Matemática básica II Sistema de ecuaciones lineales
CONTENIDO
CONTENIDO..............................................................................................................................1
INTRODUCCIÓN:......................................................................................................................2
I. EXPLICAR METODO.......................................................................................................3
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES............................................................3
SISTEMAS SIMÉTRICOS..................................................................................................4
MÉTODO DE CHOLESKY..................................................................................................4
II. DEDUCCION DE FORMULAS.....................................................................................5
III. ALGORITMO MÉTODO CHOLESKY........................................................................11
IV. PROGRAMA – ALGORITMO MÉTODO CHOLESKY..............................................12
VI. EJEMPLOS.......................................................................................................................14
U.N.P.R. FICSA ING. CIVIL
Matemática básica II Sistema de ecuaciones lineales
INTRODUCCIÓN:
La solución de los sistemas de ecuaciones lineales es un tema clásico
de las matemáticas, en ideas y conceptos, de gran utilidad en ramas
de cono cimiento tan diversas como la economía, biología, física,
psicología, etc.
La resolución de sistemas casi de cualquier número de ecuaciones
(10, 100, 1000, etc.) es una realidad hoy en día gracias a las
computadoras, lo cual proporciona un atractivo especial a las
técnicas de soluciones directas interactivas: su propagación, los
cálculos necesarios, la propagación de errores, etc.
sin embargo, todo lo anterior requiere una revisión de los conceptos
básicos sobre matrices, ortogonalización de vectores y la existencia y
unicidad delas soluciones.
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I. EXPLICAR METODO
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce al
problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Por
ejemplo:
Puede citarse la solución de sistemas de ecuaciones no lineales,
la aproximación polinomial la solución de ecuaciones
diferenciales parciales.
Un sistema de m ecuaciones lineales en n incognitas tiene la
forma general
Puede demostrarse que el número máximo de vectores columna
linealmente independientes de una matriz A es igual al numero
máximo de vectores fila linealmente independientes
Con la notación matricial se puede escribir la ecuación anterio
como:
Y correctamente como Ax=b.
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a1,1 x 1+a 1,2 x 2+. ..+a 1 , n x n = b 1
a2,1 x 1+a 2,2 x 2+. ..+a 2 , n x n = b 1
. . . . . . . . . . . .
a m,1 x 1+a m,2 x 2+ .. .+a m,n x n = b 1
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[a 1,1 x 1 a 1,2 x 2 . . . a 1, n x n
a 2,1 x 1 a 2,2 x 2 . . . a 2, n x n
. . .
. . .
. . .a m,1 x 1 a m,2 x 2 . . . a m,n x n
][x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
]
[b 1
b 2
b 3
b 4
b 5
b 6
] Donde A es una matriz del sistema, el vector incógnita y b el
vector de términos independientes
Dados a y b, se entiende por resolver el sistema, encontrar el
valor x que lo satisfaga. Antes de estudiar las técnicas que
permita encontrar x se expondrán algunas consideraciones
teóricas
SISTEMAS SIMÉTRICOS
En caso de que la matriz coeficiente del sistema Ax = b sea
simétrica, los cálculos de la factorización (si es posible) se
simplifican, ya que se reduce a:
Esto disminuye considerablemente el trabajo, en particular cuando
n es grande.
l i,j
a j , i
a j , j i = j+1,. .. ,n; j = 1,2, .. . ,n-1
MÉTODO DE CHOLESKY
Una matriz A cuyas componentes son números reales, es positiva
definida si y solo si los determinantes de A son positivas.
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|a1,1| 0,
|a1,1 a 1,1
a1,1 a 1,1|
0,…,
|
a 1,1 a 1,2 . . . a 1, n
a 2,1 a 2,2 . . . a 2, n
. . .
. . .
. . .a n, 1 a n, 1 . . . a n, n
|
0
En caso de tener un sistema AX=b, con A positiva definida, la
factorización de A en la forma L U es posible y muy sencilla ya
que toma la forma L LT, donde L es triangular inferior.
L
|
l1,1 l 1,2 . . . l1 , n
l 2,1 l 2,2 . . . l2 , n
. . .
. . .
. . .l n,2 ln,2 . . . l n,n
|
Los cálculos se reducen, ya que ahora vasta estimar n(n+1)
elementos (los l 1,1 0), en lugar de los n2 elementos de una
factorización nominal (los l 1,1 tales que i j y los u 1,1 tales que i
j). El número de cálculos es prácticamente la mitad.
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II. DEDUCCION DE FORMULAS
1. si se tiene un sistema de la forma AX=b donde la matriz A es
simétrica y su determinante es mayor que cero.
2. se aplica EL METODO CHOLESKY que es la factorización de A
en la forma LU que toma la forma LLT
3. para poder factorizar la matriz L debe ser triangular superior.
4. una vez hallado la matriz L
5. Se resolver el sistema Lc=b donde se encontrara la matriz
columna C
6. luego con la matriz transpuesta LT se resuelve el sistema LTx=c
de donde nos dará el resultado de las X
DEDUCCION AX=b
[a 1,1 a 1,2 . . . a 1 , n
a 2,1 a 2,2 . . . a 2 , n
. . .
. . .
. . .a m, 1 a m ,2 . . . a m, n
][x 1
x 2
.
.
.x m
]
[b 1
b 2
.
.
.b m
] FACTORIZA A
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[l1,1 0 0 0 0l2,1 l 2,2 0 0 0l3,1 l3,2 l 3,3 0 0l4,1 l 4,2 l 4,3 l 4,4 0l5,1 l5,2 l 5,3 l 5,4 l5,5
] [l1,1 l 2,1 l 3,1 l4,1 l 5,1
0 l 2,2 l 3,2 l4,2 l 5,2
0 0 l 3,3 l 4,3 l 5,3
0 0 0 l 4,4 l5,4
0 0 0 0 l 5,5] =
[a 1,1 a1,2 . . a 1,5
a 2,1 a2,2 . . a 2,5
. . .
. . .a 5,1 a5,2 a 5,3 a 5,4 a 5,5
]Primera fila por columnas (1, 2, 3, 4, 5)
l21,1 = a1,1
l 1,1= a1, 1
l1,1 l2,1 = a1,2
l 2,1 =
a 1,2
l 1,1
l 1,1 l 3,1
a 1,3
l 3,1 =
a 1,3
l 1,1
l 1,1 l 4,1
a 1,4
l 4,1 =
a 1,4
l1,1
l 1,1 l 5,1
a 1,5
l 5,1 =
a 1,5
l 1,1
Segunda fila por columna (2, 3, 4, 5)
l22,1+¿ l
22,2=¿ a2,2 ¿ l2
2,2=¿ a2,2+¿ l2
2,1 ¿ l 2,2=√a2,2−¿ l2
2,1 ¿¿
¿
l 2,1 × l3,1 + l2,2 × l3,2 = a 2,3
l 2,2 × l3,2 = a 2,3 - l2,1 × l3,1
l 3,2 = a2,3 - l 2,1× l 3,1l 2,2
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l 2,1 × l4,1 + l 2,2 × l 4,2 = a 2,4
l 2,2 × l 4,2 = a 2,4 - l 2,1 × l 4,1
l 4,2 = a 2,4 - l 2,1× l 4,1l2,2
l 2,1 × l5,1 + l2,2 × l 5,2 = a 2,4
l 2,2 × l 5,2 = a 2,5 - l 2,1 × l5,1
l 5,2 = a2,5 - l 2,1× l 5,1l 2,2
Tercera fila por columna (3, 4, 5)
l23,1 + l2
3,2 + l23,3 = a 3,3
l23,3 = a 3,3 - (l2
3,1 + l23,2 )
l 3,3 =√a 3,3 - ( l23,1 + l2
3,2 )
l 3,1 × l 4,1 + l 3,2 × l 4,2 + l 3,3 × l4,3 = a 3,4
l 3,3 × l4,3 = a 3,4 - ( l 3,1 × l 4,1 + l 3,2 × l 4,2 )l4,3 =
a 3,4 - (l 3,1 × l4,1 + l 3,2 × l 4,2 )l3,3
l 3,1 × l5,1 + l3,2 × l 5,2 + l 3,3 × l5,3 = a3,4
l 3,3 × l4,3 = a 3,4 - ( l 3,1 × l 4,1 + l 3,2 × l 4,2 )l5,3 =
a 3,4 - ( l3,1 × l 4,1 + l3,2 × l4,2 )l3,3
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Cuarta fila por columna (4, 5)
l24,1+ l2
4,2+l24,3+l2
4,4= a 4,4
l24,4= a 4,4 - ( l2
4,1+l24,2+l2
4,3 ) l 4,4=√a 4,4 - ( l2
4,1+ l24,2+l2
4,3 )
l 4,1 × l 5,1 + l 4,2 × l 5,2 + l 4,3 × l5,3 + l 4,4 × l5,4= a 3,4
l 4,4 × l5,4 = a 3,4 - ( l 4,1 × l 5,1 + l 4,2 × l5,2 + l 4,3 × l5,3 )l5,4 =
a 3,4 - ( l 4,1 × l5,1 + l 4,2 × l5,2 + l 4,3 × l 5,3 )l4,4
Quinta fila por columna (5)
l25,1 +¿ l2 5,2 +¿ l2 5,3 +¿ l2 5,4 +¿ l25,5 = a 4,4 ¿ l25,5 = a5,5 - ( l25,1 + l25,2 + l25,3)¿ l5,5 = √a 5,5 - ( l25,1 + l2 5,2 + l25,3 )
¿¿
Formulas de la deducción de este algoritmo
para un sistema de “n” ecuaciones
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l 1,1=√a 1,1
l i , 1 =a 1,1
l1,1 i = 2,3 . .. ,n
l i , i = (a i,i−∑k=1
i−1
l2
i , k )12
i = 2,3 .. . ,n
li , i¿1li , i (a i,i−∑
k=1
i−1
l2
i , k l j , k) i = 2,3 .. . ,n j = i+1,i+2 , .. . ,n−1l i , i = 0 i< j
Luego resolver el sistema Lc = b
[l1,1 0 0 0 0l2,1 l 2,2 0 0 0l3,1 l3,2 l 3,3 0 0l4,1 l 4,2 l 4,3 l 4,4 0l5,1 l5,2 l 5,3 l 5,4 l5,5
] [c 1
c 2
c 3
c 4
c 5]=[
b 1
b 2
b 3
b 4
b 5]
l 1,1׿c 1 = b 1 ¿⇒ c 1 =
b1l1,1
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l 2,1׿c 1 + l2,2 ׿ c2 = b2 ¿⇒ c 2 = b 2−l2,1׿c 1l 2,2
¿¿
l 3,1׿c 1 + l3,2 ׿c 2 + l3,3 ׿ c3 =¿b 3 ¿⇒ c 3 =b 3−¿¿¿¿¿¿¿¿
¿
l 4,1׿ c1 + l 4,2 ׿c2 +¿ l4,3 ׿c3 +¿ l4,3 ׿ c4 =¿ b 4 ¿⇒ c4 =b 4 −¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿
¿
l 5,1׿c 1 +¿ l5,2 ׿ c2 + l5,3 ׿ c3 + l 5,3 ׿c3 +¿ l5,4 ׿ c5 =¿b 5¿⇒ c5 =b5−¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿
¿
Luego resolver el sistema LT X= c 1
[l1,1 l 2,1 l 3,1 l4,1 l 5,1
0 l 2,2 l 3,2 l4,2 l 5,2
0 0 l 3,3 l 4,3 l 5,3
0 0 0 l 4,4 l5,4
0 0 0 0 l 5,5][
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5]=[
c 1
c 2
c 3
c 4
c 5]
l 5,5׿ x5 = c5 ¿ ⇒ x 5 =c 5
l 5,5
l 4,4׿ x4 + l5,4 ׿ x5 = c4 ¿ ⇒ x 5 = c 4−l4,4׿l x4l5,4
¿¿
l 3,3׿ x3 + l4,3 ׿ x 4 + l 5,3 ׿ x5 = c 3¿ ⇒ x 5 = c3−¿¿¿¿¿¿¿
¿
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l 2,2׿ x2 + l3,2 ׿ x3 + l4,2 ׿ x 4 + l5,2׿ x5 = c4 ¿ ⇒ x5 = c 4−¿¿¿¿¿¿¿¿
¿
l 1,1׿ x1 + l 1,2 ׿ x2 + l 1,3 ׿ x3 + l 1,4 ׿ x3 + l 1,5 ׿ x5 =¿ c5 ¿ ⇒ x5 =x5−¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿
¿
III. ALGORITMO MÉTODO CHOLESKY
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IV. PROGRAMA – ALGORITMO MÉTODO CHOLESKY
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El resultado de ejecutar este Programa, con las matrices de ejemplo sería:
V.
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VI. EJEMPLOS Sistemas de ecuaciones lineales mediante los métodos de CHOLESKY
1.[4 1 21 2 02 0 5 ] [
x 1
x 2
x 3]
¿¿
[1¿ ] [2¿ ]¿¿
¿¿Solución:
L.LT = A
[ l1,1 0 0l2,1 l2,2 0l3,1 l3,2 l 3,3
][ l1,1 l 2,1 l 3,1
0 l 2,2 l 3,2
0 0 l 3,3] =
[4 1 21 2 02 0 5 ]
l 1,1= 4l 1,1 =¿2 ¿
l 2,1 =
12
l 2,1 =¿ 0 .5 ¿
l 3,1 =
22
l 3,1 = 1
l22,1 +¿ l
22,2=a 2,2 ¿ l 2,2=√2−(12 )
2
l 2,2=¿1. 3229
¿
l 2,1 × l3,1 + l 2,2 × l 3,2 =a 2,3
l 3,2 =¿ 0 − 0 .5×11. 3229
¿ l3,2 = −0 .3780l2
3,1 + l23,2 + l2
3,3 = a 3,3
l3,3 =√5 −¿12 −(0 . 3780 )2 ¿l3,3 =¿1. 9640¿
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Luego resolver el sistema Lc = b
[ 2 0 00 .5 1.3229 01 −0.3780 1.9640 ][c 1
c 2c 3 ]
=
[124 ] l 1,1׿c 1 = b1 ¿
c 1 = 12
c 1 = 0 .5
l 2,1׿c 1 + l2,2 ׿ c2 = b 2 ¿¿
c 2 = 2 - 0 .5(0 .5)
1.3229c 2 = 1. 3229
l 3,1׿c 1 + l3,2 ׿ c2 + l3,3 ׿ c3 = b 3 ¿¿¿
c 3 =¿ 4 - 1 × 0. 5 + 0 .3780 × 1.3229
1.9640¿
c 3 =¿ 2.0367 ¿
Luego resolver el sistema Lx = c
[2 0 .5 10 1 .3229 −0.37800 0 1 . 9640 ][ x 1
x 2
x 3]
[ 0. 51.32292 .0367 ]
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l 3,3× x 3 = c 3
x 3 = 2.03671.9640
x 3 =1 .0370
l 2,2׿ x2 + l2,3 ׿ x 3 = c2 ¿ x 2 =1.3229+ 0. 3780×1 .03701.3229
¿ x 2 = 1 .2963
l 1,1׿ x1 + l 2,1 ׿ x2 + l 3,1 ׿ x3 = c3 ¿ x1 = 0.5− 0 .5× 1 . 2963 − 1 ×1.03702
¿ x1 =¿ -0 .5926¿
¿
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EJERCICIOS DESARROLADOS CON EL PROGRAMA DEL MÉTODO DE CHOLESKY EN
MATLAB.
Ejercicio Nº 1. Desarrollar el Sistema A * X = b, con el Método de Cholesky, donde la Matriz A es Simétrica y Definida Positiva de orden 3 x 3:
A=(4 1 21 2 02 0 5); X=( x1
x2
x3);b=(124)
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Ejercicio Nº 2. Desarrollar el Sistema A * X = b, con el Método de Cholesky, donde la Matriz A es Simétrica y Definida Positiva de orden 4 x 4:
A=(4 −1−1 4
0 2−1 0
0 −12 0
4 11 3
); X=(x1
x2
x3
x4
); b=(63
1612
)
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