UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA
Instituto Universitario de Microelectrónica Aplicada
Sistemas de información y Comunicaciones
t +34 928 451 086
f +34 928 451 083
www.iuma.ulpgc.es
Campus Universitario de Tafira
35017 Las Palmas de Gran Canaria
Máster en
Tecnologías de Telecomunicación
Trabajo Fin de Máster
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostática
Autor: Yiri Danis Valencia Cardona Tutor(es): Dr. José Miguel Monzón Verona Dr. Santiago García-Alonso Montoya Fecha: Diciembre de 2014
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Trabajo Fin de Máster
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostática
HOJA DE FIRMAS
Alumno/a: Yiri Danis Valencia Cardona Fdo.:
Tutor/a: Dr. José Miguel Monzón Verona Fdo.:
Tutor/a: Dr. Santiago García-Alonso Montoya Fdo.:
Fecha: Diciembre de 2014
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Máster en
Tecnologías de Telecomunicación
Trabajo Fin de Máster
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostática
HOJA DE EVALUACIÓN
Calificación:
Presidente <<Nombre del Presidente>> Fdo.:
Secretario <<Nombre del Secretario>> Fdo.:
Vocal <<Nombre del Vocal>> Fdo.:
Fecha: <<Mes y Año>>
Índice general
1. Introducción 1
1.1. Descripción de los objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Objetivos Especí�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Resumen del estado del arte de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Sistemas MEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2. Microcojinetes no magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3. Microcojinetes magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.5. Clasi�cación de los microcojinetes magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.6. Fabricación de microcojinetes Magnéticos Activos y Pasivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Trabajo realizado y descripción de la metodología usada para llevarlo a cabo . . . . 11
2. Principios y limitaciones de las técnicas electromagnéti-cas de suspensión y levitación 13
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Condiciones de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Levitación usando imanes permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1. Propiedades de los imanes permanentes de los materiales magnéticos . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2. Imanes permanentes para la levitación de repulsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Levitación usando imanes superconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1. Propiedades de los superconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2. Principios de levitación superconductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5. Levitación Inducida por corrientes de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.1. Placas Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.2. Levitación de Esferas y Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6. Suspensión usando electroimanes de corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6.1. Principio de la suspensión usando electroimanes DC controlados . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6.2. Naturaleza del problema de control en una suspensión de un solo imán . . . . . . . . . . . 22
3. Diseño y análisis de un microcojinete magnético aplica-do a un micromotor de inducción electrostático 25
3.1. Micromotores electrostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1. Tipos de Micromotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2. Análisis de los esfuerzos tangenciales y normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
i
3.2. Topologías de los microcojinetes magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1. Microcojinetes Axiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2. Microcojinetes Radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3. Microcojinetes Magnéticos Permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. Diseño propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1. Rigidez en los Microcojinetes Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4. Análisis de los microcojinetes magnéticos por el métodode los elementos �nitos 43
4.1. Introducción a los elementos �nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1. Problemas de magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.2. Problemas magnéticos armónicos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.3. Problemas de electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.4. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Diseño de microcojinetes magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.1. Modelo N.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.2. Modelo N.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.3. Modelo N.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.4. Modelo N.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3. Análisis de sensibilidad de magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.1. Grá�cas de la fuerza axial ejercida en función del desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.2. Grá�cas de la fuerza axial ejercida en función del desplazamiento utilizando corriente . . 64
4.3.3. Análisis de sensibilidad de la fuerza axial ejercida en función del desplazamiento utilizando
corriente y empleando el hierro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5. Resultados obtenidos 75
6. Resumen 77
6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2. Líneas futuras de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
ii
Índice de �guras
1.2.1.Corazón arti�cial [23], Bomba pediátrica [22].. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2.Partículas virales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3.Micro robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5.1.Evolución de las placas rectangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.2.Levitación de esferas y cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1.Torque vs velocidad del rotor 200 MΩ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2.Análisis de sensibilidad del par frente a la resistencia rotatoria del rotor. . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3.Análisis de sensibilidad del par frente al gap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.4.Análisis de sensibilidad del par frente al grosor del aislante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.5.Análisis de sensibilidad del par frente al radio externo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.6.Análisis de sensibilidad de la fuerza normal frente a la amplitud de tensión del estator. . . . . . . 33
3.1.7.Análisis de sensibilidad de la fuerza normal frente al gap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.8.Análisis de sensibilidad de la fuerza normal frente al grosor del aislante. . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.9.Análisis de sensibilidad de la fuerza normal frente al radio externo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1.Topologías de los microcojinetes magnéticos permanentes radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2.Topologías de los microcojinetes magnéticos permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1.Diseño N.1 Microcojinete magnético asimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2.Diseño N.1 Vista superior del microcojinete magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3.Diseño N.2 Microcojinete magnético simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.4.Diseño N.2 Vista superior del microcojinete magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.5.Diseño N.2 Vista inferior del microcojinete magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.6.Micromotor eléctrico de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.7.Medidas del micromotor eléctrico de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.8.Sistema de masa-resorte simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1.Dimensiones del diseño propuesto para el modelo N.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.2.Diseño de los microcojinetes magnéticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.3.Geometría con IABC generada por la frontera abierta y mallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.4.Trazado de la densidad de �ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.5.Dimensiones del diseño propuesto para el modelo N.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.6.Diseño de los microcojinetes magnéticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.7.Geometría con IABC generada por la frontera abierta y mallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.8.Trazado de la densidad de �ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.9.Dimensiones del diseño propuesto para el modelo N.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
4.2.10.Diseño microcojinetes magnéticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.11.Geometría con IABC generada por la frontera abierta y mallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.12.Trazado de la densidad de �ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.13.Dimensiones del diseño propuesto para el modelo N.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.14.Diseño microcojinetes magnéticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.15.Geometría con IABC generada por la frontera abierta y mallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.16.Trazado de la densidad de �ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.1.Desplazamiento ascendiente del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.2.Desplazamiento descendiente positivo del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.3.Desplazamiento negativo del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.4.Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.1. . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.5.Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.1. . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.6.Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.2. . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.7.Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.2. . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.8.Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.3. . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.9.Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.3. . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.10.Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.4. . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.11.Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.4. . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.12.Diseño de los microcojinetes magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.13.Geometría con IABC generada por la frontera abierta y mallada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.14.Trazado de la densidad de �ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.15.Relación entre la fuerza y el desplazamiento utilizando hierro, Modelo N.4. . . . . . . . . . . . . 73
4.3.16.Relación entre la fuerza y el desplazamiento utilizando hierro, Modelo N.4. . . . . . . . . . . . . 74
iv
Índice de tablas
1.1. Clasi�cación de las fuerzas magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Programación semanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1. Valores tomados para calcular el par y la fuerza normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Análisis de sensibilidad de la fuerza tangencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3. Análisis de sensibilidad de la fuerza normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1. Valores del método frontera abierta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. Valores del método frontera abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3. Valores del método frontera abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4. Valores del método frontera abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5. Imanes según el modelo diseñado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6. Valores tomados para los imanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7. Rigidez de los microcojinetes magnéticos para el desplazamiento ascendente. . . . . . . . . . . . . 63
4.8. Rigidez de los microcojinetes magnéticos para el desplazamiento descendente positivo. . . . . . . 63
4.9. Rigidez de los microcojinetes magnéticos para el desplazamiento negativo. . . . . . . . . . . . . . 64
4.10. Datos de fabricación de algunas microbobinas 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.11. Datos de fabricación de algunas microbobinas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.12. Número de bobinas para cada super�cie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1. Número de bobinas para cada super�cie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
v
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
vi
Algoritmos
3.1. Código scilab de la fuerza normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Código scilab de la fuerza tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1. Código scilab análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
vii
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
viii
Capítulo 1
Introducción
En este trabajo se diseña y analiza un microcojinete magnético aplicado a un micromotor
de inducción electrostático, con la �nalidad de disminuir el nivel rozamiento, el desgaste de
los microcojinetes y, por consiguiente, las altas temperaturas que toman al funcionar estos
micromotores a tan altas velocidades.
Este diseño es planteado para mejorar las prestaciones del micromotor. Al realizar el estudio
bibliográ�co, no se encontraron referencias de estos modelos aplicados a este tipo de micro-
motores. El presente trabajo está dividido en 6 capítulos, los cuales desarrollan el análisis y el
diseño de los microcojinetes magnéticos.
El capítulo 1 hace una breve descripción del estado del arte de la materia y presenta las
principales aplicaciones y trabajos realizados acerca del tema a tratar; por otra parte se des-
cribe la metodología utilizada para llevar a cabo dicho estudio y el trabajo realizado en el mismo.
El capítulo 2 presenta los principios y limitaciones de las técnicas electromagnéticas de sus-
pensión y levitación actualmente empleadas para llevar a cabo los diferentes trabajos que se
encuentran en la actualidad. Este capítulo además se centra en la utilización de los diferentes
tipos de imanes empleados en la levitación.
En el capítulo 3 se desarrolla un análisis del microcojinete magnético por el método de los
elementos �nitos; aquí se realiza una breve introducción a este método y se elabora el diseño
del microcojinete magnético a estudiar.
Por otra parte, en el capítulo 4 se elabora el diseño y análisis de un microcojinete magnético
aplicado a un micromotor de inducción electrostática. Se estudian las diferentes topologías que
presentan los microcojinetes magnéticos, se expone una pequeña introducción a los micromo-
tores de inducción electrostática y se presenta el diseño propuesto para el trabajo realizado.
1
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
En el capítulo 5 se presentan los resultados obtenidos en el estudio realizado.
En el capítulo 6 se presentan las conclusiones del trabajo y las líneas futuras.
1.1. Descripción de los objetivos
1.1.1. Objetivo General
El objetivo general es aportar conocimiento para el desarrollo de herramientas que puedan
ser utilizadas para el análisis y el diseño de un microcojinete magnético que será aplicado a
las micromáquinas de inducción electrostática, empleando un sistema mixto de micro imanes
permanentes y micro bobinas.
1.1.2. Objetivos Especí�cos
1. Realizar el estudio del estado del arte de la materia.
2. Analizar los principios y limitaciones de técnicas electromagnéticas de suspensión y levi-
tación.
3. Diseñar un microcojinete magnético y aplicarlo a las micromáquinas de inducción elec-
trostática.
4. Emplear el método de los elementos �nitos como técnica de análisis de los microcojinetes
magnéticos.
1.2. Resumen del estado del arte de la materia
1.2.1. Sistemas MEMS
Los Sistemas Micro Electro Mecánicos (MEMS) [27] surgieron gracias a la miniaturización
de los sensores y actuadores, siendo fabricados en grandes volúmenes a bajo costo, mediante
la elaboración de técnicas derivadas de la industria de la microelectrónica, en particular la
tecnología de microfabricación, que ha permitido la creación de maquinaria a pequeña escala
a diferencia de la maquinaria convencional, tal como motores, generadores y turbinas en micro
dispositivos en lo que re�eren a micro máquinas. Las dimensiones físicas críticas de los dispo-
sitivos MEMS pueden variar desde muy por debajo de una micra en el extremo inferior del
espectro de dimensiones, hasta varios milímetros. Asimismo, los tipos de dispositivos de MEMS
pueden variar desde estructuras relativamente simples que no tienen elementos móviles, a los
sistemas electromecánicos extremadamente complejos con múltiples elementos móviles bajo el
control de la microelectrónica integrada. No solo es el rendimiento de los dispositivos MEMS
2
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
lo que los hace excepcionales, sino también su método de producción, el cual aprovecha las
técnicas de fabricación por lotes, las mismas utilizadas en la industria de circuitos integrados,
lo que se traduce en un costo más bajo de producción por cada uno de los dispositivos.
Un dispositivo MEMS consta de los siguientes componentes:
* Micro Sensores
* Micro Electrónica
* Micro Actuadores
La microelectrónica o circuitos integrados creados en el dispositivo pueden ser considerados
como el "cerebro" de los sistemas. El micro-sensor y Micro-actuador pueden de manera signi-
�cativa aumentar la capacidad de toma de decisiones para permitir que el dispositivo MEMS
pueda detectar y controlar el medio ambiente. Los sensores pueden recopilar la información del
entorno a través de medición mecánica, química, térmica, biológica, de fenómenos ópticos y
magnéticos; la electrónica puede procesar la información derivada de los sensores y a través de
una cierta capacidad de toma de decisiones dirigir los actuadores para responder al movimiento,
posicionamiento, de regulación, bombeo y �ltrado, de ese modo, controlar el medio ambiente
durante algún propósito deseado.
1.2.2. Microcojinetes no magnéticos
En este apartado se resumen los principales tipos de microcojines no magnéticos como son
los basados en las microbolas y micro�uidos.
En este artículo [10] se presenta el diseño, fabricación y caracterización de un micromotor
rotativo apoyado sobre rodamientos de microbolas. Esta es la primera demostración de una
micromáquina rotativa con un soporte mecánico robusto que proporciona la tecnología de las
microbolas. El micromotor presenta un fondo de tracción de capacitancia variable de seis fases;
está diseñado y simulado utilizando el método de elementos �nitos (MEF). El estator y el rotor
se fabrican por separado en sustratos de silicio y se ensamblan con las microbolas. Presenta tres
capas de polímero de bajo � k benzociclobuteno, dos capas de oro, y una carcasa de microbolas
de silicio se han fabricado en el estator. Las microbolas y las estructuras sobresalientes están
grabados en el rotor y se recubren con una película de carburo de silicio que reduce la fricción.
Una velocidad angular superior de 517 rpm, que corresponde a la velocidad de la punta lineal de
324 mm/s, se mide a ± 150 - V y 800 Hz de excitación. Esto es 44 veces mayor que la velocidad
previamente demostrada para micromotores lineales apoyados en los cojinetes de microbolas.
Se ha desarrollado un método sin contacto para extraer el par de torsión y el coe�ciente de
cojinete de fricción a través de mediciones de respuesta dinámica. El par se mide indirecta-
3
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
mente a ser -5,62 ± 0,5 μN.m a ± 150 - V de excitación que es comparable con los resultados
de la simulación (MEF). La potencia mecánica de salida máximo en ± 150 V y 517 rpm se
calculó en 307 mW. El micromotor rotatorio desarrollado es una tecnología de plataforma para
microbombas centrífugas usadas para aplicaciones de entrega de combustible y refrigeración.
Este trabajo [12] presenta una revisión completa de la tecnología de soporte de microbolas
en los últimos once años. Se presentan las consideraciones de diseño y los resultados de rendi-
miento de los dispositivos que utilizan este tipo de rodamientos microfabricados.
En este documento [28] se presenta el primer mecanismo de una bola giratoria que lleva
encapsulado. Este utiliza una microfabricación de silicio y bolas de acero inoxidable. El método
de captura de bolas de acero inoxidable en una capa de silicio que sirve para apoyar un rotor
tanto axial como radial. Este se encuentra desarrollado para máquinas y micromaquinas. Ini-
cialmente presentan una velocidad de hasta 6,8 krpm sin lubricación, mientras con lubricación
es posible alcanzar una velocidad de hasta 15,6 krpm.
En [8] se presenta el desarrollo del micromotor de capacidad variable apoyado sobre roda-
mientos de microbolas. El rotor y el estator del micromotor fueron fabricados utilizando un
proceso de 9 niveles de máscara. Con un recubrimiento de carburo de silicio que se empleó
para reducir la fricción de las microbolas de silicio en el rotor. La velocidad angular superior
correspondiente fue de 517 rpm, la velocidad de la punta lineal de 324 mm/s. Este se midió a
150 V y 800 Hz de excitación. Esto es 44 veces más alta que la velocidad medida previamente
para los micromotores lineales apoyados sobre cojinetes de microbolas. El micromotor rotatorio
desarrollado en este estudio es una tecnología de plataforma para microbombas centrífugas con
el �n de ser aplicadas en el suministro de combustible.
En este artículo [9] se desarrolla la medición y el modelado de la fricción en dos micromo-
tores lineales y giratorios apoyados sobre cojinetes de microbolas utilizando la caracterización
de la respuesta transitoria. Para el micromotor lineal se midió la fuerza de fricción de 0,33
mN a la velocidad de 7-10 mm/s y la fuerza normal de 20 mN. Estos resultados permiten la
comprensión de las fuerzas de fricción y su dependencia de las velocidades de operación y de
las cargas normales de rodamiento con microbolas aplicadas a las micromaquinas.
Este artículo [5] analiza el rendimiento de los micro dispositivos giratorios que incorporan
un rodamiento líquido para acoplar un elemento giratorio a un sustrato �jo. Esta tecnología de
cojinetes líquido promete mejorar signi�cativamente la durabilidad y la vida útil de los motores
micro mecánicos. Se presenta un accionamiento magnético de 10 mm de diámetro de rotor de
silicio que se utiliza para caracterizar el motor del cojinete líquido a velocidades de rotación de
4
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
hasta 1800 rpm.
1.2.3. Microcojinetes magnéticos
Un cojinete magnético [27] es cualquier dispositivo basado en efectos magnéticos para lograr
accionamiento mecánico. Lo que lo diferencia de los microcojinetes magnéticos es su tamaño,
ya que estos se limitan a los tamaños típicamente medidos en micrómetros y hasta un máximo
de alrededor de uno o dos mm en tamaño total. Por otra parte la fricción ha sido un factor
limitante para el desarrollo exitoso y el uso de micromaquinas en varias aplicaciones. Uno de
los enfoques para aliviar este problema es utilizar técnicas de suspensión magnéticas como mi-
crocojinetes magnéticos. Los microcojinetes magnéticos son rodamientos donde las fuerzas de
suspensión se generan magnéticamente sin ningún tipo de contacto.
Debido al contacto de baja fricción que presentan, los microcojinetes magnéticos pueden ser
utilizados para lograr altas velocidades de rotación. Además otras ventajas de los microcoji-
netes magnéticos son los costos de mantenimiento tan bajos, la ausencia de la necesidad de
lubricación y una mayor esperanza de vida.
1.2.4. Aplicaciones
En la actualidad los microcojinetes magnéticos [27] presentan aplicaciones en algunos cam-
pos, tanto de la medicina como la telefonía móvil. Algunas aplicaciones de los microcojinetes
magnéticos, son micro giroscopios [20], micro espejos giratorios [27], micromaquinas [29], micro
turbinas [27].
Otras aplicaciones potenciales de estos dispositivos incluyen sensores inerciales, bombas de
micro �uidos, interruptores micro ópticos y herramientas de micro posicionamiento y microciru-
gía. Otras aplicaciones potenciales para tales dispositivos incluyen sistemas de posicionamiento
global (GPS), y medidores de rotor de hilado en miniatura para sistemas de vacío portátiles
para ser utilizado en aplicaciones espaciales.
Una aplicación interesante de los microcojinetes magnéticos es su uso en corazones arti�ciales
[1]. El uso de la suspensión magnética en dispositivos de asistencia ventricular fue iniciado por
el profesor Paul Allaire y el profesor Houston de la Universidad de Virginia, allí se desarrolló el
primer ventrículo, el cual fue suspendido magnéticamente con ayuda de una bomba centrífuga,
ver la �gura 1.2.1. Esta aplicación fue desarrollada en 1999.
5
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 1.2.1: Corazón arti�cial [23], Bomba pediátrica [22]..
Recientemente se ha apuntado a un icono biológico, la placa de Petri [2] de dos dimensiones,
que dio a conocer una nueva técnica para el cultivo de células en 3D. El nuevo proceso utiliza
fuerzas magnéticas para hacer levitar las células mientras se dividen y crecen para formar los
tejidos más parecidos a los que están dentro del cuerpo humano, ver la �gura 1.2.2.
Figura 1.2.2: Partículas virales.
Otra aplicación es el micro-robot volador ver �gura 1.2.3; el microrobot creado se mueve
gracias a la levitación magnética. Este micro-robot puede volar y se trata del primero de estas
características del mundo. Una de sus principales características es que se mueve gracias a la
levitación magnética, de un modo similar a como hacen los trenes maglev. Además, gracias a su
tamaño tiene la particularidad de poder introducirse, literalmente, en cualquier espacio. Esto
lo hace perfecto para realizar funciones muy complicadas hasta el momento, como ensamblar
pequeños dispositivos, manipular materiales potencialmente peligrosos e incluso llevar a cabo
operaciones de microcirugía.
6
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 1.2.3: Micro robot .
1.2.5. Clasi�cación de los microcojinetes magnéticos
Por lo general todos los microcojinetes magnéticos [27] forman parte de una de las seis
categorías ver, cuadro 1.1.
Tabla 1.1: Clasi�cación de las fuerzas magnéticas .
La fuerza magnética puede calcularse de dos formas básicamente diferentes: la primera como
fuerza de Lorentz, que es un producto transversal perpendicular al �ujo magnético y lineal con
la corriente. En este no hay materiales ferromagnéticos. Si los materiales ferromagnéticos están
presentes en el campo, la fuerza se calcula a través de la derivación de la energía del campo, en
este caso, es paralela a la línea de �ujo y perpendicular a la super�cie del material ferromagnético
o también por el tensor de esfuerzos de Maxwell. Estas dos situaciones forman una primera
distinción en dos grupos de actuadores magnéticos en el cuadro 1.1 de la clasi�cación anterior.
Tipo5: Interacción de un conductor en movimiento en un campo magnético. Este estará sujeto
7
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
a la fuerza de Lorentz.
Tipo 6 y 7: Interacción de un conductor y una corriente alterna. Un ejemplo la levitación de
una gota de metal fundido.
Tipo8: Interacción del campo de un imán permanente y un conductor. Este puede ser utilizado
por un microcojinete magnético.
Tipo 1, 2, 3: Esta clase contiene todos los rodamientos con materiales ferromagnéticos. Tanto
aquellos en los que el material es atraído por un electroimán o por un imán permanente.
En esta categoría, tenemos más del 90 por ciento de todos los cojinetes magnéticos; estos
se basan en la fuerza de atracción y por lo general están controlados de forma activa para
la estabilización.
Tipo9: Cojinetes diamagnéticos. Se basan en el efecto diamagnético de los materiales tales
como bismuto o gra�to. El efecto es débil, por lo tanto, las aplicaciones se limitan a
pequeñas masas o a la estabilización de cojinetes pasivos de tipo 3, donde el peso se
compensa con los imanes permanentes.
Tipo 4: Los cojinetes están basados en materiales superconductores. Este tipo se basa esencial-
mente en la relativa permeabilidad de los superconductores, es una especie de fuerza ampli�cada
con un efecto diamagnético.
1.2.6. Fabricación de microcojinetes Magnéticos Activos y Pasivos
A continuación se exponen una serie de artículos relacionados con la fabricación de los mi-
crocojinetes magnéticos activos y pasivos.
En el artículo [11] se ha diseñado un actuador de un microcojinete magnético utilizando
electroimanes. En este diseño, la posición del rotor se controla activamente en las direcciones
radiales y pasivamente en la dirección axial. Lo constituye la red de alimentación y un micro
sensor de posición junto con uno o más sistemas de control proporcional, lo que garantiza que
el rotor se suspenda activamente en las direcciones radiales. El estator circular tiene cuatro
bobinas de control que se intercalan entre las dos placas del extremo del estator. El diámetro
del estator y el rotor son 2,1 y 2,6 mm, respectivamente, mientras que el espesor se �ja en 250
µ. El espacio de aire entre el estator y el rotor se ha �jado en 10 µ. Las placas del estator y
del rotor fueron fabricados utilizando Galvanoplastia Permalloy, mientras que las bobinas de
control usa técnicas convencionales de bobinado.
En [4] se explica como los objetos diamagnéticos son repelidos por campos magnéticos. Si
los campos son lo su�cientemente fuertes, esta repulsión puede equilibrar la gravedad, y los
8
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
objetos que levitan, de esta manera están en equilibrio estable.
El artículo [25] muestra las numerosas aplicaciones prácticas que hoy en día se están en-
contrando en los cojinetes magnéticos activos a pesar que los costes de estos sistemas siguen
siendo altos. Los cojinetes magnéticos pasivos no necesitan sensores ni la utilización de control
electrónico, es por lo cual que estos sistemas podrían abrir nuevos campos de aplicación. Por
otra parte, los cojinetes magnéticos activos tienen pequeños espacios de aire entre el estator
y el rotor, por lo cual no permiten grandes desviaciones del rotor desde la posición nominal.
El cojinete magnético pasivo que se presenta en este artículo utiliza anillos de imán perma-
nente como cojinetes radiales y un sistema electrodinámico como cojinete axial. Este último se
compone de dos matrices Halbach planas y de dos conjuntos de bobinas en corto circuito. El
peso total del rotor está magnéticamente compensado. Para generar la estabilización axial en
el resto del motor se proporciona dos rodamientos mecánicos de contacto hacia abajo. Si una
determinada velocidad de giro moderado se excede entonces se logrará la levitación del rotor
completo.
El artículo [15] explica la tecnología maglev; habla además de las aplicaciones industriales de
los cojinetes magnéticos y todo lo que esto conlleva para reducir el ruido y eliminar la fricción,
también se describen algunas de las recientes aplicaciones de la suspensión electromagnética y
las técnicas empleadas en la levitación de microcojinetes sin contacto.
El artículo [7] explica cómo las interacciones que implican imanes permanentes, las corrien-
tes y los diversos materiales magnéticos siguen siendo muy e�caces e incluso mejoran a medida
que las dimensiones se reducen, además explica como se están resolviendo los problemas de la
tecnológica que ha frenado el desarrollo de microcojinetes magnéticos.
El artículo [29] describe el diseño y fabricación de un microcojinete magnético plano para su
uso en micromáquinas de alta velocidad. El diseño propuesto se basa en la levitación de induc-
ción para proporcionar un apoyo axial y radial lejos del rotor mientras se elimina la fricción de
contacto. Este es totalmente compatible con las técnicas de micro fabricación convencionales
y requiere solo dos etapas de fabricación. El rodamiento se bene�cia de la estabilidad vertical
inherente de levitación repulsiva, pero requiere una cuidadosa elección de los parámetros geo-
métricos para optimizar la estabilidad lateral.
El [24] hace referencia a la reducción de la fricción en un nuevo diseño de motor multi estator.
La parte de salida y la exactitud cinemática de este dispositivo son limitadas por la fricción de
deslizamiento entre el rotor y la parte de super�cie del microcojinete. El microcojinete integra-
do estabiliza el rotor y permite potencialmente la operación en ambientes líquidos mediante el
9
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
sellado de los electrodos del estator.
El artículo [16] presenta un índice de optimización de la tasa de utilización de los materiales
magnéticos para conseguir una duración razonable del bloque magnético.
En [14] se presenta un nuevo diseño para un micromotor rotatorio donde el rotor en forma
de anillo está suspendido electrostáticamente en cinco grados de libertad, esto con el objetivo
de simpli�car la estructura del estator, la detección capacitiva y la actuación electrostática. La
estructura de emparedado de vidrio-silicio-vidrio se utiliza en este micromotor electrostático.
La dinámica del rotor para el movimiento axial, la dirección z y la rotación alrededor de dos
ejes en el plano, se derivó y se disoció en un esfuerzo para lograr la levitación estable del rotor.
En el artículo [26] se presenta el diseño, modelado y la caracterización experimental de una
de las tres fases del micromotor paso a paso rotativo que emplea una suspensión de �exión del
rotor para evitar cualquier contacto de fricción durante el funcionamiento, proporcionando así
un movimiento paso a paso bidireccional preciso, repetible, y �able y sin control de realimenta-
ción. Se fabricó un micromotor monolítico con polos de alta relación entre dimensiones y una
red eléctrica integrada de tres fases en una oblea estándar de silicio de cristal único mediante la
combinación de aislamiento de zanja vertical y con un micro mecanizado mayor. Este prototipo
presenta una caracterización experimental de un diámetro de 1,4 mm.
En el artículo [30] se presenta el diseño de un micromotor de levitación electromagnética.
El micromotor está formado por un contador de pistas circulares que proporcionan la fuerza
de levitación estable y pistas radiales paralelas que producen un giro rotacional en el motor.
Usando una sencilla representación �lamentosa de las diferentes características del diseño del
micromotor, se derivan las expresiones analíticas de la fuerza electromagnética producida por
las características y se utilizan como base para el diseño del micromotor. Se emplea el modelado
de elementos �nitos para analizar la disposición del diseño del micromotor real. Para comprobar
el diseño se construye un prototipo a escala macro.
En el trabajo [18], se presenta el diseño y la realización de un eje de alta velocidad para
procesos micro mecánicos. Este eje está construido para investigar diversos procesos de micro
mecanizado. La principal aplicación es una fresa con herramientas de diámetro muy pequeño.
Las herramientas de micro fresado tienen un diámetro en el intervalo de 0,1 mm. Para mejorar
la precisión de fresado se requieren velocidades de rotación extremadamente altas. El eje pue-
de llegar a tomar velocidades de más de 200.000 rpm. El eje está equipado con dos cojinetes
radiales, un cojinete axial y un motor síncrono de imán permanente. Los rodamientos radiales
consisten en cojinetes magnéticos activos sesgados permanentes con imanes homopolares. El
10
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
cojinete axial se compone de los actuadores del tipo de reluctancia en un modo de conducción
diferencial. El motor es un motor de imán permanente comercialmente disponible, capaz de
alcanzar velocidades de más de 250.000 rpm.
1.3. Trabajo realizado y descripción de la metodología usada para llevarlo a cabo
La metodología utilizada para la elaboración de este Trabajo Fin de Máster ha consistido
en estudiar los principios físicos que rigen el funcionamiento de los microcojinetes magnéticos
en la micro escala, se analizan las leyes de escala, se analizar dos diseños de microcojinetes
magnéticos, el primero de ellos es un microcojinete asimétrico el cual está formado por un
rotor, el estator, el eje del rotor y una serie de imanes permanentes en la parte inferior del
eje del rotor, al igual que una serie de bobinas que se ubicaran igualmente en la parte inferior
del eje del rotor, esto con el �n de brindar una mejor estabilidad al eje y disminuir así las
desventajas que presentan los microcojinetes como son el rozamiento y las altas temperaturas.
El diseño propuesto N.2 es un microcojinete magnético simétrico, el cual consta de las mismas
partes que el diseño N.1, la única diferencia es que en este diseño se realiza un duplicado de la
parte inferior para la parte superior.
Tabla 1.2: Programación semanal .
11
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
12
Capítulo 2
Principios y limitaciones de las técnicas electromagnéticas
de suspensión y levitación
2.1. Introducción
En el año de 1890 se presentan los primeros trabajos sobre imanes permanentes; se trata de
tomar parte o la totalidad de la carga de un eje del rotor magnético. Aun así el mayor interés
por este tema comenzó en el año de 1930 a causa de la aparición de materiales de imanes per-
manentes de mejor calidad. Las principales aplicaciones de estos imanes ha sido la generada por
la suspensión de los ejes para aliviar la carga sobre el microcojinete mecánicos. Los métodos
potenciales que pueden ser utilizados son:
1. Repulsión entre los imanes de fuerza �ja y de materiales ferromagnéticos.
2. La levitación utilizando fuerzas de repulsión y materiales diamagnéticos.
3. El uso de la levitación de imanes superconductores.
4. La levitación por fuerzas de repulsión debido a las corrientes parásitas inducidas en una
super�cie.
6. La suspensión por la fuerza electrostática de atracción (entre dos placas).
7. La suspensión por la fuerza magnética de atracción (entre un electroimán y un cuerpo
ferromagnético).
8. La suspensión usando electroimanes DC controlados.
Los anteriores métodos de levitación han sido los más utilizados en la última década con
la aplicación en el transporte terrestre como objetivo principal. En primer lugar se encuentran
los métodos que utilizan las fuerzas de atracción que son llamadas técnicas de suspensión y en
segundo lugar las que utilizan las fuerzas de repulsión que son llamadas técnicas de levitación.
2.2. Condiciones de estabilidad
En la mecánica aplicada se conoce que un cuerpo está en equilibrio cuando la resultante de
13
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
las fuerzas que actúan sobre él es cero. También es importante tener en cuenta que el estado
de equilibrio es estable, inestable o indiferente dependiendo de si el cuerpo esta ligeramente
desplazado, esté tendería a volver a la posición de equilibrio, tiende a moverse más lejos de ello
o no tendería a moverse en absoluto.
A continuación se expresa lo anterior en términos de la teoría de campo, para ello se con-
sidera una partícula, es decir, un cuerpo de dimensiones insigni�cantes, colocado en un punto
(x0, y0, z0) en un campo estático de fuerza z(x, y, z). La fuerza sobre la partícula es z(x0, y0, z0).
(x0, y0, z0) es una posición de equilibrio estable si se cumplen las dos condiciones siguientes:
F (x0, y0, z0) = 0 ∇F (x0, y0, z0) < 0 (2.2.1)
La primera es una condición de equilibrio y la segunda, una condición de estabilidad. Por
otra parte, si F es un campo irrotacional entonces:
F (x, y, z) = −∇ψ(x, y, z) (2.2.2)
Donde ψ es un potencial. En términos de ψ las condiciones necesarias para el equilibrio
estable son:
∇ψ(x, y, z) = 0 ∇2ψ(x, y, z) > 0 (2.2.3)
El teorema de Earnshaw es una extensión a los campos electromagnéticos de las condiciones
que pueden ser probadas utilizando la teoría del potencial. Es decir, en una en región R libre
de carga el campo electrostático E(x, y, z) es solenoidal y irrotacional, es decir:
∇.E(x, y, z) = 0 ∇XE(x, y, z) = 0 (2.2.4)
De la segunda de estas ecuaciones se deduce que:
E(x, y, z) = −∇ϕ(x, y, z) (2.2.5)
Donde ϕ es el potencial electrostático. La fuerza sobre una partícula de carga q colocada en
el campo es:
F (x, y, z) = qE(x, y, z) (2.2.6)
Tomando la divergencia de esta ecuación y teniendo en cuenta la primera de las ecuaciones
de todos los puntos en R.
∇.F (x, y, z) = 0 (2.2.7)
Aunque la ecuación (2.5) puede satisfacer la primera de las dos condiciones (2,1) necesarias
para el equilibrio estable (2.7) viola el segundo. Por lo tanto si un cuerpo se coloca en un campo
electrostático no puede descansar en equilibrio estable bajo la in�uencia de fuerzas eléctricas.
14
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Cuando un cuerpo dieléctrico se coloca en un campo electrostático la polarización P esta
relacionada para el campo eléctrico E por:
P = Xe ∗ E (2.2.8)
Donde Xe es la susceptibilidad eléctrica del cuerpo dieléctrico. El momento dipolar inducido
está dada por:
p =
∫PdV (2.2.9)
En donde V es el volumen del cuerpo. Suponiendo que el cuerpo es lo su�cientemente pequeño
para que E permanezca constante
P =
∫Xe
EdV =Xe EV (2.2.10)
La fuerza sobre el cuerpo está dada por
Fe = (p.∇).E (2.2.11)
Logrando así con la ayuda de la ecuación (2.2.10), los rendimientos
Fe = XeV (E.∇)E (2.2.12)
Puesto que Xe = (εr−ε0) donde εr es la constante dieléctrica del cuerpo y ε0 es la constantedieléctrica de espacio libre y como (E.∇)E = 1
2∇E2ecuación (2.12) puede reescribirse como
Fe =1
2(εr − ε0)V ∇E2 (2.2.13)
La ecuación anterior da la fuerza que un cuerpo dieléctrico de volumen V y la constante
dieléctrica εr experimenta en un campo electrostático E. Del mismo modo un cuerpo magnético
en un campo magnético H experimenta una fuerza.
Fm =1
2(µr − µ0)V ∇H2 (2.2.14)
Siendo µr la permeabilidad del cuerpo y µ0 es la permeabilidad del espacio libre.
Dado que la divergencia de∇E2 no puede ser negativa en ninguna parte ya que es físicamente
imposible que (εr − ε0) sea negativo, signi�ca que la condición dada por la ecuación (2.2.4) no
se puede satisfacer y por lo tanto, un cuerpo dieléctrico no puede estar en equilibrio estable en
cualquier lugar en el campo electrostático.
La suspensión estable o levitación es imposible con un sistema de imanes permanentes a no
ser que parte del sistema contenga material diamagnético o un superconductor µr = 0 y además
15
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
es imposible de lograr la levitación en campos electrostáticos ya que no se conocen materiales
con εr < 1.
2.3. Levitación usando imanes permanentes
En la última década se ha descubierto una nueva clase de materiales para la fabricación de
imanes permanentes [15]; se ha desarrollado sobre la base de cobalto y algunos elementos de
las tierras raras. En términos de su resistencia a la desmagnetización, los nuevos materiales
son 20-50 veces superiores a la del alnico y su energía magnética es 2-6 veces mayor. Mientras
que, por lo tanto, no tienen innumerables intentos de utilizar la fuerza de repulsión entre los
imanes permanentes para las aplicaciones de tales como el alivio de la carga en los cojinetes,
los materiales de más edad han sufrido inconvenientes con la desmagnetización.
El diseño de los imanes para los dispositivos de repulsión o de las aplicaciones que implican
combinación con bobinas de corriente implica nuevas ideas y nuevos métodos, así como una
cierta comprensión de las propiedades magnéticas de los nuevos materiales.
2.3.1. Propiedades de los imanes permanentes de los materiales magnéticos
Los elementos ferromagnéticos tienen átomos en el que una capa de electrones contiene me-
nos que el número máximo de electrones. Normalmente en una gran colección de estos átomos
los imanes atómicos apuntan en varias direcciones y se anulan entre sí. Si una muestra del mate-
rial ferromagnético se coloca en un campo magnético, los imanes atómicos individuales tienden
a alinearse de manera que cuando se retira la muestra del campo, se conserva un magnetismo
residual. Los materiales magnéticos se dividen en dos categorías, duro o blando, dependiendo
de la facilidad con la que pueden ser magnetizados y desmagnetizar. Un material duro tiene un
amplio ciclo de histéresis y un material suave tiene un camino angosto.
Los materiales suaves son adecuados para ciertos dispositivos eléctricos tales como trans-
formadores, donde el material se somete a una inversión de magnetización muchas veces por
segundo. Los materiales duros, por otro lado, son los que se utilizan en las aplicaciones de los
imanes permanentes, en particular los que utilizan las fuerzas de repulsión, tales como en sus-
pensión o levitación puesto que la anchura del bucle de histéresis determina la fuerza coercitiva
intrínseca. Los materiales magnéticos se describen generalmente por sus ciclos de histéresis en
la que el eje vertical es el total de densidad de �ujo B en lugar de la magnetización M. La den-
sidad de �ujo total incluye las contribuciones de ambas magnetizaciones y de la fuerza H. En la
ingeniería eléctrica el rendimiento de los dispositivos está más relacionada con la densidad de
�ujo total. En el campo de la física de los materiales magnéticos, sin embargo, la magnetización
M es una indicación de lo que el material hace en respuesta a un campo magnético y por lo
16
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
tanto ambos B y M son útiles.
2.3.2. Imanes permanentes para la levitación de repulsión
Cuando todas las fuerzas de recuperación son generadas por la repulsión entre los imanes
permanentes [15] sigue habiendo al menos una dirección para la cual el cuerpo está en equilibrio
inestable; el desplazamiento más pequeño en esta dirección da origen a una fuerza que tiende a
aumentar el desplazamiento. La levitación completa sin ningún contacto mecánico se ha logrado
por medio de una combinación de imanes permanentes y electroimanes.
En 1961 se describe un cojinete magnético en el que un árbol está soportado con rodamientos
radiales de anillos permanentes de imanes y el apoyo o �jación axial se proporciona mediante
electroimanes controlados. La fuerza de repulsión depende del material del imán, el área, la for-
ma y el espesor de los imanes, la distancia entre la super�cie a repeler y las dimensiones de las
piezas de acero utilizadas. Aunque estos factores hacen que la predicción de la fuerza sea difícil,
si se utilizan los mismos materiales y con�guraciones, un uso correcto del método de similitud
puede permitir que las fuerzas puedan ser estimadas para otros sistemas en los que todas las
dimensiones y distancias llevan la misma relación para el cual los resultados experimentales
están disponibles, ya que la distribución de magnetización y la polaridad en los imanes debe
ser el mismo.
2.4. Levitación usando imanes superconductores
Hay dos formas en las que la superconductividad podría ser utilizada para obtener la le-
vitación [15]. La primera es el llamado Efecto Meissner. Consiste en el rechazo del �ujo
magnético haciendo que el cuerpo superconductor se comporte como un cuerpo perfectamente
diamagnético. El segundo es la Fuerza de repulsión entre un imán superconductor en
movimiento en una placa conductora o carril; es el más práctico para ser aplicado en los
vehículos; es el método propuesto originalmente por Powell y Danby en 1966. De una manera
casi análoga al desarrollo de imanes permanentes que conducen al interés y a las posibilidades
de las aplicaciones de transporte, los avances en los materiales superconductores han llevado a
su consideración para vehículos de alta velocidad.
2.4.1. Propiedades de los superconductores
Los superconductores forman parte de una categoría de materiales a temperaturas cercanas
a 0 K llamados super�uidos (Londres 1961). Se conocen dos tipos de super�uidos. Uno está
representado por helio líquido (punto de ebullición 4,2 K) cuando se enfría a 2,19 K. El otro
tipo está representado por el estado superconductor de electrones.
Del mismo modo que la carga eléctrica se trans�ere en un superconductor, sin una diferencia
17
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
de tensión entre sus extremos, por lo que el helio puede pasar con facilidad a través de los
capilares muy estrechos o grietas �nas que sería intransitable para cualquier líquido ordinario.
Además, el super�uido de helio permite una transferencia extremadamente fácil de calor que en
ocasiones se ha descrito como �la superconductividad de calor�. Los materiales expuestos hasta
ahora, que incluyen muchos de los elementos, son ideales para los superconductores.
Existen dos tipos de superconductores, los llamados blandos y duros. Di�eren en la ma-
nera en que se transportan las corrientes eléctricas. En una corriente superconductora suave
se realiza solo en una capa super�cial delgada. En los superconductores duros los cuales son
compuestos tales como los el vanadio y galio (VSGa) o niobio y estaño (NbSn) son la corriente
que aparece para ser transportado por �lamentos en el interior del material y el número de
�lamentos puede ser incrementada físicamente por el material de trabajo.
2.4.2. Principios de levitación superconductora
El primero es el efecto de Meissner [15] el cual es empleado para levitar los rotores de los
giroscopios; el segundo utiliza las fuerzas de repulsión que surjan de la interacción entre un
imán superconductor, y las corrientes parásitas inducidas en una lámina conductora como re-
sultado del movimiento relativo entre los dos; este es el efecto que parece más práctico para su
aplicación a vehículos de transporte de pasajeros.
a) Levitación con el efecto Meissner
Cuando un imán de barra se pone cerca de una super�cie horizontal superconductor podemos
considerar que el �ujo puede ser comprimido en el espacio entre el imán y la super�cie mag-
néticamente impermeable del superconductor. Siempre que la compresión de �ujo no conduzca
a la densidad del �ujo crítico que se exceda, el imán �otará en la super�cie superconductora
en equilibrio estable en la dirección vertical. Si la super�cie es grande como para ser conside-
rado in�nita en relación con el tamaño del imán será en equilibrio neutro en el plano horizontal.
b) Levitación por corrientes de Foucault inducidas por el movimiento de los imanessuperconductores
La levitación magnética se basa en la repulsión inducida por un imán que viaja por encima
de una super�cie conductora. Los electroimanes convencionales o los imanes permanentes son
también capaces de generar una levitación inducida en pequeñas distancias, pero son incapa-
ces de producir campos magnéticos del tamaño y la intensidad necesaria para hacer levitar
un vehículo de transporte de pasajeros. Los imanes superconductores, debido a sus campos
magnéticos mayores, han hecho esto posible. Las principales características de la levitación
electrodinámica pueden explicarse incluso con solo estos principios básicos. Si una bobina con-
ductora de corriente se acelera a una altura constante por encima de un carril-guía experimenta
una fuerza de sustentación en un principio proporcional al cuadrado de la velocidad pero con
18
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
el tiempo puede llegar a un valor límite. La fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad,
pero a continuación, pasa a través de un pico y disminuye inversamente como la velocidad.
Las corrientes de Foucault inducidas se limitan esencialmente a una capa delgada cerca de la
super�cie de la lámina conductora. El arrastre electromagnético, a diferencia de la resistencia
aerodinámica, disminuye con el aumento de la velocidad, esto es una característica notable de
la levitación electrodinámica.
2.5. Levitación Inducida por corrientes de Foucault
En los años 70 la levitación magnética ganó mucha popularidad. Además también tomó
popularidad; la idea que los motores de inducción lineal podrían utilizarse más allá de la pro-
pulsión de vehículos, llegando a conocerse como �el río magnético�. Un motor de inducción lineal
de una sola cara puede ser diseñado para producir grandes fuerzas de levitación, además de
su fuerza de traslación o de tracción normal como la velocidad lineal del motor con respecto a
una placa de reacción de material compuesto, que consta de material conductor respaldado por
material permeable, tal como el acero, ya que este aumenta la fuerza de repulsión.
2.5.1. Placas Rectangulares
Este es el ejemplo de placas rectangulares las cuales se emplean en algunas técnicas de
levitación [15]. El comportamiento de la disposición de la �gura 2.5.1 en la sección (A) es muy
diferente de la de una placa verdaderamente circular. En la �gura (B) el número de bloques
se reduce a cuatro y hay una placa cuadrada de tamaño apropiado. Solo hay dos bobinas
de excitación en esta disposición de manera que las mismas corrientes �uyen a través de las
ranuras de los cuatro bloques, si las corrientes en cada ranura fueron devueltos por debajo de
los bloques individuales en la forma de un anillo Gramme devanado �gura (C), las corrientes
en las ocho ranuras podrían ser controlados de forma independiente. El último paso de esta
evolución es la de la �gura (D) los bloques que llevan corrientes a lo largo de la dirección x
se han alargado, si el sistema encuentra que es estable con las direcciones que muestran las
corrientes en la disposición de la �gura (E), esta es idéntica pero con la ventaja de que los dos
bloques son ahora autónomos y se puede mover más cerca o más lejos para dar cabida a las
placas de diferentes anchuras. Así como no hay resistencia al movimiento de un disco giratorio,
tampoco hay ninguna resistencia al movimiento de la placa a lo largo de determinada dirección.
19
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 2.5.1: Evolución de las placas rectangulares.
La levitación estable de organismos con simetría esférica generalmente se obtiene más fá-
cilmente que con placas planas [15]. La construcción de un levitador con esfera a frecuencias
de energía es básicamente el mismo que en el caso de los discos. Se compone de dos bobinas
concéntricas en una estructura de hierro; la bobina interna puede ser cortocircuitada, actuando
así como un anillo de cortocircuito en lugar de ser alimentado desde una fuente de alimentación
externa como se puede observar en la �gura 2.5.2.
20
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
2.5.2. Levitación de Esferas y Cilindros
Figura 2.5.2: Levitación de esferas y cilindros .
La impedancia dinámica del conductor que se mueve, es por lo que cambia el patrón de
�ujo de fase y por lo cual la esfera se desplaza desde el centro y es �nalmente expulsada.
Esto ocurre en una dirección tal que la esfera parece rodar fuera del campo a lo largo de un
plano horizontal invisible. El soporte de cilindros por sistemas de bobinas alargadas también
es posible. Las esferas y los cilindros se comportan de una manera análoga a como lo hacen los
discos y placas rectangulares tan lejos como sin resistencia al movimiento se re�ere.
Las técnicas utilizadas en levitadores de frecuencia de potencia son a menudo útiles en sis-
temas de alta frecuencia. El uso de hierro en levitadores de frecuencia de potencia es el mismo
que en cualquier maquina convencional, es decir, para mejorar los circuitos magnéticos y lo
que conduce a una reducción sustancial de pérdidas. Para una esfera colocada en un campo
que varía en el tiempo de forma sinusoidal uniforme, de una alta frecuencia, el campo debido a
las corrientes inducidas de Foucault son equivalentes a la de un dipolo magnético alterno en el
tiempo con el campo, que tiene una fase y la amplitud en función de la intensidad del campo
de generación, en el radio de la esfera, su permeabilidad y conductividad.
2.6. Suspensión usando electroimanes de corriente continua
Una característica importante de la tecnología de suspensión con electroimanes de corriente
continua es el potencial de las aplicaciones de los microcojinetes sin fricción, la eliminación de
ruido y su �abilidad parecen ser características importantes que contribuyen al éxito de este
método en la aplicación para el transporte. Las combinaciones de los imanes permanentes con
excitación controlada también aparecen técnicamente factible y podría dar lugar a una nueva
21
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
reducción de los requerimientos de energía.
2.6.1. Principio de la suspensión usando electroimanes DC controlados
Para lograr la suspensión estable es necesario idear un medio para regular la corriente en un
electroimán utilizando realimentación de la posición del objeto a ser suspendido. El efecto de
esto es modi�car las características de fuerza-distancia tal que la corriente y la fuerza de atrac-
ción disminuye a medida que el espacio de aire disminuye y viceversa. Si la bola de acero que
se suspende en este caso es atraída hacia el imán, la cantidad de luz que incide en la fotocélula
disminuye, con lo que a su vez disminuye la corriente y por lo tanto la fuerza que actúa contra
la gravedad.
2.6.2. Naturaleza del problema de control en una suspensión de un solo imán
La fuerza de atracción entre los cuerpos magnetizados está dada por:
Fm =B2
2µ0
x area (2.6.1)
En el caso de los electroimanes, como aquellos para los sistemas de suspensión que operan con
un espacio de aire, la densidad de �ujo es directamente proporcional a los giros de Amperios NI
e inversamente proporcional a la longitud. Por lo tanto la ecuación (2.0.16) puede ser reescrita
como.
Fm =µ0
2(NI
g)2 x area (2.6.2)
A partir de esta ecuación, se observa que la relación fuerza-distancia del sistema es un
regulador de posición altamente no lineal. Se supone en primer lugar que el cambio en la fuerza
de atracción está dada por una función lineal y por los cambios actuales. Por lo cual la ecuación
lineal es.
f = k1z + k2i (2.6.3)
Para los pequeños cambios sobre la posición de equilibrio donde k1 es la fuerza por la corriente
constante y k2 es la fuerza por amperio a una distancia constante. Las constantes k1 y k2 pueden
ser determinadas experimentalmente para un imán dado.
mz = −f = −(−k1z + k2i) (2.6.4)
Donde m es la masa del cuerpo suspendido.
La relación entre la corriente del imán y el voltaje es:
Ri + Ldi
dt= V (2.6.5)
22
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
En la transformada de Laplace presentan las ecuaciones de notación (2.0.19) y (2.0.20) se
convierten en:
(s2 − k1/m)Z (s) =k2mI (s) (2.6.6)
y
I (s) =k
1 + s T mV (s) (2.6.7)
De la combinación de las dos ecuaciones se obtiene:
Z
V(s) =
k1 k2m(1 + sTm)(s2 − k1/m)
(2.6.8)
23
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
24
Capítulo 3
Diseño y análisis de un microcojinete magnético aplicado a
un micromotor de inducción electrostático
3.1. Micromotores electrostáticos
Los micromotores MEMS son dispositivos que se asemejan a sus equivalentes en la escala
macro, utilizan un energía eléctrica, mecánica o química, y la convierten en movimiento (energía
cinética). El motor muchas veces incluye un sistema de engranajes que permite controlar el par
o la dirección de la fuerza mecánica resultante. Este es conocido en los motores convencionales
como caja de engranajes. Los micromotores MEMS deben ser construidos sobre un sistema de
soporte que les permita tener alta estabilidad, baja fricción, y menor desgaste al uso.
Para lograr estas características, este tipo de actuadores se pueden construir sobre soportes
de esferas (�ball bearing�) que les ofrece buena estabilidad, menor fricción y una mayor dura-
bilidad al desgaste por el uso, ya que otros sistemas que existen en el mercado como los de los
motores convencionales basados en eje central y los de soporte lubricado por gas que no ofrecen
estas ventajas cuando se realiza escalamiento a nivel MEMS [10].
3.1.1. Tipos de Micromotores
Los tipos de micromotores MEMS existentes pueden clasi�carse como eléctricos, químicos
y mecánicos. Entre las aplicaciones que se contemplan para este tipo de dispositivos se tienen
micro turbinas de bombeo, dispositivos médicos y quirúrgicos, micro robótica, entre otros. Sin
embargo los micromotores MEMS aún están en su mayoría en procesos experimentales lo que
hace este campo uno de los que más está siendo investigado actualmente.
Los micromotores son clasi�cados como MEMS de potencia ya que convierten la energía eléc-
trica en mecánica; cada micromotor tiene sus ventajas e inconvenientes, por lo tanto la elección
del tipo depende de la aplicación a la que se le vaya a destinar. En función del movimiento
que vayan a ejecutar se pueden clasi�car como lineales o rotativos, en función del principio
físico que se aplique se pueden clasi�car como micromotores electrostáticos, electromagnéticos,
ultrasónicos, piezoeléctricos y biológicos. Según sea el �ujo inductor se pueden considerar de
25
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
�ujo axial o de �ujo radial, según la velocidad de giro relativa entre el �ujo estatórico, el rotor
se dividen en micromotores síncronos o asíncronos, siendo los asíncronos los más usados ya que
no necesitan ningún tipo de control sobre su velocidad.
Los micromotores electrostáticos pueden ser clasi�cados como de capacidad variable, de in-
ducción electrostática. También existen otros tipos de dispositivos de gran interés como son
los microgeneradores, entre ellos, los generadores piezoeléctricos que están basados en la pro-
ducción de energía eléctrica mediante el aprovechamiento de las fuentes de vibración, ruido
ambiental y ultrasónicos.
En el artículo [19] se consideran las diversas características de micromotores eléctricos, las
relaciones entre sus características y un intento de organizar el proceso por el que los micromo-
tores pueden ser diseñados de forma exitosa. Se presta especial atención a las características
electromecánicas. Se resalta el carácter interdisciplinario de la física detrás del análisis y diseño
del micromotor, se re�eja la interdependencia de diseño, fabricación y el rendimiento del mismo.
En este artículo [31] se presenta una breve reseña de los mecanismos y métodos de solución
en micromotores electrostáticos que son comúnmente empleados. Se centra en la introducción
de los modos de fallo con los métodos numéricos y experimentales, así como los métodos em-
pleados recientemente para reducir los fracasos y el desarrollo en el futuro. Además, se ilustra
la investigación sobre la dinámica de contacto entre el rotor y el eje del microcojinete y los
efectos de los microcojinetes lubricados por gas que disminuyen la posibilidad de la fricción,
del contacto, y el desgaste en los micromotores electrostáticos.
Los motores eléctricos se caracterizan por convertir energía eléctrica en energía cinética
mediante la acción de campos magnéticos inducidos en bobinas, mediante la Ley de Lorentz
que es la fuerza ejercida por un campo electromagnético que recibe una partícula cargada o
una corriente eléctrica.
F = q (E + v X B) (3.1.1)
Donde F es la fuerza generada, q representa la carga puntual de la partícula, E representa
el campo eléctrico y B es la densidad de �ujo magnético. Dado que en el caso de un motor
magnético se tiene un campo magnético únicamente y al haber muchas partículas �uyendo, la
fuerza resultante se puede representar de la siguiente manera:
F = p (v X B) (3.1.2)
J = p v (3.1.3)
26
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
F = J X B (3.1.4)
Aquí se tiene que J representa la densidad de carga eléctrica, por lo que la fuerza resultante
es el producto cruz de J por la densidad de �ujo magnético B. La e�ciencia de un motor
eléctrico viene representada por la siguiente relación:
η =Pm
Pe(3.1.5)
Donde Pm es la potencia mecánica producida por el motor eléctrico, esta se obtiene como
el producto del torque por la velocidad angular y Pe es la potencia eléctrica equivalente a la
diferencia de potencial por la corriente eléctrica.
Los motores eléctricos se caracterizan por tener un rotor y un estator, el rotor es la parte que
realiza el movimiento y el trabajo mecánico, mientras que el estator es la parte que permanece
inmóvil y es a donde llega la alimentación eléctrica. Para efectos de la generación de un campo
magnético se recurre a la utilización de bobinas o imanes, que se pueden utilizar en combina-
ciones de solo bobinas, o de imanes y bobinas en el estator y en el rotor. Los motores eléctricos
pueden funcionar con dos tipos de corriente, alterna o directa, dependiendo de la aplicación en
la que se desee implementarlos, ya que el costo y las ventajas pueden variar según el contexto
en el que se utilicen.
Los micromotores MEMS de manera análoga, pueden funcionar con los mismos principios
expuestos en los diferentes tipos de motores convencionales, aunque es necesario recalcar que
se debe tener en cuenta de manera importante los efectos de escalamiento, pues la e�ciencia
se ve afectada de varias maneras. Los principios de funcionamiento de un micromotor MEMS
son diferentes a los de motores convencionales de escala macro, dado que los campos eléctricos
se vuelven predominantes sobre los campos magnéticos, efecto contrario a lo que ocurre en la
macro escala. La Ley de Paschen establece que un campo eléctrico con intensidad E de�ne
el funcionamiento de un motor de inducción. La Ley de Paschen [21] puede expresarse de la
siguiente manera:
EB = 100365p
1, 18 + ln (pd)(V/cm Torr) (3.1.6)
Donde EB es el campo eléctrico de ruptura, p representa la presión en Torr y d es la distancia
en cm.
3.1.2. Análisis de los esfuerzos tangenciales y normales.
Para realizar las simulaciones de la fuerza tangencial y normal se tomó como referencia el
artículo [21], el cual presenta el análisis, el diseño, la fabricación, además de las pruebas de un
micromotor electrostático de �ujo axial. El micromotor es un motor de 6 fases con 131 pares
27
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
de polos distribuidos en un estator que tiene un diámetro exterior de 4 mm. El espacio de aire
axial es de 3 µm. Con un estator de excitación 90 V, aplicada a una frecuencia de deslizamiento
300 kHz, el motor produce un par de torsión de 2 µNm.
Figura 3.1.1: Torque vs velocidad del rotor 200 MΩ.
La grá�ca anterior hace referencia algunas partes a tener en cuenta en las grá�cas de la fuerzatangencial. El eje horizontal representa el crecimiento de la velocidad de rotación, mientras queel vertical, el crecimiento de la potencia, par motor. La zona inestable que se presenta al ladoizquierdo de la grá�ca es aquella que presenta una disminución del par conforme el motordisminuye su velocidad, lo contrario ocurre con la zona estable la cual presenta un aumento delpar conforme el motor disminuye su velocidad. El par de arranque se ubica en el eje y, este esla fuerza que toma el motor para poder ponerse en marcha. Inicialmente se toman los valoresde referencia del mismo artículo para realizar las grá�cas de las dos fuerzas, esto con el �n deveri�car los resultados obtenidos en [21].
Parámetro Símbolo Valor Unidad
Amplitud de tensión del estator V 285 V
Frecuencia de excitación del estator f 2,6 MHz
Periodicidad en el estator m 131 �
Espacio de aire entre estator y rotor G 3 µm
Resistencia de la capa del conductor Pres 200 MΩ
Velocidad síncrona del rotor Ω 1.2x10^6 rpm
Grosor del aislante del rotor Ari 10 µm
Radio interno del conductor del rotor Ri 1 mm
Radio externo del conductor del rotor Ro 2 mm
Resistividad del aislante del rotor Pri 1.0x10^14 Ω-cm
Tabla 3.1: Valores tomados para calcular el par y la fuerza normal.
Para realizar el cálculo de la fuerza tangencial y la fuerza normal se utilizaron las siguientes
28
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
formulas, tomando como base el artículo [21] para la fuerza tangencial:
τ =
Ro∫Ri
r fy ,2πrdr = εgπV 2
Ro∫Ri
α(r)β(r)χ(r)dr (3.1.7)
donde:
α(r) =Γ(r)
1 + Γ(r)2(3.1.8)
β(r) =εg
εeff (r) sinh(mGr
)(3.1.9)
y
χ(r) =m2
sinh(mrG)
(3.1.10)
La fuerza normal esta dada por la siguiente fórmula:
τ =
Ro∫Ri
fz,2π.rdr = εg2π
Ro∫Ri
α(r)2β(r)dr (3.1.11)
donde
α(r)2 =
[ mrV
2sinh(mrG)
]2(3.1.12)
y
β(r) = 1 + Γ2.
( εgεeff(r).sinh(mr G)
)2
−2.
(εg
εeff(r).sinh(mr G)
).cosh(m
rG)+1
1 + Γ2
(3.1.13)
Con los datos obtenidos al emplear las dos fórmulas anteriores se realizó la siguiente grá�ca
para calcular el Par.
29
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 3.1.2: Análisis de sensibilidad del par frente a la resistencia rotatoria del rotor.
Para la grá�ca anterior se tomaron 5 valores diferentes, en el valor de la resistencia rotatoria
(200 MΩ, 50 MΩ, 100 MΩ, 600 MΩ, 1800 MΩ), estos valores también fueron tomados como
referencia del artículo antes mencionado. Se observa que los valores del par máximo para los
5 valores tomados son iguales a 27,4077 µNm, por otra parte también se observa que los que
presentan menor par de arranque son los valores de resistencia mayor 600 MΩ y 1800 MΩ, el
primero con 6,10 µNm y el segundo con 2,02 µNm. El valor que se ha tomado como referencia
es el de 200 MΩ (color negro), esté presenta un valor de 16,32 µNm, esté se encuentra con un
par de arranque ubicado en la mitad de las otras cuatro resistencia. Ahora bien las resistencias
con valores más pequeños 50 MΩ y 100 MΩ presentan un par de arranque mayor el primero
con 27,30 µNm y el segundo con 25,04 µNm. Se observa además que todos los valores de las
resistencias presentan una caída al hacia el punto característico de la velocidad de sincronía 1,20
Mrpm. Por otro lado para veri�car el comportamiento de la amplitud de tensión del estator,
el espacio del aire entre el estator y el rotor, los radios y el grosor del aislante del rotor, se
tomaron los siguientes valores:
Parámetro Símbolo 1 2 3 4 Unidad
Amplitud de tensión del estator V 25 50 100 150 V
Espacio de aire entre estator y rotor G 2,0 2,5 3,0 3,5 µm
Grosor del aislante del rotor Ari 5,0 10 30 40 µm
Radio interno del conductor del rotor Ri Fijo Fijo Fijo Fijo mm
Radio externo del conductor del rotor Ro 2,0 1,5 2,5 3,0 mm
Tabla 3.2: Análisis de sensibilidad de la fuerza tangencial.
Al variar la Amplitud de tensión del estator (V) se observa como el valor del par de arranque
aumenta a medida que se incrementa este valor, llegando a tomar un valor de 1,45 µNm hasta
39,35 µNm, al igual se observa que el valor máximo también va aumentando a medida que la
tensión aumenta, tomando un valor máximo con V=150 voltios de 60,18 µNm.
30
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 3.1.3: Análisis de sensibilidad del par frente al gap.
En la grá�ca 3.1.3 se observa que al incrementar el valor del espacio de aire entre estator
y rotor (G) el valor del par de arranque disminuye, cuando el G toma un valor de 2,0 el par
de arranque toma un valor de 14,14 µNm y al tomar el G un valor mayor en este caso de 3,5
presenta un par de arranque menor de 6,70 µNm.
Figura 3.1.4: Análisis de sensibilidad del par frente al grosor del aislante.
En la grá�ca 3.1.4 que representa el grosor del aislante del rotor (Ari) se observa que el
valor máximo se desplaza hacia la izquierda de la grá�ca a medida que aumenta el grosor del
aislante. En cuanto al par de arranque se observa que va en aumento de acuerdo con el valor
31
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
aplicado, tomando un par máximo de arranque de 23,06 µNm con el grosor de 40 µm y con 5,0
µm toma un par de arranque mínimo de 8,75 µNm.
Figura 3.1.5: Análisis de sensibilidad del par frente al radio externo.
En la grá�ca 3.1.5 se observa que a medida que se incrementa el valor del radio externo
del conductor del rotor (Ro) se incrementa igualmente tanto el par de arranque como el valor
máximo llegando a tomar este último un valor de 74,52 µNm, con un par de arranque de 29,77
µNm, al igual toma un valor mínimo de arranque de 8,26 µNm y un valor máximo de 10,84
µNm.
Parámetro Símbolo 1 2 3 4 Unidad
Amplitud de tensión del estator V 25 50 100 150 V
Espacio de aire entre estator y rotor G 2,0 2,5 3,0 3,5 µm
Grosor del aislante del rotor Ari 5,0 10 30 40 µm
Radio interno del conductor del rotor Ri Fijo Fijo Fijo Fijo mm
Radio externo del conductor del rotor Ro 2,0 1,5 2,5 3,0 mm
Tabla 3.3: Análisis de sensibilidad de la fuerza normal.
En la siguiente grá�ca al modi�car la amplitud de tensión del estator se observa que a partir
de 0,19 µN presenta una fuerza de atracción que se incrementa a medida que la amplitud de
tensión del estator aumenta, inicialmente con un valor de 25 V presenta una fuerza de atracción
que toma un valor de -0,91 µN, por otro lado al tomar un valor de 150 V su fuerza de atracción
es mayor con un -5,47 µN.
32
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 3.1.6: Análisis de sensibilidad de la fuerza normal frente a la amplitud de tensión del estator.
En cuanto a lo que se re�ere al espacio de aire entre estator y rotor se observa que inicialmente
presentan una fuerza de repulsión solamente las que tienen mínimos valores 2,0 µm y 2,5 µm, la
primera toma fuerza de atracción a partir de 0,218 µN, la segunda presenta fuerza de atracción
a partir de 0,34 µN a medida que aumenta el gap disminuye la fuerza de atracción.
Figura 3.1.7: Análisis de sensibilidad de la fuerza normal frente al gap.
Ahora bien, cuando los valores más altos son aplicados al grosor del aislante del rotor estos
presentan una fuerza de atracción igual de -12,40 µN, en cuanto a los valores de 10 µm y 5,0
33
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
µm, estos toman valores de -10,45 µN y -7,58 µN, respectivamente.
Figura 3.1.8: Análisis de sensibilidad de la fuerza normal frente al grosor del aislante.
Inicialmente todas las grá�cas presentan una fuerza de repulsión ha excepción del valor de 5,0
mm del radio externo del conductor del rotor que presenta una fuerza de atracción constante
inicialmente con -0,06 µN y �nalizando con -10,68 µN, por otro lado la que presenta mayor
fuerza de atracción es la de radio 3,0 mm con -61,73 µN.
Figura 3.1.9: Análisis de sensibilidad de la fuerza normal frente al radio externo.
Los algoritmos utilizados para el cálculo de los esfuerzos viene re�ejados en la �gura 3.1 y
34
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
en la �gura 3.2.
Algoritmo 3.1 Código scilab de la fuerza normal .
Algoritmo 3.2 Código scilab de la fuerza tangencial .
35
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
3.2. Topologías de los microcojinetes magnéticos
Se debe de tener en cuenta que los microcojinetes magnéticos presentan la misma clasi�ca-
ción que los cojinetes comunes, lo único que la diferencia de ellos son las medidas de los mismos
las cuales se efectúan a escala micro. Por la dirección del esfuerzo que soportan se clasi�can los
microcojinetes en:
* Los microcojinetes radiales impiden el desplazamiento en la dirección del radio
* Los microcojinetes axiales impiden el deslizamiento en la dirección del eje
* Los microcojinetes mixtos hacen al mismo tiempo el efecto de los microcojinetes radiales
y axiales
3.2.1. Microcojinetes Axiales
Los microcojinetes axiales están diseñados para soportar cargas de empuje (axiales) y ofre-
cen resistencia a cargas de choque empleadas en una gran variedad de aplicaciones.
3.2.2. Microcojinetes Radiales
Estos soportan cargas que se encuentran, principalmente, en dirección perpendicular al eje.
3.2.3. Microcojinetes Magnéticos Permanentes
Un microcojinete magnético es un microcojinete que sostiene una carga utilizando levitación
magnética. Los microcojinetes magnéticos permiten sostener partes móviles sin tener contacto
físico con ellas. Por ejemplo, son capaces de levitar a un eje que rota y permitir movimientos
relativos con muy baja fricción y sin desgaste mecánico. Los microcojinetes magnéticos son el
tipo de microcojinete que puede soportar velocidades muy altas y no se conoce que posean una
velocidad máxima límite. Existen dos tipos de microcojinetes magnéticos como son los pasivo
y los activos.
Los microcojinetes Pasivos utilizan imanes permanentes y, por lo tanto, no requieren de
potencia eléctrica, pero son difíciles de diseñar a causa de las limitaciones que resultan del
teorema de Earnshaw. Las técnicas que utilizan materiales diamagnéticos se encuentran poco
desarrolladas y dependen en gran medida de las características del material. En cuanto a los
microcojinetes Activos, usan electroimanes que requieren del suministro continuo de potencia
eléctrica y un sistema de control activo para mantener estable a la carga. Los microcojinetes
magnéticos por lo general requieren de un rodamiento de back-up en caso de fallo del sistema
de potencia o del sistema de control, es importante mencionar que estos microcojinetes son los
más utilizados en el momento.
36
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 3.2.1: Topologías de los microcojinetes magnéticos permanentes radiales .
La �gura 3.2.1 muestran un rotor vertical con un rodamiento de bola en la parte inferior y
un microcojinete magnético permanente en la parte alta, en la �gura A; se observa además que
presenta dos imanes permanentes, uno interno y otro externo que se encuentra anclado.
En cuanto a la �gura B se observa la misma arquitectura anterior, con la diferencia de que
se observa cómo se genera un campo de atracción entre los dos imanes. Tanto la �gura A como
la B presentan fuerza de repulsión. La �gura C por su parte presenta un diseño diferente ya que
un imán se encuentra en la parte superior del otro; el primero se encuentra anclado, además
presenta una fuerza de atracción. En lo que re�ere a la �gura D, esta representa la misma
estructura que la anterior con diferencia que los imanes se encuentran ubicados en el mismo
sentido.
37
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 3.2.2: Topologías de los microcojinetes magnéticos permanentes .
En la �gura 3.2.2 se representan los microcojinetes magnéticos permanentes axiales con car-
ga de atracción; las �guras A y B presentan microcojinetes magnéticos con fuerza de atracción
y con orientación de los imanes en el mismo sentido; las �guras C y D presentan los microcoji-
netes magnéticos con dos imanes, uno de ellos anclado y con diferentes orientaciones.
3.3. Diseño propuesto
El diseño propuesto N.1 empleado para realizar el trabajo es un microcojinete magnético
asimétrico; este se ha obtenido después de un riguroso estudio de los tipos de microcojinetes
magnéticos que se encuentran actualmente en el mercado. Por sus características que se ajustan
a las necesidades del estudio se ha seleccionado el tipo de microcojinete que se muestra en la
�gura 3.3.1.
Figura 3.3.1: Diseño N.1 Microcojinete magnético asimétrico .
38
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Este microcojinete magnético presenta un rotor y su respectivo eje, el estator y una serie de
imanes permanentes en la parte inferior.
Figura 3.3.2: Diseño N.1 Vista superior del microcojinete magnético .
La �gura 3.3.2 presenta una visión superior del microcojinete magnético, se puede observar
los electrodos que se encuentran ubicados en el estator, además de los imanes permanentes.El diseño propuesto N.2 presenta las mismas características que el microcojinete anterior, lo
único que lo diferencia es que es un microcojinete magnético simétrico. Ver �gura 3.3.3.
Figura 3.3.3: Diseño N.2 Microcojinete magnético simétrico .
A continuación se presenta la �gura 3.3.4 la cual presenta la vista superior del diseño pro-
puesto N.2 del microcojinete magnético simétrico.
39
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 3.3.4: Diseño N.2 Vista superior del microcojinete magnético .
La �gura 3.3.5 presenta la vista inferior del microcojinete simétrico propuesto N.2.
Figura 3.3.5: Diseño N.2 Vista inferior del microcojinete magnético .
Como se observa en la �gura 3.3.6, esta presenta una vista en 2-D del micromotor eléctrico
de inducción, además algunos valores que in�uyen en la elaboración del diseño propuesto de los
microcojinetes magnéticos.
40
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 3.3.6: Micromotor eléctrico de inducción .
A continuación la �gura 3.3.7se presenta una vista del micromotor en 2-D con algunas
medidas importantes en el diseño.
Figura 3.3.7: Medidas del micromotor eléctrico de inducción .
3.3.1. Rigidez en los Microcojinetes Magnéticos
Es importante tener en cuenta la rigidez radial y axial. La fuerza de centrado radial es más
alta cuando los imanes de rotor y estator están alineados en dirección axial. La rigidez se de�ne
como la derivada negativa de la fuerza y sus componentes con respecto al desplazamiento.
Figura 3.3.8: Sistema de masa-resorte simple .
41
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Un desplazamiento x resulta en una Fx fuerza del resorte, y la constante del resorte o muelle
de rigidez k se de�ne entonces como:
k = −FxX
(3.3.1)
Si se suelta la masa, que oscilará con la frecuencia natural ωn,
ωn =
√k
m(3.3.2)
Para los microcojinetes magnéticos permanentes que lleva la correlación entre la rigidez axial
y la rigidez radial viene dada por la siguiente desigualdad:
kAxial ≤ −2 ∗ kRadial (3.3.3)
42
Capítulo 4
Análisis de los microcojinetes magnéticos por el método de
los elementos �nitos
4.1. Introducción a los elementos �nitos
El análisis por elementos �nitos [17] consiste en el empleó de los métodos numéricos en
la resolución de un problema físico determinado. Este método numérico se basa en dividir la
geometría en la que se quiere resolver un problema físico, en pequeños elementos en los cua-
les se resuelven las ecuaciones diferenciales correspondientes a un campo (la temperatura en
transmisión del calor, el campo magnético en electromagnetismo, el campo de velocidades en
mecánica de �uidos, etc), en forma discreta, teniendo en cuenta las propiedades físicas de los
materiales empleados, los elementos del entorno, las condiciones de contorno y las fuentes ge-
neradoras de campo. Este análisis presenta aplicaciones en diferentes ramas entre las cuales
encontramos: Ingeniería estructural, Resistencia de materiales, Mecánica de �uidos, Electro-
magnetismo, Campos eléctricos, Conducción del calor, etc.
La resolución de estas ecuaciones de forma discreta se realiza de forma iterativa hasta que
se alcanza una convergencia en la solución. Las herramientas software que permiten realizar
este proceso de forma e�ciente y cómoda se denominan herramientas de análisis por elementos
�nitos, o simplemente herramientas de elementos �nitos. Hay herramientas que permiten incluso
acoplar dos problemas como es el caso del problema térmico y del problema electromagnético.
Es decir la salida de un problema se emplea como entrada en el otro problema y viceversa,
de forma iterativa. El proceso de generación de la solución mediante este análisis se realiza en
estas herramientas realizando algunos pasos:
1. De�nición de la geometría objeto de estudio
2. Especi�cación del régimen a analizar
43
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
3. Asignación de las propiedades físicas de los materiales
4. Asignación de las propiedades físicas de los materiales
5. Aplicación de las cargas
6. Mallado de la geometría
7. Resolución del problema
8. Análisis de la solución
4.1.1. Problemas de magnetostática
Los problemas magnetostáticos son problemas en los que los campos permanecen invariables
en el tiempo. En este caso, la intensidad de campo H y la densidad de �ujo B debe obedecer:
∇X H = J (4.1.1)
∇. B = 0 (4.1.2)
Sujetos a una relación constitutiva entre B y H para cada material:
B = µH (4.1.3)
Si un material es no lineal (por ejemplo, la saturación de hierro o de aleación de acero
imanes), la permeabilidad, μ es en realidad una función de B:
µ =B
H(B)(4.1.4)
El FEM va sobre la búsqueda de un campo que satisface (4.1.1) - (4.1.3) a través de un enfo-
que potencial del vector magnético. La densidad de �ujo está escrita en términos del potencial
vector, A, como:
B = ∇X A (4.1.5)
Ahora bien, esta de�nición de B siempre satisface (4.1.2). Entonces, (4.1.1) se puede reescribir
como:
∇x(
1
µ(B)∇X A
)= J (4.1.6)
Para un material isótropo lineal (y suponiendo que el calibre de Coulomb, ∇. A = 0), eq.
(4.1.6) se reduce a:
44
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
− 1
µ∇2A = J (4.1.7)
El FEM conserva la forma de (4.1.6), de modo que los problemas magnetostáticos con una
relación BH no lineal se pueden resolver. En el caso general 3-D, A es un vector con tres compo-
nentes. Sin embargo, en los casos planos y axisimétricos en 2-D, dos de estos tres componentes
son cero.
La ventaja de utilizar el potencial del vector formulación es que todas las condiciones que
deben cumplir se han combinado en una sola ecuación. Si A se encuentra, B y H, entonces se
pueden deducir mediante la diferenciación de A. La forma de (4.1.6), una ecuación diferencial
parcial elíptica, surge en el estudio de muchos tipos diferentes de fenómenos de ingeniería. Hay
un gran número de herramientas que se han desarrollado en los últimos años para resolver este
problema en particular.
4.1.2. Problemas magnéticos armónicos en el tiempo
Si el campo magnético es variable en el tiempo [17], las corrientes de Foucault pueden ser
inducidas en materiales con una conductividad diferente de cero. Otras ecuaciones de Maxwell
describen la distribución del campo eléctrico y su relación. Denotando la intensidad del campo
eléctrico como E y la densidad de corriente como J,E y J obedecen a la relación constitutiva:
J = σE (4.1.8)
El campo eléctrico inducido a continuación, obedece:
∇X E = −∂B∂t
(4.1.9)
Sustituyendo la forma potencial vector de B en (4.1.9) se obtiene:
∇X E = ∇X A. (4.1.10)
En el caso de problemas en 2-D, (4.1.10) se puede integrar para producir:
E = −A. −∇V (4.1.11)
y la relación constitutiva, (4.1.8) empleada para producir:
J = −σA. − σ∇V (4.1.12)
Sustituyendo en (4.1.6) se obtiene la ecuación diferencial parcial:
45
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
∇X(
1
µ(B)∇X A
)= −σA. + Jsrc − σ∇V (4.1.13)
Donde Jsrc representa las fuentes de corrientes aplicadas. El término ∇V es un gradiente
de tensión adicional que, en los problemas 2-D, es constante en un cuerpo conductor. El FEM
utiliza este gradiente de tensión en algunos problemas de armónicos para hacer cumplir las
restricciones sobre la corriente transportada por regiones conductoras.
El FEM considera (4.1.13) para el caso en el que el campo está oscilando a una frecuencia
�ja. Para este caso, de la transformación se obtiene una ecuación de estado estacionario que se
resuelve para la amplitud y la fase de A. Esta transformación es:
A = Re [a (cosωt+ jsinωt) =] = Re[aejwt
](4.1.14)
En la que a es un número complejo. Sustituyendo en (4.1.13) y dividiendo el complejo tér-
mino exponencial se obtiene la ecuación que FEM realmente resuelve los problemas magnéticos
armónicos:
∇X(
1
µeff (B)∇X a
)= −jωσa+ jsrc − σ∇V (4.1.15)
En el que Jsrc representa el factor transformado de las fuentes de corriente aplicadas. En
sentido estricto, la µ de permeabilidad debe ser constante para problemas de armónicos. Sin
embargo, FEM conserva una relación no lineal en la formulación de armónicos, permitiendo
que el programa a la aproximación de los efectos de la saturación en la fase y la amplitud de
la fundamental de la distribución del campo. La forma de la curva de BH no es exactamente
el mismo que en el caso de DC. En lugar de ello, se selecciona "permeabilidad efectiva" µeff
para dar la amplitud correcta de la componente fundamental de la forma de onda en virtud de
excitación sinusoidal.
4.1.3. Problemas de electrostática
Los problemas electrostáticos [17] consideran el comportamiento de la intensidad de campo
eléctrico, E, y la densidad de �ujo eléctrico (desplazamiento alternativamente eléctrica), D.
Hay dos condiciones que deben obedecer. La primera condición es la forma diferencial de la
Ley de Gauss, que dice que el �ujo de un volumen cerrado es igual a la carga contenida en el
volumen:
∇ . D = ρ (4.1.16)
donde ρ representa la densidad de carga. La segunda es la forma diferencial de la ley de
46
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
bucle de Ampere:
∇X E = 0 (4.1.17)
El desplazamiento y la intensidad del campo también se relacionan entre sí a través de la
relación constitutiva:
D = εE (4.1.18)
Donde ε es la permitividad eléctrica. Aunque algunos problemas pueden tener una relación
constitutiva no lineal entre D y E, el programa solo considera los problemas lineales. Para sim-
pli�car el cálculo de campos que satisfagan estas condiciones, el programa emplea el potencial
eléctrico escalar, V , de�nida por su relación con E como:
E = −∇V (4.1.19)
Debido a la identidad vector ∇X∇ψ para cualquier escalar ψ, la ley de Ampere se cumple
automáticamente. Sustituyendo en la Ley de Gauss y la aplicación de la relación constitutiva
se obtiene la ecuación diferencial parcial de segundo orden:
−ε∇2V = ρ (4.1.20)
que se aplica sobre regiones de correo homogénea. Los resuelve programa (4.1.20) para el
voltaje V sobre un dominio de�nido por el usuario con fuentes de�nidas por el usuario y las
condiciones de contorno.
4.1.4. Condiciones de contorno
Algunos análisis de las condiciones de contorno son necesarias para que el usuario este seguro
para de�nir un número adecuado de las condiciones de frontera y poder garantizar una solución
única.
Las condiciones de contorno para los problemas magnéticos y electrostáticos vienen en cinco
variedades:
1. Dirichlet: En este tipo de condición límite, el valor del potencial de A o V es explícita-
mente de�nido en el límite, por ejemplo, A = 0. El uso más común de las condiciones de
limite de Dirichlet en problemas magnéticos es de�nir A= 0 a lo largo de un límite para
mantener el �ujo magnético desde el cruce de la frontera. En problemas electrostáticos, se
utilizan condiciones de Dirichlet para �jar la tensión de una super�cie en el dominio del
problema.
47
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
2. Neumann: Esta condición de borde especi�ca la derivada normal de potencial a lo largo de
la frontera. En los problemas magnéticos, la condición de contorno Neumann homogénea,
∂A/∂n = 0 se de�ne a lo largo de una frontera para forzar que el �ujo pase por la frontera
exactamente a un ángulo de 90º hasta el límite. Este tipo de condición de frontera es
consistente con una interfaz con un metal muy altamente permeable.
3. Robin: La condición de contorno Robin es una especie de mezcla entre Dirichlet y Neu-
mann, la prescripción de una relación entre el valor de A y su derivada normal en el límite.
Un ejemplo de esta condición de contorno es:
∂A
∂n+ cA = 0 (4.1.21)
4. Periódico: A las condiciones de contorno periódicas une dos límites juntos. En este tipo
de condición de contorno, los valores de límite en los puntos correspondientes de los dos
límites se establecen iguales entre sí.
5. Antiperiódicas: La condición de frontera anti periódicas también se unen a dos límites.
Sin embargo, se realizan los valores límites para ser de igual magnitud pero de signo opues-
to.
Para los problemas magnéticos con simetría axial, A = 0 se aplica en la línea r = 0. En este
caso, una solución válida se puede conseguir sin de�nir explícitamente cualquier condiciones
de contorno, siempre y cuando la parte del límite del problema se encuentra a lo largo de r
= 0. Este no es el caso para los problemas electrostáticos, sin embargo. Para los problemas
electrostáticos, es válido tener una solución con un potencial distinto de cero a lo largo de r =
0.
4.2. Diseño de microcojinetes magnéticos
El programa de Fem Magnetic se utilizó para realizar el diseño de los modelos empleados
para las simulaciones; a continuación se presentan los modelos generados con sus respectivas
medidas.
4.2.1. Modelo N.1
El diseño del primer modelo del microcojinete magnético se observa en la �gura 4.2.1. Este
microcojinete que se encuentra unido al eje del rotor (imán ubicado en la parte izquierda)
presenta unas dimensiones de 80 x 40 µm , tiene además dos imanes permanentes de 10 x 30
48
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
µm uno en la parte superior y otro en la parte inferior; además en el centro presenta una división
de 10 x 20 µm en la que se ubica el aluminio.
Figura 4.2.1: Dimensiones del diseño propuesto para el modelo N.1 .
Como se observa en la �gura 4.2.1 la distancia entre el imán de la izquierda y el de la
derecha es de 2 µm, por otra parte el imán que se encuentra ubicado a la derecha presenta
unas dimensiones de 80 x 40 µm, contiene dos imanes permanentes de dimensiones 20 x 40 µm
y al igual que el imán anterior presenta una división central en la cual se ubican las bobinas,
presenta unas dimensiones de 40 x 40 µm y en las cuales se pueden ubicar 3 bobinas. Al siguiente
diseño se le aplicó el uso de condiciones asintóticas, esto con el �n de obtener una solución
de campo empleando el método de frontera abierta, se tomaron las siguientes condiciones de
contorno para realizar este estudio, los valores que se presentan en la tabla 4.1fueron generados
automáticamente por el programa.
Descripción Valor
Capas 7Radio 157.49285698
Centro Horizontal 0Centro Vertical 68Tipo de borde Dirichlet
Tabla 4.1: Valores del método frontera abierta.
A continuación se presenta el modelo N.1 generado en el FEM, para ello se seleccionaron
49
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
4 imanes NdFeB 32 MGOe, además del aluminio y el aire. En la �gura 4.2.2 se observa la
geometría de la salida para este diseño.
Figura 4.2.2: Diseño de los microcojinetes magnéticos.
Al generar estas condiciones de fronteras se procede a mallar y a visualizar los resultados de
la simulación como se puede observar en la �gura 4.2.3, se observa un número de mallado de
de 6,754 de nodos y 13,052 elementos.
50
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 4.2.3: Geometría con IABC generada por la frontera abierta y mallado.
A continuación se presenta la �gura que representa el trazado de la densidad de �ujo para
el modelo N.1.
Figura 4.2.4: Trazado de la densidad de �ujo.
51
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
En la �gura 4.2.4 se observa como la fuerza se centra principalmente en la región cubierta
por el aluminio y en la parte central izquierda de las bobinas, este disminuye a medida que nos
alejamos tanto del aluminio como de las bobinas.
4.2.2. Modelo N.2
El diseño del segundo modelo se observa en la �gura 4.2.5, este microcojinete presenta unas
dimensiones de 120 x 60 µm, al igual que el anterior modelo, este tiene dos imanes permanentes
de 20 x 50 µm uno en la parte superior y otro en la parte inferior, además en el centro presenta
una división de 20 x 20 µm en la que se encuentra ubicado el aluminio.
Figura 4.2.5: Dimensiones del diseño propuesto para el modelo N.2 .
Como se observa en la �gura 4.2.5 la distancia entre el imán de la izquierda y el de la
derecha es de 4 µm, por otra parte el imán que se encuentra ubicado a la derecha presenta unas
dimensiones de 120 x 60 µm, contiene dos imanes permanentes de dimensiones 60 x 30 µm y
al igual que el imán anterior presenta una división central en la cual se ubican las bobinas,
presenta unas dimensiones de 60 x 60 µm y en las cuales se pueden ubicar 7 bobinas.
Al diseño 4.2.5 se le aplicó el uso de condiciones asintóticas, esto con el �n de obtener una
solución de campo empleando el método de frontera abierta, se tomaron las siguientes condicio-
nes de contorno, los valores que se presentan en la tabla 4.2 fueron generados automáticamente
por el programa.
52
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Descripción Valor
Capas 7
Radio 482.161264848703
Centro Horizontal 0
Centro Vertical 60
Tipo de borde Dirichlet
Tabla 4.2: Valores del método frontera abierta .
A continuación se presenta el modelo N.2 generado en el FEM, para ello se seleccionaron
4 imanes NdFeB 32 MGOe, además del aluminio y el aire. En la �gura 4.2.6 se observa la
geometría de la salida para este diseño.
Figura 4.2.6: Diseño de los microcojinetes magnéticos.
Al generar estas condiciones de fronteras se procede a mallar y a visualizar los resultados de
la simulación como se puede observar en la �gura 4.2.7, se observa un número de mallado de
7,071 nodos y 13,684 elementos.
53
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 4.2.7: Geometría con IABC generada por la frontera abierta y mallado.
A continuación se presenta la �gura 4.2.8 que representa el trazado de la densidad de �ujo
para el modelo N.2.
Figura 4.2.8: Trazado de la densidad de �ujo.
54
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
En la �gura 4.2.8 se observa como la fuerza se centra principalmente en los cuatros imanes
permanentes y presenta una menor densidad de �ujo en sus esquinas, tanto inferiores como
superiores.
4.2.3. Modelo N.3
El diseño del tercer modelo se observa en la �gura 4.2.9, este microcojinete presenta unasdimensiones de 140 x 90 µm. Al igual que el anterior modelo, este tiene dos imanes permanentesde 50 x 30 µm uno en la parte superior y otro en la parte inferior; además en el centro presentauna división de 40 x 30 µm en la que se encuentra ubicado el aluminio.
Figura 4.2.9: Dimensiones del diseño propuesto para el modelo N.3 .
Como se observa en la �gura 4.2.9 la distancia entre el imán de la izquierda y el de la
derecha es de 6 µm, por otra parte el imán que se encuentra ubicado a la derecha presenta unas
dimensiones de 120 x 90 µm, contiene dos imanes permanentes de dimensiones 30 x 90 µm y
al igual que el imán anterior presenta una división central en la cual se ubican las bobinas,
presenta unas dimensiones de 80 x 90 µm y en las cuales se pueden ubicar 14 bobinas.
Al diseño 4.2.9 se le aplicó el uso de condiciones asintóticas, esto con el �n de obtener una
solución de campo empleando el método de frontera abierta, se tomaron las siguientes condicio-
nes de contorno, los valores que se presentan en la tabla 4.3 fueron generados automáticamente
por el programa.
55
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Descripción Valor
Capas 7
Radio 695.858833618215
Centro Horizontal 0
Centro Vertical 69.8
Tipo de borde Dirichlet
Tabla 4.3: Valores del método frontera abierta .
A continuación se presenta el modelo N.3 generado en el FEM, para ello se seleccionaron4 imanes NdFeB 32 MGOe, además del aluminio y el aire. En la �gura 4.2.10 se observa lageometría de la salida para este diseño.
Figura 4.2.10: Diseño microcojinetes magnéticos.
Al generar estas condiciones de fronteras se procede a mallar y a visualizar los resultados de
la simulación como se puede observar en la �gura 4.2.11, se observa un número de mallado de
7,000 nodos y 13,540 elementos.
56
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 4.2.11: Geometría con IABC generada por la frontera abierta y mallado.
A continuación se presenta la �gura 4.2.12que representa el trazado de la densidad de �ujo
para el modelo N.3.
Figura 4.2.12: Trazado de la densidad de �ujo.
57
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
En la �gura 4.2.12 se observa como la fuerza se centra principalmente en los cuatros imanes
permanentes y presenta una menor densidad de �ujo en sus esquinas, tanto inferiores como
superiores.
4.2.4. Modelo N.4
El diseño del tercer modelo se observa en la �gura 4.2.13. Este microcojinete presenta unas
dimensiones de 140 x 90 µm. Al igual que el anterior modelo, este tiene dos imanes permanentes
de 50 x 30 µm uno en la parte superior y otro en la parte inferior, además en el centro presenta
una división de 40 x 30 µm en la que se encuentra ubicado el aluminio.
Figura 4.2.13: Dimensiones del diseño propuesto para el modelo N.4 .
Como se observa en la �gura 4.2.13 la distancia entre el imán de la izquierda y el de la
derecha es de 6 µm. Por otra parte, el imán que se encuentra ubicado a la derecha presenta
unas dimensiones de 140 x 120 µm, contiene dos imanes permanentes de dimensiones 30 x 120
µm y al igual que el imán anterior presenta una división central en la cual se ubican las bobinas
que en este caso son 19. Esta presenta unas dimensiones de 80 x 120 µm.
Al diseño N.4 se le aplicó el uso de condiciones asintóticas, con el �n de obtener una solución
de campo empleando el método de frontera abierta. Se tomaron las siguientes condiciones de
contorno para realizar este estudio, los valores que se presentan en la tabla 4.4 fueron generados
automáticamente por el programa.
58
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Descripción Valor
Capas 7
Radio 695.858833618215
Centro Horizontal 0
Centro Vertical 69.8
Tipo de borde Dirichlet
Tabla 4.4: Valores del método frontera abierta .
A continuación se presenta el modelo N.4 generado en el FEM, para ello se seleccionaron
4 imanes NdFeB 32 MGOe, además del aluminio y el aire. En la �gura 4.2.14 se observa la
geometría de la salida para este diseño.
Figura 4.2.14: Diseño microcojinetes magnéticos.
Al generar estas condiciones de fronteras se procede a mallar y a visualizar los resultados de
la simulación como se puede observar en la �gura 4.2.15, se observa un número de mallado de
6,861 nodos y 13,264 elementos.
59
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 4.2.15: Geometría con IABC generada por la frontera abierta y mallado.
A continuación se presenta la �gura 4.2.16 que representa el trazado de la densidad de �ujo
para el modelo N.4.
Figura 4.2.16: Trazado de la densidad de �ujo.
60
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
En la �gura 4.2.16 se observa como la fuerza se centra principalmente en los cuatros imanes
permanentes y presenta una menor densidad de �ujo en sus esquinas, tanto inferiores como
superiores. Esta imagen es muy similar a los dos modelos anteriores.
4.3. Análisis de sensibilidad de magnitudes
Para realizar el análisis de sensibilidad de magnitudes inicialmente se emplean 4 imanes con
diferentes medidas; estas se presentan en la tabla 4.5.
Modelo N. Imanes Medidas Imanes del rotor Medidas Imanes del estator
1 4 30 x 10 µm 20 x 40 µm2 4 50 x 20 µm 30 x 60 µm3 4 50 x 30 µm 30 x 90 µm4 4 50 x 30 µm 80 x 120 µm
Tabla 4.5: Imanes según el modelo diseñado .
Para realizar estas simulaciones se empleó un código en el programa de Scilab, el cual se
presenta a continuación en la tabla 4.5, la función principal de este código es calcular el valor
de la fuerza axial que es ejercida al momento que se produce un movimiento. En este caso la
fuerza es llamada Fz y se hace en un bucle de 30 movimientos; también se calculó la fuerza
radial que al no tener un movimiento en el eje x presentó un valor igual a cero; luego de tener
los datos calculados se procede a gra�car.
Algoritmo 4.1 Código scilab análisis de sensibilidad .
61
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
4.3.1. Grá�cas de la fuerza axial ejercida en función del desplazamiento
Para generar las simulaciones se tomaron los valores que se presentan en la tabla 4.6. El
valor de la coercitividad fue tomada como referencia del artículo [13], los demás valores fueron
sugeridos por el programa FEM al momento de seleccionar el tipo de imán a utilizar.
Parámetros Valores
Nombre Imanes NdFeB 32 MGOePermeabilidad Relativa µr 1.045Permeabilidad Relativa µz 1.045
Coercitividad 2000000Conductividad Eléctrica 0.694
Tabla 4.6: Valores tomados para los imanes .
A continuación se presenta la grá�ca 4.3.1 que re�eja las simulaciones generadas para los
cuatro modelos.
Figura 4.3.1: Desplazamiento ascendiente del cilindro.
En la grá�ca 4.3.1 se observa como a medida que aumenta el radio de los modelos aumenta
la fuerza radial ejercida por el cilindro cuando se encuentra en movimiento, llegando a tomar
un valor máximo con el cuarto modelo de 22,69 mN, el modelo N.3 presenta una fuerza de 21,96
mN, por otra parte de los cuatro modelos el que presenta una fuerza radial menor es el modelo
N.2 con un valor de 7,39 mN. En lo que re�ere a la fuerza ejercida al momento que el cilindro
esta desciendo, esta toma los mismos valores que la grá�ca anterior.
Por otra parte se ha calculado la rigidez de los microcojinetes magnéticos ks para cada uno
de los modelos, esta rigidez es calculada empleando la siguiente fórmula.
62
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
ks =4Fz4z
(4.3.1)
Donde F es la fuerza generada y z corresponde al desplazamiento del cilindro.
Modelo Fuerza (Fz) Desplazamiento (z) Rigidez Magnética
1 1,45 mN 2 µm 0,75 mN/µm2 2,39 mN 2 µm 1,19 mN/µm3 3,22 mN 2 µm 1,61 mN/µm4 3,64 mN 2 µm 1,82 mN/µm
Tabla 4.7: Rigidez de los microcojinetes magnéticos para el desplazamiento ascendente.
La �gura 4.3.2 muestra las grá�cas de los cuatro modelos utilizados cuando el cilindro pre-
senta un movimiento descendente positivo.
Figura 4.3.2: Desplazamiento descendiente positivo del cilindro .
Se ha calculado la rigidez para cada modelo con movimiento descendiente positivo, los re-
sultados se observan en la �gura 4.8.
Modelo Fuerza (Fz) Desplazamiento (z) Rigidez Magnética
1 1,56 mN 2 µm 0,78 mN/µm2 2,49 mN 2 µm 1,245 mN/µm3 3,43 mN 2 µm 1,715 mN/µm4 3,64 mN 2 µm 1,82 mN/µm
Tabla 4.8: Rigidez de los microcojinetes magnéticos para el desplazamiento descendente positivo.
Al momento de gra�car los valores generados por los modelos, se observa que al ejercer un
desplazamiento negativo el cilindro, este genera una fuerza radial negativa, como se puede ver
63
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
en la grá�ca 4.3.3.
Figura 4.3.3: Desplazamiento negativo del cilindro .
En la grá�ca 4.3.3 se observa como los cuatro modelos siguen el mismo patrón de las dos
grá�cas anteriores en sentido inverso, siendo el modelo que presenta unas mayores dimensiones
en este caso el cuarto modelo el que genera un valor máximo negativo en la grá�ca de -20,88
mN, seguida de igual forma del tercer modelo con un -20,22 mN.
La siguiente tabla 4.9 presenta el cálculo de la rigidez para el desplazamiento negativo de
los cuatro modelos, se observa como a medida que se incrementa el tamaño de los modelos la
rigidez aumenta, presentando un mayor valor en la rigidez el modelo N.4 con 1,86 mN/µm.
Modelo Fuerza (Fz) Desplazamiento (z) Rigidez Mágnetica
1 1,66 mN 2 µm 0,83 mN/µm2 2,32 mN 2 µm 1,16 mN/µm3 3,54 mN 2 µm 1,77 mN/µm4 3,72 mN 2 µm 1,86 mN/µm
Tabla 4.9: Rigidez de los microcojinetes magnéticos para el desplazamiento negativo.
4.3.2. Grá�cas de la fuerza axial ejercida en función del desplazamiento utilizando
corriente
La corriente se utilizará únicamente cuando se presenten perturbaciones al momento de
ejercer una determinada velocidad en el micromotor, para realizar las simulaciones de las fuerzas
axiales ejercidas al momento del desplazamiento se tomaron algunos datos encontradas en
publicaciones referentes al diseño y fabricación de microbobinas, las tablas 4.10 y 4.11 presenta
estos datos.
64
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Referencia Diámetro Total Diámetro Alambre Vueltas Corriente Densidad de Corriente
[3] 150 µm 25 µm 15 100 mA 2.037e+08 A/m2
[3] 1000 µm - 200 µm 25 µm 100 mA �-[3] 200 µm 25 µm 2 100 mA �-[3] 120 µm 25 µm 120 100 mA �-[3] 1000 µm 25 µm 7 100 mA �-[6] �- 20 300 mA �-
Table 4.10: Datos de fabricación de algunas microbobinas 1.
Referencia Frecuencia Altura Cable Aislado Espacio entre Bobinas De�exiones
[3] �- 650 µm-hight SU8 SI �- �-[3] �- SU8 �- �- �-[3] �- �- �- 200 µm �-[3] 300 KHz �- �- �- �-[3] 300 KHz �- �- �- �-
Table 4.11: Datos de fabricación de algunas microbobinas 2 .
Con base a los datos encontrados en los diferentes artículos relacionados con la fabricación
de las microbobinas y tomando como base el artículo [3], el cual presenta una referencia del
diámetro del alambre del bobinado que en su caso es de 25 µm se calculó la super�cie total del
alambre S = 4,909X 10−10m2. Con este dato y con las medidas de cada uno de los modelos se
calcularon la super�cie total de cada uno de ellos y el número de vueltas que puede contener
cada super�cie. Estos valores se presentan en la tabla 4.12.
Modelo Medidas Super�cie total del modelo Super�cie del alambre Número de bobinas
1 80 x 40 µm 4.909 x 10 ^-9 1.600 x 10^-9 32 120 x 60 µm 4.909 x 10 ^-9 3.600 x 10^-9 73 140 x 90 µm 4.909 x 10 ^-9 7.200 x 10^-9 144 140 x 90 µm 4.909 x 10 ^-9 9.600 x 10^-9 19
Table 4.12: Número de bobinas para cada super�cie.
Para realizar las grá�cas de cada uno de los modelos se tomó como base la corriente del
artículo [6], la cual se empleó para la fabricación de un micro imán, este utilizó un valor de
corriente de 300 mA; en nuestro caso se empleó una corriente de 0.3 A. Como se observó que la
corriente in�uía mucho en cada modelo al momento de su desplazamiento, se decidió modi�car
el número de bobinas en cada uno de los modelos de acuerdo a la cantidad permitida por el
mismo, para ello se realizó el siguiente procedimiento:
Inicialmente se tomó la super�cie total de cada uno de los modelos, donde:
S = π x r2 (4.3.2)
,
Tomando un radio de 12.5 µm, dio como resultado un valor de (4,909x10−10m2), luego se divide
65
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
por la super�cie de cada modelo utilizando la siguiente fórmula:
Numero de V ueltas =s
S(4.3.3)
Numero de V ueltas =1,600 x 10−10m2
4,909 x 10−10m2(4.3.4)
, dando un valor determinado de bobinas para cada modelo, en este caso la cantidad de bobinas
ha utilizar es de 3.
4.3.2.1 Modelo N.1
Como se ha mencionado antes, este modelo presenta una medida total de 80 x 80 µm y se
le aplicará una corriente de 0.3 A, modi�cando únicamente el número de vueltas que para este
modelo el máximo permitido es de 3.
La siguiente grá�ca 4.3.4 re�eja la relación existente entre la fuerza generada al momento
de producirse el desplazamiento, hasta un máximo de 45 µm.
Figura 4.3.4: Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.1.
Es importante anotar que para estas simulaciones se utilizará un gap de 2 µm, este valor
se tomó como base del artículo [21]. La grá�ca 4.3.5 presenta la relación de la fuerza frente
al desplazamiento producida al momento de iniciarse el movimiento del micromotor, para este
modelo es aconsejable utilizar el mayor número de bobinas ya que, según la grá�ca, ésta presenta
un mayor espacio de regulación en el modelo N.1.
66
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 4.3.5: Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.1.
4.3.2.2 Modelo N.2
Este modelo permite como máximo 7 bobinas. Al igual que en el modelo anterior se aplicaráuna corriente de 0,3 A. En la grá�ca 4.3.6 se observa como la fuerza aumenta a medida que seproduce el desplazamiento, llegando a un valor máximo de 13,39 µm.
Figura 4.3.6: Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.2.
Para este modelo es aconsejable utilizar un bobinado máximo de 5, ya que esta presenta un
mayor rango para poder regular cuando se presente una perturbación.
67
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 4.3.7: Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.2.
4.3.2.3 Modelo N.3
Para este se pueden emplear un máximo de 14 bobinas, esto de acuerdo a las medidas del
modelo. La grá�ca 4.3.8 presenta la relación existente entre el desplazamiento y el desplaza-
miento para cada una de las bobinas empleadas en el modelo. Se observa como aumenta la
fuerza al momento del desplazamiento llegando a un valor máximo de 22,01 µm.
68
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 4.3.8: Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.3.
La grá�ca 4.3.9 presenta la relación de la fuerza para cada número de bobinados, que en este
caso son de 14. Se observa como el número máximo de bobinas presenta un mayor espacio de
regulación por lo cual seria el mas recomendado para utilizar.
1
Figura 4.3.9: Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.3.
4.3.2.4 Modelo N.4
En el modelo N.4 el número total de bobinas que se pueden incorporar es de 19 y se le
aplicará una corriente de 0.3 A como en los casos anteriores. La grá�ca 4.3.10 muestra la
69
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
relación existente entre la fuerza y el desplazamiento generado al momento del movimiento del
motor; no se observa mucha diferencia con el modelo anterior ya que la fuerza toma un valor
máximo de unos 22,64 mN con un número de bobinas de 4, algo similar al modelo anterior.
Figura 4.3.10: Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.4.
Para este modelo al igual que en los anteriores se recomienda utilizar el máximo de bobinas
ya que permitiría tener un mayor rango de regulación.
Figura 4.3.11: Fuerza entre los imanes del rotor y las bobinas de estator, Modelo N.4.
Por otra parte se ha calculado la rigidez dieléctrica ki para cada uno de los modelos, esta
70
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
rigidez es calculada empleando la siguiente fórmula.
ks =Fz
I(4.3.5)
Donde F es la fuerza generada y I corresponde a la corriente utilizada. La rigidez dieléctrica
dio como resultado un valor de
ki =2
0,3= 6,66 µN/A (4.3.6)
4.3.3. Análisis de sensibilidad de la fuerza axial ejercida en función del desplaza-
miento utilizando corriente y empleando el hierro
A continuación se presenta la grá�ca que hace referencia a la relación existente entre la
fuerza y el desplazamiento al momento de generarse una determinada perturbación, cuando se
produce movimiento en el micromotor. Para hacer estas simulaciones solamente se usará el que
presenta unas dimensiones más amplias y un mejor rango para el estudio.
Figura 4.3.12: Diseño de los microcojinetes magnéticos .
Se malla la �gura y se crean 6,861 nodos con 13,264 elementos, a continuación la �gura
presenta dicho mallado.
71
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 4.3.13: Geometría con IABC generada por la frontera abierta y mallada.
Por otra parte también se presenta el trazado de la densidad de �ujo, a continuación la
�gura 4.3.14 re�eja el �ujo de densidad generado con el hierro. Se observa como la fuerza se
centra principalmente al lado izquierdo en la zona que corresponde al hierro y a los imanes
permanentes de esa zona.
Figura 4.3.14: Trazado de la densidad de �ujo.
72
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Para realizar este análisis se utilizó el hierro como material conductor y se tomó el modelo
N.4 ya que este presenta unas medidas mayores y un máximo de bobinas de 19. La grá�ca 4.3.15
presenta la relación entre la fuerza y el desplazamiento utilizando como material conductor el
hierro. Esta grá�ca presenta un valor máximo de 22,66 mN con 2 bobinas. Estos valores son
muy similares a las simulaciones realizadas con el mismo modelo pero utilizando como material
conductor el aluminio, la única diferencia es el número de bobinado, ya que en el modelo del
aluminio este presenta un bobinado de 4 con un valor de 22,64 mN.
Figura 4.3.15: Relación entre la fuerza y el desplazamiento utilizando hierro, Modelo N.4.
Al igual que en las simulaciones anteriores se aplicó una corriente de 0,3 A y se tomó un
gap de 2 µm. A continuación la grá�ca 4.3.16 presenta cada una de las simulaciones aplicando
un determinado número de bobinas. Se observa nuevamente que es recomendable utilizar el
número máximo de bobinas ya que permitiría un mayor espacio de regulación. A diferencia de
la simulación utilizando el aluminio, ésta presenta un mayor espacio ya que con un número de
19 bobinas corta en 0,5 µm, mientras que con el aluminio su corte es en 0,36 µm.
73
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Figura 4.3.16: Relación entre la fuerza y el desplazamiento utilizando hierro, Modelo N.4.
74
Capítulo 5
Resultados obtenidos
Al realizar el análisis de los esfuerzos tangenciales y normales, se observó que el crecimiento
de la velocidad de rotación en la fuerza tangencial se ve in�uenciada por la resistencia de la
capa del conductor y aquellos que presentan un mayor valor en esta resistencia, muestran un
menor par de arranque. Por otra parte se observa que los valores más pequeños en la resistencia
son aquellos que tienen un par de arranque mayor. Mientras que los valores de la resistencia de
la capa de rotación en la fuerza tangencial presentan un par máximo igual.
Al realizar el análisis por el método de los elementos �nitos se observa cómo in�uye el
diámetro de cada uno de los modelos, tanto en el número de bobinas como en el diámetro de
regulación. La tabla 5.1 re�eja la cantidad de bobinas calculadas para cada uno de los modelos
planteados.
Como la corriente in�uye al momento de realizar las simulaciones, no es recomendable una
corriente mayor a 0,3 A, por lo que tomando como base el artículo [6] se llegó a la conclusión
de utilizar el número de bobinas, para no tener la necesidad de incrementar la corriente y de
esa forma corregir las perturbaciones que se presenten.
Modelo Medidas Número de bobinas
1 80 x 40 µm 32 120 x 60 µm 73 140 x 90 µm 144 140 x 90 µm 19
Table 5.1: Número de bobinas para cada super�cie.
Es importante mencionar que la fuerza en relación con el desplazamiento también se ve
in�uenciada por el modelo durante la produccion del movimiento. El modelo N.4 es el óptimo
y el que generó mejores resultados al momento de realizar las simulaciones. Se observa que al
emplear como elemento conductor el hierro este es más útil que el aluminio, por la misma razón
que se ha mencionado anteriormente.
75
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
76
Capítulo 6
Resumen
En los primeros capítulos de este trabajo se trato de estudiar la historia del arte relacionada
con los microcojinetes magnéticos aplicados a las micromáquinas de inducción electrostática,
estudiando además tanto los principios como las limitaciones presentadas por estas técnicas de
suspensión y levitación.
Por otra parte se realizó un pequeño estudio de todo lo que tiene relación con los micro-
motores de inducción electrostáticos, se presentaron además las diferentes topologías que se
encuentran actualmente de los microcojinetes magnéticos y se elaboraron dos diseños, uno de
ellos simétrico y otro asimétrico, con medidas tomadas de algunos artículos encontrados que
tratan sobre los microcojinetes magnéticos.
También se llevo a cabo un análisis de estos microcojinetes magnéticos por el método de
los elementos �nitos, presentando el diseño propuesto de los cuatro modelos de microcojinetes
magnéticos, además de realizar un análisis de sensibilidad empleando dos elementos conductores
como son el aluminio y el hierro, calculando para cada uno de ellos la fuerza de Maxwell,
modi�cando la corriente en cada uno de estos casos.
Para terminar se presentan los resultados obtenidos, un pequeño resumen del trabajo efec-
tuado, las conclusiones y las líneas futuras de trabajo.
6.1. Conclusiones
Inicialmente se presentó el diseño propuesto N.1, el cual presenta un microcojinete magné-
tico asimétrico; este de�ne todas las características que se ajustan a las necesidades de dichos
microcojinetes, pero para mejorar la estabilidad del micromotor se presentó un segundo diseño
el cual es simétrico y presenta las mismas características del modelo inicial, siendo práctica-
mente un duplicado del mismo, con iguales componentes ubicados en la parte superior de dicho
micromotor, este segundo da mayor estabilidad al micromotor ya que controla mejor el des-
plazamiento del eje del rotor a velocidades muy altas ya, dado que contiene 2 pares de imanes
permanentes; el primero en la parte inferior del micromotor y el segundo en la parte superior.
77
Microcojinetes Magnéticos Aplicados a las Micromáquinas de Inducción Electrostáticas
Al realizar el análisis de los esfuerzos tangenciales y normales se observó que el crecimiento
de la velocidad de rotación en la fuerza tangencial, se ve in�uenciada por la resistencia de la
capa del conductor y aquellos que presentan un mayor valor en esta resistencia muestran un
menor par de arranque, las que presentan valores más pequeños en la resistencia son aquellas
que tienen un par de arranque mayor. Por otro lado, se observa también que para todos los
valores de la resistencia de la capa de rotación en la fuerza tangencial se presenta un par máximo
igual.
Además, se realizó un análisis de sensibilidad utilizando el método de los elementos �nitos,
con este método se realizaron las simulaciones relacionadas con el número de bobinas y la
corriente, empleando para esto cuatro modelos con diferentes tamaños; se observa cómo el
tamaño del modelo in�uye y mejora el espacio de regulación del micromotor, ya que a mayor
medida mayor espacio para regular.
Al realizar el análisis de sensibilidad utilizando como elemento conductor el hierro, se obser-
va que presentan un mayor espacio regulador por lo cual es mejor utilizar este elemento. Por
otra parte, se observa que empleando el aluminio y el hierro al momento de realizar el trazado
de la densidad de �ujo, las corrientes inducidas se centran principalmente en la región donde
se encuentran dichos elementos.
6.2. Líneas futuras de trabajo
A continuación se presentan algunas sugerencias de líneas futuras de trabajo.
1. Diseño de reguladores óptimos para sistemas de lazo cerrado.
2. Diseño de un programa de algoritmos genéticos para la creación del modelo que mas se
adecue a las necesidades del momento.
3. Fabricación del modelo empleando como base la tecnología aplicada en el artículo [3], el
cual crea un microcojinete magnético.
78
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