7/25/2019 Oscilador armnico cuntico
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Oscilador Armnico
CunticoAplicacin de los polinomios de Hermite
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Charles HermiteDiciembre 1822 - Enero1901
Erwin ShrdingerAgosto 1887- Enero 1961
~1850 1926
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Oscilador armnico clsico
a !"er#a $"e e%erceel resorte sobre la
masa es&
'( por laseg"nda le) de*e+ton&
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,enemos la ec"acin di!erencial&
con
")a sol"cin general es&
Donde A ) . dependen de las condiciones iniciales
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Oscilador armnico cuntico
Ec"acin de mo/imiento de crdinger&
con
Donde es el potencial
(1)
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*otemos $"e
es la misma $"e en el caso cl3sico
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"stit")endo 4 en 1
donde podemos acer '1
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$"e tiene la !orma
onde A'1 .'0 ) '2E-2
(2)
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Grfca del potencial con k=
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a !"ncin de onda : $"e b"scamos debede acerse cero en '
Esto por$"e la !"ncin ;'
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Entonces como -( ((2E 2 secon/ierte en
2
onemos $"e la sol"cin a esta ec"acin sea de la !or
)a $"e c"ando -( e -(o sia(0>
-a 2
r lo $"e aora tenemos $"e encontrar a a>
(3)
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Deri/ando B dos /eces&
)
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) como -(
-
(
pero ab=amosdico $"e atiene $"e serma)or $"e cero
or lo tanto la sol"cin c"ando -( es
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Entonces podemos acer $"e la sol"cingeneral sea de la !orma
a encontrar deri/amos dos /eces ) s"stit"imos
)
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impliCcamos ) s"stit"imos en la ec"acin decrdinger ) tenemos $"e
"e s= acemos 2E-1'2n tiene la !orma de
la ec"acin de Hermite con n'E-12 enteropositi/o c")a sol"cin es el polinomio deHermite de grado n>
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o $"e la sol"cin para el oscilador armnico c"3ntico
con n'12B>>>
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*otemos $"e
!"a energ#a est cuanti$ada%
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Entre dos /alorescontig"os de Eno a) energ=a
@sta toma/alores discretosno contin"oscomo en la
mec3nica cl3sica
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