TemaVI:Ondas
1
2TemaVI:Ondas Introduccin
QU ESUNAONDA?
Propagacindeunaperturbacinovibracin
Porqu sonimportanteslasondas?
AparecenentodoslosdominiosdelaFsica:1.Ondastrmicas2.Ondassonoras3.Ondaselectromagnticas4.Etc.
EnIngenieraElectrnica:1.Ondasdecorriente/voltaje:Osciloscopio,lneadetransmisin1.Transmisoresdeinformacin:Radio,telefona,etc.
3TemaVI:Ondas Introduccin
TIPOSDEONDAS
Extensindelmediodepropagacin
Direccindelosdesplazamientos
Esfricas
Planas
Transversalesylongitudinales
Vientres
Crestas
Progresivasoviajeras Ondasestacionarias
Geometradelfrentedeondas
4TemaVI:Ondas Introduccin
VELOCIDADESENELMOVIMIENTOONDULATORIO
Velocidaddepartcula: velocidaddelmovimientooscilatoriodelaspartculasdelmedioentornoasusposicionesdeequilibrio
Velocidaddeondaodefase: velocidadconlaquelosfrentesdeondaprogresanatravsdelmedio
Lavelocidaddegrupo: conceptodegrupodeondas.Lavelocidaddefasesueleserunafuncindelafrecuencia(mediodispersivo).Lapropagacindelgrupovienedescritaporlavelocidaddegrupo:velocidadconlaquesepropagalaenergadelgrupodeondas.*
*Seminariosobregruposdeondasyvelocidaddegrupo
5TemaVI:Ondas Laecuacindeonda
Segmentodiferencialdecuerdadelongitudds dx,desplazadobajolaaccindeunaondatransversal.
ECUACINDEONDA
Lacuerdavibrante:ecuacindeonda1D
3D
2yx2 =
1
c22yt2 c =
T
2x2 +
2y2 +
2z2 =
1
c22t2
EmisorpuntualMediohomogneo
eistropo
EmisorpuntualMediohomogneo
eistropo
2 r( )r2 =
1
c22 r( )t2
Dimensionesdevelocidad:
velocidaddefase
OndasplanasOndasplanas2 ( )x2 =
1
c22 ( )t2
6TemaVI:Ondas Solucionesdelaecuacindeonda
2yx2 =
1
c22yt2
f(ctx)essolucin Solucingeneral:f(ctx)+g(ct+x)f y g dependendelafuenteydelmedio;
notienenporqueserarmnicas,nisiquieraperidicasg(ct+x)essolucin
f(ctx):sit fmantienesuformasidesplazamoslavistaendireccinpositiva delejex alavelocidadc
g(ct+x):sit gmantienesuformasidesplazamoslavistaendireccinnegativa delejex alavelocidadc
f(ctx):perturbacinquesepropagahaciaxcrecientes
f(ctx):perturbacinquesepropagahaciaxcrecientes
Interpretacindelasolucingeneral:superposicin
f(ctx)+g(ct+x)|t=0 t1 >0 t2 >t1 t3 >t2
f(ct3x)g(ct3+x)
7TemaVI:Ondas Solucionesdelaecuacindeonda
ONDASARMNICAS
f y g funcionesarmnicas SeriesdeFourier justificaneleccin
y = asen t ( ) = asen2 ct x( )
y = Aei tkx( )
a
y
: longituddeonda
Notacincompleja
= 2ck = 2
y
yt =c
yx
velocidaddepartcula
= arsen tkr( )Ondasesfricas
Cuerdacomoosciladorforzado,impulsadaenunextremomedianteunafuerzavertical
y = Aei tkx( )
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TemaVI:Ondas Impedancia
IMPEDANCIADEUNACUERDA
Cualquiermedioatravsdelquesepropaganondassecomportacomounosciladorforzado,presentandounadeterminadaimpedanciahaciaesasondas*
= Fuerza transversalZvelocidad transversal
F0eit =Tsen
x=0 T tan
x=0=T yx
x=0
= ikTAeitBalancedefuerzasenelextremo:
ValordeValorde
yt
Impedanciacaractersticadelacuerdavibrante
Z = Tc= c
*Seminariosobreimpedanciademediosmateriales
9TemaVI:Ondas Energa,potenciaeintensidad
CUERDAVIBRANTE
OsciladorarmnicodemximaamplitudA E = 122A2
Promediodeladensidaddeenerga
Puestoquelaondaviajaconvelocidadc P = Ec = 122A2c = 1
2Z2A2
Potenciapromedio
DependenciaconA2 esgeneral
ONDASEN3D
I = PS
Intensidad
I = P04r2
ONDASAMORTIGUADAS
y = Aexei tkx( )
Ee2x
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TemaVI:Ondas Reflexinytransmisindeondas
REFLEXINYTRANSMISINDEAMPLITUD
T
T
yi= A
1ei tk1x( )
yr=B
1ei t+k1x( ) y
t= A
2ei tk2x( )
CmoobtenemosB1yA2 enfuncindeA1?
Condicionesdecontorno
1. Continuidaddeldesplazamiento enladiscontinuidadentodomomento
yix = 0( )+ yr x = 0( ) = yt x = 0( )
2. Continuidaddelapendientedeldesplazamiento,oloqueeslomismocontinuidaddelafuerzatransversal, enladiscontinuidadentodomomento
Tx yi + yr( )
x=0=T x yt( )
x=0
Mismafrecuenciaenambosmedios
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TemaVI:Ondas Reflexinytransmisindeondas
APARTIRDELASCONDICIONESDECONTORNOSEOBTIENE
RA= B1A1
= Z1 Z2Z1+ Z
2
Coeficientedereflexindeamplitudes
TA= A2A1
= 2Z1Z1+ Z
2
Coeficientedetransmisindeamplitudes
RA yTA dependennicamentedelasimpedanciasdelosmedios(independientesdelafrecuencia)
CASOSPARTICULARES
Z2 (x =0esunpuntofijo) RA =1;TA =0
Z2 =0(x =0esunextremolibre) RA =1;TA =2 Tx yi + yr( )
x=0= 0
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TemaVI:Ondas Reflexinytransmisindeondas
REFLEXINYTRANSMISINDEPOTENCIA
RP=Coeficientedereflexindepotencia=(Potenciareflejada)/(Potenciaincidente)
Rp= Z1B1
2
Z1A12= B1
A1
2
=RA2 = Z1 Z2
Z1+ Z
2
2
Recordemos: P = 12Z2A2
TP=Coeficientedetransmisindepotencia=(Potenciatransmitida)/(Potenciaincidente)
TA= Z2A2
2
Z1A12= 4Z1Z2
Z1+ Z
2( )2RP +TP =1
Z1 =Z2 Nosereflejaenerga(impedanciasacopladas).Seproponelarealizacindeunseminariosobretransferenciadeenerga:acoplamientodeimpedancias.
Frecuenciaspermitidas(normalesopropias):
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TemaVI:Ondas Ondasestacionarias
Mediodedimensionesfinitas y = aei tkx( ) +bei t+kx( )P.ej.cuerdadelongitudL,firmementesujetaenambosextremos
y x = 0( ) = 0y x = L( ) = 0 n = c
n
= nc2L
C.Contor
noa =b (reflexincompletaconcambiodefasede)
L= nn2
n=1(primerarmnicoofundamental)
n=2(segundoarmnico)
n=3(tercerarmnico)
n=4(cuartoarmnico)
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TemaVI:Ondas
Volvamosa: n = cn
= nc2L
Cmoseexplicanlosnodos?
y = aei tkx( ) +bei t+kx( )
Condicionesdecontorno
yn= A
ncos
nt+B
nsen
nt( )sennx
c
nx = rL NODO r =0,n extremos;n 1nodosinteriores
Ondasestacionarias
Solucincompleta
y = yn
n
= An cosnt+Bn sennt( )sennxcn
Gasideal
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TemaVI:Ondas Ondassonorasengases
ConsideremosunelementodevolumendegasqueapresinP0ocupaunvolumenV0 ytieneunadensidad0
Elementodevolumendegas,deseccinunidadyespesorx,desplazadoyexpandidobajolainfluenciadeunadiferenciadepresin
Lasondassonorasperturbaneseestadodeequilibrio:P0 P =P0 +p; pm representaelmximodepV0 V =V0 +v; =v/V00 =0 +d; s =d/0
Ondassonorasordinarias: ys 103 s ;pm =2 105 Nm2 ( =1000Hz)
Elasticidaddeungasmdulodecompresibilidad:B.Ondasonoratpica cambiosadiabticos:Ba =P.
Ba=V dP
dV= p
ps
2x2 =
1
c22t2
Aplicandola2 leydeNewtonalelementodevolumendegas
c2 =Ba0
c2 =RT M
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TemaVI:Ondas Ondassonorasengases
SolucinEq.Ondas
(a) (b)
Relacionesdefaseentreeldesplazamientodeunelementodevolumen,,suvelocidad,elexcesodepresin,p,yloscambiosrelativosdedensidad,s,
ydevolumen,.(a)y(b)representanrespectivamenteondasquesepropaganenelsentidopositivoynegativodelejeOX.Enamboscasosel
desplazamientosetomaenelsentidopositivodelejeOX.
ENERGAEINTENSIDADEpot= E
cin= 120V02 E
pot= E
cin= 140V02
m2
I = 140c2
m2 = 1
2Z2
m2
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TemaVI:Ondas Ondaslongitudinalesenslidos
VARILLASDELGADAS:tratamientoanlogoaldelasondassonorasengasessustituyendoelmdulodecompresibilidadporeldeYoung,Y.
2x2 =
1
c22t2 c
2 =Y 0
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TemaVI:Ondas
Tablatomadade:H.J.Pain The Physics ofVibrations andWaves Wiley 2005
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