Diferentes formas de una ecuación Una ecuación en dos variables se puede expresar en más
de una forma equivalente utilizando correctamente
operaciones inversas para despejar la ecuación para
cualquiera de sus variables.
Formas de la ecuación lineal:
• Forma general 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
• Forma estándar 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
• Forma punto-pendiente 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
ECUACION DE LA RECTA
• Una ecuación en dos variables que representa una recta es
• y = m x + b
• Por ejemplo, a la derecha se muestra la grafica de y = 2x – 1
Nota: La gráfica tiene tres características distintivas:
su inclinación
intercepto – y
intercepto - x
Noción de pendiente
Se describe la inclinación de
una recta con una medida
llamada pendiente.
A mayor pendiente, mayor
inclinación. (En la figura L1 está
más inclinada que L2.)
Para calcular la pendiente,
tomamos dos puntos por los
cuales pasa la recta,
𝒙𝟏, 𝒚𝟏 , 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 y calculamos:
Graficar una recta dado su pendiente
Grafique la recta que pasa por P(2, 1) y que
tiene pendiente igual a
a) 5
3 b) −
5
3
Rectas horizontales y verticales
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, 4) y que es paralela a (a) el eje de x (b) el eje de y
SOLUCION:
Determinar la ecuación de una recta
Dada la pendiente
de una recta, m, y un
punto sobre la recta,
P(x1, y1 ), usamos
y – y1 = m(x – x1) ,
para hallar la
ecuación de la recta.
y2-y1
x2-x1
𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 7) y B(-3, 2).
SOLUCION: • La figura muestra una gráfica de la recta cuya
ecuación buscamos. • Para hallar la ecuación necesitamos,
primeramente hallar la pendiente.
y – y1 = m(x – x1)
Forma Pendiente-Intercepto
y = mx + b
El número b es el intercepto en y de la
gráfica.
La gráfica es una recta con pendiente m
y que pasa por el punto (0, b) .
Ilustramos:
Pendiente-Intercepto (cont.)
y2-y1
x2-x1
𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Ejemplo
SOLUCION:
a) Determinar pendiente
b) Hallar el intercepto en y
Use la pendiente para dibujar la gráfica de la ecuación 3x – 5y = -10.
Ejemplo Una línea tiene pendiente de e int-y en (0, 16). Hallar una ecuación para la línea. Solución:
7
9
Ejemplo
Una línea tiene pendiente de y pasa por el punto (–3, 6). Determinar una ecuación para la línea.
2
3
Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas, m1 y m2, son paralelas si y
solo si tiene la misma pendiente, m1 = m2
Dos rectas, m1 y m2, son perpendiculares
si y solo si m1m2 = -1 ,
(esto es, que una de las pendientes es el
recíproco negativo de la otra. ) 𝒎𝟐 = −𝟏
𝒎𝟏
Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.
(a) La recta que pasa por (–1, –2) y (1, 2) y la recta que pasa por (–2, 0) y (0, 4).
Hallar y comparar pendientes:
Pendientes iguales; rectas paralelas.
Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.
(b) La recta que pasa por (0, –4) y (-1, -7) y la recta que pasa por (3, 0) y (-3, 2).
Hallar y comparar pendientes:
Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.
(b) La recta –x + 2y = -2 y la recta 2x = 4y + 3
Convertir cada ecuación a la forma pendiente intercepto:
Ejemplo Hallar la ecuación lineal que cumple las siguientes condiciones: • pasa por el punto (6, -7) • Su gráfica es perpendicular a la gráfica de
6x + 3y = 4.
SOLUCION:
Ejemplo • Determinar la recta que satisface las siguientes
condiciones: a) pasa por (3, -1) b) Es paralela a 5x – 2y = 4
Ejemplo El crecimiento de un feto después de 12 semanas de edad se puede aproximar por la fórmula, L= 1.53t – 6.7, donde L es la longitud (en centímetros) y t es la edad (en semanas). La longitud prenatal puede ser determinado por ultrasonido. Aproxime la edad de un feto cuya longitud es de 28 centímetros. Solución:
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