Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas Físicos
ProfesoraAnna Patete, Dr. M.Sc. Ing.
Departamento de Sistemas de ControlDepartamento de Sistemas de Control. Escuela de Ingeniería de Sistemas.
Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.
C l ó i @ lCorreo electrónico: [email protected]ágina web: http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/apatete/
1Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas Físicos1) Programa del curso
2) Bibliografía
3) Plan de evaluación del curso3) Plan de evaluación del curso
4) Reglas en el curso
5) Delegado del curso
6) Horas de consulta
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Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas Físicos1) ¿Por qué es importante estudiar Modelado de Sistemas Físicos?
2) ¿Cuáles son los objetivos de este curso?
3) ¿Qué conocimientos debo haber obtenido una vez aprobado este curso?3) ¿Qué conocimientos debo haber obtenido una vez aprobado este curso?
4) ¿De qué me servirá este curso en las materias futuras y en general?
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Sistemas Mecánicos
• Segunda Ley de Newton
∑ = maF ∑ = ατ J
)(tθk b
)(tτ
( ) ( ) ( ) ( )mx t bx t kx t u t+ + = ( ) ( ) ( ) ( )J t b t k t tθ θ θ τ+ + =
4Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sistemas Eléctricos
• Leyes de corriente y voltaje de Kirchoff
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )LCv t RCv t v t v t+ + =
5Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Sistemas Hidráulicos)(tqi
)(1 tq )(2 tq1R 2R1h 2h
1A 1A
hh − 2h
Calculo de las velocidades de los flujos
1
211 R
hhq −=
2
22 R
q =
Calculo del cambio en el nivel de liquido
1
11
Aqq
dtdh i −=
2
212
Aqq
dtdh −
=
6Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )iA A R R q t A R A R A R q t q t q t+ + + + =
Sistemas Térmicos• Los sistemas térmicos son aquellos donde existe un intercambio de calor entre sustancias
• Estos sistemas se analizan en términos de resistencias y capacitancias
• La transferencia de calor por lo general es por conducción o convecciónLa transferencia de calor por lo general es por conducción o convección
Tkq Δ= Flujo de calor=kq
Coeficiente
kR 1= =
=Δ=
RT
k Coeficiente
Diferencia de temperatura
Resistencia térmicak
cmC = ==
mC Capacitancia
Masa de la sustancia
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=c Calor específico de la masa
Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesPéndulo invertido sobre dos ruedas utilizando la
plataforma Lego Mindstorms NXT®, Héctor Sánchez (Noviembre, 2009)
Ing. Héctor Sánchezg
Pé d l i tid
8Universidad de Los Andes
Prof. Iñaki Aguirre Prof. Anna Patete Péndulo invertido
Prof. Anna Patete
Algunas AplicacionesAlgunas Aplicaciones
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Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesUsando Ecuaciones de Lagrangeg g
θθθFLagLag
dtd
=∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
LagLagd ∂⎟⎞
⎜⎛ ∂
φφφFLagLag
dtd
=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
Se tiene:
,)cos()](2)2[(
cossin)(sin)((222
222
φ
φφφφθ
φ
φ
MLRJMLJRMm
RgMLMLRuJML
m −+++
−++=
.)cos()](2)2[(
]2)2[(sin)sin)(cos(222
22
φ
φφφφφ
φ
φ
MLRJMLJRMm
JRMmMgLMLRuMLR
m
m
−+++
++++−=
10Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesModelo no Lineal de 4to Orden en Variables de Estado
l bl d d
φ=1xSean las variables de estado:
φ=2x θ=3x θ=4x
Representación de primer orden:
21 xx =2( cos )( sin )M LR x u M LRx x+1 2 1
12
2 22 1
2
( cos )( sin ) sin[(2 ) 2 ]
( cos )( )
m
M LR x u M LRx x M gL xm M R Jx
M LR xM L J φ
+− +
+ +=
+ − 2( )[(2 ) 2 ]m
Jm M R Jφ + +
43 xx =2 2 2( )( i ) ( ) iML J MLR ML R+ +
11Universidad de Los Andes
2 2 21 2 1 1
4 2 2 21
( )( sin ) ( ) sin cos[(2 ) 2 ]( ) ( cos )m
ML J u MLR x x ML Rg x xx
m M R J ML J MLR xφ
φ
+ + −=
+ + + −Prof. Anna Patete
Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesObtención del Modelo de 2do Orden
Desacoplando el sistema se tiene que: .34 xx =
De la representación de primer orden se obtiene:
cossin)()(sin)cos(2)2( 112
22
12 xxRgMLxxMLRxxMLRJRMmu +⎥⎤
⎢⎡
++= .)(sin2)2( 22142φφ JML
xxMLRxJML
JRMmu m ++−
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ +
−++=
Sustituyendo u en la expresión que define a 2x
.sincos2
142
12
xMgLxxMLRx +−
=
12Universidad de Los Andes
.2422φφ JML
xJML
x+
++
Prof. Anna Patete
Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesTomando la variable , que representa la aceleración de las ruedas, como la dinámica4xde control del péndulo invertido y denotando a esta variable como la nueva señal de control
, se tiene que:
sincos 11 xMgLxMLR−
v
.21
21
2φφ JML
gvJML
x+
++
=
El i d 2d dEl nuevo sistema de 2do orden es:
21 xx =
2 1 12 2sin cos .MgL MLRx x x vML J ML Jφ φ
= −+ +ML J ML Jφ φ+ +
13Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
VideoVideo
Péndulo invertido sobre dos ruedas utilizando laplataforma Lego Mindstorms NXT®, Héctor Sánchez (Noviembre, 2009)
14Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesCapsubot construido por
Jormany Quintero (Noviembre, 2009)J y Q ( , )
Ing. Jormany Quintero Capsubotg J y Q Capsubot
P f Iñ ki A i P f A P t t Diagrama del Capsubot
15Universidad de Los Andes
Prof. Iñaki Aguirre Prof. Anna Patete
Prof. Anna Patete
Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesModelado usando Leyes de Newton
111xmF =∑ 222 xmF =∑
Relaciones
1 1 1( )u sign x N m xμ− =
22xmu=− 122 xxx −=Movimiento relativo
uxm −=22
ugmmxsignxm =++ )()( 21111 μ ugmmxsignxm =++ )()( 21111 μuxxm −=+ )( 212
ugmmxsignxm =++ )()( 21111 μ
Modelo del Sistema
16Universidad de Los Andes
ugmmxsignxm ++ )()( 21111 μummgmmmxsignxmm )()()( 212121221 +−=+− μ
Prof. Anna Patete
VideoVideo
Capsubot construido por J Q (N b 2009)
Capsubot construido por Jormany Quintero (Noviembre, 2009)
Capsubot co st u o po Jessica Barrera (2010)
17Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesPrototipo SIR (Spring Inchworm Robot),
Andreina Zambrano (Julio, 2011), Juan Carlos Rivas (Octubre, 2012)(J , ), J ( , )
Ing. Andreina ZambranoIng. Juan Carlos Rivas
g
P f Iñ ki A i P f A P t t Prototipo SIR
18Universidad de Los Andes
Prof. Iñaki Aguirre Prof. Anna Patete
Prof. Anna Patete
Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesModelado usando Leyes de Newton
Doble péndulo con un resorte
19Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
p
Algunas AplicacionesAlgunas Aplicaciones
P i t d l i i tPrimera etapa del movimiento
20Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Diagrama de la primera etapa del movimiento
Algunas AplicacionesAlgunas Aplicaciones
Para el apéndice traseroPara el apéndice trasero
Donde:o de
Sustituyendo
Sabiendo que:
21Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Algunas AplicacionesAlgunas Aplicaciones
Para el apéndice delanteroPara el apéndice delantero
Donde:
Sustituyendo
Sabiendo que:
22Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesHaciendo el cambio
Podemos representar la primera etapa del movimiento en variables de estado como se muestra a continuación:
23Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
VideoVideo
Prototipo SIR (Spring Inchworm Robot), Andreina Zambrano (Julio, 2011)
Prototipo SIR (Spring Inchworm Robot), Juan Carlos Rivas (Octubre, 2012)
24Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesDiseño, construcción y control de un exoesqueleto orientado a la rehabilitación del dedo índice de la mano (en desarrollo)( )
Br Fannia Pacheco Prof Mariela Cerrada Movimiento del dedo índiceBr. Fannia Pacheco Prof. Mariela Cerrada Movimiento del dedo índice
25Universidad de Los AndesPrototipo Diseñado
Prof. Anna PateteDiagrama para el modelado
Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesModelado usando Leyes de Newton
1 1 1( ) [ ( )] ( ) ( )J q t m g l Cos q t bq t u t= − − +
l d l dDiagrama para el modelado
26Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas FísicosAl finalizar el curso el estudiante:
Debería estar en la capacidad de modelar todos los sistemas físicos mostrados y mas.
Debe ser capaz de entenderlos y analizarlosDebe ser capaz de entenderlos y analizarlos.
Debe ser capaz de integrar la física del sistema con la matemática que lo representa.
Saber que dispone un banco de conocimientos y herramientas que puede usar en unfuturo para resolver problemas de ingeniería y de la vida diaria.
27Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas Físicos
Referencias del material usado para estas diapositivas:
• Material de las diapositivas de la Prof. Mariela Cerrada. Departamento deControl Facultad de Ingeniería Universidad de Los Andes MéridaControl, Facultad de Ingeniería, Universidad de Los Andes, Mérida,Venezuela, 2012.
• Proyectos de Grado desarrollados en el Departamento de Sistemas dey pControl, Facultad de Ingeniería, Universidad de Los Andes, Mérida,Venezuela.
28Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
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