CONTROL
AUTOMATICO
CAPITULO V
METODO DEL LUGAR
GEOMETRICO DE LAS RAICES
Juan F. del Pozo L.
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Concepto del lugar de las races
Procedimiento del lugar geomtrico de las races
Ejemplos de anlisis y diseo
Diseo de parmetros mltiples
Ajuste del controlador P, PI, PID utilizando el
mtodo del lugar geomtrico de las races
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 2
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 3
Concepto del lugar de las racesLa estabilidad relativa y el funcionamiento transitorio de un sistema en red cerrada dependen de la ubicacin en el plano s de los polos de lazo cerrado; o dicho de otra manera, de las races de la ecuacin caracterstica.
Al variar uno o mas parmetros del sistema (generalmente la ganancia del controlador) se obtiene un grfico en el plano s al que denominaremos Lugar Geomtrico de las Races, LGR, de la ecuacin caracterstica.
En base a un bosquejo aproximado del lugar geomtrico es posible obtener informacin cualitativa referente a la estabilidad del sistema.
La Ecuacin Caracterstica resulta:
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
1 1
1
1
... ( ) ... ( ) ;
( ) ... ( ) ( ) ( )( )
( ) ... 1 ( ) ( ) ( ) ( )
n mn o m o
mm o c p
nn o c p
A s A s A C s B s B s B R s n m
C s B s B s B G s G s p sT s
R s A s A s A G s G s H s q s
( ) ( ) 0
1 ( ) ( ) ( ) 0c p
q s C s
G s G s H s
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Concepto del lugar de las racesEn base a un bosquejo aproximado del lugar geomtrico de las races de la ecuacin caracterstica es posible obtener informacin cualitativa referente a la estabilidad del sistema.
Del diagrama de bloques tenemos: Gc(s) Funcin de transferencia del controlador
Gp(s) Funcin de transferencia de la planta
H(s) Funcin de transferencia del sensor-transmisor
Generalmente el ajuste se realiza en la ganancia del controlador: K.F(s) Funcin de Transferencia de Lazo, o Lazo Abierto
( ) ; 0
( ) ( ) ( )
1 ( ) 0 ; ( ) 1
1( )
( ) 180 360 ; 0,1,2,..o o
Gc s K K
H s Gp s F s
K F s K F s
F sK
F s k k
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Mtodo del Lugar
Geomtrico de las
Races
Concepto del lugar de las racesComo ilustracin tomemos el caso se un sistema de segundo orden
Su ecuacin caracterstica es:
2
( )( )
( )
2 ; 0
C s KT s
R s s as K
a K
2 2 2
22
1 2
1 2
( ) 2 0
, 12 4
0 0 2
1 1 1
2 1 1
n n
n n
q s s as K s
K
K s
j
s
s
a as s
j
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesConcepto del lugar de las races
Como ilustracin tomemos el caso se un sistema de segundo orden
Aplicando el Criterio de Angulo y de Magnitud a su Ecuacin Caracterstica a un valor de raz s1: tenemos:
El Criterio de Angulo y Magnitud se cumple tanto en el segmento entre 0 y a como tambin en la recta perpendicular que pasa por el punto a/2
1( ) 180 ...
( )
1 1 1
( )
oi i
s si
i is si
s s as s a
s s a s s a K
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Grafico del Lugar Geomtrico usando la SpiruleThe Spirule (copyright 1951) es una herramienta mecnica simple diseada por Walter R. Evanz para facilitar una bsqueda grfica del lugar de las races.
http://www.nzeldes.com/HOC/images/SpiruleManual.pdf
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Procedimiento del lugar geomtrico de las racesSea la Ecuacin Caracterstica del sistema:
NOTA: Observe que el parmetro que vara es el factor K o ganancia del controlador.
Investigando el comportamiento de la Ecuacin Caracterstica cuando la ganancia K vara:
Para K = 0:
Las races de la ecuacin caracterstica corresponden a los polos de F(s).
Para K =oo
Las races de la ecuacin caracterstica corresponden a los ceros de F(s).
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
1
1 1
1
1 ( ) 0 ; 0
( )1 0 ( ) ( ) 0
( )
mi n mi
j in j i
jj
K F s K
s zK s p K s z
s p
0psn
1jj )(
0zsm
1ii )(
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesProcedimiento del lugar geomtrico de las races
Investigando el comportamiento de la ecuacin caracterstica cuando la ganancia K vara:
Para K = 0: Las races de la ecuacin caracterstica corresponden a los polos de F(s)
Para K =oo Las races de la ecuacin caracterstica corresponden a los ceros de F(s)
Por lo tanto, el lugar geomtrico de las races principia en los polos y terminarn en los ceros de F(s).
Para el caso cuando (n>m), habr (n-m) trayectorias que terminen en ceros en el infinito.
El lugar geomtrico de las races en el eje real siempre est en una seccin del eje a la izquierda de un nmero impar de polos y ceros de F(s).
El nmero de lugares geomtricos separados es igual al nmero de polos de F(s).
Los lugares geomtricos de las races deben ser simtricos con respecto al eje real horizontal, debido a que las races complejas aparecen como pares complejas conjugadas.
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
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Ejemplo para visualizar un punto de salida y uno de llegada sobre el eje real.
Analizaremos el siguiente ejemplo.
Segn el ejemplo hay un punto de salida y uno de llegada
0
61 ( ) 1
( 2)
K
sK F s K
s s
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Mtodo del Lugar
Geomtrico de las Races
Ejemplo para visualizar un punto de salida y uno de llegada sobre el eje real.
Los puntos de salida ocurren en un mximo y los de llegada en un mnimo de K en funcin de s
Graficamos la variacin de K en funcin a s
2
61 ( ) 1 ; 0
( 2)
; 0
2
6
sK F s K K
s s
s j j s
K
s s
s s
s
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Mtodo del Lugar Geomtrico de las
Races
Ejemplo para visualizar un punto de salida y uno de llegada sobre el eje real.
Los puntos de salida ocurren en un mximo y los de llegada en un mnimo de K en funcin de s
2
2
2
1 2
0
61 ( ) 1
( 2)
; 0 ;
2
6
12 120
( 6)
1.1 ; 10.89
e
e e
K
sK F s K
s s
s j j s
K
dK
ds s
s s
s s
s
s s
s s
s s
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Puntos de salida o llegada
al eje realUn punto de salida ocurre
generalmente cuando hay varias
races iguales sobre el eje
horizontal.
Debido al criterio del ngulo, las
tangentes de los lugares de las
races en el punto de salida estn
igualmente espaciadas sobre
360.
A) -2 = - 360 ; = 180
B) -4 = - 360 ; = 90
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 13
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Puntos de salida o llegada al eje realUn punto de salida ocurre generalmente cuando hay varias races iguales
sobre el eje horizontal.
En este caso de cuatro polos sobre el eje real, el ngulo de salida en una
regin cercana a los polos, se obtiene aplicando el criterio del ngulo.
Observe que las cuatro races estarn separadas 90 grados entre ellas.
No puede haber lugar geomtrico sobre el eje real.
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180 90 135 180...
225 135
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Tomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el procedimiento
El centroide y sus asntotas
2 4 3 2
1 11 ( ) 1 1 0
( 2)( 4) 10 32 32
0
s sK F s K K
s s s s s s s
K
1 1 ( 2) 2( 4) ( 1)3
4 1
(2 1)180 ; 0,1,2,..., ( 1)
60 ,180 ,300
n m
j ij i
a
o
a
o o o
a
p z
n m
qq n m
n m
s
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Mtodo del Lugar Geomtrico de las
Races
Tomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el
procedimiento
El punto de salida del eje real.
21
1
4 3 2
; 0 ;
( ) ( 2)( 4)
1( )
3 24 62 64 32 | 0
; 3 2 ; 2.6
ni
j
mj
i
e
e
e a e e
s j j s
pK
z
dK
ds s
s s
s s
s s s s
ss
s s s ss
s s s s
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 17
Mtodo del Lugar
Geomtrico de las Races
Tomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el procedimiento
En forma grfica tambin se puede encontrar el punto de salida se
Graficando el comportamiento de K(s) entre dos polos en donde se produce un punto de salida
0.20.4
1
)4)(2()(
2
s
s
ssssK
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Mtodo del Lugar
Geomtrico de las
Races
Tomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el procedimientoEl Lugar geomtrico de las races utilizando MATLAB
rlocus(sys,K)
rlocfind(sys)
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesTomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el procedimiento
El Lugar geomtrico de las races utilizando MATLAB
La ganancia crtica y frecuencia de oscilacin
Explorando el valor de las races de la Ecuacin Caracterstica en la cercana del cruce del eje imaginario
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 20
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesTomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el procedimiento
La ganancia crtica y frecuencia de oscilacin
Explorando el valor de las races de la Ecuacin Caracterstica en la cercana del cruce del eje imaginario
En forma analtica evaluaremos el valor de Kcri y o, a partir de:
Puesto que K es un valor real positivo , pero el otro miembro es una expresin compleja, la parte imaginaria deber ser igual a cero.
4 3 2
2 2 2
1 10 32 32;
( ) 1
( 32) (10 32)
1
s s s sK s j
F s s
jK
j
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 21
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesTomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el procedimiento
La ganancia crtica y frecuencia de oscilacin
Cuando el Lugar Geomtrico cruza el eje imaginario: = o, entonces
4 2
2
2 2 2 2
2
1 1Im 0 ; Re
( ) ( )
1Im 22 32 0
( )
22 22 4 32; 4.83
2
( 32) (10 32)1Re
( ) 1
202
o o
o o
o
o o
o o o o
o o
KcritF j F j
F j
KcritF j
Kcrit
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Tomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el procedimiento
La ganancia crtica y frecuencia de oscilacin
Solucin utilizando Matlab. Wo = 4.83
Kcrit = 201.85
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 22
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 23
Mtodo del Lugar Geomtrico de las
Races
Tomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el procedimiento
La ganancia crtica y frecuencia de oscilacin
El punto de cruce con el eje imaginario tambin se lo puede evaluar aplicando el criterio de Routh-Hurwitz
4 3 2
4
3
2
1
0
2
2
. . : 0 ; 10 32 (32 ) 0
288 (32 ) 100 ; 0
10
(288 )(32 ) 1000
288
156 9216 0 ; 45
1 32
10 32
.7 _ _ 201.7
_ : 0
_ :
crit
crit
E C K s s s K s K
s
s
s A K
Bs
Ks
K A K KA B
A
K K KB
K
K K K y K K
Rango est
K
abilidad K K
Ecuacin auxiliar
K
As
2288 100 ; 0 ;10 288
4.83 ; 4.83o
K KK s K s
K
s j
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Lugar Geometrico para realimentacion positiva.Criterio de Magnitud y Angulo.
El lugar geomtrico de las races en el eje real siempre est en una
seccin del eje a la izquierda de un nmero par de polos y ceros de F(s).
Los ngulos de las asntotas son a
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1 ( ) 0 ; ( ) 1
1( )
( ) 0 360 ; 0,1,2,..o o
K F s K F s
F sK
F s k k
1 1 0 2 42
3 0
360; 0,1,2,..., ( 1)
n m
j ij i
a
o
a
p z
n m
qq n m
n m
s
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 25
Mtodo del Lugar
Geomtrico de las Races
Tomemos el caso del ejercicio 7.4 para ilustrar el procedimiento
El grfico del lugar geomtrico utilizando MATLAB
( ) 1 ; 0
11 ( ) 1
( 4)( 4 4)( 4 4)
H s K
KF s Ks s s j s j
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 26
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesTomemos el caso del ejercicio 7.4 para ilustrar el procedimiento
El grfico del lugar geomtrico utilizando MATLAB
Evaluemos:
Punto de salida entre: 4 < s < 0
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 27
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesTomemos el caso del ejercicio 7.4 para ilustrar el procedimiento
Del grfico del lugar geomtrico se observa que la trayectoria parte de los polos complejos conjugados con un ngulo determinado, evaluando esos ngulos tenemos:
Aplicando el criterio del ngulo a un punto sj
muy cercano a uno de los polos complejos pj
Aplicando al polo: p3 = -4+j4
Para el otro polo complejo conjugado: p4 = -4-j4
NOTA: Habr tantos ngulos de salida como
polos complejos
_
1 1
180m n
o
j salida j i j k
i kk j
s z s p
_ 3 (90 90 135) 180 135j salida
_ 4 (270 270 225) 180 135j salida
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 28
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Tomemos el caso del ejercicio 7.4 para ilustrar el
procedimiento
En forma general, podemos establecer que para los ceros se
observa que la trayectoria del lugar geomtrico llega a los ceros
complejos conjugados con un ngulo determinado, evaluando esos
ngulos tenemos:
Aplicando el criterio del ngulo a un punto sj
muy cercano a uno de los ceros complejos zj
NOTA: Habr tantos ngulos de llegada como
ceros complejos
_
1 1
180m n
o
j llegada j i j k
i ki j
s z s p
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 29
Tomemos el caso del ejercicio 7.4 para ilustrar el procedimiento
El grfico del lugar geomtrico utilizando MATLAB
La ganancia crtica y frecuencia de oscilacin
Valores de: Kcrit y o
Mtodo del Lugar Geomtrico de las
Races
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 30
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Tomemos el caso del ejercicio 7.4 para ilustrar el procedimiento
Dada la dominancia de segundo orden del par de races complejas conjugadas cercanas al eje imaginario, se puede ajustar el valor de K para que el sistema se comporte como de segundo orden con un Coeficiente de Amortiguamiento de:
0.707
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 31
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesTomemos el caso del ejercicio 7.4 para ilustrar el procedimiento
Evaluar el comportamiento dinmico del sistema para un valor de K = 125 que ajust las races dominantes para que el sistema se comporte como un sistema de segundo orden con coeficiente de amortiguamiento 0.707
Un: 0.707, representa un Sobrenivel Porcentual de: S.P.= 5%
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 32
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesTomemos el caso del ejercicio 7.4 para ilustrar el procedimiento
Dada la dominancia de segundo orden del par de races complejas conjugadas cercanas al eje imaginario, se puede ajustar el valor de K para que el sistema se comporte como de segundo orden con un Coeficiente de Amortiguamiento de: = 0.707
Por comparacin de coeficientes entre la Ecuacin Caracterstica del sistema con la Ecuacin Caracterstica generada por el par de races complejas conjugadas en donde un par es la dominante y en la que se ha fijado su Coeficiente de Amortiguamiento:
4 3 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
4 3 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
1 1 2 2
2
1
) ( 4)( 4 4)( 4 4) 0 ; 12 64 128 0
) ( 2 )( 2 ) 0
2( ) ( 4 ) 2( ) ( ) 0
12 2( )
64 (
n n n n
n n n n n n n n n n n n
n n
n
a s s s j s j K s s s s K
b s s s s
s s s s
21 1 2 2 22 2
1 1 2 2 2 1
2 2
1 2
4 )
128 2( )
( )
n n n
n n n n
n nK
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 33
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesTomemos el caso del ejercicio 7.4 para ilustrar el procedimiento
Usaremos el mtodo de comparacin de coeficientes de la Ecuacin Caracterstica del sistema con la Ecuacin Caracterstica generada por el par de races complejas conjugadas en donde un par es la dominante en donde se ha fijado su Coeficiente de Amortiguamiento: 1= 0.707
Cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas:
1 1 2 2 2 2 1 1
2 2
1 1 1 2 2 2
2 2
1 1 2 2 2 1
2 2
1 2
2 2
1 1 1 1 1 2
2 2
1 1 2 1 1 1
2
2 1
1. 12 2( ); 6
2. 64 ( 4 )
3. 128 2( )
4. ( )
1 2. 64 ( 4 (6 ) )
1 3. 128 2( (6 ) )
2. 64 12(2
n n n n
n n n n
n n n n
n n
n n n n
n n n n
n
K
2 21 1 1 12
1 1 1
1
1 ,
2
2 2
) ( (2 ) )
2 3. 12 64(2 ) 128 0
0.707
; 5.65
5.96
(1.88) (5.96)
1.88
142
n n n
n n
n a b
n
K
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 34
Diseo de parmetros mltiplesComo se ha observado hasta aqu, el lugar geomtrico es la trayectoria que describen las races de la ecuacin caracterstica bajo la accin de la variacin de la ganancia K
Cuando la ecuacin caracterstica tiene mas de un parmetro sujeto a variacin, se proceder de la misma manera pero haciendo variar un parmetro a la vez, manteniendo los otros constantes
Por ejemplo el ejercicio 7.5:
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
0
0
0ssssq 23)(
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 35
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Diseo de parmetros mltiplesCuando la ecuacin caracterstica tiene mas de un parmetro sujeto a variacin, se proceder de la misma manera pero haciendo variar un parmetro a la vez, manteniendo los otros constantes
a) Investigaremos primero la variaciones de
1
3 2
1
3 2 2
1
1 ( ) 0
0
0
( ) 0
1 11 1 0
( 1)
q s s s s
s s
K F s
s s s
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 36
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Diseo de parmetros mltiplesCuando la ecuacin caracterstica tiene mas de un parmetro sujeto a variacin, se proceder de la misma manera pero haciendo variar un parmetro a la vez, manteniendo los otros constantes
b) Investigaremos ahora las variaciones de manteniendo constante
1 1
3 2
1
3 2
1
1 ( ) 0
; 0
0
( ) 0
1 0
q s s s s
s
s
K F s
s
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 37
Diseo de parmetros mltiplesEjemplo 7.5 a:
Mtodo del Lugar
Geomtrico de las
Races
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 38
Mtodo del Lugar Geomtrico
de las Races
Diseo de parmetros mltiplesEjemplo 7.5 b:
3 2
3 2
0
0
0
1 0
s s s
s
s s
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 39
Mtodo del Lugar Geomtrico de las
Races
Diseo de parmetros mltiplesEjercicio 7.5:
3 2
2 2
3 2 2 2
2
2
0.7 ; 0.5
. ( ) 0
. ( )( 2 ) 0
(2 ) ( 2 ) 0
1. 1 2
2. 2
3.
0.175 ; 0.46
n
n n
n n n n
n
n n
n
a q s s s s
b s r s s
s r s r s r
r
r
r
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 40
Mtodo del Lugar Geomtrico de las
RacesAjuste del controlador PI utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje
Restablecer el nivel del voltaje de servicio Va(s) en su valor nominal despues que el sistema ha sido perturbado con una variacin de carga Ia(s) tipo escaln.
( ) ; ( )
( / ) ( )( ) ;
gt
f f
I P I I P IC P P P
P
KG s H s K
sL R
K sK K s K K s z KG s K K K z
s s s s K
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 41
Mtodo del Lugar Geomtrico de las
Races
Ajuste del controlador PI utilizando el mtodo del
lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje
La ecuacin caracterstica del sistema en la que fijamos el valor
del cero y variamos K:
Como se observa, el sistema es Tipo 1, debemos ubicar el
cero.
( ) ( )( ) 1 1 0
( ) ( )
t g
f f f f
t g
P
P
K K s sq s
s sL R
z zK K
K K
s sL R
K K
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 42
Mtodo del Lugar Geomtrico de las Races
Ajuste del controlador PI utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje
Ubicamos el cero: z = - 0.6
Ajustar la ganancia K de acuerdo al Coeficiente de Amortiguamiento 0.707
2
1( )
( ) ( )( )
( )
a
a f f ad
a f f t g t gP I
I ss
V s s R sL RT s
I s s KL Ks R K K K K
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 43
Mtodo del Lugar
Geomtrico de las Races
Ajuste del controlador PI utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje
Ubicamos el cero: z = - 0.6
Ajustar la ganancia K de acuerdo al Coeficiente de Amortiguamiento 0.707
29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 44
Ajuste del controlador PID utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje
Restablecer el nivel del voltaje de servicio Va(s) en su valor nominal despues que el sistema ha sido perturbado con una variacin de carga Ia(s) tipo escaln.
La funcin de transferencia del sistema, la ecuacin caracterstica y la funcin de transferencia del controlador PID:
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
( ); ( ) ( ) 0 ; ( )
( )( )1
a a If f t g C C P D
t g Ca
f f
V s R Kq s sL R K K G s G s K sK
K K G sI s s
sL R
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
Ajuste del controlador PID utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje
La funcin de transferencia del controlador:
La ecuacin caracterstica del sistema en la que fijamos los ceros y variamos KD:
Como se observa, el sistema es Tipo 1, debemos ubicar los dos ceros
21 2
1 2
1 2
( )( )( )
( )
( * )
I D P IC P D D
P D
I D
K s K sK K s z s zG s K sK K
s s s
K K z z
K K z z
1 2 1 2( )( ) ( )( )( ) 1 1 0
( ) ( )
t g
f f f f
t
D
D g
K K s s s sq s
s sL R s sL
z z z zK K
K K
R
K K
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Mtodo del Lugar
Geomtrico de las
Races
Ajuste del controlador PID utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje
Probaremos el sistema utilizando MATLAB:
2
1( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
a
a a f fd
a f t g t g tD P Ig
I ss
V s R sL R sT s
I s L K K s Rf K KK K Ks K K
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesAjuste del controlador PID utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje
La funcin de transferencia del sistema:
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesAjuste del controlador PI utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje
Como especificaciones se dispone del Sobrenivel Porcentual SP y el Tiempo de Estabilizacin Ts a una seal tipo escaln de entrada.
La funcin de transferencia del controlador:
La ecuacin caracterstica del sistema en la que fijamos el valor del cero y variamos K:
Como se observa, el sistema es Tipo 1, debemos ubicar el cero.
( ) ; ( )
( )( ) ;
gt
f f
I P I IC P P
P
KG s H s K
sL R
K sK K s z KG s K K z
s s s K
gtP
ffff
gtP
KKKK
RsLs
zsK
RsLs
zsKKKsq
0
)(
)(1
)(
)(1)(
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesAjuste del controlador PI utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje.
Como especificaciones se dispone del Sobrenivel Porcentual SP y el Tiempo de Estabilizacin Ts a una seal tipo escaln de entrada.
Se determinar el valor de K y el valor del cero del controlador PI por comparacin de coeficientes con la ecuacin del par de polos complejos conjugados de lazo cerrado que cumplen con las especificaciones deseadas:
De donde obtenemos la solucin nica:
2
22 2
2 2
( ) ( ) ( ) 0
) 0
(log(0.01 )) 4) 2 0 ; ;
(log(0.01 ))
f f
f
f f
n n ns
q s s sL R K s z
R K Kza s s
L L
SPb s s
pi SP T
2
2 ; / ;fn
f f P t g I Pn
LK L R z K K K K K z K
K
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las RacesAjuste del controlador PID utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje.
Para el ajuste del controlador se usar la herramienta SISO. Se definir la ubicacin de las races de lazo cerrado para dominancia de segundo
orden: Sobrenivel Porcentual y Tiempo de Estabilizacin:
S.P.=5% Ts=10 s.
Se ubican un par de ceros complejos conjugados un poco a la izquierda de la ubicacin de los polos de lazo cerrado deseados dados por la interseccin de las restricciones impuestas por el Tiempo de Estabilizacin y el Sobrenivel Porcentual.
Moviendo la posicin de los ceros complejos conjugados de tal manera que el Lugar Geomtrico que generan pase por el lugar deseado.
Variar la ganancia hasta ubicar los polos de lazo cerrado en el lugar deseado.
Verificar la respuesta del sistema de Lazo Cerrado a la prueba del Escaln Unitario.
Aplicar el Pre-Filtro para eliminar el efecto de los dos ceros.
Nota: Observar la posibilidad de mltiples soluciones
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
1 2
1 2 1 2
. . 5% ; 10 _ .
/( ) ; ( )
/
( )( )( )
( ) ; ( * )
g f
tf f
IP D D
P D I D
S P Ts seg
K LG s H s K
s R L
K s z s zC s K sK K
s s
K K z z K K z z
Ajuste del controlador PID utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje.
Para el ajuste del controlador se usar la herramienta SISO.
Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
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Ajuste del controlador PID utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje.
Para el ajuste del controlador se usar la herramienta SISO.
Es exportarn los valores seleccionados para ser usados en el SIMULINK.
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Mtodo del Lugar Geomtrico de
las Races
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Ajuste del controlador PID utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races
Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje.
Para el ajuste del controlador se usar la herramienta SISO.
Es exportarn los valores seleccionados para ser usados en el SIMULINK.
Esto es: RAPID CONTROL PROTOTYPING
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