8/18/2019 Monografia de Fisica I - MOVIMIENTO MECANICO
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CINEMATICA
1. MOVIMIENTO MECANICO
La más sencilla forma de movimiento de la materia es el movimiento
mecánico, que consiste en el desla!amiento de los cueros o de susartes unos resecto a otros.
"ic#o movimiento transcurre tanto en el esacio, como en el tiemo
$esacio % tiemo son dos formas inte&rales de e'istencia de la
materia(
El con)unto de cueros que destacamos ara la o*servaci+n lo
denominamos sistema mecánico
El sistema de referencia, está formado or un con)unto de cueros
inm+viles unos con relaci+n a otros, resecto de los que se e'amina el
movimiento % or un relo) que re&istra el tiemo.
El movimiento de un mismo cuero con relaci+n a diferentes sistemas
de referencia uede tener distinto carácter.
Como e)emlo ima&inmonos que un tren acelera, suon&amos que
or el asillo de uno de los va&ones en marc#a #a% un asa)ero a
velocidad constante, en dic#o caso el movimiento del asa)ero
resecto del va&+n será uniforme, mientras que en lo que resecta a
la Tierra este será acelerado.
La descrici+n del movimiento de un cuero si&ni-ca indicar ara
cada momento de tiemo, la osici+n en el esacio % la velocidad del
cuero.
Con el -n de re-)ar el estado de un sistema mecánico, #a% que
indicar las osiciones % las velocidades de todos los cueros que lo
forman. El ro*lema tico de la mecánica, consiste en que
conociendo el estado del sistema en cierto momento de tiemo inicial
to, as como las le%es que &o*iernan el movimiento, determinar el
estado del sistema en los si&uientes momentos de tiemo t.
Al mismo tiemo de-nimos al unto material al cuero cu%as
dimensiones es osi*le desreciar de acurdo con las condiciones del
ro*lema lanteado. En el ro*lema odemos considerar o no el
cuero concreto que e'aminamos como unto material, % esto a su
ve! no deende de las dimensiones del cuero, sino del
lanteamiento del ro*lema. /n mismo cuero en muc#os casos
uede ser considerado unto material, mientras que en otros de*ee'aminarse como cuero e'tendido.
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Cuando se #a*la de un cuero como unto material, este
reviamente se #a a*strado de sus dimensiones. 0osteriormente
odemos deducir la se&unda a*stracci+n con la que troe!amos en
mecánica La del cuero r&ido. En la naturale!a no e'isten cueros
que sean indeforma*les, or lo tanto llamamos cuero r&ido a uncuero en el cual sus dimensiones ueden ser desreciadas en las
condiciones del ro*lema dado.
Es osi*le descomoner todo movimiento de un s+lido en dos formas
de movimiento el de rotaci+n % el de traslaci+n.
Llamamos traslaci+n a un movimiento que &ira alrededor de una
referencia $unto(.
El movimiento de rotaci+n se de-ne como el &iro de un cuero *a)o su
mismo e)e de rotaci+n que uede estar situado dentro o fuera delcuero.
0ara o*tener la osi*ilidad de descri*ir el movimiento de forma
cuantitativa, es necesario li&ar con los cueros que forman el sistema
de referencia ciertos sistemas de coordenadas. Entonces la osici+n
del unto material uede de-nirse re-)ando tres n2meros ', %, ! que
serán las coordenadas cartesianas de dic#o unto.
3. VECTO4E5
Los vectores son ma&nitudes caracteri!ados or valoresnumricos con direcci+n % sentido, as tam*in or el #ec#o que
se suman $comonen( or la re&la de aralelo&ramo./na de-nici+n más ri&urosa es la de llamar vector a un con)unto
de tres ma&nitudes, que se transforman al &irar los e)es de
coordenadas se&2n determinadas le%es.El valor numrico del vector es denominado modulo, en otras
ala*ras el modulo nos indica la lon&itud del vector, dic#o
modulo es un escalar siemre ositivo.La 6ec#a nos indica el sentido del vector.0ara de-nir su m+dulo utili!amos
|a| Es el modulo del vector a→
Los vectores diri&idos a lo lar&o de rectas aralelas $en un
mismo sentido o sentido ouesto( reci*en el nom*re de
colineales.Los vectores que %acen en lanes aralelos son llamados
colanarios.7. 5/MA 8 5/5T4ACION "E VECTO4E59. 04O8ECCION "EL VECTO4
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3
1 7
3
1
"E50LA:AMIENTO
T4A8ECTO4IA
Es ro%ecci+n del vector a en el e)e l. la ro%ecci+n se desi&na
con la misma letra que el vector, a;adiendo un ndice que
indica la direcci+n so*re la que se ro%ecta el vector.La ro%ecci+n del vector es una ma&nitud al&e*raica.5i el vector % la direcci+n forman un án&ulo a&udocosα >0
La ro%ecci+n será ositiva.5i el án&ulo es o*tusocosα
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d'
v
r
%
'
rGdr
5i en transcurso de i&uales intervalos de tiemo, la artcula asa i&uales
recorridos el movimiento de la artcula reci*e el nom*re de uniforme.
En este caso la velocidad se calcula dividiendo el recorrido s or el tiemo t .
v=s
t
La velocidad instantánea es la derivada del radio vector de la artcula
resecto del tiemo.
v=dx
dt
El desla!amiento d' coincide con un elemento in-nitesimal de la
tra%ectoria .0or consi&uiente, el vector v está diri&ido or la tan&ente de latra%ectoria.
La velocidad media, si tomamos los intervalos Ht cada ve! más eque;os, el
cociente∆ r
∆t nos ofrecerá en el lmite el valor de la velocidad v en el
momento de tiemo t.
v=limt →0
∆ r
∆ t =
dx
dt
5i tomamos los se&mentos del recorrido Hr, corresondiente a intervalos de
tiemo Ht en constante disminuci+n, la diferencia entre Hs % ⌈ ∆ r⌉
decrecerá %, en el lmite, su ra!+n será i&ual a la unidad.
limt →0
∆ s
∣ ∆ r ∣=1
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"e este modo el m+dulo de la velocidad es i&ual a la derivada del recorrido
resecto al tiemo.
Con el movimiento uniforme el m+dulo de la velocidad queda invaria*le
$vconstante(, mientras el sentido del vector v varia al a!ar $en articular
uede ser constante(.
El desla!amiento elemental de una artcula es i&ual a
dx=v.dt
El vector velocidad, como cualquier otro vector, uede ser reresentado
como
v=vx+vy+vz
5e desrende que
vx= x vy= yvz= z
0or consi&uiente, la ro%ecci+n del vector velocidad en el e)e de
coordenadas es i&ual a la derivada resecto del tiemo de la coordenada
corresondiente de la artcula de un movimiento. Tomando en
consideraci+n, o*teneos la si&uiente forma
v=√ x2+ y2+ z2
El vector velocidad uede ser reresentado en la forma v=vev , donde v es elm+dulo de la velocidad, ev , el versor del vector v. Introdu!camos el versorde la tan&ente de la tra%ectoria r , onindonos de acuerdo que está diri&ido
en el mismo sentido que v .Es evidente que los versores ev % r coincidirán ,or lo que odemos escri*ir la si&uiente e'resi+n
v=¿v ev=¿vr
"e las formulas anteriores o*tenemos
vr=ℜr
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Está diri&ida a lo lar&o del radio vector r% caracteri!a la raide! de variaci+n
de modulo r. La se&unda comonente, que desi&naremosvΨ , es i&ual a
vΨ =ℜr
Caracteri!a la raide! de variaci+n del radio vector or la direcci+n,
odemos escri*ir
er=dΨ
dt eΨ =Ψ e Ψ
"onde J es el án&ulo entre el radio vector % el e)e ', eΨ un versor
erendicular al radio vector diri&ido #acia el sentido de crecimiento del
án&ulo J.
vΨ =rΨeΨ
Kemos introducido las desi&naciones devΨ %
eΨ ara remarcar que la
comonentevΨ % el versor que le corresonde, están li&ados con la
variaci+n del án&ulo J.
Está claro que los vectores vr % vΨ son erendiculares entre s, or lo
tanto
v=√ vr2+vΨ
2=√ r
2+r
2
Ψ
2
CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN
La rotaci+n de un cuero a un án&ulo ϕ uede ser re-)ado en forma
de un se&mento, cu%a lon&itud es i&ual a dic#o án&ulo ϕ, coincidiendo
as la direcci+n del se&mento con el e)e alrededor del cual ocurre la
rotaci+n. 0ara e'licar #acia qu lado se reali!a la rotaci+n alrededordel e)e re-)ado. La direcci+n de rotaci+n % el se&mento que la
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reresenta se relaciona or medio de la regla del sacacorchos la
direcci+n del se&mento de*e ser tal, que al mirar a lo lar&o de ste
$veamos -&. >.1( veamos la rotaci+n en sentido #orario $&irando el
man&o del sacacorc#os en sentido #orario rovocaremos un
desla!amiento ale)ándose del lector(. Como fue mostrado en elunto 3, los &iros a án&ulos -nitos no se suman se&2n la re&la del
aralelo&ramo, or lo que se uede a-rmar que no son vectores. Al
&irar a án&ulos mu% eque;os ϕ, el ro*lema es comletamente
diferente. El recorrido que reali!a cualquier unto del cuero durante
un &iro mu% eque;o uede lle&ar a ser considerado rectilneo $vase
-&. >.3(.
0or esa ra!+n, dos eque;os
&iros Δ φ
1 % Δ φ
2 que se
reali!an sucesivamente condicionan, como se uede ver en el di*u)o,
un desla!amiento i&ual∆ r
3=∆ r
1+∆ r
2 de cualquier unto del
cuero, lo mismo sucede con la rotaci+n ∆ φ3 se o*tiene de la suma
de ∆ φ
1 %∆ φ
2 se&2n la re&la del aralelo&ramo. Aqu se entiende
que rotaciones mu% eque;as se ueden considerar como vectores,
los cuales desi&naremos con Δφ o dφ . El sentido del vector de
rotaci+n se relaciona con la direcci+n de rotaci+n del cuero.
0or tanto se entiende que dϕ no es un vector real, sino que es un
seudovector.
Fig.5.1 Fig. 5.2
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.>
r
4
v
O
.7
O.9
O
s
L
La ma&nitud vectorialω= lim
∆ t →0
∆ φ
∆ t =
dφ
dt
• "onde t es el tiemo durante el que efect2a la rotaci+n Δ
Esta ma&nitud vectorial reci*e el nom*re de velocidad angular del
cuero, en ocasiones se denomina lineal la velocidad estudiada en la
arte 7. La velocidad an&ular ω, que es un seudovector, está diri&ida
a lo lar&o del e)e, alrededor del cual &ira el cuero, en el sentido que
determina la re&la del sacacorc#os $vase -&. >.7(. El m+dulo de la
velocidad an&ular es i&ual adφ
dt .
Llamamos uniforme la rotaci+n a velocidad an&ular constante. 5i la
rotaci+n es uniforme,ω=❑
t , donde ϕ es el án&ulo -nito de rotaci+n
durante el tiemo t $ v=s
t (. "e este modo, la rotaci+n uniforme ω
nos muestra a qu án&ulo &ira el cuero or la unidad de tiemo.
La rotaci+n uniforme uede ser caracteri!ada or el erodo de
rotaci+n T, or el que se entiende el tiemo que el cuero tarda aradar una vuelta, es decir, &ira en un án&ulo de 3π. Como el intervalo
de tiemo tT le corresonde el án&ulo de rotaci+n ϕ 3π,
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"onde
• ω=
2 π
T • T =
2 π
ω
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• El n2mero de revoluciones or unidad de tiemo v es i&ual a
• v=
1
T =
ω
2 π
• "e esta ecuaci+n se desrende que la velocidad an&ular es
i&ual a 3π multilicada or el n2mero de revoluciones or
unidad de tiemo
• ω=2πv
• Los concetos de erodo de rotaci+n % n2mero de revoluciones
or unidad de tiemo ueden ser tam*in conservados ara la
rotaci+n variada, entendiendo or valor instantáneo de T el
tiemo durante el cual el cuero da una vuelta, si el cuero
&irara uniformemente con el valor dado de la velocidad an&ular
instantánea % sa*iendo que v es el n2mero de revoluciones or
unidad de tiemo que reali!a el cuero en condiciones
seme)antes.
• El vector ω uede cam*iar tanto or la variaci+n de la velocidad
de rotaci+n alrededor del e)e, en seme)ante caso variará en
ma&nitud, como a cuenta del &iro del e)e de rotaci+n en el
esacio aqu ω cam*iará de sentido. 5ea que durante el tiemot, el vector ω reci*e un incremento ω. La variaci+n del vector
de la velocidad an&ular con resecto al tiemo se caracteri!a
or la ma&nitud llamada aceleración angular .
• β= lim
∆ t →0
∆ ω
∆ d=
dω
dt
• Al i&ual que la velocidad an&ula, la aceleraci+n an&ular es un
seudovector.
• 0untos aislados de un cuero en rotaci+n tienen diferentes
velocidades lineales v . La velocidad de cada uno de estos
untos cam*ia ermanentemente de direcci+n. La ma&nitud de
la velocidad v se determina or la velocidad de rotaci+n ω del
cuero % la distancia R del e)e de rotaci+n al unto considerado.
5i suonemos que en un eque;o intervalo de tiemo, el cual
#a &irado al án&ulo ϕ $vase -&. >.9(. El unto que
encontramos a la distancia R del e)e, asa un recorrido
∆ s= R ∆ φ . La velocidad lineal del unto
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• v= lim
∆ t →0
∆ s
∆ t = lim
∆t →0
R ∆ φ
∆ t = R lim
∆t →0
∆ φ
∆ t = R
dφ
dt = Rω
• Es decir,
• v= Rω
• La f+rmula anterior relaciona el m+dulo de la velocidad lineal %
la velocidad an&ular. Kallamos una e'resi+n que relacione los
vectores v % . La osici+n del unto que #emos considerado sedeterminara or el radio vector r , tra!ado desde el ori&en de
coordenadas O, que se encuentra en el e)e de rotaci+n $veamos
-&. >.>(. La -&ura nos muestra que la direcci+n del roducto
vectorial $ωr( coincide con el vector v % tiene un m+dulo i&ual aωr sin α =ωR . 0or tanto
• v= (ωr )
• El m+dulo de la aceleraci+n normal de los untos de un cuero
en rotaci+n es i&ual #a |W n|=v2
R . 4eemla!ando el valor de v ,
o*tenemos
• |W n|=ω
2 R
• 5i introducimos el vector R, erendicular al e)e de rotaci+n,
tra!ado al unto dad del cuero $vase -&. >.>(, damos forma
vectorial a esta relaci+n
• W n=−ω
2 R
• 5e uede o*servar un si&no menos, esto es de*ido a que los
vectoresW n % R tienen sentido ouesto.
• 5uon&amos que el e)e de rotaci+n del cuero no &ira en el
esacio. "e acuerdo con |W τ |=|v| , el m+dulo de la
aceleraci+n tan&encial será i&ual a
|
dv
dt
|. /samos el valor de
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la velocidad % teniendo en cuenta que la distancia del unto del
cuero que se consider+ al e)e de rotaci+n R=cte , odemos
escri*ir
• |W τ |=| lim∆ t →0∆ v∆ t |=| lim∆ t →0
∆(ωR )∆ t |=|limR∆ t →0
∆ ω∆ t |= R| lim∆ t →0
∆ ω∆ t |= Rβ
• "onde β es el m+dulo de la aceleraci+n an&ular. 0or lo tanto.
Los m+dulos de la aceleraci+n tan&encial % an&ular están
relacionados mediante la correlaci+n
• |W τ |= βR
• "e este modo, las aceleraciones normal % tan&encial crecen
linealmente al aumentar la distancia desde el unto #asta el e)e
de rotaci+n.
•
•
•
•