7.1 Números Racionales: números enteros,
propiedades de los
números y orden de operaciones
Prof. Kyria A. Pérez
Estándares de contenido y expectativas
• N.SO .7.2.1- Modela la suma, Resta,
multiplicación y división con números enteros,
describe las relaciones entre estas operaciones
y aplica el orden de operaciones.
• N.OE.7.2.3-Representa y soluciona problemas
matemáticos de la vida real que involucren los
números enteros.
• N.SN.7.1.5-Reconoce, relaciona y aplica las
propiedades de los números racionales
(asociativa, conmutativa, identidad, inverso,
distributiva) para resolver problemas.
Objetivos particulares del tema
• Hacer una demostración de suma, resta,
multiplicación y división de enteros.
• Representar y solucionar problemas
matemáticos de la vida real que
involucren los números enteros.
• Reconocer, relacionar y aplicar las
propiedades de los números racionales.
• Reconocer, relacionar y aplicar el orden
de operaciones.
Definición
• Enteros
Los enteros son números que
incluyen los números
negativos ... ¡ sin fracciones!
Así que un entero puede ser
negativo (-1, -2,-3, -4, -5, … ),
positivo (1, 2, 3, 4, 5, … ), o cero
(0)
Recta numérica
Origen
Números
negativos
Números
positivos
• Los números a la derecha son
mayores que los números a la
izquierda:
•8 es mayor que 5
•1 es mayor que -1
•Pero fíjate en que -8 es menor que -5
Valor absoluto de un numero entero
• El valor absoluto de un numero a, se
representa como
A y se define como la distancia que hay desde 0
hasta dicho numero. Por ejemplo, │- 5│= 5 pues
entre 0 y – 5 hay 5 unidades de distancia,
gráficamente seria:
Valor absoluto de un numero entero
• Representación grafica de │-5 │= 5
5
Cómo sumar y restar números positivos y negativos
• Regla de Suma:
Si los sumandos son del mismo signo,
se suman los valores absolutos y al
resultado se le pone el signo común.
• Ejemplo: 3 + 5 = 8
• (−3) + (−5) = −8
Cómo sumar y restar números positivos y negativos
• Regla de suma:
Si los sumandos son de distinto signo,
se restan los valores absolutos (al
mayor le restamos el menor) y al
resultado se le pone el signo del
número de mayor valor absoluto.
• Ejemplo: −3 + 5 = 2
• 3 + (−5) = −2
Cómo sumar y restar números positivos y negativos
• Regla de resta:
Restar un numero es lo mismo que
sumar su opuesto.
Escribir la expresión como una suma.
Si los números enteros tienen signos
distintos restar sus valores absolutos.
Usar el signo del número con el
mayor valor absoluto.
Cómo sumar y restar números positivos y negativos
• Ejemplo de resta de enteros: 5 − 3 = 5 + −3 = 2
− 2 − 2 = − 2 + − 2 = − 4
7 − ( − 5) = 7 + 5 = 12
− 8 − ( − 2) = − 8 + 2 = − 6
Multiplicación y división de números enteros
• Para multiplicar y dividir números
enteros debemos tener en cuenta la ley
de los signos:
( + ) x ( + ) = + ( + ) ÷ ( + ) = +
( − ) x ( − ) = + ( − ) + ( − ) = +
( − ) x ( + ) = − ( − ) ÷ ( + ) = −
( + ) x ( − ) = − ( + ) + ( − ) = −
Multiplicación y división de números enteros
• Ejemplos de multiplicación de
enteros.
6 ● 8 = 48
− 7 ● −7 = 49
−6 ● 9 = −54
7 ● −6 = −42
Multiplicación y división de números enteros
• Ejemplo de división de enteros:
30 ÷ 6 = 5
− 24 ÷ − 6 = 4
63 ÷ − 9 = − 7
− 56 ÷ 8 = − 7
Propiedades de los números reales
• Propiedad Conmutativa de la suma:
Señala que una ordenación no afecta la
suma de tres o mas números.
Ejemplo:
a + b = b + a
5 + 4 = 4 + 5
Propiedades de los numeros reales
• Propiedad Conmutativa de la
multiplicación:
Señala que una ordenación no afecta el
producto de dos o mas números.
Ejemplo:
a ● b = b ● a
5 ● 4 = 4 ● 5
Propiedades de los números reales
• Propiedad Asociativa de la suma:
Señala que la agrupación no afecta la
suma de tres o mas números.
Ejemplo:
(a + b) + c = a + ( b+ c )
(3 + 2) + 4= 3 + ( 2 + 4)
Propiedades de los números reales
• Propiedad Asociativa de la
multiplicación:
Señala que la agrupación no afecta el
producto de tres o mas números.
Ejemplo:
(ab)c = a(bc)
(2●2)4 = 2(2●4)
Propiedades de los números reales
• Propiedad de identidad del 0:
establece que la suma de cero y
cualquier otro número es ese número
dado
Ejemplo:
a + 0 = a y 0 + a = a
2 + 0 = 2 y 0 + 2 = 2
Propiedades de los números reales
• Propiedad de identidad del 1:
establece que el producto de 1 y
cualquier número es ese número dado
Ejemplo:
a ● 1 = a y 1 ● a = a
2 ● 1 = 2 y 1 ● 2 = 2
Propiedades de los números reales
• Propiedad de los Opuestos: para
cada numero hay un numero real
opuesto de tal manera que
a + ( − a ) = 0 y ( − a ) + a = 0
5 + ( − 5) = 0 y ( − 5 ) + 5 = 0
Propiedades de los números reales
• Propiedad de los recíprocos: para cada
numero a (excepto 0) hay un numero real 1 de
a
tal manera que a ● 1 = 1 y 1 ● a = 1
a a
Ejemplo: 3 ● 1 = 1 y 1 ● 4 = 1
3 4
1 = recíproco o inverso multiplicativo.
a
Propiedades de los números reales
• Propiedad Distributiva (de la
multiplicación con respecto a la
suma): Señala que
a( b + c ) = ab + ac
2( 4 + 5) = 2(4) + 2(5)
Propiedades de los números reales
• Ejercicios de practica:
Indica la propiedad que se esta usando.
1. 9 +7 = 7 + 9
2. 1m = m
3. 5(4 + 2) = 5●4 + 5●2
4. 2 + (1 +3) = (2 + 1) + 3
5. 3(8 ● 2) = (3● 8)2
6. 100 + 0 = 100
7. ⅛ ● 8 = 1
8. mp = pm
Propiedades de los números reales
• Ejercicios de practica:
9. (11 ● 2)3 = 11(2 ● 3)
10. 8( 5 + 3) = 8● 5 + 8 ●3
11. 7 + ( 4 + 8) = ( 7 + 4 ) + 8
12. 20 ● 1 = 20
13. 2 ● 3 = 1
3 2
14. − 6 + 6 = 0
15. 7(8) = 8(7)
Orden de Operaciones
• Las operaciones con los números
reales siguen el siguiente orden:
Simplificar los paréntesis
Simplificar las potencias y/o raíces
Multiplicar y Dividir de izquierda a
derecha
Sumar y restar de izquierda a
derecha.
Orden de Operaciones
• Ejemplo:
Efectuar las operaciones:
1. 16 – 9 + 2
= 16 − 11 = 16 + −11 = 5
2. 8 ● 2 − ( 6 ● 2 + 1 )
= 16 − 13 = 16 + −13 = 3
3. 25 – ( 5 – 5) ÷ 5
= 25 – 0 ÷ 5
= 25 − 0 = 25 + 0 = 25
Orden de Operaciones
• Ejercicios de practica-efectuar las
operaciones:
1. 16 – 9 + 2 =
2. 16 – ( 9 + 2 ) =
3. 20 – 12 ÷ 2 =
4. 3 ● 8 – 7 =
5. 3 ● ( 8 – 7 ) =
6. ( 20 – 12 ) ÷ 2 =
7. 2 ● 6 + 2 ● 4 =
Orden de Operaciones
• Ejercicios de practica-efectuar las
operaciones:
8. 2 ( 6 + 4 ) =
9. 9 ● 3 – 10 ÷ 5 =
10. 30 – 5 ● 4 =
11. 8 ● 2 – ( 6 ● 2 + 1 ) =
12. 6 ● 8 – 6 ● 7 =
13. 6( 8 – 7 ) =
14. 24 ÷ 3 ÷ 2 =
Orden de Operaciones
• Ejercicios de practica-efectuar las
operaciones:
15. 16 ÷ 2 ● 8 =
16. 20 ● 2 ÷ 2 =
17. ( 27 + 5 ) ÷ ( 4 + 4 ) =
18. 4 ● 4 ● 4 ÷ 4 + 1 =
19. 25 – 5 – 5 ÷ 5 =
20. 25 – ( 5 – 5 ) ÷ 5 =
21. ( 18 ÷ 6 ) + ( 3 ● 9 ) – 20 =
Orden de Operaciones
• Ejercicios de practica-efectuar las
operaciones:
22. 25 – 8 ● 2 + 3 =
23. 6 – 10 ÷ 5 =
24. 2(5 + 9 ) – 6 =
25. (15 – 10 ) ÷ 5 + 1 =