139 154 | (6)
| 11 12 |
Pero cuando una matriz 3∗2 es multiplicada por otra 2∗3, el producto es una
matriz 3∗3, o sea:
| 7 8 | | 1 2 3 | | 39 54 69 |
| 9 10 | ∗ | 4 5 6 | = | 49 68 87 | (7)
| 11 12 | | 59 82 105 |
Las ecuaciones (6) y (7) ilustran cómo las dimensiones de una matriz producto pueden
ser determinadas por las dimensiones de las matrices originales. Primeramente se
muestra el hecho que AB es necesariamente igual a BA, donde A y B son matrices.
Esas dos ecuaciones muestran que los dos productos de esas matrices tampoco son de
la misma dimensión.
La ley asociativa de la multiplicación es válida para las matrices, esto es:
(AB) C = A (BC) (8)
donde A, B y C son tres matrices. Este teorema puede ser demostrado en las tres
matrices 2∗2 que siguen:
Dendrometría Capítulo II
31
A B C
| 11a 12a | | 11b 12b | | 11c 12c |
ABC = | 21a 22a | ∗ | 21b 22b | ∗ | 21c 22c | (9)
AB C
| 11a 11b + 12a 21b | | 11a 12b + 12a 22b | | 11c 12c |
(AB)C = | 21a 11b + 22a 21b | | 21a 12b + 22a 22b | ∗ | 21c 22c | (10)
A BC
| 11a 12a | | 11b 11c + 12b 21c | | 11b 12c + 12b 22c |
A(BC) = | 21a 22a | ∗ | 21b 11c + 22b 21c | | 21b 12c + 22b 22c | (11)
Cuando la multiplicación en la ecuación (10) y (11) es efectuada los resultados en
matrices 2∗2 son idénticos.
La transpuesta de un producto de dos matrices es igual al producto de sus transpuestas
con el orden cambiado, esto es,
(AB)' = B'A'
Por ejemplo, | 11a 12a | | 11b 12b 13b |
A = | 21a 22a | y B = | 21b 22b 23b | (12)
| 31a 32a |
Dendrometría Capítulo II
32
El producto de las dos matrices es AB, que es una matriz 3∗3. Las transpuestas de A y
B son respectivamente:
| 11a 21a 31a | | 11b 21b |
A' = | 21a 22a 32a | y B' = | 12b 22b | (13)
| 13b 23b |
El producto de esas dos transpuestas con el orden cambiado es B'A', que también es
una matriz 3∗3. Después de operar las multiplicaciones se ve que B'A' = (AB)', que es
la transpuesta de (AB).
2.9.4. Inversión de Matriz.
La matriz cuadrada A-1 es el inverso de una matriz cuadrada A, si A-1A = AA-1= I, donde
I es una matriz identidad. Por ejemplo, inverso de
| 1 2 | | -2,0 1,0 |
A = | 3 4 | es A-1= | 1,5 -0,5 | (1)
A-1A = AA-1 = | 1 0 |
| 0 1 |
Para hallar el inverso de una matriz A, se puede utilizar las reglas de multiplicación. Se
puede comenzar con la matriz A y la matriz identidad I, lado a lado, como sigue:
A = | 1 2 | I = | 1 0 |
| 3 4 | | 0 1 | (2)
Entonces, multiplicar la matriz A por una serie de matrices a la izquierda hasta que el
producto sea una matriz identidad. Al mismo tiempo multiplicar I por la misma serie de
Dendrometría Capítulo II
33
matrices. Después de varias tentativas, la matriz A se convierte en I e I en A-1. La razón
de esto no es difícil de imaginar, se supone que las series de matrices usadas en la
multiplicación son B, C y D, tal que DCBA = I.
Entonces :
(DCBA) = A-1
(DCB)I = A-1I = A-1
Por ejemplo, si el producto
| 1 0 | |1 2 | | 1 2 |
BA = | 1 - 31 | | 3 4 | = | 0 3
2 | (3)
| 1 0 | |1 2 | | 1 2 |
C(BA) = | 0 23 | | 0 3
2 | = | 0 1 | (4)
| 1 -2 | |1 2 | | 1 0 |
D(CBA) = | 0 1 | | 0 1 | = | 0 1 | (5)
Dendrometría Capítulo II
34
Entonces el producto
| 1 -2 | |1 0 | | 1 0 |
DBC = | 0 1 | | 0 23 | = | 1 - 3
1 | (6)
| 1 -3 | |1 0 |
DC(B) = | 0 23 | | 1 - 3
1 | (7)
| -2 1 |
DCB = | 23 - 2
1 | (8)
Es el inverso de la matriz A mostrada en la ecuación (1).
El procedimiento usado en la inversión de la matriz encima descrito no es diferente del
usado para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Las conexiones entre los dos
métodos pueden ser observadas por la expresión de un sistema de ecuaciones en
forma de matrices. Las ecuaciones (2), (3) y (4) de la página 7 pueden ser expresadas
en la forma matricial.
| 5 -2 1 | | x | | 3 |
| 2 1 -5 | | y | = | -6 | (9)
| 4 -2 1 | | z | | 1 |
Dendrometría Capítulo II
35
La solución de esas ecuaciones puede ser expresada como
| 1 0 0 | | x | | 3 | | x | | 2 |
| 0 1 0 | | y | = | -6 | = | y | = | 5 | (10)
| 0 0 1 | | z | | 1 | | z | | 3 |
que es la solución (9). Comparando las ecuaciones (9) y (10), sucede que, si ambos
lados de la ecuación (9) fueran multiplicados por el inverso de la matriz de los
coeficientes del sistema, la ecuación será la (10). Por tanto, si puede resolver un
sistema de ecuaciones lineales, se puede también invertir una matriz. Un ejemplo de
inversión de matriz está dado en el cuadro más adelante.
La matriz inversa obtenida en este cuadro es
| 1 0 -1 |
| 922 - 9
1 -3 | (11)
| 98 - 9
2 -1 |
Cuando ambos lados de la ecuación (9) son multiplicados por esta matriz a la izquierda,
la ecuación resultante es la que da la solución de las ecuaciones (2), (3) y (4) de la
página 7.
Entretanto, el proceso de inversión de matrices presentado en el cuadro más adelante
no es recomendable para uso práctico. Empleando una serie de artificios puede ser
bastante simplificado.
Dendrometría Capítulo II
36
2.9.4.1. Método de JORDAN para inversión de matriz.
Dada la matriz
| 2 4 6 |
A = | 1 0 3 |
| 4 1 5 |
puede determinarse por el método de JORDAN, la matriz inversa de la siguiente
manera:
1º) Escriba al lado de la matriz dada, la matriz unidad del mismo orden. Así,
------------------------------------------
| 1a | 2 4 6 | 1 0 0 |
| 2a | 1 0 3 | 0 1 0 |
| 3a | 4 1 5 | 0 0 1 |
------------------------------------------
Se colocan letras con índices 1, 2 y 3, antecediendo las líneas a fin de facilitar la
comprensión.
2º) Ahora se debe comenzar a hacer transformaciones de tal modo que se convierta la
matriz A en I y las misma transformaciones convertirán la matriz I en A-1.
Se divide la línea 1a por 2, en este caso, a fin de obtener el elemento unidad de la I y se
obtiene la línea 1b .
Dendrometría Capítulo II
37
Inmediatamente se multiplican los elementos de la línea 1b por (-1) y se suma a los
elementos de la misma columna de la línea 2a , obteniéndose así la línea 2b , o sea, 1b ∗
(-1) + 2a = 2b .
Ahora se multiplican los elementos de la línea 1b por (-4) y se suma con los elementos
de la línea 3a , obteniendo la línea 3b , es decir, 1b ∗ (-4) + 3a = 3b .
Reuniendo los resultados en un único cuadro se tiene:
-----------------------------------------------
1b = 1a : 2 | 1b | 1 2 3 | 21 0 0 |
2b = 1b ∗ (-1) + 2a | 2b | 0 -2 0 | - 21 1 0 |
3b = 1b ∗ (-4) + 3a | 3b | 0 -7 -7 | -2 0 1 |
-----------------------------------------------
Se puede notar que la primera columna de la matriz A quedó transformada en la
primera columna de la matriz unidad (I).
Para la transformación de la Segunda columna de la matriz A, se repite la misma
técnica anterior, que pasará a ser aplicada, apenas con el uso de notación abreviada.
Comienza siempre por determinar el elemento unidad de la matriz I.
Dendrometría Capítulo II
38
----------------------------------------------
2c = 2b : (-2) | 2c | 0 1 0 | 41 - 2
1 0 |
1c = 2c ∗ (-2) + 1b | 1c | 1 0 3 | 0 1 0 |
3c = 2c ∗7 + 3b | 3c | 0 0 -7 | - 41 - 2
7 1 |
------------------------------------------------
Reuniéndolos y colocándolos en el orden de las líneas se tiene:
----------------------------------------------
| 1c | 1 0 3 | 0 1 0 |
| 2c | 0 1 0 | 41 - 2
1 0 |
| 3c | 0 0 -7 | - 41 - 2
7 1 |
----------------------------------------------
La misma técnica es idéntica para la transformación de la tercera columna de la matriz
A en la tercera columna de la matriz I.
--------------------------------------------------
3d = 3c : (-7) | 3d | 0 0 1 | 281 - 2
1 - 71 |
1d = 3d ∗ (-3) + 1c | 1d | 1 0 0 | - 283 2
1 73 |
2d = 2c | 2d | 0 1 0 | 41 - 2
1 0 |
--------------------------------------------------
Dendrometría Capítulo II
39
Ese cuadro puede ser colocado en orden. La matriz A fue transformada en I y la matriz I
en otra matriz que es la inversa de la matriz A→A-1.
Prácticamente no es necesario efectuar estas operaciones en cuadros separados;
puede reducirse en un único cuadro como sigue:
1a
2a
3a
2 1 4
4 0 1
6 3 5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1b
2b
3b
1 0 0
2 ‐2 ‐7
3 0 ‐7
21
‐ 21 ‐ 2
0 1 0
0 0 1
1c
2c
3c
1 0 0
0 1 0
3 0 ‐7
0 41
‐ 41
1 ‐ 21‐ 27
0 0 1
1d
2d
3d
1 0 0
0 1 0
0 0 1
‐ 28341
281
21 ‐ 21 ‐ 21
73 0
‐‐ 71
Así, la matriz inversa de A es:
| - 283 - 21 73 |
A-1 = | 41 - 21 0 |
| 281 21 - 71 |
2.9.5. Matriz singular.
Un sistema de ecuaciones lineales no tiene necesariamente una única solución. Por
ejemplo, la solución:
| x1 x2 x3| = | 1 2 3 | (1)
satisface a las ecuaciones:
Dendrometría Capítulo II
40
| 5 -2 1 | | x1 | | 4 |
| 2 1 -5 | | x2 | | -11 | (2)
| 4 -2 2 | | x3 | | 6 |
en la misma forma la solución :
| x1 x2 x3| = | 0 -1 2 | (3)
también satisface a aquella ecuación.
Para tales sistemas de ecuaciones, la matriz de los coeficientes de las variables x1, x2 y
x3 no tienen inversa. Una matriz cuadrada cuya inversa no existe es llamada matriz
singular. Al recurrirse a la inversión de una matriz de ese tipo, se obtiene una división
por 0 (cero) durante el proceso.
El procesos normal de determinar la singularidad de una matriz ni incluso será
presentado aquí. La definición de singularidad dada es también muy ligera.
Especificaciones sobre este asunto no será discutido en este item – para lo que se
pretende para uso en regresiones – pues raramente se encuentran matrice en
aplicaciones prácticas de regresiones múltiples.
2.10. Sistema métrico
Tiene como unidad fundamental el metro y como unidades secundarias, sus múltiplos y
submúltiplos en relaciones decimales de ese sistema. Las unidades de superficie,
volumen y masa (peso) están en relación con el metro. Para las magnitudes son legales
las siguientes unidades fundamentales:
- Para longitudes: el metro
- Para masa (peso): el Kilogramo
Dendrometría Capítulo II
41
a) Unidades secundarias de longitud.
UNIDADES Nomenclatura Símbolo Valores en metro
Fundamental Metro m 1
Secundarias
Múltiplo
Decámetro
Hectómetro
Kilómetro
Dam
Hm
Km
10
100
1000
Submúltiplo
Decímetro
Centímetro
Milímetro
Micron
Milimicron
dcm
cm
mm
0,1
0,01
0,001
0,000001
0,00000001
b) Cambio de unidad.
Para pasar de una cierta unidad a otra que le sea menor, se desplaza la coma hacia la
derecha tantas casas cuantos son los espacios que separan las dos unidades de la
serie. El paso para una unidad mayor es hecho con desplazamiento de la coma hacia la
izquierda.
2.11. Unidades de superficie.
a) Área de una superficie.
Es el número que expresa su medida. La unidad legal de medida de la superficie es el
metro cuadrado (m2), el cual es el área de un cuadrado de un metro de lado.
Los múltiplos y submúltiplos del m2 son las áreas de los cuadrados que tienen para el
lado los múltiplos y los submúltiplos del metro.
Dendrometría Capítulo II
42
b) Unidades.
UNIDADES Nomenclatura Símbolo Valores en metro
Fundamental
Metro Cuadrado M2 1
Secundarias
Múltiplo
Decámetro Cuadrado
Hectómetro Cuadrado
Kilómetro Cuadrado
Dam2
Hm2
Km2
100
10000
1000000
Submúltiplo
Decímetro Cuadrado
Centímetro Cuadrado
Milímetro Cuadrado
dcm2
cm2
mm2
0,01
0,001
0,000001
Ejemplo: Exprese 19,0130 m2 en:
a) cm2 = 190130
b) dm2 = 1901,30
c) Dam2 = 0,190130
d) Hm2 = 0,00190130
e) Km2 = 0,0000190130
Dendrometría Capítulo III
43
CAPITULO 3. MEDICIÓN DE DIÁMETROS
3.1. Diámetro a la altura del pecho (DAP), circunferencia a la altura del pecho
(CAP) y área basal (g)
En Dendrometría – medición o mensuración de árboles – la variable diámetro o
circunferencia es la más fundamental y frecuente medida a ser obtenida del árbol por el
técnico forestal, constituyendo la base de cálculo para la estimación del volumen y la
indicación del estado de desarrollo del árbol.
La importancia básica en la medición de esta variable es que:
- afecta el cálculo del volumen, área basal y peso;
- es accesible. Implica gran precisión y mayor economía en la toma de esta medida;
- posibilita conocer la distribución diamétrica del bosque
- posibilita definir el grado de ocupación de un local del bosque a través de la
determinación de la densidad.
3.1.1. Consideraciones sobre el diámetro y la circunferencia.
La medición del diámetro es efectuada a 1,30 m en Cuba y Brasil, 1,37 m en los
Estados Unidos de Norteamérica y 1,25 m en Japón por simple comodidad.
Es muy Común la medición de la circunferencia (C) y su posterior transformación en
diámetro. Para tal transformación basta utilizar la siguiente relación:
C = 2πR (3.1)
Donde: C = Circunferencia
R = Radio
π = 3,1415927
El radio a su vez corresponde a la mitad del diámetro (D), luego:
R = 2D (3.2)
Dendrometría Capítulo III
44
Substituyendo (3.2) en (3.1) se tiene:
C = 2π2D
C = πD ó D = πC
3.1.2. Medición de los diámetros y/o de las circunferencias.
Al efectuar mediciones de diámetros y/o circunferencias es Común que surjan una serie
de dudas debido a la forma de cómo se presentan los árboles, pudiéndose encontrar
las siguientes situaciones en los árboles, como se muestra a continuación:
a) árboles situados en un plano horizontal (terreno llano)
b) árboles situados en un terreno inclinado
c) árboles inclinados
d) árboles con deformaciones en la base (aletones, etc.)
e) árboles con deformaciones a la altura de 1,30 m del suelo (altura del pecho)
f) árboles bifurcados encima del DAP
g) árboles bifurcados abajo del DAP.
Dendrometría Capítulo III
45
(a) (b)
Figura 3.1: Medición del diámetro: a) en terreno llano; b) en terreno inclinado.
Figura 3.2: Medición del diámetro en árboles inclinados: A) en terreno llano; B) en
terreno inclinado.
Figura 3.3: Medición del diámetro en árboles bifurcados: A) debajo de 1.30 m; B)
encima de 1.30 m.
Dendrometría Capítulo III
46
Figura 3.4: Medición del diámetro en árboles con aletones, gamba y raíces tubulares
Figura 3.5: Medición del diámetro en árboles con deformaciones a 1.30 m
La medición del diámetro y/o la circunferencia a la altura del pecho fue
convencionalmente adoptada como referencia por las siguientes razones:
- es la altura en que el operador encuentra más facilidad para manejar los
instrumentos para medir diámetros y/o circunferencias; y
- la mayoría de los árboles adultos de zonas tropicales y templadas poseen “aletones”
y otras deformaciones y la influencia de estos, en la forma del tronco, a 1,30 m es
bastante reducidas.
Dendrometría Capítulo III
47
¿Para objetivos de investigación es preferible medir el diámetro o la
circunferencia? La respuesta a esta pregunta es afirmativa a favor de la
circunferencia, es decir, debido a la mayor sensibilidad se mide la circunferencia, sino
veamos:
- se hacen dos mediciones de DAP y CAP en dos años consecutivos, obteniéndose
los siguientes resultados:
1960----- DAP = 30,0 cm.
CAP = 94,2 cm.
1961----- DAP = 31,0 cm.
CAP = 97,3 cm.
Un error de 1 cm. en el DAP resulta en más de 3,0 cm. de error en la CAP, al paso que
un error de 1 cm. en la CAP resulta en un valor inferior a 0,3 cm. en el DAP.
En el vaso en que los árboles e presenten bifurcados, se debe medir el diámetro de la
rama 1, obtener su volumen; medir el diámetro de la rama 2 y obtener su volumen
también. Después sumar los dos volúmenes. En la ficha (formulario) de campo se debe
colocar como observación “árbol bifurcado”, para que no se tenga la impresión de ser
una pieza única. En el caso de que la altura de ambas ramas de la bifurcación sea la
misma, se puede calcular un único volumen para el árbol a partir del diámetro obtenido
de la siguiente forma:
D = 22
21 DD +
Dendrometría Capítulo III
48
3.2. Instrumentos usuales para la medición de diámetro.
Hay diversos instrumentos para medición de diámetros. Sin embargo, comentaremos
apenas los más prácticos y usuales. Los más prácticos y usuales son:
a) Forcípula o Calibre
b) Cinta métrica o Diamétrica
c) Vara de Biltimore
d) Visor de Diámetro de BITTERLICH
e) Regla
f) Tenedor de Diámetro
g) Forcípula Finlandesa
h) Dendrómetro Friedrich
i) Pentaprisma WHEELER.
j) Dendrómetro BARR-STROUD
k) Relascopio de BITTERLICH.
3.2.1. La forcípula o calibre
3.2.1.1. Características.
Presenta las siguientes características:
- Tiene una regla graduada que posee un brazo fijo y otro móvil, perpendiculares
ambos a la escala o regla graduada;
- puede ser de aluminio, hierro o madera;
- está graduada de 1 en 1 cm. o de 0,5 en 0,5 cm.. En los países de lengua inglesa la
graduación es hecha en pulgadas enteras; y
- su dimensión debe variar en función de la población forestal en que se va a hacer el
levantamiento.
Dendrometría Capítulo III
49
.
Figura. 3.6: Esquema de una forcípula
b) Cuidados en la toma de las mediciones
Para que la forcípula trabaje en buenas condiciones en el momento de la toma de las
mediciones, hay que tener los siguientes cuidados (Figura 3.7):
- que el brazo fijo esté perpendicular a la regla graduada;
- que los dos brazos y la regla estén situados en un mismo plano;
- que el brazo móvil, en la medición, esté paralelo al brazo fijo. Condición esencial
para hacer lecturas correctas;
Dendrometría Capítulo III
50
Figura 3.7: Cuidados a tener en cuenta al tomar las mediciones con la forcípula
- que al tomar dos medidas, si las secciones no fueran circulares, estas deben ser
tomadas ortogonalmente una a otra. El diámetro del árbol será obtenido por la
media aritmética de D1 y D2 (Figura 3.8).
.
Figura 3.8: Obtención del diámetro del árbol cuando las secciones no son circulares.
D1 = Diámetro en el eje mayor
D2 = Diámetro en el eje menor
D1
D2
Dendrometría Capítulo III
51
Los errores que se producen por la forma excéntrica de la sección transversal del fuste
se compensan mediante la medición de dos diámetros en el mismo árbol como se
indicó en la figura 3.8. Esto es particularmente importante para árboles derribados, ya
que casi siempre los árboles al caer se voltean hacia el lado más ancho.
En la medición de un conjunto de árboles en pie puede lograrse una Compensación de
los errores, cuando la dirección de la forcipulación se selecciona al azar, pues la
excentricidad de la sección transversal del fuste que se origina por la influencia lateral
de la copa, por el viento o la pendiente esta más desarrollada hacia una misma
dirección, generalmente, en todos los árboles de un rodal. Es por eso que cuando se
realiza una forcipulación total o una medición en parcelas permanente de pruebas es
suficiente, para los intereses de la práctica, una sola medición de los diámetros cuando
la dirección de la forcipulación se selecciona al azar mediante cambio durante la
medición. Esto puede lograrse de tal modo que la regla graduada (regla guía) de la
forcípula siempre esté dirigida hacia el centro del rodal o punto medio de la parcela de
prueba (Figura 3.9).
Figura 3.9: Cambio permanente de la dirección de la forcipulación en la medición
simple con forcípula.
Dendrometría Capítulo III
52
3.2.1.2. Procedimiento de uso
La medición se hace colocando la forcípula en el tronco del árbol, a 1,30 m del suelo,
de modo que al comprimir los brazos contra el tronco se obtiene la lectura – al leerse –
directamente en la escala graduada. El brazo fijo, el brazo móvil y la regla graduada
deben estar en contacto tangencialmente con la sección transversal del árbol (Figura
3.7).
3.2.1.3. Desventaja
La forcípula presenta las siguientes desventajas:
- imprecisión cuando está desajustada;
- para medir árboles muy gruesos, es necesario el uso de forcípulas grandes, las
cuales son difíciles de cargar y de manejar
- a veces ocurre que la humedad y residuos se depositan sobre la barra graduada,
dificultando el deslizamiento del brazo móvil.
3.2.1.4. Errores.
Durante la medición con la forcípula se puede incurrir en dos tipos de errores, debido:
1. al uso o colocación de la forcípula en posición inclinada
2. al no paralelismo de los brazos en el acto de la medición.
A continuación explicaremos cada uno de estos tipos de errores>
3.2.1.4.1. Errores debido al uso o colocación de la forcípula en posición inclinada.
La colocación de la forcípula en posición inclinada está en relación con el eje
longitudinal del fuste del árbol. Este error depende directamente del operador (Figura
3.10).
Dendrometría Capítulo III
53
Figura 3.10: Error por la colocación inclinada de la forcípula
Donde:
D1 = Diámetro verdadero
D2 = Diámetro medido por la forcípula
e = Error de medición
El error contenido en esta situación es del tipo sistemático por exceso, en función del
ángulo y del grueso de los brazos de la forcípula.
e = D2 – D1 ∴ D2 = e + D1 (3.3)
αCos = 2
1
DD
∴ D2 = αCos
D1 (3.4)
Sustituyendo (3.4) en (3.3) se tiene
D2 = e + D1
αCosD1 = e + D1
e = αCos
D1 - D1
α e
D2
D1
Dendrometría Capítulo III
54
El error en porcentaje es:
e % = 1001
1
1
1 ∗⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
DD
CosDD
α
e = 10011∗⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
αCos ∴ e % = 10011
∗⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
αCos (3.5)
3.2.1.4.2. Errores debido al no-paralelismo de los brazos en el acto de la medición.
El no-paralelismo de los brazos de la forcípula es la principal fuente de errores en la
medición de diámetro (Figura 3.11).
Es muy Común este tipo de error en las forcípulas de madera, siendo del tipo
sistemático por defecto porque el diámetro medido siempre será menor que el real.
Figura 3.11: Error por el no-paralelismo de los brazos de la forcípula
D1 – D2 = L tg α ERROR
= R tg α
tg α = ( )( )RL
eX ∴ L ( )R tg α = X ( )e
D1 = D2 + X ( )e = D2 + L ( )R tg α
R L
x
D1
D2
α
Dendrometría Capítulo III
55
D1 – D2 = L ( )R tg α
El error en porcentaje es:
D1 : 100 :: D1 – D2 : e
e % = 1001
21 ∗−D
DD
e % = ( ) 100tg
1
∗D
RL α (3.6)
El error es inversamente proporcional al diámetro real (D1) y directamente proporcional
al ángulo α y al radio ( )R , o sea, a la distancia L.
3.2.2. Cinta métrica o diamétrica.
3.2.2.1. Característica.
La cinta métrica o diamétrica tiene las siguientes características:
- puede ser de acero o de lona;
- está graduada en una de las caras en centímetros y en la otra en diámetro del
círculo (cada 1 cm. corresponde al perímetro del círculo que está multiplicado por
3,1416);
- su dimensión es de 5,0 m; y
- es el más simple instrumento para medir diámetro o circunferencia.
3.2.2.1.1. Ventajas.
Las ventajas son:
- facilidad de transportación;
- poco peso; y
- no necesita de ajustes constantes.
3.2.2.1.2. Desventajas.
Entre las principales desventajas tenemos:
Dendrometría Capítulo III
56
- la lentitud en la medición;
- las lecturas sólo son exactas para secciones circulares; y
- el aumento de los errores en las lecturas de secciones no circulares.
3.2.2.2. Cuidados.
En la medición con la cinta métrica o la cinta diamétrica hay que tener precaución:
- con los árboles que tienen deformaciones (barrigas)
- con la inclinación, en el acto de la medición, de la cinta que propicia
superestimación del diámetro o de la circunferencia.
3.2.3. Comparación de la forcípula con la cinta
La cinta diamétrica está graduada en intervalos, luego ella mide directamente el
diámetro y sólo es precisa cuando los árboles tienen las secciones perfectamente
circulares. Para árboles con secciones excéntricas (no circulares), las medidas hechas
con la cinta diamétrica presentan un error sistemático por exceso, afectando
consecuentemente el “área transversal” proveniente que será mayor que la real.
Esta afirmación está apoyada en el hecho de que: “para un mismo perímetro, la
sección circular es la que posee mayor área” (Figura 3.12). Ejemplo: amarrando
entre sí los extremos de un hilo, se consiguen tres figuras diferentes del mismo
perímetro, conforme se verifica en las tres figuras abajo representadas:
Figura 3.12: El perímetro de a, b y c es el mismo, mas a posee mayor área.
a b c
Dendrometría Capítulo III
57
La cinta métrica fue hecha para medir circunferencia o perímetro del círculo, es decir, al
usarla se mide el perímetro de una sección y expresarla en término de diámetro.
Cuando se trata de una sección no circular, se supone que el área contenida dentro de
ese perímetro es la máxima posible y en realidad no lo es; ejemplificando: midiéndose
la figura c con una cinta diamétrica se supone para esta un área igual que la de la figura
a. Está claro que este caso extremo no se verifica, pero sirve para ilustrar cómo el
grado de excentricidad influye en la magnitud del error.
En secciones no circulares tampoco es posible la determinación exacta del diámetro
con la forcípula. Como sucede con la cinta, los resultados son siempre superiores a los
reales.
Ejemplo de una sección elíptica:
Datos:
D2 (diámetro menor) = 14,0 cm. y 22,0 cm.
D1 (diámetro mayor) = 20,0 cm. y 32,0 cm.
Determinar:
- ¿Perímetro?
- ¿Área?
Perímetro
S = ( )[ ]λ
π−
+++
1113
421 X
rr (3.7)
( )
2
2
21
2 rrrr
+−
=λ (3.8)
donde: r = radio
( )
2
1 7102710+−
=λ = 0,0078
Dendrometría Capítulo III
58
( )
2
2 111621116+−
=λ = 0,0085
S1 = 3, 141592 ( )[ ]0078,0110078,013
4710
−++
+∗
S1 = 53,6 cm..
S2 = 3,141592 ∗ ( )[ ]0085,0110085,013
41116
−++
+
S2 ] 85,52 cm..
Área
A2 = 21 rr ∗∗π
A2 = 3,141592 1116∗∗
A2 = 552,92 cm.2
A1 = 21 rr ∗∗π
A1 = 3,141592 710∗∗
A1 = 220 cm.2
3.2.3. Aplicación de la forcípula y de la cinta.
- Para la cubicación rigurosa, se debe usar la forcípula;
- En poblaciones m donde se busca evaluar la existencia o reserva de madera
presente, da lo mismo el uso de la forcípula o de la cinta;
- En investigaciones, usar la cinta; y
- En estudio de crecimiento y producción, preferentemente usar la cinta.
3.2.3.1. Aplicación de la cinta y de la forcípula en función de sus errores.
Cuando personas diferentes, usando la forcípula, miden un mismo árbol de sección
transversal irregular, se espera una cierta diferencia de lectura, pues los diámetros –
mayor y menor – no son tomados en la misma dirección. El uso de la cinta evita esa
Dendrometría Capítulo III
59
posibilidad porque la lectura es tomada en un solo punto. Esa observación lleva a
concluir lo siguiente: “el error sistemático de la cinta es constante para un mismo
árbol, independiente de la persona que haga la medición”.
Para ilustrar que el error sistemático de la cinta no influye en un análisis de crecimiento,
se supone que el diámetro medido está compuesto del diámetro real (D), adicionado de
un falso diámetro (b) resultante de la irregularidad en la forma del tronco. En el segundo
período de medida se supone que la irregularidad será nuevamente envuelta, así se
tendrá el mismo diámetro anterior, adicionado al incremento real (c)
(D + b + c) – (D +b) = c
Esa diferencia es el crecimiento.
El falso diámetro en nada alteró el resultado, pues fue el mismo en la primera y en la
Segunda medición debido al uso de la cinta.
El error de la forcípula es menor para secciones excéntricas, pero no es constante,
luego su uso no es indicado en mediciones que objetiven el crecimiento pero sí la
existencia.
3.2.4. Regla o vara de BILTIMORE.
Consiste de una regla de aproximadamente 70 cm.. de longitud, 3 a.m. de ancho y 3
cm. de grosor.
La medida de diámetro es obtenida al colocarse la regla perpendicular al eje del árbol, a
una altura correspondiente al DAP, haciendo que la tangente formada por la línea visual
y uno de los lados del árbol coincida con el cero de la graduación de la regla (Figura
3.13). La tangente formada por la línea visual y el otro lado del árbol coincidirá con un
Dendrometría Capítulo III
60
valor en la regla de BILTIMORE, que es el propio diámetro conforme ilustra la figura que
se presenta a continuación.
Figura 3.13: Colocación de la Regla de Biltmore para medir diámetro
A continuación será ilustrada la manera de graduar la regla de Biltimore (Figura 3.14).
Figura 3.14: Graduación de la Regla de Boltmore
Se puede definir que:
AB = L
EF = d
BF = EB = 2d
HC = 2D
AH = ?
El ángulo ABE ≅ al ángulo AHC
E
L
A d 2D
C
H
G
B
F
90˚
90˚
0
20
X Valor del Diámetro
Dendrometría Capítulo III
61
AHHC
ABEB
=
AH
D
L
d22 = (3.9)
Los triángulos ABE y AHC son rectángulos y semejantes entre si. Por tanto, usando el
teorema de Pitágoras se tiene:
(AC)2 = (AH)2 + (HC)2
(AH) = 22 HCAC −±
(AH) = 22
22⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +±
DDL
(AH) = 2
22 )2
()2
(2
2 DDDLL −++±
(AH) = 2
22 DLL +±
(AH) = LDL +± 2 (3.10)
Substituyendo (3.10) en (3.9) se tiene
AH
D
L
d22 =
LDL
D
L
d
+=
2
22
2LD = 2d LDL +2
d = LDL
LD
+2
Dividi
d =
Con e
valore
3.2.5.
Es un
un bra
figura
El bra
coinci
través
en la
La ba
diáme
tronco
media
endo la exp
LD
D
+1
esta expres
es hipotétic
Visor de D
na variante
azo fijo adic
a 3.15).
azo fijo no
ide con la
s de una ag
graduación
arra curva
etros en ce
os no cilín
a. Este apa
presión ant
sión se pued
cos de diám
Diámetro o
del princip
cional sobr
Figura
o graduado
marca cer
guja fija qu
n de la barra
graduada e
ntímetros y
dricos, se
rato permit
terior por L
(3.11)
de graduar
metros y obt
o Forcípula
pio de la re
re un ángul
3.15: Forc
substituye
ro de este
e coincide
a curva.
está subdiv
y otra inferi
toman dos
te la medici
62
se tiene:
r la regla de
tener y obte
a Angula d
gla de BILT
o de 135 0
ípula Angu
e la línea v
instrumen
con el otro
vidida en d
or que dete
s medidas
ón de diám
e BILTIMOR
ener su cor
de BITTERL
TIMORE. E
formando u
lar de BITT
visual de l
nto. La otra
o lado del tr
dos escalas
ermina el á
en sentid
metros de 6
De
R. Para est
respondenc
LICH
Es un instru
una especie
TERLICH
a regla de
a línea visu
ronco, leyé
s una supe
área transve
os ortogon
a 80 cm..
endrometría C
o basta est
cia en d.
umento que
e de horqu
e BILTIMOR
ual es obte
éndose el d
erior que m
ersal en dm
nales y se
Capítulo III
tablecer
e posee
illa (Ver
RE que
enida a
iámetro
mide los
m2. Para
usa la
Dendrometría Capítulo III
63
3.2.6. La Regla
Es comúnmente utilizada para medir diámetros de trozas, conforme muestra la figura
3.16 abajo. También es usada en la medición de diámetros y/o radios de coníferas que
presentan anillos de crecimiento fácilmente visibles.
Figura 3.16: Uso de una regla común para medir diámetros de trozas
3.2.7. Tenedor o garfio de Diámetro
Tiene utilidad cuando se desea obtener la estratificación de árboles por clase de
diámetro. Posibilita obtener rápidamente frecuencia por clase de diámetro (Figura 3.17).
Sus medidas son poco exactas. Sin embargo es un instrumento fácil de manejar y su
operación es más rápida que los otros explicados anteriormente.
Figura 3.17: Instrumento en forma de garfio o tenedor para medir diámetros
5cm
15cm
10cm
0 20 cm
Dendrometría Capítulo III
64
3.2.8. Forcípula Finlandesa o compás Finlandés
Para cubicar los árboles con precisión se pueden medir otros diámetros a alturas
diferentes de 1,30 m. Para árboles en pie ha sido preciso inventar aparatos adaptados a
este objetivo. El más simple es la Forcípula Finlandesa que no tiene brazo móvil; las
graduaciones existentes en el brazo curvo de la forcípula son paralelas al borde interior
del brazo recto; fijada al extremo de pértigas telescópicas graduadas, permite medidas
hasta alrededor de 8 m del suelo y aún más alto si se utilizan prismáticos para la lectura
(Figura 3.18).
Figura 3.18: Forcípula finlandesa o compás finlandés
Dendrometría Capítulo III
65
3.2.9. Dendrómetro de FRIEDRICH
Este instrumento consiste en una forcípula dendromética, estando su principal
diferencia en la existencia de dos visuales de eje óptico, rigurosamente paralelos,
coincidiendo un eje con la marca cero del instrumento, y el otro eje óptico está montado
en una regla graduada.
En la medición del diámetro del árbol la regla debe quedar en una posición tal que el
plano que la contenga sea perpendicular al plano del eje del árbol, de manera que el
radio de la visual fija sea tangencial a uno de los extremos del diámetro del árbol a
medir y se traslada el otro hasta que el radio visual sea tangente al otro extremo (Figura
3.19). La lectura hecha en la regla graduada es el diámetro del árbol según se muestra
en la figura abajo.
Figura 3.19: Dendrómetro de Friedrich
3.2.10. Pentaprisma o forcípula óptica de WHEELER
Este instrumento, representado en la figura 3.20, tiene como utilidad principal, propiciar
la medición de diámetros en diferentes alturas, esto es, en cualquier punto a lo largo del
fuste del árbol.
d
En la
SUUN
Se co
comú
posib
F
figura ant
NTO a la fo
ompone de
nmente: el
ilitan que la
Figura 3.20:
erior se pu
rcípula ópti
dos prisma
pentaprism
as líneas vis
Figura 3.2
: Pentaprism
uede obser
ica.
as con cinc
ma. Uno de
suales sea
21: Principi
66
ma o forcíp
rvar que el
co caras, de
e los penta
n paralelas
o del penta
pula óptica d
l operador
e ahí el nom
aprismas es
s (ver figura
aprisma de
De
de WHEEL
ha acoplad
mbre bajo e
s fijo y el o
a 3.21).
WHEELER
endrometría C
LER
do un Hips
el que es co
otro es mó
R
Capítulo III
sómetro
onocido
óvil, que
Dendrometría Capítulo III
67
El observador verifica (observa) a través de un visor el lugar a medir en un campo visual
que está dividido horizontalmente en dos mitades; en la mitad superior se tiene una
imagen del árbol donde se puede observar, en visión directa, el extremo izquierdo del
fuste del mismo, y cuya mitad inferior refleja una imagen desplazada de la del extremo
derecho del fuste del árbol en cuestión (ver figura 3.22).
Figura 3.22: El pentaprisma de WHEELER en posición de lectura
El movimiento del prisma es conducido hasta tenerse un alineamiento perfecto entre
ambas extremidades del fuste. Cuando tal situación ocurre la medida del diámetro es
indicada directamente en la escala del aparato, a través de un puntero que se movió
conjuntamente con el prisma.
Cuando se toma diámetros a varias alturas, se debe usar un clinómetro de Abney o un
Hipsómetro SUUNTO acoplado al pentaprisma, para determinar las alturas que se
quiere medir los respectivos diámetros, así Como cadena o cinta métrica para
determinar la distancia en que el observador debe quedar para usar el Clinómetro de
Abney o el Hipsómetro SUNNTO.
El aparato procede de los Estados Unidos y existen tres modelos de longitud diferentes,
pudiéndose utilizar con o sin trípodes:
•
•
•
Cuand
escala
3.2.10
Este a
de ár
Las
siguie
•
•
•
longitud to
longitud to
longitud to
do tal situa
a del apara
0. Dendróm
aparato, fa
rboles en p
Figura
característi
entes:
peso 2,5 K
imagen de
clinómetro
otal 44 cm.
otal 69 cm.
otal 95 cm.
ación ocur
ato a través
metro BAR
bricado en
ie (Ver figu
a 3.23: El d
icas más
Kg.; base c
el mismo se
o graduado
., medición
., medición
, medición
re, la med
de un pun
RR-STROUD
Inglaterra,
ras 3.23).
dendrómetro
interesant
corta alrede
entido; aum
o en senos;
68
de diámetr
de diámetr
de diámetr
ida del diá
tero que se
D
ha sido id
o BARR-ST
tes del de
edor de 20 c
mento 5,5;
ros de 7 a 3
ro hasta 62
os hasta 86
ámetro es
e mueve co
eado princ
TROUD, vis
endrómetro
centímetros
De
36 cm..,
2 cm..,
6 cm..
indicada d
onjuntamen
cipalmente
sto del lado
o BARR-S
s;
endrometría C
irectament
te con el pr
para la cub
o del ojo
STROUD s
Capítulo III
e en la
risma.
bicación
son las
Dendrometría Capítulo III
69
• visuales regulables por rueda graduada, la posición de la burbuja está controlada
en el campo del ocular ( lo que es indispensable para el empleo del aparato en el
bosque);
• límites de utilización: de 11 a 64 m del árbol a medir.
Su modo de empleo es simple:
- colocarse entre 11 y 64 m del árbol que se desea medir, a una distancia igual al
menos a su altura (la escala de los senos no va más que de 0o a 45o);
- manipular la rueda de los senos;
- llevar la burbuja entre sus marcas;
- leer entonces la graduación.
Multiplicando el seno del ángulo de la visual por la distancia a la que se encuentra del
árbol, el operador obtiene la altura de la visual. Queda por determinar, por doble lectura
(Figura 3.24), el diámetro a esa altura.
Figura 3.24: Procedimiento para determinar el diámetro con el Dendrómetro
BARR-STROUD
El campo de visión ocular está dividido en dos partes iguales por una fina línea
horizontal; una parte del árbol se observa por debajo de esta línea, la parte adyacente
por encima.
Dendrometría Capítulo III
70
La primera lectura se hace cuando las dos partes del árbol están exactamente en
coincidencia, las líneas homólogas se continúan de una parte y otra de la línea
horizontal.
Girando un sector ranurado, se desplaza a continuación la parte inferior con relación a
la parte superior en sentido transversal. La segunda lectura se hace cuando se obtiene
una coincidencia exactamente de calada.
Una tabla suministra entonces el diámetro en función de la diferencia de las dos
lecturas, la cual está basada sobre la fórmula siguiente:
( )r
rRbd −= (3.12)
en la cual: d es el diámetro del árbol a la altura visada,
b es la longitud de la base del aparato,
R es la lectura hecha cuando hay coincidencia normal,
r es la lectura hecha cuando hay coincidencia de calada.
En fin de cuenta se puede cubicar los árboles por trozas sucesivas: el operador hace
variar los ángulos de los senos de los ángulos de las visuales de 0,1 en 0,1 (Figura
3.25) y descompone el tronco en «secciones subtendiendo senos iguales», lo que
tiene además la ventaja de dar un peso más grande (en el sentido matemático del
término) a las partes más importantes del fuste; el árbol se cubica finalmente en pie por
«rodajas» Como si estuviera apeado (JEFFERS, 1956)
Dendrometría Capítulo III
71
Figura 3.25: Cubicación de un árbol en pie con el Dendrómetro BARR-STROUD
Merece ser remarcada la precisión de las medidas: para árbol de tamaño medio, se
determina su altura aproximadamente a ±0,3047 m y sobre todo el o los diámetros
medidos aproximadamente a ±0,27 cm..
3.2.11. Relascopio de BITTERLICH
Este aparato de uso múltiples, que será expuesto detalladamente más adelante,
puede ser utilizado igualmente para medir los diámetros de los fustes a diferentes
alturas. El principio de esta medida es simple: ocho bandas contiguas de longitudes
idénticas están materializadas sobre el cilindro del aparato; permiten visuales
angulares; colocándose a una distancia del árbol tal que el campo completo de las ocho
bandas recubra exactamente el diámetro d a 1,30 m, se puede señalar los niveles
superiores en los que los diámetros serán sucesivamente iguales a 87d , 8
6d , ..., 8d .
Como el aparato permite también medir las alturas correspondientes, se puede, de la
misma manera que con el dendrómetro BARR-STROUD, cubicar un árbol en pie,
aunque con una menor precisión (CALLIEZ, 1980).
Seno
dela
visu
ales
Dendrometría Capítulo III
72
Para los árboles muy gruesos (por ejemplo en bosques tropicales), BITTERLICH ha
puesto a punto un Relascopio de banda ancha que permite cubicaciones más precisas.
En 1972 se puso en venta una última mejora del Relascopio; el telerelascopio: este
aparato perfeccionado está dotado de un sistema óptico d calidad y de lentes de
aumento, montado sobre un trípode articulado metálico, aumenta significativamente la
precisión de las medidas dendrométricas, pero cuesta muy caro (BITTERLICH, 1984).
3.3. Errores en el proceso de cálculo de diámetros
3.3.1. Error por redondeo de los diámetros
El redondeo de los diámetros se aplica cuando no se exige una gran precisión y se
trabaja con clases de diámetros, donde los cálculos de volumen y área transversal son
provenientes de los valores centrales de cada clase. De este modo se cometen errores
en relación a los verdaderos diámetros y consecuentemente para el volumen del árbol
ya que el diámetro afecta cuadráticamente del volumen.
Considerándose el diámetro verdadero di representado por d que es el centro de clase,
se tiene que di está desviado de sus verdaderos valores de ± i, donde i es el intervalo
de clase.
Luego:
iddi ±=
El área transversal “g” corresponde a di está dado por 2*4 ii dg π
= quedando
representada después del agrupamiento en clase por:
2*4
dgiπ
= (3.13)
Así el error cometido será:
Dendrometría Capítulo III
73
e = gi –g = 22
44ddi
ππ−
e = 22
4)(
4did ππ
−±
e = 222
4)2(
4didd i
ππ−+±
e = )2(4
2idi ±
π (3.14)
Cuando se trata de un gran número de mediciones, las frecuencias dentro de cada
clase tienden a distribuirse con relativa simetría, en relación al valor central de la clase.
Considerando las dos desviaciones i− y i+ , correspondientes a los diámetros 1d y 2d
simétricos en relación a d , el error conjunto estará dado por:
e = )2(4
)2(4
22ii didi −++
ππ (3.15)
y que expresado porcentualmente en relación al área transversal del centro de clase,
como función de g2 , resulta:
100
42
1002 2
∗=∗=d
egep π
100
22∗=
d
ep π
( )100
2
24
)2(4
2
122
∗−++
=d
didip
i
π
ππ
100224
100
2
24
22
2∗∗=∗=
di
d
dp
i
ππ
π
π
Dendrometría Capítulo III
74
1002
2
∗=dip (3.16)
como i± está representando los límites de la clase, se comete un error porcentual
máximo para cada clase, representado por 1i = i5,0± , resultando:
100*41
100*21
2
2
2
2
d
i
d
ip =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
25*100*1*41
2
2
22
di
dip == (3.17)
Se observa que el error es inversamente proporcional al diámetro medio.
3.3.2. Error de área seccional
Las especies forestales presentan formas seccionales que pueden ser comparadas con
la forma circular o elíptica. En el caso de forma perfectamente circular su área
transversal es obtenida por la aplicación de la fórmula 2
4dg π
= , y en el caso de la
forma elíptica, es necesario tomar dos medidas diametralmente opuestas y su área
transversal exacta será obtenida a través de la fórmula:
Ddg4π
= (3.18)
donde D es el diámetro mayor y d el diámetro menor. No obstante en la práctica el área
de la sección elíptica es calculada de dos maneras diferentes.
1. Media de los diámetros usando la forcípula
2
1 24⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=dDg π (3.19)
Dendrometría Capítulo III
75
2. Media de las áreas transversales usando el visor de BITTERLICH
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 22
2 4421 dDg ππ (3.20)
Comparándose g1 con la correspondiente área de la elipse g, resulta un error positivo
dado por:
DddDgge424
2
11ππ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=−=
222
1 24442
4⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++=
dDDddDdDe ππ
Luego el error en cm.. o m será:
( )21 16dDe −=
π (3,21)
Expresando ese error en porcentaje se tiene:
100*11 A
AAp −=
( ) ( ) 100*4
100*
4
162
1 DddD
Dd
dDp −
=−
= π
π
(3.22)
Por la misma forma, comparándose 2g con la correspondiente área elíptica, resulta
también en un error positivo dado por:
DddDgge4442
1 2222
πππ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=−=
( ) ( )DddDDddDe 2848
22222 −+=−+=
πππ
( )22 8dDe +=
π (3.23)
Dendrometría Capítulo III
76
Este error expresado en porcentaje comparado con la elipse será:
100*22 A
AAp −=
( ) ( ) 100*2
100*
4
162
2 DddD
Dd
dDp −
=−
= π
π
(3.24)
Comparando 1p con 2p se ve que 12 2 pp = , o sea, que el error que se comete cuando
se usa la media de los diámetros para el cálculo del área transversal del árbol y la mitad
del error cometido cuando se usa la media de las áreas transversales. Siendo así el
método del diámetro medio es preferible al del área media.
Dendrometría Capítulo IV
77
CAPITULO 4. MEDIDAS DE LA ALTURA DEL ÁRBOL E INSTRUMENTO
4.1. Generalidades
La altura total de un árbol es la longitud del segmento de recta que une el pie del árbol
a su yema terminal. Teniendo en cuenta esta definición se comprende que las medidas
de alturas sobre árboles derribados no rectilíneos corren el riesgo de ser sobre
estimadas
La medida de altura de árboles de latifolias plantea un problema particular según
muestra la figura 4.1. Si el operador procede sin precaución, tendrá tendencia a visar,
en lugar del punto H el punto A que proporciona un ángulo visual máximo,
sobrestimándose la altura del árbol en la longitud BH.
Figura 4.1: Error frecuente en la medición de altura en árboles de latifolias
Dendrometría Capítulo IV
78
Esta es otra variable fundamental a ser obtenida de la población forestal. La altura es
importante para el cálculo del volumen y para la clasificación de los sitios forestales en
cuanto a su productividad.
Existen dos maneras principales para cuantificar la altura del árbol, es decir; a través de
mediciones directas con hipsómetros y/o subiendo en el árbol para cubicación en
bosques naturales y con cadenas en el caso de árboles derribados; a través de
estimaciones, que consiste en realizar relaciones hipsométricas (relación entre altura y
diámetro), cuando haya habido el inconveniente de medir la altura de todos los árboles
que componen la población.
La altura es una variable usada en el análisis del desarrollo de una especie, en
determinado sitio forestal ya que esta es la variable que presenta el comportamiento de
la referida especie en el transcurso de los años.
Dos árboles pueden tener el mismo DAP difiriendo significativamente en la altura, lo
que afectará el volumen en proporción directa.
La técnica de medición de altura de un árbol, sin derribarlo, utiliza diversos recursos,
que van desde el uso de aparatos de simple construcción, hasta el empleo de
fotografías aéreas. En este epígrafe se incluirá sólo las técnicas más adecuadas y
empleadas para nuestras condiciones, ya sea en plantaciones o bosques naturales,
ofreciendo de esa manera informaciones fundamentales para el manoseo de los
principales aparatos y la construcción de otros, en caso de que haya necesidad.
El método y el instrumento de medición deben ser económicos, y el instrumento debe
ser ligero, portátil, y suficientemente preciso, de fácil manoseo, y viable en las
condiciones del bosque.
Dendrometría Capítulo IV
79
Como se explicó anteriormente la altura puede ser obtenida por medición directa o
por estimaciones.
4.1.1. Importancia de su conocimiento
El conocimiento de la altura de los árboles es muy importante ya que:
a) sirve para indicar la calidad de sitio de la localidad (en inglés: site index y/o
quality) cuando se relaciona con la edad del rodal; y
b) constituye una variable básica en estimaciones del volumen actual o del
incremento del mismo.
4.1.2. Cuidados en las Mediciones de alturas
Tanto para la determinación de la altura total como en la estimación de la altura
comercial, hay necesidad de que sean tomados ciertos cuidados, para evitar errores
graves en los resultados.
En las mediciones de alturas, árboles excesivamente inclinados deben ser
descartados. Sin embargo, habiendo necesidad de medirlos, el error puede ser
minimizado observándose en vez de la base del árbol, la proyección vertical de la punta
(ápice).
Las lecturas deben ser evitadas en los días de vientos fuertes y la visibilidad tiene
que ser buena, tanto de la base como del ápice del árbol.
Cuando las mediciones son realizadas partiendo de la distancia del observador al
árbol, se evitan errores procurándose efectuar las lecturas a partir de un punto situado
en el mismo nivel del cuello.
E
interé
4.1.3.
D
difere
a) Alt
Es
suelo
c)
Es
y la ba
F
mpleándos
és en el árb
Concepto
Dependiendo
entes conce
turas Total
la distanc
y su ápice
Altura
la distancia
ase de la c
igura 4.2: M
se aparatos
ol no debe
os de difere
o del punt
eptos de las
l (h)
ia vertical
, o la extrem
a del fuste
a vertical a
copa.
Muestra de
s para me
formar áng
entes tipos
to que se
s mismas (F
a lo largo
midad supe
e (hf)
lo largo de
la forma es
80
dir la altur
gulo superio
s de altura
considere
Figura 4.2).
del eje de
erior de la c
el eje del ár
squemática
ra, la línea
or a 45o con
as
para leer
.
el árbol co
copa.
bol definida
a de los con
De
a de visión
n la horizon
la altura s
mprendido
a entre la s
nceptos de
endrometría C
n a los pun
ntal.
se pueden
entre el n
uperficie de
alturas.
Capítulo IV
ntos de
derivar
nivel del
el suelo
Dendrometría Capítulo IV
81
d) Altura comercial (hc)
Es la distancia vertical a lo largo del eje del árbol, entre el nivel del suelo y la porción
superior utilizable del fuste. Esta porción está determinada por bifurcación del fuste,
gajos de gran porte, tortuosidad, forma irregular, defectos o por un diámetro mínimo
utilizable.
El diámetro mínimo utilizable es la variable utilizada de acuerdo con el objetivo (uso)
de la madera – por ejemplo: para carbón, dc/c= de 5 a 3 cm.; para celulosa, dc/c= de 8 a
7 cm.; para aserrio, dc/c ≥ 18 cm. y para laminado, dc/c ≥ 25 cm. –, con las condiciones
de mercado y con el tipo de equipamiento disponible en la industria.
e) Altura del tocón (ht)
Es la distancia entre la superficie del suelo y la porción del tronco dejado en el campo
después de la tala del árbol.
f) Longitud comercial (lm)
Es la distancia a lo largo del árbol, entre la altura del tocón y la última porción
utilizable del fuste.
g) Longitud de la copa (lc)
Es la distancia a lo largo del eje del árbol, entre el punto de inserción y el extremo
superior de la copa.
4.2. Instrumentos para medir alturas
Los instrumentos para medir alturas son denominados hipsómetros. Dos son los
principios a partir de los cuales son construidos los hipsómetros:
Dendrometría Capítulo IV
82
a) Principios Geométricos
Consisten en la relación entre triángulos semejantes, y
b) Principios trigonométricos
Consisten en las relaciones angulares de triángulos rectángulos.
4.2.1. Instrumentos con base en el principio geométrico
4.2.1.1. Plancheta Hipsométrica
Consiste en una regla de madera, aluminio o acrílico, con dimensiones de 30 cm. de
longitud, 10 a 15 de ancho y más o menos 3 mm. de grueso, graduada en milímetros.
La lectura de las alturas es determinada por un péndulo colocado en el centro de la
plancheta, fijado en su borde superior. El borde inferior está graduado en mm., a partir
del centro, donde se sitúa el punto cero de la escala. Cuando la plancheta está en la
posición horizontal el péndulo sobrepone el punto cero de la escala.
Para estimar la altura de un árbol el observador se coloca a una distancia (L)
equivalente a la altura que, aproximadamente, juzgue al árbol a presentar. Se hace la
primera visada en la parte superior del árbol - en el ápice, en caso que el interés sea la
determinación de la altura total, o en el punto de bifurcación, en caso que se pretenda
conocer la altura útil para aserrío – y sin retirar el aparato de la posición, se verifica la
lectura (l1) mostrada, por el péndulo, en la escala. Se repite la operación, visando ahora
la base del árbol se obtiene la lectura (l2).
Se anota las lecturas y con la cadena se mide la distancia hasta el árbol. Se debe
resaltar. Se debe resaltar que la posición del operador sea tal que elimine problema de
declive del terreno ya que el defecto de esta altere las lecturas, debiendo ser corregido.
Dendrometría Capítulo IV
83
La figura 4.3 siguiente muestra cómo graduar la plancheta hipsométrica y las lecturas
del ápice y de la base del árbol.
Figura 4.3: Medición de altura con la plancheta hipsométrica
L = distancia del observador al árbol
ob = lectura del ápice del árbol; y
od = lectura de la base del árbol
La altura 1h es obtenida como:
OAAB
oaob
= ∴1,0
** 1 Lloa
OAobAB ==
La altura 2h es obtenida como:
1,0** 2 Ll
ocOCodCD
OCCD
ocod
==∴=
Así la altura H del árbol estará dada por:
Dendrometría Capítulo IV
84
CDABh += ó 21 *1,0
*1,0
lLlLh +=
( )211,0llLh += (4.1)
Si el operador estuviera posicionado a 25 metros del árbol la altura está dada por :
( )21250 llh += (4.2)
4.2.1.1.1. Ventaja y desventaja de la plancheta hipsométrica
- Como ventaja se tiene que ofrece precisión en la medida de altura y es un
instrumento similar en uso al BLUME – Leiss.
- Tiene como desventaja que la medida de altura es afectada por la inclinación del
terreno, pero si el operador se posiciona a nivel del árbol, se elimina esta
desventaja.
4.2.1.2. Método de la vara
Consiste en utilizar una vara cualquiera, de modo que la porción de encima de la mano
tenga la longitud igual a la distancia del operador hasta la mano.
Durante el procedimiento de uso el operador se va a alejar o aproximar al árbol hasta
que la línea de visada, pasando por la base inferior de la vara coincida con la base del
árbol y la línea de visada, pasando por el extremo superior de de la vara coincida con el
ápice del árbol. En esta situación basta estirar la cadena o cinta métrica del operador
hasta el árbol que se tendrá la altura del árbol, como muestra la figura 4.4.
de donde se desprende que:
el ∆ ≈Oab ∆OAB
Dendrometría Capítulo IV
85
HAB = ∴ LOA =
OAAB
Oaab
= ∴ Oa
OAabAB *=
Como Oaab =
Entonces: OAAB = , o sea, LH =
Figura 4.4: Medición de altura con la vara
4.2.1.3. Hipsómetro de CHRISTEN
Este instrumento consiste en una regla de metal, madera o acrílico, con longitud total
variable y está provista de una entalladura lateral de 30 cm. de longitud y de un
pequeño agujero en su parte superior que permite tenerla suspendida verticalmente
entre los dedos en el momento de realizar la operación (ver figura 4.5)
Dendrometría Capítulo IV
86
Figura 4.5: Hipsómetro de CHRISTIEN y modo de uso
La utilización del Hipsómetro de CHRISTEN en la medición de altura de un árbol se
muestra en la figura 4.6.
Como se observa en la figura este instrumento requiere del empleo de una baliza de 4
metros de longitud que se coloca junto al árbol cuya altura se desea medir.
Figura 4.6: Medición de altura con el Hipsómetro de CHRISTEN
Dendrometría Capítulo IV
87
4.2.1.3.1. Procedimiento para medir altura con el hipsómetro de CHRISTEN
Consiste en encuadrar el árbol, alejándose o aproximándose a éste, de modo que la
visual pasando por a y b comprendan la cima y la base del árbol respectivamente. La
línea de visada que coincide con el extremo superior de la baliza, indicará en el
Hipsómetro de CHRISTEN la altura del árbol.
Considerándose en la figura los triángulos: ∆Oab, ∆OAB, ∆Obc, ∆OBC, ∆Oac, ∆OAC y
sus semejanzas, se permite llegar a la siguiente proporcionalidad:
BCAC
bcac
=
donde:
AC = H (altura del árbol=;
BC = altura de la baliza (balizas entre 2 a 4 metros son las más comunes);
ac = longitud de la entalladura (para árboles entorno a 12 m y 25 m, ac = 30 cm. y para
árboles con más de 25 m, ac = 60 cm. o más).
En el caso de árboles altos y esta entalladura sea aumentada a 50 cm., 60 cm. ó más,
posibilita que el operador se posicione a una distancia correspondiente a la altura del
árbol, además de disminuir el adensamiento de la escala del instrumento. En caso que
el operador use entalladura de 30 cm. en árboles mayores, él se va a posicionar tan
distante del árbol que tendrá dificultad de efectuar la lectura de la altura.
Así se puede graduar el hipsómetro a través de la siguiente relación:
Dendrometría Capítulo IV
88
4.2.1.3.2. Graduación del instrumento
Consiste en establecer valores de altura para el bosque a partir del valor mínimo, según
se muestra en la tabla que se presenta a continuación:
bc ( en cm.) H (alturas posibles)
18 5
15 6
12,8 7
11,2 8
. .
. .
. .
4,5 20
3,0 30
2,57 35
Basta ahora graduar en el hipsómetro con valor igual a 18 cm. y allí marcar el valor
correspondiente en altura, o sea, 5 m y así sucesivamente para el resto de los valores
de bc.
4.2.1.3.3. Ventajas del instrumento
• es de fácil construcción;
• la medida de altura es directa en el instrumento, prescindiendo de la medida de
la distancia del observador hasta el árbol;
• la obtención de la altura es a partir de una única lectura; y
• la medida de la altura no es afectada por la inclinación del terreno, ya que la
medida de distancia no es efectuada.
Dendrometría Capítulo IV
89
4.2.1.3.4. Desventajas del instrumento
• adensamiento de la escala para árboles de mayor porte, lo que genera
imprecisión (observar que el aumento de la entalladura de la regla para 50 a
60 cm. reduce sensiblemente esta desventaja);
• solamente con la mano completamente inmóvil, en el acto de medición de la
altura, podrá ser evitado errores de lectura;
• en rodales densos es extremadamente difícil de encontrar un punto apropiado
desde el cual se podrá encajar el árbol en el instrumento; y
• es molesto cargar una baliza de 2 a 4 metros en el bosque.
4.2.1.4. Método de las dos balizas
Consiste en utilizar dos balizas, una menor y una segunda mayor, clavadas en el suelo
y distante 1 metro una de otra, en la cual se marcará las líneas de visada
correspondiente a la base y al ápice del árbol.
4.2.1.4.1. Procedimiento de medición
En el punto superior de la baliza a (la baliza menor) se mira la base del árbol a través
de la baliza b (la baliza mayor), marcando en esta con un trazo el lugar de coincidencia.
Después se repite la operación visando en la parte superior del árbol y marcando
nuevamente el punto de coincidencia en la otra baliza – se procura hacer la línea de
visada sobre el extremo de la otra baliza para evitar dos marcas -.
Midiéndose la distancia entre los dos puntos marcados y multiplicándola por la relación
de la distancia entre las dos balizas – usarse siempre números enteros – se tiene la
altura del árbol. La figura 4.7 que aparece abajo ilustra el procedimiento de medida.
Dendrometría Capítulo IV
90
Figura 4.7: Medición de altura por el método de las dos balizas
el ∆OCD ≈ ∆Odc
OCCD
Occd
= ∴ Oc
OCcdCD *=
LlH *1= (4.3)
Siendo:
=Oc 1 m
=CD H
=OC L (distancia del operador al árbol)
=dc distancia entre los puntos marcados.
4.2.1.5. Método de superposición de ángulos iguales
Consiste en utilizar un objeto alargado cualquiera o un lápiz para conseguir estimar la
altura del árbol.
Dendrometría Capítulo IV
91
El procedimiento de medida consiste en colocar junto al árbol una baliza, de tal manera
que el operador, utilizando un lápiz o algo similar, se aproxime o se aleje del árbol hasta
que la línea de visada, pasando por la parte inferior del lápiz, coincida con la parte
inferior de la baliza y la línea de visada, pasando por la parte superior del lápiz, coincida
con la parte superior de la baliza. Después de esta operación, el observador moverá el
brazo para arriba de modo que la línea de visada, pasando por la parte inferior del lápiz,
coincida con el extremo superior de la baliza, y la línea de visada, pasando por la parte
superior del lápiz, coincida con algún punto de referencia del árbol, y así
sucesivamente. La figura 4.8 representada abajo ilustra el procedimiento de medida del
árbol.
Figura 4.8: Medición de altura por superposición de ángulos iguales
4.2.1.6. Medición de altura por la proyección de sombra
Consiste en determinar la altura del árbol por la sombra proyectada al suelo, con el
auxilio de una vara de longitud determinada, según se ilustra en la figura 4,9.
Dendrometría Capítulo IV
92
Figura 4.9: Medición de la altura por la proyección de la sombra
Por semejanza de triángulos se deduce que:
bB
hH
= ∴ b
hBH *= (4.4)
donde B, b y h son fácilmente de medir con una cinta métrica o una cadena.
El árbol a ser medido debe estar perfectamente en posición vertical, sino habrá un gran
error en la determinación de la altura.
4.2.2. Instrumentos con base en el principio trigonométrico
4.2.2.1. Generalidades
De una manera general, estos instrumentos al ser usado en la medición de altura, se
acepta como errores máximos de alturas valores entre 50 y 80 cm., dependiendo del
porte del árbol.
Dendrometría Capítulo IV
93
Cuando se mide la altura de árboles con instrumentos basados en el principio
trigonométrico, son necesaria dos lecturas, una en el ápice del árbol y otra en la base,
para obtener la altura del árbol a una distancia horizontal conocida (ver figura 4.10).
Figura 4.10: Casos que se presentan en la medición de altura
En la siguiente tabla se muestra cómo proceder para obtener la altura de un árbol
Lectura superior Lectura inferior Altura del árbol Ubicación del árbol en el terreno
+ - si llH += En terreno llano
- - is llH −= Pendiente arriba
+ + si llH −= Pendiente abajo
Como se puede observar en la figura 4.10, las situaciones que se pueden presenta en
la medición de las alturas de los árboles son:
Primer caso: Si el terreno presenta inclinación inferior a 4o ó 7%, entonces el valor de
la altura es obtenido mediante la suma de la lectura a la base y a la cima del árbol.
Dendrometría Capítulo IV
94
Segundo caso: Si el terreno está inclinado de manera que el operador está
posicionado en desnivel, es decir pendiente abajo con relación al árbol, entonces el
valor de la altura es obtenido restando la lectura a la base de la lectura a la cima.
Tercer caso: Si el terreno está inclinado de manera que el operador está posicionado
en desnivel, es decir pendiente arriba con relación al árbol, el valor de la altura es
obtenido rectando la lectura a la cima de la lectura a la base.
4.2.2.2. Principio de graduación de los instrumentos
En correspondencia con los tres casos que se presentan en la medición de alturas con
instrumentos basados en principios trigonométricos, se explica a continuación el
procedimiento de cálculo para leer la altura directamente en el instrumento.
4.2.2.2.1. En terreno llano o ligeramente inclinado
Figura 4.11: Medición de la altura en terrenos llanos
21 hhBCBDh +=+=
( )ABBCg =2tan β ⇒ ( )2tan βg =
LBC ⇒ ( ) 22tan* hgLBC == β
Dendrometría Capítulo IV
95
( )ABBDg =1tan β ⇒ ( )
LBDg =1tan β ⇒ ( ) 11tan* hgLBD == β
( ) ( )21 tan*tan* ββ gLgLh +=
( ) ( )( ) 211tantan hhggLh +=+= βα (4.5)
4.2.2.2.2. En terrenos inclinados y el operador ubicado pendiente debajo de la
base del árbol
Figura 4.12: Medición de la altura en terrenos inclinados con el observador
ubicado pendiente debajo de la base del árbol.
CBBDh −=
( )ABCBg =2tan β ⇒ ( )
LCBg =2tan β ⇒ ( )2tan* βgLCB = = h2
( )ABBDg =1tan β ⇒ ( )
LBDg =1tan β ⇒ ( )1tan* βgLBD = = h1
( ) ( )21 tan*tan* ββ gLgLh −=
( )( )21 tantan ββ ggLh −= (4.6)
Dendrometría Capítulo IV
96
4.2.2.2.3. En terrenos inclinados y el operador ubicado pendiente Arriba de la
cima del árbol
Figura 4.13: : Medición de la altura en terrenos inclinados con el observador
ubicado pendiente arriba de la cima del árbol.
BCBDh −=
( )ABBDg =2tan β ⇒ ( )
LBDg =2tan β ⇒ ( )2tan* βgLBD = = h2
( )ABBCg =1tan β ⇒ ( )
LBCg =1tan β ⇒ ( )1tan* βgLBC = = h1
( ) ( )12 tan*tan* ββ gLgLh −=
( ) ( )( )12 tantan ββ ggLh −= (4.7)
En instrumentos como el clinómetro (nivel de ABNEY, SUUNTO) se obtiene la altura a
partir de un ángulo β2 correspondiente a la base del árbol y un ángulo β1
correspondiente a la cima del árbol, además de la distancia (L) del observador hasta el
árbol; luego: h = L (tang β2 + tang β1), si el terreno llano o con pendiente que no exceda
los 4o ó 7%.
Dendrometría Capítulo IV
97
Ya en instrumentos como el BLUME – LEISS y el HAGA se obtiene la altura a través de
la lectura de números que ya expresan el producto L* tang β2 y L* tang β1 utilizándose,
para esto, las escalas definidas y los instrumentos.
4.2.2.3. Hipsómetros usados en la medición de altura de los árboles
4.2.2.3.1. Hipsómetro BLUME- LEISS
Este es uno de los instrumentos que más se utiliza en el mundo y tiene las siguientes
características (ver figura 4.15):
• tiene dos péndulos que estabilizan por gravedad, uno de ellos mide la altura y
el otro mide la inclinación del terreno en grados y en porcientos;
• la escala está graduada para distancia de 15, 20, 30 y 40 m;
• consta de dos botones, uno para trabar y el otro para destrabar los péndulos,
los cuales cuando se accionan traban o destraban simultáneamente los dos
péndulos;
• tiene un sistema óptico (o prisma de doble refracción) para determinar
distancia horizontal (telémetro), complementado por una mira prieta con
plaquitas blancas para distancias de 0; 15 y 30 m de un lado y 0; 20 y 40 m
del otro lado (ver figura 4.16); y
• tiene una escala en grados para medir la inclinación del terreno o pendiente,
la cual es necesario conocer para la corrección de la distancia horizontal en
terrenos inclinados.
Dendrometría Capítulo IV
98
Figura 4.15: Hipsómetro MLUME-LEISS
Donde:
1 = Visor que funciona como telémetro;
2 = ocular;
3 = objetivo para trazar las visuales;
4 = Perpendículo de las escalas es liberado (suelto) por el accionamiento de un
botón;
5= Dispositivo que traba los péndulos; y
6 = Escalas del hipsómetro.
Dendrometría Capítulo IV
99
Figura 4.16: Mira plegable que complementa al hipsómetro BLUME_LEISS PARA
determinar distancia horizontal
El procedimiento o pasos para la medición de las alturas con el hipsómetro de BLUME-
LEISS es el siguiente:
• escoger la distancia conveniente, posicionándose como mínimo a una
distancia igual a la altura del árbol;
• tratar siempre de eliminar el efecto de la inclinación del terreno y visualizar
bien la base y el ápice del árbol;
• con el telémetro, aproximarse o alejarse del árbol hasta que la distancia
deseada sea alcanzada. Este hecho sucede cuando la faja blanca con la
distancia deseada superpone la faja blanca con el cero. Otra opción es medir
la distancia con la cadena o con la cinta métrica;
Dendrometría Capítulo IV
100
• Medida la distancia horizontal, visualizar la basa y el ápice del árbol y sumar o
substraer estas lecturas, según se corresponda con algunos de los de la
figura 4.10 y ejemplificados en los epígrafes 4.2.2.2.1 al 4.2.2.2.3; y
• En terrenos con inclinación mayor que 4o ó 7% de pendiente, se debe corregir
el efecto de la inclinación o pendiente del terreno.
En un terreno llano, una vez escogida la escala de la distancia en la cual se efectuarán
las lecturas de la base y del ápice del árbol, se posiciona a esta distancia del árbol y se
efectúan las lecturas.
En la situación en que no se pueda estar posicionado del árbo9l a una distancia
correspondiente a las escalas del BLUME-LEISS, en este caso se lee la altura en la
escala del instrumento más próxima a la distancia del operador al árbol y se corrige la
altura leída a través de la fórmula:
1
1 *L
Lhhc = (4.8)
Donde:
hc = altura corregida;
h1 = altura leída en el instrumento utilizado;
L = distancia del operador hasta el árbol; y
L1 = distancia en que se efectuó la medida, es decir, la lectura.
Cuando el árbol que se desea medir está situado en un terreno inclinado y la lectura
del ápice y a la base fueran del mismo lado en relación al cero de la escala, basta
Dendrometría Capítulo IV
101
substraer el menor del mayor valor y hacer la corrección del efecto de la inclinación,
a través de la fórmula:
( )fhhhc *−= (4.9)
4.2.2.3.2. Hipsómetro HAGA
El hipsómetro Haga se caracteriza por los siguientes aspectos:
• tiene un péndulo oscilante que se estabiliza por gravedad;
• está graduado para distancias de 15, 20, 25, 30 m y 66 pies;
• tiene escala en porcentaje para medición de la inclinación, necesaria para la
corrección de la distancia horizontal en terrenos inclinados;
• Las escalas son visibles una de cada vez – sistema de rosca sin fin;
• Tiene botones para trabar y liberar el péndulo; y
• El telémetro es opcional, así como la mira.
El procedimiento para la medición es idéntico al usado anteriormente para el BLUME-
LEISS.
La figura 4.17 muestra un esquema de este instrumento con sus partes esenciales.
Dendrometría Capítulo IV
102
Figura 4.17: Esquema del Hipsómetro HAGA
Donde:
1 = visor de la escala;
2 = telémetro acoplado al aparato con funcionamiento dependiente de la mira;
3 = dispositivo que desplaza las escalas;
4 = botón para trabar el péndulo;
5 = dispositivo para destrabar el péndulo indicador de la lectura; y
6 = ocular para visualizar el lugar de la lectura superior e inferior.
4.2.2.2.3. Clinómetro SUUNTO
El Clinómetro SUUNTO tiene las siguientes características:
• presenta dos escalas, una en porciento y la otra en grados;
Dendrometría Capítulo IV
103
• presenta escalas métricas y telémetro que posibilita verificar distancia de operador al
árbol; y
• es un instrumento, según muestra la figura 4,18, en que el operador necesita
trabajar con los dos ojos abiertos, uno visualizando las escalas donde se efectúa las
lecturas y el otro visualizando la base y el ápice del árbol.
Figura 4.18: Clinómetro SUUNTO
El procedimiento para la medición de alturas con este instrumento es idéntico al usado
para el HAGA y el BLUME-LEISS.
4.2.2.2.4. Medición de altura a distancias diferentes de las utilizadas en la
escala del instrumento
Para el hipsómetro HAGA y los demás hipsómetros, existe la posibilidad que se calcule
la altura, incluso cuando la distancia es diferente de la utilizada en la escala.
Dendrometría Capítulo IV
104
La altura está dada de la siguiente manera:
Le
llh *21 += (4.10)
Ejemplo: l1 = 36 ; l2 = 9 ; e = 30 ; L = 20 m
0,3020*30
936=
+=h m
donde:
l1 = medida superior, es decir al ápice;
l2 = Medida inferior, o sea a la base del árbol;
e = escala usada en las lecturas; y
L = distancia usada (20 m).
En la tabla que se muestra más abajo aparece un ejemplo de las alturas estimadas
según los instrumentos usados y de acuerdo con la inclinación del terreno.
Árbol Dist. (m)
Inclinación Lactura
Hl Factor hc Instrum. Grados %
Super.Ápice
Infer. Base
1 15 3 - +14 -2 16 - 16 B. LEISS
2 20 15 - +25 +6 19 0,07 17,6 B. LEISS
3 20 - - +18 +4 14 - 14 HAGA
4 30 - - +17 +2 15 - 15 B. LEISS
4.2.2.
Si se
instru
El niv
escala
Supon
a) Si
Con e
ejemp
2.5. Medic
utiliza el cli
mento no s
el de ABNE
a en grados
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EY (ver figu
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gunas situa
la altura d
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nivel de AB
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( αtongLh =
0
( ilLh ±=
100
ura 4.19) da
4.11) o una
Figura 4
aciones:
e un árbol
btiene la lec
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105
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BNEY, ento
tura del árb
)βα tang±
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a escala en
4.19: Nivel d
en un terr
ctura de un
, o sea 20º
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(4.1
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12)
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a fórmula 4
del árbol, 5
en la figura
Capítulo IV
el
a:
do una
.12.
5o por
4.20.
Dendrometría Capítulo IV
106
Luego, aplicando la fórmula 4.11 la altura será:
( )βα tangtengLh +=
( )oo tangtangh 20515 +=
( )3639,00874,015 +=h
8,6=h m
Figura 4.20: Cómo obtener lectura de la base y el ápice de un árbol En el caso de desear trabajar con porcentaje, se tiene que obtener la inclinación. Estos
valores de inclinación pueden obtenerse de los instrumentos, como son las medidas en
grados o a través de relaciones matemática. Si son efectuadas medidas en grados:
αtangd *100= (4.13)
donde:
=d declive o inclinación del terreno.
Dendrometría Capítulo IV
107
Así, para el ejemplo presentado, se tiene que las medidas en porcentaje son:
%74,80874,0*1001 ==d
%39,3639,36,0*1002 ==d
( ) 8,639,3674,8100
=+=Lh m
O también, por regla de tres simple:
8,74---------------100 m (es el desnivel en 100 M)
x -------------- 15 m (cuál es el desnivel en 15 m)
x = 1,31 m
36,39 -------------- 100 m
x ---------------- 15 m
x = 5,46 m
h = 1,31 + 5,46 = 6,8 m
b) Si se desea la altura en un terreno inclinado
Consideremos un terreno cuyo declive es 18% donde, como muestra la figura 4.21,
fueron hechas las lecturas de un árbol que estaba distante 20 m del operador.
Aquí, aplicando la fórmula 4.12 se tiene que:
( )is llLh −=100
donde:
ls = lectura al ápice del árbol; y
Dendrometría Capítulo IV
108
li = lectura hacia la base del árbol
Figura 4.21: Lectura de la base y del ápice de un árbol en un terreno inclinado
( )45610020
−=h
h =10,4 m
Sin embargo, es necesario corregir la distancia horizontal a causa de la inclinación de
18%. De manera práctica, se hace la corrección de la altura conforme cualquiera de las
siguientes posibilidades que se presentan.
• α2cos*hhc = (4.14)
18% de pendiente equivale a 8º 10', cuyo coseno es 0,989859.
Por tanto ( ) 0,97982989859,01,8cos 22 ==o , luego:
hc = 10,4 *0,97982 = 10,19 ≈ 10,2 m
donde:
hc = altura corregida del árbol
Dendrometría Capítulo IV
109
• hc también se puede obtener por la fórmula :
hc = h – (h * f) (4.15)
Por tanto: hc = 10,4 – (10,4 * 0,02) = 10,4 - 0,208 = 10,19 ≈ 10,2
Donde:
hc = altura corregida
f = factor de corrección. Este factor se puede obtener por:
f = 1 – cos2α ó f = sen2α
Este factor (f) puede ser obtenido directamente de la tabla abajo representada
Tabla 4.2: Factores de corrección de altura en función de la pendiente
Grados Tangentes Porcentaje Factor 4 0,0699 6,99 0,005 5 0,0875 8,75 0,01 6 0,1051 10,51 0,01 7 0,1228 12,28 0,01 8 0,1405 14,05 0,02 9 0,1583 15,83 0,02
10 0,1763 17,63 0,03 11 0,1944 19,44 0,04 12 0,2126 21,26 0,04 13 0,2309 23,09 0,05 14 0,2493 24,93 0,06 15 0,2679 26,79 0,07 16 0,2867 28,67 0,08 17 0,3057 30,57 0,09 18 0,3249 32,49 0,10 19 0,3443 34,43 0,11 20 0,3640 36,40 0,12 21 0,3839 38,39 0,13 22 0,4040 40,40 0,14 23 0,4245 42,45 0,15 24 0,4452 44,52 0,17 25 0,4663 46,63 0,18 26 0,4877 48,77 0,19 27 0,5095 50,95 0,21 28 0,5317 53,17 0,22
Dendrometría Capítulo V
110
CAPITULO 5. VOLUMETRÍA
5.1. Generalidades
Volumen es la magnitud tridimensional de un objeto, expresado en unidades cúbicas,
las cuales son derivadas de alguna unidad de longitud.
En término de aprovechamiento comercial el tranco (fuste) es la parte más importante
del árbol, y por esta razón en él está basado el volumen del árbol.
En la determinación del volumen de árboles, se quiere conocer principalmente
diferentes tipos de surtidos (ver figura 5.1):
Figura 5.1: tipos de surtidos de madera de un árbol
Dendrometría Capítulo V
111
1 Madera gruesa
del fuste + 2
Madera gruesa
de las ramas = Madera gruesa
+ + +
3 Madera fina del
fuste + 4
Madera fina de
las ramas = Madera fina
= = =
Madera del fuste + Madera de las ramas = Madera del árbol
• Vt = Volumen total (Madera + Corteza + gajos).
• Vf = Volumen del fuste o tronco (Madera + Corteza - Gajos).
• Vmf = Volumen de madera del fuste (Volumen del fuste - Volumen de la
corteza).
• Vg = Volumen de los gajos (Volumen total - Volumen del fuste).
• Vc = Volumen conercial (Volumen de madera + Corteza + Gajos que se
venden).
• Vc/c = Volumen de la corteza ( Volumen del fuste - Volumen de la madera).
En la práctica forestal hay, generalmente, necesidad de conocer:
a) el volumen exacto d un árbol, donde se recurre a medición directa de todas las
partes del árbol para su cubicación (Medición de Volumen).
Dendrometría Capítulo V
112
b) El volumen aproximado de un árbol, para lo cual se hace la medición de una o
más variables y sobre la ase de las mismas es estimado el volumen (Estimación
de Volumen).
En este capítulo se hará una serie de consideraciones sobre los métodos de cuantificar
volúmenes reales, a través de los cuales se pueden obtener ecuaciones de volumen, el
factor de forma, las funciones de formas, o también obtener ecuaciones del rodal, entre
otras.
A partir de estas ecuaciones o del factor de forma medio, es que pueden ser estimados
los volúmenes de árboles individuales y/o por unidad de área, bastando que sólo sean
hechas mediciones en los árboles o en partes de los árboles que componen el bosque
La cuantificación del volumen real de los árboles o de parte de los árboles es
importante, pues a partir de ella se puede:
1. generar ecuaciones de volumen, a través de las cuales se puede estimar el
volumen cualquier árbol de la población;
2. generar factor de forma medio, a través del cual se puede estimar el volumen de
cualquier otro árbol de la población;
3. generar funciones de forma o razones de volumen, que posibiliten cuantificar
surtidos de cualquier otro árbol de la población;
4. conocer volumen y porcentaje de corteza, obtener los más diversos volúmenes
comerciales, obtener factores que posibiliten convertir volumen sólido en
volumen de madera apilada en metro para carbón vegetal (mdc), entre otros;
5. en asociación con la densidad de madera y el peso, generar ecuaciones de
biomasa, a través de la cual se puede estimar el peso seco de cualquier otro
Dendrometría Capítulo V
113
árbol de la población, usando apena cono datos de entrada en la ecuación, el
diámetro a 1,30 m con corteza y la altura total;
6. serie de base para establecer modelos de pronósticos de la producción,
elemento sin el cual no se hace la planificación forestal;
7. establecer una base consistente y precisa de datos, que posibilitarán la
elaboración de planes de manejo optimizados, para bosques plantados y
naturales (nativos), lo que es fundamental para la empresa forestal; y
8. establecer una base consistente y precisa de datos, que posibilitarán, la
implementación y análisis de propuestas o planes o planes de manejo sostenible.
5.2. Métodos para calcular volumen de árboles
La determinación directa del volumen de las partes del árbol se hace, en general, en
árboles de muestra, con el fin de obtener datos básicos para el estudio de funciones
que describen las relaciones entre las arias dimensiones del árbol y su volumen.
El volumen real de los árboles se puede calcular a través del:
a) Desplazamiento del agua o método del xilómetro;
b) Peso;
c) Cubicación rigurosa (fórmulas patrones);
d) Método gráfico.
5.2.1. Desplazamiento del agua o método del xilómetro
En este caso el volumen real puede ser obtenido de dos maneras:
Dendrometría Capítulo V
114
5.2.1.1. Principio de Arquímedes
La pérdida aparente de peso de un cuerpo inmerso o flotante es igual al peso del
líquido que él desplaza. Este procedimiento se muestra en una ilustración del
xilómetro en la figura 5.2.
Figura 5.2: Esquema de un xilómetro
5.2.1.2. Método del Xilómetro
Consiste de un tambor metálico en el cual es hecha una graduación para obtener el
volumen de madera a través del desplazamiento de agua, cuando la madera es
sumergida en un tanque con agua. Las dimensiones del tambor pueden ser las más
variadas. De manera general tiene diámetro de 60 cm y altura de 80 cm a 1,30 m.
La graduación de este instrumento puede ser en litros o en volumen.
En el ejemplo que está representado en la figura 5.3, se observa que en la cubeta hubo
un desplazamiento de 20 litros de agua, entonces el volumen en m3 se obtiene por regla
de tres simple, es decir:
1 m3----------------- 1000 litros v -------------------------20 litros v = 0,020 m3
Dendrometría Capítulo V
115
5.2.1.3. Graduación del Xilómetro
Figura 5.3: Cálculo del volumen por desplazamiento del líquido
Este, estando en nivel, es llenado de agua hasta que corresponda al cero de la
graduación. A partir de este punto, se adiciona cantidades constantes de agua de litro
en litro y se marca en el tubo de vidrio el lugar en que subió de nivel el agua referente a
cada litro colocado, actuando así hasta llegar a la parte superior.
5.2.1.4. Uso del Xilómetro
El uso está limitado a investigación y eventualmente, en una condición muy
excepcional, a áreas de vegetación sin fuste principal definido, con tortuosidad y donde
el acceso es fácil. Ejemplo, en matorrales.
La obtención del volumen se hace a través del desplazamiento de agua, cuando
pequeñas porciones del tronco o cuerpos de pruebas, son sumergidas en el xilómetro.
En una cubeta de laboratorio, por ejemplo, en la cuantificación de volumen de
pequeños cuerpos de prueba, conforme está ilustrado en la figura 5.4 siguiente:
Dendrometría Capítulo V
116
Figura 5.4: Cálculo del volumen por diferencia de peso
- Se pesa la cubeta con agua, obteniéndose el peso 1 (p1);
- sumergir la muestra (cuerpos de prueba) dejándola sumergida. Se vuelve a pesar la
cubeta, obteniéndose el peso 2 (p2).
V = p2 - p1
Utilizando relaciones entre peso y volumen se tiene que el volumen en centímetro
cúbico es igual al peso en gramos.
Así si la diferencia de peso de la cubeta conteniendo el cuerpo de prueba fuera de 1oo
gramos esto significa que el volumen del cuerpo de prueba será 100 cm3.
5.2.2. Cálculo del volumen por el peso
Esta es una manera común de comprar madera de pequeña dimensión, principalmente
las empresas de celulosa.
En este caso se puede usar una densidad aparente media y a través del pesaje del
vehículo que transporta la madera, se puede obtener el volumen descontándose para
esto el peso del camión vacío.
dpv = (5.1)
Dendrometría Capítulo V
117
Donde:
=v volumen en m3;
=p peso en gramos (g) ; y
=d densidad en g/m3
Como esta densidad varía mucho, a medida que, después del corte, se puede dejar la
madera más o menos tiempo en el campo, se cree que haciendo uso del xilómetro se
puede obtener volumen o peso verde de madera con muy buena precisión.
Ejemplo ilustrativo
Una empresa de celulosa está comprando la producción de un de un área de 30
hectáreas con Eucalyptus saligna con 7 años de edad. El pago de la empresa de
celulosa será hecho por la cuantificación del volumen, a través del peso de esta
madera, que al ser transportada por el camión, el mismo será pesado. Las trozas tienen
tamaño estandarizado y en la propia fábrica que posee un xilómetro fue hecho un
muestreo en cada camión y se encontró los siguientes valores medios:
6. peso total del camión ----------------------- 20 ton.
7. Peso del camión vacío ----------------------2,5 ton.
8. Peso de 4 lotes con igual cantidad de trozas retiradas de cada camión:
- lote 1 = 0,0150 ton = 15 000 g
- lote 2 = 0,0140 ton = 14 000 g
- lote 3 = 0,0146 ton = 14 600 g
- lote 4 = 0,0171 ton = 17 100 g
Dendrometría Capítulo V
118
9. Volumen de agua desplazado por los 4 lotes
- lote 1 = 0,030 m3 = 20 lts. = 30 000 cm3
- lote 2 = 0,027 m3 = 27 lts. = 27 000 cm3
- lote 3 = 0,033 m3 = 33 lts. = 33 000 cm3
- lote 4 = 0,029 m3 = 29 lts. = 29 000 cm3
Cono la densidad (d) se obtiene por la razón del peso sobre el volumen, se tiene
fácilmente la densidad de cada lote. Por tanto la densidad de los lotes es:
331 5,0
300015000 cmg
cmgd ==
332 5185,0
2700014000 cmg
cmgd ==
333 4424,0
3300014600 cmg
cmgd ==
334 5896,0
2900017100 cmg
cmgd ==
Entonces, la densidad media ( d ) es igual a 0,5126 g/cm3. Dividiendo el peso de la
madera transportada por la densidad media de los lotes, se tiene el volumen de madera
transportado, o sea, el peso de madera en el camión es es de 17500000 g y por tanto
el volumen transportado es:
33 34139680
5126,017500000 cm
cmggv ==
3139,34 mv =
Dendrometría Capítulo V
119
5.2. 3. Cubicación Rigurosa
Se puede asumir que las partes del árbol se asemejan a determinados sólidos
geométricos (ver figura 5.5).
Figura 5.5: Sólidos geométricos o tipos dendrométricos que definen aproximadamente
las formas de un árbol
Es muy común que la base del árbol se asemeja a un tipo especial de parábola
denominado neiloide, o a un cilindro; que la porción intermedia se asemeja a un
paraboloide, y que la punta se asemeja a un cono, entre otros. Si fuese clara y eficiente
la localización del inicio y de la terminación de las partes del árbol que se asemejan a
un determinado sólido geométrico, según se puede visualizar en la figura 5.6 abajo,
bastaría que fuese calculado el volumen de la porción del árbol, conforme el sólido
geométrico semejante. Sin embargo, este hecho no eso posible. Por eso fueron
desarrolladas varias fórmulas (metodologías) para hacer la cubicación rigurosa de los
árboles.
Dendrometría Capítulo V
120
Figura 5.6: Semejanza de las partes de un árbol con los sólidos geométricos
Los métodos de cubicación rigurosa, recomendados para en árboles derribados,
pueden ser divididos en:
a) métodos de cubicación absoluta; y ´
b) métodos de cubicación relativas.
5.2.3.1. Métodos de cubicación absolutas
En estos métodos serán utilizadas las fórmulas de SMALIAN, HUBER, NEWTON Y
HOSSFELD.
5.2.3.1.1 Fórmula de SMALIAN
Aplicando esta fórmula se obtiene el volumen por el producto de la media aritmética de
las áreas seccionales de los extremos de la sección por su longitud.
Dendrometría Capítulo V
121
Lgg
v ii *2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= + (5.2)
Donde:
=v volumen de la sección del árbol considerada;
=ig área seccional de un extremo de la sección;
=+1ig área seccional del otro extremo de la sección; y
=L longitud de la sección
Esta fórmula fue concebida por SEPTOFONTAINES en 1791 y, posteriormente,
introducida en Alemania por SMALIAN.
Para hacer una cubicación rigurosa, normalmente son derribados los árboles de los
cuales se desea obtener el volumen real, si el bosque es una plantación. En el caso de
bosques naturales no se derriba el árbol y la cubicación rigurosa puede hacerse
subiéndose al árbol o efectuando mediciones con el pentaprisma de Wheeler acoplado
a un Suunto, o a través del Relascopio de Bitterlich, toda vez que el interés mayor es
obtener volumen del fuste, para el uso de aserrio o para laminación. Ya en monte bajo o
matorral, por la enormidad de gajo o falta de fuste principal el derribo de los árboles es
inevitable, ya que la utilización de esta madera es prioritariamente para leña y carbón.
Incluso existiendo madera para aserrio, los gajos serán aprovechados para los fines
mencionados arriba.
Consideremos con el fin de ilustración (figura 5.7) un árbol derribado en el cual se
desea obtener el volumen real:
Dendrometría Capítulo V
122
Figura 5.7: Cubicación rigurosa por el método de SMELIAN
donde:
Dis = diámetros tomados en los extremos de las secciones;
Li = longitud de las secciones;
gis = áreas seccionales de los extremos de las secciones;
Lp = longitud de la punta del árbol;
Vis = volumen de las secciones;
Vp = volumen de la punta del árbol (calculado siempre cono volumen del cono):
Lt = longitud del tocón; y
Vt = volumen del tocón (calculado cono volumen del cilindro)
Para los fines de cálculo del volumen del árbol, se puede adoptar dos procedimientos:
1. Considerando secciones de tamaños desiguales (L diferentes)
v1 = 121 *
2Lgg
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ; v2 = 2
32 *2
Lgg⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ; v3 = 3
43 *2
Lgg⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ; v4 = 4
54 *2
Lgg⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
Dendrometría Capítulo V
123
v5 = 554 *
2Lgg
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ; vt = gt * Lt ; vp = pLg *
31
6
El volumen total del árbol (V), excluido el tocón y la punta, se obtiene como:
V = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 (5.3)
El volumen total del árbol (V), excluido el tocón, es obtenido como:
V = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 + vp (5.4)
El volumen total del árbol (V), excluyendo la punta, será:
V = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 +vt (5.5)
El volumen total del árbol (V), incluido el tocón y la punta, es obtenido como:
V = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 + vt + vp (5.6)
2. Considerando las secciones del mismo tamaño
V = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 (5.7)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= LggLggLggLggLggV *2
*2
*2
*2
*2
6554433221
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=2
22
22
22
22
543261 ggggggLV
Si los diámetros son tomados en centímetros, entonces:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ += 2
524
23
22
26
21
240000* DDDDDDLV π (5.8)
Si se desea el volumen de la punta, basta sumarlo a la expresión (5.8)
pvDDDDDDLV +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ += 2
524
23
22
26
21
240000* π
Dendrometría Capítulo V
124
Generalizando la expresión se tiene que el volumen del árbol, excluyendo el tocón se
obtiene a través de:
pnn vDDDDDDLV +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ += −
21
24
23
22
221
240000* π (5.9)
Si fuera tomada en el campo la circunferencia (C) en centímetro en lugar del diámetro,
entonces la expresión asume la forma:
pnn vCCCCCCLV +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ += −
21
24
23
22
221
240000* π (5.10)
La medida de la circunferencia, en cubicación rigurosa, es tomada cuando se hace la
cubicación en árboles en pie, normalmente en bosque natural. En esta circunstancia,
una de las posibilidades es que el operador suba al árbol, midiéndolo de espacio a
espacio.
5.2.3.1.2. Fórmula de HUBER
Con esta formula el volumen es obtenido por el producto del área seccoional tomada a
la mitad de la sección y la longitud de la sección.
Esta fórmula fue creada por KAESTNER en 1758 y en 1825 se dio a conocer a partir de
los estudios de HUBER.
V = gm * L (5.11)
Donde:
V = volumen de la sección;
gm = área seccional tomada en el medio de la sección; y
L = longitud de la sección
Dendrometría Capítulo V
125
En la figura 5.8 se representa un esquema que muestra el lugar donde se muden los
diametros para aplicar la fórmula de HUBER.
Figura 5.8: Cubicación rigurosa por el método de HUBER
donde:
Dmi = diámetro en la mitad de la sección;
Dt = diámetro del tocón;
D5 = diámetro de la base del cono;
gmi = área seccional en la mitad de la sección;
g5 = área seccional de la base del cono;
L = longitud de la sección;
Lt = Longitud del tocón;
Lp = longitud de la punta;
Vi = volumen de la sección;
Vt = volumen del tocón (calculado cono volumen del cilindro); y
Vp = volumen de la punta (calculado cono volumen del cono).
Dendrometría Capítulo V
126
Para fines de cálculo del volumen del árbol, también, al igual que para SMALIAN, se
puede adoptar dos procedimientos:
1. Considerando las secciones de tamaños iguales
Vt = gt * Lt ; V1 = gm1 * L1 ; V2 = gm2 * L2 ; V3 = gm3 * L3 ; V4 = gm4 * L4
Vp = pLg *31
5 (5.12)
El volumen total del árbol (V), excluido el tocón y la punta, es obtenido como:
V = V1 + v2 + V3 + V4
El volumen total del árbol (V), excluido el tocón, es obtenido como:
V = V1 + v2 + V3 + V4 + vp
El volumen total del árbol (V), incluido el tocón y la punta, es obtenido como:
V = V1 + v2 + V3 + V4 +vt + vp
2. Considerando las secciones del mismo tamaño (L iguales)
V = V1 + v2 + V3 + V4
Vt = gm1 * L+ gm2 * L + gm3 * L + gm4 * L
V = L (gm1 + gm2 + gm3 + gm4) (5.13)
Si los valores de diámetros son tomados en centímetros, entonces:
( )24
23
22
2140000
* mmmm DDDDLV +++=π (5.14)
Si se desea el volumen de la punta, basta sumarla a la expresión (5.14).
( ) pmmmm vDDDDLV ++++= 24
23
22
2140000
* π (5.15)
Dendrometría Capítulo V
127
Generalizando la expresión se tiene que el volumen del árbol, excluyendo el tocón se
obtiene a través de la expresión general siguiente:
( ) pmnmnmmm vDDDDDLV +++++= −22
12
32
22
140000* π (5.16)
Si en el campo, en vez de del diámetro, se toma la circunferencia (C), la expresión
asume la forma:
( ) pmnmnmmm vCCCCCLV +++++= −22
12
32
22
140000* π (5.17)
5.2.3.1.3. Fórmula de NEWTON
Con la fórmula de NEWTON el volumen es obtenido de la siguiente manera:
Lgggv im *6
4 11 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
= + (5.18)
donde:
v = volumen de la sección;
gi = área seccional del extremo de la sección;
gi+1 = área seccional del otro extremo de la sección;
gm = área seccional de la mitad de la sección; y
L = longitud de la sección
Dendrometría Capítulo V
128
Consideremos para los fines del cálculo un árbol derribado, del cual se desea saber el
volumen real (ver figura 5.9).
Figura 5.9: Cubicación rigurosa con la fórmula de Newton
donde:
Di = diámetro de los extremos de las secciones;
dmi = diámetro en la mitad de la sección;
gi = área seccional de los extremos de las secciones;
gmi = área seccional tomada en la mitad de la sección;
vi = volumen de la sección;
vt = volumen del tocón (calculado cono volumen del cilindro);
vp = volumen de la punta (calculado cono volumen del cono);
Li = longitud de la sección;
Lt = longitud (altura) del tocón; y
Lp = longitud de la punta
Dendrometría Capítulo V
129
Al igual que en el cálculo del volumen con las fórmulas de SMALIAN y HUBER, con la
fórmula de Newton también se pueden adoptar dos procedimientos:
1. Considerando las secciones de tamaños desiguales (diferentes L)
v1 = 1211 *
64 Lggg m ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ ; v2 = 2
322 *6
4 Lggg m ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ ; v3 = 3
433 *6
4 Lggg m ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
v4 = 4544 *
64 Lggg m ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ ; vt = gt * Lt
pp Lgv *31
5= (5.19)
El volumen total del árbol (v), excluido el tocón y la punta, se obtiene como:
V = v1 + v2 + v3 + v4
El volumen total del árbol (V), excluyendo el tocón, es obtenido como:
V = v1 + v2 + v3 + v4 + vp
El volumen total del árbol (V), incluyendo el tocón, será:
V = v1 + v2 + v3 + v4 + vp + vt
2. Considerando las secciones del mismo tamaño (L iguales)
V = v1 + v2 + v3 + v4
LgggLgggLgggLgggV mmmm *6
4*6
4*6
4*6
4 544433322211 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=
( ) ( )[ ]432143251 426 mmmm gggggggggLV ++++++++=
Generalizando, tenemos:
Dendrometría Capítulo V
130
( ) ( )[ ]mzmzmmmmnn ggggggggggggLV ++++++++++++= −− ...426 1432114321 (5.20)
Si se toma el diámetro en centímetro, entonces:
( ) ( )[ ]221
22
21
21
24
23
22
221 ...42
40000*
6 mzmzmmnN DDDDDDDDDDLV ++++++++++= −−π (5.21)
Y si la circunferencia es tonada en centímetros, entonces:
( ) ( )[ ]221
22
21
21
24
23
22
221 ...42
40000*
6 mzmzmmnN CCCCCCCCCCLV ++++++++++= −−π (5.22)
5.2.3.1.4. Fórmula de HOSSFELD
Esta es la más simple de las fórmulas abordadas para la cubicación rigurosa. No existe
necesidad, incluso en bosques plantados, de seccionar el árbol. Con esta fórmula se
obtiene el volumen a partir del diámetro tomado a 1/3 de la altura del árbol, conforme
se ilustra en la figura 5.10.
Figura 5.10: Medición del diámetro para calcular volumen por el método de HOSSFELD
Dendrometría Capítulo V
131
hgV **43
= (5.23)
Donde:
H = altura del árbol;
g = área seccional obtenida a partir del diámetro tomado a 31 de la altura del árbol;
4
233,0 HD
gπ
= (5.24)
5.2.3.1.5. Recomendaciones sobre estos métodos
Para la aplicación de los métodos de cubicación rigurosa se sugiere las siguientes
recomendaciones:
10. medir siempre el DAP y la altura total del árbol cubicado;
11. Newton es la manera más precisa de obtención del volumen;
12. Las secciones deben iniciarse lo más próximo posible del suelo, normalmente
en torno a los 0,05 m para Pinus y Eucalyptus;
13. Normalmente la longitud de las secciones está entre 1 y 2 m. Debe ser tal que
se controle al máximo el efecto de la conicidad y que las secciones sean
regulares;
14. Los puntos de medición, para la cubicación en Eucalyptus por la fórmula de
SMALIAN, pueden seguir el esquema mostrado a continuación en la figura
5.11;
Dendrometría Capítulo V
132
Figura 5.11: Puntos de medición para la cubicación en Eucalyptus por la fórmula de
SMALIAN
15. Los puntos de medición, para la cubicación de Pinus por la fórmula de
SMALIAN, pueden seguir el esquema mostrado en la figura 5.12;
Figura 5.12: Puntos de medición para la cubicación de Pinus por la fórmula de
SMALIAN
Dendrometría Capítulo V
133
16. los puntos de medición, para la cubicación del fuste en bosque natural por la
fórmula de SMALIAN, pueden seguir el esquema que se muestra en la figura
5.13;
Figura 5.13: Puntos de medición para la cubicación de fustes en bosque natural
17. los puntos de medición para la cubicación de árboles o arbustos, incluyendo los
gajos por la fórmula de SMALIAN, puede seguir el esquema que se muestra en
la figura 5.14;
Dendrometría Capítulo V
134
Fig. 5.14: Puntos de medición para la cubicación de árboles o arbustos, incluyendo los
gajos por la fórmula de SMALIAN
18. en secciones de hasta 1,20 m HUBER y SMALIAN son iguales. Ya en
secciones mayores que 2,5 m HUBER es preferible a SMALIAN;
19. si está calculando volumen total, entonces la última sección (la punta del árbol),
debe ser calculada como si fuese un cono, conforme muestra la figura 5.15;
Figura 5.15: Cálculo de la última sección de un árbol
Dendrometría Capítulo V
135
pnp LgV **31
=
20. si se desea el volumen comercial, la última sección del árbol, puede tener su
volumen obtenido por la fórmula normal, o por el uso de la fórmula del tronco de
cono, como se muestra en el esquema de la figura 5.16.
Figura 5.16: Cálculo del volumen de la última sección del árbol por la fórmula del
tronco de cono
LggV nn *2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= − ó Lgggg
V nnnntroncocono *
311
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +++= −− (5.25)
5.2.3.2. Métodos de cubicación relativos
En estos métodos serán utilizadas las fórmulas de HOHENADL y de la FAO. En este
caso cada sección o troza representa un porciento de la altura del árbol.
5.2.3.2.1. Método de HOHENADL
Consiste en dividir el árbol o troza en cinco, diez o más partes de igual tamaño y
calcular el volumen por el método de HUBER.
Este método es usado en trabajos prácticos y científicos cuando se desea determinar el
factor de forma, los verdaderos cocientes de forma e incluso en el estudio de forma de
los troncos.
Dendrometría Capítulo V
136
El seccionamiento propuesto por HOHENADL implica el conocimiento previo de la
altura total del árbol del ápice a la base, conforme se representa en la figura 5.17.
Figura: 5.17: Cubicación rigurosa por el método de HOHENADL
Los puntos indicados por d0,9, d0,7, d0,5, d0,3 y d0,1 a lo largo del tronco son los diámetros
relativos en la posición de 90, 70, 50, 30 y 10 porciento de la altura total tomadas a
partir del ápice.
Para obtener cinco (5) o diez (10) partes de igual longitud las secciones son tomadas a
0,2, 0,1 de la altura total, respectivamente.
El volumen del árbol está dado por:
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
9,0
1,0
2
9,0
3,0
2
9,0
5,0
2
9,0
7,029,0 1,0
42,0
dd
dd
dd
dd
dhV π (5.26)
Este volumen es calculado en función de los cocientes de formas, los cuales son
expresados por la razón entre los diámetros de HOHENADL y el d0,9.
Los cocientes de forma natural pueden expresarse cono sigue:
( )21,0
23,0
25,0
27,0
29,0 0,1
42,0 ηηηηπ
++++= dhV (5.27)
Dendrometría Capítulo V
137
Donde:
V = volumen del tronco;
H = altura total;
d0,i = diámetros relativos de HOHENADL; y
η0,i = cocientes de forma.
5.2.3.2.2. Método de la FAO
Es una adaptación de la fórmula de HOHENADL más específicamente para aquellos
árboles o especies que presentan mayor deformación en su base a 16 y a 5/6 de su
longitud.
5.2.4. Método Gráfico
En este caso el volumen es obtenido a través un planímetro, por medio del cual, se
cuantifica la superficie del perfil del árbol. Este perfil es trazado gráficamente en papel
milimetrado, utilizando las medidas de las varias secciones de los árboles que fueron
seleccionados en el campo a través de la cubicación de los mismos.
En el eje de las ordenadas la graduación está en áreas, con regraduación en
diámetros para eliminar la necesidad del cálculo de las áreas. En el eje de las abcisas,
la graduación corresponde a las alturas. Señalándose en el impreso los puntos
correspondientes a los diámetros medidos a diferente alturas del árbol, se permite el
trazado de una curva.
El volumen es determinado por el producto del área calculada con planímetro, por el
factor de conversión apropiado, que convierte áreas en volúmenes de acuerdo con el
impreso utilizado.
Dendrometría Capítulo V
138
Este método de cubicación presenta resultados más precisos que los mencionados
anteriormente porque permite la cubicación de ramas (gajos) y así obtener el volumen
total del árbol con bastante aproximación. Para este tipo de cubicación es más usado
los árboles derribados. Los datos (informaciones) que se requieren son: los diámetros
del fuste a diferentes alturas (figura 5.18).
Figura 5.18: Cálculo de volumen de un árbol por método gráfico
* 4,01*12*2,01 2 ==cm 3m
Los datos están distribuidos en el sistema de coordenadas, siendo:
X = altura en metros; y
Y = área basal en m2
Luego se unen los puntos y se obtiene un gráfico que presenta la siguiente relación:
árboldelvolumenDClongitusyADbasedecilindrodelvolumen
ADCEáreaABCDárea
..........
.
.=
Dendrometría Capítulo V
139
)..(..*........´..
árboldelABCDáreaADCEáreaDClongitudyADbasedecilindrodelvolumenárboldelvolumen =
donde:
área ADCE = es el área de la figura con los datos obtenidos del árbol; y
área ABCD = es obtenida al formar un rectángulo con los puntos extremos cde la figura.
El cilindro de base AD es un cilindro de base igual al área basal mayor y la altura del
árbol.
Si la relación;
conversióndeFactorABCDrectángulodelárea
ADbasedecilindrodelvolumen ......
.....=
Entonces, se tiene que el volumen del árbol será:
Volumen = (área ADCE) * (factor de conversión)
Cuando se trabaja con papel milimetrado y los ejes se gradúan con igual forma, es fácil
encontrar el factor de conversión para 1 cm2 o cualquier múltiplo a base de la misma
relación de volumen sobre el área.
Así se puede determinar (calcular) el volumen del árbol contando el número de mm2 del
área oscurecida y multiplicar por el factor de conversión.
5.2.5. Ejercicio de ejemplo
Dada la altura de las respectivas secciones y sus diámetros, con y sin corteza, se
puede determinar el volumen del árbol por los métodos de SMALIAN, HUBER,
NEWTON y HOHENADL.
Observación: La longitud de cada sección es igual a 2,0 metros.
Dendrometría Capítulo V
140
Datos del árbol der4ribado
Alturas de las secciones (m) Diámetros con corteza (cm)
Diámetro sin corteza (cm) Tipos Valores
0,0 d1 40,0 35,0
0,5 39,0 34,5
0,6 d0,9 38,8 34,4
1,0 dm1 38,0 34,0
1,3 d1,30 37,0 33,0
1,5 d0,7 36,5 32,5
1,8 35,6 31,6
2,0 d2 y d0,5 35,0 31,0
2,5 33,5 30,0
3,0 dm2 32,0 29,0
3,5 30,5 28,5
4,0 d3 29,0 28,0
4,2 d0,3 28,0 26,4
4,5 26,5 24,0
5,0 dm3 24,0 20,0
5,4 d0,1 22,4 18,8
5,5 22,0 18,5
6,0 d4 20,0 17,0
a) SMALIAN
• * ( ) ( )[ ]23
22
24
21/ 22
4ddddV cc +++=
π
( ) ( )[ ] 1682,0245,004,016,029,0235,0220,040,04
2222 +++=+++=π
Dendrometría Capítulo V
141
3/ .481607,0 mV cc =
• * =csV / ( ) ( )[ ]23
22
24
21 22
4dddd +++
π
( ) ( )[ ] 1568,01922,00289,01225,028,0231,0217,035,04
2222 +++=+++=π
3/ .393014,0 mV cs =
b) HUBER
• ( )[ ]LdddV mmmcc *4
23
22
21/ ++=
π
( ) 0576,01024,01444,024,032,038,02*4
222 ++=++=π
3/ .478151,0 mV cc =
• ( )[ ]LdddV mmmcs *4
23
22
21/ ++=
π
( ) 04,00841,01156,020,029,034,02*4
222 ++=++=π
3/ .376520,0 mV cs =
c) NEWTON
• ( ) ( )[ ]23
22
23
22
21
24
21/ 2
31*
4dddddddV mmmcc ++++++=
π
( ) ( )[ ]2222222/ 29,035,0224,032,038,020,040,0
31*
4++++++=
πccV
479303,0/ =ccV 3m
Dendrometría Capítulo V
142
• ( ) ( )[ ]23
22
23
22
21
24
21/ 2
31*
4dddddddV mmmcs ++++++=
π
( ) ( )[ ]2222222/ 28,031,0220,029,034,017,035,0
31*
4++++++=
πcsV
382017,0=V 3m
d) HOHENADL
• ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
2
9,0
1,0
2
9,0
3,0
2
9,0
5,0
2
9,0
7,029,0/ 0,12,0*
4 dd
dd
dd
dd
hdV ccHπ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
22222
/ 8,384,22
8,380,28
8,380,32
8,386,350,12,0*6*38,0
4π
ccHV
[ ]33330,052078,068020,084185,00,12,0*0,6*15054,0*4
++++π
( )37613,32,0*70940,0= = 67523,0*70940,0 = 47901,0
47901,0/ =ccHV 3m
• ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
2
9,0
1,0
2
9,0
3,0
2
9,0
5,0
2
9,0
7,029,0/ 0,12,0*
4 dd
dd
dd
dd
hdV csHπ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
22222
/ 4,348,18
4,344,26
4,340,29
4,346,310,12,0*6*344,0
4π
csHV
[ ]29867,058897,071069,084383,00,12,0*6*344,04
2/ ++++=
πcsHV
( )44216,20,12,0*55766,0 +
= 68842,0*55766,0 = 38391,0
Dendrometría Capítulo V
143
38391,0/ =csHV 3m
5.2.6. Volúmenes comerciales
Generalmente se entiende por volumen comercial la cantidad de madera, expresada en
unidades cúbicas que se utiliza de una troza o de un árbol, excluyendo la corteza y
otros desperdicios. La cantidad de madera utilizable de una troza depende del uso que
se le dé y de las técnicas en el proceso de extracción. Existen métodos de cubicación
para estimar el volumen comercial y que varían de un país a otro.
En caso de las trozas para aserrar se comprende que deben encuadrarse y según
como se haga este trabajo se cubica la troza, excluyendo la corteza y a veces parte de
la albura (ALDANA et al.,1994)
5.2.6.1. Volumen de madera encuadrada
El volumen de la madera encuadrada consiste en cuantificar el volumen de una pieza
regular a ser obtenida de una troza cualquiera, conforme muestra la figura 5.19.
Figura. 5.19: Volumen de madera encuadrada
Para obtener el volumen del bloque, se mide el diámetro sin corteza (Ds/c) del extremo
menor, según la figura 5.20.
Dendrometría Capítulo V
144
Figura 5.20: Muestra el diámetro sin corteza del extremo menor
Donde:
a = lado de la pieza
L = longitud de la troza; y
D = diámetro del extremo menor sin corteza
Así la superficie (S) de la pieza es obtenida por:
2* aaaS ==
El volumen de la pieza encuadrada (Vesq.) se obtiene por:
LaVesq *2. = (5.28)
Para dar más versatilidad al procedimiento se usa el teorema de Pitágoras: “el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”
222 aaD +=
22 2aD =
2
2Da = (5.29)
Dendrometría Capítulo V
145
Substituyéndose (2) en (1) se tiene ahora el volumen en función del diámetro sin
corteza del extremo menor.
LaVesq *2. =
LDLDVesq *2
*2
22
2
. =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (5.30)
El aprovechamiento de la troza en porcentaje es obtenido por:
100*%t
e
VVA = (5.31)
Donde:
=eV volumen de madera encuadrada
=tV volumen de la troza; y
=%A porcentaje de aprovechamiento
Ejemplo
Una troza de 5 metros de longitud, presenta un diámetro sin corteza en el extremo
menor igual a 40 cm. Cuál es el volumen del bloque y cuánto él representa del volumen
de la troza, si el volumen de la troza obtenido por una de las fórmulas de cubicación
rigurosa fue igual a0,73 m3.
4,05*216,05*
240,0 2
===esqV 3m → volumen del bloque
%79,54100*73,040,0% ==A → porcentaje del bloque en relación al volumen de la troza,
esto significa un desperdicio de más de %45 de la troza.
Dendrometría Capítulo V
146
5.2.6.2. Volumen de madera laminada
Este volumen es importante para poder saber cuantos paneles o tableros
contrachapados pueden ser construidos a partir de un árbol o de un grupo de árboles.
La troza va a ser laminada hasta que se convierta en un cilindro perfecto, que es
función del diámetro sin corteza, del menor extremo (D). Se debe definir también el
grosor (e) de la lámina y el diámetro mínimo (d) a partir del cual, ya no se consigue
desenrollar más la troza, como se muestra en la figura 5.21.
Figura 5.21: Forma de laminar la madera para producir paneles contrachapados
Donde:
=D diámetro sin corteza del extremo menor de la troza;
=d Médula de la troza no aprovechable para laminación. Normalmente no excede
a 5 cm;
=E Parte del árbol no aprovechable para laminación. Será mayor a medida en
que la pieza es más cónica;
Dendrometría Capítulo V
147
=B Esta parte blanca es cilíndrica, siendo la porción del árbol que será laminada;
y
=e grosor del laminado
El volumen del laminado (VL) será:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 22
44dDLVL
ππ = 3m (5.32)
La cantidad ( )C de madera laminada se calcula por la siguiente fórmula:
me
dDC =
−=
22
44ππ
(5.33)
Por tanto, la superficie de madera laminada será:
2* mLCS == (5.34)
Ejemplo
Se desea saber, de un tronco de 2 metros de longitud y con diámetro sin corteza en el
menor extremo igual a 40 cm, cuantos paneles contrachapados de 2 x 2 m pueden ser
obtenidos, si cada lámina tiene 2 mm de grosor, y cada panel o tablero está formado
por 4 de estas láminas. El centro o médula no laminado será de 4 cm.
Solución:
• Volumen de madera laminada:
2*40000
4*40000
40* 22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=ππ
LV = 24881472,0 3m
• Cantidad de madera laminada:
Dendrometría Capítulo V
148
20,62002,0
400004*
4000040* 22
=−
=
ππ
C m
• Superficie de madera laminada:
4,1242*20,62* === LCS 2m
• Número de paneles o tableros:
1,312*24,124= láminas de 4 m2
8,7.4min.4,31
2 =m
aslá paneles
5.2.6.3. Volumen Hoppus o Francon o 4° Reducido
Este volumen posibilita encontrar el volumen aprovechable de madera para aserrio.
Consiste en medir la longitud (L) de la troza y medir también la circunferencia )(C sin
corteza en el medio de la sección. Entonces el volumen francon (Vf) es obtenido por la
fórmula que se presenta más abajo, utilizando las medidas tomadas en la troza según
se muestra en la figura 5.22
Dendrometría Capítulo V
149
Figura 5.22: Medición del bolo para calcular el volumen 4º reducido
LCV *4⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= (5.35)
Ejemplo
Considere una troza de 5 metros, cuyo diámetro sin corteza, medido en la mitad de
esta, fue igual a 50 cm. ¿Cuál es el volumen a ser obtenido del bloque de madera?
Solución:
08,157* // == cscs DC π .cm
77126,05*4571,1 2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=fV 3m
Así, el volumen del bloque de esta troza es de 0,77126 m3.
En este caso , el aprovechamiento de la troza corresponde al 78% del volumen del
cilindro.
Demostración:
Volumen del cilindro (Vc) = Lg *
Dendrometría Capítulo V
150
Volumen francon (Vf) = LC *4
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
DC *π=
Donde:
=fV volumen francon en 3m (4° Reducido);
=C circunferencia a 50% de L; y
=L longitud de la troza
El Vf puede también ser deducido directamente del volumen del cilindro a partir de la
determinación de un factor de corrección dado por:
c
fc V
Vf = (5.36) Donde:
=cf factor de corrección;
=fV volumen de Francon en 3m ; y
=cV volumen del cilindro en 3m
Para las diferentes tasas de descuento, el factor de corrección puede ser calculado del
siguiente modo:
( )416
4
**4
*4
2
2
ππ
π
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
LC
LC
fc
7854,0=cf
Por tanto el *7854,0=fV volumen del cilindro
Dendrometría Capítulo V
151
5.2.6.4. Volumen de madera apilada
El volumen de madera apilada es muy utilizado por las empresas de celulosas, carbón
vegetal, panaderías, alfarerías, tejares, cerámicas, etc.
El volumen de madera apilada tiene como unidad de medida el metro estéreo (mest), y
es obtenido como (ver figura 5.23) :
21 ** LLHVapil = (5.37)
Donde:
=apilV volumen de madera apilada;
=H altura de la pila de madera;
=1L ancho de la pila de madera; y
L2 = longitud de la pila de madera.
Figura 5.23: Cálculo de volumen de madera apilada
Dendrometría Capítulo V
152
Se trata de la existencia de dos factores para expresar la conversión entre volumen
sólido y volumen de madera apilada y viceversa.
• Factor de cubicación (Fc)
Convierte el volumen de madera apilada en volumen sólido de madera.
Este factor es siempre menor que 1.
1..
≤=apiladovolumensólidovolumenFC (5.38)
• Factor de apilamiento (Fa)
Convierte el volumen sólido de madera en volumen en metro estéreo a
volumen de madera apilada.
1.
.≥=
sólidovolumenapiladovolumenFa (5.39)
La conversión de uno de estos factores en el otro se obtiene por:
Ca F
F 1= (5.40)
Se debe observar bien el apilamiento, pues este puede ser dañoso a los datos de
inventario. Si el apilamiento fuera mal hecho, el volumen quedará de un lado o del otro
del volumen de inventario.
Observación:
n
FF
n
ia
a
∑== 1 (5.41)
Dendrometría Capítulo V
153
n
FF
n
iC
C
∑== 1 (5.42)
El factor de apilamiento es afectado por una serie de factores, a saber:
• el diámetro y longitud de las trozas;
• la especie forestal;
• la manera de apilar;
• El tiempo que la madera apilada permanece en el campo;
• El apilamiento hecho manualmente; y
• Apilamiento hecho por máquinas.
El factor de apilamiento hecho por máquina, puede aumentar sensiblemente en relación
al apilamiento hecho manualmente, pues hay una mayor ocurrencia de espacios vacíos
entre trozas, pudiendo este llegar a 2,2 veces en muchos casos.
En ausencia de cualquier información se usa factor de apilamiento medio, el cual es de
1,5 para el factor de apilamiento ( )aF y 0,67 para el factor de cubicación ( )CF siempre
que el apilamiento sea hecho manualmente.
5.2.7. Volumen de corteza
Dendrometría Capítulo V
154
El grosor de corteza es una variable de gran importancia para la obtención del volumen
de madera sin corteza. Esta varía considerablemente com la especies, dentro de un
mismo árbol, de un lugar a outro y de acuerdo com la edad, entre otros, pudiendo
obtenerse mediante el empleo del medidor de grosor de corteza (ver figura 5.24) o a
través de una regla común, siempre que las medidas sean efectuadas en los extremos
de las trozas.
Figura: 5.24: Medidor de grosor de corteza o Sonda Sueca
Para ilustrar la variabilidad del porcentaje de corteza se puede considerar que en un
Pinus tropicalis joven, este valor alcanza 50% o más del valor del volumen total del
árbol. Ya en edades más avanzadas el porcentaje medio de corteza está situado
alrededor de los 12% a 16 %. De manera general se puede definir que el porcentaje de
corteza es mayor en árboles jóvenes de rápido crecimiento y menor en árboles adultos
(com edades más avanzadas)
Dendrometría Capítulo V
155
5.2.7. 1. Obtención del volumen de corteza
Para calcular el volumen de corteza se tienen dos posibilidades, es decir: volumen en
m3 y en porcentaje.
Tradicionalmente el volumen de corteza se calcula por:
csccort VVV // −=
100*%/
//cot
cc
cscc
VVVV −
= (5.43)
Donde:
=cotV volumen de corteza;
=ccV / Volumen con corteza; y
=csV / volumen sin corteza
Otra vía alternativa para calcular el volumen y por ciento de corteza es partiendo de la
fórmula de volumen del árbol en pié, o sea:
• fHDV cc **4
2/
π= D = diámetro con corteza
• fHdV cs **4
2/
π= d = diámetro sin corteza
El diámetro sin corteza (d) se puede determinar del diámetro con corteza (D) mediante
una ecuación de regresión de la línea recta de la forma:
bxay +=
Dendrometría Capítulo V
156
Si hacemos dy = , y Dx = , entonces, bDad += . Resolviendo esta ecuación
considerando que la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas
rectangulares, tenemos que:
0=a
bDd =
Ddb = , haciendo b = k
entonces tenemos : Ddk = , y por tanto Dkd *=
Substituyendo ahora (d) en la fórmula para calcular el volumen sin corteza de un árbol
en pié, se tiene:
fHDkV cs **4
22/
π= (5.44)
22/ ***
4kfHDV cs
π=
2// * kVV cccs = (5.45)
• 2// kVVV cscccort +−=
( )2/ 1 kVV cctcor −=
100*%/
//
cc
cscccort V
VVV −=
( ) 100*1%/
/
cc
cccort V
kVV −=
( ) 100*1% 2kVcort −=
Dendrometría Capítulo V
157
100*1%2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
DdVcort (5.46)
Lo ideal es descubrir para cada especie cual es la altura de medición del grosor de la
corteza, que represente lo que ocurre en el árbol. Obtenida esta información, basta
medir en este punto, el diámetro con y sin corteza con el cual se obtiene fácilmente el
porciento de corteza del árbol.
5.2.8. Ejercicios Propuestos
Ejercicio 1. Utilizando los valores que aparecen en la tabla del ejercicio anterior,
repita los cálculos para los métodos de SMALIAN, HUBER y NEWTON
usando longitud de cada sección igual a 1,0 metro.
Ejercicio 2. Utilizándose un árbol cubicado rigurosamente, calcular su
volumen, utilizándose las fórmulas de SMALIAN, HUBER, NEWTON y
HOHENADL. Los datos básicos están representados en la siguiente tabla.
Dendrometría Capítulo V
158
Datos de un árbol cubicado rigurosamente
H (m) das Seções
Dcc (cm) 2 E (cm) Dsc (cm) gcc (m2) gsc (m2) gi (Smalian)
gint. (Huber)
0,10 23,50 2,2 21,3 0,043374 0,035633 g1 0,70 22,10 2,1 20,0 0,038359 0,031416 gint.1 1,30 21,50 2,4 19,1 0,036305 0,028652 g2 2,30 21,00 1,0 20,0 0,034636 0,031416 gint.2 3,30 21,00 1,4 19,6 0,034636 0,030172 g3 4,30 21,00 0,8 20,2 0,034636 0,032047 gint.3 5,30 21,00 1,0 20,0 0,034636 0,031416 g4 6,30 20,00 1,0 19,0 0,031416 0,028353 gint.4 7,30 17,50 1,0 16,5 0,024053 0,021382 g5 8,30 16,50 1,0 15,5 0,021382 0,018869 gint.5 9,30 15,50 1,0 14,5 0,018869 0,016513 g6 10,30 15,50 0,9 14,6 0,018869 0,016741 gint.6 11,30 14,00 1,0 13,0 0,015394 0,013273 g7 12,30 14,00 0,9 13,1 0,015394 0,013478 gint.7 13,30 13,50 1,0 12,5 0,014314 0,012272 g8 14,30 12,50 1,0 11,5 0,012272 0,010387 gint.8 15,30 11,00 1,0 10,0 0,009503 0,007854 g9 16,30 10,50 1,0 9,5 0,008659 0,007088 gint.9 17,30 10,00 1,0 9,0 0,007853 0,006362 g10 18,30 9,00 0,8 8,2 0,006362 0,005281 gint.10 19,30 8,50 1,0 7,5 0,005674 0,004418 g11 20,30 8,00 1,0 7,0 0,005026 0,003848 gint.11 21,30 7,00 0,8 6,2 0,003848 0,003019 g12 22,30 7,00 0,8 6,2 0,003848 0,003019 gint.12 23,30 5,50 0,8 4,7 0,002376 0,001735 g13 23,80 5,30 0,8 4,5 0,002206 0,001590 gint.13 24,30 5,00 0,8 4,2 0,001963 0,001385 g14 + 3,45 L O N G I T U D DE L A P U N T A * 6,44 19,00 1,0 18,00 0,028353 0,025447 * 7,10 18,00 1,0 17,00 0,025447 0,022698
* Son las alturas correspondientes a 19 y 18 cm de diámetro con corteza. El objetivo es
poder calcular volumen comercial hasta un diámetro mínimo con corteza de 19 a 18 cm.
Ejercicio No.3.- Una troza de 6 metros de longitud presenta un diámetro sin
corteza en el extremo menor igual a 50 cm, el diámetro en el extremo mayor igual a 90
cm y el diámetro en la mitad de la troza igual a 75 cm. ¿Cuál es el volumen del bolo de
madera comercial y cuánto él representa del volumen de la troza?.
Ejercicio No.4.- Se desea saber, de un bolo de 3 metros de longitud , con
diámetro sin corteza en el extremo menor de igual a 30 cm, cuantos paneles de 2 x 2 m
Dendrometría Capítulo V
159
puedan ser obtenidos, si cada lámina tiene 2 mm de grueso y cada panel está formado
por 3 de estas láminas. El corazón no laminado será de 3 cm.
Ejercicio No.5.- Considere una troza de 6 metros cuyo diámetro sin corteza,
medido en la mitad de esta, fue igual a 40 cm. ¿Cuál es el volumen del bolo de madera
a ser obtenido ?
Dendrometría Capítulo VI
160
CAPITULO 6: FACTOR Y COCIENTE DE FORMA
6.1. Coeficientes mórficos o factores de forma.
Es una razón entre volúmenes, siendo utilizado para corregir el volumen del cilindro y
calcular el volumen del árbol, o sea, es un factor de reducción muy importante para
determinar con una precisión, bastante cercana a la realidad, el volumen real de los
árboles o de los rodales en pie, partiendo de la medición de algunas variables
independientes de fácil acceso como el diámetro y la altura por ejemplo.
El factor de forma es influenciado por la especie, el sitio, el espaciamiento, los
tratamientos silviculturales (raleos), la edad, etc. Exactamente por este hecho, al utilizar
un único número medio para representar el factor de forma, por ejemplo, todas las
especies del género Eucalyptus, o lo mismo una única especie en diferentes edades,
sitios y sujeta a diferentes espaciamientos, se debe tener mucho cuidado.
El factor de forma varía de acuerdo con el lugar donde es calculada el área de la
sección transversal (g). Para estar de acuerdo con los sólidos geométricos el área
seccional debería ser tomada en la base del árbol; no obstante, casi siempre es medido
o cuantificado al nivel del DAP (Diámetro a la Altura del Pecho), debido a la no
practicidad de hacerse esta medición en la base del árbol, así como por la irregularidad
de la sección transversal en la base, causada por el sistema radical. Otro hecho es la
necesaria compatibilidad en las posiciones donde se mide el diámetro referencial (DAP)
que sufrirán el proceso de cubicación y de los demás árboles existentes en las parcelas.
Si en estas últimas se mide el DAP e la(s) altura(s) altura(s) total(es), se va a obtener el
volumen del cilindro, como:
v c = 4π (DAP) 2 h (6.1)
Dendrometría Capítulo VI
161
Así, para estimar el volumen de este árbol es necesario multiplicarlo por un factor de
forma, obtenido a partir de los árboles cubicados rigurosamente, teniendo como base
del cilindro, el DAP.
6.1.1. Factor de forma común o artificial (f 30,1 )
Es obtenido por la razón entre el volumen real y el volumen del cilindro, siendo el
volumen del cilindro obtenido a partir del DAP con corteza y de la altura total del árbol.
f 30,1 = Vcilindro
Vreal = .Vcil
Vr (6.2)
v r = g ∗ h ∗ f 30,1
v r = 4π ∗ (DAP) 2 ∗ h ∗ f 30,1 (6.3)
v r = v .cil ∗ f 30,1
v .cil = 4π ∗ (DAP) 2 ∗ h (6.4)
f 30,1 = n
fn
ii∑
=1 86.5) o f 30,1 = ∑∑
.cil
r
vv
(6.6)
donde:
f 30,1 = Factor de forma artificial medio
f i = Factor de forma artificial del árbol i
v r = Volumen real (riguroso)
v .cil = Volumen del cilindro
Dendrometría Capítulo VI
162
6.1.2. Factor de forma de HOHENADL o natural (f 30,1 )
Es obtenido, por la razón entre el volumen real (riguroso) y el volumen del cilindro,
siendo el volumen del cilindro obtenido a partir del diámetro con corteza tomado a 101
de la altura del árbol y de la altura total.
f 1,0 = Vcilindro
Vreal
Para que se obtengan estos dos factores, basta que en la cubicación rigurosa, sean
hechas mediciones del diámetro al nivel del DAP y a 10% de la altura del árbol (ver
Capítulo 5, epígrafe 5.2.3.2.1), considerándose su altura total.
Un árbol con 13,0 m de altura tiene el d 9,0 y el DAP ó d 30,1 coincidentes, generando así
los factores de formas natural y artificial iguales.
Dos árboles con idénticas formas geométricas y diferentes alturas, poseen diferentes
factores de forma artificial, pero el mismo factor de forma natural. Este último puede
también ser determinado a través de los cocientes de HOHENADL, como sigue
f 9,0 = 0,2(1,0 + 27,0η + 2
5,0η + 23,0η + 2
1,0η )
donde:
2,0 iη = Cociente de forma natural, estando dado el volumen del árbol por:
Vr = 4π ∗ (DAP) 2 ∗h∗ f 30,1 =
4π ∗ d 2
9,0 ∗h ∗ f 9,0 (6.7)
f 30,1 = hDAP
fhd
∗∗
∗∗∗
2
9,02
9,0
)(4
4π
π
= 29,09,0
)(
2
DAPfd ∗
(6.8)
Dendrometría Capítulo VI
163
El cociente entre DAP y d 29,0 es denominado cociente de HOHENADL, siendo
representado por qH = d/d0,9, pudiéndose entonces reescribir las fórmulas como:
f 30,1 = 29,0
qHf
∴ f 9,0 = f 30,1 ∗ qH 2 (6.9)
En trabajos de investigación realizados por Erasmo (1999) en rodales naturales de
Pinus caribaea y Pinus tropicalis, Padilla (1999) en plantaciones de Pinus tropicalis
y Zaldivar (1999) en plantaciones de Hibiscus sp. encontraron respectivamente los
factores de forma promedios artificiales siguientes:
Pinus caribaea (natural) 0,5 Pinus tropicalis (natural) 0,55
Pinus tropicalis (Plantación) 0,47 Hibiscus sp (Plantación) 0,46
6.1.3. Comparación entre el factor de forma normal y el factor de forma de
HOHENADL
Comparando los dos factores de formas anteriores, se puede plantear lo siguiente:
• cuando el árbol tiene 13,0 metros de altura, estos dos factores son iguales;
• para árboles con más de 13,0 metros el factor de forma normal es menor que el
factor de forma de HOHENADL;
• para árboles con menos de 13,0 metros el factor de forma normal es mayor que el
factor de forma de HOHENADL;
• el factor de forma de HOHENADL es más eficiente que el factor de forma normal, ya
que árboles con diferentes alturas, pero con la misma conicidad, presentan
diferentes valores, lo que no ocurre con el factor de forma de HOHENADL;
Dendrometría Capítulo VI
164
• el factor de forma normal es mucho más simple de ser aplicado a nivel de campo ya
que en las parcelas de los inventarios es más fácil medir el DAP que el diámetro a
10% de la altura; y
• es posible establecer un vínculo entre estos factores. Para esto considere el
volumen de un árbol estimado por estos dos factores de forma.
1,02
9,04hfdv π
= (6.10) 3,12
4hfDAPv π
= (6.11)
3,1
9,0
2
1,03,12
1,02
9,0 *
4
444
fhd
hDAPfhfDAPhfdv π
πππ
=∴==
1,0
9,0
2
1,0 * fd
DAPf = (6.12) ó 1,02
29,0
3,1 * fDAPd
f = (6.13)
6.2. Cocientes de forma
Así como el factor de forma, los cocientes de forma expresan la forma del árbol. Estos
expresan la razón entre diámetros, siendo utilizados para estimar volúmenes de los
árboles. Es una medida menos precisa que el factor de forma, pero más fácil de ser
obtenida, ya que no es necesario el derribo de árboles.
Así, la estimación del volumen puede obtenerse por:
QhDAPv *4
2π= (6.14)
Donde:
DAP = diámetro a la altura del pecho;
Dendrometría Capítulo VI
165
H = altura del árbol; y
Q = cociente de forma.
Existen diferentes maneras de expresar el cociente de forma que pueden ser utilizados
en la estimación del volumen de un árbol, destacándose los de: GIRARD, SCHIFFEL y
JOHNSON.
6.2.1. Cociente de forma de GIRARD
Este cociente de forma, presentado en 1933, es obtenido por la razón entre el diámetro
tomado a 5,2 metros de la altura total del árbol y el diámetro a la altura del pecho, o sea
1,30 m del suelo. Por tanto:
3,1
2,5
dd
Q h= (6.15)
6.2.2. Cociente de forma de SCHIFFEL
Este cociente de forma fue desarrollado en 1899 y consiste en la razón entre el
diámetro tomado en la mitad de la altura total del árbol y el DAP o diámetro a 1,30 m del
suelo. Es decir, se puede obtener por la razón que a continuación se presenta:
3,1
21
dd
Q h= (6.16)
Donde:
D1/2h = es el valor del diámetro tomado en la mitad de la altura del árbol; y
D1,3 = diámetro tomado a 1,30 m del suelo.
Este cociente acarrea ciertos inconvenientes para árboles de pequeñas alturas. Árboles
con 2,6 m presentan Q = 1 y árboles con alturas inferiores Q > 1.
Dendrometría Capítulo VI
166
6.2.3. Cociente de forma de JOHNSON
Este cociente fue desarrollado en 1910, para eliminar el inconveniente presentado por
el cociente de SCHIFFEL Es una adaptación del cociente de SCHIFFEL, en el cual la
razón entre los diámetros es obtenida por el diámetro en la mitad de la altura del árbol
más 1,30 m y el DAP, conforme se expresa en la siguiente razón.
DAP
dQ
h )30,1(21
+= (6.17)
Donde: )30,1(
21
+hd = diámetro tomado en la mitad de la altura más 1,30 m.
Los tres cocientes de formas presentados anteriormente son denominados cocientes de
forma artificiales. Los cocientes de forma denominados verdadero o natural fueron
presentados por HOHENADL en 1936, conforme ya fue explicado en el epígrafe
5.2.3.2.1 y 6.2.2, consistieron básicamente en la división de la altura total del árbol en
cinco (5) secciones iguales, estableciendo una relación entre los diámetros tomados a
10, 30, 50, 70 y 90% de la altura, con el diámetro de HOHENADL, tomado a 10% de la
altura.
Estos cocientes son expresados por la relación.
h
ii
dd
hQ
1,0
,0,0
1,0= (6,18)
La mayor aplicación de estos cocientes, ha sido como la tercera variable en tablas de
volúmenes formales. Estas relaciones presentan como gran ventaja, la posibilidad de
ser comparadas con las de otros árboles, incluso entre árboles con dimensiones
diferentes. Como desventaja, se puede considerar la medición de la altura, así como la
medición de los diámetros a diferentes alturas.
Dasometría Capítulo VII
167
CAPITULO 7: ESTRUCTURA Y CARACTERÍSTICAS DE LAS MASAS
FORESTALES.
7.1. Generalidades
Si se descompone una masa forestal en clases diamétricas o de circunferencia de igual
amplitud cada una, nos daremos cuenta que la distribución de los árboles obedece a
ciertas leyes. Si se llevan sobre los ejes de coordenadas rectangulares: en abscisas las
clases diamétricas, en ordenadas el número de árboles por clase diamétrica, es decir,
las frecuencias de la distribución estudiada, una masa regular se representará, en
general, por una línea quebrada o por una curva con una cima, a menudo próxima a la
clásica curva en campana; mientras que una masa irregular verá disminuir el número
de árboles más o menos continuamente cuando pasa de la clase diamétrica más
pequeña a la más grande (ver PAEDË y BOUCHON, 1994).
7.2. Distribución de las dimensiones de las masas
El estudio detallado de la estructura de las masas forestales es tarea de la silvicultura.
No obstante, aquí sólo trataremos aquellos aspectos que desde el punto de vista
dasométrico nos interesan.
7.2.1. Masas irregulares
En calidad de sitio homogénea una masa regular de una misma especie, no habiendo
cerrado aún su cubierta, verá sus árboles distribuirse según la ley de GAUSS o ley
normal de distribución según la ecuación:
2
21
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
= σ
πσ
mx
eNy (7.1)
donde:
Dasometría Capítulo VII
168
y = frecuencia;
x = Observaciones (diámetro por ejemplo);
m = media arimética de esas observaciones x;
σ = desviación típica de las observaciones alrededor de la media m;
N = número total de árboles; y
e = base de los logaritmos neperianos.
Los tratamientos silviculturales (limpias y raleos o aclareos) y la mortalidad natural de
los árboles afectan, generalmente, la simetría de la distribución de los árboles,
haciéndola desaparecer; donde las clases pequeñas disminuyen enormemente sus
frecuencias, mientras las clases diamétricas mayores crecen anormalmente (ver figura
7.1).
Figura 7.1: Distribución de los árboles por clases de circunferencia de una masa
regular antes y después del raleo
Según PRODAN (1953) se puede precisar el coeficiente de disimetría de la distribución
calculando el coeficiente de asimetría β3.
Dasometría Capítulo VII
169
Entonces es posible asimilar cualquier distribución de árboles a una función como la
función A de CHARLIER:
( ) ( ) ( )[ ]...4433 +++= xfxfxfNy ββσ
(7.2)
donde:
f(x) = función que representa la ley de distribución normal; y
f3(x), f4(x) = derivadas tercera y cuarta respectivamente de esa función.
Los coeficientes de asimetrías son de empleo incómodo; estudios importantes sobre
esta temática han sido realizados por BAYLEY et al. (1973 y 1981); CLUTTER et al.
(1983) y DHOTE (1987).
La distribución de WEIBULL, presentada por BAYLEY et al. (1973) de una gran
variabilidad de empleo; es hoy una de las distribuciones frecuentemente más utilizada,
siendo su forma general la siguiente:
c
baxc
eb
axbcy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=1
(7.3)
donde:
y = frecuencia;
x = observaciones (diámetros de los árboles en este caso);
a, b y c = parámetros, es decir; a: parámetro del origen (diámetro mínimo)
b: parámetro de escala o tamaño
c: parámetro de forma
Para valores de c ≤ 1, se tienen curvas continuament5te decrecientes.
Dasometría Capítulo VII
170
Para 1 < c < 3,6, se tienen curvas en campana disimétricas a la izquierda.
Para c = 3,6, se tiene una aproximación de la ley normal de GAUSS.
Para c > 3,6 se tiene una curva disimétrica en campana a la derecha.
Para confirmar lo anterior ver la figura 7.2. Los coeficientes a, b y c se pueden estimar
por aproximación sucesiva.
Figura 7.2: Diferentes formas de distribución diamétricas obtenidas pata distintos
valores de los parámetros b y c
(para todas estas curvas el parámetro de origen es a = 0)
7.2.2. Masas irregulares
Las distribuciones diamétricas de estas masas se pueden representar, cuando son
homogénea y estrictamente irregular, por una curva exponencial con la concavidad
“vuelta hacia arriba”.
Según PARDÉ y BOUCHON (1994) el primer estudio matemático por LIOCOURT en
1898. Plantean además que este tema ha sido especialmente bien explicado por
Dasometría Capítulo VII
171
SCHAEFFER, GAZIN y d´ALVERNY (1930), los cuales plantearon que “toda masa
estrictamente irregular en equilibrio, es decir en las que el ejercicio de la corta y de la
regeneración continua pueda mantener su composición constante, se dibuja por un
arco regular, de tal manera que el número de árboles decrece, de una clase a otra,
según una relación constante”.
Se trata de una progresión geométrica: sea el número de árboles en la clase diamétrica
mayor representado por dn; su número en la clase diamétrica inmediatamente anterior
dn-1 será igual a aq, en la clase siguiente dn-2 igual a aq2, aq3, etc, siendo q la razón de
la progresión geométrica considerada creciente.
SCHAEFFER, GAZIN y d´ALVERNY han imaginado cuatro tipos graduados de
abetales irregulares en equilibrio, cuyas progresiones varían de q = 1,30 (en suelos de
mejor calidad) a q = 1,50 (en suelos más pobres).
La figura 7.3 muestra una reproducción de estas dos curvas extremas de equilibrio.
Figura 7.3: Tipos de curva de equilibrio en monte alto estrictamente irregular
Dasometría Capítulo VII
172
SCHAEFFER, GAZIN y d´ALVERNY explican cómo definir la curva en cada caso
particular, para lo cual es preciso conocer:
• el punto de partida, es decir, la cantidad de latizales;
• la razón de la progresión geométrica;
• el punto final; y
• la densidad de la masa resultante.
El tema ha sido estudiado posteriormente con más precisión por MEYER (1957).
La ecuación que explica la progresión geométrica de los árboles de una masa irregular
en equilibrio es de la forma:
axkey −= (7.4)
donde: x = diámetros a 1,30 m (en abscisas);
y = número de árboles (en ordenadas);
e = base de los logaritmos neperianos (e = 2,718...); y
k y a = constantes que caracterizan cada distribución
7.3. Relación de espaciamiento y relación de esbeltez
7.3.1. Relación de espaciamiento
La relación de espaciamiento de HART-BECKING, es la relación , expresada en
porcentaje, del espaciamiento medio (a) de los árboles de una masa a la altura
dominante (H0) de la masa.
Dasometría Capítulo VII
173
Para el cálculo del espaciamiento medio (a), se supone que los árboles ocupan los
vértices de triángulos equiláteros, cada uno de los cuales tienen seis vecinos
equidistantes.
Si N representa el número de árboles por hectárea, la relación de espaciamiento,
designada internacionalmente por el símbolo (s%), se escribe:
( )( ) 3
000.20100.
.10000 NHmetrosenH
metrosenas == (7.5)
La relación de espaciamiento es también un criterio sintético, que tiene en cuenta a la
vez la calidad del sitio (indicada por la altura dominante) y la densidad de la masa
(representada por (RIOU-NIVERT, 1981).
En la práctica corriente no se calcula la relación de espaciamiento, pues según RIOU-
NIVERT (1984), tablas de dos entradas más o menos completas dan directamente el
valor, más o menos aproximado, en cada caso particular. También BOUCHON (1966)
planteó que los nomogramas permiten también el cálculo gráfico.
7.3.2. Relación de esbeltez
La relación de esbeltez, también denominada a veces "factor de estabilidad", se
expresa por:
dhf = (para un árbol) ó
DH (para una masa) (7.6)
donde:
h y d = altura total y diámetro a 1,30 m del árbol considerado;
H y D = la altura total y el diámetro del árbol de área basal media de la masa,
expresado siempre en la misma unidad.
Dasometría Capítulo VII
174
Ejemplo: H = 20 m ; D = 20 cm f = DH = 100
En árboles individuales, la relación dh no es sólo un coeficiente de forma, sino que
también informa la posición social de los árboles: los dominantes y coodominantes
tienen , tienen normalmente, una relación inferior a 100; y para la elección de los
árboles prometedores o de porvenir, se aconseja no conservar más que árboles que
tengan una relación de esbeltez inferior a 80.
En masa, se entiende que, cuanto más pequeña sea la relación de esbeltez del árbol
medio, más estable es la masa: un factor inferior a 80 caracteriza a masas resistentes
a posibles riesgos de derribos por fuertes vientos; un factor igual o superior a 100
significa masas muy frágiles desde este punto de vista; volviéndose prácticamente
imposible cualquier raleo.
7.4. Estructura espacial interna de las masas forestales
La distribución espacial de los árboles no es nunca absolutamente regular incluso en
plantaciones, debido principalmente a la mortalidad natural y a los raleos sucesivos.
Aquí vamos a estudiar sucesivamente cómo se puede caracterizar con más exactitud la
disposición espacial de los árboles, y cómo combinar esta disposición espacial con la
distribución de las dimensiones para construir
Índices de competencia fiables.
7.4.1. Distribución espacial de los árboles
Si se asimilan los árboles de una masa a simples puntos, se puede averiguar cómo se
reparten estos puntos sobre el plano. Para ello, se divide la parcela en cuadrados
elementales de igual superficie S (por ejemplo, S = 1, 2, ... ó 20 áreas). En cada
Dasometría Capítulo VII
175
cuadrado, se cuenta el número de árboles ni. La media N y la varianza W de la
población de las ni caracterizan la disposición de los árboles.
Según BOUCHON (1979) los modelos de distribución más utilizados son los siguientes:
a) distribución al azar (o distribución de POISSON) en la que la probabilidad de
encontrar n árboles en un cuadro está dada por: !
!neNP
nn
n
−
= (7.7)
En esta distribución, la media y la varianza de la población son iguales a N;
aumentan proporcionalmente a la superficie S de los cuadros.
b) distribución binomial negativa, que permite describir las distribuciones en
conglomerados: los grupos están repartidos al azar, pero el número de individuos
por grupo sigue una ley logarítmica. En esta distribución, la varianza es más grande
que la media.
c) Distribución uniforme para la que la probabilidad de encontrar n individuos en un
caso es igual a 1 si n = N, y a cero en caso contrario, en esta distribución la
varianza es nula.
Si la varianza observada W es próxima a la media N, se puede por un test χ2 ver si la
distribución es próxima a la distribución al azar; si W < N, se dirá que se tiene una
distribución regular, si W > N, se dirá que se tiene una distribución irregular.
7.4.2. Nuevos índices de densidad y competencia
La densidad de una masa se conoce, habitualmente, por el número de árboles por
hectárea; se estima instalando parcelas de superficie fija S y relacionando el número
Dasometría Capítulo VII
176
medio de los árboles encontrados a esta superficie S. Pero la palabra densidad puede
tener una connotación biológica próxima a un índice de competencia.
7.4.2.1. Estimación de la densidad por medio de distancias
Si desde un punto elegido al azar en una masa forestal se mide la distancia l1 al árbol
más próximo, se puede considerar que este árbol tiene una mitad en el interior de la
parcela de radio l1 y la otra mitad en el exterior. Se tiene, pues, 0,5 árbol en esta
parcela; de donde se obtiene una primera estimación de la densidad:
21
15,0
lN
π=
Si el segundo árbol más próximo está a la distancia l2, se tiene entonces 1,5 árboles en
una parcela de radios l2; por tanto:
22
25,1l
Nπ
=
Y de manera general, si el enésimo árbol está a la distancia ln, se tendrá:
2
5,0
nn l
nNπ−
= (7.8)
Si en lugar de un punto al azar tomado como centro de la parcela se toma un árbol al
azar, se tendrá esta vez 1,5 árboles, 2,5 árboles, ... n+0,5 árboles en cada parcela, de
donde se obtiene una nueva serie de estimadores de la densidad:
2
5,0
nn l
nMπ+
= (7.9)
DUPLAT y PERROTTE (1981) demostraron que los estimadores correctos debían ser;
2
1
nn l
nNπ−
= (7.10) y 2n
n lnMπ
= (7.11)
Dasometría Capítulo VII
177
Para que estos estimadores sean correctos es necesario que los árboles estén
distribuidos al azar; la mayoría de las veces este no es el caso y, además, se ignora el
modo de distribución espacial; entonces estos estimadores no son convenientes más
que si n es bastante grande, en la práctica al menos igual a 12; lo que elimina en parte
el interés de estos métodos porque es preciso entonces localizar el duodécimo árbol
más próximo del punto o del árbol central.
7.4.2.2. Factor de competencia de copas
Cuando los árboles crecen libremente, la mayor parte de ellos manifiestan una relación
lineal entre el diámetro de su copa DC y su diámetro d a 1,30 m: DC= a + bd.
En una masa, el desarrollo lateral de las copas está limitado por la competencia.
Si se consideran N árboles que ocupan una superficie de terreno S, se llamará factor
de competencia de copas, FCC (en inglés: Crown competition factor), la relación entre
la superficie que ocuparía árboles virtuales del mismo diámetro con crecimiento libre y
la superficie S del terreno:
( )24
100i
N
iibda
SFCC += ∑
=
π (7.12)
La competencia es tanto mayor cuanto más superior a 100 sea el factor F.C.C.; el
factor 100 corresponde aproximadamente al crecimiento libre.
7.5. Método de área fija
Para calcular los parámetros dasométricos medios de una masa forestal (ver capítulo
8) y con ellos evaluar la estructura de la misma, es necesario hacerlo a partir de
método de muestreo, que no es más que el abordaje de la población a partir de una
única unidad de muestreo. Este abordaje de la población puede hacerse a través de los
Dasometría Capítulo VII
178
métodos de área fija, de Bitterlich, de Strand, de Prodan, 3-P, entre otros. Aquí nos
ocuparemos sólo del método de parcelas de área fija.
7,5,1. Generalidades
En este método de muestreo la selección de los individuos se hace proporcional al área
de la unidad y, consecuentemente, a la frecuencia de los individuos que en ella
ocurren. Este es el más antiguo y conocido método de muestreo. Las variaciones de la
forma y tamaño de las unidades de muestreo constituyen las variables fundamentales
para la evaluación de su aplicación práctica.
La fijación de un área, para obtener las informaciones cuantitativas y cualitativas de los
individuos del bosque, continúa siendo el método preferido, incluso con el desarrollo
reciente de otros métodos alternativos. La no-exigencia de conocimientos
especializados para su implantación en el campo y el perfecto control de las
informaciones obtenidas parecen ser los mayores argumentos para su preferencia.
Tamaño y forma de las unidades de muestreo
La forma y el tamaño de las unidades de muestreo han sido decidido mucho más por lo
práctico y operativo de su localización y demarcación en el campo, que por cualquier
otra argumentación.
PEARCE (1935) afirma que no hay información acerca del mejor tamaño para las
unidades de muestreo, pero observa que las pequeñas proporcionan economía de
tiempo, mientras las mayores proporcionan reducción de mano de obra. Las unidades
de muestreo estrechas y alargadas, de manera general, son mejores que las
cuadradas, sin embargo, las cuadradas muchas veces se sobreponen a aquellas, y la
decisión sobre una u otra forma, depende del propósito de estudio.
Dasometría Capítulo VII
179
En varios estudios realizados en Europa, se constata la preferencia por las unidades de
muestreo circulares, naturalmente porque estas son pequeñas y pueden ser fácilmente
controladas, durante su instalación y medición en el campo. Incluso hasta hay una
opinión de que se use unidades variables, concéntricas, combinadas con las
variaciones de las clases diamétricas, resultando mayor economía en relación a la
selección de unidades de muestreo de tamaño único, SPURR (1971).
Debido a la gran variación de tipologías y especies que ocurren en los bosques
tropicales mixtos, las unidades rectangulares han sido preferidas. Unidades con hasta
250 m de longitud han permitido detectar la variación de especies, normalmente
presentes en comunidades o unidades gregarias, dentro de las diferentes tipologías.
En el abordaje de las unidades de muestreo, sobresale el problema de sus límites, o
bordes. Las unidades circulares ganan eficiencia, desde el punto de vista de la unidad
en si, porque entre todas las formas posibles, considerándose la misma área, las
circulares son las que poseen menor perímetro y, consecuentemente, minimizan el
problema de los árboles marginales, PRODAN (1965)
La literatura con respecto a forma y tamaño de las unidades de muestreo utilizadas
para fines de inventarios de bosques plantados (artificiales), es amplia, pudiéndose
destacar GOMES (1957), LOETSCH (1960), FAO (1963), CAMPOS (1970), SPURR
(1971), ZÖHRER & HALLER (1973), SILVA (1974), entre otros. En la opinión de estos
autores los tamaños de las unidades de muestreo varían entre 20 m2 y 1000 m2. Como
se puede observar, no hay una consistencia en la decisión sobre el tamaño de esas
unidades y queda, en la opinión de ellos, que este tamaño sea decidido a base de la
experiencia práctica y de una comparación entre precisión y costos.
Dasometría Capítulo VII
180
Desde el punto de vista analítico, el primer trabajo científico sobre tamaño de unidades
de muestreo se debe a SMITH (1938), que demostró existir una relación exponencial
negativa entre el tamaño de la unidad de muestreo y el cuadrado medio del error. Esta
relación, también conocida como indicador de "Máxima Curvatura", no permite
obtener un punto de referencia analítico para la selección del tamaño de la unidad.
Esta relación también es encontrada en la literatura, donde se relaciona el coeficiente
de variación con el tamaño de las unidades, en vez del cuadrado medio del error.
De acuerdo con LOETSH, ZÖHRER & HALLER (1973) la relación entre la varianza
tomada en dos tamaños diferentes de unidades de muestreo, donde el tamaño de la
segunda unidad es el doble de la primera, puede ser expresada como sigue:
( )ρσσ += 12 21
22 (7.13)
donde:
=21σ varianza de la unidad de tamaño 1
ρ = coeficiente de correlación entre los volúmenes de las unidades adyacentes;
=22σ varianza de la unidad de tamaño 2, o sea, para el doble del tamaño de la
unidad 1.
Se observa que, solamente cuando (ρ =1), o sea, cuando hubiera correlación absoluta
entre los volúmenes de las unidades con tamaño duplicado, en relación a las unidades
contiguas con mitad de área, se obtendrá el cuádruplo de la varianza y,
consecuentemente, el doble de la desviación estándar de los volúmenes muestreados.
En el inicio del experimento, cuando las unidades son pequeñas, la correlación entre
ellas es baja, dado que la variabilidad entre ellas ser más alta. A medida que crece el
Dasometría Capítulo VII
181
tamaño de las unidades, sus volúmenes se tornan gradualmente más homogéneos,
haciendo que el coeficiente de correlación tienda a 1.
Este incremento gradual de la correlación explica por qué el coeficiente de correlación
tiende a comportarse de forma exponencial negativa, con relación al aumente lineal de
la media del volumen, siendo asintótica en el límite donde la correlación alcanza valor
igual a 1.
Esta afirmación puede ser demostrada analíticamente como sigue:
Considere una población forestal con Área (A), que puede ser subdividida en (N)
unidades de tamaño (a), y en cada unidad (i) se obtenga su volumen de madera en pie.
Por tanto, i = 1,2,...,N, o sea:
Área A – es considerada de (N) unidades de tamaño (a), cuyos volúmenes son
representados por X1, X2, . . ., XN.
Si en la misma población las unidades de muestreo fueran duplicadas en tamaño, de
manera que su área sea igual a (2a), entonces el número de unidades en la población
será igual a (M = N/2) y el volumen por unidad variará de i = 1, 2, ... , M, o sea:
Área A – será constituida de M unidades de tamaño (2a), cuyos volúmenes serán
representados por Y1, Y2, ... , YM.
Para obtenerse la unidad de tamaño (2a), considere adicionalmente que Yi = X1i+ X2i,
donde (X1i ) corresponde al volumen de la unidad de tamaño (a) y (X2a) corresponde a
una unidad contigua del mismo tamaño.
La media de la unidad de tamaño (2a) puede ser obtenida por la expresión:
Dasometría Capítulo VII
182
2111
21
1
XXM
X
M
XY
M
i
M
ii
+=+=∑∑== (7.14)
La varianza también puede ser obtenida como sigue:
( ) MYYM
iiY /
2
1
2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= ∑
=
σ (7.15)
Substituyéndose ( )1Y y ( )Y por los respectivos valores de las unidades contiguas se
tiene:
( ) ( )[ ]2
112121
2 1 ∑=
+−+=M
iiY XXXXM
σ
( ) ( )[ ]2
112211
2 1 ∑=
−+−=M
iiY XXXXM
σ
Desarrollándose la suma de cuadrados se tiene:
( ) ( ) ( )( )[ ]∑=
−−+−+−=M
iiiiY XXXXXXXXM 11
22112
222
112 21σ
( ) ( )
( )( )[ ]∑∑∑
=
== −−+−
+−
=M
iii
M
ii
M
ii
Y XXXXMM
XX
M
XX
12211
1
222
1
211
2 2
Esto muestra que la varianza de la variable ( )Y es igual a dos veces la varianza
de las unidades con la mitad del área usada para obtenerse, más dos veces la
covarianza de las unidades contiguas, o sea:
( )( )[ ]∑=
−−+=M
iiiXY XXXX
M 12211
22 22σσ
Dasometría Capítulo VII
183
Como el coeficiente de correlación ( )ρ entre las unidades contiguas está dado
por:
( )( )2
221
111
X
i
M
ii XXXX
Mσ
ρ−−
=∑=
Y la covarianza dada por el producto de ( )ρ y ( )2Xσ , se tiene:
( )( ) ρσ 222
111
1Xi
M
ii XXXX
M=−−∑
=
La varianza de las unidades duplicadas ( )a2 resulta:
ρσσσ 222 22 XXY +=
O colocándose ( )22 Xσ , en evidencia,
( )ρσσ −= 12 22XY
Esto comprueba la afirmación hecha por LOETSCH y explica que la
heterogeneidad de los factores ambientales determinan el desarrollo de los árboles,
a medida que aumenta el área de referencia, incluyéndose ahí las variaciones de
suelo, de sitio y, por tanto, cuanto menor sea la unidad de muestra, menor será la
variación interna y mayor la variación entre las unidades.
De la afirmación anterior se desprende que, en unidades de pequeño tamaño el
coeficiente de correlación tiende a estar próximo a cero. A medida que aumenta el
tamaño de las unidades, la correlación tiende hacia la unidad, debido a la
homogeneización de los volúmenes.
Dasometría Capítulo VII
184
Así, el coeficiente de variación de unidades duplicadas en tamaño ( )2CV puede ser
obtenido, en función de (1), como sigue:
( ) ( )221
22
2 100*4
12X
CV x ρσ += ∴ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
21100*
2
1
22
ρσX
CV x
( )2
1*12ρ+
= CVCV ó ( )W
CVCV ρ+=
1*12 (7.16)
Como se puede observar, el coeficiente de variación ( )2CV de las unidades
duplicadas en tamaño depende del factor ( )2
1 ρ+ o ( )Wρ+1 donde ( )W puede ser
cualquier valor de aumento de tamaño de la unidad, y del coeficiente de correlación ( )ρ
. Esto comprueba analíticamente la disminución no lineal del coeficiente de variación
con el aumento del tamaño de las unidades de muestreo.
PELLICO NETTO (1968) propone el ajuste de la siguiente función, para relacionar el
coeficiente de variación con el tamaño de la unidad de muestreo:
bAaCV ⋅=
donde:
=A área de la unidad
=ba, Coeficientes de la función.
QUEIROZ (1977) aplicó tal función en el bosque tropical, variando el tamaño de las
unidades de muestreo de 400 m2 a 10.000 m2, como muestra el cuadro 3.1. El ajuste
de la función para la especie Manilkara huberi suministró los siguientes resultados,
según fue presentado por QUEIROZ (1977):
Dasometría Capítulo VII
185
CV = 33, 688571. A -0,05209995
ó
=%CV 3368,8571. A -0,352209995
donde:
=A área de la unidad en (m2)
Para obtenerse el coeficiente de variación directamente al cuadrado se tiene
( )2CV = 1134,9198. A -0,7041999
Tabla 7.1: Media, varianza y coeficiente de variación del volumen, para Manilkara
huberi, en función del área de la unidad.
TAMAÑO DE LA UNIDAD (m2)
VOLUMEN MEDIO (m3)
VARIANZA DEL VOLUMEN (m3)
COEF. DE VAR. DEL VIOLUMEN
(%) 400 0,230 1,038 442,97 800 0,420 1,849 325,76
1.200 0,720 4,113 281,67 1.600 0,910 4,805 240,88 2.000 1,150 6,625 223,81 2.400 1,400 8,877 212,82 2.800 1,670 11,140 199,86 3.200 1,870 12,723 190,74 3.600 2,110 14,665 181,49 4.000 2,370 18,725 182,58 4.400 2,690 25,202 186,62 4,800 3,000 30,167 183,08 5.200 3,400 32,626 167,99 5.600 3,680 35,792 162,57 6.000 4,010 38,589 154,91 6.400 4,170 39,248 150,23 6.800 4,450 44,962 150,68 7.200 4,820 48,460 144,42 7.600 5,200 55,862 143,73 8.000 5,490 59,825 140,88 8.400 5,710 62,133 138,05 8.800 5,880 65,892 138,05 9.200 6,020 71,500 140,46 9.600 6,320 75,183 137,20
10.000 6,530 78,881 136,01
Dasometría Capítulo VII
186
Tomándose apenas las unidades que representan la duplicación de la unidad anterior,
y calculándose los respectivos coeficientes de corrección entre unidades contiguas, se
obtiene la evidencia de la demostración anterior, como muestra el tabla 7.2.
Tabla 7.2: Relación entre unidades contiguas obtenida para la especie Manilkara
huberi.
Tam. Unidad (m2)
Volum. Medio(m3)
Varianza Vol. (m3)
Coef. Variación (%)
Coef. Correl. ( ρ )
400 0,230 1,038 442,97 800 0,420 1,849 323,76 0,000
1.600 0,910 4,805 240,88 0,299 3.200 1,870 12,723 190,74 0,424 6.400 4,170 39,248 150,24 0,542
FREESE (1962) propone otro indicador para comparar tamaños de unidades de
muestreo, incluyendo el componente costo, con importante participación en el contexto
de evaluación de la eficiencia de las unidades de muestreo de diferentes tamaños. En
esta propuesta se puede usar la combinación de los errores de muestreo o de los
coeficientes de variación con los respectivos costos de muestreo.
Si el objetivo fuera comparar varios tamaños simultáneamente, se puede calcular el
inverso de los productos de los cuadrados de los coeficientes de variación por los
respectivos costos, y compararlos entre si. El tamaño que presente el mayor valor entre
los inversos será el más eficiente.
( )2
1
XX CVTE = (7.17)
Si el objetivo fuera comparar dos tamaños cualquiera, la eficiencia relativa entre los dos
tamaños puede ser obtenida como sigue:
Dasometría Capítulo VII
187
( )( )
( )( )2
2
2
2
YY
XX
YY
XX
X
Y
CVTCVT
CVCCVC
UU
==
donde:
=YX CC , costos por unidad, tomados en los tamaños ( )X y ( )Y ;
=22, YX CVCV coeficientes de variación obtenidos para los tamaños
( )X y ( )Y ;
=YX TT , Tiempo de medición gastado en los tamaños ( )X y ( )Y .
Dada la dificultad en obtenerse los costos, o incluso mantenerlos actualizados, se
puede usar los tiempos de medición de los diferentes tamaños, con aproximadamente
los mismos resultados.
TELLO (1980) trabajó con unidades de muestreo circulares, cuadradas y rectangulares
y computó tales eficiencias. Los resultados de este trabajo están presentados en el
cuadro 3.3.
Se observa en este cuadro que, en todos los casos, la mayor eficiencia ocurrió con los
mayores tamaños, o sea 1.000 m2 .
A pesar de este método presentar la introducción de la variable costo o tiempo en el
análisis, el problema para definirse el tamaño de la unidad de muestreo a ser utilizada
en un área forestal cualquiera continúa incompleto o sin solución.
PELLICO NETTO (1979) consideró que el tamaño de la unidad de muestreo depende
de otros factores igualmente relevantes para su definición, o sean: el tamaño del área a
ser inventariada ( )Af , los tiempos de traslado ( )1T , o los tiempos de medición ( )2T , el
Dasometría Capítulo VII
188
número de horas a ser trabajada por día, las condiciones de acceso al área y dentro de
ella y las adversidades de penetración en el bosque.
Como se puede observar, todas estas variables, en mayor o menor intensidad, afectan
la decisión sobre el tamaño de la unidad de muestreo a ser utilizada. Por tanto,
propone la introducción del concepto de Eficiencia por Día de Trabajo – EDT, como
una tentativa de agrupar todas estas variables. Así, usándose la ley de la física que
permite calcular velocidad ( )v , obsérvese los tiempos efectivos por actividad ejecutada
en el campo, o sea:
tev = (7.18)
vet = (7.19)
donde: =e espacio trabajado y =t tiempo.
Componiéndose los tiempos para traslado entre unidades y para medirlas, se tiene:
( )
21
1
vAn
v
nn
Af
EDT dd
++
= (7.20)
donde:
Af = Área a ser inventariada;
n = Número de unidades a ser medido;
nd = Número de unidades medidas por día de trabajo;
A = Área de la unidad de muestra
v1 = Velocidad de traslado entre unidades;
v2 = velocidad de medición de las unidades.
Dasometría Capítulo VII
189
Tabla 7.3: Tiempos unitarios y totales, coeficientes de variación y eficiencia relativa (ER) para diferentes formas y
tamaños de unidades de muestreo.
Tema Tamaño No.
UnidadTiempos Unitarios
Tiempo Total CV ER Levantamiento Traslación Total
2m Prop. n Min. Prop. Min. Prop
. Min. Prop. Min. Variación % 21 CVTX
Circular
200 400 600 800 1.000
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
135 69 43 29 24
9,92 20,54 33,54 45,55 53,45
1,00 2,07 3,38 4,49 5,39
8,65 10,0111,1313,7014,20
1,00 1,16 1,29 1,58 1,64
18,57 30,55 44,67 59,25 67,65
1,00 1,65 2,41 3,19 3,64
2.506,95 2.107,95 1.920,81 1.721,73 1.623,60
- 399,00 586,14 758,22 883,35
51,8741,7830,6825,8619,37
0,3747 0,2789 0,3168 0,3283 0,4986
Cuadrada
200 400 600 800 1.000
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
120 62 46 32 23
16,50 28,21 43,95 58,19 67,55
1,66 2,84 4,43 5,87 6,81
8,99 10,8511,0313,1014,30
1,04 1,25 1,28 1,51 1,65
25,49 39,06 54,98 71,29 81,85
1,37 2,10 2,96 3,84 4,41
3.058,80 2.421,72 2.529,08 2.281,28 1.882,55
551,85 85,23 22,13 225,67 624,40
50,8839,1234,9829,3620,11
0,2341 0.2316 0,1860 0,1994 0,3661
Rectangular
200 400 600 800 1.000
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
166 62 42 30 21
15,50 27,61 42,95 53,59 68,85
1,56 2,78 4,33 5,40 6,94
8,32 10,8511,1613,2514,45
0,96 1,25 1,29 1,53 1,67
23,82 38,46 54,11 66,84 83,30
1,28 2,07 2,91 3,60 4,49
3.954,12 2.384,52 2.272,62 2.002,20 1.749,30
1.447,17 122,43 234,33 504,75 757,65
54,0637,6935,3426,6118,27
0,2208 0,2550 0,1864 0,2635 0,4351
Dasometría Capítulo VII
190
Si el objetivo es obtener la máxima eficiencia por día de trabajo en el campo, o sea
maximizar el trabajo a ser ejecutado en el mínimo tiempo, entonces, especificándose 8
horas efectivas por día,
esto es, se tiene:
( )
21
18
vAn
v
nn
Afd
d
++
= (7.21)
Despejándose ( )A se tiene:
( )2
1
1 18v
nv
nn
AfvA
d
d
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡+−
= (7.22)
Ejemplificándose, suponga que se desea planificar el muestreo para un bosque
plantado de 5.000 ha, donde serán muestreadas 150 unidades. Por la experiencia
práctica, se sabe que un equipo puede caminar a una velocidad de 5 km/h entre las
unidades y puede medirlas con eficiencia, a una velocidad de 2.000 m/h. Un equipo
bien entrenado puede medir 20 unidades por día. En estas condiciones ¿cuál debe ser
el tamaño de la unidad de muestreo para maximizar el trabajo en el mínimo tiempo total
de medición para las 5.000 ha?
( ) ( )
( )( ) 558000.220000.5
120150
000.000.50000.58=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡+−
=A 2m
o para tornar las condiciones más favorables 600=A 2m
Dasometría Capítulo VII
191
Si las condiciones de medición fueran adversas o haya un número mayor de
informaciones a ser tomado en la unidad, como medir las alturas de todos los árboles,
entonces se puede considerar que la velocidad de medición sea más lenta; supóngase
1.000 m/h y la efectividad del equipo reducida a 12 unidades por día de trabajo. En
estas condiciones, se obtiene el siguiente resultado:
( ) ( )
( )( ) 542000.112000.5
112150
000.000.50000.58=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡+−
=A 2m
Este resultado mantiene la misma condición anterior, o sea el tamaño de la unidad
puede ser aproximado para tomarlo más adecuado a la aplicación práctica.
Otras tentativas para obtenerse una solución analítica para el tamaño de unidades de
muestreo podrían ser investigadas, pero hasta el momento no se tiene alternativas
diferentes de las aquí presentadas.
Estimadores en las unidades y por hectárea.
Como la unidad de muestreo es un área de tamaño previamente especificado, los
estimadores son convertidos a hectárea, a través de un factor de proporcionalidad,
dado por:
aAF =
donde:
=A área en m2 de 1 hectárea;
=a área en m2 de la unidad de muestreo.
Dasometría Capítulo VII
192
Así, si la unidad de muestreo fuera tomada con 500 m2 , el factor de proporcionalidad
será:
20500
000.10==F
7.5.2. Número de árboles por hectárea
El número de árboles por hectárea ( )N será obtenido por el conteo del número de
árboles dentro de la unidad ( )m y multiplicado por el factor de proporcionalidad ( )F .
mFN = (7.23)
7.5.3. Área basal
El área basal ( )G es obtenida por la medición de todos los diámetros ( )dap de los
árboles que están dentro de la unidad de muestreo y convertidos en áreas transversales
( )ig , sumados para los ( )m árboles medidos y multiplicado por el factor de
proporcionalidad ( )F .
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=
m
igG11
F (7.24)
7.5.4. Volumen por hectárea
El volumen por hectárea ( )V está dado por la suma de los volúmenes individuales ( )iv ,
referentes a los ( )m árboles medidos en la unidad, y multiplicado por el factor de
proporcionalidad ( )F .
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=
m
iivV
1 F (3.15)
Dasometría Capítulo VII
193
Los volúmenes individuales ( )iv pueden ser obtenidos a través de una ecuación de
volumen apropiada, o por la fórmula tradicional de volumen de un árbol en pie.
7.5.5. Ventajas y desventajas del método de área fija.
Entre las ventajas del método de área fija se destacan:
a) La obtención de todos los estimadores directamente en la unidad de muestreo
medida, como área basal, distribución diamétrica, altura de los árboles
dominantes, volumen, crecimiento, mortalidad, etc.;
b) Practicidad y simplicidad en el establecimiento de las unidades de muestreo en el
campo;
c) Es el método más utilizado en inventarios forestales, principalmente cuando se
focaliza el aspecto del inventario continuo para los fines de manejo forestal;
d) Las unidades permanentes ofrecen, en las remediciones, la gran ventaja de
mantener alta correlación entre dos o más mediciones sucesivas. Esta valoración
se obtiene por el cálculo del coeficiente de correlación de PEARSON.
Como principales desventajas son las siguientes:
a) Mayor costo en la instalación y manutención de los límites de las unidades de
muestreo;
b) Generalmente se tiene un número alto de árboles a ser medido en las unidades
de muestreo en comparación con los demás métodos, dada la necesidad de
escoger un tamaño que permita mantener un número significativo de árboles en
la unidad permanente hasta la época de la rotación final.
Dasometría Capítulo VIII
194
CAPITULO 8: LOS ÁRBOLES MEDIOS DE LAS MASAS
Es práctico y muy útil para muchos cálculos representar una masa forestal por una o
varias de sus características medias: diámetro o circunferencia media, altura media,
área basimétrica por hectárea, volumen por hectárea etc. En este capítulo
estudiaremos, por tanto, las más importantes de ellas.
8.1. Diámetros medios de las masas
8.1. 1. Media Aritmética ( )d
Es utilizada para caracterizar la distribución de frecuencia, en investigación, en
control estadístico y para la obtención de los diámetros de HOHENADL.
∑∑=
i
ii
fdf
d (8.1)
donde:
if = frecuencia de la i-ésima clase de diámetro; y
=id valor central de la i-ésima clase de diámetro.
8.1. 2. Diámetro Modal ( )modd
Corresponde al valor central del diámetro de mayor frecuencia
8.1. 3. Diámetro de la Mediana ( )Md
Es el diámetro que divide el número total de árboles en dos partes, con el mismo
número de árboles, donde una mitad tiene diámetros menores y la otra mitad
diámetros mayores que la mediana.
Dasometría Capítulo VIII
195
8.1. 4. Diámetro Medio Cuadrático ( )gd
Es el diámetro correspondiente con el diámetro del árbol de área seccional media de
la población. A través de este diámetro se puede calcular el volumen del árbol medio
de la población y, por consiguiente, el volumen de la población forestal puede ser
calculado de diferentes maneras.
a) π
π gdg g4
42 ==
πgdg
4= (8.2)
donde:
=g área seccional del árbol medio
b) Se puede definir que el área seccional media ( )g es igual a:
Ng
NGg i∑== (8.3)
donde:
=G área basal
=N Número de árboles
En (a) ya fue definido que:
2
4 gdg π= (8.4)
Igualando las expresiones (8.3) y (8.4) se tiene:
Dasometría Capítulo VIII
196
2
4 gi d
Ng π
=∑
Nd
N
dd i
i
g∑∑
==2
2
2 44 ππ
Nd
d ig
∑=2
(8.5)
c) Otra alternativa del cálculo de gd es presentada seguidamente
Se sabe que el área basal (G) y la varianza de los diámetros de la parcela ( 2αS ) son
obtenidos respectivamente por:
2
4 idG ∑= π (8.6)
( )22222
2αα SdNd
NdNd
S ii +=∴−
= ∑∑ (8.7)
Substituyendo (8.7) en (8.6) se tiene:
( )22
4 απ SdNG +=
Cono:
NGg =
( )22
4 επ Sdg +=
( )222
44 dg Sdd +=ππ
Dasometría Capítulo VIII
197
22αSddg += (8.8)
De este modo se puede verificar que el gd siempre será superior a la media
aritmética de los diámetros.
Usándose el triangulo rectángulo se tiene:
gd
αS
d
Así, usando el teorema de Pitágoras, tendremos:
222 dSdg += α
El diámetro medio cuadrático está muy asociado al volumen del árbol medio y la
altura media cuadrática de la población.
Los valores de gd por las tres fórmulas presentadas anteriormente son los
siguientes:
* N
gfN
gNGg iii ∑∑ ===
πgdg
4=
* N
dd
n
ii
g
∑== 1
2
Dasometría Capítulo VIII
198
* 22αSddg +=
8.1. 5. Diámetro de HOHENADL ( +d y −d )
Corresponde a dos valores de diámetros +d y −d , a través de los cuales se puede
obtener la media aritmética de la altura e, también, el volumen del árbol medio de la
población.
αSdd +=+
αSdd −=−
Para la obtención de la altura media ( )h es necesario la existencia de una relación
hipsométrica – relación diámetro ( )d /altura ( )h -. Esta relación, por ejemplo, puede ser
expresada por la ecuación presentada abajo:
2
2
0466943,0170718,0690647,2ˆ
ii
ii dd
dH++
= (8.9)
Su representación gráfica es como aparece en la figura 8.1:
Figura 8.1: Representación gráfica de las alturas de HOHENADL
Asociado al diámetro ( )−d existirá una altura ( )−h y al ( )+d una altura ( )+h utilizando,
para esto, la ecuación (1) o la representación gráfica.
Dasometría Capítulo VIII
199
Usando la relación hipsométrica (1) obtenida para una parcela de Pinus caribaea var.
Caribaea, se tienen los valores de ( )−h y ( )+h correspondientes al ( )−d y ( )+d de
HOHENADL:
2
2
0466943,0170718,0690647,2ˆ
−−
−− ++=
dddH
2
2
0466943,0170718,0690647,2ˆ
++
++ ++=
dddH
Para la obtención del volumen medio, se necesita también la existencia de una
ecuación de volumen, cono por ejemplo:
iii HbDav 2ˆ += (8.10)
Así, el volumen del árbol medio ( )v es obtenido por la media de los dos volúmenes ( )−v
y ( )+v asociados a los diámetros de HOHENADL:
−−− += HbDav *ˆ 2
+++ += HbDav *ˆ 2
donde:
=v volumen estimado para el árbol individual
=a constante de regresión
=b coeficiente de regresión
Utilizando la ecuación de volumen generada para la población de Pinus caribaea var.
Caribaea se puede obtener el ( )−v y el ( )+v asociados, respectivamente, a ( )−d y ( )−h ;
( )+d y ( )+h .
Dasometría Capítulo VIII
200
Si no veamos:
23175898,195638711,1 ˆ**00001657,0ˆ HDv =
La media aritmética del −v y del +v propicia la obtención del volumen del árbol medio de
la población.
8.1. 6. Diámetro de Weisse ( Wd )
Corresponde al diámetro del árbol que está en la posición 60% del conjunto de
árboles distribuidos en orden creciente. También, a través de este diámetro, se
puede obtener el volumen del árbol medio de la población forestal.
8.1. 7. Diámetro de los árboles dominantes ( domd )
Corresponde al diámetro de los árboles dominantes de la población. A continuación
serán presentados una serie de conceptos para definir árboles dominantes:
- es la altura media de los 100 árboles más altos por hectárea (Hart);
- es la altura media de los 100 árboles más gruesos por hectárea (Assnan);
- es la altura media de los árboles con diámetros mayores que dSd 2+ (Naslund);
- es la altura media correspondiente a la media de los diámetros del 20% más
gruesos por hectárea (Weise); y
- es la altura media de los 30 árboles más gruesos por hectárea (Lewis).
8.1. 8. Diámetro de la mediana del área basal ( gMd )
Se determina de la misma manera cono se calcula el diámetro de la mediana ( )Md
Dasometría Capítulo VIII
201
8.1. 9. Media de los diámetros de los árboles cortados ( cd )
Corresponde a la media de los diámetros de aquellos árboles marcados para ser
cortados en el raleo o en la corta de entresaca o selectiva.
8.1.10. Media de los diámetros de los árboles remanentes ( Rd )
Es la media de los diámetros de los árboles que permanecen en pie después de un
raleo o una tala selectiva o por entresaca.
8.1.11. Diámetro del árbol de volumen medio
Es el árbol en que su volumen, multiplicado por el número de árboles de la masa,
conduce a su volumen global V.
V = N * vm
En una masa regular, el diámetro de este árbol es Apenas superior incluso, muy a
menudo, igual al del árbol de área basimétrica media.
8.1.12. Supuesto práctico
Para calcular los valores medios del diámetro de un rodal partiremos de los resultados
de la forcipulación total, los cuales aparecen en tabla 8.1
Dasometría Capítulo VIII
202
Tabla 8.1: Datos de la forcipulación total de una parcela
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
id in ian iidn id ′ iidn ′ 2id ′ 2
ii dn ′ ig ii gn **ii gn
2 2 2 4 -4 -8 16 32 0,00031 0,001 0,001
4 30 32 120 -3 -90 9 270 0,00126 0,038 0,039
6 204 236 1416 -2 -408 4 816 0,00283 0,576 0,615
8 313 549 2504 -1 -313 1 313 0,00502 1,573 2,188
10 339 888 3390 0 0 0 0 0,00785 2,662 4,850
12 297 1185 3564 +1 297 1 297 0,01131 3,359 8,209
14 171 1358 2394 +2 342 4 684 0,01539 2,632 10,841
16 83 1439 1328 +3 249 9 747 0,02010 1,669 12,510
18 45 1484 810 +4 180 16 720 0,02540 1,145 13,655
20 9 1493 180 +5 45 25 225 0,03140 0,283 13,938
22 1 1494 22 +6 6 36 36 0,03800 0,038 13,976
24 1 1495 24 +7 7 49 49 0,04520 0,045 14,021
Total 1495 307 189 4189 14,021
Solución:
a) Media aritmética ( )d
41,101495
15564=== ∑
Ndn
d ii
b) Diámetro de HOHENADL ( +d y −d )
sdd +=+ sdd −=−
33,341,10 +=+d 33,341,10 −=−d
74,13=+d cm. 08,7=−d cm.
Dasometría Capítulo VIII
203
222
2 *bcN
dns
ii
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
′= ∑
1495307
== ∑N
dnc ii
205,0=c
( ) 222 2*205,014954189
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=s ( ) 4*76,24*04,080,22 =−=s
33,32*76,2 ==s
* Estimación de −d
La estimación del número de árboles que su diámetro es igual o menor que −d es igual
a 16% de N, o sea, 16% de 1495 que son 239 árboles.
El árbol con −d es el árbol en la posición 239.
Según el cuadro de datos del ejemplo, hasta 6,9 cm. se tienen 236 árboles y hasta 8,9
cm. hay un total de 549 árboles y x cm. corresponden a 3 árboles.
Esa explicación se muestra a continuación:
8,9 cm. ------------------ 549 árboles
6,9 cm. ------------------ 236 árboles
2,0 cm. 313 árboles
236239 −=x 3=x árboles
3133
2=
x , por tanto 02,03136
==x cm.
xd +=− 9,6
02,09,6 +=−d
Dasometría Capítulo VIII
204
92,6=−d cm. (estimado)
08,7=−d cm. (valor correcto)
* Estimación de +d
La estimación del número de árboles que su diámetro es igual o mayor que +d es igual
a 84% de N, o sea, el 84% de 1495 son 1245,8 árboles. Por tanto el árbol con +d es el
árbol que se halla en la posición 1246.
Conforme indica el cuadro de datos del ejemplo, hasta el diámetro 12,9 cm. se tienen
1185 árboles y hasta 14,9 cm. hay un total de 1356 árboles; 2 cm. corresponden a 171
árboles e x cm. corresponden a 61 árboles. Seguidamente se muestra esa explicación:
14,9 cm. ------------------ 1356 árboles
12,9 cm. ------------------ 1185 árboles
2,0 cm. 171 árboles
11851256 −=x 71=x árboles
17171
2=
x por tanto 171142
=x cm.. Luego, 83,0=x cm.
xd +=+ 9,12
83,09,12 +=+d
73,13=+d cm. (estimado)
74,13=+d cm. (valor correcto)
* Estimación de d y s
Dasometría Capítulo VIII
205
33,102
92,674,132
=+
=+
= −+ ddd cm.
41,10=d cm. (valor correcto)
=−
=−
= −+
292,674,13
2dds 3,41 y el valor correcto de s es 3,33.
c) Mediana ( md )
La mediana ( md ) de los diámetros es calculada de la siguiente manera:
7482
114952
1=
+=
+N árboles
Esto significa que 747 árboles tienen diámetro menor que md y 747 tienen diámetro
mayor.
La mediana corresponde al diámetro del árbol que está en la posición 748 en la lista de
los árboles del cuadro.
Si se observa el cuadro hasta el diámetro 8,9 se tienen 549 árboles y hasta el diámetro
10,9 se tienen 888 árboles.
Luego entonces por interpolación se determina el diámetro correspondiente, con la
posición 748, de la siguiente manera:
xdm += 9,8
10,9 -----------------------888 árboles
8,9 -----------------------549 árboles
2,0 339 árboles
Por tanto: 199549748 =−=x árboles
Dasometría Capítulo VIII
206
2*339199
=x 17,1=x cm.
17,19,8 +=md
07,10=md cm.
d) Diámetro medio cuadrático ( )gd
1495021,14
== ∑N
gng ii
00938,0=g 2m
2
4 gdg π=
ggg π4
= = 00938,0*273239544,1
92,10=gd cm.
e) Diámetro de la mediana del área basal ( gMd )
El área basal (G) es 14,021 m2. La mitad del área basal es 7,0105 . Entonces hasta el
gMd la suma de las áreas transversales debe ser 7,0105 m2.
Hasta 10,9 cm. la suma es 4,850 y hasta 12,9 cm. la suma es 8,209; por tanto a 2,0 cm.
corresponden 3,359 m2 y a x corresponden 2,16 m2, según se muestra seguidamente:
12,9 -----------------------8,209 m2
10,9 -----------------------4,85 m2
2,0 3,359 m2
xg = 70011-4,850; xg = 2,161 m2
(x/2) = (xg/3,359); por tanto x = (2,161*2)/3,359. Luego, x = 1,29 cm.
donde:
Dasometría Capítulo VIII
207
xg = diferencia entre área basal correspondiente al diámetro de la mediana y el área
basal correspondiente al diámetro inmediatamente inferior al diámetro de la
mediana, en este caso 10,9 cm.;
x = fracción de diámetro correspondiente a la deferencia de área basal xg.
Por consiguiente:
gMd = 10,9 cm.+x cm. = 10,9 cm. + 1,29 cm. = 12,19 cm.
El diámetro de la mediana del área basal ( gMd ), debido a que es meno influenciado por
el raleo, tiene una ventaja sobre el diámetro medio aritmético ( )d y el diámetro medio
cuadrático ( )gd , ya que estos dos si son afectados.
f) Diámetro de Weise (dW)
Cono se dijo anteriormente este diámetro se encuentra en la posición que corresponde
al 60% del total de árboles de la población contado en orden creciente.
Luego, 60% de N es igual a 0,6 * 1495 = 897. Entonces:
Hasta 10,9 cm. ------------ hay 888 árboles
Hasta 12,9 cm. ------------ hay 1185 árboles
2,0 cm. ------------ hay 297 árboles
x = 897 –888 = 9 árboles
(x/2) = (9/297). Por tanto: x = (18/297) = 0,06
dW = 10,9 +x
dW =10,9 +0,06 = 10,96
Dasometría Capítulo VIII
208
El diámetro de Weisse puede sustituir aproximadamente al diámetro de la mediana del
área basal.
El árbol con diámetro dW es una aproximación muy buena del árbol con volumen medio
del rodal.
Si se hace una comparación de los diferentes diámetros medios de un rodal debe
cumplirse la siguiente ubicación de los mismos:
d- < dmod < dm < ( )d < dg < dW < dgm < d+
PRODAN (1965) en una plantación de píceas constató que:
- el diámetro del árbol de diámetro medio aritmético se sitúa en el 53% de los
árboles contados a partir del diámetro más pequeño;
- el diámetro del árbol de área basimétrica media se sitúa en el 58% de este límite
inferior, lo mismo que el diámetro de volumen medio;
- el diámetro del árbol de área basimétrica mediana se sitúa en el 70% del número
de los árboles contados desde el mismo origen.
8.2. Alturas medias y dominantes de las masas
8.2.1. Generalidades
Para caracterizar las condiciones promedio de un rodal es necesario la determinación
de las alturas medias del mismo. Estas representan, junto a la edad del rodal, los
valores de entradas para la clasificación de los sitio forestales, representando con esto
la clave para la utilización de las tablas de rendimientos.
La altura media del rodal (H), multiplicada por el área basal (G) en m2/ha y el factor de
forma (F) de la especie en cuestión, dan la existencia (V) del rodal, primero en m3/ha y
Dasometría Capítulo VIII
209
luego, multiplicado por la superficie del rodal se obtiene la existencia total del mismo en
m3.
V = G*H*F (8.11)
Estas alturas medias tienen una gran importancia en dasometría y para una masa
regular no mezclada, dependen ante todo de tres factores: la especie, la edad y la
calidad de sitio. Su uso es cada vez más amplio en la práctica forestal por lo que
conviene estudiarlas con más detalle.
De los árboles de una masa, escojamos una muestra representativa: por ejemplo,
seleccionamos un árbol de cada diez, entendiéndose que estos árboles estarán
repartidos en todas las clases diamétricas en proporción al número de árboles efectivos
en las mismas.
Midamos los diámetros normales exactos de los árboles de la muestra, y sus alturas
totales. Llevemos sobre papel milimetrado en abscisas los diámetros, en ordenadas las
alturas. Obtendremos un cierto número de puntos a los que en general es fácil ajustar
una curva llamada curva de las alturas de la masa, sobre la cual será fácil «leer» la
altura de cualquier árbol de la masa considerada, pero habrá que precisar cada vez su
definición exacta.
8.2.2. Curvas alturas – diámetros
En una masa estrictamente irregular, la curva de las alturas en función de los diámetros
presenta a menudo un punto de inflexión (ver figura 8.2). En esta figura se observa que
la curva de alturas no parte del origen de coordenadas, sino, aproximadamente, del
punto de coordenadas x = 0 e y = 1,30 m. Si la masa estrictamente irregular es normal,
Dasometría Capítulo VIII
210
en el sentido usado en selvicultura, la curva de las alturas permanece fija en el
transcurso de los años.
Figura 8.2: Curva de las alturas en una masa estrictamente irregular
La función matemática que la representa mejor, es una función generalmente
parabólica.
La curva de las alturas de una masa regular se representa también, más bien, por una
ecuación de una parábola de la forma:
H = a + bd +cd2 (8.12)
Siendo a, b y c constantes y d el diámetro con concavidad vuelta hacia abajo (figura
8.3).
Dasometría Capítulo VIII
211
Figura 8.3: Curva de alturas de una masa de ecuación 2cdbdaH ++=
El trazado gráfico es, además, la mayor parte del tiempo fácil. Se puede a menudo
simplificar utilizando según los casos coordenadas monologarítmicas (ECKERT, 1957)
o bilogarítmicas (JEFFERS, 1960): si por ejemplo, se llevan en abscisas los logaritmos
de los diámetros y en ordenadas los logaritmos de las alturas, y los papeles de
cuadricula especial permiten hacerlo sin ningún cálculo, la curva de las alturas se
convierte entonces con algunas raras excepciones en una recta.
Las curvas de alturas de masas regulares jóvenes sobre suelo fértil «suben» bajo un
gran «coeficiente angular». Por el contrario, a una masa vieja en calidad de sitio
mediocre le corresponderá una curvatura poco acentuada, aproximándose más a la
horizontal.
Dasometría Capítulo VIII
212
A diferencia de la curva de alturas de masas estrictamente irregulares, la
correspondiente a masas regulares no tiene tendencia a ser inmutable en el tiempo;
como ya se verá en el capítulo 97, se desplaza hacia lo alto a medida que la masa
envejece (Figura 8.4).
Figura 8.4: Tendencia de la variación de la altura con la edad en una masa regular
Dicho de otra manera, a medida que pasan los años, los árboles de un mismo diámetro
o de una misma clase diamétrica ven su altura media aumentar.
Rodos estos aspectos se explicarán con más detalle en el capítulo 9.
Dasometría Capítulo IX
213
CAPITULO 9: RELACIONES HIPSOMÉTRICAS.
9.1. Generalidades
Es la regresión de la altura sobre el diámetro en un rodal y en una determinada edad.
Ella caracteriza los rodales forestales de diferentes categorías.
Su uso es muy importante en inventario forestal ya que el diámetro es de fácil medición,
mientras que medir altura es una tarea bastante demorada. Por eso es usual medir
todos los diámetros y sólo parte de las alturas e inferir o estimar el resto de ellas. En
esta situación es necesario desarrollar primeramente la relación hipsométrica para el
lugar donde está siendo realizado el inventario forestal. La altura resultante de la curva
o de la ecuación h/d, representa un valor medio para cada clase diamétrica.
Es una opción de trabajo controvertido, pero de gran significado práctico a medida en
que es utilizada. Es un aspecto importante a ser considerado en el sistema de
recolección de informaciones, a medida en que, principalmente, en poblaciones con
árboles de gran porte, la altura es una variable difícil de ser mensurable, implicando un
mayor tiempo para su cuantificación, además de aumentar mucho el margen de error en
la colección de esta información.
Su conocimiento es importante para formar surtidos de madera.
Con respecto específicamente a la relación altura (h) – diámetro (d), es decir, la
relación hipsométrica, se puede considerar dos situaciones:
1. Rodales en sitios bien definidos, bien formados y manejados.
En esta situación se espera una correlación fuerte entre las dos variables, ya que
habrá mayor homogeneidad en la población considerada, conforme muestra la figura
9.1 abajo.
Dasometría Capítulo IX
214
Figura. 9.1: Correlación altura diámetro en sitios bien definido,
bien formados y bien manejados
Rodales más viejos o mal formados, o mal manejados, o en sitios no muy bien
definidos.
En este caso se espera una correlación débil entre el diámetro y la altura, ya que
habrá una mayor heterogeneidad en la población considerada, según se muestra en
la figura 9.2.
Figura. 9.2: Correlación altura diámetro en rodales viejos o mal formados, o mal
manejados, o en sitios no muy bien definidos
De esta manera, cuanto mayor es la uniformidad de la población, mayor será la
posibilidad de usarse la relación hipsométrica con éxito. Este camino es deseable
Dasometría Capítulo IX
215
desde el punto de vista operacional, ya que implica una gran reducción del trabajo
de campo. Para esto considere dos poblaciones conforme las representadas en las
figuras 9.3 y 9.4, cada una de ellas constituidas por parcelas de 420 m2 (Parcelas A)
y 520 m2 (Parcelas B) de 70 árboles respectivamente, de las cuales se miden las
parcelas A y B.
Figura 9.3: Población constituidas por parcelas de 420 m2
Considere que de la población representada en la figura 9.3 encima, se levantó, sólo
con fines ilustrativos, una parcela A de 420 m2 con 70 árboles. En este caso, para
todos los árboles de la parcela se va a medir el diámetro y la altura total.
Figura 9.3 A: Parcela A de 420 m2
Considere ahora en la figura 9.4 siguiente, también sólo para fines ilustrativos una
parcela B de 520 m2 con 70 árboles. Pero en este caso se mide, por ejemplo, el
Dasometría Capítulo IX
216
DAP y la altura total de los árboles de las dos primeras filas. Se ajusta a partir de los
mismos una relación hipsométrica, a partir de la cual, se estima la altura de los
demás árboles de la parcela, de los cuales se había medido solamente el diámetro.
Fig. 9.4: Población constituidas por parcelas de 520 m2
Figura 9.4 B: Parcela B de 520 m2
9.2. Características generales de las relaciones hipsométricas
En las curvas de las relaciones hipsométricas pueden presentarse según el caso las
siguientes características:
• la curva de altura es empinada para rodales jóvenes y en clase de sitios buenos;
sube suavemente en rodales viejos y sitios más pobres;
Dasometría Capítulo IX
217
• el carácter de la curva de altura cambia mientras que el rodal es más viejo; la
curva permanece irregular a medida que la edad aumenta;
• al cambio de la relación hipsométrica (h/d) se torna más pequeña encima de una
cierta edad, que es una característica de la especie y sitio donde el crecimiento
en altura es fuertemente reducido; y
• la curva de altura debe ser considerada como una curva general de crecimiento.
Debe ser distinguida de la curva de crecimiento vertical, que considera la edad .
9.3. Factores que influyen en la relación hipsométrica
Entre los factores que tienen influencias en el comportamiento de la curva que
caracteriza la relación hipsométrica están: la edad, la calidad de sitio, la densidad
del rodal, la longitud de la copa de los árboles y la posición sociológica.
9.3.1. La edad del rodal
La edad afecta la relación hipsométrica y por tanto en inventarios sucesivos no se
debe utilizar la misma relación, pero si, rehacerla a partir de nuevos datos.
En rodales que crecen muy rápidamente, tal vez este hecho se dé anualmente en la
fase joven, ya que ahí es verificado el mayor incremento corriente anual en altura.
Ya en la fase adulta el crecimiento en altura es más suave y por tanto no hay
necesidad de rehacerse anualmente las curvas hipsométricas.
Dasometría Capítulo IX
218
En la figura 9.5 (A, B y C) se ilustra el comportamiento de la curva altura (h) –
diámetro (d) para varias fases de desarrollo de la población forestal.
Figura 9.5: Relación altura (h) – diámetro (d) para diferentes fases de desarrollo de
los rodales
Como la curva altura (h) – diámetro (d) cambia muy rápidamente en las edades más
jóvenes es necesario tomar cuidado para no utilizar relaciones hipsométricas fuera
del espectro real de datos.
9.3.2. La calidad de sitio del rodal
Las mismas consideraciones hechas para la edad son válidas para la calidad de
sitio, o sea, en lugares más productivos la inclinación de la curva altura – diámetro
es más acentuada que en lugares menos productivos, conforme se puede observar
en la figura 9.6.
Dasometría Capítulo IX
219
Figura 9.6: Relación altura (h) – diámetro (d) en diferentes calidades de sitios
9.3.3. Influencia de la densidad en la relación hipsométrica
Este es otro punto que influye en la relación hipsométrica. Esta influencia va a ser
mayor o menor dependiendo del estrato del bosque al cual pertenece el árbol. En
los árboles dominantes la altura es poco afectada por el espaciamiento, o sea por
los tratamientos silviculturales (raleos principalmente), ya en los dominados la
influencia en el desarrollo de la altura es bastante acentuada. Ya con relación a la
variable diámetro, en cualquier estrato, este es bastante afectado por la densidad de
árboles. Así, cuando la densidad de árboles es alta la razón h/d es mayor, que
cuando la concurrencia de árboles es más moderada, según se muestra en la figura
9.7 siguiente.
Como se observa en la figura, la razón altura diámetro se estabiliza a partir de la
estabilización del diámetro. Se debe observar que la relación hipsométrica puede
variar con el espaciamiento y que por tanto este es un indicador que debe ser
observado.
Dasometría Capítulo IX
220
Figura 9.7: Influencia de la densidad en la relación h/d
9.3.4. Influencia de la longitud de la copa de los árboles en la relación
hipsométrica
Esta es otra variable que influye la relación hipsométrica. Árboles con copas bajas y
grandes la razón h/d será menor, y los de copas altas y pequeñas, tendrán la razón
h/d mayor.
9.3.5. Influencia de la posición sociológica en la relación hipsométrica
Esta variable también afecta a la relación hipsométrica. Para árboles dominantes, la
razón h/d es menor que para árboles dominados, según se muestra en la figura 9.8.
Dasometría Capítulo IX
221
Figura 9.8: Influencia de la posición sociológica de los árboles en la relación h/d
9.4. Relación hipsométrica en bosque natural
En un bosque de composición variada en especie y edad, para una misma especie, no
se encuentra una buena correlación hipsométrica, pues los árboles crecen primero en
altura y sólo después de alcanzar el dosel superior es que comienzan a crecer en
diámetro.
En bosques de composición variada en especie y edad donde se mide las alturas
comerciales no se ha desarrollado este tipo de relación pues la correlación de la altura
comercial y del DAP es muy baja, a medida en que son consideradas innúmeras
especies, o sea, para el mismo DAP se puede obtener las más variadas alturas
comerciales, o viceversa.
9.5. Construcción de curvas
Las curvas de la relación hipsométrica se pueden construir por método gráfico y por
método analítico. Aquí sólo se dan algunas cuestiones elementales desde el punto de
vista teórico y en los ejercicios prácticos se podrá profundizar más en detalle.
Dasometría Capítulo IX
222
9.5.1. Construcción de curvas h/d por método gráfico
Consiste en tomar medidas de altura y diámetro en un rodal y colocar esos valores en
un sistema de coordenadas cartesianas.
El gráfico de la relación h/d es ajustado manualmente de tal manera que la curva
represente el valor medio de los datos. La curva deberá estar bien balanceada para que
las desviaciones encima del gráfico (+) y debajo del mismo (-) sean aproximadamente
iguales.
La precisión de la curva es evaluada por la diferencia agregada (D.A) a través de la
fórmula:
100*.0
0
∑∑ ∑−=
vvv
AD e
Donde:
V0 = volumen observado
Ve = volumen estimado sobre la curva trazada
Si la diferencia agregada fuera menor que 1% la curva es buena, caso contrario
devberá ser reajustada. Siendo la diferencia agregada menor que 1% deben ser
averiguado dos factores:
• el mal posicionamiento o trazado de la curva; y
• utilización de pocos datos.
Para evaluar el error de estimación se usa la siguiente fórmula:
( )2
20
−−
=n
vvS exy
Dasometría Capítulo IX
223
Donde:
Sxy = desviación típica o desviación estándar de las observaciones; y
n = número de observaciones.
9.5.2. Construcción de curvas h/d por método analítico
Este método se basa en el principio de los mínimos cuadrados. Existen muchos
modelos matemáticos para la construcción de curvas que dan la altura en función del
diámetro, tales como:
• modelo matemático parabólico:
2210 dbdbbh ++=
• modelos semilogarítmicos y logarítmicos:
dbbh loglog 10 +=
dbbh log10 +=
dbbh 1log 10 +=
dIb
Ib
dbbh 111log 3210 +++=
Para ambos métodos es necesario recoger datos de altura y diámetro de un cierto
número de árboles en el campo.
Normalmente no son necesarios muchos árboles para ajustarse una relación
hipsométrica. La literatura recomienda que alrededor de 50 árboles son suficientes para
rodales homogéneos, siempre que cubra toda la variación de los diámetros existente en
el rodal.
Dasometría Capítulo X
224
CAPITULO 10: RELASCOPÍA (MÉTODO DE BITTERLICH)
10.1. Introducción
Los estudios de la relascopía tuvieron inicio con el Ingeniero Forestal austríaco Dr.
Walter BITTERLICH en 1947 y fue introducido en Cuba en la década del 70. Este
método tiene gran utilidad de uso en los inventarios de bosques plantados por la
innovación que representa en relación con el método convencional de área fija.
El método es conocido con las denominaciones de punto de muestreo, ángulo de
conteo cruzado, punto de muestreo horizontal, prueba de numeración angular y
muestreo de conteo angular.
El Muestreo de Conteo Angular (MCA), se basa en el postulado de BITTERLICH que
afirma lo siguiente:
“el número n de árboles de un rodal, cuyos DAP(s) observado desde un punto fijo
aparecen superior a un valor angular dado (α) constante, es proporcional a su área
basal en m2 por hectárea”.
El método consiste en contar los árboles, en un giro de 360º, cuyos diámetros a la
altura del pecho (DAP) son iguales o mayores que la abertura angular equivalente a ( 2
sen2θ ), donde ( )θ es un ángulo fijo, cuyo vértice es el punto central de la unidad de
muestreo. La selección de los árboles es, por tanto, efectuada con probabilidad
proporcional al área basal, o al cuadrado del diámetro y la frecuencia.
El método de BITTERLICH ha sido recomendado debido a su funcionalidad práctica,
relativa al gasto de tiempo en el muestreo y porque los árboles son muestreados con
probabilidad proporcional a la frecuencia (BREES & MILLER, 1964).
Los c
GROS
(1965
Una p
BITTE
por la
const
tange
altura
10.1:
conceptos y
SENBAUCH
5), OHTOM
presentació
ERLICH pu
a distancia
tante ( )K ,
entes a la c
a del pecho
Figura 10.
y derivacion
H (1958), H
O (1967), A
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225
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Muestreo
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un punto d
Capítulo X
es como
KULOW
árbol
son
tro a la
ura
e
Dasometría Capítulo X
226
De la figura 10.1 se obtiene las siguientes relaciones:
101 XXR = ; 202 XXR = ; 303 XXR =
=2θSen
i
i
R
d
R
d
R
d
R
d2...222
3
3
2
2
1
1
====
Sen2θ =
i
i
Rd
Rd
Rd
Rd
2...
222 3
3
2
2
1
1 ====
2 Sen2θ = K
Rd
Rd
Rd
Rd
i
i ===== ...3
3
2
2
1
1 (10.1)
Como se observa, cuando el ángulo ( )θ está definido, el factor ( )K queda también
automáticamente especificado, permitiendo la elaboración de una tabla práctica que
puede ser usada, en caso que no haya un relascopio disponible, u otro instrumento
capaz de permitir el conteo de árboles incluidos en el punto de muestreo.
Despejándose el radio ( )iR en la expresión (10.1) se tiene:
2i
idR = (10.2)
A través de la relación (10.2) se puede saber si un árbol está o no en el punto de
muestreo, para esto basta medir el diámetro ( )id del árbol y la distancia ( )iR de este al
centro del punto de muestreo. Los árboles que tienen la distancia ( )iR igual o mayor
que la razón ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Kdi , estarán incluidos en el punto; y aquellos árboles que no excedan
esa distancia estarán fuera del punto de muestreo.
Dasometría Capítulo X
227
10.2. Unidad de Muestreo
Para efectuar la unidad de muestreo se procede haciendo un giro de 360º a partir de un
punto de referencia, comparando el (DAP) de cada árbol con el ángulo ( )θ y
decidiendo, de acuerdo con el principio anteriormente presentado, cuales árboles están
incluidos en el muestreo de este punto.
Se observa que los árboles marginales, o sea, aquellos que sean tangentes al campo
visual del ángulo, son contados como medios árboles e, como consecuencia, todas las
medidas serán divididas por dos, como el área basal transversal ( )ig y el volumen ( )iv .
10.2.1. El conteo angular
Con este método las parcelas o unidades de muestreo tienen tamaño variable
dependiendo del diámetro de los árboles. Por tanto, no es necesario determinar los
límites de la parcela. Simplemente basta localizar el centro de la parcela.
El operador se coloca en el centro de la parcela y, en un giro de 360° sobre este punto,
cuenta los árboles que tienen diámetro mayor que el ángulo crítico de su instrumento.
El único cálculo necesario para llegar al área basal en metros cuadrados por hectárea
es la multiplicación de los árboles contados por la constante K denominada Factor de
Área Basal (FAB) del instrumente. El área basal debe ser medida a la altura de 1,30
metro del suelo o a la altura del pecho.
10.2.2. Relascopio de espejo de BITTERLICH
BITTERLICH incorporó varios ángulos (o Factores de Área Basal) en un instrumento.
Los ángulos son establecido por fajas de diferentes anchos, que son vistas proyectadas
en los árboles. Un árbol es contado cuando su diámetro aparece más ancho que la
faja (o Factor de Área Basal) seleccionada (ver figura 10.2).
Dasometría Capítulo X
228
Figura 10.2: Conteo de árboles con el relascopio
Al focalizar árboles limítrofes (son los contados como 0,5), es importante que el ojo del
operador esté exactamente sobre el centro de la parcela.
De este modo, para realizar un Muestreo de Conteo Angular (MCA), basta hacer un giro
de horizonte en el sentido antihorario, alrededor de un punto fijo, donde se sitúa el
operador, visualizar y contar todos los diámetros de los árboles, clasificados según el
ángulo crítico de la siguiente forma:
• Árboles con diámetros mayor que el ángulo alfa son contados y reciben el valor 1
Dasometría Capítulo X
229
• Árboles con diámetros menor que el ángulo alfa, no se cuentan y reciben el valor
cero
• Árboles con diámetros igual al ángulo alfa, es contado y recibe el valor 0,5
Los árboles límites deben tener sus distancias horizontales controladas.
En el caso de que un árbol no pueda ser visualizado por encontrarse detrás de otro, se
debe medir el diámetro del mismo con la forcípula y después colocar la forcípula con la
abertura igual al diámetro medido al lado del árbol, siendo entonces definida la inclusión
o no de este por la visual hacia la abertura de la forcípula.
Durante la ejecución del MCA, ocurren frecuente situaciones en que el operador queda
indeciso sobre el conteo o exclusión de determinado árbol, que parece tener un
diámetro igual al ancho del ángulo crítico. En este caso se mide el diámetro del árbol
con la forcípula y la distancia radial con la cinta métrica. La distancia radial calculada u
óptica debe ser mayor que la distancia horizontal medida con la cinta para que el árbol
sea incluido en el muestreo de conteo angular o dicho con otras palabras que el
diámetro crítico calculado debe ser menor que el medido.
Dasometría Capítulo X
230
10.3. Determinación y estimación del área basal
El área basal ( )G se obtiene por la sumatoria de las áreas de las secciones
transversales de los árboles, o sea:
∑=
=n
iigG
1= ∑
=
n
iid
1
21650000785398,0 (10.3)
• si los diámetros son utilizados en cm
∑=
==n
ii
ii ddg
1
22
1650000785398,040000π
• si los diámetros son utilizados en m
∑=
==n
ii
ii ddg
1
22
1650000785398,04
π
• si en lugar del diámetro se utiliza la circunferencia en cm
22
1650000785398,040000
CCgi ==π
• Si las circunferencias son usadas en m
22
1650000785398,04
CCgi ==π
10.3.1. Importancia del área basal
a) el área basal es fundamental en los modelos de densidades y producción, o sea,
( )SNóGIfhaV ,..,/ = ;
donde:
I = incremento;
Dasometría Capítulo X
231
G = área basal;
N = número de árboles; y
A = superficie
b) es fundamental en los estudios de densidades, es decir, grado de utilización de un
sitio;
c) es importante en el cálculo del volumen por hectárea dando ideas de la existencia
de madera en el rodal
10.3.2. Concepto de factor de área basal (FAB)
El factor de área basal (FAB) es definido como el área basal en metros cuadrados por
hectárea, contada para cada árbol incluido en un punto de muestreo. Más
específicamente, el (FAB) es la conversión del número de árboles incluidos en el punto
de muestreo a un valor en área basal por hectárea. Si el (FAB) fuera igual a 1, cada
árbol incluido en el punto de muestreo equivale a 1 m2/ha. Si el (FAB) fuera igual a 3,
cada árbol contado equivale a 3 m2/ha.
Resumiendo lo anterior, podemos decir que el factor de área basal (FAB) es la
constante por la cual deben ser multiplicado los árboles contados para obtener el área
basal por hectárea.
La magnitud del factor de área basal depende del ángulo crítico del instrumento; el
factor de área basal aumenta con el aumento del ángulo crítico, como será explicado
más adelante.
El radio imaginario de la parcela, o alcance de un factor particular de área basal
(ángulo) depende de los diámetros de los árboles presentes en el rodal. Cuanto mayor
Dasometría Capítulo X
232
es el diámetro de un árbol, mayor puede ser su distancia del centro de la parcela para
que él aun sea contado, esto es, incluido en la muestra.
Por tanto, cada una de las clases de diámetros en el rodal forestal tiene su proprio radio
imaginario de parcela, y es por eso que una parcela de conteo angular consiste en
varias parcela concéntricas y puede ser llamado de parcela variable (figura 10.3)
Figura 10.3: Árboles contados como 21 en la línea limítrofe de las parcelas
imaginarias concéntricas relativas a sus diámetros
Esto resulta de la siguiente relación de proporcionalidad:
i
i
sSdFAB .
4
2μ=
donde:
=S área de 1 hectárea, en m2;
=)is área de una unidad de muestreo, en m2, que incluye un árbol de
Dasometría Capítulo X
233
diámetro ( )id . Por tanto,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 2
2 000.104 i
i
RdFAB
μμ (10.4)
2
500.2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
i
i
RdFAB (10.5)
Substituyéndose (10.1) en (10.5) se tiene:
500.2=FAB 2K (10.6)
Si el campo visual del ángulo está definido, es posible calcular ( )K y,
consecuentemente, el (FAB) será obtenido para aquel ángulo particular.
Si 1=θ º 08' 45" ⇒ FAB = 1
Generalizándose tal concepto para diferentes factores o campos angulares, se pueden
elaborar tablas despejándose ( )iR en la expresión (10.5)
i
i
RdFAB ⋅= 500.2
FAB
dR ii
50= (10.7)
Adicionalmente, para valores crecientes de ( )θ se tiene:
1=θ º 37' 15" ⇒ FAB = 2
1=θ º 59' 06" ⇒ FAB = 3
2=θ º 17' 32" ⇒ FAB = 4
Frente a lo expuesto, se concluye que un estimador del área basal en este método será
fácilmente obtenido como sigue:
Dasometría Capítulo X
234
( )FABmG *ˆ = (10.8)
donde:
=m número de árboles incluidos (contados) en el punto de muestreo
Como puede ser observado, si fuera usado, entonces el número de árboles contados en
el punto de muestreo suministrará directamente el estimador de área basal en m2/ha. Si
( )2=FAB , el área basal será dada por el número de árboles contados multiplicado por
( )2 , y así en adelante.
10.3.3. Determinación práctica del área basal
Volviendo a lo que ya se dijo al principio del capítulo, la muestra de conteo angular
resulta de la determinación del número de árboles por hectárea (N) de un rodal, cuyo
diámetro a partir de un punto fijo, aparece superior un dado valor angular constante.
Estos valores constituyen la medida básica para determinar el área basal relativa en
m2/ha.
La distancia (R) del observador al centro del objeto árbol, corresponde a la distancia
crítica del factor K considerado y el ancho del objeto es d.
La circunferencia que contiene los árboles contados es denominada círculo crítico de
banda X.
El área basal relativa expresada en m2/ha es denominada de la siguiente manera:
NKG *=
Dasometría Capítulo X
235
Ejemplo:
Un árbol límite que tiene diámetro igual a 40,0 cm y la distancia medida del observador
al centro al centro del árbol de 9,86 m. La banda del relascopio es 4 y el ángulo crítico
es 1:25, o sea:
DAP = 40,0 cm
Banda = 4
Ángulo crítico = 1:25
Distancia de control = 9,86 m
De la fórmula 10.1 se tiene que la distancia crítica es:
251
=Rd ∴ 25*4025* == dR
1000=R cm = 10 m
Este árbol debe ser incluido en el MCA pues la distancia desde el centro del mismo
hasta el observador es mayor que la distancia de control.
A través de la misma relación ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Rd es posible calcular cuál es el diámetro que
corresponde al ángulo visual de la banda en cuestión a una distancia igual a la
distancia medida en el terreno.
251
86,9251
=∴=d
Rd
44,39=d cm
El diámetro que corresponde al ángulo a una distancia de 9,86 m es menor que el
diámetro del árbol.
Dasometría Capítulo X
236
Siempre que a los ojos del observador un árbol se presente como árbol límite, el mismo
puede estar bajo las siguientes situaciones:
1. Árbol con el diámetro ligeramente superior al ancho de la banda del relascopio de
BITTERLICH.
En este caso al determinar la distancia óptica se obtiene un valor mayor que la
distancia de control, por tanto debe ser contado.
El ejemplo anterior retrata esta situación. Se verificó que el ancho de la banda
correspondiente a esta distancia de control (986 cm) es 39,44 cm, op sea, el
diámetro del árbol es mayor que el ancho de la banda determinando así el conteo
del mismo en muestreo de conteo angula de BITTERLICH.
2. Árbol con diámetro ligeramente inferior al ancho de la banda del relascopio de
BITTERLICH.
En esta situación, al determinar la distancia óptica se obtiene un valor menor que la
distancia de control, pues de manera inversa a lo anterior el diámetro del árbol será
menor que el ancho de la banda.
Ejemplo:
DAP = 39,0 cm
Banda del relascopio = 4
Ángulo crítico 1:25
Distancia de control = 986 cm
Distancia óptica = 39,0 * 25 = 975 cm
3. Árbol con diámetro igual al ancho de la banda del relascopio.
Dasometría Capítulo X
237
En este caso se tendría la distancia óptica igual a la distancia de control, luego el
diámetro del árbol será igual al diámetro al diámetro crítico y por tanto, según el
postulado de BITTERLICH, el árbol no se cuenta.
10.4. Estimación del número de árboles por hectárea
Usándose la expresión (10.4) se tiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 2
2 000.104 i
i
RdFAB
μμ
Obsérvese que la segunda parte de la expresión es el número de árboles por hectárea
que cada árbol muestreado representa, o sea:
igFAB = iN (10.9)
donde:
=ig área transversal del i-ésimo árbol en el punto de muestra;
Despejándose ( iN ) se tiene
i
i gFABN = (10.10)
si estos cálculos fueran sumados para todos los árboles incluidos en el punto de
muestreo, se encuentra el estimador del número de árboles por hectárea en aquel
punto, o sea:
∑∑==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
m
i i
m
ii g
FABNhaN11
1 (10.11)
Es decir, la determinación relascópica del número de árboles por hectárea se puede
resumir diciendo, que por el principio del muestreo de conteo angular resulta que cada
Dasometría Capítulo X
238
árbol contado representa una cantidad de área basal en m2 por hectárea,
correspondiente al factor K de numeración utilizado.
En el caso de que sólo sea contado 1 árbol de área seccional (g) con factor K, el área
basal estará dada Por:
GK =*1 ham2
El valor G representa el área basal de los árboles en una hectárea y, por tanto, equivale
a la suma de todas las áreas seccionales de los árboles en esta unidad de área,
existiendo, por tanto una relación entre el área basal (g) del árbol contado y el factor de
área basal (K), o sea:
iii g
FABgKn ==
Considerando que en un punto de muestreo de conteo angular serán contados n, el
número (N) de árboles por hectárea será:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nggggKhaN 1...111
321
;
y para más de un punto de muestreo de conteo angular se obtiene el estimador del
número de árboles por:
∑∑= =
=n
j
m
i ijgnKhaN
1 1
1
donde:
=n número de puntos o parcelas de muestreo de conteo angular (MCA);
=K factor de área basal;
Dasometría Capítulo X
239
=m número de árboles contados en el MCA i; y
=ijg área de sección transversal del árbol i en el MCA j.
Suponiendo como ejemplo que en un MCA realizado con la banda 4, fuesen contados 2
árboles de 40 cm de DAP el número de árboles por hectárea sería:
1256,01
1256,01
14
1
2
1+= ∑∑
= =
n
j ihaN
68,631256,01
1256,014 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛++=haN
64≅haN haárboles
10.5. Estimación del volumen por hectárea
Teniéndose una función volumétrica para el rodal en estudio, se puede obtener el
volumen ( )iv para cada árbol incluido en el punto de muestreo. Multiplicándose el
volumen de cada árbol por el respectivo número de árboles por hectárea, se tiene el
convertidor del volumen por hectárea, correspondiente a cada árbol muestreado.
iiii
i vNvg
FABV ⋅=⋅= (10.12)
El volumen por hectárea será obtenido, sumándose los estimadores individuales para
los ( )m árboles incluidos en el punto de muestreo.
∑∑==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
m
i i
im
ii g
vFABVhaV11
(10.13)
Adicionalmente, se puede obtener el volumen individual de cada árbol a través de la
fórmula clásica de volumetría, como sigue:
Dasometría Capítulo X
240
iii
i fhdv ⋅⋅=4
2μ (10.14)
donde:
( )hdffi ,=
En este caso será necesario conocer el factor de forma ( )if lo que torna esta situación
más trabajosa.
Usándose la expresión (10.12) donde los volúmenes se convierten en estimaciones por
hectárea se tiene:
ii
i vg
FABV ⋅= (10.15)
substituyéndose (10.14) en (10.15) se tiene
iiii
i fhgg
FABV ⋅⋅⋅=
Si fuera utilizado el factor ( )1=FAB entonces
iii fhV ⋅= (10.16)
En estas condiciones, el volumen corregido por hectárea puede ser obtenido a penas
por el producto de las alturas por los respectivos factores de forma de cada árbol
muestreado, como sigue:
i
m
ii
m
ii fhFABVhaV ⋅== ∑∑
== 11 (10.17)
Dasometría Capítulo X
241
10.6. Determinación de la distancia horizontal
Constituye una ventaja del relascopio, pues ella es automáticamente corregida para la
proyección horizontal plana.
Esta distancia puede ser determinada con base horizontal o con base vertical.
10.6.1. Distancia con base horizontal
En la determinación de la distancia con el auxilio de una base horizontal se usa
exclusivamente la banda 4. El procedimiento de medición de las distancias está también
basado en la relación entre el ancho del objeto (d) y la distancia radial (R).
Al verificar que la banda 4 sobre todo el ancho de la base utilizada, la distancia al objeto
corresponderá a 25 veces el ancho de esta base.
Como base horizontal se usa generalmente la forcípula o cualquier escala semejante
cuya abertura considerada pueda ser fácilmente leída y multiplicada por 25 según
muestra la figura 10.4.
Figura 10.4: Empleo de la forcípula como base horizontal en la determinación de la
distancia horizontal (BITTERLICH & Silva, s.f)
Dasometría Capítulo X
242
La precisión de las lecturas no deberá exceder la cifra de los centímetros.
10.6.2. Distancia con base vertical
Para este fin fue construida una base de 2 m de longitud que será fijada verticalmente al
tronco del árbol a través de dos pasadores.
A falta de esta base se puede usar una vara de bambú o incluso una cinta métrica.
Solamente es necesario que esta base, además de la longitud de 2 m también tenga
marcada, de forma bien vertical, los extremos y el centro.
Con la base vertical fijada al árbol, el medidor se aleja del mismo hasta alcanzar un
punto provisional de estación más o menos igual a la distancia procurada.
Asegurando al aparato en posición normal se mira al punto central de la base vertical de
modo que la línea de la visual trazada sobreponga exactamente el centro de la misma.
Esta posición será obtenida rápidamente oprimiendo y soltando el botón de las escalas.
Después se le da al aparato una rotación de 90° en el sentido antihorario. Así la línea
de puntería aparecerá en la posición vertical, como muestra la figura 10.5.
Para la determinación de la distancia se procura ajustar el límite inferior de la banda 2
Con el extremo inferior de la basa, y coincidir el límite superior de la faja de distancia,
cuyo valor se quiere determinar, con el extremo superior de la base vertical. Esta
posición se obtiene alejándose del árbol o aproximándose al mismo.
Dasometría Capítulo X
243
Figura 10.5: Empleo de la base vertical en la determinación de la distancia horizontal
(BITTERLICH & Silva, s.f)
Cada vez que el operador se aleje o aproxime al objeto a ser medido deberá repetir
toda la operación, esto es, volver a visualizar el centro de la escala vertical con el
relascopio en posición normal para garantizar la corrección de la distancia a la
proyección plana.
10.7. Medición del diámetro con el relascopio de BITTERLICH
La medición del diámetro con el relascopio de BITTERLICH puede hacerse a cualquier
altura del fuste del árbol, siendo usada para eso la banda de los 4 cuartos de banda
(4/4). Considerando que el ángulo crítico de esta banda es 1/50, para la suma de las
cuatro (4) bandas estrechas es igual a la banda 1; la mitad de esta será 1/100 y un
cuarto de la misma será de 1/200.
De esta forma se verifica que la mitad de la banda 1 suministra un ancho en
centímetros, que corresponde a una distancia horizontal en metros del mismo valor
Dasometría Capítulo X
244
absoluto, pues siendo el ángulo critico igual a 1/50, conforme fu descrito para la mitad
de la banda 1.
Por este principio, queda fácil determinar los diámetros a cualquier nivel en el fuste, por
ejemplo:
“Cuanto vale la banda de 4/4 y cada una de sus fajas a una distancia horizontal de 20,0
metros.
501
20501
=∴=d
Rd
40,05020
==d m
Cada banda estrecha vale: 0,104
0,40= cm ”
En la tabla 10.1 se presentan los diámetros en centímetros para la mitad de la banda 1,
en función de la distancia horizontal en metros.
Tabla 10.1: Diámetros en función de la distancia horizontal
Distancia horizontal (m) Diámetro cubierto por la mitad de la banda 1 (cm)
10 10 15 15 20 20 25 25 30 30
10.7. Determinación de la altura del árbol con el relascopio de BITTERLICH
La medición de las alturas con el relascopio sigue el mismo principio usado por el
BLUME – LEISS, HAGA y SUUNTO, o sea de la resolución de triángulos.
Dasometría Capítulo X
245
Para la medición de altura, las lecturas son realizadas en las escalas hipsométricas,
representando los valores leídos, como en el Blume – Leiss, el producto de la tangente
del ángulo por la distancia.
Sin embargo con este aparato no será necesario realizar ninguna corrección de la
pendiente del terreno, pues las escalas de distancias ya fueron reducidas por el coseno
del ángulo de inclinación del terreno, debiéndose en este caso, siempre determinar la
distancia del observador al árbol con el uso del aparato y no con cadena.
El aparato presenta escalas de tangentes para las distancias fijas de 20, 25 y 30 m. En
la determinación de las alturas a 15 m de distancia se usa la escala de 30 para lectura y
se divide el resultado por 2.
El procedimiento de campo consiste en determinar la distancia horizontal entre el
observador y el árbol a ser medido – proceso óptico – y realizar las mediciones en la
escala de tangente correspondiente. En estas escalas, los valores grabados son la
tangente del ángulo de inclinación multiplicado por la distancia. Las lecturas son leídas
directamente en metros.
Como en cualquier operación con el relascopio, la medición es realizada siempre sobre
la línea de puntería.
10.9. Ventajas y desventajas del método de BITTERLICH
Las principales ventajas del método son las siguientes:
a) Gran utilidad práctica y menor gasto de tiempo en el muestreo;
b) Minimización o eliminación de los errores provenientes de la demarcación
incorrecta de la superficie de las unidades de muestreo;
Dasometría Capítulo X
246
c) Con la flexibilidad del uso de diferentes factores de área basal, para un
apropiado número de árboles por unidad – recomendable en alrededor de 20
árboles -, se puede incrementar el número de unidades y adecuar una mejor
distribución de estos en el rodal inventariado;
d) Las estimaciones de las variables pueden ser obtenidas a través de aparatos
ópticos, pero también a través de instrumentos de bajo costo, como el prisma, la
regla de BITTERLICH, el visor de BITTERLICH y otros.
Las desventajas pueden ser consideradas como sigue:
a) La existencia de sotobosque abundante puede aumentar los errores de inclusión
visual de los árboles;
b) Debido a defectos en los aparatos visuales, pueden ocurrir errores sistemáticos en
la inclusión de árboles en la unidad, principalmente en los límites del círculo
marginal;
c) Menor facilidad de usarse esta unidad como unidad permanente, dado el cambio de
los individuos en diferentes abordajes en el rodal. Esto hace difícil la evaluación de
sitio, de crecimiento, de mortalidad y otros estimadores importantes para el manejo
forestal.
10.9. Ejemplo ilustrativo
En un punto de muestreo realizado en un rodal de Pinus caribaea, utilizándose el
relascopio de espejo con el factor de área basimétrica 2 (FAB = 2), fueron contados 13
árboles y tomadas las distancias radiales de 3 de ellos considerados dudosos.
Los diámetros y alturas de los árboles contados, así como la síntesis de los resultados
obtenidos en ese punto de muestreo están representados en la tabla 10.2.
Dasometría Capítulo X
247
Tabla 10.2: Resultados de los árboles contados en un punto de muestreo de
BITTERLICH
ARB. (m)
DAP (cm)
ALT (m)
DISTANCIA Á. BASAL(m2/ha)
NO ARB. N/ha
Vi
(m3/Arb)
VOL (m3/ha)
Radial Crítica 1 39,15 24 13,84162 2,0 16,61409 1,432374 23,79759 2 34,18 25 12,08445 2,0 21,79696 1,146674 24,99401 3 26,74 24 9,454018 2,0 35,61372 0,692551 24,66432 4 35,65 23 12,60418 2,0 20,03646 1,147594 22,99372 5 20,69 20 7,31502 2,0 59,4866 0,368376 21,91342 6 28,97 23 10,24244 2,0 30,34192 0,773314 23,46384 7 36,92 24 13,05319 2,0 18,68171 1,278893 23,89191 8 35,33 24 12,49104 2,0 20,40106 1,174956 23,97034 9 35,97 23 10 12,71732 2,0 19,68155 1,167466 22,97753 10 37,24 24 13,16633 2,0 18,36203 1,300364 23,87733 11 36,61 23 12,94359 2,0 18,99943 1,207742 22,94642 12 35,33 24 12,49104 2,0 20,40106 1,174956 23,97034 13 33,42 24 8,6 11,81575 2,0 22,7996 1,056148 24,07976 14 31,83 23 11,2536 2,0 25,1343 0,924087 23,22628 15 27,06 22 9,567155 2,0 34,77639 0,652918 22,70615 16 33,42 23 7,2 11,81575 2,0 22,7996 1,014043 23,11977
TOTAL 32,0 405,9265 376,5927
a) Verificación de los árboles dudosos
La inclusión o exclusión de los árboles indefinidos en el muestreo es determinada por la
comparación de la distancia radial medida en el campo y la distancia radial crítica
calculada a través de la ecuación (10.7) como sigue:
FABdR i
i50
=
El primer árbol dudoso es el número 9, el cual presentó (DAP=35,97 cm) y distancia
radial medida en el campo de (10,0 m). El cálculo de su distancia radial crítica (Ri)
resulta:
Dasometría Capítulo X
248
2)3597,0)(50(
=iR = 12,72 m
Como la distancia medida es menor que la crítica, ese árbol debe ser incluido en la
muestra. El mismo resultado fue obtenido para los árboles 13 y 16, siendo todos
incluidos en el punto de muestreo.
b) Área basal por hectárea
La estimación del área basal por hectárea es obtenida por la ecuación (10.8), como
sigue:
( )FABmG =ˆ = (16)(2)= 32 m2/ha
c) Número de árboles por hectárea
La ecuación (10.10) estima el número de árboles por hectárea que cada individuo
muestreado representa. Así, tomándose el primer árbol muestreado, cuyo DAP es 39,15
cm, se tiene:
ii g
FABN = =1204,02 = 16,61 árboles por hectárea.
Y la estimación del número de árboles por hectárea del punto de muestreo está dado
por:
∑=
=m
iiNhaN
1 = (16,61+21,54+35,62+...+22,80) = 405,7
d) Volumen por hectárea
La estimación del volumen total con corteza, fue obtenido a partir de los volúmenes
individuales de cada árbol incluido en el punto de muestreo, calculados a través de la
ecuación:
Dasometría Capítulo X
249
Vi = 0,045618363 + 0,0000376985 di2hi
En el caso del primer árbol muestreado se tiene
Vi = 0,045618363 + 0,0000376985 (39,15)2(24) = 1,43237 m3
Multipicándose el volumen de cada árbol por el respectivo número de árboles por
hectárea, se tiene el volumen (i) correspondiente a cada árbol muestreado, como sigue:
ii
i vg
FABV ⋅= = Ni * vi = (16,61)(1,43237)= 23,7917 m3
Y, finalmente, la estimación del volumen por hectárea es obtenida por la sumatoria de
los volúmenes (i), correspondientes a cada árbol incluido en el punto de muestreo,
como sigue:
∑=
=m
iiVhaV
1= 23,7917+24,9821+···+23,1192 = 376,5752 m3
Dasometría Capítulo XI
250
CAPITULO 11: TABLAS DE VOLUMEN
11.1. Generalidades
Los estudios económicos y de ordenación forestal tienen por base el inventario del
potencial forestal existente, a través de técnicas de muestreo y de biometría.
La cubicación de árboles posibilita obtener el volumen sólido de los fustes, que
asociados con las variables dendrométricas (d, h, etc.) permiten generar modelos para
describir estos volúmenes, que podrán ser presentados en forma de tablas.
La tabla de volumen puede ser definida como una relación gráfica o numérica
expresada por ecuaciones logarítmicas o aritméticas capaz de expresar el volumen total
o parcial de un árbol en función de variables independientes como diámetro, altura,
grosor de corteza, factor de forma, etc., o también como la representación tabular del
volumen individual de árboles enteros o en partes de ellos a través de variables de fácil
medición. En general, las tablas presentan los volúmenes en m 3 (metros cúbicos),
pudiendo este volumen incluir o no la corteza del árbol.
Los volúmenes estimados no son exactos, pues las variables independientes son
obtenidas en una serie de individuos medidos en el rodal que están sujetos a las
variaciones naturales.
De esta forma se debe admitir que las relaciones volumétricas posibilitan la estimación
de volúmenes medios en torno a los cuales deben distribuirse los volúmenes
verdaderos. Por su construcción las tablas de volumen están íntimamente ligadas a los
rodales debiendo ocurrir una compensación de los errores, al tomarse los volúmenes
medios por los verdaderos, principalmente cuando crece el número de observaciones.
Dasometría Capítulo XI
251
En la construcción de tablas de volúmenes deben ser obedecidos los siguientes
criterios, a fin de obtenerse estimaciones fidedignas:
- seleccionar un número de árboles de muestra buscando cubrir toda la variación
de edad, espaciamiento y sitio para la misma especie forestal;
- Cubicar y medir las variables independientes para estimar la ecuación de
volumen; y
- Probar y comparar diferentes ecuaciones a fin de seleccionar la que mejor
representa los datos.
11.2. Clasificación de las Tablas de Volúmenes
Las tablas de volumen pueden ser clasificadas:
• según el número de variables independientes;
• según el aprovechamiento; y
• en cuanto al tipo de modelo matemático que las originan.
11.2.1. En cuanto al número de variables independientes
Con referencia al número de variables que componen el modelo de regresión o
también en cuanto al área que abarca la tabla, estas pueden ser definidas en:
1. Tabla de volumen de simple entrada o tabla de volumen local
El volumen es función solamente del diámetro de los árboles. Es aplicada solamente
para pequeñas áreas forestales donde la correlación entre el diámetro y la altura es
muy fuerte, o sea, donde hay bastante homogeneidad en el desarrollo en altura de
los árboles del mismo diámetro.
Dasometría Capítulo XI
252
En esta situación el diámetro explica bien el desarrollo de la altura.
La tabla de volumen de simple entrada tiene uso reducido en el medio forestal,
pudiendo ser obtenida por una de las ecuaciones presentadas a continuación:
AUTOR MODELO
KOPEZKY – GEHRHARDT v = 0β + 1β d2
30,1
DIASESCU – MEYER v = 1β d 30,1 + 2β d2
30.1
HOHENADL – KRENM v = 0β + 1β d 30,1 + 2β d2
30,1
BERKHOUT v = 0β d130,1
β
HUSCH Log v = 0β + 1β Log d 30,1
BRENAO Log v = 0β + 1β Log d 30,1 + 30,1
2
dβ
Donde:
v = Volumen
d = Diámetro a la altura del pecho
isβ = Parámetros a ser estimados; y
Log = Logaritmo
2. Tabla de Volumen de doble entrada, estándar o regional
El volumen es función del diámetro y de ola altura, debido a la mayor
heterogeneidad constatada en el desarrollo de la altura de los árboles.
En este caso el diámetro no explica bien el desarrollo de la altura, debido a no haber
una fuerte correlación con la misma, siendo también necesaria esta variable (altura)
Dasometría Capítulo XI
253
para alcanzarse estimaciones confiables y precisas de la característica de interés de
los árboles que componen la población forestal.
Esta tabla tiene gran aplicación en el medio forestal, siendo obtenida a través de los
modelos que a continuación se muestran.
AUTOR MODELO
No tiene autor v = 1β d2
30,1 h (usado para factor de forma constante)
SPURR v = 0β + 1β d2
30,1 h
SCHUMACHER Y HALL v = 0β d130,1
β
h 2β
HONNER v = h
d1
0
30,1
ββ +
OGAYA v = d2
30,1 (+ 1β h)
STOATE (Australiana) v = 0β + 1β d2
30,1 + 2β d2
30,1 h + 3β h
NASLUND v = 1β d2
30,1 + 2β d2
30,1 h + 3β d 30,1 h 2 + 4β h 2
TAKATA v = 30,110
230,1
dhd
ββ +
SCHUMECHER Y HALL Log v = 0β + 1β Log d 30,1 + 2β Log h
SPURR (Logarítmica) Log v = 0β + 1β Log (d2
30,1 h)
MEYER v = 0β + 1β d 30,1 + 2β d2
30,1 + 3β d 30,1 h + 4β d2
30,1 h + 5β h
Donde:
v = Volumen d 30,1 = Diámetro a la altura del pecho
h = Altura total isβ = Parámetros a ser estimados
Dasometría Capítulo XI
254
Log = Logaritmo
3. Tabla de volumen formal o de triple entrada
El volumen estimado es función del diámetro, de la altura y de una medida que
exprese la forma del árbol (f).
Esta tabla de volumen prácticamente no es aplicada en los bosques en Cuba.
A continuación mostramos una serie de modelos que posibilitan obtener este tipo de
tabla.
AUTOR MODELO
SPURR v = 0β + 1β k i
SPURR v = 0β + 1β k i + 2β (d2
30,1 h) + 3β k i (d2
30,1 h)
SCHIFFEL v = d2
30,1 h (+ 1β h i +)
OGAYA v = 0β + 1β d(0,5h) + 2β (d 30,1 h)
OGAYA v = 0β + 1β d 30,1 d i h
POLLANSCHÜTZ v = 4π
[(d2
30,1 h) + 1β d 30,1 d(0,3h)h + 2β h 2 ]
SPURR Log v = 0β + 1β Log d 30,1 + 2β Log h + 3β Log d i
SPURR Log v = 0β + 1β Log (d i d 30,1 h)
Donde:
v = Volumen d 30,1 = Diámetro a la altura del pecho
h = Altura isβ = Parámetros a ser estimados
d 3,0 = Diámetro a 30% de la altura d 5,0 = Diámetro a 50% de la altura
Dasometría Capítulo XI
255
k= 30,1ddi
k 5,0 = 30,1
)5,0(d
hd
11.2.2. En cuanto al Aprovechamiento
De acuerdo con la posición en que se tomen las mediciones del árbol considerado
pueden ser construidas:
1. Tabla de volumen total
Se refiere al volumen total del árbol y puede ser presentada con y sin corteza.
2. Tabla de volumen comercial
Se refiere al volumen parcial (comercial) del tronco, pudiendo ser presentada también
con y sin corteza
11.2.3. En cuanto al tipo de modelo
Conforme el modelo matemático seleccionado para describir el volumen de los árboles,
las tablas pueden ser:
1. Tablas de volumen aritméticas, las cuales son originadas de modelos aritméticos.
3. Tablas de volumen logarítmicas, generadas por modelos logarítmicos.
Estas tablas permiten hacer una evaluación del volumen de árboles y rodales con
elevada precisión y bajo costo. Investigaciones realizadas por Padilla (1999), Erasmo
(1999) y Zaldivar (1999) en la elaboración de estas tablas se probaron un grupo de 13
modelos de regresión y ecuaciones matemáticas aritméticas, logarítmicas y semi-
logarítmicas, principalmente con modelos de regresión de doble entradas.
Los modelos logarítmicos y semi-logarítmicos fueron los de mejor ajuste, de los cuales
el modelo: Log v = 0β + 1β Log d1, 30 + 2β Log h de SCHUMACHER-HALL fue el
Dasometría Capítulo XI
256
seleccionado para la elaboración de la tabla de volumen en plantaciones de Pinus
tropicalis (Padilla, 1999); en rodales naturales de Pinus tropicalis y Pinus caribaea
(Erasmo, 1999) y en plantaciones de Hibiscus elatus (Zaldivar, 1999), debido a su
mayor coeficiente de determinación y menor error típico de la estimación.
Para las plantaciones de la especie Eucalyptus sp Peñalver (1991) encontró que el
modelo de mejor ajuste fue el modelo logarítmico de SPURR, es decir, Log v = 0β + 1β
Log (d2
30,1 h).
Los Modelos obtenidos con sus respectivos parámetros para cada una de las especies
investigadas fueron los siguientes:
Para plantaciones de Pinus tropicalis (Padilla, 1999)
Log vcc = - 3,892 + 1,9799 Log d1,30 + 0,5665 Log h.
Este mismo modelo fue el de mejor ajuste para el volumen sin corteza.
Para Pinus tropicalis natural (Erasmo, 1999)
Log vcc = - 4,4274 + 1,2094 Log d1,30 + 1,9551 Log h
Log vsc = - 4,5623 + 1,2503 Log d1,30 + 1,9329 Log h
Para Pinus caribaea natural (Erasmo, 1999)
Log vcc = - 4,2921 + 1,3539 Log d1, 30 + 1,6192 Log h
Log vsc = - 4,6708 + 1,3987 Log d1, 30 + 1,7971 Log h
Para plantaciones de Hibiscus sp. (Zaldivar, 1999)
Log vcc = -3,9995 + 1,7284 Log d1, 30 + 0,8551 Log h
Log vsc = - 4,0663 + 1,8447 Log d1, 30 + 0,7363 Log h
Dasometría Capítulo XI
257
Para plantaciones de Eucalyptus sp. (Peñalver, 1991)
Log vcc = - 0,499185 + 0,915449 Log (d2
30,1 h)
Log vsc = - 0,603707 + 0,965513 Log (d2
30,1 h)
11.3. Construcción de las tablas de volumen
Inicialmente, las tablas fueron construidas a través de métodos gráficos.
A partir de 1940 con el desarrollo del método analítico, el método gráfico entró
gradualmente en desuso.
El método analítico presenta, además de la mayor precisión y facilidad de cálculo, la
ventaja de no ser subjetivo, permitiendo a todos obtener el mismo resultado, en vista a
que se utiliza el análisis de regresión para ajuste de los modelos matemáticos.
El número de árboles de muestra a ser cubicados es una función de la variabilidad del
rodal y de la precisión deseada para estimaciones de volumen.
Para tabla de volumen de una entrada o local de 50 a 100 árboles pueden ser
suficientes, sin embargo, para que las tablas de volumen sean usadas en extensas
regiones son necesarias varias centenas de árboles a fin de cubrir todos los sitios,
clases diamétricas y edades.
Es importante que sean desarrolladas ecuaciones de volumen específicas para cada
tipo ecológico, topografía, suelo, etc., y después verificar la posibilidad o no de
agruparlas en una ecuación única.
En los casos en que la variación en la forma del árbol entre diferentes regiones en las
que se hace el muestreo sea tal que acarree error de magnitud de la función de
Dasometría Capítulo XI
258
volumen, podrá ser interesante la estratificación de los datos y construir tablas distintas
para las diferentes regiones.
La determinación del número de árboles a ser cubicados en cada clase diamétrica
puede obtenerse por la siguiente expresión:
2
22
Estn =
donde:
=E error admitido, ( )xLEE *%= ;
=2s varianza
=x volumen medio
=LE límite de error
=t valor de “t (Student)” tabulado.
Después del muestreo de un número suficiente de árboles, del ajuste de varios
modelos y de la selección del más adecuado, se construye la tabla de volumen para la
amplitud de los datos observados.
Para eso se coloca en la abscisa de la tabla, en metros, y en la ordenada los centros
de clases diamétricas, en centímetros. En común usar intervalos de clases de 2 cm.
para los diámetros y de 1 m para las alturas, pudiendo ser alterados estos valores
según la necesidad.
Teniendo definidos los valores de las clases se calcula, a través de la ecuación
seleccionada, el volumen para cada clase diamétrica y de altura hasta montar la tabla.
Dasometría Capítulo XI
259
Confeccionada la tabla se debe definir su área útil, o sea, delimitar la amplitud de los
datos observados en el muestreo. Esta delimitación indica región de la tabla en que
Las estimaciones son confiables y/o el área donde se pueden extrapolar.
La tabla de volumen debe traer la indicación de la finalidad a que se destina (ejemplo:
tabla de volumen total con corteza); especie; el lugar de origen de los datos y el
modelo matemático que fue usado.
Para esa confección de tablas de uso local o múltiple, el proceso es semejante, solo
respetando la característica de cada tipo.
11.3.1. Criterios para la elección de la mejor ecuación
Entre los criterios adoptados para la elección de la mejor ecuación, se destacan
algunos bastantes usados, como son:
1. Coeficiente de determinación ( )2R es definido como la razón entre la suma de
cuadrados ( SQ ) debido a la regresión y la suma de cuadrado corregido ( SQC )
para la media.
2. Error Estándar Residual ( )EER es una medida de dispersión entre los valores
reales determinados por la cubicación rigurosa y los estimados por la regresión.
La distribución uniforme de los valores residuales significa que la diferencia entre
los valores reales y los estimados debe ser homogénea.
3. Índice de FURNIVAL ( )I es un índice que permite la comparación de ecuaciones
volumétricas de diferentes naturalezas.
El cálculo de este índice se efectúa en tres etapas:
Dasometría Capítulo XI
260
a) El Error Estándar Residual (EER) es obtenido del ajuste de la regresión en
consideración;
b) Con el auxilio de logaritmos, se calculan las medias geométricas de las
derivadas de las diferentes variables dependientes.
Cuando la variable dependiente (v) no es transformada, implica una derivada
igual a 1, haciendo que el Índice de FURNIVAL es simplemente el EER.
Cuando la variable dependiente es transformada (log v) la derivada será 1−v ,
haciendo que la media geométrica sea obtenida como el inverso de:
nv
anti ∑ −
=1log
log
donde:
n = número de observaciones
c) Finalmente cada EER es multiplicado por el inverso el inverso de la media
geométrica calculada, cuando se trabaja con logaritmos neperianos, pues en
el caso de usarse logaritmos naturales se debe multiplicar tal resultado por
( ) 1log −e , conforme a la corrección hecha por FURNIVAL.
Tal índice es dado por:
( )[ ] EERvFFI *. 1−=
ó
( )[ ] ( ) 11 log**. −−′= eEERvFFI
Dasometría Capítulo XI
261
La ecuación que presente el menor Índice de FURNIVAL será seleccionada
para construir la tabla de volumen.
En el caso de ser seleccionada una ecuación de forma logarítmica, se debe
hacer la corrección para discrepancia logarítmica propuesta por MEYER.
Tal factor de corrección debe multiplicar la ecuación seleccionada, estando la
misma dada por:
21513,110. τ=ld
donde:
=ld. discrepancia logarítmica
=2τ cuadrado del EER.
4. Facilidad de aplicación de la ecuación, se refiere a la cantidad de variables que la
misma posee, así como la facilidad de enumerar tales variables con exactitud.
Siendo asó, se debe seleccionar las ecuaciones que posean menor número de
variables siempre que los criterios admitidos anteriormente no hayan sido
suficientes para seleccionar una buena ecuación.
Ecuaciones seleccionadas para especies de un lugar dado, pueden ser
empleadas en otras especies de otros lugares, siempre que obedezcan la
normas de aplicación de la prueba Chi-Cuadrado.
11.3.2. Construcción de tablas de una sola entrada
1. Método Gráfico
Dasometría Capítulo XI
262
En este método serán considerados tres procedimientos, que se explican a
continuación:
a) Primer procedimiento, donde deben realizarse los siguientes pasos:
• Derribar y cubicar unos 300 árboles que incluya todas las clases diamétricas.
También deben ser medido el diámetro a la altura del pecho de cada árbol;
• Distribuir los puntos en coordenadas, sea en escala ordinaria o en escala
logarítmica, haciendo DAPx = e Volumeny = ;
• Trazar la tendencia basándose en los puntos distribuidos; y
• Leer, a lo largo de la curva trazada, los volúmenes que corresponden a cada
diámetro del eje de las abscisas. Estos datos son colocados en una tabla.
Para ilustrar este procedimiento se presentan ocho (8) árboles cubicados rigurosamente
(ver tabla 11.1) y el trazado de la curva media balanceada (figura 11.1).
Tabla 11.1: Volumen de los 8 árboles obtenido de la cubicación rigurosa
Árbol (No) Volumen (m3) DAP (cm.)
Dl (Desviaciones)
1 0,0950 5 0 2 0,1800 15 0 3 0,4231 30 0 4 0,1000 8 -3 5 0,2000 17 +3 6 0,2340 18 +1 7 0,3470 24 -1 8 0,1710 14 0
Dasometría Capítulo XI
263
Figura 11.1: Muestra la curva media balanceada entre los volúmenes obtenidos de
la cubicación rigurosa
Para estimar el volumen de cualquier árbol de la población forestal basta utilizar su
diámetro como se muestra en la figura 11.2.
Figura 11.2: Muestra cómo estimar volumen de un árbol a partir de su DAP.
Otra alternativa es balancear la curva por clase diamétrica, conforme se puede
observar en la tabla 11.3 y la figura 11.4.
Dasometría Capítulo XI
264
Tabla 11.2: Muestra volumen medio y desviaciones por clase diamétrica
Clases diamétrica (Rango) Fi v fi.dl
5 - 8 10 0,100 +10 8 - 11 10 0,153 0
11 - 14 15 0,212 -15 14 - 17 15 0,264 +15 17 - 20 10 0,315 -10
50 árboles ∑ = 0.dlfi
Donde:
=fi Frecuencia de árboles en la clase diamétrica;
=v Volumen medio por clase diamétrica; y
=dlfi. Desviaciones de los valores observados con relación al estimado por la curva
media
Figura 11.3: Muestra la curva media balanceada entre el volumen medio por clase
diamétrica
Dasometría Capítulo XI
265
Balanceada la curva media (cuando la suma de las desviaciones es igual a cero),
entonces para estimar el volumen de cualquier árbol, basta utilizar la curva
balanceada y el DAP del árbol deseado, como está mostrado en la figura 11.4.
Figura 11.4: Muestra cómo estimar volumen de un árbol a partir de su DAP
b) Segundo procedimiento
Como en el caso del primer procedimiento se requiere cubicar un buen número de
árboles, y este trabajo es algo costoso y también necesita tiempo; por esta razón, existe
otro procedimiento de como ganar tiempo y dinero.
Este procedimiento consiste en cubicar pocos árboles, de 3 a 5 en cada clase
diamétrica, y medir el DAP y altura de unos 1000 o más árboles en pie, con la finalidad
de encontrar una altura media para cada clase diamétrica. Los pasos a ser seguidos
son:
• cubicar de 3 a 5 árboles de cada clase diamétrica;
• medir el DAP y la altura de no menos de 1000 árboles;
• calcular la altura media de los medidos de cada clase diamétrica;
Dasometría Capítulo XI
266
• distribuir estos valores medios en coordenadas con x = DAP en cm. e y = altura
en metros;
• trazar la curva de esta relación y leer las alturas a lo largo de la curva para cada
clase de DAP;
• a continuación se corrige el volumen de cada uno de los árboles derribados que
serán cubicados en el paso 1, con la siguiente fórmula:
arboldelrealVolumencubicadoárboldelAltuea
pasoelenleidaAlturacorregidoVolumen ...*...
5...... =; y
• distribuir en coordenadas (escalas ordinarias o logarítmicas) la relación x = DAP
e y = volumen corregido. El volumen para la tabla se lee a lo largo de la curva
distribuida.
c) Tercer procedimiento
En este procedimiento no se requiere la cubicación de árboles en el campo, se hace
usando tabla de doble entrada. En cambio se requiere la medición del DAP y altura de
muchos árboles en el campo, más de 1000 árboles. Los pasos a seguir son:
• medir el diámetro y la altura de unos 100 o más árboles en pie, de todas las
clases diamétricas;
• encontrar el valor medio de clase diamétrica y representarlos en las coordenadas
x = DAP e y = altura y distribuir la selección en la curva del diámetro y altura;
• para cada clase diamétrica leer la altura a lo largo de la curva diseñada, y a base
de estos datos (diámetro y altura) buscar el valor correspondiente en una tabla
de doble entrada. cuando no hay datos, se busca por interpolación lineal. Se
recomienda emplear una tabla de un bosque parecido que servirá para el paso 1;
Dasometría Capítulo XI
267
• los valores encontrados se distribuyen en coordenadas x = DAP e y = volumen y
se traza la tendencia de los volúmenes leídos sobre la línea de la curva, que
sirve para elaborar la tabla, como en los procedimientos anteriores; y
• para probar la precisión de estas tablas se calcula el porcentaje de la diferencia
total o la media del porcentaje de las desviaciones.
2. Método Matemático o Analítico
Cuando, la tendencia es una curva cuya ecuación toma la forma de:
badv =
que linealizada pasa a la siguiente forma:
dbav logloglog +=
donde:
=v volumen (variable dependiente);
=d DAP (variable independiente); y
=ba, constantes (coeficientes) que definen la tendencia de la función.
Los valores más probables de las constantes a y b son calculados a través del método
de los mínimos cuadrados o analítico.
Encontrado los valores numéricos de esas constantes, se elabora la tabla, calculándose
v sobre la base de distinto valores de d .
Para encontrar los valores de a y b es necesario obtener datos de campo de diámetro y
volumen de 3 a 5 árboles por cada clase diamétrica.
Dasometría Capítulo XI
268
El procedimiento de cálculo de las constantes mediante el método de los mínimos
cuadrados, que es una forma rápida, se hace siguiendo los siguientes pasos:
• colocar en columnas el diámetro ( )d y el volumen ( )v encontrado;
• colocar en otras columnas el logaritmo del diámetro ( ( )d y el logaritmo del
volumen ( )v ;
• en la quinta columna de la tabla se coloca el cuadrado del logaritmo del diámetro
( )d , elevando al cuadrado el logaritmo de cada ( )d ;
• en la sexta columna será calculado los productos de cada logaritmo del ( )d por
el correspondiente logaritmo del volumen;
• se suman las cuatro últimas columnas, colocándose sus totales al pie de cada
una de ellas, teniendo de resta manera las siguientes sumas:
- ∑ dlog = sumatoria de los logaritmos de los diámetros (soma de la 3a columna);
- ∑ =vlog sumatoria de los logaritmos de los volúmenes (suma de la 4a columna);
- ( ) =∑ 2log d sumatoria de los logaritmos al cuadrado de los diámetros (suma de
la 5ª columna); y
- ( ) =∑ vd log*log sumatoria del producto de los logaritmos del diámetro por el
logaritmo del volumen (suma de la 6ª columna).
• calcular los términos de correcciones (TC) para ( )2log∑ d y para ( )∑ vd log*log
como sigue:
Dasometría Capítulo XI
269
- TC para ( )2log∑ d =
( )n
columnaladeSuman
d a.3...log 2
=∑
Donde n = número de árboles medidos
- TC para ( )∑ vd log*log = ncolladesumacolladeSuma
nvd aa ..4...*..3...log*log=∑ ∑
• Determinar:
- nd∑ log
; ( ) ( )
nd
dSCPC2
2 loglog ∑∑ −=
- ;
logn
v∑
( )n
vdvdSPC ∑ ∑∑ −=
log*loglog*log
- diámetroslosdecorregidoscuadradoslosdeSumacorregidosproductoslosdeSumab
...........
=
• la constante (coeficiente) a o alog se determina así:
nd
bn
va ∑∑ −=
logloglog
ddelmediabvdelmediaa log..*log..log −=
teniendo las constantes (coeficientes) de la ecuación ahora definida de la ecuación
original badv = hacemos:
dbav log*loglog =
siendo:
yv =log ; xd =log ; aa =log
entonces se tiene :
Dasometría Capítulo XI
270
bxay *= , que es la ecuación lineal
=a constante que indica el origen de la recta en el eje y
=b constante de la regresión (inclinación de la recta)
=x variable independiente
=y variable dependiente
d) Ejemplo
Aplicar los pasos indicados para el cálculo de las constantes a y b de la fórmula
badv = para los datos presentados abajo:
n 1 2 3 4 5 6 D
(cm.) v
(m3) dlog
vlog ( )2+v ( )2log d vd log*log
1 22,5 0,33 1,3522 1,5185 1,8289 2,0532 2 27,5 0,53 1,4393 1,7243 2,0717 2,4818 3 32,5 0,82 1,5119 1,9395 2,2858 2,9223 4 32,5 1,21 1,5740 2,0832 2,4776 3,2783 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
17 102,5 12,86 2,0107 3,1089 4,0430 6,2511 18 107,5 9,66 2,0314 2,9849 4,1266 6,0637 31,8929 45,5939 57,2189 82,3957
TC para ( )2log∑ d =5260,56
188929,31 2
=
Dasometría Capítulo XI
271
TC para ( )∑ vd log*log = 7845,80
185936,45*8929,31
=
nd∑ log
= 7718,1
188929,31
=
nv∑ log
= 5329,2
185939,45
= ∴ 5329,025329,2 =− se resta –2 porque en la
columna 4 de la tabla se aumentó +2 a fin de evitar las características negativas del
logaritmo del volumen.
( ) ( )n
ddSCPC
22 log
log ∑∑ −= =
6918,02266,562189,57188129,312189,57 =−=−
( )n
vdvdSPC ∑ ∑∑ −=
log*loglog*log
= 185939,45*8929,313957,82 −
6112,17845,803957,82 =−=
3362,26918,06112,1
==b
6041,318
771,1*3362,25329,0log −=−=a
da log3362,2*6041,3log −=
8,40186041,3log
3362,23362,2 danti
dv ==
3362,2002,0 dv = dv log3362,2002,0loglog +=
4728,2log −=v
03,2971
4728,2log1
==anti
v
0033,0=v
Epidometría Capítulo XII
272
CAPITULO 12: ESTUDIO DE LA EDAD DE LOS ÁRBOLES
12.1. Generalidades
Para efecto de estudio de crecimiento en diámetro, área basa, altura y volumen el
profesional forestal necesita conocer una de las más importantes características de un
árbol o de un rodal, que es la edad.
Por tanto la edad del árbol es una referencia obligada en los estudios epidométricos. El
árbol normalmente experimente todos los años un crecimiento en diámetro y altura,
derivándose una evolución o cambio en su forma externa por la acumulación de
material en el árbol en pie. De ahí la importancia de estimar la edad del árbol para
evaluar tanto el crecimiento pasado cono la proyección futura del mismo.
Muchas veces el número de capas o anillos de crecimiento del tejido leñoso contados
en la proximidad y por encima del cuello de la raíz, si no existen anomalías nos da la
edad aproximada del árbol.
En el conteo de los anillos está la solución más práctica y usual de este problema pues
los árboles de casi todas las especies maderables forman su fuste por superposición,
desde dentro hacia afuera, de capas leñosas producidas por el cambium, comprendida
entre el leño y la corteza, cada año y durante la época en que se produce la actividad
vegetativa en el cambium se opera la transformación de sus células en tejidos leñosos,
comenzando dicha transformación al principio de la primavera. La estructura del anillo
formado en un año no es uniforma y la parte interna, que es la primera que se produce,
se denomina “madera de primavera” y es más blanda por tener en su mayoría células
grandes y tejido conducto de vasos más capaces para la circulación de la savia. Esta
madera es de color más claro y menos compacta y la parte más externa denominada
“madera de otoño” es más compacta y de color más oscuro.
Epidometría Capítulo XII
273
12.2. Criterios para estimar la edad de los árboles individuales
Muchas veces, el criterio de explotación o aprovechamiento de los árboles es
expresado por la edad, la cual sólo se puede conocer con exactitud por la fecha de
plantación o de la regeneración, cuando se conoce la historia u origen del árbol o de la
masa.
Hay que dejar bien claro que la determinación de esta variable, es decir de la edad de
los árboles individuales, encierra frecuentemente grandes dificultades, incluso cuando
se trata de especies de zonas templadas.
En la mayoría de las especies tropicales el problema de la edad del árbol se torna aún
más difícil, en vista a no haberse encontrado una técnica satisfactoria para su
determinación
Los métodos más comunes para determinar la edad de árboles de zonas templadas y
que algunas veces nos da resultados satisfactorios, son los siguientes:
• Observación del porte y de la corteza, basándose en las características externas
que presenta el árbol o la masa y sus diferentes etapas de desarrollo;
• Por el conteo de verticilos, sobro todo en especies que están bien definidos cono en
el Pinus tropicalis; y
• Por conteo de anillos de crecimientos.
12.2.1. Observación del porte y de la corteza
Un técnico forestal con gran conocimiento práctico y vivencia, por la simple observación
del porte y de la corteza de una especie, puede decir que se trata de un ejemplar joven,
medio o de edad avanzada.
Epidometría Capítulo XII
274
El conocimiento directo de ciertas especies vegetando en diferentes condiciones agro
climáticas es capaz de responsabilizarse por la identificación, si no precisa, por lo
menos la edad aproximada del árbol.
Es un método muy utilizado por los hombres que trabajan dentro de los bosques con
conocimiento de los hábitos de desarrollo de las especies. Aún así, es una identificación
de baja precisión.
El tamaño del individuo, se cree que no es un factor condicionado de la apreciación de
la edad.
La conformación del árbol y del aspecto de la corteza pueden ser características
decisivas en la apreciación final.
12.2.2. Conteo de los verticilos del fuste
Aquellas especies para las cuales los verticilos de las ranas se mantienen nítidos a
través de la vida de los individuos aportan, a partir de estos, una base más para la
estimación de la edad. Como ejemplo tenemos el Pinus tropicalis y la Araucaria
excelsa, en las cuales los verticilos se disponen con una regularidad excepcional
señalando por sí o por sus respectivas marcas, en el caso de los verticilos de la base
del árbol, la evolución de la altura a lo largo de la edad del individuo.
Pocas son las especies que nos facultan tan preciso elemento de información.
Este método es basado en el hecho de que el número de verticilos corresponde a la
edad del árbol.
El inconveniente de este método es que ocurre una tendencia de caída de los verticilos
inferiores (en la base) con el avance de la edad, dificultando su determinación que
tiene que hacerse por las respectivas marcas dejadas por los verticilos.
Epidometría Capítulo XII
275
12.2.3. Conteo de los anillos de crecimiento
Es el método más riguroso para la determinación de la edad de un árbol y está basado
en el conteo de los anillos de crecimiento. Como la actividad del cambium se yuxtapone
anualmente en camadas de material leñoso, la camada de tejido leñoso nuevo envuelve
a una anterior al final de cada período vegetativo en un proceso periódico de
crecimiento.
La camada o capa más vieja queda dentro y la más nueva fuera. La distinción de tales
camadas presenta dificultad variable de la constitución del leño de la especie en
estudio, de la tasa de crecimiento específico, de la edad del individuo y de las
condiciones extrínsecas, que presidirán la respectiva formación.
Encontramos situaciones en que los anillos de crecimiento, incluso en especies
caracterizadas por una nítida distinción de las camadas, no se presentan claros,
causando así serio problema. Esa falta de nitidez de los anillos de crecimiento pueden
ser causadas por los siguientes factores:
• edad muy avanzada, lo que acarrea una pequeña tasa de crecimiento;
• período de sequía prolongado durante la etapa vegetativa;
• pobreza del suelo donde se encuentra la especie.
Perturbaciones imprevistas en la vida del árbol pueden acarrear la paralización en
cualquier momento del período vegetativo del crecimiento leñoso, ocasionan la
formación de falsos anillos de crecimiento, o falsas zonas de otoño, lo que, muchas
veces, lleva al técnico a errores sucesivos. La existencia de estos falsos anillos son
causados por los siguientes factores:
Epidometría Capítulo XII
276
• fuerte ataque de insectos, destruyendo el follaje, por ejemplo, durante el período
vegetativo;
• intensos incendios forestales:
• fuerte heladas en el caso de las zonas templadas; y
• fuerte estiaje o ausencia prolongada de lluvia.
Los falsos anillos tienen las características de no presentar una continuidad con los
otros adyacentes, presentado en todos los elementos del rodal.
12.2.3.1. Conteo de los anillos en árboles derribados
Este conteo se realiza en la sección del tocón y para ello es conveniente utilizar una
lente, lijar la superficie o realizar un corte bastante oblicuo con respecto al eje del
tronco; este efecto de oblicuidad aumenta hasta vez y media el ancho de los anillos a lo
largo del eje mayor de la sección.
Como el tocón tiene una altura apreciable, en el corte quedarán perdidos los anillos de
crecimiento producidos en los años que haya tardado el árbol, en su período vegetativo
inicial, en alcanzar esa altura. La corrección procedente apenas tiene importancia
cuando el árbol es viejo; pero si fuera de edad mediana o joven y especialmente en
estudios de precisión, entonces es conveniente hacer la corrección.
El número de años que hay que sumar es de fácil determinación, buscando en las
proximidades al árbol que se le desea estimar la edad brinzales de pocos años que
conservan los verticilos y contando estos a una altura igual a la del tocón en varios
individuos se deducirá la edad promedio. Se puede recurrir también a plantas de viveros
teniendo en cuenta que el crecimiento en altura es más acentuado en esa etapa.
Epidometría Capítulo XII
277
En algunos casos la edad resulta alterada por la presencia de falsos anillos, los que son
ocasionados como se dijo anteriormente por condiciones adversas, tales como la
anticipación de las lluvias otoñales, formándose una segunda zona de primavera más
estrecha que la primera, así resulta duplicado el anillo anual.
Teniendo en cuenta que el conteo de anillos se torna con dificultad se deben adoptar
técnicas para que los anillos se presenten más visibles, como:
• alisar una zona estricta de la sección de conteo;
• hacer cortes inclinados para aumentar la distancia entre las sucesivas camadas o
capas de anillos de crecimiento;
• utilizar colorantes, donde las zonas más porosa quedarán más intensamente
coloreadas;
• hacer cortes más finos que permitan la observación de las camadas por
transparencias; y
• utilizar lupas.
12.2.3.2. Conteo de los anillos en árboles en pie
A los árboles en pie se le extraen muestras del fuste con la Barrena de PRESSLER o
barrena epidométrica a 1,30 m sobre el nivel del suelo (véase figura 12.1), debido a que
las mediciones de diámetros y circunferencias se hacen a esta altura del fuste del árbol
para la elaboración de tablas de volumen.
Epidometría Capítulo XII
278
Figura 12.1: Extracción de muestra con la Barrena de PRESSLER en árboles en pie
Se realiza el conteo de los anillos en las muestras extraídas siguiendo el mismo
procedimiento que en árboles derribados. Sin embargo en este caso al número de
anillos que se cuenta en la muestra se le suma los años estimado que necesitó el árbol
para alcanzar la altura de 1,30 m, altura en la que se extrajo la muestra.
12.2.3.2.1. Descripción de la Barrena DE PRESSLER
La barrena epidométrica, de crecimiento o de PRESSLER, consta de un estuche o
mango, constituido por un tuvo de acero cuya extremidad está dotada de roscas
interiores. La compone también una barrena también de acero, que se fija al mango o
estuche, la cual es cortante en el extremo opuesto al mango y que se anima por un
movimiento de rotación que al introducirse en el tronco recorta un fino cilindro de
madera sobre el que se cuentan los anillos.
La barrena consta además de un extractor o estilete, que es una fina lámina de acero
de la misma longitud de la barrena y de sección semicircular que se comporta en forma
Epidometría Capítulo XII
279
de cuchara que permite retirar la muestra de la barrena. Este extractor lleva en su cara
inferior una escala graduada en centímetros y milímetros (ver figura 12.2)
Figura 12.2: Partes que componen la Barrena de PRESSLER o epidométrica
12.2.3.2.2. Uso de la Barrena de PRESSLER
En la determinación de la edad de árboles en pie, usando el conteo de los anillos de
crecimiento, se hace necesario el uso de la barrena. Con este instrumento se retira del
árbol un pequeño tarugo en forma de cilindro (ver figura 12.2 D), donde se cuentan los
anillos de crecimiento. Después de la extracción el tarugo debe ser introducido en un
tubo de diámetro interior ligeramente superior al tarugo. En este tubo debe existir un
líquido adecuado que evite que la muestra se parta o se deforme en el momento del
conteo. La gasolina y el alcohol sirven como producto de conservación de los tarugos
de incremento, con todo esto aún algunas especies quedan oscuras en presencia del
alcohol.
Epidometría Capítulo XII
280
Generalmente los crecimientos exactos posibles no son constantes para un mismo
árbol, por lo tanto hay que tomar cuatro muestras, siguiendo el sentido de los cuatro
puntos cardinales o la dirección de la medición de los diámetros en cruz y luego hallar el
promedio de los anillos contados en las cuatro muestras.
En el proceso de extracción de la muestra la barrena se aplica contra la corteza 1,30
m del suelo, ejerciendo una presión fuerte, acompañada de un movimiento de rotación
que haga mover el paso de rosca. Cuando ha penetrado hasta, aproximadamente, el
centro del árbol, se introduce el extractor o estilete y se da media vuelta en sentido
inverso, separándose de esta forma la muestra del tronco, entonces basta con
extraerla.
12.3. Criterios para estimar la edad en los rodales
El conocimiento de la edad de un rodal es de primordial interés para deducir el poder
productivo de una masa, de modo que si conocemos la existencia de madera en un
rodal es indispensable saber los años en que ha sido producida esa existencia, lo que
nos permite calcular al mismo tiempo el crecimiento medio anual.
En cuanto a la composición de edad, los rodales pueden ser coetáneos y multietáneos
o disetáneos, Los rodales coetáneos son aquellos en que los individuos (árboles) que
los integran tienen más o menos la misma edad o con diferencia de muy pocos años y
por tanto puede decirse que la edad del rodal es la de cualquiera de los individuos que
lo forman. Por tanto, cuando la masa se compone de pies coetáneos, la edad de la
misma se determina estimando la edad de uno de los árboles que la integran, mediante
el empleo de cualquiera de los métodos estudiados anteriormente.
Epidometría Capítulo XII
281
Sin embargo, los rodales disetáneos o multietáneos están compuestos por individuos de
distintas edades. Los bosques naturales, sean primarios (nativos o vírgenes) o
secundarios, son generalmente disetáneos. Para este tipo de rodal lo máximo que se
puede hacer es tener una noción de la edad media, a partir del conocimiento del
crecimiento medio anual en volumen y del volumen total del bosque, así como otros
criterios.
Por consiguiente, para hallar la edad media de un rodal disetáneo se pueden utilizar
distintos criterios, tales como:
• criterio de la media aritmética;
• criterio de la media geométrica;
• criterio del crecimiento medio; y
• criterio xilométrico.
12.3.1. Criterio de la media aritmética
Este método se puede emplear en rodales formados por un conjunto de árboles con
diferentes edades, a los cuales es posible determinarle la edad por cualquiera de los
métodos estudiados en los epígrafes anteriores para árboles aislados, así como el
número de árboles correspondiente a las respectivas edades. En este caso la edad
media del rodal se determina por la fórmula siguiente:
n
nnm nnnn
enenenenE
+++++++
=+ ...
...
32
3322111
1
(12.1)
donde:
=mE edad media
Epidometría Capítulo XII
282
1e , 2e , 3e , ne = edades de los árboles
1n , 2n , 3n , nn = número de árboles con las respectivas edades 1e , 2e , 3e , ne .
Ejemplo:
Si se tiene un rodal de 4 hectáreas, poblado con 2 000 árboles de 30 años, 1300
árboles de 40 años y 500 árboles de 50 años, la edad media del rodal sería:
5001300200050*50040*130030*2000
++++
=mE
333800
1370003800
250004200060000==
++=mE
33=mE años
En la práctica no se estima la edad de todos los árboles, sino que sólo basta
seleccionar una muestra de ellos por cada una de las edades.
12.3.2. Criterio de la media geométrica
Consiste en multiplicar cada una de las edades parciales por el área que ocupan los
individuos con estas edades, sumando estos productos y dividiendo el resultado por la
suma de las áreas.
Al igual que en el caso anterior, también se selecciona una muestra de los árboles con
las diferentes edades en el rodal.
Ejemplo:
Si 1s , 2s y 3s son las áreas que ocupan los árboles de edad 1e , 2e y 3e , entonces la edad
media ( )mE del rodal se hallará por la fórmula:
Epidometría Capítulo XII
283
321
332211
sssseseseEm ++
++= (12.2)
El área ocupada por los árboles de las respectivas edades se determina mediante la
estimación del área de copa de cada uno de los árboles, para lo cual se emplea la
fórmula 12.3:
2* rAc π= (12.3)
Figura 12.3: Correlación diámetro-Área de copa, ( )3,1dfAc = para la especie Pinus
caribaea en la Unidad Silvícola de San Andrés, (EFI) La Palma.
( )20182,00984,09942,1 ddAc +−=
También puede leerse directamente en un gráfico, previamente elaborado para la
especie en cuestión, donde se correlaciona el área de copa con el diámetro. Por
ejemplo, la figura 12.3 representa la correlación del área de copa con el diámetro, o
sea, ( )3,1dfAc = para la especie Pinus caribaea en la Unidad Silvícola de San Andrés
de la Empresa Forestal Integral (EFI) La Palma.
Epidometría Capítulo XII
284
También puede medirse el área de copa y por consiguiente el área que ocupa cada
árbol mediante el empleo de las fotografías aéreas.
12.3.3. Criterio Xilométrico
Para aplicar este método es necesario conocer la existencia o el volumen de madera
que tienen todos los árboles de las respectivas edades y por tanto, el cálculo de la edad
media del rodal se realizan mediante la fórmula:
n
nnm vvvv
veveveveE......
321
332211
+++++++
= (12.4)
Ejemplo:
Si en un rodal de 1 ha, los árboles de 30 años tienen un volumen de 28,9 ham3 , los de
40 años con un volumen de 41,4 ham3 y los de 50 años tienen un volumen de 54,5
ham3 . Entonces la edad media del rodal sería:
428,124
51485,544,419,28
5,54*504,41*409,28*30==
++++
=mE
42=mE años
12.3.4. Criterio del crecimiento medio
El crecimiento medio es el cociente de las existencias por el número de años, o sea. Si
nvvvvV ++++= ...321 es la suma del volumen alcanzado en los E años, el crecimiento
medio anual será: EVC = y por tanto,
CVE = .
En el caso de una masa donde se conozcan los volúmenes nvvvv ++++ ...321 de los
árboles que tienen neeee ++++ ...321 años de edad, el crecimiento medio de la masa será:
Epidometría Capítulo XII
285
n
n
ev
ev
ev
evC ++++= ...
3
3
2
2
1
1 (12.5)
Luego, como se dijo anteriormente, la edad media de la masa sería:
CVEm = =
n
n
n
ev
ev
ev
ev
vvvv
++++
++++
...
...
3
3
2
2
1
1
321 (12.6)
Donde:
=V nvvvv ++++ ...321 es la existencia o volumen total
n
n
ev
ev
ev
evC ++++= ...
3
3
2
2
1
1 es la suma de los crecimientos
Este método es más exacto que los tres métodos anteriores, pero requiere más trabajo
debido a que es necesario abarcar todos los árboles de las respectivas edades y
además averiguar su edad.
12,4. Definición de la edad en bosques tropicales
El bosque, en sentido general, representa un sistema dinámico por lo que sus índices
cuantitativos se encuentran en un cambio constante. Uno de los índices principales en
la estructura de edad de los rodales, con la cual se enlaza estrechamente la utilización
y reproducción de los recursos forestales y, por consiguiente, la planificación,
producción y control de la ejecución de los diferentes manejos de los bosques.
La estructura de edades de los bosques se determina por la edad de los árboles
individuales, por eso este es uno de los índices de tasación importante para caracterizar
los arbolados de cualquier tipo de bosque, ya sea tropical o templado. Como ya ha
dicho antes para determinar la edad se exige trabajar con cuidado y esmero, sobre todo
en los bosques tropicales donde las especies maderables tienen un ciclo vegetativo
Epidometría Capítulo XII
286
durante casi todo el año, a veces el crecimiento se determina en un corto plazo en la
llamada estación seca. Además aquí abundan las especies de latifolias, en las cuales
los anillos anuales no se ven o se ven muy tenues con líneas intermedias discontinuas
(falsos anillos). La edad de esas especies no tiene una solución rigurosa y satisfactoria.
El método mejor es el que consiste en ejecutar mediciones periódicas en individuos de
algunas muestras de estudios, referentes a varias especies.
No hay evidencias de crecimiento anual porque las especies tropicales, generalmente,
no se caracterizan por la producción de camadas o capas anuales de crecimiento como
ocurre en zonas templadas. Por eso (Aldana et al.,1994) dicen que “en estos casos es
necesario buscar otros métodos para determinar el crecimiento de los árboles aislados
en un rodal. En particular se puede emplear la vía indirecta utilizando las variaciones del
diámetro medio de los árboles con el aumento de su edad, conforme se representa en
la tabla 12.1.
Aunque con esta tabla no se pretende lograr informaciones de la edad totalmente
objetiva, si responde de modo general a las exigencias de la actividad económica en las
empresas forestales y actualmente se utiliza en la ordenación de las masas forestales y
la proyección de uno u otros manejos silviculturales. Esto se interpreta mejor si se
tiene en cuenta que, desde el punto de vista práctico, durante la ordenación forestal es
común agrupar los rodales por clases de edades para la realización de los cálculos de
la tala principal y de loas manejos recomendados.
Epidometría Capítulo XII
287
Tabla 12.1: Variación de los diámetros medios del arbolado con relación a su edad para
las principales especies maderables de Cuba.
Especies maderables
Variación de los diámetros medios (en centímetros) con relación a la edad del arbolado
1 - 5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 Ácana 11-12 19-25 26-31 32 Almácigo 10-11 11-20 21-31 32 Bacona 1-10 11-20 21-31 32 Baría 1-10 11-20 21-31 32 Caoba* 1-6 7-16 17-24 25-31 32 Casuarina 1-10 11-21 22-31 32 Cedro* 1-6 7-16 17-24 25-31 32 Dagame 1-8 9-16 17-23 24 Ébano 1-10 11-18 19-23 24 Encino 1-16 17-24 25-31 32 Jocuma 1-16 17-24 25-31 32 Júcaro negro 1-16 17-24 25-31 32 Majagua 1-10 11-20 21-31 32 Mangle rojo 1-6 7-9 10-11 12 Mangle prieto 1-10 11-20 21-31 32 Najesí 1-10 11-20 21-31 32 Ocuje 1-10 11-20 21-31 32 Patabán* 1-10 11-15 16-19 20-23 24 Pino 1-10 11-20 21-31 32 Roble 1-16 17-20 25-31 32 Sabicú 1-12 13-25 26-31 32 Soplillo* 1-6 7-16 17-24 25-31 32 Teca 1-10 11-20 21-31 Yarúa 1-16 17-24 25-31 Observaciones: * Estas son especies de crecimiento rápido y el rango de las clases de edades es de 5 años, mientras que las otras son de crecimiento lento y el rango de las clase de edades es de 10 años.
12.5. Grupos de edades
Los grupos de edad son formados por la representación clara de la estructura en edad
de los bosques a nivel de unidades administrativas (Unidad Silvícola, empresa, etc.).
Esto se debe a que a veces es difícil estimar la edad exacta del bosque y por eso se
puede expresar la misma en un rodal con el auxilio de los grupos de edades. En general
Epidometría Capítulo XII
288
se conocen dos maneras de expresar los grupos de edades, es decir, las clases de
edades con sus respectivas gradaciones, cuando por algunos de los métodos
anteriormente expuestos se puede enmarcar la edad de los rodales; y los grupos de
edades propiamente dicho, conocido en Alemania como clases de crecimientos o
estado de desarrollo de los rodales, los cuales están relacionados con la edad. La
aplicación de este último procedimiento y muy eficaz cundo la estimación de la edad no
es fácil como en el caso de los bosques naturales tropicales.
12.5.1. Clases de edades
El procedimiento de más adecuado a seguir en montes altos, ya sean tropicales o
templados, y así debe exigirse en todos los proyectos de ordenación, es tomar la edad
en clases que comprendan cierto número de años y entonces la separación de un
rodal a otro se hace por razón de edad, de clase a clase, y no de año en año como en
montes bajos.
Por tanto, la clase de edad es un indicador clasificador de los diferentes arbolados o
de los estratos basado en su edad. Las clases de edades se forman por la suma
aritmética de rodales en escalonamiento de 5, 10 ó 20 años y se designan con
números romanos. El escalonamiento de las clases de edades , depende del
crecimiento de la especie y de la duración del turno (SAMEK, 1974).
En la práctica, para las especies de rápido crecimiento, que de hecho tienen un turno
corto, se recomiendan las clases de edades con rango de 5 años; para las especies de
crecimiento más lento es necesario elevar estos rangos a 10 años. Frecuentemente,
para las especies que tienen un crecimiento muy lento se pueden tomar clases de
edades con un rango hasta de 20 años.
Epidometría Capítulo XII
289
En la mayoría de los casos el arbolado natural lo constituyen los árboles de distintas
edades y un elemento del arbolado puede estar constituido por los árboles que se
diferencian por su edad.
Por ejemplo, el período de la regeneración natural después de la tala del arbolado
puede durar de 5 a 10 y más años. En este caso los árboles pueden tener una edad
desde 5 hasta 15 o más años, por lo que es necesario determinar entonces la edad
económica. De esta forma la edad económica del arbolado representa un valor medio
de la edad de los árboles, por separado de la misma regeneración natural que aparece
un período de tiempo determinado y que exige llevar a cabo los manejos silviculturales
por períodos y en un momento dado.
El método principal para la determinación de la edad de la edad de los bosques
tropicales es el de estimación ocular, teniendo en cuenta las características
morfológicas externas de los árboles, por ejemplo, las formas y extensión de las
grietas de la corteza, la forma de la copa y también por las dimensiones de los árboles,
principalmente sus diámetros.
En los rodales con un turno de crecimiento muy lento y que como quedó dicho
requieren un turno de 100 años o más, se emplean clases de edades con rangos de
20 años. Para especies de crecimiento medianamente lento o lento se recomiendan
turnos entre los 50 y 60 años y por tanto los rangos de las clases de edades serán de
10 años y para aquellas especies de crecimiento medianamente rápido o rápido se
recomiendan turnos entre 25 y 30 años, a veces menores como en el caso del
Eucalyptus sp y por tanto los rangos de las clases de edades serán de 5 años. Así
tenemos, por ejemplo, para rodales con turnos de 100 años la siguiente estructura de
las clases de edades:
Epidometría Capítulo XII
290
Clases de edades Rango (en años)
Clase de edad I 1 – 20
Clase de edad II 21 - 40
Clase de edad III 41 - 60
Clase de edad IV 61 - 80
Clase de edad V 81 - 100
En el caso de de rodales con un turno más corto, se formarían las siguientes clases:
Clases de edades Rango (en años)
Clase de edad I 1 – 10
Clase de edad II 11 - 20
Clase de edad III 21 - 30
Clase de edad IV 31 - 40
Clase de edad V 41 - 50
Las clases de edades suelen subdividirse en gradaciones de edades , las cuales se
forman por la suma aritmética de rodales en escalonamiento de 2,5; 5 ó 10 años según
el turno sea corto mediano o largo, es decir, de 25, 50 ó 1oo años respectivamente.
Por consiguiente, las gradaciones o escalonamiento de las clases de edades no son
más que la subdivisión de las clases de edades y se designan con la escala de joven o
adulta dentro de la correspondiente clase. Por ejemplo, en una masa de crecimiento
muy lento y sometida, para el manejo, a un turno de 100 años, se formarán las
siguientes gradaciones de edades que aparecen en la tabla 12.2.
Epidometría Capítulo XII
291
Tabla 12.2: Clases y gradaciones de edades de una masa sometida a un turno de 100
años.
Clases de edad Rangos de las gradaciones Denominación de las gradaciones I 1 – 10 Ij (joven) I 11 – 20 Ia (adulto) II 21 – 30 IIj II 31 – 40 IIa III 41 – 50 IIIj III 51 – 60 IIIa
IV 61 – 70 IVj IV 71 – 80 IVa V 81 – 90 Vl V 91 - 100 Va
12.5.2. Clases de desarrollo o de crecimiento
Clase de crecimiento es otro concepto importante dentro de los grupos de edades. Las
clases de crecimiento, son las fases de desarrollo de los rodales, las cuales están
estrechamente relacionadas a la edad del rodal, pero también dependen de la calidad
del sitio, del establecimiento inicial del arbolado (plantación o regeneración natural) y
de los tratamientos silviculturales a que ha sido sometido el rodal. Este indicador de
clasificación caracteriza el estado de desarrollo del arbolado y está en dependencia de
la edad establecida para la tala y los diámetros. En general son diferenciadas las
siguientes clases de crecimiento, grupos de edades propiamente dichos o estados de
desarrollo (ver tabla 12.3).
Epidometría Capítulo XII
292
Tabla 12.3: Clasificación de las clases de crecimiento en correspondencia con su fase
de desarrollo
Clase de crecimiento Clase de edad aproximada Observaciones Calvero - Edad igual a cero
Diseminado I Siembra naciente hasta la
terminación de las repoblaciones
Brinzal bajo I Hasta el comienzo del cierre de las copas
Brinzal alto II Diámetro 5 cm.. Latizal bajo III Diámetro 5 – 10 cm.. Latizal alto IV Diámetro 11 – 20 cm. Fustal bajo IV Diámetro 21 – 35 cm.
Fustal medio V 35 – 50 cm. Fustal alto o sobre maduro VI Diámetro mayor de 50 cm.
Epidometría Capítulo XIII
293
CAPITULO 13: ESTUDIO DE CRECIMIENTO
13.1. Generalidades
La estimación del crecimiento es una parte esencial para el manejo forestal.
El bosque es una fuente económica para generación de productos forestales, concepto
básico basado en el hecho de los árboles tener habilidades para crecer.
La eficiencia de la planificación será tanto mayor cuanto más conocimiento del
crecimiento futuro del bosque fueren disponibles para el uso.
El estudio del crecimiento es importante en trabajos de silvicultura, Ordenación de
bosque, predicción del rendimiento, etc.
13.1.1. Predicción del crecimiento
La predicción del crecimiento (pronostico) es uno de los más importantes y principales
objetivos en la estimación del crecimiento. La predicción puede hacerse de tres
maneras:
1. Igualando el crecimiento del pasado al crecimiento del futuro
Esta manera presupone y asume que el árbol crecerá en la misma proporción todo
el tiempo, conforme se muestre en la figura 13.1.
Epidometría Capítulo XIII
294
Figura 13.1: Predicción igualando el crecimiento pasado al crecimiento futuro
2. Prolongando la curva de tendencia del crecimiento pasado
Aquí se asume que el crecimiento seguirá la misma tendencia según se puede
verificar en la figura 13.2.
Figura 13.2 Predicción prolongando la curva de tendencia del crecimiento pasado
3. Comparando los datos de un período corto de tiempo con otro existente para
período largo de árboles similares (ver figura 13.3).
Epidometría Capítulo XIII
295
Figura 13.3: Predicción por comparación de datos de un período largo con uno corto
El de la estimación del crecimiento es peligroso por las siguientes razones;
• el crecimiento depende de varios factores, luego no se puede asegurar que en el
futuro estos factores continuarán idénticas;
• el tiempo al cual se desea extender el pronóstico debe ser corto porque cuanto
más se extienda mayor será la inseguridad de la información; y
• se necesita tener a disposición un número suficiente de mediciones sobre el
crecimiento del pasado, y es relativamente fácil en árboles con anillos de
crecimiento, en caso contrario se debe medir ano tras ano, durante un período
relativamente largo, hasta disponer de un número adecuado de datos. Cuanto
menor fuera el número de datos, menor será la exactitud del pronóstico.
13.1.2. Conceptos básicos
a) Crecimiento: es el aumento gradual de las variables altura, diámetro, área
transversal, volumen, etc., que se miden. Este aumento se produce por la
Epidometría Capítulo XIII
296
actividad fisiológica de la planta. El ritmo del crecimiento está influenciado por
factores internos (genéticos), externos (ecológicos) y por el tiempo.
b) Incremento: es lo que crece en un árbol en un períodos sucesivos de tiempo.
Luego, crecimiento es simplemente el aumento gradual de una materia viva que
ocurre por un proceso sobre un determinado período de tiempo. Determinados
factores deben quedar claramente bien definidos a fin de evitar confusiones en el
significado específico de crecimiento, tales como:
• parámetros o variables de medida, califica lo que está siendo medido en la
determinación del crecimiento. Una primera especificación sería definir, en este
caso, qué partes del árbol serán medidas (utilizadas). Con relación al fuste,
definir que parte será medida, se la altura total o comercial.
• Período de tiempo, el crecimiento en diámetro, en general, aumenta
anualmente en los primeros años y después decrece con el aumento de los
años, y por tanto, no podemos afirmar que el crecimiento radial en un período
sea igual en el próximo. Entre estos períodos de tiempo tenemos:
- Incremento Corriente Anual (ICA), es el resultado del crecimiento entre un año
posterior y el anterior (diferencia), y puede estar basado en cualquier período de
tiempo futuro o pasado.
- Incremento Medio Anual (IMA), es el resultado del incremento total del árbol o
rodal en una determinada edad dividido por esta edad.
- Incremento Periódico Anual (IPA), es el incremento medio anual determinado
durante un período de años.
Epidometría Capítulo XIII
297
• Porción del rodal a ser medido, el crecimiento de un árbol dependiente de la
porción del rodal a ser medido, pues no posee las mismas características de un
rodal como un todo. El crecimiento de un rodal que está basado en los árboles
dominantes no es igual al crecimiento donde se consideran los árboles
coodominantes y dominados.
13.2. Crecimiento de los elementos dendrométricos
13.2.1. Crecimiento en diámetro
El crecimiento en diámetro está influenciado por la actividad cambial (del cambium)
del árbol, razón por la cual se puede registrar el crecimiento de un día y a veces de
tiempos más cortos.
Este crecimiento es más rápido en los primeros tiempos del período vegetativo
atenuándose considerablemente a medida que este decrece.
El incremento en diámetro se reviste de particular importancia, porque el ancho de las
capas o camadas anuales y la proporción relativa de la madera de inicio y final de
estación, en cada uno, tiene efectos importantes en la calidad de madera producida.
El incremento en diámetro presenta periodicidad tanto diaria como estacional y según
los objetivos, se fijan los períodos o intervalos entre las mediciones para determinar
su crecimiento para los fines de ordenación forestal, donde la medición se hace
anualmente y cada cinco o diez años y para fines de investigación es medido cada
día, semana o mes.
Epidometría Capítulo XIII
298
13.2.1.1. Periodicidad diaria en el crecimiento en diámetro
Numerosos estudios han indicado que ocurren variaciones diarias de los fustes de los
árboles. A esta variación se debe lasa alteraciones en volumen.
Las variaciones diarias causadas por las variaciones del contenido de agua tienden a
esconder las variaciones diarias verificadas en la intensidad del crecimiento. Pues una
fuerte transpiración al medio día remueve el agua más deprisa que lo que ofrece la
observación, acusando así la contracción.
13.2.1.2. Periodicidad estacional en el crecimiento en diámetro
Durante un período dado el crecimiento en diámetro sigue una curva signoidal
modificada. El período durante el cual se procesa el crecimiento en diámetro varía con
las especies y con la altitud, pero en general ocurre durante un espacio de tiempo
mayor que el crecimiento en altura.
13.2.1.3. Intensidad del crecimiento en diámetro
La intensidad del crecimiento en diámetro también varía con las especies, la edad y la
estación.
Por regla general; las especies que presentan un ciclo de vida largo crecen menos en
un período que las especies con corto ciclo de vida. Especies tolerantes, crecen más
despacio que las intolerantes.
13.2.1.4. Intensidad del crecimiento en diámetro
El crecimiento en diámetro puede ser medido a través de los siguientes instrumentos:
• Forcípulas
• Cintas métricas o diamétricas
Epidometría Capítulo XIII
299
• Barrenas epidométricas o de Pressler
Para la medición de pequeños crecimientos realizados a lo largo de cortos períodos de
tiempos se usan los dendrógrafos, que son instrumentos que consiguen obtener un
registro continuo y permanente de crecimiento en un gráfico, que es accionado por un
mecanismo de reloj; y los dendrómetros, que son instrumentos que facilitan la
obtención de datos de crecimiento apenas en la fecha en que el operador efectúa la
medición (lectura).
13.2.2. Crecimiento en Altura
El crecimiento en altura se produce por la actividad de la yema o meristemo terminal. Es
el cambio más notorio, especialmente en la edad juvenil. En el final de cada época de
vegetación el árbol forma, en la punta de del último brote vertical, yemas que en el inicio
de la próxima época de vegetación crecen el nuevo brote.
El incremento en altura en un determinado año depende de las condiciones climáticas
de este año; sin embargo como el brote de este año surge de la yema formada en el fin
de la última época de vegetación, el crecimiento en altura en una época en vegetación
está influenciada por las condiciones climáticas en la época anterior.
Este incremento es evaluado midiendo las alturas en el inicio y en el final de un período
de tiempo. Se puede también medir este incremento en los árboles que poseen anillos
anuales de crecimiento a través del análisis de fuste.
13.2.2.1. Periodicidad diaria en el crecimiento en Altura
Se observa un mayor alargamiento de las yemas durante la noche que durante el día.
A lo largo de las noches frías el crecimiento puede ser inferior al diurno.
Epidometría Capítulo XIII
300
13.2.2.2. Periodicidad estacional en el crecimiento en Altura
La periodicidad estacional en el crecimiento en altura está representada bajo la forma
de crecimiento acumulado en el tiempo o bajo la forma de crecimiento efectivo en
determinado período de la estación de crecimiento.
Cuando es representada acumulativamente, el crecimiento de los árboles presentan
más o menos la forma sigmoidal.
El crecimiento se inicia lentamente, después se acelera rápidamente, y por último
mantiene la horizontalidad en un determinado período de verano. Las curvas que
representan el crecimiento corriente en diferentes épocas de la estación muestran la
existencia de un estándar para todo el período vegetativo.
13.2.2.3. Intensidad del crecimiento en altura
El crecimiento en altura varía con las especies, con la edad y co0n la localidad.
El crecimiento a lo largo del ciclo de vida de un árbol presenta un estándar sigmoidal
con un corto período de aceleración para las plántulas, un crecimiento muy rápido del
árbol nuevo, y un alargamiento insignificante en el árbol viejo durante un largo período.
Las condiciones climáticas causan oscilaciones de los incrementos corrientes anuales.
Nivelando estas oscilaciones, el desarrollo del incremento corriente anual (ICA) en
altura dependerá de algunos factores como:
• genotipo, la especie y la procedencia causan generalmente en el incremento
corriente anual (ICA) en alturas de las intolerantes a la sombra una culminación más
temprano que en las especies tolerantes;
Epidometría Capítulo XIII
301
• espaciamiento, se afirma que la influencia del espaciamiento en el crecimiento en
diámetro es más claro que en el crecimiento en altura. El incremento corriente anual
en altura culmina más temprano con espaciamiento mayor y más tarde con
espaciamiento más denso;
• Sitio, en sitios buenos el ICA en altura culmina más temprano que en sitios malos;
• Posición del rodal, el sombramiento trae como consecuencia una culminación del
ICA en altura más tarde.
13.2.3. Crecimiento en área basal
El crecimiento en área basal se evalúa a base de la medición del diámetro. Un
crecimiento en área basal constante por año significa que el crecimiento en diámetro
está en disminución.
Los mismos factores que favorecen al crecimiento en diámetro también favorecen el
crecimiento en área basal, sin embargo el incremento en área basal es diferente del
incremento en diámetro porque depende de dos factores, o sea, del diámetro inicial y
del incremento en diámetro.
El crecimiento en área basal se calcula con la siguiente expresión:
( )224
IdCAB I +=π (13.1)
Donde:
=d diámetro inicial
=I crecimiento diamétrico
=CAB crecimiento en área basal
Epidometría Capítulo XIII
302
Como 2I es muy pequeño, se tiene que:
( )IdCAB 24π
=
Ejemplo:
a) 1d = 0 102 =d
211 4
dg π= 2
22 4dg π
=
21 0*
4π
=g 22 10*
4π
=g
0*7854,01 =g 100*7854,02 =g
01 =g
100*7854,012 =− gg
b) 1d = 80 902 =d
211 4
dg π= 2
22 4dg π
=
21 80*
4π
=g 22 90*
4π
=g
6400*7854,01 =g 8100*7854,02 =g
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=− 6400*
48100*
412ππgg
1700*7854,012 =− gg
Epidometría Capítulo XIII
303
Como se observa el mismo crecimiento en diámetro (10) causa en el caso b un
incremento 17 veces mayor.
La siguiente ecuación explica cómo el incremento en área basal ( )gi depende del
diámetro inicial ( )id y del incremento en diámetro ( )di :
ifg ggi −=
ifd ddi −=
rifd iddi 2−−=
rif idd 2+=
Como: dr ii =2
dif idd += (13.2)
Donde:
=gi incremento en área basal;
=fd diámetro final;
=id diámetro inicia; y
=ri incremento en radio
Sabiendo que:
2*4
dg π=
( )2*4 dif idg +=π
Epidometría Capítulo XIII
304
)(*4
2ii dg π
=
Entonces tenemos que :
( ) 22
44 idig didi ππ−+=
( ) 222
42
4 iddiig diiddi ππ−++=
( )222 24 iddiig diiddi −++=π
( )224 ddig iidi +=π (13.3)
Si el incremento en diámetro comienza a disminuir, con todo eso el diámetro inicial ( )id
es cada año aún mayor y por eso el incremento en área basal hasta un cierto punto
continúa creciendo aún después de la culminación del incremento en diámetro. El gi
culmina más tarde que el di .
El incremento en área basal depende del incremento del área transversal de los árboles
y del número de árboles. Un raleo que elimina un gran número de árboles resulta al final
en un gran incremento de las áreas transversales, pero si el incremento de los árboles
remanentes no compensaran la pérdida del área basal de los árboles cortados el área
basal disminuirá.
13.2.3. Crecimiento en volumen
El crecimiento en volumen de un árbol depende del crecimiento en diámetro, altura y de
la forma. Por esta razón el cálculo del volumen inicial y final es obtenido sobre la base
de las mediciones iniciales y finales de esas tres variables.
Epidometría Capítulo XIII
305
Cuando se toman períodos cortos, se supone que la altura y la forma no cambian o
cambian poco, el crecimiento volumétrico se puede calcular a través de la siguiente
fórmula:
( ) fLddC ifv **4
22 −=π (13.4)
donde:
=fd diámetro final
=id diámetro inicial
=f factor de forma
Para calcular el incremento en volumen se debe considerar el incremento de los
factores: g , h y f .
Veamos ahora un ejemplo del crecimiento en volumen, comparándose esas variables
en dos edades. Esto es:
000 * fhgv =
fff fhgv *=
donde:
=0fh producto de la altura por el factor de forma;
=fv volumen final;
=0v volumen inicial;
=0g área transversal inicial; y
Epidometría Capítulo XIII
306
=fg área transversal final.
Por ejemplo, consideremos un año cero y un año T:
Año 0 Año T
0h = 20,0 m th = 25,0 m
0f = 0,5 tf = 0,6
0g = 1.0 ham2 tg = 2.0 ham2
0,100,20*5,000 ==hf m 0,150,25*6,0 ==tthf m
0,10,10*1,00 ==v 3m 0,30,15*2,0 ==tv 3m
0,20,10,3 =−=vi3m
1,01,02,00 =−=−= ggi tgham2
0,50,100,15 =−=−= fhfhi tfh m
0,21,0*1515*1,00 =+=+= gifhii fhtgv3m
Lo que queda demostrado que:
iffh fhfhi −=
ifg ggi −=
fgv fhiC *=
iii fhgv *=
iffgiif ghifhifhgv *** ++=
Epidometría Capítulo XIII
307
iiiffgiiv fhghgifhifhgi −++=
iffgv hgifhii += (13.5)
De los cálculos realizados anteriormente, se llega a las siguientes conclusiones:
• el incremento en volumen no es igual al producto de los incrementos en fhg ii * ,
porque:
45,00,5*1,0* ==fhg ii
este valor es diferente del valor de vi que presenta un resultado igual a 2,0 m3;
• el incremento en volumen no es proporcional al incremento en área basal, pues:
3:1:0 =tvv
2:1:0 =tgg
• la ecuación igtgv fhgifhii += muestra que los dos árboles tienen el mismo
incremento en área basal, altura y forma. El árbol que tiene mayor área basal inicial
( )ig , automáticamente tendrá el mayor incremento en volumen. Lo mismo vale para
el rodal.
13.2.4. Crecimiento en peso
El peso se determina como densidad básica o sea, la relación peso seco por el peso
verde.
Para producción de papel, interesa más la producción del bosque en toneladas que en
metros cúbicos.
Los factores que influyen en el peso específico de la madera son:
Epidometría Capítulo XIII
308
• la especie;
• las calidades de sitios, pues en sitios malos la madera tiene peso específico mayor y
los sitios buenos presentan maderas con pesos específico menor;
• la edad, ya que el peso específico aumenta conforme la edad en que la madera fue
formada.
13.2.5. Crecimiento en porcentaje
En el cálculo de este incremento se asume que el árbol es un capital que crece de
acuerdo con el interés. Luego el incremento puede ser evaluado con las fórmulas de
interés simple y compuesto.
Para períodos cortos de 5 a 10 años, el valor de interés simple y compuesto casi no se
diferencian. La diferencia se observa para períodos más largos de tiempo.
• Fórmula del interés simple
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
i
if
nVVV
Is *100 (13.6)
donde:
=Is porcentaje de incremento anual sobre la base de iV ;
=fV volumen al final del período (capital fina);
iV = volumen al inicio del período; y
=n número de años.
Epidometría Capítulo XIII
309
• Fórmula de interés compuesto
100*1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
i
f
VV
Ic
• Otras fórmulas para el crecimiento anual en porcentaje
- Fórmula de Pressler:
nVVVV
Pif
if 200*⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−=
- Fórmula de KUNSE:
( )( ) ( )11
200*++−
−=
nVnVViV
Pif
f
13.3. Medición de crecimiento a través de parcelas permanentes
La primera manera directa de medirse el incremento es a través de repetidas
mediciones de la misma área.
Las parcelas permanentes es la forma más adecuada para la recolección de los datos
útiles al manejo de bosques e investigaciones.
Cuando estas áreas son cuidadosamente medidas, los datos obtenidos constituyen una
información de crecimiento y de los incrementos de los varios parámetros asociados al
rodal.
Las informaciones pasadas y recogidas a través de repetidas mediciones , pueden ser
usadas para estimar el crecimiento futuro.
Epidometría Capítulo XIII
310
13.3.1. Método de control de las parcelas permanentes
La característica básica para el control son los inventarios que pueden ser comparables
a un intervalo regular de tiempo. Debe ser ejecutado en el tiempo exacto y seguir un
solo sistema para todas las mediciones.
Este método fue introducido por GUIRNAUD en 1878 en Francia y aplicado en Suiza en
1890 por BIOLLEY.
13.3.2. Puntos a ser analizados en la medición del crecimiento a través de
parcelas permanentes
Estos aspectos son los siguientes:
a) siempre deba ser medida la misma área, (área de ensayo, donde son medidos el
100% de los árboles;
b) si existiera tabla de volumen local, solamente serán medidos los diámetros a 1,30 m
del suelo ó DAP;
c) El DAP debe ser medido cuidadosamente y de manera consistente para evita
errores;
d) El volumen es computado a través de una tabla local de volumen basada
enteramente en el diámetro;
e) Serán anotados todos los árboles contados y cualquiera que hayan muertos en el
rodal; y
f) La razón del volumen de los árboles cortados obtenidos a través de la tabla y el
volumen mercantil obtenido de estos árboles es usada para corregir el volumen
dado por la tabla estándar en volumen mercantil de estos árboles cortados.
Epidometría Capítulo XIII
311
13.3.3. Estimación de crecimiento por comparación de inventarios
Por la comparación de inventarios sucesivos son obtenidos directamente el
incremento ó los incrementos anuales.
El crecimiento líquido es simplemente la diferencia del volumen correcto al inicio del
período y el volumen correcto al final del período.
El método de control no presenta problemas cuando son posibles de ser
comparados inventarios sucesivos.
Muchas veces esto no ocurre debido a que:
1. el período de tiempo entre inventarios es muy largo y puede ser que los árboles
que murieron dentro del período no sean incluidos al final del mismo;
2. Los árboles pueden ser quemados o arrancados por la acción de fuertes vientos
y no ser computados; y
3. Puede haber errores en el conteo de árboles cortados durante el período.
El mayor problema en este sistema es el del muestreo, para obtener un cierto
número de muestras a ser medidas a un costo menor y con una precisión
especificada.
Las mayores dificultades que se observan en este método, mencionado por
ODSBORNE en 1950, son:
• la existencia de la dificultad en localizarse una nuestra cuando el intervalo de tiempo
para medirse esa nuestra es largo; y
• los tratamientos destinados a muestras son diferentes, muchas veces, del total del
rodal, dando de esta manera una información artificial del rodal.
Epidometría Capítulo XIII
312
13.4. Análisis de fuste, metodología, muestra
13.4.1. Conceptualización
Muchos son los países que investigan sobre el crecimiento de los árboles, ya sea para
finalidades silviculturales, dendrológicas u otras. Sin embargo, conforme consta en
ECKSTEIN (1972), no se sabe exactamente quién reconoció primero que los árboles
crecen en camadas anuales. Esta forma de crecimiento, típica de los árboles
principalmente de las regiones frías y templadas, hace que su desarrollo pasado sea
conocido.
Creciendo en camadas, los árboles forman anualmente, vista en la sección transversal
del tronco, anillos que pueden ser conocidos por medio del análisis de fuste.
Se entiende por análisis de fuste, el análisis de ciertos números de secciones
transversales retiradas del fuste o tronco de un árbol, para determinar se crecimiento y
calidad, en diferentes período de su vida. Esta definición abarca todas las áreas, ya
sean tecnológicas, silviculturales u otras, así como cualquier especie forestal que posea
características que permitan este análisis. Se puede decir aún que análisis de fuste es
el análisis de rodajas transversales extraídas del fuste o tronco de un árbol a diferentes
alturas, a fin de que pueda ser estudiado su desarrollo pasado mediante los anillos de
crecimiento.
13.4.2. Importancia del análisis de fuste
La elaboración de un plan de manejo en una empresa forestal, exige un complejo de
informaciones que facultan al técnico el pleno conocimiento del tipo y potencialidades
del material con el cual se está trabajando.
Epidometría Capítulo XIII
313
A partir de ese conjunto de informaciones se tiene indicación del comportamiento de las
especies forestales en función de las condiciones del ambiente. Y basado en ese
comportamiento es elaborado el planeamiento de la producción forestal, además de
suministrar material para la toma de decisiones que implican alcanzar los objetivos y
metas establecidas.
En ese particular, es de fundamental importancia el conocimiento de la capacidad
productiva del lugar para la especie o especies de interés traducida en términos de
volumen sólido de madera. Esto porque basándose en los incrementos en volumen,
aliado al comportamiento de la especie a lo largo del tiempo se puede hacer previsión
de la producción futura.
La producción de una especie en determinado sitio, puede ser evaluada a través de
diferentes técnicas entre las cuales se destacan los inventarios forestales continuos. Sin
embargo, a través de este procedimiento sería necesaria la toma de informaciones
durante un período de tiempo equivalente a una rotación para conocerse el
comportamiento de la especie.
En este aspecto, el análisis de fuste, adquiere importancia singular, en vista que en
cualquier época se puede reconstruir el pasado de un árbol, sintetizando su
comportamiento desde la fase juvenil hasta el momento actual.
13.4.3. Metodología
El análisis de fuste puede hacerse a través de dos métodos distintos:
a) Análisis de fuste completo (árboles derribados); y
b) Análisis de fuste parcial (árboles en pie).
Epidometría Capítulo XIII
314
Los pasos básicos para llegar a un análisis de fuste completo van desde la selección
del árbol a ser analizado hasta llegar a los resultados e, se pueden ser los siguientes:
• selección del árbol a ser analizado, definiendo cuantos y cuales árboles deben ser
analizados, lo que constituye siempre una interrogación para el técnico (Muestreo);
• marcado de los árboles;
• derribo de los árboles;
• marcado de las rodales a ser extraídas del fuste; extracción de las rodajas;
• Secado de las rodajas;
• Enumeración de las rodajas;
• Medición de las rodajas;
• Cálculo del diámetro, área transversal, altura, volumen y factor de forma, cada una
de esta variable por edad. Cálculo del Incremento Corriente Anual (ICA) y el
Incremento Medio Anual (IMA) de cada variable;
• Cuadro resumen de los resultados;
• Gráficos de los resultados; y
• Análisis de los resultados.
Poseyendo todas las informaciones sobre el desarrollo pasado, podrá el investigador
(técnico) encontrar la función mejor represente el crecimiento. Con la función
determinada, podrá hacer pronósticos y tomar decisiones futuras.
Epidometría Capítulo XIII
315
13.4.4. Muestreo
Definir cuántos y cuales árboles se deben analizadas, constituye siempre un problema
al técnico.
Inicialmente se debe encontrar una muestra que sea representativa de la población
objeto de estudio.
Considerando cada árbol como una unidad de muestra, teóricamente se puede apenas
usar un sólo individuo representativo de la población.
En el análisis de fuste para la clasificación de sitios se utilizan siempre árboles de
alturas dominantes (hdom).
Se usan con mayor frecuencia árboles con diámetro medio (dg) del rodal (ver figura
13.1). Algunos investigadores (técnicos) obtienen buena estimación con el análisis de
tres árboles con diámetro medio por clase de edad y calidad de sitio.
Se puede también, de acuerdo con SPURR, coger un porciento del número de árboles
de las clases diamétricas situadas alrededor del diámetro medio.
Figura 13.1: Curva de distribución diamétrica de los árboles en una masa regular
Al definirse el número de árboles a evaluar se debe conciliar la precisión requerida en la
estimación o costo resultante de la morosidad del proceso.
Epidometría Capítulo XIII
316
13.4.5. Selección y preparación de las rodajas
En este ítem se incluye la metodología a ser seguida desde el derribo del árbol hasta la
preparación para el análisis de las rodajas extraídas del fuste o tronco.
13.4.5.1. Corte del árbol
Después de encontrado el árbol a ser cortado, se marca una posición en este con
relación a la exposición de los puntos cardinales. Esta marca debe ejecutarse de tal
manera que, al derribarse el árbol, quede volteada para arriba, conforme se muestra en
la figura 13.2.
Figura 13.2: Posición de la marca para extraer la rodaja en un árbol derribado
Se recomienda que esta marca con relación a los puntos cardinales se hecha a la altura
de 1,30 m teniendo en cuenta que esta rodaja será retirada obligatoriamente.
La marca de uno de los puntos cardinales debe efectuarse a fin de que después de la
caída del árbol se puedan tener todas las rodajas extraídas de la misma manera,
pudiendo ser el árbol nuevamente reconstituido y construido.
Epidometría Capítulo XIII
317
Después del derribo del árbol, se limpian los gajos de la parte superior del fuste
dejándose los toconcitos junto al tronco para que pueda identificarse mejor los
extremos. Sobre el tronco derribado se extiende una cadena de tal manera que esta
tenga su punto de 1,30 m coincidente con la marca realizada a esa misma altura en el
árbol, cuando este estaba en pie. Además de la coincidencia a 1,30 m la cadena deberá
pasar por otros puntos de modo que se tenga todas las rodajas extraídas del mismo
modo, en la misma línea de exposición.
13.4.5.2. Selección, marcación y corte de las rodajas
Las rodajas que deben ser marcadas son las 0,0 m; 0,30 m; 1,00 m y 1,30 m. Las
demás son extraídas entre los verticilos ( en los entrenudos).
La rodaja 0,0 m debe extraerse porque ella representa el diámetro del árbol justo
encima del suelo; la rodaja retirada a 1,30 m es, universalmente, conocida como DAP,
la cual se necesita para calcular el diámetro representativo por edad y el área
transversal también por edad, además de ser la rodaja usada el cálculo del factor de
forma común. Las rodajas a 0,30 m y a 1,00 m deben ser extraídas para que no se
pierdan informaciones en el tramo comprendido entre la rodaja 0,0 y la rodaja a 1,30 m.
Las demás rodajas deben ser cortadas entre los verticilos (entrenudos), pues en esta
posición no tendrá interferencia de nudos que ocasionaría una gran dificultad y una
imprecisión en las mediciones de los radios en las respectivas rodajas.
La ventaja de no medirse las distancias fijas para la mayoría de las rodajas es que no
se tendrá problemas de los nudos y se podrá medir los radios con mayor exactitud. La
figura 13.3 muestra una rodaja extraída del árbol con los anillos de crecimientos
anuales.
Epidometría Capítulo XIII
318
Figura 13.3: Esquema de una rodaja
La desventaja de no medirse las distancias fijas para la extracción de las rodajas es que
estará siendo sistemático y cometiendo errores de substracción cuando es considerado
en término de volumen, debido a no considerarse el volumen proveniente de los nudos.
Sin embargo, esto puede ser compensado cuando se hace la medición en los
entrenudos obteniéndose datos reales, mientras que en el caso de las distancias fijas y
consecuente medición en los nudos, el error cometido puede reflejar un beneficio mayor
y sus condiciones de ser detectado. La figura 13.4 muestre el volumen de los nudos no
considerados.
Epidometría Capítulo XIII
319
Figura 13.4: Volumen de los nudos no considerados
La experiencia práctica sugiere que las rodajas sean marcadas antes de ser cortadas
para evitar pérdidas de informaciones. Cada árbol se identifica con un número, así
como la altura de 1,30 m (ver figura 13.5).
Figura 13.5: Número del árbol y altura donde se extrae la rodaja.
Epidometría Capítulo XIII
320
Después de marcados los troncos, se cortan encima y debajo de la marca de tal
manera que la rodaja extraída posea aproximadamente 5,0 centímetros de ancho. Este
ancho está en función del secaje de la rodaja (ver figura 13.6).
Figura 13.6: Corte y ancho de la rodaja
13.4.5.3. Transporte de las rodajas
Después de cortadas y verificadas las rodajas estas deben ser inmediatamente
transportadas en sacos de estopa u otro embalaje bien ventilado para el lugar de
sacado.
El atraso de transporte o el transporte e n embalaje cerrado puede ocasionar daños
considerables a las rodajas debido al ataque de hongos ocasionado por la humedad
existente en las rodajas, corriéndose el riesgo de perder todo el trabajo.
Habiendo la posibilidad es aconsejable que después de secas las rodajas se haga
fotocopia de las mismas sobre la cara que se hará las mediciones. El proceso consiste
en marcar el cruzamiento de los radios con los anillos y sacar copia de las rodajas.
Incluso si las copias no quedan bien nítidas, por lo menos los cruzamientos de los
radios, lo que interesa en la medición, serán nítidos.
Epidometría Capítulo XIII
321
13.4.5.4. Secado y alisamiento de las rodajas
El objetivo de proponerse que el ancho de las rodajas sean aproximadamente 5,0 cm
está en la experiencia práctica en el secaje, pues si la rodaja fuera muy ancha
demorará mucho para secar y si fuera muy estrecha se agrietará en el secaje. Habiendo
agrietamientos de grandes dimensiones o cantidades, causará problemas en las
mediciones, pudiendo, incluso, perder todo el trabajo.
Inmediatamente después de la llegada de las rodajas del campo al laboratorio, estas
deben ser colocadas para secar, en el caso de que esto no se haya hecho en el campo.
El secaje de las rodajas debe hacerse en lugares bien airado y a la sombra y el frente y
el reverso de la rodaja no deberá estar en contacto con otra superficie, así como con
otra rodaja.
Las rodajas deberán ser alisadas cuando no estén con una humedad excesiva pues si
no afectaría el proceso de alisamiento, impregnando a la lija con el exceso de resina y
no muy seca, pues se agrietaría cuando esté en contacto con el calor de la lijadora.
Se recomienda que todas las rodajas sean medidas en la parte superior, como norma.
Sin embargo, puede suceder tener que medirse en la parte inferior.
Para mejorar la visualización de los anillos de crecimientos son usados productos
químicos, principalmente en especies en que los anillos de crecimiento no se presentan
bien definidos. Los productos más usados son:
a) Fuceina al 1%; y
b) Productos compuestos de: 20% de ácido acético, 80% de agua destilada y 10 gotas
de safranina al 1%.
Epidometría Capítulo XIII
322
13.4.5.5. Medición de las rodajas
Después de haber sido cortadas, secadas y alisadas todas las rodajas se procede a la
marcación de los radios que deberán ser medidos para la estimación del crecimiento
anual.
En posesión de las rodajas se selecciona el mayor radio con auxilio de un compás.
Escogido el mayor radio se sugiere la marcación de cuatro radios en ángulo de 90°
entre sí.
La medida de los radios en las rodajas se hará encima de estos cuatro radios
marcados, formando una cruz. Colocándose un regla común de buena precisión sobre
cada radio, de tal forma que el cero de la regla coincida con la médula de la rodaja, se
lee directamente el valor del radio en cada anillo, conforme se muestra en la figura 13.7.
Figura 13.7: Medición de los anillos de crecimientos en la rodaja
De esta manera, al final se tendrá en cada rodaja cuatro radios, conteniendo “n”
medidas según sean los números de anillos de cada rodaja. Con estos datos se podrá
confeccionar una tabla.
Epidometría Capítulo XIII
323
Poseyendo estos datos por rodaja, teniéndose la altura total del árbol y las alturas de
las rodajas, se puede obtener los resultados del análisis. Estos resultados son:
• Diámetro, que es obtenido por el doble del radio medio aritmético encontrado. Con
esto se tiene el diámetro presentado por edad o anillo. El diámetro presentado con la
finalidad de conocerse el crecimiento es basado en la rodaja a 1,30 m.
• Altura, para determinar cuál es la altura que el árbol tuvo en cada año, es preciso
saber en qué altura del fuste terminó el anillo.
Según BOROSSO, la determinación del punto en que termina cada anillo, debe ser
hecha tomando una paralela del anillo inmediatamente siguiente en el intervalo
considerado, o sea, el anillo se encuentra con la médula con el mismo ángulo del anillo
siguiente. Se observa que el último anillo del árbol, esto es, el anillo anterior a la corteza
se encuentra con la médula según una paralela a la línea de la corteza en el intervalo
en que termina (ver figura 13.8). La determinación del punto en que termina cada anillo
en altura se hace tomándose una paralela al anillo externo anteriormente trazado.
Completado el trazado del perfil, con la determinación del punto exacto al término de
cada anillo, se puede leer, en el gráfico, la altura alcanzada por el árbol en cada.
Epidometría Capítulo XIII
324
Figura 13.8: Representación del punto donde termine el anillo de crecimiento
Para el cálculo del área transversal se usa:
2
4dgi
π=
donde:
i = 1, 2.3, ..., n; y
n = edad del árbol
Con esto se puede obtener las áreas transversales por edad.
• Volumen, normalmente la cubicación de los anillos se efectúa por una de las
fórmulas convencionales de SMALIN o HUBER. Para tal cálculo se considera el
intervalo de cada dos anillos de medición de las rodajas como pequeñas trozas
donde se calcula el volumen riguroso de cada anillo.
Usando el método (fórmula) de SMALIAN se tiene:
Epidometría Capítulo XIII
325
Lgg
v i *2
)1( ++
=
donde:
gi = área transversal en el inicio de la troza (1ra. Sección de la troza);
g(i+1) = área transversal en el final de la troza;
v = volumen del anillo de la troza; y
L = longitud de la troza
El volumen de la porción final de cada anillo se determina de la siguiente manera:
Lgv ic 31
=
donde:
vc = volumen del cono (porción final del anillo);
gi = área transversal de la base del cono; y
L = longitud del cono.
La cubicación de los anillos puede efectuarse considerándose cada anillo como un
árbol individual. Este proceso es ventajoso cuando se trata de análisis de árboles
jóvenes con pocos anillos de crecimiento.
Mientras que en árboles adultos que presentan un elevado número de anillos,
especialmente las especies que presentan un pequeño incremento en diámetro, ese
procedimiento es factible de equivocaciones personales que introducen errores
significativos de evaluación.
Epidometría Capítulo XIII
326
Para evitar tal problema se puede efectuar la cubicación de todos los anillos en cada
troza delimitada por dos niveles consecutivos de medición de las rodajas, según
esquema de la tabla abajo representada.
Anillos Diámetro (cm) Área transversal (m2) Volumen (m3)0,00 0,30 0,00 0.30
Corteza 12 11 10 * * * 1
Así el volumen de cada anillo en cada troza corresponde al incremento en volumen
verificado entre el anillo considerado y el anterior. El volumen total de cada anillo está
dado por la sumatoria de los volúmenes parciales (incremento) calculado en cada troza.
La sumatoria de los volúmenes de todos los anillos corresponde al volumen real del
árbol.
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