NOTAS PRELIMINARES
DE MATEMAacuteTICA
Ingreso FRT -UTN 2022
Lic Adriana Moya Coordinadora Aacuterea Matemaacutetica Lic Aida Fernaacutendez Editora Aula Virtual Matemaacutetica
UTN-FRT 1
IacuteN D I C E
SIacuteMBOLOS helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 2
UNIDAD 1 CONJUNTOS NUMEacuteRICOS ndash NOCIONES BAacuteSICAS DE
GEOMETRIA
bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipPaacuteg 3
UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 27
UNIDAD 3 TRIGONOMETRIacuteA
bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipPaacuteg 47
UNIDAD 4 ECUACIONES
bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg4 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 71
UNIDAD 5 FUNCIONES
bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 88
UTN-FRT 2
Siacutembolos Matemaacuteticos
Alfabeto Griego
alfa beta gamma delta
eacutepsilon lambda mu rho
pi sigma psi omega
= igual a and y
ne no es igual a or o en sentido inclusivo
cong aproximado a or o en sentido exclusivo
lt menor que implica (condicioacuten necesaria)
≮ no es menor que
Implica doblemente (condicioacuten
necesaria y suficiente)
gt mayor que there4 Por lo tanto en consecuencia
≯ no es mayor que Tal que
le menor o igual que exist Existe
ge mayor o igual que forall Para todo
plusmn mas o menos isin Pertenece
infin Infinito sube Incluido en
prop proporcional a sub Incluido estrictamente en
paralelo a supe Incluye a
perp perpendicular a sup Incluye estrictamente a
∡ aacutengulo cup Unioacuten o junta
⊾ aacutengulo recto cap Interseccioacuten o reunioacuten
UTN-FRT 3
UNIDAD Ndeg1
Nuacutemeros Naturales
Nuacutemeros Enteros
Nuacutemeros Racionales e Irracionales
Nuacutemeros Reales
Propiedades de los nuacutemeros reales
Operaciones entre los nuacutemeros reales
Potenciacioacuten y Radicacioacuten
Intervalos
Valor Absoluto
Caacutelculo de periacutemetros aacutereas y voluacutemenes
UTN-FRT 4
NOCIONES BAacuteSICAS DE CONJUNTOS
Los teacuterminos conjunto elemento y pertenencia son ldquoconceptos primitivosrdquo en la teoriacutea
de conjuntos por lo que no se daraacute una nueva definicioacuten de ellos
Cuando hablamos de un conjunto nombrando o enumerando uno a uno los elementos
que forman parte del mismo decimos que lo hemos expresado por extensioacuten
Ejemplo A= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Si en cambio expresamos una propiedad que caracteriza a dichos elementos decimos
que el conjunto estaacute expresado por comprensioacuten
Ejemplo A= x x es un diacutegito
En la uacuteltima expresioacuten la barra inclinada ldquordquo se lee como ldquotal querdquo
Relacioacuten de pertenencia e inclusioacuten
Operaciones entre conjuntos
Unioacuten
Ejemplo
Para designar o nombrar a los conjuntos se utilizan letras de
imprenta mayuacutesculas
A B C etc
Los elementos de los conjuntos se simbolizan con letras de
imprenta minuacutesculas
abc etc
Para representar un conjunto se utiliza el siacutembolo de las
llaves
Ejemplo
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto a isin A
Para representar que un elemento que no pertenece a un
conjunto
119886 notin A
Para representar que un conjunto A estaacute incluido o
contenido en un conjunto B
A sub B
Para representar que un conjunto A no estaacute incluido o no
estaacute contenido en un conjunto B
A B
UTN-FRT 5
Dados dos conjuntos A y B se llama unioacuten de A con B a otro conjunto que tiene todos
los elementos de A y de B En siacutembolos A U B
A U B = x x A x B
Interseccioacuten
Dados dos conjuntos A y B se llama interseccioacuten de A y B a otro conjunto que tiene
soacutelo los elementos comunes de A y B En siacutembolos s A cap B
A cap B = x x A x B
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros 1 2 3 4 5 hellip reciben el nombre de nuacutemeros naturales o enteros positivos
Al conjunto de estos nuacutemeros se los simboliza por ℕ o por ℤ+
Entonces
ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5
Si lo incluimos al 0 en el conjunto de los naturales lo denotamos como
ℕ0 = 0 1 2 3 4 5
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros naturales es infinito
2- Tiene primer elemento y no tiene uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero natural tiene un sucesor Un nuacutemero natural y su sucesor se dicen
consecutivos Ejemplo 6 es el sucesor de 5rArr5 y 6 son consecutivos
4- Todo nuacutemero excepto el primer elemento tiene un antecesor
Operaciones posibles en N0
Las operaciones de adicioacuten (suma) y multiplicacioacuten (producto) son siempre posibles en
N0 La adicioacuten y multiplicacioacuten se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros
naturales es decir
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a + b) isin ℕ Ejemplo 2 isin ℕ y 4 isin ℕ rArr 2+4=6 isin ℕ
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a b) isin ℕ Ejemplo 3 isin ℕ y 7 isin ℕ rArr 37=21 isin ℕ
Otras operaciones no siempre son posibles en ℕ0 por ejemplo la sustraccioacuten
UTN-FRT 6
Ejemplo 5 isin ℕ y 8 isin ℕ pero 5-8=-3 notin ℕ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los naturales se crearon
los nuacutemeros enteros
Nuacutemeros Enteros
El conjunto de los nuacutemeros enteros se simboliza con la letra ℤ es decir
ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip
Otra forma de denotarlo es
ℤ =ℤminus U 0 U ℤ+
Siendo ℤminus-= hellip -5 -4 -3 -2 -1
ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros enteros es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero entero tiene un sucesor Un nuacutemero entero y su sucesor se dicen
consecutivo Ejemplo -3 es el sucesor de -4 rArr-3 y -4 son consecutivos
4- Todo nuacutemero entero tiene un antecesor Ejemplo -7 es el antecesor de -6
Operaciones posibles en Z
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) y multiplicacioacuten (producto) son
siempre posibles en ℤ Estas operaciones se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los
nuacutemeros enteros
Otras operaciones no siempre son posibles en ℤ por ejemplo la divisioacuten (cociente)
Ejemplo 5 isin Z y 8 isin ℤ pero 58 notin ℤ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los enteros se crearon
los nuacutemeros racionales
Nuacutemeros Racionales
El conjunto de los nuacutemeros racionales se simboliza con la letra ℚ es decir
ℚ = 119886
119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros racionales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Ninguacuten nuacutemero racional sucesor ni antecesor
Operaciones posibles en Q
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) multiplicacioacuten (producto) y la
divisioacuten (con divisor distinto de cero) son siempre posibles en ℚ Estas operaciones se
dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros racionales
UTN-FRT 7
Expresioacuten decimal de un racional
A todo nuacutemero racional se lo puede expresar en forma decimal Al dividir a por b (b
distinto de cero) se obtiene una expresioacuten decimal del nuacutemero racional
Todo nuacutemero racional puede escribirse como una expresioacuten decimal cuya parte decimal
puede tener un nuacutemero finito o infinito de cifras perioacutedicas puras o mixtas
Ejemplos
Decimal finita 05 - 2 43 14 456
Decimal perioacutedica pura 0 4⏜ = 04444 8 13⏜ = 8131313
Decimal perioacutedica mixta 01 8⏜ = 018888 73 16⏜ = 73161616
Para transformar una expresioacuten decimal en una fraccioacuten lo veremos con los siguientes
ejemplos
Ejemplos
Para convertir una expresioacuten decimal finita a fraccioacuten
05 =5
10=
1
2
minus243
= minus243
100
14456
=14456
1000
=1807
125
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica pura a fraccioacuten
0 4⏜ =4
9
8 13⏜
=813 minus 8
99
=805
99
UTN-FRT 8
Nuacutemeros Irracionales
Los nuacutemeros irracionales son nuacutemeros que no son racionales Son aquellos nuacutemeros
cuya representacioacuten decimal es infinita y no perioacutedica por lo que estos nuacutemeros no
pueden ser expresados como cociente de dos nuacutemeros enteros
El conjunto de los nuacutemeros irracionales se simboliza con la letra 119868 es decir
119868 = 119886119886 notin ℚ
Ejemplos
radic2 = 241421356hellip
120587 = 314159hellip
radic53
= 1709975hellip
e = 2718281828459045hellip
Nuacutemeros Reales
El conjunto de los nuacutemeros racionales ℚ y el conjunto de los nuacutemeros irracionales 119868
forman el conjunto de reales ℝ
El conjunto de los nuacutemeros reales se simboliza con la letra ℝ es decir ℝ = ℚ cup 119868
El siguiente cuadro te muestra las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numeacutericos
hasta llegar a los nuacutemeros reales
Naturales ℕ0
enteros negativos ℤminus Enteros ℤ Racionales ℚ
Fraccionarios F Realesℝ
Irracionales 119868
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica mixta a fraccioacuten
01 8⏜
=18 minus 1
90
=17
90
73 16⏜
=7316 minus 73
990
=7243
990
UTN-FRT 9
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros reales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
Propiedades de la igualdad
Nombre En siacutembolos
Reflexibilidad forall119886 isin ℝ 119886 = 119886
Simetriacutea forall119886 119887 isin ℝ 119886 = 119887 rArr 119887 = 119886
Transitividad forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 = 119887 and 119887 = 119888 rArr 119886 = 119888
Operaciones posibles en R
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones baacutesicas la adicioacuten
y la multiplicacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la
adicioacuten entre a y b y el Producto a b es el resultado de multiplicar a y b
En la adicioacuten a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicacioacuten factores
Propiedades de la adicioacuten y la multiplicacioacuten
Nombre de
la propiedad
Adicioacuten y multiplicacioacuten
Ley de
composicioacuten
interna
forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 isin ℝ
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 isin ℝ
Conmutativa forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 = 119887 + 119886
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886
Asociativa forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)
forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)
Elemento
neutro
exist0 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 + 0 = 0 + 119886 = 119886
exist1 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 1 = 1 119886 = 119886
Existencia
del
forall119886 isin 119877 exist minus 119886 isin 119877 119886 + (minus119886) = (minus119886) + 119886 = 0
UTN-FRT 10
Ten en cuenta
Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que
119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939
Ejemplo Divide 13 en 3
120783120785 |120785
minus120783120784 120786
120783
por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783
Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta
El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto
implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los
nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le
corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero
real
POTENCIACIOacuteN
Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se
define como
an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base
Ademaacutes si ane0
a0=1 y a-n=1
119886119899
Ejemplos
elemento
inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =
1
119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1
Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888
forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886
ORIGEN
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 1
IacuteN D I C E
SIacuteMBOLOS helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 2
UNIDAD 1 CONJUNTOS NUMEacuteRICOS ndash NOCIONES BAacuteSICAS DE
GEOMETRIA
bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipPaacuteg 3
UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 27
UNIDAD 3 TRIGONOMETRIacuteA
bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipPaacuteg 47
UNIDAD 4 ECUACIONES
bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg4 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 71
UNIDAD 5 FUNCIONES
bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 88
UTN-FRT 2
Siacutembolos Matemaacuteticos
Alfabeto Griego
alfa beta gamma delta
eacutepsilon lambda mu rho
pi sigma psi omega
= igual a and y
ne no es igual a or o en sentido inclusivo
cong aproximado a or o en sentido exclusivo
lt menor que implica (condicioacuten necesaria)
≮ no es menor que
Implica doblemente (condicioacuten
necesaria y suficiente)
gt mayor que there4 Por lo tanto en consecuencia
≯ no es mayor que Tal que
le menor o igual que exist Existe
ge mayor o igual que forall Para todo
plusmn mas o menos isin Pertenece
infin Infinito sube Incluido en
prop proporcional a sub Incluido estrictamente en
paralelo a supe Incluye a
perp perpendicular a sup Incluye estrictamente a
∡ aacutengulo cup Unioacuten o junta
⊾ aacutengulo recto cap Interseccioacuten o reunioacuten
UTN-FRT 3
UNIDAD Ndeg1
Nuacutemeros Naturales
Nuacutemeros Enteros
Nuacutemeros Racionales e Irracionales
Nuacutemeros Reales
Propiedades de los nuacutemeros reales
Operaciones entre los nuacutemeros reales
Potenciacioacuten y Radicacioacuten
Intervalos
Valor Absoluto
Caacutelculo de periacutemetros aacutereas y voluacutemenes
UTN-FRT 4
NOCIONES BAacuteSICAS DE CONJUNTOS
Los teacuterminos conjunto elemento y pertenencia son ldquoconceptos primitivosrdquo en la teoriacutea
de conjuntos por lo que no se daraacute una nueva definicioacuten de ellos
Cuando hablamos de un conjunto nombrando o enumerando uno a uno los elementos
que forman parte del mismo decimos que lo hemos expresado por extensioacuten
Ejemplo A= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Si en cambio expresamos una propiedad que caracteriza a dichos elementos decimos
que el conjunto estaacute expresado por comprensioacuten
Ejemplo A= x x es un diacutegito
En la uacuteltima expresioacuten la barra inclinada ldquordquo se lee como ldquotal querdquo
Relacioacuten de pertenencia e inclusioacuten
Operaciones entre conjuntos
Unioacuten
Ejemplo
Para designar o nombrar a los conjuntos se utilizan letras de
imprenta mayuacutesculas
A B C etc
Los elementos de los conjuntos se simbolizan con letras de
imprenta minuacutesculas
abc etc
Para representar un conjunto se utiliza el siacutembolo de las
llaves
Ejemplo
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto a isin A
Para representar que un elemento que no pertenece a un
conjunto
119886 notin A
Para representar que un conjunto A estaacute incluido o
contenido en un conjunto B
A sub B
Para representar que un conjunto A no estaacute incluido o no
estaacute contenido en un conjunto B
A B
UTN-FRT 5
Dados dos conjuntos A y B se llama unioacuten de A con B a otro conjunto que tiene todos
los elementos de A y de B En siacutembolos A U B
A U B = x x A x B
Interseccioacuten
Dados dos conjuntos A y B se llama interseccioacuten de A y B a otro conjunto que tiene
soacutelo los elementos comunes de A y B En siacutembolos s A cap B
A cap B = x x A x B
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros 1 2 3 4 5 hellip reciben el nombre de nuacutemeros naturales o enteros positivos
Al conjunto de estos nuacutemeros se los simboliza por ℕ o por ℤ+
Entonces
ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5
Si lo incluimos al 0 en el conjunto de los naturales lo denotamos como
ℕ0 = 0 1 2 3 4 5
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros naturales es infinito
2- Tiene primer elemento y no tiene uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero natural tiene un sucesor Un nuacutemero natural y su sucesor se dicen
consecutivos Ejemplo 6 es el sucesor de 5rArr5 y 6 son consecutivos
4- Todo nuacutemero excepto el primer elemento tiene un antecesor
Operaciones posibles en N0
Las operaciones de adicioacuten (suma) y multiplicacioacuten (producto) son siempre posibles en
N0 La adicioacuten y multiplicacioacuten se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros
naturales es decir
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a + b) isin ℕ Ejemplo 2 isin ℕ y 4 isin ℕ rArr 2+4=6 isin ℕ
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a b) isin ℕ Ejemplo 3 isin ℕ y 7 isin ℕ rArr 37=21 isin ℕ
Otras operaciones no siempre son posibles en ℕ0 por ejemplo la sustraccioacuten
UTN-FRT 6
Ejemplo 5 isin ℕ y 8 isin ℕ pero 5-8=-3 notin ℕ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los naturales se crearon
los nuacutemeros enteros
Nuacutemeros Enteros
El conjunto de los nuacutemeros enteros se simboliza con la letra ℤ es decir
ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip
Otra forma de denotarlo es
ℤ =ℤminus U 0 U ℤ+
Siendo ℤminus-= hellip -5 -4 -3 -2 -1
ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros enteros es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero entero tiene un sucesor Un nuacutemero entero y su sucesor se dicen
consecutivo Ejemplo -3 es el sucesor de -4 rArr-3 y -4 son consecutivos
4- Todo nuacutemero entero tiene un antecesor Ejemplo -7 es el antecesor de -6
Operaciones posibles en Z
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) y multiplicacioacuten (producto) son
siempre posibles en ℤ Estas operaciones se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los
nuacutemeros enteros
Otras operaciones no siempre son posibles en ℤ por ejemplo la divisioacuten (cociente)
Ejemplo 5 isin Z y 8 isin ℤ pero 58 notin ℤ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los enteros se crearon
los nuacutemeros racionales
Nuacutemeros Racionales
El conjunto de los nuacutemeros racionales se simboliza con la letra ℚ es decir
ℚ = 119886
119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros racionales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Ninguacuten nuacutemero racional sucesor ni antecesor
Operaciones posibles en Q
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) multiplicacioacuten (producto) y la
divisioacuten (con divisor distinto de cero) son siempre posibles en ℚ Estas operaciones se
dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros racionales
UTN-FRT 7
Expresioacuten decimal de un racional
A todo nuacutemero racional se lo puede expresar en forma decimal Al dividir a por b (b
distinto de cero) se obtiene una expresioacuten decimal del nuacutemero racional
Todo nuacutemero racional puede escribirse como una expresioacuten decimal cuya parte decimal
puede tener un nuacutemero finito o infinito de cifras perioacutedicas puras o mixtas
Ejemplos
Decimal finita 05 - 2 43 14 456
Decimal perioacutedica pura 0 4⏜ = 04444 8 13⏜ = 8131313
Decimal perioacutedica mixta 01 8⏜ = 018888 73 16⏜ = 73161616
Para transformar una expresioacuten decimal en una fraccioacuten lo veremos con los siguientes
ejemplos
Ejemplos
Para convertir una expresioacuten decimal finita a fraccioacuten
05 =5
10=
1
2
minus243
= minus243
100
14456
=14456
1000
=1807
125
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica pura a fraccioacuten
0 4⏜ =4
9
8 13⏜
=813 minus 8
99
=805
99
UTN-FRT 8
Nuacutemeros Irracionales
Los nuacutemeros irracionales son nuacutemeros que no son racionales Son aquellos nuacutemeros
cuya representacioacuten decimal es infinita y no perioacutedica por lo que estos nuacutemeros no
pueden ser expresados como cociente de dos nuacutemeros enteros
El conjunto de los nuacutemeros irracionales se simboliza con la letra 119868 es decir
119868 = 119886119886 notin ℚ
Ejemplos
radic2 = 241421356hellip
120587 = 314159hellip
radic53
= 1709975hellip
e = 2718281828459045hellip
Nuacutemeros Reales
El conjunto de los nuacutemeros racionales ℚ y el conjunto de los nuacutemeros irracionales 119868
forman el conjunto de reales ℝ
El conjunto de los nuacutemeros reales se simboliza con la letra ℝ es decir ℝ = ℚ cup 119868
El siguiente cuadro te muestra las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numeacutericos
hasta llegar a los nuacutemeros reales
Naturales ℕ0
enteros negativos ℤminus Enteros ℤ Racionales ℚ
Fraccionarios F Realesℝ
Irracionales 119868
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica mixta a fraccioacuten
01 8⏜
=18 minus 1
90
=17
90
73 16⏜
=7316 minus 73
990
=7243
990
UTN-FRT 9
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros reales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
Propiedades de la igualdad
Nombre En siacutembolos
Reflexibilidad forall119886 isin ℝ 119886 = 119886
Simetriacutea forall119886 119887 isin ℝ 119886 = 119887 rArr 119887 = 119886
Transitividad forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 = 119887 and 119887 = 119888 rArr 119886 = 119888
Operaciones posibles en R
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones baacutesicas la adicioacuten
y la multiplicacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la
adicioacuten entre a y b y el Producto a b es el resultado de multiplicar a y b
En la adicioacuten a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicacioacuten factores
Propiedades de la adicioacuten y la multiplicacioacuten
Nombre de
la propiedad
Adicioacuten y multiplicacioacuten
Ley de
composicioacuten
interna
forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 isin ℝ
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 isin ℝ
Conmutativa forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 = 119887 + 119886
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886
Asociativa forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)
forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)
Elemento
neutro
exist0 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 + 0 = 0 + 119886 = 119886
exist1 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 1 = 1 119886 = 119886
Existencia
del
forall119886 isin 119877 exist minus 119886 isin 119877 119886 + (minus119886) = (minus119886) + 119886 = 0
UTN-FRT 10
Ten en cuenta
Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que
119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939
Ejemplo Divide 13 en 3
120783120785 |120785
minus120783120784 120786
120783
por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783
Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta
El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto
implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los
nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le
corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero
real
POTENCIACIOacuteN
Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se
define como
an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base
Ademaacutes si ane0
a0=1 y a-n=1
119886119899
Ejemplos
elemento
inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =
1
119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1
Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888
forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886
ORIGEN
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 2
Siacutembolos Matemaacuteticos
Alfabeto Griego
alfa beta gamma delta
eacutepsilon lambda mu rho
pi sigma psi omega
= igual a and y
ne no es igual a or o en sentido inclusivo
cong aproximado a or o en sentido exclusivo
lt menor que implica (condicioacuten necesaria)
≮ no es menor que
Implica doblemente (condicioacuten
necesaria y suficiente)
gt mayor que there4 Por lo tanto en consecuencia
≯ no es mayor que Tal que
le menor o igual que exist Existe
ge mayor o igual que forall Para todo
plusmn mas o menos isin Pertenece
infin Infinito sube Incluido en
prop proporcional a sub Incluido estrictamente en
paralelo a supe Incluye a
perp perpendicular a sup Incluye estrictamente a
∡ aacutengulo cup Unioacuten o junta
⊾ aacutengulo recto cap Interseccioacuten o reunioacuten
UTN-FRT 3
UNIDAD Ndeg1
Nuacutemeros Naturales
Nuacutemeros Enteros
Nuacutemeros Racionales e Irracionales
Nuacutemeros Reales
Propiedades de los nuacutemeros reales
Operaciones entre los nuacutemeros reales
Potenciacioacuten y Radicacioacuten
Intervalos
Valor Absoluto
Caacutelculo de periacutemetros aacutereas y voluacutemenes
UTN-FRT 4
NOCIONES BAacuteSICAS DE CONJUNTOS
Los teacuterminos conjunto elemento y pertenencia son ldquoconceptos primitivosrdquo en la teoriacutea
de conjuntos por lo que no se daraacute una nueva definicioacuten de ellos
Cuando hablamos de un conjunto nombrando o enumerando uno a uno los elementos
que forman parte del mismo decimos que lo hemos expresado por extensioacuten
Ejemplo A= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Si en cambio expresamos una propiedad que caracteriza a dichos elementos decimos
que el conjunto estaacute expresado por comprensioacuten
Ejemplo A= x x es un diacutegito
En la uacuteltima expresioacuten la barra inclinada ldquordquo se lee como ldquotal querdquo
Relacioacuten de pertenencia e inclusioacuten
Operaciones entre conjuntos
Unioacuten
Ejemplo
Para designar o nombrar a los conjuntos se utilizan letras de
imprenta mayuacutesculas
A B C etc
Los elementos de los conjuntos se simbolizan con letras de
imprenta minuacutesculas
abc etc
Para representar un conjunto se utiliza el siacutembolo de las
llaves
Ejemplo
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto a isin A
Para representar que un elemento que no pertenece a un
conjunto
119886 notin A
Para representar que un conjunto A estaacute incluido o
contenido en un conjunto B
A sub B
Para representar que un conjunto A no estaacute incluido o no
estaacute contenido en un conjunto B
A B
UTN-FRT 5
Dados dos conjuntos A y B se llama unioacuten de A con B a otro conjunto que tiene todos
los elementos de A y de B En siacutembolos A U B
A U B = x x A x B
Interseccioacuten
Dados dos conjuntos A y B se llama interseccioacuten de A y B a otro conjunto que tiene
soacutelo los elementos comunes de A y B En siacutembolos s A cap B
A cap B = x x A x B
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros 1 2 3 4 5 hellip reciben el nombre de nuacutemeros naturales o enteros positivos
Al conjunto de estos nuacutemeros se los simboliza por ℕ o por ℤ+
Entonces
ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5
Si lo incluimos al 0 en el conjunto de los naturales lo denotamos como
ℕ0 = 0 1 2 3 4 5
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros naturales es infinito
2- Tiene primer elemento y no tiene uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero natural tiene un sucesor Un nuacutemero natural y su sucesor se dicen
consecutivos Ejemplo 6 es el sucesor de 5rArr5 y 6 son consecutivos
4- Todo nuacutemero excepto el primer elemento tiene un antecesor
Operaciones posibles en N0
Las operaciones de adicioacuten (suma) y multiplicacioacuten (producto) son siempre posibles en
N0 La adicioacuten y multiplicacioacuten se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros
naturales es decir
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a + b) isin ℕ Ejemplo 2 isin ℕ y 4 isin ℕ rArr 2+4=6 isin ℕ
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a b) isin ℕ Ejemplo 3 isin ℕ y 7 isin ℕ rArr 37=21 isin ℕ
Otras operaciones no siempre son posibles en ℕ0 por ejemplo la sustraccioacuten
UTN-FRT 6
Ejemplo 5 isin ℕ y 8 isin ℕ pero 5-8=-3 notin ℕ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los naturales se crearon
los nuacutemeros enteros
Nuacutemeros Enteros
El conjunto de los nuacutemeros enteros se simboliza con la letra ℤ es decir
ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip
Otra forma de denotarlo es
ℤ =ℤminus U 0 U ℤ+
Siendo ℤminus-= hellip -5 -4 -3 -2 -1
ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros enteros es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero entero tiene un sucesor Un nuacutemero entero y su sucesor se dicen
consecutivo Ejemplo -3 es el sucesor de -4 rArr-3 y -4 son consecutivos
4- Todo nuacutemero entero tiene un antecesor Ejemplo -7 es el antecesor de -6
Operaciones posibles en Z
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) y multiplicacioacuten (producto) son
siempre posibles en ℤ Estas operaciones se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los
nuacutemeros enteros
Otras operaciones no siempre son posibles en ℤ por ejemplo la divisioacuten (cociente)
Ejemplo 5 isin Z y 8 isin ℤ pero 58 notin ℤ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los enteros se crearon
los nuacutemeros racionales
Nuacutemeros Racionales
El conjunto de los nuacutemeros racionales se simboliza con la letra ℚ es decir
ℚ = 119886
119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros racionales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Ninguacuten nuacutemero racional sucesor ni antecesor
Operaciones posibles en Q
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) multiplicacioacuten (producto) y la
divisioacuten (con divisor distinto de cero) son siempre posibles en ℚ Estas operaciones se
dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros racionales
UTN-FRT 7
Expresioacuten decimal de un racional
A todo nuacutemero racional se lo puede expresar en forma decimal Al dividir a por b (b
distinto de cero) se obtiene una expresioacuten decimal del nuacutemero racional
Todo nuacutemero racional puede escribirse como una expresioacuten decimal cuya parte decimal
puede tener un nuacutemero finito o infinito de cifras perioacutedicas puras o mixtas
Ejemplos
Decimal finita 05 - 2 43 14 456
Decimal perioacutedica pura 0 4⏜ = 04444 8 13⏜ = 8131313
Decimal perioacutedica mixta 01 8⏜ = 018888 73 16⏜ = 73161616
Para transformar una expresioacuten decimal en una fraccioacuten lo veremos con los siguientes
ejemplos
Ejemplos
Para convertir una expresioacuten decimal finita a fraccioacuten
05 =5
10=
1
2
minus243
= minus243
100
14456
=14456
1000
=1807
125
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica pura a fraccioacuten
0 4⏜ =4
9
8 13⏜
=813 minus 8
99
=805
99
UTN-FRT 8
Nuacutemeros Irracionales
Los nuacutemeros irracionales son nuacutemeros que no son racionales Son aquellos nuacutemeros
cuya representacioacuten decimal es infinita y no perioacutedica por lo que estos nuacutemeros no
pueden ser expresados como cociente de dos nuacutemeros enteros
El conjunto de los nuacutemeros irracionales se simboliza con la letra 119868 es decir
119868 = 119886119886 notin ℚ
Ejemplos
radic2 = 241421356hellip
120587 = 314159hellip
radic53
= 1709975hellip
e = 2718281828459045hellip
Nuacutemeros Reales
El conjunto de los nuacutemeros racionales ℚ y el conjunto de los nuacutemeros irracionales 119868
forman el conjunto de reales ℝ
El conjunto de los nuacutemeros reales se simboliza con la letra ℝ es decir ℝ = ℚ cup 119868
El siguiente cuadro te muestra las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numeacutericos
hasta llegar a los nuacutemeros reales
Naturales ℕ0
enteros negativos ℤminus Enteros ℤ Racionales ℚ
Fraccionarios F Realesℝ
Irracionales 119868
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica mixta a fraccioacuten
01 8⏜
=18 minus 1
90
=17
90
73 16⏜
=7316 minus 73
990
=7243
990
UTN-FRT 9
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros reales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
Propiedades de la igualdad
Nombre En siacutembolos
Reflexibilidad forall119886 isin ℝ 119886 = 119886
Simetriacutea forall119886 119887 isin ℝ 119886 = 119887 rArr 119887 = 119886
Transitividad forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 = 119887 and 119887 = 119888 rArr 119886 = 119888
Operaciones posibles en R
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones baacutesicas la adicioacuten
y la multiplicacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la
adicioacuten entre a y b y el Producto a b es el resultado de multiplicar a y b
En la adicioacuten a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicacioacuten factores
Propiedades de la adicioacuten y la multiplicacioacuten
Nombre de
la propiedad
Adicioacuten y multiplicacioacuten
Ley de
composicioacuten
interna
forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 isin ℝ
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 isin ℝ
Conmutativa forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 = 119887 + 119886
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886
Asociativa forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)
forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)
Elemento
neutro
exist0 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 + 0 = 0 + 119886 = 119886
exist1 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 1 = 1 119886 = 119886
Existencia
del
forall119886 isin 119877 exist minus 119886 isin 119877 119886 + (minus119886) = (minus119886) + 119886 = 0
UTN-FRT 10
Ten en cuenta
Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que
119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939
Ejemplo Divide 13 en 3
120783120785 |120785
minus120783120784 120786
120783
por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783
Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta
El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto
implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los
nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le
corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero
real
POTENCIACIOacuteN
Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se
define como
an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base
Ademaacutes si ane0
a0=1 y a-n=1
119886119899
Ejemplos
elemento
inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =
1
119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1
Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888
forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886
ORIGEN
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 3
UNIDAD Ndeg1
Nuacutemeros Naturales
Nuacutemeros Enteros
Nuacutemeros Racionales e Irracionales
Nuacutemeros Reales
Propiedades de los nuacutemeros reales
Operaciones entre los nuacutemeros reales
Potenciacioacuten y Radicacioacuten
Intervalos
Valor Absoluto
Caacutelculo de periacutemetros aacutereas y voluacutemenes
UTN-FRT 4
NOCIONES BAacuteSICAS DE CONJUNTOS
Los teacuterminos conjunto elemento y pertenencia son ldquoconceptos primitivosrdquo en la teoriacutea
de conjuntos por lo que no se daraacute una nueva definicioacuten de ellos
Cuando hablamos de un conjunto nombrando o enumerando uno a uno los elementos
que forman parte del mismo decimos que lo hemos expresado por extensioacuten
Ejemplo A= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Si en cambio expresamos una propiedad que caracteriza a dichos elementos decimos
que el conjunto estaacute expresado por comprensioacuten
Ejemplo A= x x es un diacutegito
En la uacuteltima expresioacuten la barra inclinada ldquordquo se lee como ldquotal querdquo
Relacioacuten de pertenencia e inclusioacuten
Operaciones entre conjuntos
Unioacuten
Ejemplo
Para designar o nombrar a los conjuntos se utilizan letras de
imprenta mayuacutesculas
A B C etc
Los elementos de los conjuntos se simbolizan con letras de
imprenta minuacutesculas
abc etc
Para representar un conjunto se utiliza el siacutembolo de las
llaves
Ejemplo
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto a isin A
Para representar que un elemento que no pertenece a un
conjunto
119886 notin A
Para representar que un conjunto A estaacute incluido o
contenido en un conjunto B
A sub B
Para representar que un conjunto A no estaacute incluido o no
estaacute contenido en un conjunto B
A B
UTN-FRT 5
Dados dos conjuntos A y B se llama unioacuten de A con B a otro conjunto que tiene todos
los elementos de A y de B En siacutembolos A U B
A U B = x x A x B
Interseccioacuten
Dados dos conjuntos A y B se llama interseccioacuten de A y B a otro conjunto que tiene
soacutelo los elementos comunes de A y B En siacutembolos s A cap B
A cap B = x x A x B
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros 1 2 3 4 5 hellip reciben el nombre de nuacutemeros naturales o enteros positivos
Al conjunto de estos nuacutemeros se los simboliza por ℕ o por ℤ+
Entonces
ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5
Si lo incluimos al 0 en el conjunto de los naturales lo denotamos como
ℕ0 = 0 1 2 3 4 5
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros naturales es infinito
2- Tiene primer elemento y no tiene uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero natural tiene un sucesor Un nuacutemero natural y su sucesor se dicen
consecutivos Ejemplo 6 es el sucesor de 5rArr5 y 6 son consecutivos
4- Todo nuacutemero excepto el primer elemento tiene un antecesor
Operaciones posibles en N0
Las operaciones de adicioacuten (suma) y multiplicacioacuten (producto) son siempre posibles en
N0 La adicioacuten y multiplicacioacuten se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros
naturales es decir
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a + b) isin ℕ Ejemplo 2 isin ℕ y 4 isin ℕ rArr 2+4=6 isin ℕ
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a b) isin ℕ Ejemplo 3 isin ℕ y 7 isin ℕ rArr 37=21 isin ℕ
Otras operaciones no siempre son posibles en ℕ0 por ejemplo la sustraccioacuten
UTN-FRT 6
Ejemplo 5 isin ℕ y 8 isin ℕ pero 5-8=-3 notin ℕ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los naturales se crearon
los nuacutemeros enteros
Nuacutemeros Enteros
El conjunto de los nuacutemeros enteros se simboliza con la letra ℤ es decir
ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip
Otra forma de denotarlo es
ℤ =ℤminus U 0 U ℤ+
Siendo ℤminus-= hellip -5 -4 -3 -2 -1
ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros enteros es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero entero tiene un sucesor Un nuacutemero entero y su sucesor se dicen
consecutivo Ejemplo -3 es el sucesor de -4 rArr-3 y -4 son consecutivos
4- Todo nuacutemero entero tiene un antecesor Ejemplo -7 es el antecesor de -6
Operaciones posibles en Z
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) y multiplicacioacuten (producto) son
siempre posibles en ℤ Estas operaciones se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los
nuacutemeros enteros
Otras operaciones no siempre son posibles en ℤ por ejemplo la divisioacuten (cociente)
Ejemplo 5 isin Z y 8 isin ℤ pero 58 notin ℤ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los enteros se crearon
los nuacutemeros racionales
Nuacutemeros Racionales
El conjunto de los nuacutemeros racionales se simboliza con la letra ℚ es decir
ℚ = 119886
119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros racionales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Ninguacuten nuacutemero racional sucesor ni antecesor
Operaciones posibles en Q
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) multiplicacioacuten (producto) y la
divisioacuten (con divisor distinto de cero) son siempre posibles en ℚ Estas operaciones se
dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros racionales
UTN-FRT 7
Expresioacuten decimal de un racional
A todo nuacutemero racional se lo puede expresar en forma decimal Al dividir a por b (b
distinto de cero) se obtiene una expresioacuten decimal del nuacutemero racional
Todo nuacutemero racional puede escribirse como una expresioacuten decimal cuya parte decimal
puede tener un nuacutemero finito o infinito de cifras perioacutedicas puras o mixtas
Ejemplos
Decimal finita 05 - 2 43 14 456
Decimal perioacutedica pura 0 4⏜ = 04444 8 13⏜ = 8131313
Decimal perioacutedica mixta 01 8⏜ = 018888 73 16⏜ = 73161616
Para transformar una expresioacuten decimal en una fraccioacuten lo veremos con los siguientes
ejemplos
Ejemplos
Para convertir una expresioacuten decimal finita a fraccioacuten
05 =5
10=
1
2
minus243
= minus243
100
14456
=14456
1000
=1807
125
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica pura a fraccioacuten
0 4⏜ =4
9
8 13⏜
=813 minus 8
99
=805
99
UTN-FRT 8
Nuacutemeros Irracionales
Los nuacutemeros irracionales son nuacutemeros que no son racionales Son aquellos nuacutemeros
cuya representacioacuten decimal es infinita y no perioacutedica por lo que estos nuacutemeros no
pueden ser expresados como cociente de dos nuacutemeros enteros
El conjunto de los nuacutemeros irracionales se simboliza con la letra 119868 es decir
119868 = 119886119886 notin ℚ
Ejemplos
radic2 = 241421356hellip
120587 = 314159hellip
radic53
= 1709975hellip
e = 2718281828459045hellip
Nuacutemeros Reales
El conjunto de los nuacutemeros racionales ℚ y el conjunto de los nuacutemeros irracionales 119868
forman el conjunto de reales ℝ
El conjunto de los nuacutemeros reales se simboliza con la letra ℝ es decir ℝ = ℚ cup 119868
El siguiente cuadro te muestra las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numeacutericos
hasta llegar a los nuacutemeros reales
Naturales ℕ0
enteros negativos ℤminus Enteros ℤ Racionales ℚ
Fraccionarios F Realesℝ
Irracionales 119868
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica mixta a fraccioacuten
01 8⏜
=18 minus 1
90
=17
90
73 16⏜
=7316 minus 73
990
=7243
990
UTN-FRT 9
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros reales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
Propiedades de la igualdad
Nombre En siacutembolos
Reflexibilidad forall119886 isin ℝ 119886 = 119886
Simetriacutea forall119886 119887 isin ℝ 119886 = 119887 rArr 119887 = 119886
Transitividad forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 = 119887 and 119887 = 119888 rArr 119886 = 119888
Operaciones posibles en R
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones baacutesicas la adicioacuten
y la multiplicacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la
adicioacuten entre a y b y el Producto a b es el resultado de multiplicar a y b
En la adicioacuten a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicacioacuten factores
Propiedades de la adicioacuten y la multiplicacioacuten
Nombre de
la propiedad
Adicioacuten y multiplicacioacuten
Ley de
composicioacuten
interna
forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 isin ℝ
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 isin ℝ
Conmutativa forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 = 119887 + 119886
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886
Asociativa forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)
forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)
Elemento
neutro
exist0 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 + 0 = 0 + 119886 = 119886
exist1 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 1 = 1 119886 = 119886
Existencia
del
forall119886 isin 119877 exist minus 119886 isin 119877 119886 + (minus119886) = (minus119886) + 119886 = 0
UTN-FRT 10
Ten en cuenta
Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que
119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939
Ejemplo Divide 13 en 3
120783120785 |120785
minus120783120784 120786
120783
por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783
Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta
El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto
implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los
nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le
corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero
real
POTENCIACIOacuteN
Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se
define como
an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base
Ademaacutes si ane0
a0=1 y a-n=1
119886119899
Ejemplos
elemento
inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =
1
119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1
Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888
forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886
ORIGEN
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 4
NOCIONES BAacuteSICAS DE CONJUNTOS
Los teacuterminos conjunto elemento y pertenencia son ldquoconceptos primitivosrdquo en la teoriacutea
de conjuntos por lo que no se daraacute una nueva definicioacuten de ellos
Cuando hablamos de un conjunto nombrando o enumerando uno a uno los elementos
que forman parte del mismo decimos que lo hemos expresado por extensioacuten
Ejemplo A= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Si en cambio expresamos una propiedad que caracteriza a dichos elementos decimos
que el conjunto estaacute expresado por comprensioacuten
Ejemplo A= x x es un diacutegito
En la uacuteltima expresioacuten la barra inclinada ldquordquo se lee como ldquotal querdquo
Relacioacuten de pertenencia e inclusioacuten
Operaciones entre conjuntos
Unioacuten
Ejemplo
Para designar o nombrar a los conjuntos se utilizan letras de
imprenta mayuacutesculas
A B C etc
Los elementos de los conjuntos se simbolizan con letras de
imprenta minuacutesculas
abc etc
Para representar un conjunto se utiliza el siacutembolo de las
llaves
Ejemplo
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto a isin A
Para representar que un elemento que no pertenece a un
conjunto
119886 notin A
Para representar que un conjunto A estaacute incluido o
contenido en un conjunto B
A sub B
Para representar que un conjunto A no estaacute incluido o no
estaacute contenido en un conjunto B
A B
UTN-FRT 5
Dados dos conjuntos A y B se llama unioacuten de A con B a otro conjunto que tiene todos
los elementos de A y de B En siacutembolos A U B
A U B = x x A x B
Interseccioacuten
Dados dos conjuntos A y B se llama interseccioacuten de A y B a otro conjunto que tiene
soacutelo los elementos comunes de A y B En siacutembolos s A cap B
A cap B = x x A x B
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros 1 2 3 4 5 hellip reciben el nombre de nuacutemeros naturales o enteros positivos
Al conjunto de estos nuacutemeros se los simboliza por ℕ o por ℤ+
Entonces
ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5
Si lo incluimos al 0 en el conjunto de los naturales lo denotamos como
ℕ0 = 0 1 2 3 4 5
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros naturales es infinito
2- Tiene primer elemento y no tiene uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero natural tiene un sucesor Un nuacutemero natural y su sucesor se dicen
consecutivos Ejemplo 6 es el sucesor de 5rArr5 y 6 son consecutivos
4- Todo nuacutemero excepto el primer elemento tiene un antecesor
Operaciones posibles en N0
Las operaciones de adicioacuten (suma) y multiplicacioacuten (producto) son siempre posibles en
N0 La adicioacuten y multiplicacioacuten se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros
naturales es decir
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a + b) isin ℕ Ejemplo 2 isin ℕ y 4 isin ℕ rArr 2+4=6 isin ℕ
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a b) isin ℕ Ejemplo 3 isin ℕ y 7 isin ℕ rArr 37=21 isin ℕ
Otras operaciones no siempre son posibles en ℕ0 por ejemplo la sustraccioacuten
UTN-FRT 6
Ejemplo 5 isin ℕ y 8 isin ℕ pero 5-8=-3 notin ℕ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los naturales se crearon
los nuacutemeros enteros
Nuacutemeros Enteros
El conjunto de los nuacutemeros enteros se simboliza con la letra ℤ es decir
ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip
Otra forma de denotarlo es
ℤ =ℤminus U 0 U ℤ+
Siendo ℤminus-= hellip -5 -4 -3 -2 -1
ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros enteros es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero entero tiene un sucesor Un nuacutemero entero y su sucesor se dicen
consecutivo Ejemplo -3 es el sucesor de -4 rArr-3 y -4 son consecutivos
4- Todo nuacutemero entero tiene un antecesor Ejemplo -7 es el antecesor de -6
Operaciones posibles en Z
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) y multiplicacioacuten (producto) son
siempre posibles en ℤ Estas operaciones se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los
nuacutemeros enteros
Otras operaciones no siempre son posibles en ℤ por ejemplo la divisioacuten (cociente)
Ejemplo 5 isin Z y 8 isin ℤ pero 58 notin ℤ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los enteros se crearon
los nuacutemeros racionales
Nuacutemeros Racionales
El conjunto de los nuacutemeros racionales se simboliza con la letra ℚ es decir
ℚ = 119886
119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros racionales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Ninguacuten nuacutemero racional sucesor ni antecesor
Operaciones posibles en Q
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) multiplicacioacuten (producto) y la
divisioacuten (con divisor distinto de cero) son siempre posibles en ℚ Estas operaciones se
dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros racionales
UTN-FRT 7
Expresioacuten decimal de un racional
A todo nuacutemero racional se lo puede expresar en forma decimal Al dividir a por b (b
distinto de cero) se obtiene una expresioacuten decimal del nuacutemero racional
Todo nuacutemero racional puede escribirse como una expresioacuten decimal cuya parte decimal
puede tener un nuacutemero finito o infinito de cifras perioacutedicas puras o mixtas
Ejemplos
Decimal finita 05 - 2 43 14 456
Decimal perioacutedica pura 0 4⏜ = 04444 8 13⏜ = 8131313
Decimal perioacutedica mixta 01 8⏜ = 018888 73 16⏜ = 73161616
Para transformar una expresioacuten decimal en una fraccioacuten lo veremos con los siguientes
ejemplos
Ejemplos
Para convertir una expresioacuten decimal finita a fraccioacuten
05 =5
10=
1
2
minus243
= minus243
100
14456
=14456
1000
=1807
125
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica pura a fraccioacuten
0 4⏜ =4
9
8 13⏜
=813 minus 8
99
=805
99
UTN-FRT 8
Nuacutemeros Irracionales
Los nuacutemeros irracionales son nuacutemeros que no son racionales Son aquellos nuacutemeros
cuya representacioacuten decimal es infinita y no perioacutedica por lo que estos nuacutemeros no
pueden ser expresados como cociente de dos nuacutemeros enteros
El conjunto de los nuacutemeros irracionales se simboliza con la letra 119868 es decir
119868 = 119886119886 notin ℚ
Ejemplos
radic2 = 241421356hellip
120587 = 314159hellip
radic53
= 1709975hellip
e = 2718281828459045hellip
Nuacutemeros Reales
El conjunto de los nuacutemeros racionales ℚ y el conjunto de los nuacutemeros irracionales 119868
forman el conjunto de reales ℝ
El conjunto de los nuacutemeros reales se simboliza con la letra ℝ es decir ℝ = ℚ cup 119868
El siguiente cuadro te muestra las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numeacutericos
hasta llegar a los nuacutemeros reales
Naturales ℕ0
enteros negativos ℤminus Enteros ℤ Racionales ℚ
Fraccionarios F Realesℝ
Irracionales 119868
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica mixta a fraccioacuten
01 8⏜
=18 minus 1
90
=17
90
73 16⏜
=7316 minus 73
990
=7243
990
UTN-FRT 9
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros reales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
Propiedades de la igualdad
Nombre En siacutembolos
Reflexibilidad forall119886 isin ℝ 119886 = 119886
Simetriacutea forall119886 119887 isin ℝ 119886 = 119887 rArr 119887 = 119886
Transitividad forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 = 119887 and 119887 = 119888 rArr 119886 = 119888
Operaciones posibles en R
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones baacutesicas la adicioacuten
y la multiplicacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la
adicioacuten entre a y b y el Producto a b es el resultado de multiplicar a y b
En la adicioacuten a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicacioacuten factores
Propiedades de la adicioacuten y la multiplicacioacuten
Nombre de
la propiedad
Adicioacuten y multiplicacioacuten
Ley de
composicioacuten
interna
forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 isin ℝ
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 isin ℝ
Conmutativa forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 = 119887 + 119886
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886
Asociativa forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)
forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)
Elemento
neutro
exist0 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 + 0 = 0 + 119886 = 119886
exist1 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 1 = 1 119886 = 119886
Existencia
del
forall119886 isin 119877 exist minus 119886 isin 119877 119886 + (minus119886) = (minus119886) + 119886 = 0
UTN-FRT 10
Ten en cuenta
Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que
119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939
Ejemplo Divide 13 en 3
120783120785 |120785
minus120783120784 120786
120783
por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783
Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta
El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto
implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los
nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le
corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero
real
POTENCIACIOacuteN
Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se
define como
an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base
Ademaacutes si ane0
a0=1 y a-n=1
119886119899
Ejemplos
elemento
inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =
1
119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1
Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888
forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886
ORIGEN
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 5
Dados dos conjuntos A y B se llama unioacuten de A con B a otro conjunto que tiene todos
los elementos de A y de B En siacutembolos A U B
A U B = x x A x B
Interseccioacuten
Dados dos conjuntos A y B se llama interseccioacuten de A y B a otro conjunto que tiene
soacutelo los elementos comunes de A y B En siacutembolos s A cap B
A cap B = x x A x B
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS
Nuacutemeros Naturales
Los nuacutemeros 1 2 3 4 5 hellip reciben el nombre de nuacutemeros naturales o enteros positivos
Al conjunto de estos nuacutemeros se los simboliza por ℕ o por ℤ+
Entonces
ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5
Si lo incluimos al 0 en el conjunto de los naturales lo denotamos como
ℕ0 = 0 1 2 3 4 5
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros naturales es infinito
2- Tiene primer elemento y no tiene uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero natural tiene un sucesor Un nuacutemero natural y su sucesor se dicen
consecutivos Ejemplo 6 es el sucesor de 5rArr5 y 6 son consecutivos
4- Todo nuacutemero excepto el primer elemento tiene un antecesor
Operaciones posibles en N0
Las operaciones de adicioacuten (suma) y multiplicacioacuten (producto) son siempre posibles en
N0 La adicioacuten y multiplicacioacuten se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros
naturales es decir
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a + b) isin ℕ Ejemplo 2 isin ℕ y 4 isin ℕ rArr 2+4=6 isin ℕ
Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a b) isin ℕ Ejemplo 3 isin ℕ y 7 isin ℕ rArr 37=21 isin ℕ
Otras operaciones no siempre son posibles en ℕ0 por ejemplo la sustraccioacuten
UTN-FRT 6
Ejemplo 5 isin ℕ y 8 isin ℕ pero 5-8=-3 notin ℕ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los naturales se crearon
los nuacutemeros enteros
Nuacutemeros Enteros
El conjunto de los nuacutemeros enteros se simboliza con la letra ℤ es decir
ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip
Otra forma de denotarlo es
ℤ =ℤminus U 0 U ℤ+
Siendo ℤminus-= hellip -5 -4 -3 -2 -1
ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros enteros es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero entero tiene un sucesor Un nuacutemero entero y su sucesor se dicen
consecutivo Ejemplo -3 es el sucesor de -4 rArr-3 y -4 son consecutivos
4- Todo nuacutemero entero tiene un antecesor Ejemplo -7 es el antecesor de -6
Operaciones posibles en Z
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) y multiplicacioacuten (producto) son
siempre posibles en ℤ Estas operaciones se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los
nuacutemeros enteros
Otras operaciones no siempre son posibles en ℤ por ejemplo la divisioacuten (cociente)
Ejemplo 5 isin Z y 8 isin ℤ pero 58 notin ℤ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los enteros se crearon
los nuacutemeros racionales
Nuacutemeros Racionales
El conjunto de los nuacutemeros racionales se simboliza con la letra ℚ es decir
ℚ = 119886
119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros racionales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Ninguacuten nuacutemero racional sucesor ni antecesor
Operaciones posibles en Q
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) multiplicacioacuten (producto) y la
divisioacuten (con divisor distinto de cero) son siempre posibles en ℚ Estas operaciones se
dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros racionales
UTN-FRT 7
Expresioacuten decimal de un racional
A todo nuacutemero racional se lo puede expresar en forma decimal Al dividir a por b (b
distinto de cero) se obtiene una expresioacuten decimal del nuacutemero racional
Todo nuacutemero racional puede escribirse como una expresioacuten decimal cuya parte decimal
puede tener un nuacutemero finito o infinito de cifras perioacutedicas puras o mixtas
Ejemplos
Decimal finita 05 - 2 43 14 456
Decimal perioacutedica pura 0 4⏜ = 04444 8 13⏜ = 8131313
Decimal perioacutedica mixta 01 8⏜ = 018888 73 16⏜ = 73161616
Para transformar una expresioacuten decimal en una fraccioacuten lo veremos con los siguientes
ejemplos
Ejemplos
Para convertir una expresioacuten decimal finita a fraccioacuten
05 =5
10=
1
2
minus243
= minus243
100
14456
=14456
1000
=1807
125
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica pura a fraccioacuten
0 4⏜ =4
9
8 13⏜
=813 minus 8
99
=805
99
UTN-FRT 8
Nuacutemeros Irracionales
Los nuacutemeros irracionales son nuacutemeros que no son racionales Son aquellos nuacutemeros
cuya representacioacuten decimal es infinita y no perioacutedica por lo que estos nuacutemeros no
pueden ser expresados como cociente de dos nuacutemeros enteros
El conjunto de los nuacutemeros irracionales se simboliza con la letra 119868 es decir
119868 = 119886119886 notin ℚ
Ejemplos
radic2 = 241421356hellip
120587 = 314159hellip
radic53
= 1709975hellip
e = 2718281828459045hellip
Nuacutemeros Reales
El conjunto de los nuacutemeros racionales ℚ y el conjunto de los nuacutemeros irracionales 119868
forman el conjunto de reales ℝ
El conjunto de los nuacutemeros reales se simboliza con la letra ℝ es decir ℝ = ℚ cup 119868
El siguiente cuadro te muestra las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numeacutericos
hasta llegar a los nuacutemeros reales
Naturales ℕ0
enteros negativos ℤminus Enteros ℤ Racionales ℚ
Fraccionarios F Realesℝ
Irracionales 119868
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica mixta a fraccioacuten
01 8⏜
=18 minus 1
90
=17
90
73 16⏜
=7316 minus 73
990
=7243
990
UTN-FRT 9
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros reales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
Propiedades de la igualdad
Nombre En siacutembolos
Reflexibilidad forall119886 isin ℝ 119886 = 119886
Simetriacutea forall119886 119887 isin ℝ 119886 = 119887 rArr 119887 = 119886
Transitividad forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 = 119887 and 119887 = 119888 rArr 119886 = 119888
Operaciones posibles en R
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones baacutesicas la adicioacuten
y la multiplicacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la
adicioacuten entre a y b y el Producto a b es el resultado de multiplicar a y b
En la adicioacuten a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicacioacuten factores
Propiedades de la adicioacuten y la multiplicacioacuten
Nombre de
la propiedad
Adicioacuten y multiplicacioacuten
Ley de
composicioacuten
interna
forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 isin ℝ
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 isin ℝ
Conmutativa forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 = 119887 + 119886
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886
Asociativa forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)
forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)
Elemento
neutro
exist0 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 + 0 = 0 + 119886 = 119886
exist1 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 1 = 1 119886 = 119886
Existencia
del
forall119886 isin 119877 exist minus 119886 isin 119877 119886 + (minus119886) = (minus119886) + 119886 = 0
UTN-FRT 10
Ten en cuenta
Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que
119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939
Ejemplo Divide 13 en 3
120783120785 |120785
minus120783120784 120786
120783
por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783
Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta
El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto
implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los
nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le
corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero
real
POTENCIACIOacuteN
Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se
define como
an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base
Ademaacutes si ane0
a0=1 y a-n=1
119886119899
Ejemplos
elemento
inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =
1
119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1
Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888
forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886
ORIGEN
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 6
Ejemplo 5 isin ℕ y 8 isin ℕ pero 5-8=-3 notin ℕ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los naturales se crearon
los nuacutemeros enteros
Nuacutemeros Enteros
El conjunto de los nuacutemeros enteros se simboliza con la letra ℤ es decir
ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip
Otra forma de denotarlo es
ℤ =ℤminus U 0 U ℤ+
Siendo ℤminus-= hellip -5 -4 -3 -2 -1
ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros enteros es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Todo nuacutemero entero tiene un sucesor Un nuacutemero entero y su sucesor se dicen
consecutivo Ejemplo -3 es el sucesor de -4 rArr-3 y -4 son consecutivos
4- Todo nuacutemero entero tiene un antecesor Ejemplo -7 es el antecesor de -6
Operaciones posibles en Z
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) y multiplicacioacuten (producto) son
siempre posibles en ℤ Estas operaciones se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los
nuacutemeros enteros
Otras operaciones no siempre son posibles en ℤ por ejemplo la divisioacuten (cociente)
Ejemplo 5 isin Z y 8 isin ℤ pero 58 notin ℤ
Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los enteros se crearon
los nuacutemeros racionales
Nuacutemeros Racionales
El conjunto de los nuacutemeros racionales se simboliza con la letra ℚ es decir
ℚ = 119886
119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros racionales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
3- Ninguacuten nuacutemero racional sucesor ni antecesor
Operaciones posibles en Q
Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) multiplicacioacuten (producto) y la
divisioacuten (con divisor distinto de cero) son siempre posibles en ℚ Estas operaciones se
dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros racionales
UTN-FRT 7
Expresioacuten decimal de un racional
A todo nuacutemero racional se lo puede expresar en forma decimal Al dividir a por b (b
distinto de cero) se obtiene una expresioacuten decimal del nuacutemero racional
Todo nuacutemero racional puede escribirse como una expresioacuten decimal cuya parte decimal
puede tener un nuacutemero finito o infinito de cifras perioacutedicas puras o mixtas
Ejemplos
Decimal finita 05 - 2 43 14 456
Decimal perioacutedica pura 0 4⏜ = 04444 8 13⏜ = 8131313
Decimal perioacutedica mixta 01 8⏜ = 018888 73 16⏜ = 73161616
Para transformar una expresioacuten decimal en una fraccioacuten lo veremos con los siguientes
ejemplos
Ejemplos
Para convertir una expresioacuten decimal finita a fraccioacuten
05 =5
10=
1
2
minus243
= minus243
100
14456
=14456
1000
=1807
125
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica pura a fraccioacuten
0 4⏜ =4
9
8 13⏜
=813 minus 8
99
=805
99
UTN-FRT 8
Nuacutemeros Irracionales
Los nuacutemeros irracionales son nuacutemeros que no son racionales Son aquellos nuacutemeros
cuya representacioacuten decimal es infinita y no perioacutedica por lo que estos nuacutemeros no
pueden ser expresados como cociente de dos nuacutemeros enteros
El conjunto de los nuacutemeros irracionales se simboliza con la letra 119868 es decir
119868 = 119886119886 notin ℚ
Ejemplos
radic2 = 241421356hellip
120587 = 314159hellip
radic53
= 1709975hellip
e = 2718281828459045hellip
Nuacutemeros Reales
El conjunto de los nuacutemeros racionales ℚ y el conjunto de los nuacutemeros irracionales 119868
forman el conjunto de reales ℝ
El conjunto de los nuacutemeros reales se simboliza con la letra ℝ es decir ℝ = ℚ cup 119868
El siguiente cuadro te muestra las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numeacutericos
hasta llegar a los nuacutemeros reales
Naturales ℕ0
enteros negativos ℤminus Enteros ℤ Racionales ℚ
Fraccionarios F Realesℝ
Irracionales 119868
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica mixta a fraccioacuten
01 8⏜
=18 minus 1
90
=17
90
73 16⏜
=7316 minus 73
990
=7243
990
UTN-FRT 9
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros reales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
Propiedades de la igualdad
Nombre En siacutembolos
Reflexibilidad forall119886 isin ℝ 119886 = 119886
Simetriacutea forall119886 119887 isin ℝ 119886 = 119887 rArr 119887 = 119886
Transitividad forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 = 119887 and 119887 = 119888 rArr 119886 = 119888
Operaciones posibles en R
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones baacutesicas la adicioacuten
y la multiplicacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la
adicioacuten entre a y b y el Producto a b es el resultado de multiplicar a y b
En la adicioacuten a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicacioacuten factores
Propiedades de la adicioacuten y la multiplicacioacuten
Nombre de
la propiedad
Adicioacuten y multiplicacioacuten
Ley de
composicioacuten
interna
forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 isin ℝ
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 isin ℝ
Conmutativa forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 = 119887 + 119886
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886
Asociativa forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)
forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)
Elemento
neutro
exist0 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 + 0 = 0 + 119886 = 119886
exist1 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 1 = 1 119886 = 119886
Existencia
del
forall119886 isin 119877 exist minus 119886 isin 119877 119886 + (minus119886) = (minus119886) + 119886 = 0
UTN-FRT 10
Ten en cuenta
Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que
119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939
Ejemplo Divide 13 en 3
120783120785 |120785
minus120783120784 120786
120783
por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783
Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta
El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto
implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los
nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le
corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero
real
POTENCIACIOacuteN
Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se
define como
an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base
Ademaacutes si ane0
a0=1 y a-n=1
119886119899
Ejemplos
elemento
inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =
1
119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1
Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888
forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886
ORIGEN
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 7
Expresioacuten decimal de un racional
A todo nuacutemero racional se lo puede expresar en forma decimal Al dividir a por b (b
distinto de cero) se obtiene una expresioacuten decimal del nuacutemero racional
Todo nuacutemero racional puede escribirse como una expresioacuten decimal cuya parte decimal
puede tener un nuacutemero finito o infinito de cifras perioacutedicas puras o mixtas
Ejemplos
Decimal finita 05 - 2 43 14 456
Decimal perioacutedica pura 0 4⏜ = 04444 8 13⏜ = 8131313
Decimal perioacutedica mixta 01 8⏜ = 018888 73 16⏜ = 73161616
Para transformar una expresioacuten decimal en una fraccioacuten lo veremos con los siguientes
ejemplos
Ejemplos
Para convertir una expresioacuten decimal finita a fraccioacuten
05 =5
10=
1
2
minus243
= minus243
100
14456
=14456
1000
=1807
125
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica pura a fraccioacuten
0 4⏜ =4
9
8 13⏜
=813 minus 8
99
=805
99
UTN-FRT 8
Nuacutemeros Irracionales
Los nuacutemeros irracionales son nuacutemeros que no son racionales Son aquellos nuacutemeros
cuya representacioacuten decimal es infinita y no perioacutedica por lo que estos nuacutemeros no
pueden ser expresados como cociente de dos nuacutemeros enteros
El conjunto de los nuacutemeros irracionales se simboliza con la letra 119868 es decir
119868 = 119886119886 notin ℚ
Ejemplos
radic2 = 241421356hellip
120587 = 314159hellip
radic53
= 1709975hellip
e = 2718281828459045hellip
Nuacutemeros Reales
El conjunto de los nuacutemeros racionales ℚ y el conjunto de los nuacutemeros irracionales 119868
forman el conjunto de reales ℝ
El conjunto de los nuacutemeros reales se simboliza con la letra ℝ es decir ℝ = ℚ cup 119868
El siguiente cuadro te muestra las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numeacutericos
hasta llegar a los nuacutemeros reales
Naturales ℕ0
enteros negativos ℤminus Enteros ℤ Racionales ℚ
Fraccionarios F Realesℝ
Irracionales 119868
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica mixta a fraccioacuten
01 8⏜
=18 minus 1
90
=17
90
73 16⏜
=7316 minus 73
990
=7243
990
UTN-FRT 9
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros reales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
Propiedades de la igualdad
Nombre En siacutembolos
Reflexibilidad forall119886 isin ℝ 119886 = 119886
Simetriacutea forall119886 119887 isin ℝ 119886 = 119887 rArr 119887 = 119886
Transitividad forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 = 119887 and 119887 = 119888 rArr 119886 = 119888
Operaciones posibles en R
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones baacutesicas la adicioacuten
y la multiplicacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la
adicioacuten entre a y b y el Producto a b es el resultado de multiplicar a y b
En la adicioacuten a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicacioacuten factores
Propiedades de la adicioacuten y la multiplicacioacuten
Nombre de
la propiedad
Adicioacuten y multiplicacioacuten
Ley de
composicioacuten
interna
forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 isin ℝ
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 isin ℝ
Conmutativa forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 = 119887 + 119886
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886
Asociativa forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)
forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)
Elemento
neutro
exist0 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 + 0 = 0 + 119886 = 119886
exist1 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 1 = 1 119886 = 119886
Existencia
del
forall119886 isin 119877 exist minus 119886 isin 119877 119886 + (minus119886) = (minus119886) + 119886 = 0
UTN-FRT 10
Ten en cuenta
Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que
119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939
Ejemplo Divide 13 en 3
120783120785 |120785
minus120783120784 120786
120783
por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783
Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta
El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto
implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los
nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le
corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero
real
POTENCIACIOacuteN
Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se
define como
an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base
Ademaacutes si ane0
a0=1 y a-n=1
119886119899
Ejemplos
elemento
inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =
1
119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1
Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888
forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886
ORIGEN
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 8
Nuacutemeros Irracionales
Los nuacutemeros irracionales son nuacutemeros que no son racionales Son aquellos nuacutemeros
cuya representacioacuten decimal es infinita y no perioacutedica por lo que estos nuacutemeros no
pueden ser expresados como cociente de dos nuacutemeros enteros
El conjunto de los nuacutemeros irracionales se simboliza con la letra 119868 es decir
119868 = 119886119886 notin ℚ
Ejemplos
radic2 = 241421356hellip
120587 = 314159hellip
radic53
= 1709975hellip
e = 2718281828459045hellip
Nuacutemeros Reales
El conjunto de los nuacutemeros racionales ℚ y el conjunto de los nuacutemeros irracionales 119868
forman el conjunto de reales ℝ
El conjunto de los nuacutemeros reales se simboliza con la letra ℝ es decir ℝ = ℚ cup 119868
El siguiente cuadro te muestra las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numeacutericos
hasta llegar a los nuacutemeros reales
Naturales ℕ0
enteros negativos ℤminus Enteros ℤ Racionales ℚ
Fraccionarios F Realesℝ
Irracionales 119868
Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica mixta a fraccioacuten
01 8⏜
=18 minus 1
90
=17
90
73 16⏜
=7316 minus 73
990
=7243
990
UTN-FRT 9
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros reales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
Propiedades de la igualdad
Nombre En siacutembolos
Reflexibilidad forall119886 isin ℝ 119886 = 119886
Simetriacutea forall119886 119887 isin ℝ 119886 = 119887 rArr 119887 = 119886
Transitividad forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 = 119887 and 119887 = 119888 rArr 119886 = 119888
Operaciones posibles en R
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones baacutesicas la adicioacuten
y la multiplicacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la
adicioacuten entre a y b y el Producto a b es el resultado de multiplicar a y b
En la adicioacuten a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicacioacuten factores
Propiedades de la adicioacuten y la multiplicacioacuten
Nombre de
la propiedad
Adicioacuten y multiplicacioacuten
Ley de
composicioacuten
interna
forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 isin ℝ
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 isin ℝ
Conmutativa forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 = 119887 + 119886
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886
Asociativa forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)
forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)
Elemento
neutro
exist0 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 + 0 = 0 + 119886 = 119886
exist1 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 1 = 1 119886 = 119886
Existencia
del
forall119886 isin 119877 exist minus 119886 isin 119877 119886 + (minus119886) = (minus119886) + 119886 = 0
UTN-FRT 10
Ten en cuenta
Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que
119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939
Ejemplo Divide 13 en 3
120783120785 |120785
minus120783120784 120786
120783
por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783
Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta
El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto
implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los
nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le
corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero
real
POTENCIACIOacuteN
Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se
define como
an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base
Ademaacutes si ane0
a0=1 y a-n=1
119886119899
Ejemplos
elemento
inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =
1
119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1
Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888
forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886
ORIGEN
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 9
Propiedades
1- El conjunto de los nuacutemeros reales es infinito
2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento
Propiedades de la igualdad
Nombre En siacutembolos
Reflexibilidad forall119886 isin ℝ 119886 = 119886
Simetriacutea forall119886 119887 isin ℝ 119886 = 119887 rArr 119887 = 119886
Transitividad forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 = 119887 and 119887 = 119888 rArr 119886 = 119888
Operaciones posibles en R
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones baacutesicas la adicioacuten
y la multiplicacioacuten
Si a y b son nuacutemeros reales entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la
adicioacuten entre a y b y el Producto a b es el resultado de multiplicar a y b
En la adicioacuten a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicacioacuten factores
Propiedades de la adicioacuten y la multiplicacioacuten
Nombre de
la propiedad
Adicioacuten y multiplicacioacuten
Ley de
composicioacuten
interna
forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 isin ℝ
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 isin ℝ
Conmutativa forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 = 119887 + 119886
forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886
Asociativa forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)
forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)
Elemento
neutro
exist0 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 + 0 = 0 + 119886 = 119886
exist1 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 1 = 1 119886 = 119886
Existencia
del
forall119886 isin 119877 exist minus 119886 isin 119877 119886 + (minus119886) = (minus119886) + 119886 = 0
UTN-FRT 10
Ten en cuenta
Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que
119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939
Ejemplo Divide 13 en 3
120783120785 |120785
minus120783120784 120786
120783
por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783
Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta
El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto
implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los
nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le
corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero
real
POTENCIACIOacuteN
Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se
define como
an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base
Ademaacutes si ane0
a0=1 y a-n=1
119886119899
Ejemplos
elemento
inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =
1
119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1
Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888
forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886
ORIGEN
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 10
Ten en cuenta
Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que
119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939
Ejemplo Divide 13 en 3
120783120785 |120785
minus120783120784 120786
120783
por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783
Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta
El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto
implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los
nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le
corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero
real
POTENCIACIOacuteN
Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se
define como
an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base
Ademaacutes si ane0
a0=1 y a-n=1
119886119899
Ejemplos
elemento
inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =
1
119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1
Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888
forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886
ORIGEN
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 11
1 23=8 porque 23=222
2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)
3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)
4 -22=-4
5 (2
5)
2=
2
5
2
5=
4
25
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78
119886119899
119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0
6minus3
6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6
(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310
(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093
(119886
119887)
119899
=119886119899
119887119899 (
119910
minus3)
2
=1199102
(minus3)2=
1199102
9
Ejemplos
1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9
1199092
2 (2
311990921199103)
4= (
2
3)
4(1199092)4(1199103)4 =
16
8111990924
11991034=
16
81119909811991012
Ten en cuenta
La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplos
1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22
2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12
RADICACIOacuteN
Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima
de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radic273
= 3porque 33=27
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
UTN-FRT 12
Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces
la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que
radic119886119899
= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando
Ejemplo radicminus325
= minus2 porque (-2)5=-32
Ejemplos
1 radic81 = 9
2 radicminus83
= minus3
3 radicminus4no es un nuacutemero real
4 radic25
9=
5
3
Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119886 ne 0 119898 119899 isin ℤ
Propiedad Ejemplos
radic119886 119887119899
= radic119886119899
radic119887119899
radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092
radic119886
119887
119899=
radic119886119899
119887 119887 ne 0 radic
8
343
3
=radic83
radic3433 =
2
7
radic radic119886119899
119898
= radic119886119898119899
radicradic643
= radic646
= 2
119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899
radic823= 823 = (radic8
3)
2= 4
(minus125)13 = radicminus1253
= minus5
Racionalizacioacuten del denominador
Ejemplos
1 2
radic7=
2
radic7
radic7
radic7=
2radic7
(radic7)2 =
2radic7
7
2 2
radic11990925 =2
radic11990925
radic11990935
radic11990935 =2 radic11990935
radic119909211990935 =2 radic11990935
radic11990955 =2 radic11990935
119909 119909 ne 0
Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872
3 3
radic119909+119910=
3
radic119909+119910
(radic119909minus119910)
(radic119909minus119910)=
3(radic119909minus119910)
(radic119909)2
minus1199102=
3(radic119909minus119910)
119909minus1199102
UTN-FRT 13
Ten en cuenta
La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta
Ejemplo
radic36 + 64 ne radic36 + radic64
radic100 ne 6 + 8
10 ne 14
INTERVALOS REALES
Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real
Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887
bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887
bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887
bull Intervalo semiabierto o semicerrado
119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887
119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887
bull Intervalos infinitos
(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886
[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886
(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887
(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887
(minusinfininfin) = ℝ
Ejemplos
1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4
UTN-FRT 14
2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2
Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)
VALOR ABSOLUTO
Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a
|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0
El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del
nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica
Ejemplos
a) |0| = 0 porque 0 ge 0
b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0
c) |7 | = 7 porque 7 ge 0
Algunas propiedades
1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0
2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|
3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|
4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|
5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|
6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)
7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)
Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7
|119909 + 1| = 7
119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7
119909 = 6oacute119909 = minus8
119862119878 = minus86
2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1
UTN-FRT 15
|2119909 minus 3| le 1
minus1 le 2119909 minus 3 le 1
minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3
2 le 2119909 le 4
21
2le 2119909
1
2le 4
1
2
1 le 119909 le 2
119862119878 = [12]
Ten en cuenta
1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|
2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es
119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|
Ejemplo
NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA
La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy
pequentildeos
Ejemplos
598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra
167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten
Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma
a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero
Reglas de conversioacuten
Ejemplos
1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros
en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros
2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En
notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23
3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010
Operaciones con notacioacuten cientiacutefica
Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones
UTN-FRT 16
1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)
= 21404 x 104=21404 x 105
2 (216119909104)(125611990910minus12)
31711990910minus18 = 856119909109
APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea
bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e
incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente
bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos
e incoacutegnitas
bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos
bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen
las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente
Foacutermulas de la geometriacutea
UTN-FRT 17
Ten en cuenta
1 Teorema de Pitaacutegoras
2 Foacutermula de Heroacuten
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Donde a y b son
catetos y h es la
hipotenusa
UTN-FRT 18
Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)
Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular
Calcule el aacuterea de la figura sombreada
Comprendemos el problema identificando los datos
Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia
es (2πR) 2
Debemos calcular el aacuterea sombreada
Disentildeamos un plan de accioacuten
Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias
Ejecutamos el plan
El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24
UTN-FRT 19
Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo
calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras
Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3
El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π
El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2
Verificamos
Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando
un aacuterea
Por el teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= minus
= minus
= =
UTN-FRT 20
Trabajo Praacutectico Ndeg 1
ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo
1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1
4 120587
B = radicminus113
-3 -025 0 -2 120587 -radic3
3 C =
1
2 0 -2 radic9 120587 -
radic3
3
Resuelve las siguientes operaciones
a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ
2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones
a 012 b 358484hellip c 42727hellip
d 54132132hellip e 28666hellip f 89753
3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga
a 25
14 b
3
11 c
77
36 d
61
9
4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa
a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo
b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva
c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo
d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero
negativo
e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional
5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta
a (3 + 4)2 = 32 + 42
b (12 4)2 = 122 42
c 32 34 33 = 39
d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910
e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873
f radic36 + 64 = radic36 + 8
g (42)345 = 4
h radic(minus7)2 = minus7
i (minus1)minus1 = 1
UTN-FRT 21
j (1198862)3 = 119886(23)
6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los
exponentes sean positivos
a (2 1199093 119910minus3
8 1199094 1199102 )minus1
b (7 1198864 119887minus4
2 1198862 1198872 )minus2
c (3 119909minus3 1199104
10 1199092 1199106)minus1
d (5 1198862 1198873
125 119886minus4 119887minus5)minus1
e (9 119909 119911minus2
27 119909minus4 119911)
minus3
f (3 1199092 1199105
1199093 119910)
3
7 Resuelve
a 427+2(minus6)
4+(minus3)6minus10+ 2 (
1
2)
2
23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075
075minus0625)
2
c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05
(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl
e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1
10119910+1102119910+1 f radicradic1633
+ radic33
radic323radic363
+ [2 (1
3+ 1)]
2
[(3
5minus 3)
5
3]
2
8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve
a radic593 b radic174
c radic3 radic3
radic34
5
d radic2723 e radic10024
f
119886minus2radic1
119886
radic119886minus53
9 Racionalice los denominadores
a 3
radic2 b
2minus119909
radic119909 c
3 119886
radic9 119886 d
119909minus119910
radic119909+radic119910
e minus7
radic11988623 f 2
radic119911minus3 g
5
radic1199094 h
4minus1199092
2+radic119909
10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =
i 119909+119910
radic119909+radic119910 ( ) ii
119909minus119910
radic119909+radic119910 ( ) iii
119909+119910
radic119909minusradic119910 ( )
11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el
nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194
radic05 119901+194 unidades cuando la
poblacioacuten sea 119901 (en miles)
a) Racionalice la expresioacuten de 119876
UTN-FRT 22
b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de
9800 habitantes
12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo
con 119875 =221minus3119905
15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten
b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos
13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos
quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso
de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso
Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas
elaborado
14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente
a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2
c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0
e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7
15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor
que 5
16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor
o igual que 4
17 Determine el conjunto solucioacuten
a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16
d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5
18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica
a 324517 x 104 b 716392 x 10-5
c 000000842 d 00025 x 107
UTN-FRT 23
e 542000000000 f 64317 x 10-6
19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica
a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)
317 10minus18
c 921 108
306 105 d (233 104)(411 103)
20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa
distancia como un numero entero iquestComo se lee
21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica
22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su
partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica
23 Exprese mediante radicales las medidas de
a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie
b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898
c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden
3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898
d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura
(1
3radic5 +
1
2) 119888119898
e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1
119888119898 y de base
3(radic3)minus1
119888119898
f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base
g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898
24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y
UTN-FRT 24
a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado
del cuadrado
b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el
aacuterea de la parte no sombreada
25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales
determine el aacuterea de cada porcioacuten
26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2
3120573 y el radio es 10 cm
(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)
27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a
05 m
28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor
si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero
maacutes proacuteximo al resultado obtenido)
UTN-FRT 25
29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm
30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm
31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la
relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m
32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras
a)
b)
c) d)
UTN-FRT 26
e) f)
33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo
y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de
ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos
a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado
b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel
UTN-FRT 27
UNIDAD Ndeg2
Expresiones Algebraicas
Polinomios
Operaciones entre polinomios
Ceros de un Polinomio
Regla de Ruffini
Factorizacioacuten de polinomios
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Operaciones entre expresiones algebraicas
fraccionarias
UTN-FRT 28
Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)
vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten
sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)
Ejemplos
1 2120587radic119871
119892 2
7
119910minus 1199092 3 1199070119905 +
1
21198921199052
4 119909minus5
radic119909minus53
+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905
3-
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar
generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante
el lenguaje simboacutelico por ejemplo
Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico
Un nuacutemero cualquiera x
El s iguiente de un nuacutemero x+1
El doble de un nuacutemero cualquiera 2x
El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros
cualquiera
(a+b)2
El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2
La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2
El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy
Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4
La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y
km en x horas
yx
El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1
119909+119910 119909 ne minus119910
Las expresiones algebraicas se clasifican
Expresiones Algebraicas Racionales
EnterasFraccionarias
Irracionales
UTN-FRT 29
Ejemplos
1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1
41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador
2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910
1199102 3
4+ 119909 +
1
119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes
enteros negativos o tienen variables en el denominador
3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2
119905 11991123 + 119911minus12 119909 +
2
radic119909
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un
nuacutemero racional no entero
Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones
adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)
Ejemplos
I)minus1
511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902
Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable
El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes
Ejemplos
I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1
21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman
Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios
i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como
UTN-FRT 30
119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860
1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes
ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo
ldquoxrdquo es la variable
1198860es el teacutermino independiente
119886119899es el coeficiente principal
P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo
Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el
siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909
P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3
Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a
Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1
3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909
determina P(1) y P(-1)+Q(0)
119875(1) = minus2(1)3 +1
3 1 minus 1 = minus2 +
1
3minus 1 = minus
8
3
119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1
3(minus1) minus 1 = 2 minus
1
3minus 1 =
2
3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0
119875(minus1) + 119876(0) =2
3+ 0 =
2
3
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Ejemplo P(x) = 1
21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son
opuestos
Ejemplo P(x) = 31199094 minus1
51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +
1
51199092 minus 7 son opuestos ya que los
coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos
Coeficiente Principal 5minus
Teacutermino independiente 3minus
Grado P=4
UTN-FRT 31
Operaciones con polinomios
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes
Se simboliza P(x)+ Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +
41199092 minus 6
119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6
= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)
= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5
La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)
Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]
Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +
3119909 + 41199092 minus 6
119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)
= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6
= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)
= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7
La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando
cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos
semejantes si los hubiera
Se simboliza P(x) Q(x)
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1
119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)
= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)
= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1
= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1
Ten en cuenta
Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n
UTN-FRT 32
La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es
mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que
son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)
Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)
Ten en cuenta
1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)
es el resto de la divisioacuten de P en Q
2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente
el dividendo Y ordenar el divisor
Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092
31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2
+ minus 31199093 minus 6119909 + 2
minus31199095 + 61199093
61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1
+
minus61199093 + 12119909
minus21199092 + 12119909 + 1
+
21199092 minus 4
12119909 minus 3
Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3
Ten en cuenta
1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr
(PQ)= m-n
2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es
exacto es decir
i) P(x)=C(x) Q(x)
ii) Q(x) es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por Q(x)
UTN-FRT 33
Regla de Ruffini
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor
es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini
Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo
119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3
minus3|
|minus5 0 32 minus42
15 minus45 39
minus5 15 minus13 minus3
09
9
Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9
Cero (o raiacutez) de un polinomio
Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0
Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio
119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0
Teorema del resto
Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)
Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que
i) P(x)=C(x) (x-a)
ii) x+a es divisor de P(x)
iii) P(x) es divisible por x-a
iv) a es un cero de P(x)
Teorema Fundamental del Aacutelgebra
Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces
Ten en cuenta
1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las
complejas
2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales
Coeficientes del
dividendo
Coeficientes del
cociente
resto
Coefic
ientes
del
divide
ndo
UTN-FRT 34
3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre
de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos
un cero real
Algunos casos de factoreo
Factor comuacuten
Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un
polinomio cuando figura en todos ellos como factor
Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103
1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)
Factor comuacuten por grupos
Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o
no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten
Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como
factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes
Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910
151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)
= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)
= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son
cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos
cuadrados
En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872
(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872
Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102
41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2
UTN-FRT 35
Cuatrinomio cubo perfecto
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos
perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base
del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo
por la base del primer cubo
En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +
31198861198872 + 1198873
(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +
31198861198872 minus 1198873
Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1
271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la
diferencia de sus bases
En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)
Ejemplo Factorea 251199092 minus1
41199102
251199092 minus1
41199102 = (5119909)2 minus (
1
2119910)
2
= (5119909 +1
2119910) (5119909 minus
1
2119910)
Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an
Si n es par
1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es
potencia de 2 no se puede factorear
2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia
de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar
3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es
igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera
suma por la segunda
En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)
UTN-FRT 36
119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)
Ten en cuenta
1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados
siendo el primero positivo
2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos
Polinomio factoreado
Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de
grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)
Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces
simples
Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el
polinomio admite raiacuteces con multiplicidad
Ejemplos
1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado
3 que tiene tres raiacuteces reales simples
2 Si 119876(119909) =1
2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que
tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples
1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2
1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2
3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que
tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples
1199091 = 1199092 = 1multiplicidad de orden 2
1199093 = 0
1199094 = minus5
Meacutetodo de Gauss
Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del
teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio
son las posibles raiacuteces del mismo
Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
UTN-FRT 37
Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6
Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)
Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez
Para x-1 el resto P(1)=4
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio
Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio
Para x+2 el resto P(-2)=-20
Para x+3 el resto P(-3)=-60
Para x-3 el resto P(3)=0 3 es raiacutez del polinomio
Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1
minus1 |
1 minus4 1 6minus1 5 minus6
1 minus5 6 0
Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2
2 |
1 minus5 62 minus6
1 minus3 0
Paso 5 Escribir factoreado
119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)
iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma
Coeficiente principal 1
Divisores -1 1
Teacutermino independiente 6
Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6
El cociente es
( ) 2 5 6C x xx = minus +
El cociente es
( ) 3C x x= minus
UTN-FRT 38
Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no
son trinomios cuadrados perfectos
Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir
1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara
11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888
2119886 donde 1199091 =
minus119887+radic1198872minus4119886119888
2119886 y 1199092 =
minus119887minusradic1198872minus4119886119888
2119886
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como
119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
Expresiones algebraicas fraccionarias
Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)
119876(119909) se
llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria
Ejemplos
1 119909minus5
2119909minus1 119909 ne
1
2
2 1199092minus36
31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma
forma que las operaciones con nuacutemeros racionales
Simplificacioacuten
Sea 119875(119909)
119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a
ambos
Ejemplo Simplifica 1199092minus16
31199092minus12119909
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4
1199092minus16
31199092minus12119909=
(119909minus4)(119909+4)
3119909(119909minus4)=
(119909+4)
3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4
UTN-FRT 39
Multiplicacioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la
multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales
Ejemplo Resuelve 1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1
1199094 minus 1
1199092 + 6119909 + 9sdot
1199092 + 3119909
1199092 minus 1sdot
7
1199092 + 1=
(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)
(119909 + 3)2sdot
119909(119909 + 3)
(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot
7
1199092 + 1 119909
ne minus3 minus11
1199094minus1
1199092+6119909+9sdot
1199092+3119909
1199092minus1sdot
7
1199092+1=
(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)
(119909+3)2 sdot119909(119909+3)
(119909minus1)(119909+1)sdot
7
1199092+1=
7119909
119909+3 119909 ne minus3 minus11
Divisioacuten
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de
la segunda
Ejemplo Resuelve 119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55
119909 minus 1
119909 + 5
1199092 minus 119909
1199092 minus 25=
119909 minus 1
119909 + 5
119909(119909 minus 1)
(119909 minus 5)(119909 + 5)=
119909 minus 1
119909 + 5sdot
(119909 minus 5)(119909 + 5)
119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015
119909minus1
119909+5
1199092minus119909
1199092minus25=
119909minus1
119909+5sdot
(119909minus5)(119909+5)
119909(119909minus1)=
119909minus5
119909 119909 ne minus5015
Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias
119875(119909)
119876(119909)119877(119909)
119878(119909)=
119875(119909)
119876(119909)sdot
119878(119909)
119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo
Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado
como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre
ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor
exponente
UTN-FRT 40
Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909
Al factorear resulta
1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)
1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2
1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)
119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)
Adicioacuten y sustraccioacuten
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los
denominadores
bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador comuacuten
Ejemplo Resuelva 119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1
119909+4
119909minus1minus
119909+1
1199092minus1=
119909+4
119909minus1minus
119909+1
(119909minus1)(119909+1)=
119909+4
119909minus1minus
1
119909minus1 119909 ne minus11
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
1199092 minus 1=
119909 + 4
119909 minus 1minus
119909 + 1
(119909 minus 1)(119909 + 1)=
119909 + 4
119909 minus 1minus
1
119909 minus 1=
119909 + 4 minus 1
119909 minus 1=
119909 + 3
119909 minus 1 119909 ne minus11
bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador
que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la
suma de fracciones numeacutericas
Ejemplo Resuelva 119909minus10
1199092+3119909minus10minus
2119909+4
1199092minus4
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2(119909 + 2)
(119909 minus 2)(119909 + 2)=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909
ne minus5 minus22
El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)
119909 minus 10
1199092 + 3119909 minus 10minus
2119909 + 4
1199092 minus 4=
119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2)minus
2
(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
=minus119909 minus 20
(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52
UTN-FRT 41
Trabajo Praacutectico Ndeg2
ldquoExpresiones Algebraicasrdquo
1 Marque una cruz en el casillero correcto
Expresioacuten
algebraica
Racional
entera
Racional no
entera
irracional
2 31 1
1
xx
x
minus+
minus
2 314
2x xy xminus minus
2 32 5x xminus minus
2 135x y x+
2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos
coeficientes y grado
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2
31199095 minus 119909 minus 2
c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados
x=0 x=1 x=-1 x=2
a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17
b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909
c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13
4 Exprese como un monomio
a) El periacutemetro de la figura
b) El aacuterea
c) El volumen del cubo que se puede formar con
los 6 cuadrados
5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5
Exprese el volumen en funcioacuten de x
6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios
UTN-FRT 42
7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras
a b
c d
8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093
9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que
1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4
10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +
6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)
11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine
119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero
12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los
polinomios cociente y resto
a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)
b)(51199093 +1
21199092 minus 3119909 +
3
4) + (
4
51199093 + 31199092 +
1
5119909 minus
1
2)
UTN-FRT 43
c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)
d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)
e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)
f) (31199093 minus1
21199092 + 2119909 minus 2) (
2
31199092 minus 1)
g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)
h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)
i) (1
21199094 +
8
31199093 +
1
21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (
1
2119909 + 3)
13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto
119909 minus 2
14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini
a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)
b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)
c) (1199094 minus1
21199093 +
1
31199092 minus
1
4119909 +
1
5) ∶ (119909 minus 1)
d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)
e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)
f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)
g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)
15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)
a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3
b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5
c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1
16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio
119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2
17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)
UTN-FRT 44
18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por
(119909 minus 5)
19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1
20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego
escriacutebelos en forma factorizada
a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero
b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad
dos
21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4
22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del
polinomio y escriacutebelo en forma factorizada
23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio
119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909
24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El
coeficiente principal es igual a 2
25 Factorea las siguientes expresiones
a) 1611988621199092 minus 411990931198863
b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092
c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14
d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909
e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1
f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910
g) 4
251198864 minus
1
91199092
h) 25
1198982 minus 36
i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887
j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901
k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096
l) 1199103 +3
41199102 +
3
16119910 +
1
64
m) 1199092 + 36 minus 12119909
n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103
UTN-FRT 45
o) 1199093
27minus
1198861199092
3+ 1198862119909 minus 1198863
26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son
divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)
a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6
c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2
e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6
27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo
producto y necesita disentildear el packaging Para
ello se ha pensado en dos opciones un prisma y
un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el
mismo pero el prisma tendraacute el triple de
profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre
las medidas y el volumen de cada caja
28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute
elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la
misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen
29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique
a) 1199094minus31199092+5119909minus3
119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1
b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15
119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3
c) 1199093+1
119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1
30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique
a 2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
minus +minus +
+ minus minus b
21 1
1 1
xx
x x
+minus +
+ minus
c 3 1 1
4 4 1 1
x x xx
x x x
+ minus + minus minus
minus + d
2
1 1 21
1 1
x
x x x
minus minus
+ minus
e 1 1
x xx x
x x
+ minus
minus minus f
2
3 2
1 1
x
x a x a x a x
+
+ minus minus
UTN-FRT 46
g 1
8minus8119909minus
1
8+8119909+
119909
4+41199092 h
4119909minus3119887
2119909minus 2 +
2119909+119887
3119909
i (1
119909+
2
119886) (
1
119909minus
2
119886) (
119886119909
119886+2119909) j (
1199092
1198862 minus1198862
1199092) ∶ (119909
119886+
119886
119909)
k (1199094 minus1
1199092) ∶ (1199092 +
1
119909) l (
2119909
119909+3minus
119909+1
119909) ∶ (
1199093minus41199092minus3119909
1199092 )
31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta
a ( )
( )( )
22 a b aa b a
b a b b a b a b
minus+minus +
+ minus + es igual a
a b+ b
a bminus
+
b
a b+
a b
b
+ Otro
b 2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
minus minus minusminus +
+ + + es igual a
a 1
6
b
a b Otro
c
2
2
2 4 4
1 1 1
x x x
x x x
minus + minus
+ minus minus es igual a
2
1
2x xminus
minus minus
2
1
2x xminus minus
2
1
3 2x xminus + 1 Otro
32 Verifique 119886minus2
2119886+2minus
3119886minus4
3119886+3+
4119886minus1
6119886+6=
1
6
UTN-FRT 47
UNIDAD Ndeg3
Aacutengulo
Sistemas de medicioacuten de aacutengulos
Longitud de arco
Triaacutengulos
Elementos de un triaacutengulo
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en
triaacutengulo rectaacutengulo
Ciacuterculo Trigonomeacutetrico
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
Teorema del coseno
UTN-FRT 48
Nociones previas
Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan
dos aacutengulos
A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo
A los aacutengulos los denotamos con
bull Letras del alfabeto griego tales como etc
bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo
bull
Sistema de medicioacuten de aacutengulos
Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema
sexagesimal y el sistema radial
Sistema sexagesimal
El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la
circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La
unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo
sexagesimal
Sistema radial o circular
Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia
Longitud del arco 119860119861⏜ =r
1 =
UTN-FRT 49
Longitud de arco
En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en
el radio de la circunferencia
Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=
aacutengulo central medido en radianes
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial
En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )
De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π
Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π
Ejemplos
1 Transformar de un sistema a otro
i) 30deg 25acute45acuteacute
ii) 4
i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces
180deg-----------------
3043deg--------------x
Luego x=3043deg120587
180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889
ii) ---------------------180deg
4
----------------------x
Entonces x=
1801804 45
4
= =
2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg
en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros
UTN-FRT 50
Elementos
Lados a b y c o AB BC CA
Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860
Convertimos el aacutengulo α a radianes
180deg--------
50deg--------x
Entonces x=50 5
180 18
=
Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5
18
=5 metros
Conceptos elementales de Triaacutengulos
Elementos
Propiedades
Un lado de un triaacutengulo es
menor que la suma de los
otros dos y mayor que su
diferencia
a lt b + c a gt b ndash c
b lt c + a b gt c ndash a
c lt a + b c gt a ndash b
La suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es
180deg
+ + = 180deg
UTN-FRT 51
La suma de los aacutengulos
exteriores de un triaacutengulo es
360deg
+ + 120574 = 360deg
Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg
Clasificacioacuten de los triaacutengulos
Seguacuten sus lados
Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud
Si los tres lados tienen igual longitud se llama
equilaacutetero
Tiene sus tres lados distinta longitud
Como + + = 180deg
Entonces
= 180deg minus minus
= 180deg minus 38deg minus 46deg
= 96deg
UTN-FRT 52
Seguacuten sus aacutengulos
Triaacutengulos
acutaacutengulos
Triaacutengulos
rectaacutengulos
Triaacutengulos
obtusaacutengulos
Tiene tres aacutengulos
agudos
Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso
Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo
Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas
del aacutengulo agudo como
catetoopuesto asen A
hipotenusa c= =
oshipotenusa c
c ec Acatetoopuesto a
= =
oscatetoadyacente b
c Ahipotenusa c
= =
echipotenusa c
s Acatetoadyacente b
= =
catetoopuesto atg A
catetoadyacente b= = ot
catetoadyacente bc g A
catetoopuesto a= =
Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B
bsen B
c= cos
aB
c= t
bg B
a=
Comparando las expresiones anteriores observamos que
UTN-FRT 53
cossen A B= y cos A sen B=
Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios
Ten en cuenta
1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg
2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg
Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos
1 Datos b=280 m y c= 415 m
28006747
415
(06747)
4243
bsen B
c
B arcsen
B
= = =
=
=
Para obtener el aacutengulo
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg
Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃
30631119898119890119905119903119900119904
2 Datos = 37deg y a=52 m
119888119900119904 3 7deg =52
119888
119888 =52
119888119900119904 3 7deg
119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904
Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante
119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904
Luego para obtener el aacutengulo
UTN-FRT 54
+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 37deg = 53deg
Posicioacuten normal del aacutengulo
Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas
Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el
aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente
Ten en cuenta
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas
negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para
enumerar los restantes cuadrantes
Ciacuterculo trigonomeacutetrico
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten
normal
UTN-FRT 55
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por
coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)
De la figura podemos observar que
bull OP = r =1 (radio) medida del radio
bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α
bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0
bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0
bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0
bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0
Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos
1
catetoopuesto y ysen y
hipotenusa r = = = =
os1
catetoadyacente x xc x
hipotenusa r = = = =
catetoopuesto ytg
catetoadyacente x = =
1os
hipotenusac ec
catetoopuesto y = =
UTN-FRT 56
1ec
hipotenusas
catetoadyacente x = =
otcatetoadyacente x
c g Acatetoopuesto y
= =
1048601Ten en cuenta
1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno
del mismo aacutengulo
2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio
3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente
4 Como
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x
minus minus
minus minus
Relaciones fundamentales
Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas
2 2cos 1sen + =
UTN-FRT 57
cos 0cos
sentg
=
1sec cos 0
cos
=
1sec s 0co en
sen
=
Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares
Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda
determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual
Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =
Entonces
130
2 2
catetoopuesto y ysen
hipotenusa r y = = = =
cos 1 0 0cotg sen tg
sen tg
= =
UTN-FRT 58
1 330
33 3
catetoopuesto y ytg
catetoadyacente x y = = = = =
Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos
1cos60 30
2sen = =
60 cot 30 3tg g = =
Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos
un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual
Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=
Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =
Entonces
3 3cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y = = = = =
360 cos30
2sen = =
UTN-FRT 59
1 245
22 2
catetoopuesto y xsen
hipotenusa r x = = = = =
1 2cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x = = = = =
45 1catetoopuesto y x
tgcatetoadyacente x x
= = = =
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en
aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al
4
Segundo
paso
0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
00
2=
1
2 2
2
3
2
21
2=
Divido en 2
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno
en aacutengulos de notables
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones
Primer
paso
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al
0
Segundo
paso
4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez
cuadrada
Tercer
paso
21
2= 3
2
2
2
1
2
00
2=
Divido en 2
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
UTN-FRT 60
En resumen
α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg
sen α 0 1
2 2
2
3
2
1
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los
aacutengulos notables
Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de abajo hacia arriba con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en
metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
7 10 7 12186910
hsen sen h h km = = =
h altura
UTN-FRT 61
Pasamos la altura de km a metro obteniendo
121869 121869km a m m=
Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m
Aacutengulo de elevacioacuten
Situacioacuten graacutefica Definicioacuten
Aacutengulo agudo que forma la visual
dirigida de arriba hacia abajo con la
direccioacuten horizontal
Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento
que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las
dos islas
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas
1200 1200
10 10 1200 68055310
tg d tg d d md tg
= = = =
Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros
d distancia
UTN-FRT 62
Triaacutengulos oblicuaacutengulos
Teorema del seno
En todo triaacutengulo las longitudes de
los lados son proporcionales a los
senos de los respectivos aacutengulos
opuestos
a b c
sen A sen B senC= =
sen A sen B senC
a b c= =
Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b
y c y el aacutengulo C del triaacutengulo
Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos
interiores de un triaacutengulo es 180deg
+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
senb
sen
b
= =
=
=
UTN-FRT 63
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
senc
sen
c
= =
=
+ =
Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2
2b m
+=
Teorema del coseno
En todo triaacutengulo el cuadrado de
un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos
el doble del producto de esos
lados por el coseno del aacutengulo
comprendido entre ellos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + minus
= + minus
= + minus
Ten en cuenta
1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos
i) Lados del triaacutengulo
ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos
2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos
i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos
ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos
UTN-FRT 64
Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos32
1858
431
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + minus
= + minus
=
=
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno
calculando previamente el aacutengulo
Por propiedad
+ + + = 360deg = =
2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg
Aplicando el teorema del coseno resulta
2 2 2
22 2
2
2 cos
6 8 268 cos148
18141
1347
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + minus
= + minus
=
=
UTN-FRT 65
Unidad Ndeg3
ldquoTrigonometriacuteardquo
1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema
sexagesimal
a 120587
6
a 5120587
4 b 26 rad
c 2120587
3 d 35 rad e
3120587
2
2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial
b 60deg
c 35deg 30rsquo d 45deg
e 320deg f 1405deg g 82deg
3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo
que
25
20
35
=
=
=
4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B
y C
5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y
120572 = 60deg
6 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 40 119898 y
120572 = 18deg
7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y
120572 = 20deg
8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular
en grados sexagesimales a partir de
la figura dada
9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del
aacutengulo del sector circular
10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
agudo
a) 119904119890119899119860 =3
7
b) 119905119892119860 = 15
UTN-FRT 66
c) 119888119900119904119860 = 03
11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura
a C = 60deg 25rsquo a = 80
b A = 38deg b = 15
c b = 12 c = 5
d a = 18 b = 32
e c = 12 a = 14
12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo
a tg gt 0 y sen lt 0
b tg y cos tienen el mismo signo
c sen y cos tienen el mismo signo
d sen y tg tienen signos opuestos
e cos gt 0 y tg lt 0
f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo
13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud
de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo
opuesto a este cateto
14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su
altura 8 cm
15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el
lado 119860119861 Calcule el aacutengulo
16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863
120572 = 60deg 120579 = 60deg
119860119863 = 18 119898
A
B
D
C
UTN-FRT 67
17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m
del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal
18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la
horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide
85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo
19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo
20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de
una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la
altura de la torre
21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que
se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel
usando la informacioacuten dada en la figura
22 Determine los aacutengulos y lados faltantes
del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura
Complete la tabla
a
c
b
UTN-FRT 68
a
b
c
120572 120573 120574 Aacuterea
30 cm 45 cm 40deg
120 cm 84 cm 60deg
60 m 70 m 5120587
6
25 cm 35deg 68deg
252 m 378 m 434 m
132 cm 224 cm 28deg40rsquo
475 cm 70deg 45deg
23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue
construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero
debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja
Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en
la figura
24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre
siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la
costa miden 15ordm y 35ordm
a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero
b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A
c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B
UTN-FRT 69
25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina
que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo
ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas
26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de
estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km
27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm
a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas
UTN-FRT 70
28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg
Determine cuaacutento miden sus diagonales
29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con
aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m
a) Realiza un esquema de la situacioacuten
b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos
30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago
Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862
UTN-FRT 71
UNIDAD Ndeg4
Identidades y ecuaciones
Clasificacioacuten de las ecuaciones
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Foacutermula de Bhaskara
Naturaleza de las raiacuteces
Ecuacioacuten racional fraccionaria
Ecuacioacuten irracional
UTN-FRT 72
Identidades y ecuaciones
Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para
ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y
todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS
Ejemplos
1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)
2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)
Ten en cuenta
Los elementos de una ecuacioacuten son
1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad
2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro
3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez
realizadas todas las operaciones
2
Pr
7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino
imer miembro Segundo miembro
x x x+ minus = minus
Clasificacioacuten
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Ecuaciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas
Ejemplos
1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer
grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de
adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no
negativos y no tienen variables en el denominador
UTN-FRT 73
2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2
31
4
x
x
minus=
minus 1 2x xminus+ =
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador
3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero
Resolucioacuten de una ecuacioacuten
Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos
construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes
sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes
Dos ecuaciones son equivalentes si
bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una
ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo
nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada
bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que
contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se
pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten
de partida
Ten en cuenta
Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo
(CS= )
Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con
una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11
UTN-FRT 74
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 12 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ minus = minus
=
=
=
Por lo tanto CS= 1
Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita
Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado
con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica
2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente
ax bx c a+ + =
Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar
1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c
Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =
Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara
2 5 3a b c= = = minus
2
12
1
12
2
5 25 42( 3)4 5 49
2 22 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 1243
4 4
b b acx
a
x
x
x
minus minus minusminus minus minus = = =
minus += = =minus
= = minus minus minus = = = minus
Por lo tanto CS=1
2 -3
2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y
0c
Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
minus =
=
=
=
= minus =
Por lo tanto CS= -2 2
UTN-FRT 75
3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde
0b y 0c =
Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
minus =
minus = = minus =
= =
Por lo tanto CS= 0 6
Naturaleza de las raiacuteces
En la Foacutermula de Bhaskara
2
12
4
2
b b acx
a
minus minus= se denomina discriminante a la
expresioacuten 2 4b ac = minus
Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)
Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)
Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)
Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten
1 2 5 6 0x xminus + =
Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son
reales y distintas
2 2 9 0x x+ + =
Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son
complejas conjugadas
Ecuacioacuten racional fraccionaria
En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros
negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en
uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas
Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
UTN-FRT 76
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
3 2
1 1 2
1x x x x+ =
minus minus
Resolucioacuten
1 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el
denominador
7 + 119909
119909 + 5=
119909 + 3
119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2
Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al
producto de los extremos)
7 + 119909
119909 + 5∙
119909 + 2
119909 + 2=
119909 + 3
119909 + 2 ∙
119909 + 5
119909 + 5
(7 + 119909) (119909 + 2)
(119909 + 5) (119909 + 2)=
(119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 2) (119909 + 5)
(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)
Aplicando propiedad distributiva obtenemos
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15
9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la
ecuacioacuten de partida 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ +
Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3
1 5 6 3 1 2
+ += = =
+ +
Luego 119862119878 = 1
UTN-FRT 77
Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3
5 2
x x
x x
+ +=
+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2
7 + 119909
119909 + 5minus
119909 + 3
119909 + 2= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)
(119909 + 5) (119909 + 2)= 0
(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0
Aplicando propiedad distributiva
7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0
119909 minus 1 = 0
119909 = 1
Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1
2 2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores
que anulan los denominadores
3119909
2119909 + 1=
119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
21199092 + 3119909 + 1
3119909
2 (119909 +12)
=119909 + 5
119909 + 1+
119909 minus 19
2(119909 + 1) (119909 +12)
Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1
2
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
3119909
2 (119909 +12)
=2(119909 + 5) (119909 +
12) + (119909 minus 19)
2(119909 + 1) (119909 +12)
Luego de simplificar los denominadores obtenemos
3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1
2) + (119909 minus 19)
UTN-FRT 78
Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente
31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19
31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0
1199092 minus 9119909 + 14 = 0
Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara
1199091 = 2 y 1199091 = 7
Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida
2
3 5 19
2 1 1 2 3 1
x x x
x x x x
+ minus= +
+ + + +
Si 119909 = 2
32
22 + 1=
2 + 5
2 + 1+
2 minus 19
2 22 + 32 + 1
6
5=
7
3+
(minus17)
15
6
5=
18
15
6
5=
6
5
Si 119909 = 7
37
27 + 1=
7 + 5
7 + 1+
7 minus 19
2 72 + 37 + 1
21
15=
12
8+
(minus12)
120
7
5=
3
2+
(minus1)
10
7
5=
14
10
7
5=
7
5
Luego 119862119878 = 27
UTN-FRT 79
3 23 11 6
2 3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Excluimos los valores que anulan los denominadores
23 11 62 3
3 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus
Operando obtenemos
2
2 2
2
2
3 11 2 ( 3) 6
3 3
3 11 2 6 6
3 3
5 6
3 3
5 6 0
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
minus minus minus= minus
minus minus
minus minus += minus
minus minus
minus= minus
minus minus
minus + =
Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara
1 22 3x y x= =
Para la ecuacioacuten 23 11 6
2 33 3
x xx con x
x x
minusminus = minus
minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido
ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica
solucioacuten es x=2
Verificamos en la ecuacioacuten de partida
23 11 62
3 3
x xx
x x
minusminus = minus
minus minus
Si x=2
232 112 12 22 622 4 10 4 6
2 3 1 2 3
minus minusminus = minus = minus = = minus
minus minus minus
Ecuacioacuten irracional
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero
racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical
Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones
1 radic5119909 = 119909
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Resolucioacuten
UTN-FRT 80
1 radic5119909 = 119909
Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos
miembros
(radic5119909)2
= 1199092
5119909 = 1199092
1199092 minus 5119909 = 0
Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0
Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5
Luego 119862119878 = 05
2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909
Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4
(2radic119909 minus 1)2
= (119909 minus 4)2
4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16
4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0
minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0
Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10
Verificacioacuten
Si 119909 = 2
4 + 2radic2 minus 1 = 2
4 + 2 = 2
6 = 2
Si 119909 = 10
4 + 2radic10 minus 1 = 10
4 + 2 radic9 = 10
4 + 23 = 10
UTN-FRT 81
10 = 10
Luego 119862119878 = 10
3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1
Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces
radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1
(radic3119909 + 1)2
= (1 minus radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2
3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1
119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1
(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2
1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)
1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4
La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1
y 1199092 = 5
Verificacioacuten
Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1
Si 119909 = 5 radic35 + 1 minus radic25 minus 1 = radic16 minus radic9 = 4 minus 3 = 1
Luego 119862119878 = 15
Inecuaciones
Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante
cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas
estas desigualdades se denominan inecuaciones
Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este
aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad
con la letra e
UTN-FRT 82
1
25 35
experiencia
edad
a a
e e
Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para
que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades
fundamentales
Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una
desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888
Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888
Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de
una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario
En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888
Inecuaciones lineales
Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+
0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos
las propiedades vistas anteriormente
Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en
la recta real
1 5 3 4x x+ minus
5 3 5 4 5
3 1
3 1
4 1
1
4
x x
x x
x x x x
x
x
+ minus minus minus
minus minus
+ minus minus +
minus
minus
CS=(-infin -14]
UTN-FRT 83
2 2 1 7xminus +
( )
2 1 1 7 1
2 6
1 1 2 6
2 2
3
x
x
x
x
minus + minus minus
minus
minus minus minus
minus
CS=(-3infin)
UTN-FRT 84
Trabajo Praacutectico Ndeg4
ldquoEcuacionesrdquo
1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones
a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros
b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos
c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos
d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio
e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro
f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5
2 Despeja la variable que se indica en cada caso
a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten
119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ
b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886
c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las
progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889
d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9
5 119862 + 32
Despeja 119862
e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se
calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja
3 Resuelve las siguientes ecuaciones
a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)
c 4(119909 minus 2) +1
2= minus
1
3(119909 + 2) minus
14
3 d
119909minus2
119909+3minus
119909+1
119909minus3=
5
1199092minus9
e 119909+1
119909minus1minus
119909
119909+1=
119909+5
1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2
g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1
2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus
119909
2
4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son
soluciones de la ecuacioacuten correspondiente
a) Los nuacutemeros 12
5
4
5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8
b) Los nuacutemeros 1
3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0
c) Los nuacutemeros 0 31
5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909
d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909
UTN-FRT 85
5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los
nuacutemeros
6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos
nuacutemeros
7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo
del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95
8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13
y el resto 9
9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a
la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado
10 Determine el valor de x
11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones
a 131199092 + 8 = 60
b 31199092 minus 24119909 = 0
c 41199092 minus 20119909 = 75
d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6
e 31199092+6119909
3minus 120 = 0
f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)
g 24119909minus61199092
15= 0
h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909
i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada
a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0
c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1
21199092 + 5119909 + 8
13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el
coeficiente 119886 = 8
14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0
de modo que
a) Las raiacuteces sean reales e iguales
b) Las raiacuteces sean complejas
c) Las raiacuteces sean reales y distintas
UTN-FRT 86
15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052
donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que
es lanzado hasta alcanzar la altura
a) 119886 = 0 119898
b) 119886 =75
4 119898
c) 119886 = 15 119898
16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede
encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)
2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros
positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670
17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de
sus cuadrados sea 365
18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos
19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82
9
20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo
nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65
21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos
es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos
22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho
Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones
23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que
el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982
24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y
el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor
25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco
rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho
del marco
26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909
UTN-FRT 87
27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones
a 6minus119909
1199092+4119909+4minus
1
119909+2=
2
5minus119909 b (
119909+1
119909minus1)
2
+119909+1
119909minus1= 6
c 119909+4
3119909minus6minus
119909minus6
4119909minus8=
119909+1
119909minus2 d
3
119909minus2+
7
119909+2=
119909+1
119909minus2
e 1
119909minus2= 1 +
2
1199092minus2119909 f
2119909minus3
3119909minus2=
119909minus1
2119909
g 2+119909
2minus119909+
2minus119909
2+119909= 2 h
3
119909+5= 1 minus
4
119909minus5
i 119909+1
119909minus1minus
119909+5
1199092minus1=
119909
119909+1
28 Determine el conjunto solucioacuten de
a radic119909 minus 13
= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909
c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909
e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1
g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3
i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909
k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909
m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7
o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3
29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones
a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5
c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1
21199092 + 5119909 + 8 ge 0
e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16
g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0
UTN-FRT 88
UNIDAD Ndeg5
Funciones
Dominio de una funcioacuten
Rango o Imagen de una funcioacuten
Graacutefica de una funcioacuten
Clasificacioacuten de las funciones
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten lineal
Dominio y rango
Graacutefica
Rectas paralelas y perpendiculares
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Funcioacuten cuadraacutetica
Domino y rango
Graacutefica
Funcioacuten racional
Funcioacuten irracional
UTN-FRT 89
Funciones
Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento
del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto
El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen
Ejemplos
1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde
el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido
La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute
dada por la expresioacuten d=5t2
Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante
de tiempo t para varios momentos distintos
t 1 2 3 4
d 5 20 45 80
Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en
funcioacuten del tiempo de la siguiente manera
En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el
automoacutevil
Dominio Rango
UTN-FRT 90
2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del
antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla
Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las
temperaturas maacuteximas registradas en degC
3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234
Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada
elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos
Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4
Notacioacuten
Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee
f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x
Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera
A B
UTN-FRT 91
( )
f A B
x y f x
rarr
rarr =
Donde x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los
cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f
Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio
de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f
Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales
Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)
Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)
Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ
4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0
5- 3(1) 21 3 2 3 1f = minus = minus = minus -1 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=1
Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas
graacuteficos conjuntos y foacutermulas
Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)
Ten en cuenta
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes
coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse
dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los
ejes es el origen de coordenadas
El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es
conocido como eje y o eje de las ordenadas
Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano
que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0
UTN-FRT 92
Criterio de la recta vertical
A partir de la representacioacuten la graacutefica de
una funcioacuten podemos observar que una
de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es
que cualquier recta vertical trazada
imaginariamente corta en un solo punto a
la graacutefica
Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones
Intersecciones con los ejes coordenados
Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los
puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x
A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la
funcioacuten
Interseccioacuten con el eje y
La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)
Si es funcioacuten No es funcioacuten
UTN-FRT 93
Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes
funciones
1 ( ) 2 1f x x= minus
Interseccioacuten con eje x y=0
2 1 0
2 1
1
2
x
x
x
minus =
=
=
El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1
2 0)
Interseccioacuten con el eje y x=0
(0) 20 1
(0) 1
f
f
= minus
= minus
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)
2 2( ) 5 6f x x x= minus +
Interseccioacuten con eje x y=0
2
2
12
1 2
5 6 0
5 5 416
21
3 2
x x
x
x y x
minus + =
minus=
= =
Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)
Interseccioacuten con el eje y x=0
2(0) 0 50 6
(0) 6
f
f
= minus +
=
El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)
Q (0 y)
Interseccioacuten con el eje y
f (0)
ceros
Interseccioacuten con el eje x
UTN-FRT 94
Funciones crecientes y decrecientes
Funcioacuten creciente
Una funcioacuten f es creciente en un
intervalo (a b) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)
Funcioacuten decreciente
Una funcioacuten f es decreciente en un
intervalo (ab) cuando para todo x1 x2
isin (a b)
x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)
Clasificacioacuten de las funciones
Enteras Racionales
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales Funciones
Logariacutetmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonomeacutetricas
Ejemplos
1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +
2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3
6( )
3 6
xf x
x x
+=
minus
2( ) 2g x xminus= minus
UTN-FRT 95
3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus
13( )g x x=
4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)
En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas
Funcioacuten Lineal
Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten
de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde
m pendiente de la recta b ordenada al origen
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo
la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es creciente
en ℝ
bull Domf=ℝ Rgof=ℝ
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =
Obtenemos x=-bm cero de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f
Obtenemos y=b
bull Como 0m entonces f es
decreciente en ℝ
Ten en cuenta
bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)
bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)
UTN-FRT 96
Funcioacuten constante
Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica
es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=
bull Domf=ℝ Rgof= b
bull Interseccioacuten con el eje x
Si b ne 0 la funcioacuten no presenta
ceros
Si b = 0 la recta coincide con el eje
de las abscisas y=0
bull Interseccioacuten con el eje y
y=b
bull Como 0m = entonces f no es
creciente ni decreciente en ℝ
Para graficar las rectas
Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos
obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta
en forma expliacutecita
Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es
2 1
2 1
( )
( )
y yy cambioen y cambioverticalm
x x x cambioen x cambiohorizontal
minus= = = minus
UTN-FRT 97
Ejemplos grafica las siguientes funciones
21
3y x= +
Donde 2
3m = y 1b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
32
4y x= minus +
Donde 3
4m = minus y 2b =
Marcamos la ordenada al origen en el
eje y luego la pendiente
Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces
Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir
1 2m m=
Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus
UTN-FRT 98
Las rectas son paralelas ya que las
pendientes son iguales
1 2 2m m= =
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la
pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si
la pendiente de una es 1m entonces 2
1
1m
m= minus
Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1
13
y x= minus minus
Las rectas son perpendiculares ya que
las pendientes son
1 3m = y 2
1
3m = minus
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma
general como
donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
UTN-FRT 99
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma
analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten
Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible
Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible
Clasificacioacuten
Sistema
compatible
determinado
(SCD)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas que se intersecan
en un uacutenico punto (a b)
perteneciente al conjunto
solucioacuten del sistema
Sistema
compatible
indeterminado
(SCI)
Geomeacutetricamente
representa
la misma recta (o un par
de rectas coincidentes)
UTN-FRT 100
Sistema
Incompatible
(SI)
Geomeacutetricamente
representa un par de
rectas paralelas no
coincidentes Su conjunto
solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)
Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan
distintos meacutetodos
1 Meacutetodo de igualacioacuten
2 Meacutetodo de sustitucioacuten
3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas
Ejemplos
1 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en
obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y
De (1) 2 3y x= minus
De 1 1
(2)2 2
y x= minus minus
y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos
1 12 3
2 2
1 12 3
2 2
5 5
2 2
1
y y
x x
x x
x
x
=
minus = minus minus
+ = minus +
=
=
UTN-FRT 101
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
Por lo tanto S= (1 -1)
2 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en
obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten
no utilizada
De (2) 1 2x y= minus minus
Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =
Resolvemos
2 4 3
5 5
1
y y
y
y
minus minus minus =
minus =
= minus
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (2) 1x =
Por lo tanto S= (1 -1)
3 Resolver 2 3 (1)
2 1 (2)
x y
x y
minus =
+ = minus
Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el
mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado
convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los
coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros
coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo
multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten
2 3 2 3 4 2 6
2 1 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y x y
minus = minus = minus =
+ = minus + = minus + = minus
Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten
5 5 1x x= =
reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y
encontramos el valor de la incoacutegnita restante
De (1) 1y = minus
UTN-FRT 102
Por lo tanto S= (1 -1)
Funcioacuten cuadraacutetica
Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su
representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de
ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde
a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico
b coeficiente del teacutermino lineal
c teacutermino independiente
bull Domf=ℝ Rgof=[ )k
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos 2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus= y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia arriba
bull Crece en ( )h y decrece en
( )hminus
UTN-FRT 103
bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus
bull Interseccioacuten con el eje x
resolviendo la ecuacioacuten
2 0ax bx c+ + =
Obtenemos
2
1
4
2
b b acx
a
minus + minus=
y
2
2
4
2
b b acx
a
minus minus minus= ceros de la
funcioacuten
bull Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=c
bull Como 0a entonces la graacutefica f
es coacutencava hacia abajo
bull Crece en ( )hminus y decrece en
( )h
Ceros
Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +
consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de
esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten
cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales
2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus
La ecuacioacuten tiene dos
raiacuteces reales
La ecuacioacuten tiene una
sola raiacutez real
1 22
bx x
a= = minus
La ecuacioacuten no tiene
raiacuteces reales
UTN-FRT 104
Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola
Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es
conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k
es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2
bh
a= minus y la ordenada
2k ah bh c= + +
El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2
bx
a= minus
Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten
bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten
Ejemplos
1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine
a El dominio
b Las intersecciones con los ejes coordenados
c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo
d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
e La graacutefica y el rango
f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
Resolucioacuten
a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ
b Intersecciones con los ejes coordenados
Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =
Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten
La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)
Interseccioacuten con el eje y
Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (0 5)
c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6
321
h = minus = minus y
119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4
Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus
UTN-FRT 105
Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la
funcioacuten
d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus
e Grafica
f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus
Funcioacuten racional
Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas
Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule
por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las
raiacuteces o ceros del denominador
Ejemplos son funciones racionales
2( )
4 3
xf x
x
+=
minus
2
2( )
1
xg x
x
minus=
+ y
2
3
9( )
xh x
x x
+=
minus
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
119863119900119898119891 = ℝ minus 4
3
119863119900119898119892 = ℝ
Rgof=[ 4 )minus
UTN-FRT 106
119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101
De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten
homograacutefica que es de la forma ( )ax b
f xcx d
+=
+
En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889
119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus
119886
119888
De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una
asiacutentota horizontal
Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas
La asiacutentota horizontal es a
yc
=
La asiacutentota vertical es d
xc
= minus
Ejemplo Dadas las siguientes funciones
1 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus determine el dominio
2 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la
graacutefica
Resolucioacuten
UTN-FRT 107
1 Para determinar el dominio de 2
2( )
4
xf x
x x
+=
minus debemos excluir los valores que
anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4
Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04
2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5
( )1
xf x
x
minus +=
minus + donde a=-2 b=5 c=-1
y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2
Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos
Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d
xc
= minus en nuestro ejemplo x = 1
Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a
yc
= en este caso y = 2
Funcioacuten irracional
Ejemplos son funciones irracionales
( ) 5f x x= minus 2
( )1
g xx
=minus
y 3( ) 2 3h x x= minus
Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la
variable estaacute bien definida la funcioacuten
iquestCuaacutel es dominio de estas funciones
)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ
UTN-FRT 108
Trabajo Praacutectico Ndeg5
ldquoFuncionesrdquo
1 Clasifique las siguientes funciones
a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1
21199092 + 2119909 minus 5
c 119910 = radic119909 + 1
d 119892(119909) =119909+5
2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (
119909
3)
f 119892(119909) = minus7119909 + 3
g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2
119909+ 5
2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al
origen
a 119891(119909) = minus4119909 +1
2 ( )
b 119910 = 5119909 + 4 ( )
c 119910 =4
119909minus 6 ( )
d 119910 = minus1
2119909 +
4
7 ( )
e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8
5119909 ( )
3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877
a 1198750 (minus1
2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus
5
2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2
c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3
4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752
a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)
b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)
c 1198751(2 3) 1198752(1 2)
d 1198751(6 0) 1198752(0 2)
e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)
5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes
coordenados
a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7
c 119910 = minus1
2119909 + 4 d 119910 = minus2119909
6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877
a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1
b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4
c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2
7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877
con los datos del ejercicio anterior
8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que
UTN-FRT 109
a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)
b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3
c Pasa por el punto (minus1
2
1
2) y es paralela a la recta determinada por los
puntos (-2 4) y (4 6)
d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los
puntos (-2 -1) y (2
3 0)
e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0
f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)
9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y
clasifiacutecalos
a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4
b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
c 2119909 minus 119910 = minus3
minus3119909 +9
4119910 =
15
2
d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4
e minus
2
3119909 + 119910 = 1
minus5119909 + 8119910 = 7 f
minus119909 + 3119910 = minus1
4
2119909 minus 6119910 =1
2
g 1
2119909 minus 119910 = minus
1
2
minus5119909 + 8119910 = 8
h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9
i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1
10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56
11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten
entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros
12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea
abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas
entradas vendieron para adultos y para nintildeos
13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y
61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay
14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13
doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares
iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute
UTN-FRT 110
15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6
sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay
16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos
ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas
iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento
17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es
6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa
18 Dadas las siguientes funciones
a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5
b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15
c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3
d 119910 = 41199092 + 1
e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7
f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3
Para cada una de las funciones determine
g El dominio
h Las intersecciones con los ejes coordenados
i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese
en forma canoacutenica
j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea
k La graacutefica y el rango
l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten
19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y
ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre
a Las coordenadas del veacutertice de la curva
b Los ceros de las funciones
c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres
funciones
d El rango
20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si
a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)
b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)
21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la
graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas
UTN-FRT 111
22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896
de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas
23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a
2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la
paraacutebola intersecta al eje x
a b c Tipo de
raiacuteces Un punto
Dos
puntos
Ninguacuten
punto
1 minus7 6
minus1 3 minus4
minus2 2radic2 minus1
1 0 minus4
radic3 6 3radic3
24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola
a b
25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de
ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4
26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1
2 minus
9
2) y corta al
eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2
UTN-FRT 112
27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El
veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)
a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta
b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola
c) Represente graacuteficamente
28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto
(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto
de interseccioacuten entre las graacuteficas
29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que
depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905
donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su
altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura
30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la
velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por
hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten
119877(119909) = minus1
401199092 +
7
2119909 para 0 lt 119909 lt 120
a) Completa la siguiente tabla del rendimiento
Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100
Rendimiento 119877(119909)
b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento
c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento
31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682
donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente
en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un
circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms
32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales
a 119891(119909) =119909+1
5minus4119909 b 119892(119909) =
3minus119909
1199092+4
c ℎ(119909) =1+1199092
1199093minus119909 d 119891(119909) =
7119909
1199092minus16
UTN-FRT 113
33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las
siguientes funciones
a 119891(119909) =3+2119909
5119909minus1
b 119892(119909) =3
2119909minus4
c ℎ(119909) =3minus2119909
4119909
d 119891(119909) =2+3119909
5minus119909
34 Determine el dominio de las siguientes funciones
a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1
b 119892(119909) =3119909
radic119909+4
c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4
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