MB0005_M2AA2L1_Fracciones Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez
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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
Método de integración por fracciones parciales
Por: Sandra Elvia Pérez
• ¿Recuerdas que se te comentó que no existe una regla
general para resolver la integral de una función racional?
• Entonces, ¿cómo la resuelves?
Algunas funciones racionales muy específicas sí tienen reglas de integración como las que conociste en el primer módulo de este curso. Las que son muy parecidas a las fórmulas de integración directa, pero que por un detalle no pueden ser resueltas, se resuelven por el método de sustitución trigonométrica.
¿Cómo le haces con todas las demás?
Para ello acude al álgebra y dependiendo de qué tipo de fracción se tenga es el procedimiento a seguir:
• Si tienes la división de dos polinomios donde el grado del numerador es mayor al grado de denominador, se debe hacer una división entre polinomios.
• Si el grado del numerador es menor al grado del polinomio del denominador, se utiliza el método de
las fracciones parciales. Para poder aplicar este método se tienen 4 casos establecidos por la forma factorizada del denominador del integrando.
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Caso 1 El denominador tiene solamente factores lineales que no se repiten.
Caso 2 El denominador tiene factores lineales que se repiten.
Caso 3 El denominador tiene factores cuadráticos que no se repiten.
Caso 4 El denominador tiene factores cuadráticos que se repiten.
Tabla 1. Cuatro casos establecidos por la forma factorizada del denominador del integrando. La tabla 2 muestra la forma que toma el integrando en cado uno de los cuatro casos y su descomposición en fracciones parciales.
Caso Forma inicial del Integrando
Representación en fracciones parciales
1
2
3
4
Tabla 2. Casos de Integración por fracciones parciales. Dependiendo del caso que te encuentres:
))()(()(
cxbxaxxP
−−− )()()( cxC
bxB
axA
−+
−+
−
naxxP)()(
− )(?.......
)()()( 21 axaxC
axB
axA
nnn −+
−+
−+
− −−
))(()(22 bxxaxxP
−++ )()( 22 bxxDCx
axBAx
−++
+++
naxxP)()(
2 + )(??....
)()( 2122 axx
axDCx
axBAx
nn ++
+++
+++
−
Primero se separa el integrando en fracciones parciales.
Posteriormente se procede a encontrar, aplicando métodos algebráicos, el valor de las constantes de los numeradores (A, B, C, D...)
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A continuación se presentan algunos ejemplos. Caso 1. Ejemplo 1
Calcula la integral
Solución Comienza por factorizar completamente el denominador del integrando y queda:
Ahora que se tiene completamente factorizado el denominador, se puede observar que todos los factores son lineales y que ninguno se repite, por lo tanto, se trata de una integral del caso 1. Separando en fracciones parciales de acuerdo al caso 1, tienes:
El paso siguiente es determinar los valores de las constantes A, B y C. Para ello es necesario realizar la suma de fracciones y tienes:
Recuerda que una suma de fracciones se realiza de la siguiente forma:
1. Se determina el denominador común. En este caso, el denominador común es la multiplicación de los factores
lineales, es decir, 2. Dividir el denominador común por cada uno de los
denominadores y multiplicar por su numerador correspondiente. Esto se explica en la tabla 3.
∫ − 2x)32x(
x²+x³dx+
)1)(2(32x
)2(32x
2x32x
−−− x+xx+=
x+x²x+=
x²+x³+
12)1)(2(32x
)2(32x
2x32x
−−−− xC+
+xB+
xA=
x+xx+=
x+x²x+=
x²+x³+
( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )122112
1232x
−
−−
−+ x+xx+xxC+xxB+x+xA=
xxx+
( )( )12 −+ xxx
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Dividiendo entre x, tienes:
Al multiplicar este resultado por A, se obtiene .
Dividiendo entre , tienes:
Al multiplicar este resultado por B, se obtiene .
Dividiendo entre , tienes:
Al multiplicar este resultado por B, se obtiene .
Tabla 3. División del denominador por cada uno de los denominadores.
Debido a que los denominadores son iguales, sólo se trabajará con los numeradores para hallar los valores de las constantes A, B y C.
Una forma de encontrar los valores de las constantes, es asignar a x valores adecuados que simplifiquen la ecuación. Los valores que se eligen son los que provocan que el denominador se haga cero; en este caso, los valores son, x=0, x=-2, x=1. Tienes:
Si
Por lo tanto:
Observa que el segundo y el tercer término se hacen cero al multiplicar por x = 0.
Si
Por lo tanto
En este caso, el término x-1 se hace 0, por lo que el primero y el segundo término se eliminan.
( )( ) ( )( )1212−+=
−+ xxxxxx
( )( )12 −+ xxA
( )2+x
( )( ) ( )1212
−=+
−+ xxx
xxx
( )( )1−xxB
( )1−x
( )( ) ( )2112
+=−
−+ xxxxxx
( )( )2+xxC
( )( ) ( )( ) ( )( )211232x +xxC+xxB+x+xA=+ −−
0=x
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2001001020302 +C+B++A=+ −−
( )A
A=2323
−=
−
23−=A
1=x
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2111111121312 +C+B++A=+ −−
( )35 C=
35=C
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Si
Por lo tanto:
En este caso, el término x + 2 se hace cero, por lo que el primero y el tercer término desaparecen.
Tabla 4. Denominador que se hace cero al usarse los valores x = 0, x = -2, x = 1.
Sustituyendo los valores de A, B y C en integrales separadas, tienes:
Sacando las constantes de las integrales queda:
Observa que las tres integrales resultantes se pueden resolver mediante la aplicación de la fórmula:
Por lo que la solución final de la integral es:
2−=x
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2221221222322 +C+B++A=+ −−−−−−−−−
( )61 B=−
61−=B
( )∫∫∫∫ −
−−
− 135
261
23
2x32x
x
dx+
+x
dx+
x
dx=
x²+x³dx+
( )∫∫∫∫ −
−−− 13
526
123
2x32x
xdx+
+xdx+
xdx=
x²+x³dx+
( ) | | | | | | C+x++xx=x²+x³dx+ ln1ln
352ln
61ln
23
2x32x
−−−
−∫
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Aunque al inicio el método puede parecer laborioso, una vez que se han determinado las constantes de las fracciones parciales, las integrales se resuelven, por lo general, aplicando las fórmulas de integración de forma directa.
Caso 1. Ejemplo 2
Encuentra el resultado de integrar
Solución Dado que el denominador se factoriza en , la descomposición en fracciones parciales nuevamente corresponde con el caso 1 y así:
Realizando la suma de fracciones de la misma forma que en el ejemplo anterior, obtienes:
Considerando sólo los numeradores, tienes:
Recuerda que x debe igualarse con los valores que hacen cero el denominador común, sustituye x = 3 y x = -2 para obtener los valores de A y B.
( )( )
dxxx²∫ −−−613x
( )( )32 −x+x
( )( )( ) ( ) ( )3232
13x−−
−xB+
+xA=
x+x
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )32
233232
13x−+++−
=−−
−xxxBxA
xB+
+xA=
x+x
( ) ( )2313x +xB+xA= −−
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Para x = 3
Para x = -2
Sustituyendo los valores encontrados de A y B:
Integrando:
En esta integral nuevamente se utilizó la fórmula:
Caso 2. Ejemplo 1
Encuentra
Solución
En este caso, el denominador ya está factorizado, pero el término 𝑥 − 1 ! indica que el factor lineal 𝑥 − 1 se repite dos veces, por lo que se trata del caso 2. Al separar el integrando de acuerdo a este
caso, se obtiene:
( ) ( ) ( )
5858519
2333133
=
=
=−
−−
B
BB
+B+A= ( ) ( ) ( )
5757516
2232123
=
−=−
−=−−
−−−−−
A
AA
+B+A=
( )( )
( )( )( ) 3
58
257
3213x
613x
−−
−
−−
−
x+
+x=
x+x=
xx²
| | | | C+x++x=dxx
+dx+x
=dxxx²
3ln582ln
57
31
58
21
57
613x
−−−−
−∫∫∫
( )( )dx
x+x+
∫ −−
²13138x3x²
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Al realizar la suma de estas fracciones, se tiene:
Considerando sólo los numeradores:
Sustituyendo y para determinar los valores de las constantes tienes:
Para
Para
Ahora que ya has determinado los valores de las constantes A y C, puedes determinar el valor de la constante B asignándole el valor cero a la variable x (x=0) y sustituyendo los valores conocidos de A y C como sigue:
Para
( )( ) ( )²113²13138x3x²
−−−−
xC+
xB+
+xA=
x+x+
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )²13313B²1A
²113²13138x3x²
−++−++−
=−−−
−x+x
xCxxxxC+
xB+
+xA=
x+x+
( ) ( )( ) ( )313²1138x3x² +xC+x+xB+xA=+ −−−
1=x 3−=x
1=x
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
24848
4001383311131²111318²13
==
=
++=+−
−−−
C
CC
+C++B+A=+
3−=x
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
416641664
16132427004132493
331133²131338²332
==
=
=++
++−=++
−−−−−−−−
A
CAA
+C++B+A=+
2;4;0 == CA=x( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
13333
36413613413
3021030²1041308²03313²1138x3x²
−=−
=
−=
−=−−
+−+=
−−−
−−−
B
BB
B+++B+=++xC+x+xB+xA=+
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Sustituyendo los valores de las constantes A = 4, B = -1, C = 2 en las fracciones parciales iniciales, tienes:
Las dos primeras integrales nuevamente se resuelven aplicando la fórmula:
La integral se resuelve aplicando , esto es:
El resultado final de la integral queda:
Caso 3. Ejemplo 1
Calcula la integral
( )( ) ( )
( )( ) ( )∫∫∫∫
∫∫∫∫
−−−
−−
−−−
+−
−
²12
134
²13138x3x²
²12
11
34
²13138x3x²
xdx+
xdx
+xdx=dx
x+x+
xdx+
xdx
+xdx=dx
x+x+
( )∫ − 21xdx
∫ +++
= Cnuduun
n
11
( )( ) ( ) ( )
( )( ) C
xx
xdx
xxdxxxdx
+−
−=−−=−
−−
=
+−−
=−=−
∫
∫ ∫
−
−+−−
1212
12
112
121212
12
12
1122
2
( )( )| | | | C+
xx+x=dx
x+x+
121ln34ln
²13138x3x²
−−−−
−−
∫
∫ +++ dxxxxx81652
3
2
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Solución La factorización del denominador es:
En donde se observa que se tiene un término lineal y un término cuadrático único. Este ejemplo cumple con el caso 3 porque sólo aparece un término cuadrático. Su descomposición en fracciones parciales queda de la siguiente forma:
Observa que el término lineal x se maneja de igual forma que los casos 1 y 2, por lo que su fracción parcial se forma colocando en el numerador la constante A. Para el término cuadrático 𝑥! + 8, el numerador tiene la forma 𝐵𝑥 + 𝐶. Realizando la suma de fracciones obtienes:
Trabajando sólo con los numeradores, tienes:
Para encontrar los valores de las constantes A, B y C para este ejemplo, utilizas otro método que consiste en igualar los coeficientes de los términos del mismo grado. El primer paso es ordenar los términos de acuerdo al exponente de x, y queda:
En caso de que más de un término contenga un término en x del mismo exponente, éste se factorizan, por lo que:
Una vez que se ha realizado este acomodo, se igualan los coeficientes de los términos del mismo orden.
)8(8 23 +=+ xxxx
( )∫ ∫∫ ++
+=+++
881652
22
2
xCBx
xAdx
xxxx
( ) ( )88
881652
2
22
22
2
++++
=++
+=+++
xxCxBxAAx
xCBx
xA
xxxx
CxBxAAxxx +++=++ 222 81652
ACxBxAxxx 81652 222 +++=++
( ) ACxBAxxx 81652 22 +++=++
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• ¿Cuál es el coeficiente del término x2 del lado izquierdo de
la ecuación? • ¿Cuál es el coeficiente del término x2 de lado derecho?
Los coeficientes del término x2 son 2 y (A + B) respectivamente.
Para que se cumpla la ecuación, los coeficientes de los términos del mismo orden deben ser iguales, por lo anterior se forman las siguientes ecuaciones: 2 = 𝐴 + 𝐵 5 = 𝐶 16 = 8𝐴 El paso siguiente es resolver este sistema de ecuaciones y tienes:
𝐶 = 5, 𝐴 =168= 2
Sustituyendo 𝐴 = 2 en la primera ecuación para hallar el valor de B, se obtiene:
2 = 2 + 𝐵 𝐵 = 2 − 2 = 0
Ahora que ya tienes los valores de las constantes A, B y C, la integral queda:
Observa que en la integral , se aplicó la fórmula .
( )( )
( )
( )∫
∫ ∫∫
∫ ∫∫
+=+++
++=
+++
++
+=+++
8arctan815ln2
81652
852
81652
8502
81652
2
2
22
2
22
2
xxdxxxxx
xdx
xdxdx
xxxx
dxxxdx
xdx
xxxx
∫ +85 2x
dx∫ +=
+C
au
auadu arctan1
22
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El resultado final de la integral es:
Caso 4. Ejemplo 1
Calcula la integral
Solución El término cuadrático no se puede factorizar en factores lineales reales y, debido al exponente 2 aparece repetido, este ejemplo corresponde con el caso 4. La descomposición en fracciones parciales queda:
Realizando la suma de fracciones se obtiene:
Trabajando sólo con los numeradores y ordenando los términos del lado derecho de la ecuación, se toma como referencia el exponente de las x’ s, y se obtiene:
( )∫ +
+=+++ Cxxdx
xxxx
8arctan85ln2
81652
2
2
( )∫+
22
3
46xdxx
( ) ( ) ( )4446
22222
3
++
++
+=
+ xDCx
xBAx
xx
( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( )22
23
22
3
22
2
22222
3
444
46
44
4446
+
+++++=
+
+
++++=
++
++
+=
+
xDCxDxCxBAx
xx
xxDCxBAx
xDCx
xBAx
xx
( ) ( )
( ) DBxCADxCxxDBCxAxDxCxx
xDCxDxCxBAx
xx
446446
444
46
233
233
22
23
22
3
+++++=
+++++=
+
+++++=
+
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En esta última expresión, observa que los coeficientes del término x3 son 6 y C, pero ¿cuáles son los coeficientes del término x2? Debido a que del lado izquierdo de la ecuación no aparece ningún término que contenga a x2, su coeficiente es cero; lo mismo aplica para el término en x al igual que para el término independiente. Al igualar todos estos coeficientes se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Como C = 6 de la tercera ecuación A = -4C = -24. De igual forma, debido a que D = 0, de la cuarta ecuación B = 0. Con los valores de todos los coeficientes, la integral descompuesta en fracciones parciales es:
La integral:
Se resuelve aplicando la fórmula:
Tomando u = x2 + 4, du = 2xdx. Sólo falta completar el du con un 2. El resultado de esta integral es:
DBCA
DC
4040
06
+=
+=
=
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )dxxxdx
xx
xdxx
dxxxdx
xx
xdxx
∫∫∫
∫∫∫
++
+−=
+
++
++
+−=
+
46
424
46
406
4024
46
22222
3
22222
3
( )( )∫ ∫
−+−=
+− xdxxdx
xx 22
22424
424
( ) ( )
( ) ( ) Cx
xxdxx
xdxxxdxx
++
=−+
−=+
+
−=+−
−−
−−
∫
∫∫
412
14124
242124424
2
1222
2222
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La integral:
Se resuelve aplicando la fórmula:
Tomando u = x2 + 4, du = 2xdx. Sólo falta completar el du con un 2. El resultado de esta integral es:
El resultado final de la integral es:
Bibilografía
Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.) México: Harla.
Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; E. de Oteyza, Trad.). México: Prentice Hall.
Smith, R. T. & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw-Hill.
Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo (3ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: Internacional Thomson Editores.
( )dxxx
∫ + 46 2
( ) ( )
( ) Cxxxdx
xxdx
xxdx
++=+
+
=+
∫
∫∫
4ln34
6
42
216
46
22
22
( ) ( ) ( )
( )Cx
xxdxx
dxxxdx
xx
xdxx
++++
=+
++
+−=
+
∫
∫∫∫
4ln34
124
6
46
424
46
2222
3
22222
3
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