UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA
UNIDAD IZTAPALAPA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
MÉTODOS PARA OBTENER METAS DE ENERGÍA Y ÁREA
SEMINARIO DE PROYECTOS I y II
Para obtener la:
LICENCIATURA EN INGENIERÍA EN ENERGÍA
Presenta: Donají Melchor Quintas
Bajo la asesoría de:
Dr. Juan Manuel Zamora Mata
México, D.F. Diciembre de 2010
i
AGRADECIMIENTOS
A mis padres, Bersalia y Arturo, mi preciada tía Sofía y a mi hermano Dani, mi equipo de
toda la vida que esta siempre para apoyarme.
Al amor de mi vida Efren Huitrón Peralta, que siempre llevo en mi mente y en el corazón.
Al Dr. Juan Manuel Zamora Mata, agradezco su paciencia, dedicación y esmero que me
demostró cada semana.
A la Universidad Autónoma Metropolitana por todo lo aprendido y vivido.
A mi amiga y compañera de estudio de quien aprendí mucho Alejandría.
ii
ÍNDICE GENERAL
Índice de tablas .................................................................................................................. v
Índice de figuras .................................................................................................................. vi
MÉTODOS PARA OBTENER METAS DE ENERGÍA Y ÁREA
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN.
1.1 Integración de procesos ................................................................................. 1
1.2Optimización de procesos ............................................................................... 2
1.2.1 Ventajas e inconvenientes en la optimización de procesos ............ 4
1.3 Red de Recuperación de Calor ..................................................................... 5
1.3.1 Formulación del problema ..................................................................... 6
1.3.2 Métodos de solución al problema de HENS......................................... 7
1.4 Estado del arte ................................................................................................. 8
1.5 Delimitación y Objetivos del trabajo ............................................................. 9
CAPÍTULO 2. REDES DE CONSUMOS MÍNIMOS DE ENERGÍA EN INTERCAMBIO DE CALOR
2.1 Elementos del Método del punto de pliegue .............................................. 12
2.1.1 Requerimientos mínimos de servicios auxiliares:
calentamiento y enfriamiento(RMSA) ................................................... 12
2.1.2 Balances de energía ............................................................................... 13
2.1.3 Diagrama de Intervalos de Temperatura............................................. 14
2.1.3.1 Diagrama de cascada ................................................................ 17
Requerimientos mínimos de servicios generales ...................... 18
Temperatura del punto de pliegue ........................................... 18
2.1.4 Diagramas entalpía-temperatura (H-T) ................................................ 19
2.1.5 Diagrama de curva compuesta ........................................................... 20
2.1.6 Curva Compuesta Integral .................................................................... 21
2.1.7 El problema umbral ................................................................................. 24
2.2 Número mínimo de intercambiadores .......................................................... 25
iii
2.3 Modelo de Transporte ..................................................................................... 26
2.3.1 Representación Gráfica ......................................................................... 26
2.3.2 Planteamiento general del modelo de transporte ............................ 27
CAPÍTULO 3. ESTIMACIÓN DEL ÁREA DE TRANSFERENCIA DE CALOR
3.1 Planteamiento de la fórmula ......................................................................... 38
3.2 Análisis de la Fórmula ...................................................................................... 40
CAPÍTULO 4. MÉTODO DE INTERVALOS DE TEMPERATURA DE JEżOWSKI PARA ESTIMAR EL
ÁREA REQUERIDA PARA RECUPERACIÓN DE CALOR
4.1 Introducción ..................................................................................................... 43
4.2 Definiciones, conjuntos y notación ............................................................... 44
4.3 Procedimiento para formular la tabla de calor modificada propuesta
por Jeżowski ...................................................................................................... 46
4.3.1 Tabla de calor estándar ........................................................................ 46
4.3.2 Tabla de calor modificada por Jeżowski............................................. 47
4.3.3 Modelo para minimizar área ................................................................. 52
4.3.4 Resultados ................................................................................................ 55
4.3.5 Mejora de la estructura y cálculo del área modificada ................... 56
CAPÍTULO 5. MÉTODOS DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS PARA METAS DE ÁREA
MÍNIMA
5.1 Introducción ..................................................................................................... 57
5.2 Planteamiento del método matemático ..................................................... 58
5.2.1 Definiciones, conjuntos, subíndices y parámetros .............................. 59
5.3 Procedimientos para plantear la tabla de calor modificada ................... 62
5.3.1 Caso de estudio 1 ................................................................................... 64
5.4 Función objetivo............................................................................................... 70
5.5 Resultados del método de distribución de cargas térmicas ..................... 71
5.6 Pruebas variando el parámetro β ................................................................. 72
5.7 Validación del modelo ................................................................................... 72
CAPÍTULO 6. CASOS DE ESTUDIO 2
6.1 Introducción ..................................................................................................... 75
iv
6.2 Datos del problema......................................................................................... 75
6.3 Balances de energía ....................................................................................... 76
6.4 Diagrama de intervalos de temperatura ..................................................... 76
6.5 Diagrama de curvas compuestas ................................................................. 79
6.6 Curva Compuesta Integral ............................................................................. 79
6.7 Estimación de área de transferencia mediante el uso de la fórmula de
Bath .......................................................................................................................... 80
6.8 Modelo de transporte ..................................................................................... 81
6.9 Número mínimo de intercambiadores .......................................................... 81
6.10 Tabla de intervalos de temperatura de Jeżowski para estimar el área
requerida para recuperación de calor .............................................................. 82
6.11 Método de distribución de cargas térmicas para metas de
área mínima ........................................................................................................... 85
CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES
7.1 Metas de energía ............................................................................................ 87
7.2 Metas de área .................................................................................................. 88
REFERECIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................. 90
v
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 2.1 Datos para el caso de estudio 1 .............................................................. 12
Tabla 2.2 Formación de intervalos de temperatura
Para el caso de estudio 1 .......................................................................... 15
Tabla 2.3 Tabla de calor para el caso de estudio 1 .............................................. 17
Tabla 2.4 Población de corrientes por intervalos de
Entalpía para el caso de estudio 1 .......................................................... 21
Tabla 3.1 Corrientes calientes .................................................................................... 41
Tabla 3.2 Corrientes frías ............................................................................................. 41
Tabla 3.3 Cálculo de área empleando la fórmula de Bath ................................ 42
Tabla 4.1 Valores de LMTD’s ....................................................................................... 51
Tabla 4.2 Valores de las cargas térmicas ................................................................ 55
Tabla 4.3 Valores de área ........................................................................................... 55
Tabla 5.1 Cargas térmicas permitidas ...................................................................... 65
Tabla 5.2 Resultados para diferentes β .................................................................... 72
Tabla 5.3 Comparación del método con resultados en la literatura ................ 73
Tabla 6.1 Datos del caso de estudio 2 ..................................................................... 75
Tabla 6.2 Formación de intervalos de temperatura para el caso
De estudio 2 ................................................................................................. 77
Tabla 6.3 Tabla de calor para el caso de estudio 2 .............................................. 78
Tabla 6.4 Corrientes calientes, caso de estudio 2 ................................................. 80
Tabla 6.5 Corrientes frías, caso de estudio 2 .......................................................... 80
Tabla 6.6 Área de transferencia estimada caso de estudio 2 ............................ 81
Tabla 6.7 Resultados para diferentes β caso de estudio 2 ................................... 85
Tabla 6.8 Comparación del método con resultados en la literatura
Caso de estudio 2 ....................................................................................... 85
Tabla 7.1 Tabla comparativa para resultados de metas de energía
Caso de estudio 1 ....................................................................................... 87
Tabla 7.2 Resultados con fórmula de Bath caso de estudio 1 ............................ 87
Tabla 7.3 Resultados utilizando método de Jeżowski caso de estudio 1 .......... 88
Tabla 7.4 Comparación del modelo de distribución de cargas
Caso de estudio 1 ....................................................................................... 88
Tabla 7.5 Comparación del modelo de distribución de cargas
Caso de estudio 2 ....................................................................................... 88
vi
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 El proceso visto como tres sistemas interactuantes ............................. 5
Figura 2.1 Procesos químico simplificado ................................................................. 11
Figura 2.2 Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a
Los datos de la tabla 2.1 ........................................................................... 15
Figura 2.3 Descomposición del comportamiento en el punto de pliegue ........ 18
Figura 2.4 Curvas compuestas para el caso de estudio 1 .................................... 22
Figura 2.5 Curva compuesta integral para el caso de estudio 1 ........................ 23
Figura 2.6 Variaciones del consumo de servicio de calentamiento
Y enfriamiento en función del ∆Tmin ...................................................... 24
Figura 2.7 El problema umbral .................................................................................... 24
Figura 2.8 Representación general del modelo de transporte ............................ 26
Figura 2.9 Representación gráfica del modelo de transporte
Para una red de recuperación de calor ............................................... 27
Figura 2.10 Intervalos de temperatura del ejemplo 1 .............................................. 30
Figura 2.11 Cargas térmicas de las corrientes de proceso ejemplo 1 .................. 31
Figura 2.12 Carga térmica cedida por H1 proveniente de cada intervalo ........ 34
Figura 2.13 Solución del modelo de transporte para el caso de estudio 1 ......... 37
Figura 4.1 Intervalos de temperatura ........................................................................ 48
Figura 4.2 Tabla de intervalos de calor modificada por Jeżowski ....................... 49
Figura 4.3 Modelo de transporte aplicado a la tabla de calor modificada
por Jeżowski ................................................................................................. 49
Figura 4.4 Estructura espagueti y estructura compactada .................................. 56
Figura 5.1 Tabla de calor estándar caso de estudio 1........................................... 65
Figura 5.2 Intervalos permitidos para la corrientes caliente 1 y la corriente
Fría 1 ............................................................................................................... 66
Figura 5.3 Intervalos permitidos para el caso de estudio 1 ................................... 66
Figura 5.4 Intervalos mayores que marcan la división ........................................... 67
Figura 5.5 Diagrama esquemático para mostrar la división del intervalo 4
Del caso de estudio 1................................................................................. 68
Figura 5.6 Tabla de calor modificada para una β=15% ........................................ 69
Figura 6.1 Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a los
Datos de la tabla 6.1 .................................................................................. 77
Figura 6.2 Gráfica de curvas compuestas caso de estudio 2 .............................. 79
Figura 6.3 Curva compuesta integral caso de estudio 2 ...................................... 79
Figura 6.4 Intervalos de temperatura caso de estudio 2 ....................................... 82
vii
Figura 6.5 Tabla de intervalos de calor modificada caso de estudio 2 ............. 84
Figura 6.6 Comparación de áreas obtenidas por diferentes métodos .............. 86
D.M. QUINTAS CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN
1
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
Información extraída de Puijaner L. , (2006)
1.1 Integración de procesos
El diseño de procesos químicos se inicia con el análisis de los procesos de fabricación
de productos químicos, de alta calidad y costos aceptables por la demanda. Un estudio
inicial determina si el producto es aceptado en el mercado, si el resultado es positivo, se
lleva a cabo el estudio preliminar de las operaciones básicas, es decir, la transformación
de materias primas necesarias en productos acabados (síntesis del proceso). Esta etapa
conducirá a diversas alternativas que deberán ser analizadas hasta obtener el diagrama
de flujo final del proceso después de una optimización paramétrica o estructural. La
etapa final consiste en la ingeniería de detalle (diseño mecánico) del equipo de proceso
y su interconexión, instrumentación y servicios auxiliares.
El diseño de procesos tanto continuos como discontinuos se lleva a cabo mediante
simulación bajo el concepto de integración. El diseño integrado supone la integración
apropiada de todos los elementos que requiere el proceso de fabricación (ingeniería de
proceso), junto a un adecuado sistema de dimensionamiento (ingeniería de diseño) para
producir el diagrama de flujo del proceso deseado. Un buen diseño deberá tener en
cuenta los siguientes factores claves: aceptación de un amplia variedad de materias
primas, previsión a ampliación de nuevos productos o variantes, integración energética,
alto grado de automatización, previsión de perfiles de demanda variable (incierta),
flexibilidad en las operaciones de la planta, minimización de residuos y emisiones (que
cumplan la legislación medio ambiental), evaluación de riesgos y estrategias de control
de calidad.
Una vez que se examinan los diferentes subprocesos y alternativas que componen el
diseño del proceso mediante modelos de simulación, queda pendiente un aspecto clave
que es la relación entre las variables del proceso y su optimización. Antes de tomar una
D.M. QUINTAS CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN
2
decisión sobre el proceso preferido, cada una de las alternativas contendientes debería
ser optimizada a fin de comparar procesos óptimos.
Una solución a este problema es mejorar mediante simulaciones sucesivas el modelo
del proceso. Dicho procedimiento está sujeto a una búsqueda y error que solamente
permiten encontrar soluciones óptimas locales. En cambio el camino de búsqueda hacia
el óptimo implica estrategias de optimización a partir de un modelo inicial.
Para encontrar la mejor solución, se establece una función objetivo. En diseño de
procesos, los objetivos incluyen costos de inversión y operación, rendimiento, beneficio,
etc. Los valores de la función objetivo quedan determinados por las variables de proceso
(tamaño de equipos, condiciones de operación). Finalmente, las relaciones entre las
variables del problema deben ser restringidas dentro de ciertos límites. Las variables del
proceso se clasifican en variables de decisión, que representan los grados de libertad, y
variables dependientes, que se resuelven mediante variables de restricción.
La optimización de procesos comúnmente se basa en programación matemática e
investigación operativa, que permiten obtener soluciones rigurosas al problema del diseño
óptimo. Sin embrago, consideraciones de tiempo de cálculo y sus consecuencias en
costos de diseño, retrasos, inflación, etc., hacen necesario llegar a una solución óptima
donde se utilice heurística.
1.2 Optimización de procesos
La industria química y afín utiliza la optimización para ser más competitiva. Esta
mejora normalmente lleva asociado un ahorro de costos (por ejemplo, al establecer la
etapa de alimentación de una columna de destilación en función de consumo
energético), una mayor eficacia de operación (por ejemplo, al fijar la temperatura de
reacción que maximiza la conversión del producto principal y simultáneamente minimiza
la conversión de los productos secundarios) o aspectos relacionados con la logística. Por
lo tanto queda claro que muchas de las decisiones que se toman en la operación de las
plantas químicas están basadas en la aplicación de herramientas de optimización.
D.M. QUINTAS CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN
3
Los factores que han contribuido al espectacular auge en la aplicación de técnicas
de optimización son:
• Disponibilidad de computadoras con una creciente capacidad de cálculo y el
establecimiento de redes de computadoras conectadas entre sí.
• Desarrollo de algoritmos matemáticos robustos para la optimización. La mayoría
de los métodos matemáticos se desarrollaron en áreas como la investigación de
operaciones y el análisis numérico, mientras que su aplicación a sistemas
complejos, como los estudiados en la ingeniería química, fue más tardía.
• La mejora en los modelos de simulación de operaciones unitarias, junto con los de
estimación económica, permite decidir entre alternativas similares.
A continuación se dará una visión global de las técnicas más utilizadas en ingeniería
química:
• Programación lineal (LP, linear programming): tanto la función objetivo como
las restricciones son lineales. Tiene en algunos casos una única solución, para
ciertos problemas se tienen multiplicidad de soluciones a las cuales de forma
particular se les denomina solución óptima local, en la mayoría de las
ocasiones se utiliza el método simplex ara resolver este tipo de problemas.
• Programación Lineal Mixta (MILP, mixed integer linear programming): incorpora
variables discretas, que pueden ser binarias (0 ó 1) o enteras, a la
programación lineal. El algoritmo más utilizado es Branch and Bound
(ramificación y acotamiento).
• Programación No Lineal (NLP, non-linear programming): algunas de las
funciones involucradas no son lineales, por lo que la resolución del problema es
más compleja debido a la posibilidad de que existan mínimos locales. El
algoritmo de programación cuadrática sucesiva (SQP, sequential quadratic
programming) es el más utilizado.
• Programación no lineal mixta (MINLP, mixed integer non-linear programming):
incorpora variables discretas (binarias o enteras) a la NLP. Normalmente el
problema original se descompone en varios subproblemas que se resuelve
dentro de una MILP.
D.M. QUINTAS CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN
4
1.2.1 Ventajas e inconvenientes en la optimización de procesos
No existe ningún método que garantice a priori la solución de un problema de
optimización, por lo que lo mejor es aprovechar la estructura del problema (tipo de
función objetivo, restricciones y variables) y utilizar métodos específicos para cada caso
(LP, MILP, NLP, MINLP u otros). De todas formas, incluso seleccionando un buen algoritmo
de cálculo, la convergencia y la robustez serán aspectos clave: un problema planteado
de cierta forma puede no converger, mientras que planteado de otra forma su solución
puede ser trivial (en muchas ocasiones basta con plantear un restricción de forma
equivalente: A-B=0 o A/B=1). Lamentablemente, no existe ningún método que garantice
la convergencia, ni ningún algoritmo que abarque todas las posibilidades dada la enorme
variedad de problemas que se pueden encontrar en ingeniería química. A continuación
se enumera una serie de consejos para tener un mejor desarrollo del problema:
• La mejor estrategia es mantener el modelo lo más sencillo posible. Esto es, si el
problema se puede resolver rápidamente a mano, es mejor resolverlo a mano. Y si
para resolverlo basta con utilizar el solver de Excel, entonces no es necesario utilizar
ninguna herramienta.
• Normalmente es necesario dedicar más tiempo del que inicialmente uno tiene
pensado en obtener el modelo del proceso, pese a que sea la fase más sencilla.
En primer lugar, porque el modelo debe ser robusto. Y en segundo lugar, porque es
crucial familiarizarse con el problema antes de intentar optimizarlo.
• Siempre es una buena idea realizar análisis de sensibilidad, modificando las
variables más importantes del proceso (±5-10%) para conocer su efecto sobre el
sistema. Las variables típicas están relacionadas con las condiciones de operación
(temperatura, razón de reflujo, purga de una corriente) o con el dimensionamiento
de los equipos. Basándose en esta información se fijan los grados de libertad del
proceso (normalmente se seleccionan las variables que tienen un mayor impacto
en la función objetivo).
• Hay que construir el modelo de optimización poco a poco, incluyendo las
restricciones una a una, para detectar problemas lo antes posible. La posibilidad
de resolver un problema complejo al primer intento es remota. En un principio se
debe restringir la zona de búsqueda y después considerar relajar algunas de las
restricciones, añadiendo complejidad a la función objetivo poco a poco.
• Iniciar la optimización partiendo desde diferentes valores iniciales factibles, puesto
que todos los métodos de optimización son altamente sensibles al valor inicial. De
D.M. QUINTAS CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN
5
esta forma, se minimiza el riesgo de obtener un mínimo local en lugar de un mínimo
absoluto (en todo caso, normalmente el número de mínimos locales es pequeño).
La existencia de múltiples óptimos se debe, normalmente, a discontinuidades en la
función objetivo o a la no linealidad de las funciones.
• Se debe considerar que además de las restricciones evidentes (por ejemplo pureza
máxima o satisfacer la demanda), existen restricciones lógicas (por ejemplo al
comparar opciones mutuamente excluyentes) y restricciones inherentes al proceso
(por ejemplo, las emisiones deben cumplir la legislación ambiental).
• Analizar críticamente los resultados. Hay que comprobar si el resultado tiene
significado físico y es coherente, y confirmar mediante el análisis de sensibilidad,
que la solución es aceptable para un amplio rango de situaciones.
1.3 Red de Recuperación de Calor
Los proceso químicos pueden considerarse como tres subsistemas que interactúan
(figura 1.1): el proceso en sí mismo incluyendo reactores (en el caso más general) y
unidades de separación, la red de intercambiadores de calor que incluye todas las
corrientes de proceso a intercambiadores internos (entre corrientes de proceso) y,
finalmente, la red de servicios que ha de satisfacer las necesidades externas de calor,
potencia y vapor.
Figura 1.1 El proceso visto como tres subsistemas interactuantes.
La integración energética trata de estos tres subsistemas y de sus interacciones con
el fin de conseguir una utilización eficiente de la energía disponible y obtener la red de
intercambiadores de calor que permita que cada corrientes alcance la temperatura
deseada a partir su temperatura de entrada. La optimalidad de dicha red se define como
Equipo Proceso
Servicios Generales
Red de Intercambiadores
Materia Prima
Energía
Residuos Pérdidas
Productos Subproductos
D.M. QUINTAS CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN
6
aquella de costo total mínimo, incluyendo los costes de operación e inversión de la
misma, o área total mínima dependiendo. Asimismo, la red óptima debe ofrecer una
buena operabilidad y flexibilidad frente a condiciones cambiantes del entorno
(económicas, ecológicas y de seguridad) y una buena integración del proceso teniendo
en cuenta su topología, los equipos disponibles en la planta y el rango de operación de
dicho equipo.
El primer método relacionado con el diseño de redes de intercambio de calor es de
Ten Breck en 1944. Pero el problema de síntesis de redes de intercambio de calor (HENS)
no aparece rigurosamente definido hasta 1969 en la publicación de Masso y Rudd. Una
revisión bibliográfica completa se encuentra en el texto Gundersen y Naess (1988), y
actualizaciones posteriores de Furman y Shanidis (2001) y Westerberg (2003), entre otras.
1.3.1 Formulación del problema
El problema básico de HENS se puede plantear de la siguiente forma. Dados:
� Un conjunto H de corrientes calientes del proceso deben ser enfriadas
desde su temperatura de entrada hasta la temperatura de salida deseada.
� Un conjunto C de corrientes frías del proceso deben ser calentadas desde
su temperatura de entrada hasta la temperatura de salida requerida.
� Las capacidades caloríficas y caudales de las corrientes calientes y frías del
proceso.
� Los servicios generales disponibles y las temperaturas o rango de
temperaturas y costes de dichos servicios.
Determine la red de intercambiadores con un costo de operación e inversión
anualizada. Aunque la función puede variar a determinar requerimientos mínimos de
energía o área.
D.M. QUINTAS CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN
7
1.3.2 Métodos de solución al problema de HENS
Los métodos de solución al problema de síntesis de redes de calor pueden
clasificarse en dos grandes grupos:
A. Método de síntesis secuencial
Los métodos de síntesis secuencial llevan a cabo una partición del problema de HENS
en cierto número de intervalos, usualmente dividiendo el rango de temperaturas del
problema en intervalos de temperatura. Así, el problema se descompone en una serie
de subproblemas que se resuelven sucesivamente en orden decreciente, empleando
para ello reglas heurísticas. Las estrategias generalmente empleadas se basan en
hallar la red que minimice costos, área o energía. Existen dos métodos de sistema
secuencial:
a) Métodos de diseño evolutivo basados en el punto de pliegue (PDP, pinch
en inglés) y sus derivados (pseudo PDP).
b) Métodos basados en técnicas de programación matemática que utiliza
formulaciones enteras mixtas lineales (MILP) o bien resuelven el problema
de optimización no lineal.
Los métodos del apartado a) constituyen la base de productos comerciales (por
ejemplo SuperTarget, PinchExpress, AspenPinch) que han recibido una gran aceptación
por parte de la industria, además de haber contribuido de forma significativa al ahorro
energético en la industria de proceso durante esta última década. Por este motivo, y
dado que otros métodos basados en la programación matemática no son alternativas
razonables para resolver problemas a escala industrial, algunos elementos del método
PDP se desarrollarán más adelante.
B. Método de síntesis simultánea
El objetivo de los métodos de síntesis simultánea de redes de intercambio de calor es
hallar la red óptima sin descomponer el problema. Se trata de métodos basados en
formulaciones no lineales del problema entero-mixto (MINLP) de HENS, sujeto a
hipótesis que tratan de simplificar su complejidad y facilitar la búsqueda de la solución.
D.M. QUINTAS CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN
8
Por el momento la utilización de tales métodos sigue mayoritariamente restringida al
campo de la investigación académica.
1.4 Estado del arte
Para simplificar el problema de síntesis de redes de intercambio de calor, es
descompuesto en tres partes: (1) Encontrar los requerimientos mínimos de consumo para
un problema dado y un valor de HRAT (Heat Recovery Approach Temperature) propuesto,
(2) sintetizar una red de intercambio de calor que tenga un número mínimo de unidades,
y que satisfaga los requerimientos mínimos de consumo, (3) minimizar el área total. De los
datos del problema, y antes de diseñar la red, podemos obtener la siguiente información:
• Requerimientos mínimos, para un HRAT específico. (Hohmann, 1971;
Raghavan, 1977; Linnhoff & Flower, 1978; Papoulias & Grossmann, 1983; Cerda
et al., 1983; O’Young et al., 1988).
• Número mínimo de unidades, para requerimientos específicos,
independiente del área (Hohmann,1971; Papoulias and Grossman,1983).
• Área mínima de la red para requerimientos específicos, independiente del
número de unidades (Hohmann, 1971; Nishida et al., 1971; Raghavan, 1977;
Townsend and Linnhoff, 1974).
En lo que respecta a minimizar área, autores como Yee &Grossmann(1990)
proponen una superestructura, que es una representación por etapas, en donde en cada
etapa, ocurre un intercambio de calor, de las corrientes calientes a las frías que se
encuentran presenten en dicha etapa. Rev y Fonyo (1993), proponen usar contribuciones
individuales ∆Ti a la diferencia de temperatura de aproximación mínima entre las
corrientes calientes y frías, en esta propuesta, la temperatura de las corrientes debe ser
cambiada proporcionalmente por el inverso del coeficiente de película de la corriente en
cuestión, de acuerdo con la ecuación:
1−=∆ ii khT
En donde k es una constante. El valor de k puede ser calculado para cualquier valor de
∆Tmin de una manera iterativa. Merdardo Serna y Arturo Jiménez(2004) se basan en el
D.M. QUINTAS CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN
9
método utilizado por Rev y Fonyo, con la diferencia de que utilizan el concepto de pinch
diverso como base para proponer su algoritmo. Colberg y Morari(1990) usan un modelo
no lineal, lo que lo vuelve complejo, pero puede aceptar coeficientes de transferencia de
calor que no sean iguales, utilizan intervalos de entalpía. El modelo de Jeżowski (2003),
también se basa en intervalos de temperatura, pero este modelo es lineal, por lo que es
más fácil de resolver. Este método se basa en el modelo de transporte, y no requiere del
conocimiento de los intervalos de entalpía.
1.5 Objetivos y justificación de este trabajo
En el proceso de determinación de redes de intercambiadores de calor, las técnicas
empleadas habitualmente exigen una primera etapa de determinación de la Máxima
Energía Recuperable. Para ello, existen diversas técnicas basadas en métodos
termodinámicos como el procedimiento de la tabla de calor (PP), y métodos
matemáticos que empleando el modelo de transporte en etapas, se resuelven utilizando
el método Simplex para Redes.
A fin de explorar las posibilidades, los métodos que aplican programación lineal más
actual y exponer los resultados de su aplicación, se presenta el actual trabajo.
El siguiente trabajo es una presentación del contenido que se abordó dentro de la
materia Seminario de Proyectos 1 y 2, y cuyos objetivos son:
� Explorar las técnicas como la del punto de pliegue, fórmula de Bath o el
modelo de transporte, para tener una primera aproximación a los métodos
más utilizados dentro de la programación lineal orientada a la optimización
de procesos dentro de la industria.
� El estudio y análisis del método presentado por Jacek Jeżoswki (2003), donde
utiliza intervalos de temperatura (TI’s).
� Plantear un método que nos permita resolver de forma menos compleja el
problema de optimización de HEN’s , mejora del tiempo de ejecución, así
como de los resultados con respecto a otros métodos presentados en el
presente trabajo.
D.M. QUINTAS CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN
10
En el siguiente capítulo vemos a fondo las técnicas de recuperación de energía,
modelo para minimizar los consumos de energía tanto de calentamiento como de
enfriamiento. Se abordan algunos elementos de la tecnología de punto de pliegue,
como: análisis de la primera ley que es el punto de partida para comenzar con el estudio
de las redes de intercambio de calor, para posteriormente hacer la tabla de intervalos de
temperatura. Las curvas compuestas y la gran curva compuesta integral, que están
basadas en los intervalos que se crean en la tabla de intervalos de temperatura. Para
finalizar el capítulo, se aborda otro método para resolver el problema de metas de
energía, que es el modelo de transporte, de forma gráfica se describe el procedimiento
para poder plantear el método. Se analiza un caso de estudio, para comprender mejor la
metodología de cada procedimiento.
En los capítulos siguientes se abordan las metas de área, en el capítulo 3, en
particular se utiliza la fórmula de Bath, propuesta por Townsend y Linnhoff en 1984 en un
encuentro de investigadores en la Ciudad de Bath (U.K). En el capítulo 4, se aborda el
modelo de Jeżowski, una parte fundamental del presente trabajo ya que introduce el
nuevo modelo sin que uno sea consecuencia del otro, al familiarizarse con el modelo de
transporte del capítulo 3, este nuevo modelo es de fácil introducción, debido a su similitud
en el planteamiento con el modelo de transporte. Se propone un nuevo modelo, donde
las cargas se distribuyen, de forma que ninguna sea mayor que una cota establecida,
esto con el fin de crear una distribución uniforme, basados en un porcentaje fijo.
El capítulo 6, presenta casos de estudio diversos utilizando los dos métodos centrales
de este trabajo, el de Jezowski y el de distribución de cargas uniformes, dichos casos de
estudio fueron resueltos con la ayuda de Gams, para disminuir tiempos de ejecución.
Para poder comparar los resultados, utilizamos el capítulo 7, donde se discute cual
método es mejor de acuerdo a lo obtenido en el presente trabajo. Además, se presentan
las conclusiones de los otros métodos abordados.
Los métodos de programación lineal, contribuyen en la industria al optimizar
procesos, esto es recuperar energía en forma de calor, y también a disminuir los costos,
creando redes más económicas, y que puedan recuperar la energía para cierto HRAT.
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
11
Capítulo 2
Redes de consumos mínimos de energía en intercambio de
calor
2.1 Elementos del método del punto de pliegue
Los procesos químicos son una sucesión de operaciones químicas y/o físicas que
trasforman materias primas en productos, subproductos y residuos. Por ejemplo en la
Figura 2.1 los reactantes pasan por la primera etapa de purificación antes de la operación
de reacción que tiene lugar a continuación. Los productos y subproductos obtenidos son
sometidos a una segunda operación de purificación donde se separan de los reactantes
no convertidos. Estos últimos se reciclan a la primera sección de purificación.
Figura 2.1 Proceso químico simplificado
Cada una de dichas transformaciones tiene lugar a una temperatura y presión
determinadas. La tarea encomendada a la red de intercambio de calor y al sistema de
servicios generales es conseguir que las corrientes de proceso alcancen las condiciones
apropiadas para la operación siguiente.
Por consiguiente, los datos requeridos son el estado inicial y final (objetivo) de la
corriente que interviene en la integración energética. Dichos datos en términos generales,
son:
• La temperatura y presión de entrada.
Purificación 1 Reacción Purificación 2
Energía
Materia prima
Subproductos Productos
Pérdidas Residuos
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
12
• La temperatura y presión de salida.
• El caudal y la composición de la mezcla en cada corriente, que constituye el
transporte de materia entre operaciones.
2.1.1 Requerimientos Mínimos de Servicios Auxiliares: calentamiento y
enfriamiento (RMSA)
El punto de partida en el análisis de la integración energética con el método del
punto de pliegue es el cálculo de los requerimientos mínimos de calentamiento y
enfriamiento de la red de intercambiadores, necesarios para satisfacer la demanda de
calor qhu o para las corrientes calientes que requieren ser enfriadas qcu, y donde el
intercambio de calor entre corrientes calientes y frías es insuficiente para que alcancen su
temperatura objetivo. Dicho cálculo puede realizarse sin tener que especificar una red de
intercambio de calor. Asimismo, podemos determinar el número mínimo de
intercambiadores sin necesidad de especificar la red. Una vez establecidos los RMSA y el
número mínimo de intercambiadores, se podrá proceder al diseño de la red de
intercambiadores. Supongamos el siguiente caso:
Considere la información de la Tabla 2.1, en la que se muestran 2 corrientes frías y
dos calientes, considerando una diferencia mínima de temperaturas de 20 K.
Tabla 2.1. Datos para el caso de estudio 1(HRAT=20 K) Corriente de proceso Ts(K) To(K) FĈp(kW/K) h(kW/m2K) Qdisp/req(kW)
H1 423 333 20 0.1 1800 H2 363 333 80 0.1 2400 C1 293 398 25 0.1 2625 C2 298 373 30 0.1 2250
Vapor 453 453 0.1 Agua de Enfriamiento 283 288 0.1
Este caso de estudio fue tomado de Colberg y Morari (1990), también se presenta en
Jeżowski (2003).
Se dan las temperaturas de entrada To y salida Ts de cada corriente y su contenido
de calor CP=FCp, donde F es el flujo másico que discurre por la corriente y Cp es el calor
específico del fluido en cada corrientes, suponiendo que se mantiene constante en el
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
13
rango de temperaturas indicado. Aparecen también en la Tabla 2.1 los valores de las
cantidades netas Q a suministrar o sustraer necesarias para que las corrientes alcancen
sus temperaturas objetivo To.
2.1.2 Balances de energía
A partir de los datos de la Tabla 2.1, y de la tabla 2.2, tabla de intervalos de
temperatura, obtenemos los valores de los RMSA para calentamiento es qhu y para
enfriamiento qcu, y se extraen los siguientes balances de energía:
kWTCPTTCFQ ospH 180020*)333423()( 11111 =−=∆=−=
kWTCPTTCFQ ospH 240080*)333363()( 22222 =−=∆=−=
kWTCPTTCFQ ospC 262525*)398293()( 33333 −=−=∆=−=
kWTCPTTCFQ ospC 225030*)373298()( 44444 −=−=∆=−=
kWkWkWqdisp 420024001800 =+= (2.1.1)
kWkWkWqreq 487522502625 =+= (2.1.2)
kWkWkWqq hudisp 527510754200 =+=+ (2.1.3)
kWkWkWqq cureq 52754004875 =+=+ (2.1.4)
De (2.1.3) y (2.1.4), tenemos: cureqdisphu qqqq +=+ (2.1.5)
La ecuación (2.1.5) nos dice que la energía que tenemos en las corrientes calientes,
qdisp, más la energía del servicio de calentamiento, qhu, debe ser igual a la energía que
debemos suministrar a las corrientes frías, qreq, más la ayuda de servicio de enfriamiento,
qcu.
ESTADO ESTACIONARIO
H1
H2 C2
C1
HU CU
qhu=1075 kW
qH2=2400 kW
qH1=1800 kW
qCU= 400 kW
qc2= 2625 kW
qC1= 2250 kW
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
14
La primera ley de la termodinámica no contempla el hecho de que es únicamente
posible transferir calor de una corriente caliente a una fría si la temperatura de la corriente
caliente está por encima de la correspondiente a la corriente fría. Por lo tanto, para
obtener un estimado físico razonable de los requerimientos de calentamiento y
enfriamiento, una fuerza motriz positiva debe existir en la tabla de calor entre la corriente
fría y caliente. Es decir, que se debe satisfacer también la segunda ley. La segunda ley de
la termodinámica nos dice que es imposible un proceso cuyo único resultado sea la
transferencia de energía en forma de calor de un cuerpo de menor temperatura a otro
de mayor temperatura. Lo que esta ley nos dice es también conocido como enunciado
de Clausius. La segunda ley reafirma a la primera, y nos indica que en la tabla de calor
solo se debe transferir calor de intervalos de mayor temperatura a intervalos de menor
temperatura.
2.1.3 Diagrama de intervalos de temperatura
Una forma sencilla de asegurar el cumplimiento de la segunda ley en la aplicación
del análisis de integración energética es la representación de las corrientes de proceso
susceptibles de un intercambio energético en el llamado diagrama de intervalos de
temperatura (Umeda et al., 1978; Linnhoff y Flower, 1978). El diagrama de intervalos de
temperatura parte de la selección de una diferencia de temperaturas mínima ∆Tmin entre
las corrientes que intercambian calor como fuerza impulsora del intercambio. Para
construir esta tabla, primero ordenamos las temperaturas de suministro y objetivo (Tabla
2.2 (a)) las remarcamos con negritas, posteriormente para TH restamos el HRAT
correspondiente, y para TC sumamos el HRAT (Tabla 2.2 (b)), ahora se ordenan de forma
descendente (Tabla 2.2 (c)), por último suprimimos las temperaturas que se repiten, para
así obtener nuestra escala de temperaturas.
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
15
Tabla 2.2 Formación de intervalos de temperatura (a) acomodo en la tabla, (b) resta
o suma de HRAT, (c) ordenamiento de temperaturas, (d) tabla final
TH TC TH TC
423 423 403
363 363 343
333 333 313
333 333 313
398 418 398
373 393 373
298 318 298
293 313 293
(a) (b) (c) (d)
A partir de la Tabla 2.2 (d), se forma la figura 2.2, que indica los intervalos de
temperatura que han sido determinados por los extremos de cada corriente, es decir, sus
temperaturas de entrada y salida.
Figura 2.2 Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a los datos de la tabla
2.1.
Ahora se expande la tabla de calor, para hacer un análisis de lo que podemos
obtener de estos datos, (ver tabla 2.3). La columna (2) de la tabla 2.3, es el calor
disponible de las corrientes, es decir, la energía que contienen las corrientes calientes, y
TH TC
423 403
418 398
393 373
363 343
333 313
333 313
318 298
313 293
TH TC
423 403
418 398
393 373
363 343
333 313
318 298
313 293
H1
20 H2
80 C1
25 C2
30
423
418
393
363
333
403
398
373
343
313
TH TC
318
313
298
293
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
16
que se puede utilizar, para que esta corriente alcance su temperatura objetivo, sigue la
ecuación:
kIi
Hikdisp TFCPqk
∆=∑ε
, (2.1.3)
Por ejemplo para el intervalo 4, tenemos:
kWKKkWTFCPTFCPq HHdisp 300030*/)8020(444, 21=+=∆+∆=
Para el calor requerido, columna (3), podemos utilizar la ecuación (2.1.4), solo que
ahora se aplica para las corrientes frías.
kJj
Cjkreq TFCPqk
∆= ∑ε
, (2.1.4)
En cada intervalo de temperaturas es posible el intercambio de calor entre
corrientes calientes y frías, ya que queda garantizado un ∆Tmin entre ellas. Obviamente,
también es posible el intercambio de calor entre intervalos a más alta temperatura con los
de corrientes a temperaturas más bajas. Si se restringe el intercambio de calor a las
corrientes dentro de cada intervalo de temperaturas, la cantidad de calor máxima
transferible en cada intervalo de temperatura vendrá dada por:
],min[ reqdisprec qqq = (2.1.5)
Más adelante se describirán las columnas restantes.
En la Tabla 2.3, se muestra la tabla de intervalos de temperatura, desglosada, donde
la columna 4, representa la ecuación (2.1.5) nos dice.
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
17
Tabla 2.3 Tabla de calor para el caso de estudio 1.
∆T
(K)
(1)
qdisp
(kW)
(2)
qreq
(kW)
(3)
qrec
(kW)
(4)
qneto
(kW)
(5)
qhu
(kW)
(6)
Hacumh
(kW)
(7)
Hacumc
(kW)
(8)
5 100.00 0.00 0.00 100.00
qhu
1075.00
25 500.00 625.00 500.00 -125.00
1175.00
30 600.00 1650.00 600.00 -1050.00
1050.00
30 3000.00 1650.00 1650.00 1350.00
0.00
15 0.00 825.00 0.00 -825.00
1350.00
5 0.00 125.00 0.00 -125.00
525.00
1800 2400 2625 2250 4200 4875 3800 400 qcu
2.1.3.1 Diagrama de cascada
El diagrama de intervalos de temperatura nos indica las cantidades netas de calor
en exceso necesario para el enfriamiento y calentamiento en cada intervalo que podría
suministrarse por un servicio de frío y de calor, respectivamente. Sin embargo una forma
más eficiente de suministro es utilizar el exceso de calor disponible en cierto intervalo para
cubrir el déficit de enfriamiento del siguiente a temperaturas más bajas garantizando de
esta manera el cumplimiento de la segunda ley. De esta forma, el exceso de calor se
transfiere de forma de cascada de intervalos a más alta temperatura hacia los de más
baja temperatura.
423
418
393
363
333
318
403
398
373
343
298
313
293 313
TH TC H1
20 H2
80 C1
25 C2
30
4200
41000
3600
3000
0
5275
4650
3000
1350
525
400
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
18
La columna (5), resulta de la sustracción de la columna (2) y la (3). De esta columna,
observamos que hay valores negativos, entonces, observamos donde hay un cambio de
signo, el primero esta del intervalo 3 al 4, este punto donde cambio el signo se llama punto
de pliegue (PDP) entonces sumamos los tres valores por arriba de este punto, para
obtener el valor de los requerimientos de calentamiento, qhu. Colocamos este valor arriba,
en la columna (6), conforme bajamos, sumamos el valor de qneto, primero tenemos 1075
kW, sumamos qneto = 100 kW, en el siguiente intervalo tendremos 1175 kW, y así
sucesivamente, al valor al final de esta columna, obtendremos el valor de qcu. En la tabla
de calor, se muestra como fluye la energía en cascada a través de cada intervalo (Tabla
2.2, columna 6).
Requerimientos Mínimos de Servicios Auxiliares (RMSA)
Por construcción del diagrama de cascada, columna 6 Tabla 2.3, se observa que para
un HRAT= 20 K, el consumo mínimo de servicios de calentamiento se halla al comienzo de la
cascada. Correspondiente a qhu= 1075 kW. Asimismo, el consumo mínimo de servicios de
enfriamiento se halla en el extremo inferior de la cascada que son qcu= 400 kW.
Temperatura del punto de pliegue (TPDP)
El punto de pliegue se encuentra, para las corrientes frías en 343 K, y para las calientes en
363 K, entonces la temperatura del punto de pliegue se encuentra a 353 K. Por encima del
punto de pliegue se deben suministrar 1075 kW, y por debajo del punto de pliegue se deben
retirar 400 kW.
Figura 2.3. Descomposición del comportamiento en el punto de pliegue
PP
=1075 kW QHUmín
=400 kW QCUmín
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
19
El punto de pliegue (PDP) define la mínima fuerza impulsora permitida por cierto
∆Tmin. La temperatura del punto de pliegue permite descomponer el problema de diseño
de la red de intercambiadores. Es decir, por encima de dicha temperatura “solamente se
debe suministrar calor”, mientras que por debajo de ella “solamente se debe suministrar
enfriamiento” de un servicio auxiliar externo.
Normalmente el punto de pliegue no aparece a una temperatura extrema del
proceso, si no que corresponde a la posición del proceso donde el intercambio
energético es más difícil. Es decir, que los intercambios de calor son más fáciles alejados
del PDP. Por ello el punto de pliegue identifica el cuello de botella del proceso. El análisis
de las corrientes involucradas en el PDP será de gran ayuda para mejorar la eficiencia
energética del proceso.
2.1.4 Diagramas entalpía-temperatura (T-H)
El comportamiento térmico de un proceso se caracteriza por la evolución entalpía-
temperatura, que puede representarse en el llamado diagrama T-H.
En el caso de un intercambiador de calor, el cambio de entalpía H asociado a una
corriente del mismo viene dado por la primera ley de la termodinámica:
H=Q±W, (2.1.4.1)
Teniendo en cuenta que no tiene lugar trabajo mecánico, W=0.Por consiguiente, la
ecuación (2.1.4.1) queda simplificada así:
H=Q (2.1.4.2)
Donde Q representa la demanda de calor entre las temperaturas, To y Ts asociada a
cierta corriente de proceso, la cual viene dada por:
∫=s
o
T
T
CPdTQ (2.1.4.3)
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
20
Si CP es constante, es decir, independiente de la temperatura en el rango de
operación contemplado, la ecuación (2.1.4.3) se convierte en:
)( os TTCPQ −= (2.1.4.4)
Es importante notar que, dado que solamente intervienen cambios de entalpía, el
origen en el eje de entalpía es arbitrario. La representación T-H se utilizará en los
diagramas de curva compuesta, que sirven de soporte al diseño de la red de
intercambiadores de calor.
Las columnas de Hacumh y Hacumc , (tabla 2.3) muestran la carga acumulada en las
corrientes frías y calientes, estas nos permiten construir las curvas compuestas y la curva
compuesta integral.
2.1.5 Diagrama de curva compuesta
El diagrama de entalpía-temperatura puede ser de gran utilidad en el análisis de
integración energética de un proceso si, en vez de representar aisladamente cada
corriente del proceso, procedemos a la representación del perfil compuesto de todas las
corrientes calientes del mismo y del perfil compuesto correspondiente a las corrientes frías.
Dichos perfiles representan cómo se compartirían las diversas corrientes del proceso como
si se tratase de una corriente única.
Para ello, dentro de cada intervalo de temperaturas, se combinan las diversas
corrientes calientes (frías) para producir una curva compuesta caliente (fría). Dicha curva
caliente (fría) tiene un CP equivalente en cada intervalo que es la suma de los valores de
las corrientes individuales.
De la tabla 2.4, se observa que para las corrientes calientes existen 2 intervalos de
temperatura que delimitan el cambio en la población de corrientes. El primer intervalo va
desde TH= 333 K y termina en TH= 363 K, (intervalo:∆T3, población: H1, H2)el segundo
intervalo va de TH= 363 K hasta TH= 423 K, (intervalo :∆T4, ∆T5 , ∆T6 población: H1), los valores
de la entalpía acumulada se muestran en la columna Hacumh. En la tabla 2.4, se muestra la
población de corrientes, por intervalos de entalpía, para las corrientes frías y calientes.
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
21
Tabla 2.4. Población de corrientes por intervalo de entalpía para el Caso de estudio 1, (a)
corrientes calientes, (b) corrientes frías
Intervalo
Hacumh(kW)
Intervalo
TH (K)
Población de
corrientes
0-3000 333-363 H1, H2
3000-4200 363-423 H1
(a)
Intervalo
Hacumc(kW)
Intervalo
TC (K)
Población de
corrientes
400-525 293-298 C1
525-4650 298-373 C1, C2
4650-5275 373-398 C1
(b)
Solamente los cambios de entalpía son de interés, pudiendo ser el origen arbitrario
de la escala.
2.1.6 Curva Compuesta Integral
La Curva Compuesta Integral(CCI) resulta de especial interés en el análisis y estudio
de integración energética de procesos. La representación de la CCI muestra el perfil
combinado de la curva compuesta caliente y fría en un solo diagrama T-H mediante la
representación de las entalpías correspondientes a los valores promedio de las
temperaturas de las curvas compuestas caliente y fría. Por definición, la entalpía a
temperatura del punto del pliegue (PDP) es cero. A partir de este punto, la CCI se
construye fácilmente a partir del diagrama de cascada por encima y por debajo del
punto de pliegue.
Se tienen las siguientes reglas heurísticas de diseño para redes de intercambio con
consumo mínimo de energía:
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
22
• No se debe transferir calor a través del punto de pliegue.
• Calentar solamente por encima del punto de pliegue.
• Enfriar únicamente por debajo del punto de pliegue.
Es importante hacer notar las limitaciones existentes en el procedimiento de cálculo
de los RMSA, que requiere como datos:
• Los valores de F Cp(FC) para todas las corrientes. Es decir, los valores de los
flujos másicos F y el calor específico del fluido.
• Las temperaturas de entrada y salida de todas las corrientes
Sin embargo, los valores de las variables de diseño que fijan los flujos másicos del
proceso (por ejemplo, conversión, purga, composición, relación molar entre reactantes,
etc.) se deben determinar a partir de un análisis de optimización. Para cada variable, la
optimización contempla en general los costes de reciclado que dependen a su vez de la
red de intercambiadores. Es decir, que los valores óptimos de los flujos másicos dependen
del diseño de la red de intercambiadores, pero éstos son a su vez datos del diseño de la
red. Para resolver este dilema, calculamos la red de intercambiadores en función de los
flujos másicos para estimar las condiciones óptimas de diseño.
Figura 2.4Curvas compuestas para el caso de estudio 1
250
300
350
400
450
0 1000 2000 3000 4000 5000
H[kW]
T[K
]
298288
333
283
423
453
398
363
343
293
337
qcu
IVH1
C1, C2
II
H1
H2
C1
VISTC1
VST
C1, C2
6251200400
452
373
450
364.82
333
2475125
338.25
IIIH1,H2C1, C2
IH1, H2
CW
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
23
Figura 2.5 Curva compuesta integral para el caso de estudio 1.
La información de la tabla 2.4, reproduce la información del diagrama de curvas
compuestas que se observa en la Figura 2.4. En esta figura se observan 6 intervalos, donde
las líneas cambian de pendiente, como se presentó en la tabla 2.4, son los cambios de
población de las corrientes.
A partir de estos cambios de población se determinan las temperaturas de
entrada y salida de cada intervalo. En las curvas existe un punto de mayor acercamiento,
se ubica en: para las calientes TH= 363 K, y para las frías TC= 343 K, la diferencia ∆Tmin= 20 K,
que corresponde al HRAT.
En los extremos de las curvas, donde no hay apareamientos, encontramos un qhu
=1075 kW, y un qcu= 400 kW. De igual manera podemos obtener estos dos valores en la
curva compuesta integral, en la parte superior e inferior. El punto de pliegue se identifica
fácilmente en la Figura 2.5, es donde la H=0 kW, en T=353 K.
CURVA COMPUIESTA INTEGRAL
250
270
290
310
330
350
370
390
410
430
0.00 500.00 1000.00 1500.00 2000.00 2500.00
H[kW]
T[K
]
qcu
qrec
qhu
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
24
2.1.7 El problema umbral
Se ha considerado que el punto de pliegue divide el proceso en dos zonas. Sin
embargo, existen ciertos problemas que conducen a situaciones límite donde una de las
zonas puede desaparecer.
Supóngase el caso de la Figura 2.6 a. Esta situación requiere el consumo de ambos
servicios, calor y frío.
a) b) c)
Figura 2.6 Variaciones del consumo de servicio de calentamiento y enfriamiento en
función de ∆Tmin.
A medida que ambas curvas compuestas se aproximan (∆Tmin disminuye), decrece
el requerimiento de servicio de calor hasta desaparecer (Figura 2.6 b) y luego llegar a la
situación de la figura 2.6 c, en la que el consumo de servicio de enfriamiento ocurre tanto
en el extremo inferior de la curva compuesta de las corrientes frías como en el superior. Es
decir, a partir de la situación de la figura 2.6 b, el consumo de servicios generales (de
enfriamiento) es constante (QC1+QC2=QC). Dicha situación se conoce como problema
umbral. La representación de los consumos mínimos de servicio de calor QHmin y frío QCmin a
medida que ∆Tmin disminuye aparece en la figura 2.7. Como puede observarse a partir del
escenario b (umbral) el consumo mínimo de servicios externos permanece constante
aunque ∆Tmin disminuya, correspondiendo en este caso a un servicio de enfriamiento. En
ciertos problemas de umbral desaparecen los requerimientos de servicio de
calentamiento y en otros los requerimientos de enfriamiento.
Figura 2.7 El problema umbral correspondiente al escenario b.
T
H QC
QH
T
H QC
T
H QC1 QC2
QHmin
∆Tmin
QCmin QHmin QCmin
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
25
2.2 Número mínimo de intercambiadores
El análisis precedente ha permitido determinar los requerimientos mínimos de
servicios de calentamiento y enfriamiento externos de forma previa al diseño de la red de
intercambio entre corrientes de proceso. A partir de los resultados obtenidos se puede
predecir el número mínimo de intercambiadores necesario antes de realizar el diseño
detallado de dicha red.
Análisis de la primera ley
Del análisis precedente se han deducido los requerimientos mínimos de servicios
de calentamiento y de enfriamiento que cumplen con la segunda ley para un valor
determinado de ∆Tmin.
De acuerdo a la teoría de grafos (Euler), que establece el número mínimo de
intercambiadores entre corrientes de proceso que satisface los requerimientos de las
mismas:
NE= NS + NU + L – S
NE: Número de intercambiadores (enlaces en teoría de grafos).
NS: Número de corrientes del proceso (nodos en teoría de grafos).
NU: Número de servicios auxiliares.
L : Número de lazos
S : Número de sistemas independientes
Tenemos 2 corrientes calientes H1 y H2, dos corrientes frías C1 y C2, por lo que Ns =4.
De acuerdo a la figura 2.4, se tienen como mínimo 3 servicios auxiliares esto se obtiene del
número de intervalos que quedan sin aparearse, es decir los intervalos I, V, y VI, donde se
suministra la energía o se retira según sea el caso con ayuda de servicios de
calentamiento o enfriamiento según corresponda. Se supone no hay loops en la red. Y
tomando en cuenta que el número mínimo de componentes en el sistema es 1.Tenemos:
NE = 4 + 3 + 0 – 1 = 6
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
26
2.3 Modelo De Transporte
El Modelo de Transporte es un problema particular de la Programación Lineal; trata
de determinar la red óptima para transportar una mercancía desde las fuentes
directamente a sus destinos, sin intermediarios.
Figura 2.8 Representación General del Modelo de Transporte
Cada fuente ó destino es un nodo, el arco ó flecha que une a la fuente con un
destino es la ruta, esta tiene dos tipos de información, a sabe, la cantidad de
mercancías que irán por esa ruta, así como el costo de llevar esa cantidad de
mercancías por esa ruta determinada.
2.3.1 Representación Gráfica
Como se ilustra en la figura 2.9, se puede pensar en el calor como una mercancía
que es transportada desde las corrientes calientes como las fuentes, hasta las corrientes
frías como los sumideros respetando las restricciones impuestas por la primera y la
segunda leyes de la termodinámica para la transferencia de calor.
Unidades de
oferta
1
2
m n
2
1
Origen Destinos
b1
b2
bm
c11 : x11 a1
.
.
.
.
. an
a2
cmn : xmn
Unidades de
demanda
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
27
Figura 2.9 Representación gráfica del Modelo de Transporte para una red de recuperación de
calor
2.3.2 Planteamiento General del Modelo de Transporte
A continuación se muestra la nomenclatura utilizada en el modelo:
Índices:
i = corriente fría
j = corriente caliente
k = intervalo para corriente fría
l = intervalo para corriente caliente
Parámetros:
aik = Calor requerido por la corriente fría i en su intervalo de temperatura k.
bjl = Calor disponible de la corriente caliente j en su intervalo de temperatura l.
Intervalo 1
Intervalo 2
Intervalo 3
Intervalo 4
Corrientes Calientes (Fuentes)
Corrientes Frías (Destinos)
Intervalos de
Temperatura
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
28
L = Número total de intervalos de temperatura.
C-1 = Número de corrientes de proceso frías
H-1 = Número corrientes de proceso calientes.
C = Número total de corrientes frías del problema.
H = Número total de corrientes calientes del problema.
Variables continuas positivas:
qik,jl = Calor transferido de la corriente caliente j en su intervalo l, hacia la corriente
fría i en su intervalo de temperatura k.
Podemos escribir nuestro modelo del transporte para el problema para consumo
mínimo de energía como sigue:
∑∑∑∑= = = =
C
i
L
k
H
j
L
ljlikjlikq qCMin
jlik1 1 1 1
.,,
(2.3.1)
sujeto a :
∑∑==
=L
ljlik
H
j
q1
,1
ika (2.3.2)
i = 1,2,…,C.
k = 1,2,…,L. (2.3.4)
=∑∑= =
C
i
L
kjljlik bq
1 1, (2.3.5)
0, ≥jlikq para todo i,j,k,l. (2.3.6)
Donde:
0, =jlikC si i y j son corrientes de proceso con apareamiento permitido; i.e., kl ≤
0, =jlikC si i y j son las dos corrientes de servicio auxiliar ( i.e., HjCi == , )
1, =jlikC solo cuando i ó j sean una de las dos corrientes de servicio auxiliar
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
29
MC jlik =, Cualquier otro caso, donde M es un número muy grande (pensado
como ∞) (2.3.7)
Comentarios
a) La ecuación (2.3.2) dice que el calor requerido por la corriente fría i en el
intervalo k debe ser satisfecho transfiriendo calor de alguna parte entre las corrientes
calientes.
b) La ecuación (2.3.3) dice que el calor disponible en la corriente caliente j en el
intervalo I debe ceder su calor en alguna parte a corrientes frías.
c) La ecuación (2.3.6) dice que todo calor transferido debe ser no negativo, esto
es ningún calor puede fluir de una corriente fría a una caliente pues estaríamos violando
la segunda ley de la termodinámica.
d) La ecuación (2.3.1) es la función objetivo que se minimizará con los
coeficientes del costo definidos por (2.3.7), en ésta se minimiza el costo de la
transferencia de calor de cada corriente en cada intervalo.
e) Nótese que en el cuarto caso del costo (2.3.7), estamos introduciendo los
apareamientos prohibidos entre corrientes, es decir, para poder prohibir apareamientos
entre corrientes calientes que se encuentran en un nivel de temperatura mas bajo que
una corriente fría declaramos el costo de esta transferencia con un precio muy alto, por
lo cual al minimizar el costo, automáticamente desechamos ese apareamiento, otra
manera sería simplemente no declarar ese apareamiento, es decir, no incluir en el
balance del nodo, la transferencia de calor prohibida, ó “ hacia” arriba en los intervalos
de temperatura. Dicho de otra forma, los apareamientos termodinámicamente
rechazados se dan como costo cercano a infinito para imposibilitar ser parte de
cualquier solución óptima.
f) No se asocia ningún costo a un apareamiento permitido entre corriente de
proceso – corriente de proceso, pues lo que deseamos es recuperar energía, y al permitir
el apareamiento entre corrientes de proceso eso es precisamente lo que estamos
logrando al minimizar el costo de la transferencia de calor.
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
30
g) De la misma manera lo hacemos entre corriente de servicio auxiliar -servicio
auxiliar calentamiento ó enfriamiento (esta última meta nunca se había puesto en
ejecución en una red). Lo anterior porque sabemos que permitir el apareamiento entre
estas corrientes de manera real no es racional, así, si al llevar a cabo la solución del
modelo de minimización, obtuviéramos un valor dado para el intercambio de energía
entre servicios auxiliares, sabemos que en realidad no pondremos a esas corrientes en
contacto.
h) Los apareamientos termodinámicamente rechazados se dan como costo
cercano a infinito para imposibilitar ser parte de cualquier solución óptima.
Retomando los datos de la tabla 2.1, para aplicar el modelo de transporte. Primero en una
tabla de calor se muestra la división de corrientes en sus respectivos intervalos de
temperatura (figura 2.10).
Figura 2.10 Intervalos de temperatura del ejemplo 1.
Tenemos los siguientes conceptos:
H1
20 H2
80 C1
25 C2
30
423
418
393
363
333
403
398
373
343
313
TH TC
318
313
298
293
1
2
3
4
5
6
aik = carga térmica requerida por la corriente fría i en el intervalo k
bjl = carga térmica disponible en la corriente caliente j en el intervalo l
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
31
Entonces, debido a estas definiciones obtenemos la siguiente figura:
Figura 2.11 Cargas térmicas de las corrientes de proceso Ejemplo 1
De la figura 2.10, se observa que existen 8 intervalos, comenzando por un intervalo 0,
a diferencia de la tabla de calor, donde solo tenemos 6. Esto se debe a la necesidad de
tener un intervalo para los requerimientos de calentamiento, en este caso el intervalo 0,
donde tenemos el vapor a 453 K. En el intervalo 7, no existe corriente de proceso o para
los servicios, sin embargo es necesaria, para poder delimitar, la corriente de enfriamiento,
que se encuentra en el intervalo 8, donde el agua de enfriamiento, va desde 283 K a 288
K. Para las corrientes de proceso, solo se tomará en cuenta del intervalo 1 al 6.
Para introducir a la notación del modelo, se presentan los siguientes balances:
b1l = carga térmica disponible en la corriente caliente H1 en el intervalo l, así:
H1
20 H2
80 C1
25 C2
30
423
418
393
363
333
403
398
373
343
313
TH TC
318
313
298
293
1
2
3
4
5
6
b11= 100
b12= 500
b13= 600
b14= 600 b24= 2400
a12= 625
a13= 750
a14= 750
a15= 375
a16= 125
a23= 900
a24= 900
a25= 450
0 bH0 453
288
283
St
Cw
7
8
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
32
∑=
6
1l
b1l =1800
b2l = carga térmica disponible en la corriente caliente H2 en el intervalo l, así:
∑=
6
1l
b2l =2400
∑=
2
1j∑
=
6
1l
bjl = carga térmica disponible en las corrientes calientes H1 y H2 en todos los L
intervalos
∑=
2
1j∑
=
6
1l
bjl = 4200
a1l = carga térmica requerida por la corriente fría C1 en el intervalo l, así:
∑=
6
1k
a1k =2625
a2l = carga térmica requerida por la corriente fría C2 en el intervalo l, así:
∑=
6
1k
a2k =2250
∑=
2
1i∑
=
6
1k
aik = carga térmica requerida por las corrientes frías C1 y C2 en todos los L
intervalos
∑=
2
1i∑
=
6
1k
aik = 4875
Así se obtiene la energía disponible de cada corriente caliente, así como la energía
requerida por las corrientes frías. En la figura 2.3.6, se observa la distribución que puede
seguir la carga que transfiere la corriente caliente H1 en los intervalos del 1 al 4, en que se
encuentra presente, a las corrientes frías C1 en los intervalos 1 al 6 y C2 en el intervalo 3 al
5. Los apareamientos prohibidos, no se toman en cuenta, debido a la simplicidad que
esto produce al modelo, pues se omiten los términos que estos apareamientos producen
al momento de minimizar el área.
De forma análoga, se aplicó este criterio a las demás corrientes, H2, C1 y C2.
Entonces, para la corriente caliente H2, presente en el intervalo 4, puede aparearse con la
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
33
corriente fría C1, presente en los intervalos 4, 5 y 6, y con la corriente fría C2, presente en
los intervalos 4 y 5. Hay que recordar que no es posible transferir energía de un intervalo
de menor temperatura a uno de mayor, es decir j≤k, en la figura 2.3.6, la línea roja que va
de H13 a C12, ilustra un apareamiento prohibido. La línea roja que va del servicio de
calentamiento bH0 al servicio de enfriamiento aC8, también es un apareamiento prohibido,
pues no tiene sentido transferir energía entre los servicios auxiliares, debido al gasto que
implica y el mal uso.
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
34
Figura 2.12 Carga térmica cedida por H1 proveniente de cada intervalo
bH0
H1
H1
H1
H1
H2
C1
C2
C1
C2
C1
C1
1
2
3
4
5
6
C1
C2
aC8
423
418
393
363
333
318
313
403
398
373
343
313
298
293
7
8
0 453
288
283
b11=100
b12=500
b13=600
b14=600
Vapor
Agua de Enfriamiento
b14=2400
D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA
35
Aplicando el modelo de transporte:
08CaMin Hb+
Sujeto a:
Balances de energía para la Corriente Caliente H1:
aHCHCH CH CHCHCHCH CH ,q,q,q,q ,q,q,q,q ,q 1001,12,51,12,41,12,31,11,61,11,51,11,41,11,31,11,21,1
++++++++=
a2,HCHCH CHCHCHCHCH CH ,q,q,q,q,q ,q ,q ,q,q 50012,51,22,41,22,31,21,61,21,51,21,41,21,31,21,21,2
++++++++=
aHCHCHCHCHCHCH CH ,q,q,q,q,q,q,q,q 6001,32,51,32,41,32,31,31,61,31,51,31,41,31,31,3
+++++++=
aHCHCHCHCH CH ,q,q,q,q,q,q 6001,42,51,42,41,41,61,41,51,41,41,4
+++++=
Balances de energía para la Corriente Caliente H2:
aHCHCHCHCHCH ,q,q,q,q,q,q 24002,42,52,42,42,41,62,41,52,41,42,4
+++++=
Balances de energía para la Corriente Fría C1:
1,21,21,21,11,2 CHCHCb ,q ,q ,q 625 ++=
1,31,1,31,21,31,11,3 C3,HC,H C,HCb, q q q q 750 +++=
1,42,41,41,41,41,31,41,2 1,41,11,4 CHCH CHCHCH Cb ,q ,q ,q ,q ,q ,q 750 +++++=
1,52,41,51,41,51,31,51,21,51,11,5 CHCHCHCHCH Cb ,q ,q ,q ,q ,q ,q 375 +++++=
1,62,41,61,41,61,31,61,21,61,11,6 CHCHCH CHCHCb ,q ,q ,q ,q ,q ,q 125 +++++=
Balances de energía para la Corriente Fría C2:
2,31,3 2,31,22,31,1 2,3 CHCH CHCb ,q ,q ,q ,q 900 +++=
2,42,42,41,42,41,32,41,22,41,12,4 CHCHCH CH CHCb ,q ,q ,q ,q ,q ,q 900 +++++=
2,52,42,51,42,51,32,51,22,51,12,5 CHCHCHCHCHCb ,q ,q ,q ,q ,q ,q 450 +++++=
D.M. QUINTAS CAPITULO 2 .METAS DE ENERGÍA
36
Balances de energía para los Servicios Auxiliares:
aHaHaHaH aHC ,q ,q ,q ,q ,q a2,41,41,31,21,18
++++=
1,62,51,2,41,42,31,31,20 CbCb5CbC,bCb CbCbCbH ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q b +++++++=
, para i=1,2, j=1,2, k=1,…,4, l=2,…,6.
Al resolver el modelo con ayuda de Solver complemento de Excel, se obtiene la
distribución que se presenta en la Figura 2.13, los valores que son de nuestro interés son:
1075kW b0H =
400kW a8C =
C1,6qH1,2,
Se observa que los resultados obtenidos en la primera parte de este capítulo,
sección 2.1.3, en específico, la tabla 2.3 columna (6), coinciden con los resultados
obtenidos del modelo de transporte.
0,,q,,q,,q07lj,ki,lj,ki, Cb,aHCH ≥Hc ba
D.M. QUINTAS CAPITULO 2 .METAS DE ENERGÍA
37
Figura 2.13 Solución del modelo de transporte para el caso de estudio 1.
1
2
3
4
5
6
7
8
0
b11=100
b12=500
b13=600
b14=600
b24=2400
bH0
H1
H1
H1
H1
H2
C1
C2
C1
C2
C1
C1
C1
C2
aC8
423
418
393
363
333
318
313
403
398
373
343
313
298
293
453
288
283
Vapor
Agua de
enfriamiento
a12=625
a13=750
a23 =900
a14=750
a24=900
a15=375
a25=450
a16=125
100
500 25
750
600
300
600
150
900
375
450
125
400
1075
D.M. QUINTAS CAPITULO 3 ESTIMACIÓN DEL ÁREA
38
Capítulo 3
Estimación del área de transferencia de calor
Una vez calculados los requerimientos mínimos de servicios generales de
enfriamiento y calentamiento del proceso, se puede estimar el área mínima de
intercambio de dichos servicios, antes de llevar a cabo el diseño detallado de la red de
intercambiadores. Una metodología para realizar dicha estimación fue desarrollada por
Townsend y Linnhoff (1984) como extensión del trabajo realizado por Hohmann (1971).
3.1 Planteamiento de la fórmula
El área total A del intercambiador entre dos corrientes de proceso correspondiente
a una utilización óptima del potencial de transferencia de calor entre dos curvas
compuestas puede estimarse de forma sencilla considerando ambas curvas compuestas,
la de las corrientes calientes y la de las corrientes frías como una corriente global a la que
corresponde un coeficiente global de transferencia de calor U mediante la siguiente
expresión:
∫ −=
Sal
Ent fríacal TTU
dQA
)( (3.1)
Suponiendo que el calor específico Cp es constante para cada corriente
(independiente de la temperatura), el resultado de la integración es:
( )
2
1
21
lnT
TTTU
Q
TU
QA
LM
∆∆
∆−∆=∆
= (3.2)
D.M. QUINTAS CAPITULO 3 ESTIMACIÓN DEL ÁREA
39
Donde ∆T1 y ∆T2 son las diferencias de temperatura en los extremos caliente y frío
del intercambiador de calor respectivamente y ∆TLM es la media logarítmica de la
diferencia de temperaturas.
En el caso general, la curva compuesta caliente y fría de la figura 2.4 puede
dividirse en k intervalos sucesivos de CP constante, de tal forma que el resultado de la
integración de la ecuación 3.1 viene dado por la suma de las áreas Ak calculadas
mediante la ecuación 3.2 para cada sección:
∑∑== ∆
==K
i LMi
kK
kk TU
QAA
11
(3.3)
Sin embargo, el valor de U no es constante para todo el proceso. Adicionalmente
ocurre que en cada tramo de CP constante puede existir más de una corriente. Townsend
y Linnhoff (1984) demostraron que la expresión general para el cálculo del área en
cualquier intervalo k viene dada por:
+
∆= ∑∑
frías
j j
cal
i iLM
k
hhT
QA
11 (3.4)
Donde hi y hj son los coeficientes individuales de película de transmisión de calor
para el fluido caliente i y el fluido frío j, respectivamente.
Por consiguiente, la estimación del área total de la red de intercambiadores viene
dada por:
+
∆= ∑∑∑
=
J
j j
jI
i i
iK
k LMk h
q
h
q
TA
1
1 (3.5)
Donde qi y qj son el calor de las corrientes i y j en el intervalo de entalpía k. La
ecuación 3.5 también es conocida como fórmula de Bath.
El procedimiento expuesto es aproximado y por lo tanto no obtiene los mismos
resultados alcanzados una vez diseñada la red de intercambiadores. Sin embargo, la
ecuación (3.5) proporciona una estimación razonable del área requerida. También es
importante notar que el cálculo abreviado del área, permite el análisis previo y mejora del
D.M. QUINTAS CAPITULO 3 ESTIMACIÓN DEL ÁREA
40
∆Tmin hacia el compromiso óptimo entre costos de inversión (red de intercambiadores) y
de operación (ahorro energético resultante).
3.2 Análisis de la fórmula
A partir de las curvas compuestas, presentadas en la sección 2 (figura 2.4), se
obtienen las tablas 3.1 y 3.2, se toman en cuenta 6 intervalos de entalpía. En la tabla 3.1,
se encuentran las corrientes calientes, para el último intervalo de entalpía, no tenemos
corrientes de proceso, sin embargo, completamos, el espacio que se nota en la gráfica,
con servicios auxiliares (vapor). En la tabla 3.2, están las corrientes frías, en el intervalo de
entalpía 6, aparece la corriente fría C1, que será calentada por el servicio descrito
anteriormente. De igual manera sucede para el intervalo de entalpía 1, donde solo existen
las corrientes H1 y H2, por lo que es necesario un servicio de enfriamiento.
Para los intervalos de entalpía 2, 3, 4 y 5, existen apareamientos, que nos permiten
recuperar calor. Para poder aplicar la fórmula de Bath (ecuación 3.5) de manera más
sencilla, se desglosaron las sumas (Tabla 3.1 y 3.2) de las corrientes frías y calientes, para
posteriormente obtener los valores de áreas (tabla 3.3), que sumadas resultan en un área
de 2896.27 m2. Se observa la consistencia de los resultados pues qhu, que es la suma de los
intervalos donde se utiliza vapor, tiene un valor de 450 kW más 625 kW que es igual a 1075
kW. Mientras que para qcu, que se encuentra en los intervalos donde se usa agua de
enfriamiento, se tiene un valor de 400 kW.
Las temperaturas, se obtienen de la figura 2.4, al trazar los intervalos de entalpía,
algunas temperaturas son fáciles de obtener, corresponden a las temperaturas de
entrada y objetivo de las corrientes, que se tienen en la tabla 2.1. Par el resto de las
temperaturas, se observa que corrientes participan en el intervalo, la carga de este
intervalo, y así obtenerlas.
D.M. QUINTAS CAPITULO 3 ESTIMACIÓN DEL ÁREA
41
Tabla 3.1. Corrientes calientes
Corrientes Calientes (Hi)
Intervalo(k) Corrientes THi,s(K) THi,o(K) qHi,k qHi,k/hi ΣqHi,k/hi
1 H1
337 333 80 800
4000 H2 320 3200
2 H1
338.25 337 25 250
1250 H2 100 1000
3 H1
363 338.25 495 4950
24750 H2 1980 19800
4 H1 423 363 1200 12000 12000
5 Vapor 453 453 450 4500 4500
6 Vapor 453 453 625 6250 6250
Tabla 3.2 Corrientes Frías
Corrientes Frías (Cj)
Intervalo(k) Corrientes TCj,s(K) TCj,o(K) qHi,k qHi,k/hi ΣqHi,k/hi
1 Agua de Enf. 283 288 400 4000 4000
2 C1 293 298 125 1250 1250
3 C1
298 343 1125 11250
24750 C2 1350 13500
4 C1
343.00 364.82 545.45 5454.55
12000.00 C2 654.55 6545.45
5 C1
364.82 373.00 204.55 2045.45
4500.00 C2 245.45 2454.55
6 C1 373.00 398.00 625.00 6250.00 6250.00
D.M. QUINTAS CAPITULO 3 ESTIMACIÓN DEL ÁREA
42
Posteriormente se aplica la ecuación (3.5):
Tabla 3.3 Cálculo del área empleando la Fórmula de Bath
Intervalo(k) ∆hi(kW) dth dtc ∆Tln,k Ak(m2)
1 400 49 50 49.49 161.62
2 125 40.25 44 42.09 59.38
3 2475 20 40.25 28.95 1709.59
4 1200.00 58.18 20.00 35.75 671.21
5 450.00 80.00 88.18 84.02 107.11
6 625.00 55.00 80.00 66.72 187.34
2896.27
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
43
Capítulo 4
Método de intervalos de temperatura de Jeżowski para estimar
el área requerida para recuperación de calor
4.1 Introducción
Este método es usado para calcular las metas de área para el diseño de redes de
intercambio de calor. La aproximación está basada en la solución de un problema de
programación lineal modelado como un problema de transporte óptimo. Este modelo de
transporte utiliza intervalos de temperatura y no requiere el uso de intervalos de entalpía
para un nivel fijo de recuperación de calor. Se utiliza una regla heurística basada en el
número de intervalos de temperatura que mantiene el número de variables y restricciones
en límites razonables, mientras asegura resultados bastante precisos. Este método de
metas de área puede, incluso, aplicarse a redes de intercambio que utilizan
intercambiadores multipaso (1-2). Los resultados demuestran que las soluciones de la
aproximación propuesta están muy cerca de los calculados por métodos basados en
programación no lineal compleja.
Igual que en trabajos previos de metas de áreas (Yee, Colberg, Merdardo), se
asume que las cargas de los servicios auxiliares son fijas y el número mínimo de
apareamientos no es conocido. Para estimar el área mínima requerida por una red de
recuperación de calor, es necesario resolver un problema de optimización donde la
función objetivo corresponde a la suma del área de recuperación de calor que surge del
intercambio de calor permitido dentro de las corrientes de proceso y restricciones sujetas
a balances de energía de los apareamientos.
Para asegurar la linealidad, se tienen que estimar las medias logarítmicas de
temperaturas (LMTD’s) antes de la optimización. Por tanto los valores de LMTD’s tiene que
ser dados como datos del problema.
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
44
Para obtener aproximaciones precisas de las metas de área, Briones y Kokossis
(1999) construyen un procedimiento que requiere el uso de intervalos de entalpía, curvas
compuestas, calculadas en base a la contribución de ∆Ti de las corrientes, y además usan
un algoritmo complejo para calcular LMTD’s. En la aproximación propuesta por Jeżowski
(2003), se utilizan intervalos de temperatura (TI’s). Solamente se usan los TI’s por: a)
considerar apareamientos prohibidos, b) Extender el problema a metas de costos y c)
simplificar información (intervalos de entalpía no necesarios).
Adicionalmente, se utiliza la formulación del modelo de transporte aunque
requiere más variables que el comúnmente usado en el modelo de transbordo. La razón
es que este último utiliza el calor residual proveniente de las corrientes de proceso. Los
residuos pueden causar serios problemas con la estimación de aproximaciones de
temperatura y asignando coeficientes de transferencia de calor a las corrientes
individuales. Además, la estimación de las temperaturas para los “mini apareamientos” en
el modelo propuesto es sencilla, e incluso pueden ser calculadas a mano. Como
consecuencia, la preparación de la información es sencilla.
4.2 Definiciones, conjuntos y notación
Definición
Ceil. En matemáticas y ciencias de la computación, ceil de las funciones
corresponde a asignar un número real mayor a la anterior. Más
precisamente, ceil (x) = ⌈ x ⌉ es el mayor entero no mayor que x. Gauss
presenta el soporte de notación cuadrada [x] para la función de ceil en
su tercera prueba de la reciprocidad cuadrática (1808). Esto sigue
siendo el estándar en matemáticas, Iverson presentó los nombres de
"piso" (floor) y "techo" (ceil) y las anotaciones correspondientes ⌊ x ⌋ y ⌈ x ⌉
en su libro de 1962 Un lenguaje de programación. Ambas anotaciones se
utilizan ahora en las matemáticas.
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
45
Conjuntos
El conjunto de corrientes es definida como:
Hi={i/i=1,…,NH=corrientes calientes, Ej., corrientes calientes de proceso y servicios auxiliares de
calentamiento}
Cj={j/j=1,…,NC=corrientes frías, Ej., corrientes frías de proceso y servicios auxiliares de
enfriamiento}
Para incluir los apareamientos prohibidos, definimos el conjunto Fij, donde la
corriente i ∈ Hi no puede intercambiar calor con la corriente j ∈ Cj.
Fij={(i,j)/i H i, j ∈ Cj, apareamiento entre ellos esta prohibido}
Ahora las corrientes deben dividirse en elementos pequeños, para los cuales se
definen los siguientes conjuntos:
Parámetros
Him{i/i ∈ Hi, donde i esta en el intervalo m}
Cjn={j/j ∈ Cj, donde j esta en el intervalo n}
qim,jn, representa la carga que se transfiere de la corriente caliente i en el intervalo m, a la corriente
fría j en el intervalo n.
Para qim,jn, m,n=1, …, M, está definida solo para m≤n. Apareamientos entre servicios
de calentamiento y servicios de enfriamiento son prohibidos.
Modelo para metas de área
( )∑ ∑∑∑∈ ∈
−= = +
jn imCj Hi ji
jnimM
m
M
n nm hh
q
LMTD ¸1
,
1 1 , 11
1min (4.1)
;,∑ ∑= ∈
∆=M
mn Cjimjnim
jn
Hq i ∈ Hi; m=1, …, M (4.2)
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
46
;1
,∑∑= ∈
∆=M
m Hijnjnim
m
Hq j ∈ Cjn; n=m, …, M (4.3)
;0, =jnimq i ∈ Him; j ∈ Cjn; i,j ∈ Fij; m=1,…,M; n=m,…,M (4.4)
;0, ≥jnimq i ∈ Him; j ∈ Cjn; i,j ∉ Fij; m=1,…,M; n=m,…,M (4.5)
Ecuaciones (4.2) y (4.3) son balances de energía. Ecuación (4.4) fuerza a los
apareamientos prohibidos a cancelarse. Y por ultimo, la desigualdad (4.5) asegura que las
cargas tomen solo valores positivos.
4.3 Procedimiento para formular la tabla de calor modificada propuesta
por Jeżowski
Primero se tiene que construir intervalos de temperatura y parámetros del modelo
(LMTD’s). Además, algunos cálculos posteriores pueden ser realizados para incrementar la
exactitud de los resultados. Tenemos los siguientes pasos en el método propuesto por
Jeżowski: (A) crear intervalos de temperatura (TI’s); (B) solución del modelo; (C) mejorar la
estructura y cálculo del área.
4.3.1 Tabla de calor estándar
El tamaño de los TI’s es un punto muy importante. Claramente, se nota que entre
más pequeño sea el TI, las diferencias de temperaturas son menores, acercándose más al
área mínima. Sin embargo, esto nos lleva a un tener un gran número de variables. Nótese
que el modelo de transporte tiene solución con un algoritmo polinomial, y alargar el
número de variables, provoca un mayor tiempo computacional de ejecución. Se ha
creado un esquema de división de TI’s que mantiene el número de intervalos dentro de
límites razonables y asegura un área mínima muy precisa.
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
47
El procedimiento es similar al aplicado en Tecnología de Punto de Pliegue. Una
división preliminar es construida en base a las temperaturas de entrada y salida de las
corrientes, como describen Linnhoff y Flower (1978). En cuanto a la selección del valor de
la diferencia de temperaturas para construir los intervalos, es suficiente con usar un
número pequeño que cumpla con las restricciones termodinámicas. Nótese que esto
sigue el concepto de doble temperatura. Las cargas de servicios auxiliares son calculadas
para un HRAT, mientras que la diferencia de temperaturas aplicada en la división de los
intervalos es equivalente a la mínima aproximación de temperatura en el intercambiador
(EMAT).
4.3.2 Tabla de calor modificada por Jeżoswki
Se determina el tamaño medio del intervalo como sigue:
[ ]10,3max mindTdTmedio = (4.5)
Donde dTmin, corresponde al intervalo más pequeño después de realizar la división
preliminar con la tabla de calor estándar. Cada intervalo con valor mayor al dTmedio, es
dividido en Nad intervalos, como sigue:
medioad dTdTN /= (4.6)
Este esquema no produce un gran número de variables.
Utilizando el ejemplo desarrollado en el capítulo 2 y 3, se desarrolla aquí el método de
Jeżowski para plantear la tabla de calor modificada.
a) Calcular el tamaño de los TI’s( Intervalos de Temperatura)
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
48
A partir de los intervalos hechos en la sección tabla de intervalos de temperatura, se
obtiene la información:
Figura 4.1. Intervalos de temperatura
Seleccionamos el ∆Tmin = 5
Tenemos:
dTmedio= Max[3∆Tmin,10], entonces:
dTmedio= Max[15,10]=15
Cada intervalo mayor a dTmedio, se divide en Nad intervalos, de acuerdo con:
Nad= ceil [∆T/dTmedio]
Tomando en cuenta los intervalos tenemos:
∆T ∆T>15 Nad
24 No Ceil(24/15)=2
25 Si Ceil(25/15)=2
11 Si Ceil(11/15)=1
30 Si Ceil(30/15)=2
34 No Ceil(34/15)=3
5 No Ceil(5/15)=1
H1
20 H2
80 C1
25 C2
30
423
399
374
363
333
422
398
373
362
332
TH TC
299
294
298
293
24
25
11
30
34
5
∆T
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
49
b) Con el nuevo numero de intervalos, crear una nueva tabla de intervalos de
temperatura.
Se observa que de la figura 4.1 a la figura 4.2, aumentamos de 6 intervalos de temperatura
a 11, la corriente C2, es la que más intervalos genera, doblando el número al crear la tabla
de calor modificada. Cabe señalar que no es la de mayor flujo másico, la corriente H2, solo
se logra dividir tan sólo en dos intervalos, lo que no le permite lograr una distribución que
ocupe menos área.
c) Modelo de transporte aplicado a la tabla de calor modificada de Jeżowski. Se trata de
Distribuir las cargas, a los apareamientos que son permitidos. (Analogía con el modelo de
transporte), como ya se presentó en la sección 2 del presente trabajo, no se debe
transferir energía de intervalos de menor temperatura a los de mayor temperatura. En la
figura 4.3, se ilustra los apareamientos que son factibles, para la corriente H1 en los
primeros intervalos.
H1
20 H2
80 C1
25 C2
30
423
411
399
386.5
374
421
410
398
385.5
373
TH TC
363
348
362
347
1
2
3
4
5
6
Intervalo
333 332
321.66 320.66
310.33 309.33
7
8
9
10
11 299 298
294 293
Figura 4.2 Tabla de intervalos de calor modificada Jeżowski
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
50
Figura 4.3 Modelo de transporte aplicado a la tabla de calor modificada por Jeżowski
2
3
4
5
6
7
8
9
1
H1
H1
H1
H1
H1
H2
C1
C2
C1
C2
C1
C1
C1
C2
418
405.5
393
378
363
348
333
398
385.5
373
358
343
328
313
423
298
293
∆H11=100
C1
H1
C2
H2
H1
C1
C2
C1
∆H27=1200
∆H17=300
∆H26=1200
∆H16=300
∆H15=300
∆H14=300
∆H13=250
∆H12=250 ∆H12=312.5
∆H28=450
∆H27=450
∆H17=375
∆H26=450
∆H15=375
∆H24=450
∆H14=375
∆H13=312.5
∆H25=450
∆H16=375
∆H18=375
∆H29=125
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
51
d) Cálculo de parámetros
Primero para calcular las diferencias logarítmicas (LMTD), utilizamos la media logarítmica, la
cual se describe a continuación:
−=
dtc
dthdtcdth
LMTD nm
ln, , donde:
njmi os TTdth,,
−= ,njmi so TTdtc
,,−=
misT,
:Temperatura de suministro de la corriente i en el intervalo m.
mioT,
: Temperatura objetivo de la corriente i en el intervalo m.
njsT,
:Temperatura de suministro de la corriente j en el intervalo n.
njoT,
: Temperatura objetivo de la corriente j en el intervalo n.
Para todos los intervalos donde las corrientes existen y el apareamiento ente la corriente i la
corriente j es permitido, se forma la siguiente matriz:
Tabla 4.1 Valores de LMTD’s
m 3 4 5 6 7 n dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD 1 25 25.5 25.24 37.5 38 37.74 50 49 49.49 61 64 62.49 76 79 77.49 2 13 13.5 13.24 25.5 26 25.74 38 37 37.49 49 52 50.49 64 67 65.49 3 1 1 1 13.5 13.5 13.5 26 24.5 25.24 37 39.5 38.24 52 54.5 53.24 4 1 1 1 13.5 12 12.73 24.5 27 25.73 39.5 42 40.74 5 1 1 1 12 16 13.9 27 31 28.95 6 1 1 1 16 16 16 7 1 1 1 b 55 67.5 61.03 67.5 80 73.57 80 91 85.382 91 106 98.31 106 121 113.3
m 8 9 10 11 a n dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD 1 91 90.34 90.67 102.34 101.7 102 113.7 113 113.3 125 118 121.5 135 128 131.46 2 79 78.34 78.67 90.34 89.67 90.00 101.7 101 101.3 113 106 109.5 123 116 119.46 3 67 65.84 66.42 78.34 77.17 77.75 89.67 88.5 89.08 101 94 97.2 111 103.5 107.20 4 54.5 53.34 53.92 65.84 64.67 65.25 77.17 76 76.58 89 81 84.69 98.5 91 94.700 5 42 42.34 42.17 53.34 53.67 53.50 64.67 65 64.83 76 70 72.96 86 80 82.96 6 31 27.34 29.13 42.34 38.67 40.47 53.67 50 51.81 65 55 59.86 75 65 69.88 7 16 12.34 14.09 27.34 23.67 25.46 38.67 35 36.8 50 40 44.81 60 50 54.84 b 121 132.34 126.6 132.34 143.7 137.93 143.7 155 149.3 155 160 157.5
Apareamientos prohibidos
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
52
A continuación, se deben obtener los coeficientes globales de transferencia de calor (U), en
este caso, los coeficientes de transferencia de calor (h) de cada una de las corrientes, son
constantes, por lo que se puede usar el mismo U
Para simplificar más la información, tenemos:
hH1=hH2=hC1=hC2 =0.1 kW/m2K, por tanto para las diferentes U’s, podemos nombrar una sola.
05.01.0
1
1.0
11111
,
11
11=
+=
+=
−−
CHCH hh
U
05.01.0
1
1.0
11111
,
21
21=
+=
+=
−−
CHCH hh
U
05.01.0
1
1.0
11111
,
12
12=
+=
+=
−−
CHCH hh
U
05.01.0
1
1.0
11111
,
12
22=
+=
+=
−−
CHCH hh
U
22122111 ,,,, CHCHCHCH UUUUU ====
4.3.3 Modelo para minimizar área
Ahora se aplica el modelo planteado en la sección 4.3.3, cuidando de aplicar bien el
fundamento del modelo de transporte. Cabe señalar que los apareamientos prohibidos
no aparecen en el modelo, por simplificación, otra forma es incluirlos, pero introducir un
costo muy grande en la función objetivo para dichos términos, y con esto se asegura que
no serán utilizados.
Minimizar:
+++++ ∑∑∑∑∑∑
======
10
5 ,3
CH11
3 ,3
CH10
5 ,2
CH11
3 ,2
CH10
5 ,1
CH11
3 ,1
CH.
,q,q,q,q,q,qn2,1,3n1,1,3n2,1,2n1,1,2n2,1,1n1,1,1
n nn nn nn nn nn n LMTDLMTDLMTDLMTDLMTDLMTD
∑∑∑∑∑∑======
++++++10
6 ,6
CH11
6 ,6
CH10
5 ,5
CH11
5 ,5
CH10
5 ,4
CH11
4 ,4
CH n2,1,6n1,1,6n2,1,5n1,1,5n2,1,4n1,1,4 ,q,q,q,q,q,q
n nn nn nn nn nn n LMTDLMTDLMTDLMTDLMTDLMTD
ULMTDLMTDLMTDLMTDLMTDLMTD n nn nn nn nn nn n
1,q,q
,q,q,q,q 10
7 ,7
CH11
7 ,7
CH10
6 ,6
CH11
6 ,6
CH10
7 ,7
CH11
7 ,7
CH n2,2,7n1,2,7n2,2,6n1,2,6n2,1,7n1,1,7
++++++ ∑∑∑∑∑∑
======
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
53
,q,q ,q,q,q 312.5H1,41,41,41,31,41,21,41,11,4 CHCHCHCH Cb14 ++++==∆
Sujeto a:
Balances de energía para la corriente caliente H1
CH CH CH CHCHCHCH CH11 1,91,11,81,11,71,11,61,11,51,11,41,11,31,11,21,1 ,q,q,q,q,q,q,q ,q 240H +++++++==∆
aH CHCHCHCH CH ,q,q,q,q,q ,q1,12,81,12,71,12,61,12,51,12,41,1
++++++
1,91,21,81,21,71,21,61,21,51,21,41,21,31,21,21,2 CHCHCHCHCHCHCH CH12 ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q,q 240H +++++++==∆
Balances de energía para la corriente caliente H2
Balances de energía ara la corriente Fría C1
aHCH CHCHCH CH ,q,q,q,q,q,q1,22,81,22,71,22,61,22,51,22,41,2
++++++
aHCH ,q,q1,52,81,5
++
aHCHCHCHCHCH CHCH16 ,q,q,q,q,q,q,q,q 300H1,62,81,62,71,62,61,61,91,61,81,61,71,61,61,6
+++++++==∆
aHCHCHCHCH CH17 ,q,q,q,q,q,q 300H1,72,81,72,71,71,91,71,81,71,71,7
+++++==∆
aHCHCHCH ,q,q,q,q1,42,81,42,71,42,61,4
++++
2,71,52,61,52,51,51,91,51,81,51,71,51,61,51,51,5 CHCHCHCHCH CHCHCH15 ,q,q,q,q,q,q,q,q 220H +++++++==∆
2,51,31,91,31,81,31,71,31,61,31,51,31,41,31,31,3 CHCHCHCHCHCHCH CH13 ,q,q,q,q,q,q,q,q 250H +++++++==∆
2,51,42,41,41,91,41,81,41,71,41,61,41,51,41,41,4 CHCHCHCH CHCHCH CH14 ,q,q,q,q,q,q,q,q 250H +++++++==∆
,q ,q ,q,q 312.5H1,31,31,31,21,31,11,3 CHCHCH Cb13 +++==∆
aHCHCHCHCHCHCHCH26 ,q,q,q,q,q,q,q,q 1200H2,62,82,62,72,62,62,62,92,61,82,61,72,61,62,6
+++++++==∆
aHCHCHCHCHCH27 ,q,q,q,q,q,q 1200H2,72,82,72,72,72,92,71,82,71,72,7
+++++==∆
,q,q ,q ,q ,q ,q 275H1,51,52,51,31,51,31,51,21,51,11,5 CHCHCH CHCH Cb15 +++++==∆
,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q,q 375H1,62,61,61,61,61,51,61,41,61,31,61,21,61,11,6 CH CHCHCH CHCH CH Cb16 +++++++==∆ ,q,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q 375H
1,71,71,71,61,71,51,71,41,71,31,71,21,71,11,7 CHCHCHCHCHCHCH Cb17 +++++++==∆
1,91,71,91,61,91,51,91,41,91,31,91,21,91,11,9 CHCHCHCHCHCHCH Cb19 ,q,q,q,q,q,q,q,q 283.5H +++++++==∆ ,q ,q
1,82,71,82,6 CHCH ++
,q,q 1,72,71,72,6 CHCH ++
1,81,71,81,61,81,51,81,41,81,31,81,21,81,11,8 CHCHCHCHCHCHCH Cb18 ,q,q,q,q,q,q,q,q 283.5H +++++++==∆
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
54
Balances de energía para la corriente Fría C2
Balances de energía para los servicios auxiliares
Donde n=3,…,11
Donde n=5,…,10
Donde n=1,…,7
0,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q CbCHCHCHCHCHCHCHCHCH n1,4n1,2,73n1,2,64n1,1,73n1,1,62n1,1,51n1,1,4n1,1,3n1,1,2n1,1,1≥
++++++
0,q,,q aH aH 5m2,m1,≥
+
0,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q CbCHCHCHCHCHCHCHCHCH n2,2n2,2,71n2,2,62n2,1,71n2,1,6n2,1,5n2,1,4n2,1,3n2,1,2n2,1,1≥
++++
,q,q,q,q,q,q,q ,q 125H1,111,71,111,61,111,51,111,41,111,31,111,21,111,11,11 CHCHCHCHCHCHCH Cb111 +++++++==∆
1,101,71,101,61,101,51,101,41,101,31,101,21,101,11,10 CHCHCHCHCHCHCH Cb110 ,q,q,q,q,q,q,q ,q 283.5H +++++++==∆
,q ,q1,92,71,92,6 CHCH ++
,q ,q1,102,71,102,6 CHCH ++
,q ,q1,112,71,112,6 CHCH ++
,q,q2,102,72,102,6 CHCH ++
,q,q,q,q,q,q,q,q 339.9H2,91,72,91,62,91,52,91,42,91,32,91,22,91,12,9 CHCHCHCHCHCHCH Cb29 +++++++==∆
,q ,q2,82,72,82,6 CHCH ++
,q,q2,72,72,72,6 CHCH ++
,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q 450H2,62,62,61,62,61,52,61,42,61,32,61,22,61,12,6 CH CHCHCH CHCH CH Cb26 +++++++==∆
,q,q ,q ,q ,q,q 330H2,51,52,51,32,51,32,51,22,51,12,5 CHCHCH CHCH Cb25 +++++==∆
2,71,72,71,62,71,52,71,42,71,32,71,22,71,12,7 CHCHCHCHCHCHCH Cb27 ,q,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q 450H +++++++==∆
,q,q,q,q,q,q,q ,q 340.2H2,81,72,81,62,81,52,81,42,81,32,81,22,81,12,8 CHCHCHCHCHCHCH Cb28 +++++++==∆
,q,q2,92,72,92,6 CHCH ++
2,101,72,101,62,101,52,101,42,101,32,101,22,101,12,10 CHCHCHCHCHCHCH Cb210 ,q,q,q,q,q,q,q ,q 339.9H +++++++==∆
aH aH aH aH aH aH aH aH aH ,q,q,q,q,q,q,q,q,q 4002,72,61,71,61,51,41,31,21,1
++++++++=
Cb Cb Cb CbCb Cb Cb Cb Cb Cb Cb Cb 2,72,62,51,111,101,91,81,71,61,51,41,3 ,q,q,q,q,q,q,q,q,q,q,q,q1075 +++++++++++=
Cb Cb Cb 2,102,92,8 ,q,q,q +++
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
55
4.3.4 Resultados
Así obtenemos los siguientes resultados, resumidos en la siguiente matriz:
Tabla 4.2 Valores de las cargas térmicas
C1,3 C1,4 C1,5 C1,6 C1,7 C1,8 C1,9 C1,10 C1,11 C2,5 C2,6 C2,7 C2,8 C2,9 C2,10 a H1,1 0 0 74.81 32.77 0 0 0 0 0 80.19 52.22 0 0 0 0 0 H1,2 0 0 0 90.12 0 0 0 0 0 0 149.88 0 0 0 0 0 H1,3 0 0 0 141.85 0 0 0 0 0 0 108.15 0 0 0 0 0 H1,4 0 0 110.24 0 0 0 0 0 0 139.75 0 0 0 0 0 H1,5 0 0 44.58 0 0 0 0 0 0 175.42 0 0 0 0 H1,6 0 51.84 58.09 39.43 0 0 0 51.11 65.22 34.32 0 0 H1,7 0 0 37.68 45.075 26.45 0 0 28.99 70.56 91.24 H2,6 0 278.58 225.41 62.09 0 0 0 223.48 274.98 135.46 0 0 H2,7 0 0 144.05 238.18 98.55 0 0 141.12 269.34 308.76 b 312.5 312.5 200.19 0 0 0 0 0 0 249.81 0 0 0 0 0
Tabla 4.3 Valores de área
C1,3 C1,4 C1,5 C1,6 C1,7 C1,8 C1,9 C1,10 C1,11 C2,5 C2,6 C2,7 C2,8 C2,9 C2,10 a H1,1 0 0 30.23 10.49 0 0 0 0 0 32.4 16.71 0 0 0 0 0 H1,2 0 0 0 35.70 0 0 0 0 0 0 59.37 0 0 0 0 0 H1,3 0 0 0 74.19 0 0 0 0 0 0 56.57 0 0 0 0 0 H1,4 0 0 85.69 0 0 0 0 0 0 108.63 0 0 0 0 0 H1,5 0 0 30.79 0 0 0 0 0 0 121.17 0 0 0 0 H1,6 0 64.79 39.88 19.48 0 0 0 63.88 44.78 16.99 0 0 H1,7 0 0 29.60 24.49 11.80 0 0 22.78 38.35 33.27 H2,6 0 348.23 154.75 30.68 0 0 0 279.34 188.78 66.93 0 0 H2,7 0 0 113.15 129.43 43.98 0 0 110.86 146.36 112.59 b 102.39 84.95 46.89 0 0 0 0 0 0 58.51 0 0 0 0 0
Al resolver el problema mediante la aplicación de la metodología propuesta por
Jeżowski en Excel, usando Solver, obtenemos los resultados de las tablas 4.2 y 4.3, las
cargas y áreas que se habilitaron dentro del modelo se leen como se indica a
continuación:
kWq
kWq
kWq
kWq
CH
CH
CH
CH
22.52,
19.80,
77.32,
81.74,
6,21,1
5,21,1
6,11,1
5,11,1
=
=
=
=
Los apareamientos prohibidos no fueron tomados en cuenta por lo que no existe
valor alguno para ellos, mientras que 34 apareamientos entre corrientes de procesos están
presenten, y por parte de los servicios auxiliares, se tienen 6 apareamientos, cuyas áreas
con relativamente grandes debido a los LMTD. Así para las demás cargas y áreas, el Área
Total mínima es de 3089.87 m2. A partir de este punto, el siguiente paso es opcional, el
resultado de este método es una buena aproximación, pero si se desea mejorarlo, se
2
2
2
2
71.16,
4.32,
49.10,
23.30,
6,21,1
5,21,1
6,11,1
5,11,1
mA
mA
mA
mA
CH
CH
CH
CH
=
=
=
=
D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI
56
deben realizar una serie de ajustes, para los cuales no existe una metodología específica,
quedando el resultado en manos del criterio de quien reproduzca el ejercicios, por tanto
esta modificación no es muy factible de ser realizada a pesar de disminuir el área hasta
en un 15%.
4.3.5 Mejorar la estructura y cálculo del área modificada
El modelo produce una estructura de red que es una estructura tipo spaghetti. La
corriente i es dividida de acuerdo al número de apareamientos que se obtengan en la
solución del modelo de área, como se indica en 4.3.2 a 4.3.5. Sin embargo algunos
arreglos pueden causar sobre estimaciones de área. Como ejemplo tomemos una
estructura totalmente dividida y que resulta de la solución del modelo, que contiene dos
apareamientos en intervalos adyacentes, que corresponden a la misma corriente, como
se muestra en la figura 5.3 (a). Estos apareamientos pueden ser colocados de forma más
simple, como la suma de ambas cargas, que puede ser intercambiada por un solo equipo
en lugar de dos. La conexión en paralelo de la figura 5.3 (a) tiene una distribución de
fuerzas de empuje desiguales, mientras que la figura 5.3 (b) tiene apareamientos que
contienen más fuerza de empuje.
(a) (b)
Figura 4.4 (a) estructura de spaghetti (b) estructura pero compactada
Por tanto, para la solución del modelo, una estructura modificada puede surgir con
apareamientos como el descrito anteriormente. Esta estructura modificada, está entre 10
y 15% por debajo que la solución del modelo. Sin embargo, este paso se considera
adicional, y puede ser omitido para reducir los cálculos y por que el modelo produce una
buena aproximación al área mínima.
1
2
h
c
Tm-1
Tm-1 Tm Tm+1
Tm 1+2
h
c
Tm-1
Tm-1 Tm+1
Tm
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
57
Capítulo 5
Método de distribución de cargas térmicas para metas de área
mínima.
5.1 Introducción
Dentro de los métodos de programación lineal para minimizar área, entre los más
empleados se encuentran aquellos que utilizan intervalos de entalpía, como el método de
Linnnhoff y Flower, donde, además se utilizan las curvas compuestas, lo que vuelve al
método tedioso y complicado. En el capítulo 4, se presentó el método de Jeżowski, que se
basa en primero establecer intervalos de temperatura, y así tener cierta carga térmica por
intervalo y posteriormente distribuirlas. Aquí surge una pregunta crucial ¿Qué pasaría si
primero se distribuyen las cargas térmicas, de tal forma que entre cada una de ellas
tengan valores cercanos, o al menos que no varíen tanto unos de otros, y con estas
cargas térmicas poder formar los intervalos de temperatura, para poder minimizar el área.
Se considera una corriente caliente i, que necesita ser enfriada y una corriente fría j,
que necesita ser calentada, asociados a cada corriente se conocen su flujo de
capacidad calorífica FĈp, que es el producto del flujo másico F y la capacidad calorífica
Ĉp, su temperatura Ts de suministro y su temperatura objetivo To. Cada corriente tiene un
cierto contenido de energía térmica definido como: )(ˆoisiiii TTpCFq −= para la corriente
caliente, y de forma análoga )(ˆojsjjjj TTpCFq −= para la corriente fría, no todo el
contenido energético de la corriente caliente i, puede ser recibido por la corriente fría j,
por tanto, se debe conocer cual es la mayor cantidad de energía que se puede transferir,
y sobre todo cual es la mejor distribución para lograr este intercambio.
Dentro de la tabla de calor estándar, los intervalos son definidos por las temperaturas
de suministro y objetivo de las corrientes, y el HRAT, lo que da como resultado una
distribución un tanto especial, pues muchas veces la carga se concentra en un solo
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
58
intervalo, lo que provoca que en los restantes solo una parte muy pequeña de esta sea
colocada. Para evitar este problema, y no solo un intervalo se quede con la mayor parte
de la carga térmica kiq , o kjq , , debemos asegurar una distribución correcta; para
lograrlo, designamos un parámetro que indicará como dividir los intervalos existentes en
otros cuya carga térmica sea distribuida subuniformemente, este parámetro, designado
como β, representará un porcentaje de la carga térmica que contiene la corriente.
Tomemos a la corriente caliente i, designamos cierta β, y obtenemos un valor que será el
parámetro a considerar para dividir los intervalos, pues designará la máxima carga
térmica que se puede colocar en un intervalo, a la que llamaremos ii qq ⋅=100max
β. Se ha
considerado que los valores adecuados para β van de 5% a 25%, si son menores a este
rango, el problema se vuelve complejo en el sentido de que se tienen demasiadas
variables y restricciones a considerar lo que aumenta el costo computacional, por otro
lado si son mayores a este rango, la división resulta innecesaria pues la aproximación no
será buena en comparación con los métodos disponibles en la literatura. De forma similar
para la corriente fría j se tiene jj qq ⋅=100max
β. Ahora obtenemos el número mínimo en
que se debe dividir el intervalo, basándonos en max, iki qq ≤ para la corriente caliente i, y
en max, jkj qq ≤ para la corriente fría j, obtenemos max
,,
i
kiki q
qN = y
max
,,
j
kjkj q
qN = ,
respectivamente. A partir de estos valores, se seleccionan los mayores de cada intervalo,
así se asegura que ningún intervalo tenga una carga mayor a la carga máxima
establecida, para los intervalos que tengan valores menores a esta no hay problema pues
el intervalo no se divide. Para poder formar la nueva tabla de calor modificada, se
reconstruyen las escalas de temperaturas, de las corrientes calientes y de las frías.
5.2 Planteamiento del modelo matemático
Al igual que otras metodologías, las cargas térmicas de los servicios son las que se
determinan para cierto nivel de recuperación de calor (HRAT). Se utilizan conjuntos para
plantear solo las ecuaciones que sean necesarias.
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
59
5.2.1 Definiciones, Conjuntos, Subíndices y Parámetros
Definición
Ceil. En matemáticas y ciencias de la computación, ceil de las funciones
corresponde a asignar un número real mayor a la anterior. Más
precisamente, ceil (x) = ⌈ x ⌉, devuelve el número entero más pequeño
que sea mayor que el argumento x. Gauss presenta el soporte de
notación cuadrada [x] para la función de ceil en su tercera prueba de la
reciprocidad cuadrática (1808). Esto sigue siendo el estándar en
matemáticas, Iverson presentó los nombres de "piso" (floor) y "techo" (ceil)
y las anotaciones correspondientes ⌊ x ⌋ y ⌈ x ⌉ en su libro de 1962 Un
lenguaje de programación. Ambas anotaciones se utilizan ahora en las
matemáticas.
Subíndices
i =corriente caliente de proceso.
j =corriente fría de proceso.
k =intervalo de la tabla de calor estándar.
m =intervalo de la tabla de calor modificada para las corrientes calientes.
n =intervalo de la tabla de calor modificada para las corrientes frías.
Conjuntos
iiI :{= es una corriente caliente de proceso o auxiliar, i=1,…,NH}
jjJ :{= es una corriente fría de proceso o auxiliar, j=1,…,NC}
kkK :{= es un intervalo de temperatura, k=1,…, NK}
kK i {= ∈ k : k es un intervalo de temperatura donde la corriente caliente i tiene una
carga térmica diferente de cero}
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
60
kK j {= ∈ k : k es un intervalo de temperatura donde la corriente fría j tiene una carga
térmica diferente de cero}
Parámetros
iq = carga térmica disponible en la corriente caliente i.
jq = carga térmica requerida en la corriente fría j.
kiq , = carga térmica disponible en la corriente caliente i en el intervalo de
temperatura k, de acuerdo con la tabla de calor estándar.
kjq , = carga térmica requerida de la corriente fría j en el intervalo de temperatura
k, de acuerdo con la tabla de calor estándar.
kT∆ = diferencial de temperatura existente en el intervalo k.
maxiq = carga térmica máxima permitida para la corriente caliente i, en cada
intervalo de temperatura.
maxjq = carga térmica máxima permitida para la corriente fría j, en cada intervalo
de temperatura .
kiN , = número mínimo de subintervalos en que debe dividirse un intervalo k para
satisfacer el criterio β de la corriente caliente i.
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
61
kjN , = número mínimo de subintervalos en que debe dividirse un intervalo k para
satisfacer el criterio β de la corriente fría j.
KNP = número de subintervalos que deben crearse en el intervalo de temperatura
k para cumplir con el criterio de carga máxima para todas las corrientes.
kNPkT , = temperatura superior del subintervalo NPk, que surge de la división del
intervalo k.
sup,kT = Temperatura superior de un intervalo k.
inf,kT = Temperatura inferior de un intervalo k.
mHiH ,∆ = Cambio en entalpía, para la corriente caliente i en el intervalo m.
nCjH ,∆ = Cambio en entalpía, para la corriente fría j en el intervalo n.
β = Porcentaje máximo de la carga térmica disponible, o requerida, en una
corriente que se permite colocar en un intervalo de temperatura.
kδ = Partición del intervalo k, para la construcción de la tabla de calor
modificada.
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
62
5.3 Procedimientos para Plantear la tabla de calor modificada
a) Creación de la Tabla de calor Estándar. Obtener la tabla de calor estándar que
corresponda a un HRAT=1, utilizamos el método descrito en el capítulo 2, sección 2.1.3.
Posteriormente se obtiene el valor de la delta de temperaturas de cada intervalo,
∆Tk(como se ejemplifica en la figura 2.3, columna(1)) , y los valores de kiq , y kjq , .
b) Cálculo de cargas térmicas máximas permitidas para corrientes calientes y frías. Elegir
el valor de β (%), y maxiq y maxjq . Empleando las siguientes expresiones:
ii qq ⋅=100max
β, i ∈ I jj qq ⋅=
100max
β , j ∈ J (5.1)
Nótese que los valores de las ecuaciones representadas en (5.1), no dependen del
intervalo donde se encuentren dichas cargas térmicas, ya que para toda una
corriente i o j, será igual.
c) Obtención del número mínimo de elementos en que se debe dividir el intervalo. Para
obtener kiN , y kjN , , aplicamos las ecuaciones 5.2 a 5.5.
i ∈ I, k ∈ K \ Ki (5.2)
i ∈ I, k ∈ Ki (5.3)
j ∈ J, k ∈ K \ Kj (5.4)
j ∈ J, k ∈ Kj (5.5)
Las ecuaciones (5.2) y (5.4), obligan a los elementos que no existen para las corrientes
calientes i o para las corrientes frías j, a tomar el valor de 0, así se evita el problema de
la no existencia de las corrientes en determinados intervalos. Mientras que las
ecuaciones (5.3) y (5.4), dividen los intervalos donde las corrientes de proceso existen,
con base en el porcentaje que se eligió en el inciso B; recuérdese la definición de la
función ceil, manda el número más pequeño de elementos posibles pero mayor al
argumento .
=max
,,
0
i
kiki
q
qN
=max
,,
0
j
kjkj
q
qN
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
63
d) Identificación de intervalos que requieren ser refinados. Considere una matriz de
coeficientes mayores o iguales que cero, que representa el número de elementos en
que se debe dividir el intervalo ( kiN , , kjN , ,0), recordemos que el 0 implica que en ese
intervalo la corriente de proceso (fría o caliente) no existe. Así, de cada intervalo se
obtiene el número mayor, visto de otro forma, de cada renglón de la matriz de
coeficientes de cargas térmicas, se selecciona coeficiente con mayor valor numérico,
que será el que defina el número de subintervalos que deben crearse, es decir:
},{ ,, kjki
JjIi
k NNMaxNP∈∈
= k ∈ K (5.6)
La ecuación 5.6, marca el número de subintervalos que se tendrán, se observa ahora
la ventaja que tiene el poner el valor de 0 a los intervalos donde no existen las
corrientes de proceso, pues estos no se dividirán, y siempre que exista un número
mayor a 0, será el que defina la división.
e) Cálculo de la partición de un intervalo. Para dividir el intervalo de acuerdo a lo
estipulado en el inciso anterior. Obtenemos kδ :
k
kk NP
T∆=δ k ∈ K (5.7)
Este parámetro, nos indica el tamaño que deben tener los intervalos de temperatura,
para poder construir la nueva escala de temperaturas. Nótese la parte fundamental
del modelo que consiste en la construcción de intervalos de cargas térmicas primero,
para luego crear intervalos de temperatura.
f) Intervalos de temperatura para la tabla de calor modificada. Se obtiene una escala
de temperaturas que usaremos para construir la nueva tabla de calor, utilizando la
ecuación 5.8:
kpNPkpNPk kkTT δ−= +−− 1,, , donde p=1,…,NPk, k ∈ K (5.8)
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
64
Por decisión del autor utilizaremos la escala de temperaturas de las corrientes
calientes (TH) para los intervalos de temperatura que se crean, cabe señalar que si se
desea se puede realizar el mismo procedimiento pero con base a la escala de
temperaturas de las corrientes frías (TC). En la siguiente figura se esquematiza la
formación de la escala de temperaturas:
Nótese que la temperatura kNPkT , corresponde a la que delimita al intervalo, o sea la
temperatura superior que encontramos para k, en la tabla de calor estándar, al igual
que para 0,kT , corresponde a la temperatura inferior del intervalo k en la tabla de
calor estándar.
g) Construcción de la tabla de calor modificada. Ahora que ya se tiene la escala de
temperaturas de las corrientes calientes (TH), solo restamos 1 grado para formar la
escala de temperaturas de las corrientes frías (Tc), si se decidió establecer la escala
(TC), se hace lo contrario, se suma 1 grado y se obtiene la escala (TH), con base en
estas escalas, obtenemos el ∆Tk del intervalo, para la tabla de calor modificada, y así
calcular las cargas en cada intervalo, es decir, obtenemos: miH ,∆ y njH ,∆ .
h) Aplicamos la función objetivo a la tabla de calor modificada. Este procedimiento se
describe más a fondo en la próxima sección 5.4.
sup,, kNPk TTk
=
kNPkNPk kkTT δ−=− ,1,
inf,0, kk TT =
kNPkNPk kkTT δ−= −− 1,2,
kNPkNPk kkTT δ−= −− 2,3,
k
kNP
HT
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
65
5.3.1 Caso de estudio 1 (Jeżowski, 2003)
Retomando el caso de estudio 1, presentado en la Tabla 2.1, sección 2.1.1, del capítulo 2
(Jeżowski, 2003):
a) Creación de la Tabla de calor Estándar.
Figura 5.1 Tabla de calor estándar caso de estudio 1.
Se tienen 6 intervalos.
b) Cálculo de cargas térmicas máximas permitidas para corrientes calientes y frías.
Tabla 5.1 Cargas térmicas permitidas
H1 H2 C1 C2
Qdisp/qreq(kW) 1800 2400 2625 2250
(kW) 450 600 656.25 562.5
maxmax, ji qq
294
H1
20 H2
80 C1
25 C2
30
423
399
374
363
333
422
398
373
362
332
TH TC
299 298
293
1
2
3
4
5
6
q1,1=480
q1,2=500
q1,3= 220
q1,4= 600 q2,4= 2400
q1,2= 625
q1,3= 275
q1,4= 750
q1,5= 850
q1,6= 125
q2,3= 330
q2,4= 900
q2,5= 1020
∆Tk(K)
24
25
11
5
30
34
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
66
c) Obtención del número mínimo de elementos en que se debe particionar el intervalo.
Figura 5.2 intervalos permitidos para la corriente caliente 1 y la corriente fría 1.
Todos los resultados se redondean al entero más próximo, de acuerdo a la función ceil.
d) Identificación de intervalos que requieren ser refinados. Para todos los intervalos, se
obtiene:
Figura 5.3 Intervalos permitidos para el caso de estudio 1(Jeżowski, 2003).
De cada intervalo seleccionamos el mayor, que será el que marcará la nueva tabla de calor.
294
H1
20 C1
25
423
399
374
363
333
422
398
373
362
332
TH TC
299 298
293
1
2
3
4
5
6
233.14506004,1 ===N
195.025.6566252,1 ===N
141.025.6562753,1 ===N
214.125.6567504,1 ===N
229.125.6568505,1 ===N
119.025.6561256,1 ===N
05,1 =N
06,1 =N
01,1 =N 206.14504801,1 ===N
211.1450/5002,1 ===N
148.0450/2203,1 ===N
H1
20 H2
80 C1
25 C2
30
423
399
374
363
333
422
398
373
362
332
TH TC
299
294
298
293
1
2
3
4
5
6
N1,1=2
N1,2=2
N1,3= 1
N1,4= 2 N2,4= 4
N1,2= 1
N1,3= 1
N1,4= 2
N1,5 =2
N1,6= 1
N2,3= 1
N2,4=2
N2,5= 2 N1,5= 0
N1,6= 0
N2,1= 0
N2,2= 0
N2,3= 0
N2,5= 0
N2,6= 0
N1,1= 0
N2,2= 0
N2,1= 0
N2,6= 0
NPk
1
4
2
2
2
1
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
67
De cada intervalo, nos quedamos con los valores mayores, de acuerdo a la columna
NPk, colocando los valores en la tabla de calor estándar, obtenemos:
Figura 5.4 Intervalos mayores que marcan la división.
e) Cálculo de la partición de un intervalo. De acuerdo a la ecuación 5.7, para cada
intervalo se obtiene el kδ , retomamos la figura 5.1, la columna ∆Tk, algunos serían:
5.74
30
4
44 ==∆=
NP
Tδ 172
34
5
55 ==∆=
NP
Tδ
f) Intervalos de temperatura para la tabla de calor β. utilizaremos la escala de las
calientes TH. Tomaremos el intervalo 4, ya que es que más refinamiento requiere, para
ejemplificar el uso de la ecuación 5.8.
kpNPkpNPk kkTT δ−= +−− 1,, , donde p=1,…,NPk
3634sup,4,4 == TT
5.3555.736344,43,4 =−=−= δTT
3485.75.35543,42,4 =−=−= δTT
5.3405.734842,41,4 =−=−= δTT
3335.75.34041,4inf,40,4 =−=−== δTTT
H1
20 H2
80 C1
25 C2
30
423
399
374
363
333
422
398
373
362
332
TH TC
299
294
298
293
1
2
3
4
5
6
NP1=2
NP2=2
NP3= 1
NP4= 4
NP,3= 1
NP5 =2
NP6= 1
NP3= 1
NP5= 2
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
68
En la siguiente figura observamos de forma más clara la división que se planteo.
Figura 5.5 Diagrama esquemático para mostrar la división del intervalo 4, del caso de estudio 1
(Jeżowski, 2003)
El procedimiento se repite para el resto de los intervalos.
NP4= 4
5.3553,4 =T
3482,4 =T
5.3401,4 =T
333inf,40,4 == TT
k= 4
363inf,44,4 == TT
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
69
g) Construcción de la tabla de calor nueva para cierta β. Obtenemos la tabla de calor
con los intervalos permitidos.
Figura 5.6 Tabla de calor modificada, para una β=25%.
Ahora se tienen 12 intervalos, se duplicó la cantidad de intervalos, se nota en la
corriente H2, como la carga de 2400 Kw ya no se concentra en un solo intervalo. Esto
genera más libertad para poder colocar las cargas térmicas, que ahora son 4 de 600
Kw, con intervalos de las corrientes frías.
h) Aplicamos la función objetivo a la tabla de calor nueva para cierta β.
H1
20 H2
80 C1
25 C2
30
423
411
399
386.
374
422
410
398
385.5
373
TH TC
363
355.5
362
354.5
1
2
3
4
5
6
∆HH1,1=240
∆HH1,2=240
∆HH1,3= 250
∆HH1,4= 250
∆HH26= 600
∆HC1,7= 187.5
∆HC1,3= 312.5
∆HC1,4= 312.5
∆HC1,5= 275
∆HC1,6= 187.5
∆HC2,5= 330
∆HC2,6= 225
11
7
8
9
10
348 347
299 298
316 315
340.5 339.5
333 332
294 293
12
∆HC2,7= 225
∆HC2,8= 225
∆HC2,9= 225
∆HC2,10= 510
∆HC2,11= 510 ∆HC1,11= 425
∆HC1,8= 187.5
∆HC1,9= 187.5
∆HC1,10= 425
∆HC1,12= 125
∆HH27= 600
∆HH28= 600
∆HH29= 600
∆HH1,5=220
∆HH1,6=150
∆HH1,7=150
∆HH1,8=150
∆HH1,9=150
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
70
5.4 Función Objetivo
Para formular la función objetivo, se sigue el planteamiento del modelo de
transporte, Capítulo 2, Metas de Energía, sección 2.3 Modelo de transporte, a cada
intervalo m, se le asocia un intervalo n, siempre y cuando este apareamiento sea
permitido. Tenemos los siguientes parámetros:
nmLMTD , = Media logarítmica asociado al apareamiento del intervalo m con n.
Definida para m,n=1,…,K, solo si m≤n.
jnimq , = Carga térmica asociada al apareamiento de una corriente caliente i en el
intervalo m con una corriente fría j en el intervalo n. Definida para
m,n=1,…,K, solo si m≤n.
ih = Coeficiente de transferencia de calor de la corriente caliente i.
jh = Coeficiente de transferencia de calor de la corriente fría j.
mHiH ,∆ = Cambio en entalpía, elemento de la carga térmica total de la corriente
caliente Hi, para el intervalo m, formados a partir del método planteado
en la sección anterior 5.2.1, último inciso.
nCjH ,∆ = Cambio en entalpía, elemento de la carga térmica total de la corriente
fría Cj, para el intervalo n, formados a partir del método planteado en la
sección anterior 5.2.1, último inciso.
Es necesario definir el siguiente conjunto:
:),{(, jiF jnim = i∈I, j∈J, n∈Khi ,m∈Kcj un apareamiento entre ellos está prohibido, es
decir cuando m>n o entre servicios auxiliares}
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
71
Modelo para metas de área:
( )∑∑∑∑∈ ∈
−= = +
NC
Jj
NH
Ii ji
jnimK
m
K
n nm hh
q
LMTD 1,
1 1 , 11
1min (1)
Restricciones:
;,,∑∑= ∈
∆=K
mn JjmHjnim i
Hq i ∈ I; m=1, …, K (2)
;1
,,∑∑= ∈
∆=K
m IinCjnim j
Hq j ∈ J; n=m, …, K (3)
;0, =jnimq i ∈ I; j ∈ J; i,j ∈ Fij; m=1,…,K; n=m,…,K (4)
;0, ≥jnimq i ∈ I; j ∈ J; i,j ∉ Fij; m=1,…,K; n=m,…,K (5)
La ecuación 1, implica minimización del área total de la red de intercambio de
calor, de acuerdo a los subíndices, se toman en cuentan las corrientes calientes y frías de
proceso, así como servicios auxiliares de calentamiento y enfriamiento.
Las ecuaciones (2) y (3), marcan balances de energía para las cargas térmicas,
estos plantean la cantidad de energía que una corriente caliente puede ceder a la vez
de la cantidad de energía de una corriente fría puede aceptar, además aseguran los
objetivos de calentamiento y enfriamiento de las corrientes de proceso, planteadas
desde antes de empezar el algoritmo.
En (4), se fuerza a los apareamientos prohibidos a tomar el valor de 0. Y por último la
desigualdad (5) asegura que las cargas térmicas solo tomen valores positivos.
5.5 Resultados del método de distribución de cargas térmicas
Al igual que el capítulo 4, se desarrollan las LMTD’s y las U’s, para simplificar datos. Se
diseñó un programa en GAMS, donde fácilmente se pudieron realizar estos cálculos, que
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
72
no deben constituir mayor problema. Se retoma el modelo de transporte para distribuir las
cargas térmicas.
Al resolver nuestro modelo se obtuvo un Área Total mínima de 2953.53 m2.
5.6 Pruebas variando el parámetro β
Al ser β, un parámetro, no defino o con valor fijo, se puede tener la libertad de mover
el valor de esta, a continuación se realizó para el caso de estudio 1 del presente trabajo
Tabla 2.1, extraído de Jeżowski, 2003, un ejercicio donde claramente se pude observar el
efecto que tiene variar β.
Tabla 5.2 Resultados para diferentes β
β # int. De
temperatura # variables # restricciones
Área
Total(m2)
25% 12 193 33 2953.53
20% 14 269 39 2923.58
15% 17 417 49 2923.24
10% 24 800 69 2905.20
5% 46 2865 131 2898.83
A pesar de tener valores de β relativamente grandes, se obtienen valores muy buenos,
menores en algunos casos que los reportados en la literatura. Al incrementar en 2 el
número de intervalos, el parea mejora en un 1.02%. Aumentar los intervalos de 14 a 17, no
ayuda mucho pues la mejora es tan solo de 0.01%. Sin embargo al subir a 24 intervalos se
tiene un área menor, de 2905.2 m2. El mejor registro es de 2898.83 m2, esto representa un
1.88% menos si se compara con el área obtenida al 25%.
5.7 Validación del modelo
Con respecto al modelo de Jeżowski, comparamos resultados, la primera diferencia
radica en el número de intervalos, pues en Jeżowski usamos 11 intervalos, con 136
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
73
variables de carga, mientras que en nuestro modelo de distribución de cargas uniformes,
el mejor resultado arrojó 46 intervalos, con 657 variables de carga.
Así utilizar intervalos de más, incrementa el número de variables, pero mejora por
mucho el cálculo del área, que es razonable, teniendo en cuenta, que nuestro resultado
se aproxima al de Yee & Grossman, que es el mejor reportado. Además de que no
requerimos el paso extra que utiliza Jeżowski, donde cambia la estructura para mejorar el
área.
La distribución que proponemos, ayuda mucho a tener un área menor que la de
Jeżowski, pues tenemos intervalos con cargas más pequeñas, lo que produce una mejor
distribución de estas, en especial, para la corriente 2, ésta se encuentra solo en el intervalo
4, la carga es muy grande, por lo que cuando queremos aplicar el modelo de Jeżowski,
ésta se divide solo en 2, porque la diferencia de temperaturas es pequeña, pero el FCp de
la corriente 2, es grande, eh ahí el problema, esta gran carga, no se puede distribuir
“bien” , al aplicar nuestro modelo, esta corriente de divide en 35 intervalos, y tenemos
cargas más pequeñas, dando libertad a que haya mejor distribución, y minimizar el área.
Tabla 5.3 Comparación del método de distribución de cargas con resultados de la
literatura
Autor(es) Área (m2)
Modelo de Jeżowski 2925
Yee & Grossmann 2898.9
Townsend & Linnhoff 2896
Colberg & Morari 2896
Método de distribución de cargas
β=25% 2953.53
Método de distribución de cargas
β =20% 2923.58
Método de distribución de cargas
β =15% 2923.24
Método de distribución de cargas
β =10% 2905.20
Método de distribución de cargas
β =5% 2898.83
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS
74
Nuestro método, con respecto a los resultados reportados con la literatura, es buena
aproximación. Con respecto al método de Colberg & Morari, varía un 0.097%, este
método es la mejor aproximación, como ya se explicó es un método no lineal, lo que lo
vuelve complejo, eh ahí una ventaja de nuestro método. Townsend & Linnhoff, reporta el
resultado de la ya expuesta fórmula de Bath, al ser estos los precursores de este método,
ese resultado es el mejor, además de ser reproducible, nuestro método varía un 0.097%
con respecto a este. Yee & Grossmann, utilizan una superestructura que utiliza etapas,
donde los intervalos de temperatura se van distribuyendo, en cuanto el calor se transfiere,
o sea el calor residual, esta complejidad, hace que el resultado sea bueno, pues se
acerca mucho al reportado por Townsend &Linnhoff , nuestra solución se acerca mucho a
la de Yee & Grossmann. Por último comparando nuestro resultado con el de Jeżowski, nos
encontramos 26.17 m2 por debajo de su propuesta, lo cual indica que el método resulta
satisfactorio tomando en cuenta que en nuestro método, no se requiere modificar la red
solución del algoritmo que se plantea, es decir, no se requiere ver que apareamientos se
pueden reescribir como uno solo para así mejorar el área, esta es una gran ventaja,
aunque pagamos con más variables, lo cual es razonable, teniendo en cuenta, lo bien
que nos acercamos al resultado de la fórmula de Bath.
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
75
Capítulo 6
Caso de estudio 2
6.1 Introducción
Para aclarar conceptos y poder visualizar de forma más clara los resultados obtenidos del
nuevo método, se realizo el siguiente caso de estudio extraído de Jeżowski(2003). Como
punto de comparación se utiliza el método de Jeżowski, además de resultados obtenidos
por otros autores.
Este caso de estudio además de ayudar a fortalecer los conocimientos, tiene la
peculiaridad de que los coeficientes de transferencia de calor varían, a diferencia del
caso de estudio 1, donde los h’s son constantes. Esto permite probar el método de
distribución de cargas, y evaluar su comportamiento ante tal situación, además de
tiempos de ejecución y resultados.
6.2 Datos del problema Como se ya se mencionó, este caso de estudio fue tomado de Jeżowski (2003), además
aparece en la literatura en artículos como Colberg y Morari (1990) y Yee y Grossmann
(1990), es un problema sencillo de dos corrientes calientes y dos corrientes frías, donde se
requiere recuperar calor, mediante la implementación de una red de intercambio de
calor, el objetivo será determinar la meta de área mínima que requiere dicho
intercambio.
Tabla 6.1 Datos del caso de estudio 2.
Corriente de proceso Ts(K) To(K) FĈp(kW/K) h(kW/m2K) Qdisp/req(kW) H1 395 343 4 2.0 208 H2 405 288 6 0.2 702 C1 293 493 5 2.0 1000 C2 353 383 10 0.2 300
Vapor 520 519 2.0 Agua de Enfriamiento 278 288 2.0
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
76
6.3 Balances de energía
A partir de los datos de la Tabla 6.1, y de la tabla 6.2, tabla de intervalos de
temperatura, obtenemos los valores de los RMSA para calentamiento es qhu y para
enfriamiento qcu, y se extraen los siguientes balances de energía:
kWTCPTTCFQ ospH 2084*)343395()( 11111 =−=∆=−=
kWTCPTTCFQ ospH 7026*)288405()( 22222 =−=∆=−=
kWTCPTTCFQ ospC 10005*)493293()( 33333 −=−=∆=−=
kWTCPTTCFQ ospC 30010*)383353()( 44444 −=−=∆=−=
kWkWkWqdisp 910702208 =+=
kWkWkWqreq 13003001000 =+=
kWkWkWqq hudisp 1530620910 =+=+
kWkWkWqq cureq 15302301300 =+=+
Se cumple: cureqdisphu qqqq +=+
6.4 Tabla de calor estándar
Para el diagrama de intervalos de temperatura se tiene un HRAT= 10 K. Para construir
esta tabla, primero ordenamos las temperaturas de suministro y objetivo (Tabla 6.2 (a)) las
remarcamos con negritas, posteriormente para TH restamos el HRAT correspondiente, y
para TC sumamos el HRAT (Tabla 6.2 (b)), ahora se ordenan de forma descendente (Tabla
6.2 (c)), por último suprimimos las temperaturas que se repiten, para así obtener nuestra
escala de temperaturas.
El procedimiento es similar al utilizado en la sección 2.1.3 del capítulo 2.
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
77
Tabla 6.2 Formación de intervalos de temperatura (a) acomodo en la tabla, (b) resta
o suma de HRAT, (c) ordenamiento de temperaturas, (d) tabla final
TH TC TH TC
405 405 395
395 395 385
343 343 333
288 288 278
493 503 493
383 393 383
353 363 353
293 303 293
(a) (b) (c)
(d)
A partir de la Tabla 6.2 (d), se forma la figura 6.1, que indica los intervalos de
temperatura que han sido determinados por los extremos de cada corriente, es decir, sus
temperaturas de entrada y salida.
Figura 6.1 Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a los datos de la tabla
6.1.
TH TC
503 493
405 395
395 385
393 383
363 353
343 333
303 293
288 278
TH TC
503 493
405 395
395 385
393 383
363 353
343 333
303 293
288 278
H1
4 H2
6 C1
5 C2
10
503
405
395
393
363
493
395
385
383
353
TH TC
343
303
333
293
288 278
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
78
Ahora se expande la tabla de calor, para hacer un análisis de lo que podemos obtener
de estos datos, (ver tabla 63). La columna (2) de la tabla 6.3, es el calor disponible de las
corrientes, es decir, la energía que contienen las corrientes calientes. El calor requerido, lo
ubicamos en la columna (3). No se entrar a detalle, pues ya se hizo un análisis de estos
conceptos en el capítulo 2.
Tabla 6.3 Tabla de calor para el caso de estudio 2.
∆T
(K)
(1)
qdisp
(kW)
(2)
qreq
(kW)
(3)
qrec
(kW)
(4)
qneto
(kW)
(5)
qhu
(kW)
(6)
Hacumh
(kW)
(7)
Hacumc
(kW)
(8)
98 0.00 490.00 0.00 -490.00
qhu
620.00
10 60.00 50.00 50.00 10.00
130.00
2 20.00 10.00 10.00 10.00
140.00
30 300.00 450.00 300.00 -150.00
150.00
20 200.00 100.00 100.00 100.00
0.00
40 240.00 200.00 200.00 40.00
100.00
15 90.00 0.00 0.00 90.00 140.00
208 702 1000 300 910 1300 3800 230 qcu
503 493
TH TC
H1
4 H2
6 C1
5 C2
10
910
405
395
393
363
343
395
385
383
333
353
293 303
910
850
830
530
1040
990
980
530
430
230
278 288
330
330
0
1530
230
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
79
6.5 Diagrama de curvas compuestas
Figura 6.2 Gráfica de curvas compuestas caso de estudio 2
En la figura 6.2 observamos los diferentes cambios de pendiente que se dan al sumar las
corrientes, se tiene un total de 7 intervalos, de los cuales en el primero se requiere servicios
de enfriamiento, y los intervalos 6 y 7 utilizamos servicios de calentamiento. Por lo que
como mínimo tendremos 3 servicios auxiliares, y como mínimo 4 intercambios de corrientes
de proceso.
6.6 Curva Compuesta Integral
La figura 6.3, nos permite
ubicar la temperatura del
punto de pliegue en 358 K,
además de servicios de
enfrimiento de 230 kW, y de
calentamiento de 640 kW.
Figura 2.3 Curva Compuesta
Integral caso de estudio 2.
250
300
350
400
450
500
550
0.00 200.00 400.00 600.00 800.00 1000.00 1200.00 1400.00
H[kW]
T[K
]
383
293
343
288
363
520
493
395
374.33
313
326.33
qcu
IIIH1,H2
C1
V
H2
C1
C2
VIISTC1
IIH2C1
550230
405
353
320
288
200100
278
IVH1,H2C1, C2
IH2CW
VI
ST
C1
C2
378.33
519
7060
250
300
350
400
450
500
550
0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 500.00 600.00 700.00
H[kW]
T[K
]
qcu
qrec
qhu
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
80
6.7 Estimación del área de transferencia mediante el uso de la fórmula de
Bath
Utilizando la figura 6.2, se realizaron los cálculos para estimar el área de transferencia de
calor, utilizamos la fórmula de Bath, procedimiento similar al realizado en el capítulo 3, primero
se obtienen para las corrientes calientes, ΣqHi,k/hi, y se realiza en mismo procedimiento para
las frías. Se divide por intervalos, en cada uno se coloca la corriente que participa, la
carga térmica, y las temperaturas de entrada y salida de cada intervalo, se tienen 7
intervalos, en el intervalo 1, utilizamos agua de enfriamiento, mientras que en el 6 y 7 se
usa vapor. Después se calculan los LMTD’s que se forman con el apareamiento de las
corrientes, en los diferentes intervalos, para finalmente aplicar la fórmula de Bath, que
arrojará una aproximación del área de transferencia.
Tabla 6.4 Corrientes calientes, caso de estudio 2
Corrientes Calientes (Hi)
Intervalo(k) Corrientes THi,s(K) THi,o(K) qHi,k qHi,k/hi ΣqHi,k/hi
1 H2 326.333 288 230 1150 1150
2 H2 343 326.333 100 500 500
3 H1
363 343 80 40
640 H2 120 600
4 H1
395 363 128 64
1024 H2 192 960
5 H2 405 395 60 300 300
6 Vapor 520 519 70 35 35
7 Vapor 520 519 550 275 275
Tabla 6.5 Corrientes frías, caso de estudio 2.
Corrientes Frías (Cj)
Intervalo(k) Corrientes TCj,s(K) TCj,o(K) qHi,k qHi,k/hi ΣqHi,k/hi
1 Agua de enf. 278 288 230 115 115
2 C1 293 313 100 50 50
3 C1 313 353 200 100 100
4 C1
353.00 374.33 106.67 53.33
1119.98 C2 213.33 1066.65
5 C1
374.33 378.33 20.00 10.00
210.00 C2 40.00 200.00
6 C1
378.33 383.00 23.33 11.67
245.02 C2 46.67 233.35
7 C1 383.00 493.00 550.00 275.00 275.00
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
81
Tabla 6.6 Área de transferencia estimada, caso de estudio 2.
Intervalo(k) ∆hi(kW) dth dtc ∆Tln,k Ak(m2) 1 230 38.3333 10 21.09 59.99 2 100 30 33.3333 31.64 17.38 3 200 10 30 18.20 40.65 4 320.00 20.67 10.00 14.69 145.91 5 60.00 26.67 20.67 23.54 21.67 6 70.00 137.00 140.67 138.83 2.02 7 550 27.00 136.00 67.42 8.16
295.78
6.8 Número mínimo de intercambiadores
Tenemos 2 corrientes calientes H1 y H2, dos corrientes frías C1 y C2, por lo que Ns =4. De
acuerdo a la figura 2.2, se tienen como mínimo 3 servicios auxiliares esto se obtiene del número
de intervalos que quedan sin aparearse, es decir los intervalos I, VI, y VII, donde se suministra la
energía o se retira según sea el caso con ayuda de servicios de calentamiento o enfriamiento
según corresponda. Se supone no hay loops en la red. Y tomando en cuenta que el número
mínimo de componentes en el sistema es 1.Tenemos:
NE = 4 + 3 + 0 – 1 = 6
6.9 Modelo De Transporte asociado a la tabla de calor estándar
Al aplicar el modelo de transporte se tiene una figura como la siguiente:
H1
4 H2
6 C1
5 C2
10
503
405
395
393
36
493
395
385
383
353
TH TC
343
303
333
293
1
2
3
4
5
6
b22= 60
b23= 12 b13= 8
b14= 120 b24= 180
a12= 50
a13= 10
a14= 150
a15= 100
a16= 200
a11= 490
a24= 300
0 bH0 520
298 288
Vapor
Agua de enfriamiento
7
8
288 278
b15= 80 b25= 120
b26= 240
b27= 30
b28= 60
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
82
En el intervalo 0, se encuentra el servicio de calentamiento, del intervalo 1 al 8, encontramos
las corrientes de proceso, en último intervalos, se dividió en dos sólo para poder ejemplificar la
ubicación del servicio de enfriamiento, que va de 278 K a 288 K. Se debe recordar no transferir
energía de un intervalo de menor temperatura a uno de mayor.
Al resolver el modelo se obtienen los requerimientos de enfriamiento y calentamiento:
620kW b0H = , 230kW a
8C =
6.10 Tabla de intervalos de temperatura de Jeżowski para estimar el área
requerida para recuperación de calor
En esta sección se sigue la metodología presentada en el capítulo 4. La parte central del
método se desarrolla a continuación, que consiste en crear la tabla de calor modificada con
los pasos que plantea Jeżowski. Es importante recalcar que la tabla inicial debe ser hecha con
un HRAT =1 K.
a) Calcular el tamaño de los TI’s( Intervalos de Temperatura)
A partir de los intervalos hechos en la sección tabla de intervalos de temperatura, se
obtiene la información:
Figura 6.4 Intervalos de temperatura caso de estudio 2
Seleccionamos el ∆Tmin = 6
H1
4 H2
6 C1
5 C2
10
494
405
395
384
354
493
404
394
383
353
TH TC
343
294
342
293
89
10
11
30
11
49
∆T
288 287
6
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
83
Tenemos:
dTmedio= Max[3∆Tmin,10], entonces:
dTmedio= Max[18,10]=18
Cada intervalo mayor a dTmedio, se divide en Nad intervalos, de acuerdo con:
Nad= ceil [∆T/dTmedio]
Tomando en cuenta los intervalos tenemos:
∆T ∆T>15 Nad
89 Si Ceil(89/18)=5
10 No Ceil(10/18)=1
11 No Ceil(11/18)=1
30 Si Ceil(30/18)=2
11 No Ceil(11/18)=1
49 Si Ceil(49/18)=3
6 No Ceil(6/18)=1
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
84
b) Con el nuevo numero de intervalos, crear una nueva tabla de intervalos de
temperatura.
Se pasa de 6 intervalos, sin contar la división hecha para ejemplificar el agua de enfriamiento,
a 14 intervalos.
Resultados
Al resolver el modelo de áreas, sin dejar de lado las restricciones del modelo de transporte, se
obtiene un área de 335.16 m2, sin realizar el último paso de modificar el área, realizando
arreglos, uniendo cargas o cambiando algunas.
Figura 6.5 Tabla de intervalos de calor modificada caso de estudio 2
Intervalo H1
4 H2
6 C1
5 C2
10
494
476.2
458.4
440.6
422.8
493
475.2
457.4
439.6
421.8
TH TC
405
395
404
394
1
2
3
4
5
6
384 383
369 368
354 353
7
8
9
10
11 343 342
326.6 325.6 12
310.3 309.3
13
294 293
14
288 287
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
85
6.11 Método de distribución de cargas térmicas para minimizar área.
La metodología usada es la que se planteó en el capítulo 5, para este caso de estudio, se
evaluaron valores de β de 25% a 5%, de 5 en 5 por ciento.
Tabla 6.7 Resultados para diferentes β caso de estudio 2
β # int. De
temperatura # variables # restricciones
Área
Total(m2)
25% 12 142 34 288.02
20% 17 263 47 275.58
15% 19 363 55 272.37
10% 28 726 79 271.08
5% 52 2400 146 272.63
Tabla 6.8 Comparación del método de distribución de cargas con resultados de la
literatura caso de estudio 2
No. Autor(es) Área
(m2)
1 Tabla de calor estándar 1603.41
2 Modelo de Jeżowski 335.16
3 Yee & Grossmann 263.6
4 Townsend & Linnhoff 295.7
5 Colberg & Morari 258.8
6 Método de distribución de cargas β=25% 288.02
7 Método de distribución de cargas β
=20% 275.58
8 Método de distribución de cargas β
=15% 272.37
9 Método de distribución de cargas β
=10% 271.08
10 Método de distribución de cargas β =5% 272.63
D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2
86
Figura 6.6 Comparación de áreas obtenidas por diferentes métodos.
Se observa que desde el uso de una β=25%, se logra un resultado menor al de la
fórmula de Bath, y se supera el resultado que arroja la tabla de calor estándar, aquí se
comprueba la mala distribución que posee la tabla de calor, tiene una distribución
especial, pues en algunos intervalos se concentra la carga, lo que produce áreas muy
grandes, y una distribución ineficiente. Con las diferentes pruebas realizadas con β, se
observa que existe una tendencia que al principio decrece, y en un valor de β=10%, se
forma un mínimo local, para después incrementar el valor, y la tendencia crece. Este
comportamiento es debido en gran medida a la diferencia que existe de coeficientes de
transferencia de calor entre las corrientes.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Método
Áre
a(m
2 )
D.M. QUINTAS CAPITULO 7 CONCLUSIONES
87
Capítulo 7
Conclusiones
Analizaremos nuestros resultados y los compararemos con los que otros autores
(citadas en las referencias) han obtenido, discutiremos cual será la mejor opción,
tomando en cuenta rapidez de solución, variables en el modelo, dificultad del mismo,
cantidad de pasos empleados, exactitud y que tanto se alejan unos resultados de otros.
7.1 Metas de energía
La metodología del punto de pliegue da un acercamiento al desarrollo de redes de
intercambio de calor óptimas. Gracias a esta se conoce los requerimientos mínimos de
energía, para calentamiento y enfriamiento, de acuerdo a los resultados del capítulo 1,
para el ejemplo desarrollado en dicho capítulo, tenemos:
Tabla 7.1 Tabla comparativa de resultados para metas de energía
Meta: Energía Tabla de intervalos de
temperatura
Modelo de
transporte
Colber &
Morari
qhu (kW) 400 400 400
qcu (kW) 1075 1075 1075
Al tener un HRAT fijo, los requerimientos no deben variar, sea cual sea el método
usado, la tabla de intervalos de temperatura se desglosa y surge de manera más sencilla,
debido a esto presenta una ventaja sobre el modelo de transporte. Sin embargo, con el
modelo de transporte enriquecemos la información, al denotar los apareamientos
prohibidos, así como obtener los valores de las cargas que se activan al resolver el modelo
(ver capítulo 1 sección 2.3.2).
D.M. QUINTAS CAPITULO 7 CONCLUSIONES
88
7.2 Metas de área
Minimizar el área, nos implica una disminución del capital de inversión, por tanto es
importante saber que diseño nos daría un área mínima, entonces fijamos un target (meta),
que nos indique hasta cuanto es posible reducir nuestra variable. A continuación se
resumen los resultados obtenidos en los capítulos 3,4 y 5, donde se utilizaron modelos
lineales, que minimizan el área, todos con diferente metodología.
Primero realizaremos una comparación de nuestros resultados contra los de otros
autores, para ver que tan buenos fueron nuestros cálculos.
Tabla 7.2 Resultados con Fórmula de Bath caso de estudio 1
Solución propia Jeżowski (Fórmula de Bath)
A(m2) A(m2)
2896.27 2896
Nuestra aproximación es buena, el error se debe al redondeo, que se utiliza en las
temperaturas y que se transfiere a las áreas de intercambio. La fórmula de Bath es una de
las aproximaciones más utilizadas, debido a su excelente exactitud, en casos en que los
coeficientes de película de las corrientes calientes y frías son todos iguales, además que
solo se requiere información de la tabla de calor, que se despliega en las curvas
compuestas y la gran curva compuesta.
Tabla 7.3 Resultados utilizando modelo de Jeżowski caso de estudio 1
Solución propia Modelo de Jeżowski Modelo de Jeżowski
usando tabla de calor.
A(m2) A(m2) A(m2)
3089.87 2925 3346.68
Al reproducir los resultados de Jeżowski, no logramos la meta que ellos reportan, sin
embargo nuestra aproximación oscila dentro de los límites que son correctos, pues ellos a
partir de este resultado (3089.87), unen apareamientos, que son adyacentes y que
comparten alguna corriente, como se explicó en el capítulo 4, sección 4.3. Nuestro
resultado está 5.6% por arriba del reportado por Jeżowski, el cual antes de realizar los
ajustes para mejorar el diseño, se encuentra entre 10 a 15% arriba. Como extra, se resolvió
D.M. QUINTAS CAPITULO 7 CONCLUSIONES
89
el modelo de Jeżowski, utilizando la tabla original de intervalos de temperatura, con lo
cual, el área sube con respecto a la solución que utiliza la tabla de calor modificada, esto
equivale a 8.3%, y con respecto al resultado de Jeżowski, aumenta 14.41%. Por esta razón
es necesario modificar la tabla de intervalos de temperatura, cambiándola a ∆Tmin =1 K,
pues así las cargas tienen más libertad de “moverse”, además de que los dt’s son más
grandes, por lo que el área disminuye. Para el caso de estudio 2, se tiene un resultado por
debajo del obtenido por Jeżowski.
Tabla 7.4 Comparación del modelo de distribución de cargas caso de estudio 1
Solución
propia
Modelo de
Jeżowski
Colberg &
Morari
Yee &
Grossmann
Townsend &
Linnhoff
A(m2) A(m2) A(m2) A(m2) A(m2)
2953.53 2925 2896 2898.9 2896
Tabla 7.5 Comparación del modelo de distribución de cargas caso de estudio 2
Solución
propia
Modelo de
Jeżowski
Colberg &
Morari
Yee &
Grossmann
Townsend &
Linnhoff
A(m2) A(m2) A(m2) A(m2) A(m2)
271.08 260.6 258.8 263.6 295.7
El método de distribución de cargas, representa una forma sencilla de resolver problemas
de metas de área para redes de recuperación de calor, entre las ventajas que lo
caracterizan están:
� La metodología a seguir es realmente sencilla, surge de forma secuencial.
� No requiere de pasos extra para mejorar el área.
� Resultados de área precisas, para los coeficientes de calor constantes, resultados
con variación menor al 1%.
Algunas de las desventajas que se encontraron:
� Mayor número de intervalos de temperatura.
� Al tener más intervalos, el tiempo de ejecución es mayor.
� Para coeficientes de calor variables los resultados no son muy precisos, sin
embargo el porcentaje de variación es menor al 5%.
D.M. QUINTAS CAPITULO 7 CONCLUSIONES
90
Este método es una buena herramienta para obtener metas de área, tomando en cuenta
los diferentes métodos existentes en la literatura, es un método sencillo, no requiere más
que información extraída de la tabla de calor, no requiere curvas compuestas. Además
que el resultado se da de forma directa sin necesidad de acomodar cargas para lograr
una mejor aproximación.
D.M. QUINTAS REFERENCIAS
91
Referencias Bibliográficas
Biegler, L.T., Grossmann, I.E. & Westerberg, A.W. (1997), Systematic Methods of Chemical Process
Design, Prentice Hall PTR.
Douglas, J. M. (1988), Conceptual Design of Chemical Processes, Mc Graw-Hill.
Edgar, T.F. & Himmelblau, D.M. (1989), Optimization of Chemical Processes, Mc Graw-Hill.
Smith, Robin. (1995 ), Chemical process Design. McGraw-Hill. Jeżowski J., Shetna H. & Castillo F. (2003), Area Target for Heat Exchanger Networks Using Linear
Programming.
Colberg &Morari (1989), Area and Capital Cost Targets for Heat Exchanger Network Synthesis with constrained matches and unequal heat transfer coefficients.
Yee, Grossmann & Kravanja (1990), Simultaneous optimization models for heat integration, area and
energy targeting and modeling of multi-stream exchangers.
Serna M. & Jiménez A. (2004), An Area algorithm for the synthesis of heat exchanger networks.
Linnhoff & Flower (1978), Synthesis of Heat Exchanger Networks. Puijaner L. , (2006), Estrategias de modelado, simulación y optimización de procesos químicos,
Editorial Síntesis.
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