7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 1/32
setiembre 2008 amarre fuerte 1
Introducción al Estado Sólido:
El amarre fuerte
(tight-binding, en inglés)
R. Baquero
Departamento de Física
Cinvestav
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 2/32
setiembre 2008 amarre fuerte 2
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?
Uno de los objetos de estudio del Estado Sólido, es el estudio de lamateria en estado cristalino.
El estado cristalino es un arreglo periódico de átomos en interacción.
El arreglo periódico se llama red. Una red cubre, en teoría todo el espacio.
La periodicidad se describe por medio de la Teoría de Grupos
Hay diferentes tipos de periodicidad, es decir diferentes grupos cristalinosque se manifiestan por la colocación de los átomos en la red.
El grupo cúbico tiene simetría cúbica, es decir la misma que tiene un cubo. A
ese grupo pertenecen tres redes:1- Cúbica simple (CS): simple cubic, en inglés (sc).
2- Cúbica centrada en el cuerpo (CCC); body centered cubic, en inglés, (bbc).
3- Cúbica centrada en las faces (CCF); face centered cubic, en inglés, (fcc)
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 3/32
setiembre 2008 amarre fuerte 3
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?
Red Cúbica Simple, CS
Simple cubic lattice (sc)
Encontrar 4 elementos de simetría
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 4/32
setiembre 2008 amarre fuerte 4
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?
Red Cúbica centrada (CC)
Body centered cubic lattice (bcc)
Encontrar 4 elementos de simetría
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 5/32
setiembre 2008 amarre fuerte 5
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?
Red Cúbica centrada en las
caras (CCC)Face cubic centered (fcc)
Encontrar 4 elementos de simetría
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 6/32
setiembre 2008 amarre fuerte 6
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?
Interacciones en la
Red Cúbica Simple, CSSimple cubic lattice (sc)
a
R2
R4
R6
R1 R3
R5
i j
k
R = pa i + qa j + ra k
Encontrar lossegundos y losterceros vecinos
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 7/32
setiembre 2008 amarre fuerte 7
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?
Interacciones en la
Red Cúbica Simple, CSSimple cubic lattice (sc)
a
i j
k
R = pa i + qa j + ra k
Metal
Semi-conductor
aislante
Dependiendo del enlace:
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 8/32
setiembre 2008 amarre fuerte 8
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?
Interacciones en la
Red Cúbica Simple, CS
Simple cubic lattice (sc)
a
i j
k
R = pa i + qa j + ra k
Metal
Los electrones están
“ libres” dentro delespacio de la red
I d ió l E d Sólid R B
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 9/32
setiembre 2008 amarre fuerte 9
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?
Interacciones en la
Red Cúbica Simple, CS
Simple cubic lattice (sc)
a
i j
k
R = pa i + qa j + ra k
Semi-conductor yaislante
Los electronesse
encuentran atrapadosen los enlaces
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 10/32
setiembre 2008 amarre fuerte 10
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
De amarre(bonding)
Anti-enlace
(anti-bonding)
Ejemplos de estadoselectrónicos en el enlace
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 11/32
setiembre 2008 amarre fuerte 11
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?
¿QUÉ QUEREMOS SABER?
1- Estados electrónicos (función de onda y energía
2- Estados de vibración de los iones (función de onda y energías)
(fonón es la diferencia en energía y momento entre dos estadosvibracionales)
3- Interacción entre iones y electrones: cómo se intercambia energíaentre ellos. (interacción electrón-fonón)
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 12/32
setiembre 2008 amarre fuerte 12
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?
¿QUÉ QUEREMOS SABER?
1- Estados electrónicos (función de onda y energía
2- Estados de vibración de los iones (función de onda y energías)
(fonón es la diferencia en energía y momento entre dos estadosvibracionales)
3- Interacción entre iones y electrones: cómo se intercambia energíaentre ellos. (interacción electrón-fonón)
PARA CALCULAR, EN FORMA SENCILLA, AUNQUE APRXIMADA, LOS ASPECTOS ANTERIORES,ESTUDIAMOS EL MÉTODO DE AMARRE FUERTE
Á
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 13/32
setiembre 2008 amarre fuerte 13
Introducción al Estado Sólido. R. BaqueroLINEAMIENTOS GENERALES DEL CÁLCULO
EL método es útil porque preserva la simetría exacta del sistema, es decir, elHamiltoniano tiene la misma simetría que la red cristalina descrita.
.( ) ( ) j
j
i
n n jeφ ψ = −∑ k R
R
r r R
Para construir la matriz hamiltoniana, necesitamos una base completa de
funciones. En nuestros caso, si queremos describir un metal (los electrones,las vibraciones y la interacción electrón-fonón) , esas funciones deben sersoluciones de la Ecuación de Shrödinger que incluya la periodicidad delsistema. Los electrones pueden ser descritos por medio de ondas de Bloch(que tienen la periodicidad de la red), de la forma:
Calcular las energías significa obtener el Hamiltoniano y resolver la Ecuaciónde Shrödinger.
I t d ió l E t d Sólid R B1 k R
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 14/32
setiembre 2008 amarre fuerte 14
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero.1( ) ( ) j
j
i
n n je N
φ ψ = −∑ k R
R
r r R
Los elementos de la matriz Hamiltoniana toman la forma
.( ) *
,
1( ) ( ) j i
j i
i
n i m j
e d H N
ψ ψ −
− −
∑ ∫
k R R
R R
r r R r R
Vector de desplazamiento desde el átomo donde seencuentra el orbital n al átomo donde se encuentra
el orbital m
( )l
l
H H = −
∑R
r R
El hamiltoniano es esférico:
En general, detres centros
Número decelda unitarias
Introducción al Estado Sólido R Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 15/32
setiembre 2008 amarre fuerte 15
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
.( ) *
,
( ) ( ) j i
j i
i
n i m je d H ψ ψ
−− −∑ ∫
k R R
R R
r r R r R
Hipótesis:
Entre más lejos se encuentren los dos átomos en cuestión, más pequeñova a ser el integral. ¿Por qué?
Hay traslape porque están más cerca
No hay traslape porque están más lejos
Entre mayor sea el traslape, mayor será el integral.
Podemos limitar el número de vecinos !!!
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
P i d t i
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 16/32
setiembre 2008 amarre fuerte 16
Primeros, segundos y terceros vecinos:¿cuántos hay de cada uno?
a
i
jk
VECINOS EN LA REDCÚBICA SIMPLE
PRIMEROS VECINOS
SEGUNDOS VECINOS
TERCEROS VECINOS
6
12
8
Introducción al Estado Sólido R Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 17/32
setiembre 2008 amarre fuerte 17
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
PRIMEROS VECINOS
SEGUNDOS VECINOS
TERCEROS VECINOS
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 18/32
setiembre 2008 amarre fuerte 18
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
.( ) *( ) ( ) j i
j
i
n i m je d H ψ ψ −
− −∑ ∫k R R
R
r r R r R
Para calcular el elemento Hnm de la matriz Hamiltoniana debemos elegir:
1- la distancia máxima que tomaremos en cuenta para el cálculoconcreto. Decimos, entonces, que el cálculo está hecho a primerosvecinos, a segundos vecinos, a terceros vecinos, etc.
Podemos eliminar la suma por Ri que repite los términos de la sumapor R
j
y así eliminamos el prefactor 1/N. Obtenemos:
2- Los estados u orbitales atómicos (n y m) que tomaremos encuenta en cada uno de los átomos. A esto le llamaremos “ La base” .
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 19/32
setiembre 2008 amarre fuerte 19
q
El concepto de “ Base”
ión
Órbitas externas
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 20/32
setiembre 2008 amarre fuerte 20
El concepto de “ Base”
Electrones atómicosexternos (de valencia)
Electrones
libres metálicos
En un sól ido, los electrones atómicos externos (de valencia)
constituyen los enlaces entre iones (en semi-conductores oaislantes) o se convierten en electrones libres (en metales)tal y como lo ilustra la figura.
EN UN SÓLIDO:
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 21/32
setiembre 2008 amarre fuerte 21
.( ) *( ) ( ) j i
j
i
n i m je d H ψ ψ −
− −∑ ∫k R R
R
r r R r R
Por la razón anterior, para calcular la matriz hamiltoniana,H
nm, seleccionamos como “ base” (como los estados
electrónicos n y m) los orbitales atómicos externos delátomo que constituye el sólido. Es decir,
Orbitales atómicos externos
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 22/32
setiembre 2008 amarre fuerte 22
.( ) *( ) ( ) j i
j
i
n i m je d H ψ ψ
−− −∑ ∫
k R R
R
r r R r R
Un cálculo de amarre fuerte de la matriz Hmn del Hamiltoniano:
Comienza por especificar
El número de vecinos quese toma en cuenta.
Los orbitales átómicos que setoma en cuenta (número y tipo).
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
Orbitales atómicos:
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 23/32
setiembre 2008 amarre fuerte 23
Orbitales atómicos:
Los números cuánticospara un átomo son:
El número cuántico principal “ n”
El número cuántico del momento
angular “ l” (0, 1, 2, …n-1)
El número cuántico de la proyeccióndel momento angular “ m” (- l, - l + 1,- l + 2, …, 0 , 1, 2, …+ l)
Nótese que para cada n hay n2 estados atómicos diferentes sin
tomar en cuenta el espín. Si lo tomamos en cuenta, habrá 2n2.
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 24/32
setiembre 2008 amarre fuerte 24
DEMOSTRACIÓN:
1 1
0 0
1 (2 1) 1 3 5 7 ... (2 1)n l n
l m l l
l n− −
= =− =
= + = + + + + + −∑ ∑ ∑
2
1 3 5 ... (2 1)
(2 1) (2 3) (2 5) ... 12 2 2 ... 2 2 * 2
n
n n nn n n n n n n
+ + + + −
− + − + − + +
+ + + + = =
1 12
0 0
1 (2 1) 1 3 5 7 ... (2 1)n l n
l m l l
l n n− −
= =− =
= + = + + + + + − =∑ ∑ ∑
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 25/32
setiembre 2008 amarre fuerte 25
En el caso de los sólidos definimos
s
p
d
l = 0 Un solo orbital m = 0
l = 1
l = 2
Tres orbitales
Cinco orbitales
px
py
pz
dxy
dzx
dyz
dx2-y2
d3z2+r
2
Introducción al Estado Sólido. R. BaqueroLa aproximación de dos centros
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 26/32
setiembre 2008 amarre fuerte 26
.( ) *( ) ( ) j i
j
i
n i m je d H ψ ψ
−− −∑ ∫
k R R
R
r r R r R
p
Para calcular la expresión:
1- Consideraremos sólo los términos H(r-Ri) y H(r-R j) : A esta consideraciónse le conoce como “ la aproximación de dos centros” .
2- Tomaremos el origen en Ri.
.( ) *( ) ( ) j
j
i
n m je d H ψ ψ −∑ ∫k R
R
r r r R
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 27/32
setiembre 2008 amarre fuerte 27
Con R = pa i + qa j + ra k
*
* ,
( ) ( )
( ) ( ) ( , , )
n m j
n m n m
d H
d H pa qa ra E p q r
ψ ψ
ψ ψ
− =
− − − ≡
∫
∫
r r r R
r r r i j k
.( ) *( ) ( ) j
j
i
n m je d H ψ ψ −∑ ∫k R
R
r r r R
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
EJEMPLO: RED CÚBICA SIMPLE
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 28/32
setiembre 2008 amarre fuerte 28
Primeros vecinos, orbital s
a
R2
R4
R6
R1 R3
R5
i
jk
R = pa i + qa j + ra k
R = +a iR = -a i
Etc.
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
( ) *( ) ( )jid H∑ ∫
k RR
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 29/32
setiembre 2008 amarre fuerte 29
.( ) *( ) ( ) j
j
i
n m je d H ψ ψ −∑ ∫k R
R
r r r R
(1) (1)( | | ) ( | )s H s s s≡ =
. * . *00 00 00 00( ) ( ) ( ) ( )ia ia
n n n ne d H a e d H aψ ψ ψ ψ −+ − + + +∫ ∫
q i q ir r r i r r r i
. * . *00 00 00 00( ) ( ) ( ) ( )i ia
n n n ne d H a e d H aψ ψ ψ ψ −+ − + + +∫ ∫
q j q jr r r i r r r i
. * . *00 00 00 00( ) ( ) ( ) ( )ia ia
n n n ne d H a e d H aψ ψ ψ ψ −+ − + −∫ ∫
q k q kr r r i r r r i
*00 00( ) ( )n nd H ψ ψ +∫ r r r
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 30/32
setiembre 2008 amarre fuerte 30
. * . *
. . . .
( ) ( ) ( ) ( ) .( 100) (100) (100)[ ]
ia ia
s s s s
ia ia ia ia
ss ss ss
e d H a e d H a etc
e E e E E e e
ψ ψ ψ ψ −
− −= − + + + == − + = +
∫ ∫q i q i
q i q i q i q i
r r r i r r r i
x y zak ak ak ξ η ζ = = =
. .(100)[ ] 2 (100)cosia ia
ss ss E e e E ξ −+ =q i q i
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 31/32
setiembre 2008 amarre fuerte 31
(1) (1)( | | ) ( | )s H s s s≡ =
Con lo cual obtenemos,
(000) 2 (100)[cos cos cos ]ss ss E E ξ η ζ = + + +
TAREA: Obtener la Tabla II del artículo Phys. Rev. 94, 1498 (1954)
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-amarre-fuerte-i 32/32
setiembre 2008 amarre fuerte 32
Top Related