MIN-220 Simulacin
Semana 2Elementos de Probabilidades y Estadstica
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de Chile
Profesor: Vctor Encina [email protected]
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileHoy: Probabilidades
Eventos Aleatorios Espacio Muestral Concepto de Probabilidad Estimacin de probabilidad
Mtodo Clsico (Laplace) Mtodo Emprico Juicio Experto
Propiedades Aditiva Multiplicativa
Probabilidad Condicional Ejercicios
MIN-220 Simulacin 2
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEventos Aleatorios
DefinicionesEVENTO ALEATORIO es cualquier operacin, sea real oficticia, que entrega uno o ms resultados distinguibles yconocidos
EVENTO ALEATORIO es cualquier situacin que puedarepresentarse como una lista de resultados posibles
Si la lista de resultados posibles es finita,hablaremos de Evento Aleatorio Discreto
3MIN-220 SimulacinMIN-220 Simulacin
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de Chile
4MIN-220 SimulacinMIN-220 Simulacin
Distinciones entre eventos aleatorios1. Conjunto de resultados posibles
2. Estimacin disponible de cun posible es obtenercada uno de esos resultados
Dos eventos aleatorios no son distinguibles sitienen la misma lista de resultados posibles y cadaresultado de una lista tiene la misma factibilidad deocurrencia que en la otra lista.
Eventos Aleatorios
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEspacio Muestral
5
El conjunto de resultados posibles se denomina ESPACIO MUESTRAL A mayor cantidad de resultados posibles mayor falta
de informacin (o azar) Si la cantidad de resultados posibles es finita, diremos
que tenemos un ESPACIO MUESTRAL DISCRETO
El ESPACIO MUESTRAL se puede representar como un conjunto
y aplicar toda la formalidad matemtica de la Teora de Conjuntos para demostrar propiedades y realizar clculos
MIN-220 Simulacin
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEspacio Muestral
6
Un mismo Evento Aleatorio Puede dar lugar a muchos espacios muestrales,
algunos discretos y otros no
La definicin de Espacio Muestral depende del observador del evento, porque generalmente se refiere slo a algn tipo de resultados
Ejemplo: evento lanzar un dado EM1: {1,2,3,4,5,6} referido a nmero en la cara
superior cuando deja de rodar EM2: {1,0} referido a si el dado cay dentro o fuera
de la mesa (en que 1=dentro y 0=fuera)
MIN-220 Simulacin
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileProbabilidad
7MIN-220 Simulacin
Concepto
PROBABILIDAD es un valor numrico positivo, entre0 y 1 que representa la posibilidad de ocurrencia dealgn resultado particular del espacio muestral
Mientras ms pequeo el nmero, menor es la factibilidadde obtener ese resultado en una realizacin del evento. El 0indica que el resultado es casi imposible
Mientras ms grande el nmero, mayor es la factibilidad deobtener ese resultado en una realizacin del evento. El 1indica que es casi imposible que NO ocurra
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEstimacin de Probabilidad
8MIN-220 Simulacin
El valor de probabilidad es una estimacin
tambin la hace el observador, por algn anlisis lgicoo por fundamento emprico-histrico
Hay 3 formas de estimar la probabilidad de un resultado:Estimacin Clsica, o regla de Laplace: cociente entrecasos favorables sobre los posibles.
Estimacin emprica: Corresponde a lo que enESTADSTICA, se denomina FRECUENCIA RELATIVA
Estimacin por Juicio Experto: cuantificacin obtenida porel slo juicio subjetivo de un observador determinado
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEstimacin Clsica
9MIN-220 Simulacin
o regla de Laplace: Se calcula como la fraccinde casos favorables sobre casos posibles.
Cuidado! esta definicin tcitamente asume que todos loscasos tienen la misma probabilidad (1/n), adems, es muydependiente de la definicin de casos posibles y favorablesque haga el observador
Ejemplo: Probabilidad de obtener al menos un selloen el evento: lanzar 2 veces una moneda
EM clsico: {0 sello, 1 sello, 2 sellos} P(1 sello) = 2/3EM exhaustivo: {ss, sc, cs, cc} P(1 sello) =
La definicin del EM del primer caso es correcta, pero elerror est en considerar que son equiprobables ( hay 2casos en que se puede obtener 1 sello
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEstimacin Emprica
10MIN-220 Simulacin
de la Estadstica: es la cantidad de veces en que se haobtenido cada resultado sobre el total de realizacionesobservadas del evento.
Cuidado! esta definicin tcitamente asume que lo que ha ocurridohistricamente, habr de seguir ocurriendo sabemos que no siemprees as.
Se puede demostrar que esta estimacin es ms precisamientras mayor sea la cantidad de realizaciones observadas
Si en n realizaciones un resultado ocurre k veces se tiene que laprobabilidad del resultado ser k/nSi observamos una realizacin ms, tendremos que la probabilidad delmismo resultado puede ser k/n+1 o k+1/n+1, es decir la nuevafrecuencia difiere de la anterior, a lo ms, en 1/n+1
A medida que n crece, 1/n+1 se hace cada vez ms pequeo y portanto la estimacin converge a un valor lmite (Teorema de losgrandes nmeros)
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEstimacin por Juicio Experto
11MIN-220 Simulacin
simplemente: es la cantidad que un experto establecesubjetivamente segn su parecer y conocimiento delevento.
Cuidado! esta definicin deja la estimacin en manos de un expertosin embargo la responsabilidad de la estimacin sigue siendo delobservador. l es quin elige y confa en el experto
El ejemplo tpico es el evento jugar una partida de tenis Objetivamente, los resultados posibles son que gane A o que gane B Un observador no familiarizado con el ranking ATP dir que laprobabilidad de A=B=1/2 Un observador experto que sabe que A es 12 en el mundo y B es342, seguramente dir que la probabilidad de A >> que la de B
Nada impide que en esta realizacin gane B, lo que el expertodice, es que esa realizacin es menos probable que unarealizacin en que gane ATiene razn?
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChilePropiedades
12MIN-220 Simulacin
SIGNO
Probabilidad P1 P2 P3 P4
Asumamos que la probabilidad de ocurrencia de cada signo, es proporcional al ngulo del sector circular en que est ubicado.
Queda claro que P( ) > que P( )
Adaptacin de Probabilidades Doctas por: Pierre-Paul Romagnoli
P1+P2+P3+P4=1
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de Chile
13MIN-220 Simulacin
Propiedad AditivaSIGNO
Probabilidad P1 P2 P3 P4
SIGNO
Probabilidad P1+P3 P2+P4
El nuevo sector arriba se compone de los antiguos sectores y . Y el de abajo por y
P(arriba) = P( ) + P( )P(abajo) = P( ) + P( )P(arriba)+P(abajo)=1
Adaptacin de Probabilidades Doctas por: Pierre-Paul Romagnoli
P1+P2+P3+P4=1
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de Chile
14MIN-220 Simulacin
Propiedad Multiplicativade sucesos independientes
Probabilidad de obtener resultado k del evento 2 y el resultado j del evento 1
P(k^j)=P(j) x P(k)
Adaptacin de Probabilidades Doctas por: Pierre-Paul Romagnoli
P1P3P2 P4
Q1 Q2 S1 S2 S3 T1 T2 T3Q3 R1 R2
EVENTO 1(j =4 Resultados)
EVENTO 2(k Resultadospor cadaresultado j )
P( )=P2 x R2
T1+T2+T3=1
P1+P2+P3+P4=1
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileVisto como torta
15MIN-220 Simulacin
Aun cuando a veces en la realidad, no es posible invertir el orden en los eventos,
para efectos de clculo, la probabilidad de ocurrencia conjunta de sucesos independientes es conmutativa
P(k^j)=P(j) x P(k)=P(k)xP(j)
Cada porcin es la fraccin producto P( )x P( )
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileConcepto de
Probabilidad Condicional
16MIN-220 Simulacin
P1+P2+P3+P4=1
Probabilidad Condicional: Es la probabilidad de una realizacin dado que ya ocurri otra
(Se escribe P(A B) y se lee probabilidad de A dado B)
Probabilidad Condicional: Es equivalente a reducir el EM a los resultados que no han ocurrido, entonces:
P( i )= P( i ) / (P1+P3+P4) = P( i ) / (1- P2 ) As:
P1 / (1-P2) + P3 / (1-P2) + P4/ / (1-P2) = 1
SIGNO
Probabilidad P1 P2 P3 P4
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEjercicio 1
Un cura visita a una pareja que tiene 2 hijos
Al entrar la madre pide a un nio que est en la sala que salude al cura y se retire para poder conversar cosas de adultos
Cul es la probabilidad de que el otro hijo sea varn?
CASO 1: Si no sabe nada ms
CASO 2: Se sabe que el nio de la sala es el mayor
17MIN-220 Simulacin
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEjercicio 1
Un cura visita a una pareja que tiene 2 hijos Al entrar la madre pide a un nio varn que est en la sala
que salude al cura y se retire para poder conversar cosas de adultos
Cul es la probabilidad de que el otro hijo sea varn?CASO 1: Si no sabe nada msCASO 2: Se sabe que el nio de la sala es el mayor
Razonamiento:Caso 1: EM exhaustivo: vv, vm, mv, mm
Se descarta mm, por lo tanto P=1/3
Caso 2: Dado que el mayor es v, EM queda slo con: vv, vmSlo hay 2 posibilidades, por tanto P= 1/2
18MIN-220 Simulacin
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEjercicio 2
Se tiene 3 tarjetas en un cajn:
Una tiene ambas caras color rojo
Otra tiene ambas caras color blanco
Otra tiene una cara de cada color
Se saca una y se coloca en la mesa.
La cara visible es roja
Cul es la probabilidad de que la cara oculta tambin sea roja?
19MIN-220 Simulacin
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de Chile
Carta
Probabilidad Carta
Color RR RB BR BB RR RB BR BB RR RB BR BB
Probabilidad Color 1 0 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 1
1/3 1/3 1/3
Carta 1 Carta 2 Carta 3
Ejercicio 2
20MIN-220 Simulacin
Dado que la cara visible es Roja,
DESCARTADO
EM reducido (condicional) : RR y RB,P(RR) = P(RR)/((P(RR)+P(RB)) = 1 / (1+1/2) = 2/3
Carta
Probabilidad Carta
Color RR RB BR BB RR RB BR BB RR RB BR BB
Probabilidad Color 1 0 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 1
Probabilidad Conjunta 1/3 0 0 0 0 1/6 1/6 0 0 0 0 1/3
Carta 1
1/3
Carta 2
1/3
Carta 3
1/3
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileProblema del falso +
21MIN-220 Simulacin
Una monja se hace un test de embarazo y sale +Se sabe que el test da: Falso positivo en el 0,1% de los casos Y falso negativo en el 0,01% de los casosEn medicina un falso negativo es peor que un falso+
Cul es la probabilidad de que la monja est embarazada?
ConsidereEvento 1: Estar o no embarazada (si con probabilidad p y
no con probabilidad (1-p)y Evento 2: El Test dio resultado falso o no.Despus defina un valor p con criterio experto y calcule.
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileBibliografa
22MIN-220 Simulacin
Probabilidades Doctas con Discos, rboles, Bolitas y Urnas Pier Paul Romagnoli Universidad Andrs BelloFONDEF D051-10211
Coleccin Herramientas para la formacin de profesores de matemticas
ISBN: 978-956-306-071-3EDITOR: JC Saez febrero 2011
MIN-102 Industria Minera
Semana 2Elementos de Probabilidades y Estadstica
Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de Chile
Profesor: Vctor Encina [email protected]
Top Related