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Mecnica de Fluidos I Pgina 1
MOVIMIENTO PLANO DE FLUIDOSLa mayora de problemas sobre conduccin de agua en tuberas y canales se
resuelven con la hiptesis de flujo unidimensional. Pero tambin hay un grupo
importante de problemas en los que se hace imprescindible considerar el flujo en
dos dimensiones (flujo plano), asumiendo que la descripcin del flujo en planos
paralelos es idntica a la estudiada.
Se hace el anlisis del flujo en un plano, es decir movimiento plano es aquel que es
idntico en todos los planos perpendiculares a una direccin, llamado direccin de
identidad.
Parecera que solamente el lquido ideal (sin viscosidad y por ello irrotacional)
puede ser objeto de estudio en lo que se refiere a movimiento plano, pero no es as.
Como regla general, se puede producir un flujo casi irrotacional en lquidos reales
si el efecto de la viscosidad en el movimiento es de poca importancia.
Un caso singular lo constituye el movimiento del agua en un medio poroso, como
es el subsuelo o una presa de tierra, pues dicho movimiento se produce con
predominio de la viscosidad (flujo laminar) pero resulta casi irrotacional. Esto
hace que el estudio del flujo plano alcance tambin a este importante caso del flujo.
LA FUNCIN DE CORRIENTE ().Se puede suponer un lquido incomprensible en movimiento bidimensional,
permanente, que se desarrolla en planos perpendiculares al eje z direccinidentidad), de modo que su estudio puede hacerse en el plano x y; se puede
considerar luego una familia de L.C. (lneas de corriente), las que no cambiarn con
el tiempo por tratarse de un movimiento permanente.
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f(x,y,z)
Familia de lneas de corriente
Definicin:
La funcin corriente es una funcin escalar que define a una familia de lneas de
corriente. Esta funcin tiene un valor constante diferente para cada lnea de
corriente.
, . x y Cte
Las lneas de corriente sirven para la representacin grfica de los flujos llamados
bidimensionales, que pueden representarse fcilmente en un plano porque la
velocidad no tiene componente normal al plano del dibujo, y la configuracin de
corriente en todos los planos paralelos al del dibujo es idntica.
Por cada punto de la corriente pasa una lnea de corriente. Por tanto si se trazaran
todas las lneas de corriente no se distinguira ninguna y se trazaran demasiadas el
dibujo sera confuso. Por eso se trazan solo unas cuantas; pero de manera que
entre cada dos lneas consecutivas circula el mismo caudal, .
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Mecnica de Fluidos I Pgina 3
En el punto P sobre una lnea de corriente, los tres vectores i ndicados en la figurason normales entre s, de modo que se cumple:
V k
i jx y
0 0 1
i j k
Vx y az
( )
V i j ay x
Pero: ( ) x yV V i V i b
En coordenadascartesianas:
Comparando (a) y (b)
x
y
Vy
Vx
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Componentes de V en coordenadas cartesianas, relacionada con la FuncinCorriente.En coordenadaspolares:
| |
r
1V
r
Vr
Componentes de V en coordenadas polares, relacionada con la Funcin
Corriente.
Campo de flujo bidimensional y permanente:
La figura muestra un campo de flujo bidimensional y permanente. La primera lnea
de corriente por el origen o, tambin incluimos las lneas de corriente MM y NNseparadas entre s una distancia dn.
.
, .
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Mecnica de Fluidos I Pgina 5
Denominamos al gasto entre lneas de corriente desde o a MM, el gasto entreMM y NN se denominand. Por lo tanto el gasto entre o y NN es+ d.Para analizar este hecho se utiliza un volumen de control triangular de
catetos dx y dy e hipotenusa dn, donde el gasto que ingresa debe ser igual al que
sale:
+ El diferencial total de gasto
des:
+ Por comparacin podemos determinar:
+ +
Donde, esta ltima expresin es denominada Funcin de Corriente.
De la ecuacin analtica de las lneas de corriente para un flujo plano:
yxVV
dx dy
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Desarrollando: 0 x y x yV dy V dx V dy V dx
Sustituyendo:
x
y
Vy
Vx
en la expresin anterior, resulta:
0
dy dx ay x
0d ,
Integrando, resulta:
. Cte
Lo que confirma que la funcin corriente tiene un valor constante diferentepara cada lnea de corriente.
Adems sabemos que V y son ortogonales es decir:
Siendo:
x yV V i V j y i j x y
Donde se conoce que: xVy
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yVx
Luego:y xV i V j
Adems si son ortogonales 0 V y V
x y y xV V i V j V i V j
x y y xV V V V V
0 V
Conclusiones:
1) Conocido uno de las funciones vectoriales, se puede encontrar la otra funcinvectorial ortogonal.
2) El mdulo de V , es igual al mdulo del gradiente de V (a)
22 2 2 2 2
x y y x x yV V V y V V V V
3) El mdulo del gradiente de , es igual a la derivada de , segn la direccinnormal a las lneas de corriente Cte
n
(b)
V Vn
Si n es un vector unitario en la direccin normal a las lneas de corriente, por
definicin de derivada direccional se tiene que:
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Mecnica de Fluidos I Pgina 8
n
n
Pero toda vez que y n son paralelos n
V
n
4) De modo que:
.
El gasto que pasa entre dos lneas de corriente (l.c) y + d por unidad deancho perpendicular al papel.
2
2 11q
Demostracin:
Consideremos dos lneas de corriente 1 2y separadas una distancia nnormal a las dos lneas de corriente 1 2, y segn Fig.
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Mecnica de Fluidos I Pgina 9
Determinamos el gasto q que atraviesa la seccin identidad de dimensiones1; dA n es decir el gasto que pasa entre dos lneas de corriente 1 2y
separados una distancia n
Entindase como gasto o caudal el volumen que atraviesa a la seccin identidad,
normal a ella, en la unidad a tiempo, matemticamente expresado como:
/ q t
d
dqdt
En un intervalo dt el volumen de fluido que atraviesa el elemento de superficiedA seccin identidad es:
d dAds
Pero:
d dsdA
dt dt
dq VdA
A
q v dA q V A
El gasto es igual a la velocidad media (V ) por el rea (A).
Para el caso en estudio:
A
q v dn
.. )Adems si el flujo es incompresible y permanente V = Cte.
nq V dn q Vn
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Adems sabemos que: Vn
Luego v n ; apliquemos diferenciales normales d Vdn e integrando:
2
1
n
vdn ..( )
De () y ( ), resulta:2
1 q
LA FUNCIN POTENCIAL. ( ) Introduccin: El estudio del flujo plano es posible solo si se cumple que el campo
de velocidades es un campo potencial, es decir un campo en el que existe una
funcin escalar ( ) , llamada funcin potencia tal que:
V
Se puede mostrar con facilidad que , es decir que si el
campo de velocidades es potencial, es irrotacional, lo cual justifica que se pueda
decir indistintamente campo potencial o campo irrotacional.
2 1 q
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Mecnica de Fluidos I Pgina 11
Concepto:
Es una funcin escalar que define a una familia de lneas equipotenciales. Esta
funcin tiene un valor constante diferente para cada lnea equipotencial.
Familia de lneas equipotenciales
x,y Cte
Por definicin de campo potencial de velocidades, se sabe:
.........(1) V
Dnde: V = Campo potencial de velocidades
= Funcin potencial de velocidades
Desarrollando (1):
V i jx y
.................( )
V i j a
x y
Pero ......................( ) x yV V i V i b
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En coordenadas cartesianas:
Comparando (a) y (b):
x
y
Vx
Vy
En coordenadas polares:
1
r
y
V r
Vr
Componentes de V en coordenadas polares, relacionada con la FuncinPotencial.Ecuacin Analtica de las lneas equipotenciales
: Es otro vector del vector V , pero que define la direccin de la lneaequipotencial " " , tangente a " "
Componente de la velocidad en coordenadas
cartesianas, relacionada con la Funcin Potencial.
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Mecnica de Fluidos I Pgina 13
De la ecuacin analtica de las lneas de corriente tenemos:
(1) yxVV
dx dy
Como y son lneas ortogonales, la ecuacin analtica de las lneas
equipotenciales se obtiene sustituyendo en (1)
x y
y x
V V
V V
como se aprecia en la
figura anterior, luego;
2
y xV V
dx dy
La expresin (2), constituye la ecuacin analtica de las lneas equipotenciales.
Desarrollando (2):
0........ 3 x y x yV dx V dy V dx V dy
Sustituyendo: 3
x y
V y V enx y
0
dx dy
x y
0
dx dy x y
0d
Integrando: cte
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Lo cual confirma que la funcin potencial tiene un valor constante diferente paracada lnea equipotencial.
Conclusiones
El mdulo de V es igual al mdulo del gradiente de " " , puesto que V ,entonces:
...........(1) V
El mdulo del gradiente de " " es la derivada de " " segn la normal a laslneas equipotenciales Cte .
...........(2)'
n
Pero de (1): V
Luego: .............(3)'
V
n
'V
n
'n = separacin entre dos lneas equipotenciales normales a y .
La velocidad esinversamente proporcional a la separacin de los equipotenciales.
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ECUACIONES DE CAUCHY RIEMANN.Del desarrollo anterior se desprende que las funciones " " " "y no son
independientes sino que estn relacionadas entre s a travs de las siguientes
expresiones, conocidas como ecuaciones de Cauchy RiemannEn coordenadas cartesianas.
x
y
Vy
Vx
(1)
Componentes de la velocidad en coordenadas cartesianas, relacionada con la
Funcin Corriente.
x
y
Vx
Vy
(2)
Componente de la velocidad en coordenadas cartesianas, relacionada con laFuncin Potencial.
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En coordenadas Polares
Comparando (1) y (2)
x
y
Vy x
Vx y
Ecuaciones de Cauchy Riemann en coordenadas cartesianasEn coordenadas Polares
(3)
Componentes deV en coordenadas polares, relacionada con la Funcin
Corriente.
Componentes de V en coordenadas polares, relacionada con la Funcin
Potencial.
Comparando (3) y (4):
Ecuaciones de Cauchy Riemann en coordenadas polares.
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RED DE CORRIENTE
Concepto:
Es una representacin diagramtico de las lneas de corriente y equipotenciales del
escurrimiento, por lo tanto es una malla formada por la funcin de corriente
Cte y la funcin potencial Cte . Esta malla resulta ser cuadrada.
Sabemos que:
'
V y V
n n
Igualandoambasexpresiones:'n n
Tomemosderivadasordinarias:'
d d
dn dn
Si tomamos: ,d d resulta que 'dn dn , lo que significa que las lneas
corrientes y las equipotenciales, adems de ser ortogonales formaran una malla
de cuadrados.
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En conclusin, el estudio del flujo plano en un cierto contorno, se refiere a la
obtencin de la red de corriente para ese contorno y a partir de la red de corriente,
que es nica en cada contorno, deducir la distribucin de velocidades o la
distribucin de presiones en las zonas de inters.
Por lo expuesto, la red de corriente es un espectro de lneas ortogonales. En una
red de flujo todas las reas limitadas por un par de lneas de corriente y un par de
lneas equipotenciales, son homlogas, por ejemplo, tienen la misma relacin de
anchura a longitud. Lo anterior implica que la red de flujo es un conjunto de
rectngulos; en la prctica, y por comodidad y conveniencia, se trazan lneas de
corriente y equipotenciales formando redes de cuadrados, debindose interpretar
como tales, las figuras que quedan determinadas al cortarse las lneas, de manera
que las longitudes medias sean iguales.
En el diseo de una presa de tierra es indispensable contar con el trazo de la red de
corriente.
EJEMPLOS APLICATIVOS.
PROBLEMAS DE APLICACIN
1. La componente x de la velocidad de un campo de flujo estable eincompresible es 2/x. Hallar la componente de la velocidad y.
() (
)
( )
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+ Gradientede la velocidad:
[ ]
+ Nota: Omitimos las constante para las condiciones iniciales: x=0, y=0, C=0
:
, +
2. Un flujo de dos dimensiones estable cuyo campo de velocidades esta dadpor: A=X (1+2T), V= y encuentre las variacin del tiempo de las lneas de
flujo del cual circulan cuyo punto de referencia es X, Y.SOLUCIN:
u=X (1+2T)
V=y
P (X, Y)
, ( +
)/
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Mecnica de Fluidos I Pgina 20
Reemplazando u y V
+T
Integrando: +T + T log = l o g +
log
=
log+log
log log =
aciendo
RPT:
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Mecnica de Fluidos I Pgina 21
3. Para un flujo en el plano (x,y) la componente y de la velocidades
+.determinarunaposible componente x para un flujo
estable en compresin.
1.- teniendo la componente y de la velocidad:
+.2.- se deriva la velocidad dada:
+ 3.- derivamos con respecto a x, y e igualamos a 0
+
4.-remplazamos la derivada de la velocidad
+ 5.-integramos
+ +
+ +
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Para condiciones iniciales, considerando que el flujo parte del origen
entonces:
x = 0, y =0 por lo tanto c =0
u = + u =
Componente x para unflujo estable en compresin
6.- como ya determinamos una nueva componente, determinamos una
velocidad bidimensional en el plano (x, y) en trminos de vectores
unitarios i,j
, + + 4. Se tiene un fluido cuyas partculas en movimiento estn gobernadas por los
siguientes campos:
Campo escalar de densidades ;4xyzt y el campo vectorial de
velocidades 6x 13y 13z
V i j k t 4t 4t
. Demostrar que cumple la ecuacin
de continuidad.
Solucin
Parael caso general: Flujo Incomprensible impermanente:
0
t
EcuacinDiferencialdecontinuidad
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4xyzt 4xyzt t
4xyz
t
?? V
Dnde: 6x 13y 13z
V i j k t 4t 4t
; y
4xyzt
2 2 2V 24 x yz i 13 xy z j 13 xyz k
2 2 2V 24x yz 13xy z 13xyz x y z
2 2 2x y zV 24yz 13xz 13xy
x y z
V 24yz 2x 13xz 2y 13xy 2z
V 48 xyz 26 xyz 26 xyz
v 4XYZ
4xyz 4xyz 0
V 0t
Verificndose la Ecuacin de Continuidad.
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