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GUÍA N° 2. DE ALGEBRA.
GRADO: OCTAVO
DOCENTE: SAMUEL HERNÁNDEZ
POLINOMIOS
LOGRO: Reconoce e identifica un polinomio a la vez sabe cuáles son las características de
los mismos.
EXPLORACIÓN: Mateo dice que si remplazas por 4 (cuatro) la X en la expresión 2x2+x+3
sabrás su edad. ¿Mateo es un niño o un adulto?
EXTRUCTURACIÓN:
Un polinomio es una expresión algebraica formada por varios monomios. Los monomios que
conforman el polinomio se denominan términos del polinomio.
Un polinomio recibe el nombre según las cantidades de término que tiene. Así, si el polinomio
tiene dos términos se denomina binomio, si tiene tres términos trinomio y cuando tiene más
de tres términos se le denomina polinomio.
CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO.
Grado absoluto de un polinomio: El grado absoluto de un polinomio es el grado del término de
mayor grado absoluto. Por ejemplo, el grado absoluto del polinomio 2x4 – 3x3 + x2 – 5 es (4) ya
que el término de mayor grado absoluto es 2x4.
Hallar el grado absoluto de 11x3y – 7xy2 + 5x – 13. Hallamos el grado absoluto de cada
monomio 11x3y= (3+1) = 4; 7xy2= (1+2)=3; 5x= (1). Como se puede determinar el grado
absoluto en este caso es 4 que corresponde al mayor número de los monomios que
componen el polinomio y cuyo término es 11x3y.
Grado relativo de un polinomio con respecto a una variable: El grado relativo de un polinomio
con respecto a una variable es el mayor exponente que tiene la variable en el polinomio. Así
en el polinomio -2x2y + 5x3, el grado relativo con respecto a x es 3, ya que es el mayor
exponente de esta variable en el polinomio.
Ejemplos:
1. Determinar cuántos términos tiene cada polinomio, luego establecer si es un binomio,
trinomio o polinomio.
a. 4x2 – 9y2; como está conformado por dos términos (4x2) y (9y2) es un binomio.
b. 3m2- 2mn + 5n2 tiene tres términos 3m2; - 2mn; 5n2 por lo tanto es un trinomio.
2. Identificar el grado absoluto del polinomio y su nombre de acuerdo al número de
términos.
2a2b – 5ab: Establecemos el grado absoluto de cada término:
(2+1) (1+1) Por lo tanto el grado absoluto es 3 y recibe el nombre de binomio por
tener dos términos.
3. Determinar el grado relativo con respecto a cada variable del polinomio. x5yz4 – x2z4: El
grado relativo con respecto a la variable x es 5 porque es el mayor exponente de esta
variable en el polinomio. Así mismo el grado relativo con respecto a la variable y es 1 y
con respecto a la variable z es 4.
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4. Representar con un polinomio el siguiente enunciado:
El triple de un número menos el cubo de otro, más el producto de los números.
X: un número Y: otro número.
Entonces:
3x El triple de un número.
3x-y3 El triple de un número menos el cubo de otro número.
3x- y3 + xy El triple de un número menos el cubo de otro número más el producto de los
números: (Recuerda que producto en matemáticas significa multiplicación)
Término independiente de un polinomio: El término independiente de un polinomio es el
término de grado cero en el polinomio, es decir, la constante. Por ejemplo: en el polinomio 5y4
– 7y3 + 8y2 – y +19, el término independiente o constante es 19 porqué es el término de
grado cero (0), es decir: 19y0 = 19*1= 19.
Cuando no aparece el término independiente en el polinomio se entiende que este es igual a
cero. Así en el polinomio 3
2 m2n + 5mn – n. El término independiente es igual a cero.
Polinomio ordenado: Un polinomio se puede ordenar de acuerdo con una de sus variables. El
orden se puede establecer en forma ascendente o descendente.
Orden ascendente: Un polinomio se ordena de forma ascendente con respecto a una
variable, si los exponentes de la variable aparecen de menor a mayor en los términos
del polinomio.
Por ejemplo, para ordenar con respecto a la variable m el polinomio -5m2n3 + 9n4m3 – 3 +
8mn2; se tiene: -3 +8mn2 – 5m2n3 + 9m3n4.
Orden descendente: Un polinomio se ordena de forma descendente con respecto a
una variable cuando los exponentes de la variable aparecen de mayor a menor.
Así, para ordenar el polinomio 16st + 3s3t3 – 5 + 22st2; con respecto a la variable t se tiene:
3s3t3 + 22st2 + 16st – 5.
Polinomio completo: Un polinomio es completo si al ordenarlo con respecto a una variable
aparecen sus exponentes en forma consecutiva, desde cero hasta el mayor exponente de la
variable.
Así para determinar si el polinomio 6 – 25x3y2 + xy3 es un polinomio completo con respecto a
la variable x, se debe ordenar en forma ascendente o descendente. Luego se establece si los
exponentes se representan en forma consecutiva. El polinomio ordenado en forma ascendente
con respecto a x es: 6 + xy3 – 25x3y2.
Como el término cuyo grado relativo 2 con respecto a x no está en el polinomio, entonces el
polinomio no es completo.
Términos semejantes de un polinomio: Dos términos de un polinomio son semejantes cuando
su parte literal es la misma, es decir, cuando las variables de ambos términos con sus
respectivos grados relativos, son exactamente iguales.
De acuerdo con lo anterior, en el polinomio 3x4 + 5x3 - 7 – 8x3; los términos semejantes son
5x3 – 8x3 porque tienen la misma variable x y el mismo grado relativo 3. En cambio, en el
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polinomio 8ab2 - 2
3a2b, los términos 8ab2 -
2
3a2b no son
semejantes porque, aunque tienen las mismas variables sus exponentes son diferentes.
Polinomio opuesto: El opuesto de un polinomio se obtiene estableciendo el opuesto de los
coeficientes de sus términos. Así el opuesto del polinomio 7
2mn2 – 21n3m + 6 es: -
7
2mn2 +
21n3m – 6.
Ejemplos:
1. Establecer cuál es el término independiente en el polinomio 7p2q - 3
7p3 +
5
2 – 8p2q4. El
término independiente es 5
2.
2. Ordenar el siguiente polinomio en forma ascendente con respecto a la variable n. Luego
determinar si el polinomio es completo o no, con respecto a la misma variable.
-15mn2q + 3
2n3qm2 – 8mn + 5; se deben escribir los términos del polinomio de tal forma
que los exponentes de n aparezcan de menor a mayor, así el polinomio ordenado queda
como: 5– 8mn -15mn2q + 3
2n3qm2; luego el polinomio es completo con respecto a la
variable.
3. Ordenar el siguiente polinomio en forma descendente con respecto a m, luego
determina su grado absoluto: 8m2n – 3m3n2 – 7 + 4mn. Se escriben los términos del
polinomio de modo que aparezcan los exponentes de m de mayor a menor. - 3m3n2 +
8m2n + 4mn – 7; por lo tanto el grado absoluto del polinomio es 5 que corresponde a la
suma de los exponentes del término – 3m3n2 = (3+2=5).
4. Determinar en cada polinomio cuáles son los términos semejantes.
a. -8 + 3a3b - 4
5a2b + 7ab2 - √11ba3 + 5. Se debe obtener exactamente la misma parte
literal y los mismos exponentes o grados relativos. De acuerdo con esto 3a3b y
−√11ba3 son semejantes puesto que tienen las mismas variables con sus respectivos
grados relativos, así mismo -8 y +5 son semejantes porque ambos términos son
constantes. Es importante tener en cuenta que los términos - 4
5a2b y + 7ab2 no son
términos semejantes porque, aunque tienen las mismas variables sus exponentes no
son iguales.
b. yn-1 – yn+1 + 3y - 4
5yn +
1
2y + 9. Los únicos términos semejantes en el polinomio son
1
2y y
3y. Los demás términos no son semejantes entre sí porque no coinciden su parte literal,
aunque así lo parezca. Por ejemplo, los términos yn-1 y – yn+1 aparentemente son
semejantes sin embargo al observar con precisión sus exponentes tienen signos
diferentes por ello no son semejantes.
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5. Establecer el opuesto del siguiente polinomio: 1
2pq3 -
3p2q + 2. Se establece el opuesto del coeficiente de cada término, de tal forma que el
opuesto del polinomio es: -1
2pq3 + 3p2q – 2.
Valor numérico de un polinomio: El valor numérico de un polinomio es el resultado que se
obtiene al reemplazar las variables del polinomio por sus respectivos valores numéricos y
efectuar las operaciones indicadas.
Es importante tener en cuenta que las variables de un polinomio se les puede asignar distintos
valores numéricos. Así en el polinomio - 1
2a3 + 5a2 + 7 si a = -1.
= - 1
2(-1)3 + 5(1)2 +7 -
1
2 ( -1)+ 5(1) + 7 =
1
2 +5+7 =
1+(2∗5)+(2∗7)
2 =
1+10+14
2 =
25
2
Entonces si a= 0(cero) = - 1
2a3 + 5a2 + 7 = -
1
2(-0)3 + 5(0)2 + 7 = 7.
Ejemplo:
Establecer el valor numérico del polinomio x2y – 3xz + 6 si x=-1; y=1; z = 1
2
Se realiza el siguiente procedimiento:
(-1)2(1) – 3(-1) (1
2) + 6: aquí se remplazan las variables por sus respectivos valores numéricos
= 1 + 3
2 + 6 Se efectúan las multiplicaciones indicadas.
= 2+3+12
2 =
17
2 se realizan las sumas. Por lo tanto, el valor numérico del polinomio es
17
2.
OPERACIONES CON POLINOMIOS.
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS:
Suma de polinomios: La suma de dos o más polinomios se realiza de la siguiente manera:
1. Se escriben los polinomios
2. Se reducen los términos semejantes (que sean iguales sus variables y exponentes), de
los polinomios dados. En caso de que los polinomios no estén ordenados se ordena el
polinomio que resultó con respecto a una variable.
Resta de polinomios: La resta de dos polinomios es un polinomio que resulta de realizar la
suma del primer término del polinomio con el opuesto del segundo:
Ejemplo:
Realiza la suma de los siguientes polinomios: ( 1
2𝑦3 +
2
3y2) + (
3
2𝑦3 -
3
4y2 + 3) =
= ( 1
2𝑦3 -
3
2y3) + (
2
3𝑦2 -
3
4y2) + 3 se agrupan los términos semejantes.
= ( 1
2 +
3
2) y3 + (
2
3 -
3
4)y2 + 3 =
4
2y3+ ( 4∗2−3∗3
12)y2 + 3
=2y3+ (8−9
12) y2+3 =2y3 + (-
1
12) y2+3
=2y3- 1
12 y2+3.
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Efectuar las siguientes restas de polinomios:
(3x2+5x+5) - (7x2+2x+1)
= (3x2+5x+6) + (-7x2-2x-1) Se suma el opuesto del segundo término (7x2+2x+1)
= (3x2-7x2) + (5x-2x)+(6-1)=-4x2+3x+5
Signos de agrupación. Los signos de agrupación se utilizan para escribir expresiones
algebraicas relacionadas por medio de las operaciones aritméticas. Los signos de agrupación
se suprimen de adentro hacia afuera teniendo en cuenta:
a. Si el signo de agrupación está precedido del signo más (+), las cantidades se escriben
con el mismo signo.
b. Si el signo de agrupación está precedido del signo menos (-) se cambia el signo de
todas las expresiones dentro del paréntesis.
Ejemplo: Simplificar la siguiente expresión suprimiendo los signos de agrupación.
-5x2+ [3y-(4x2+2y)]
=-5x2+ [3y-4x2-2y] Se elimina el paréntesis
=-5x2+3y-4x2-2y Se elimina el corchete
= (-5x2-4x2) + (3y-2y) Se agrupan términos semejantes.
=-9x2+y Se realizan las operaciones de los paréntesis
Combinación de suma y resta. En la suma y resta de varios polinomios, se tiene en cuenta la
eliminación de los signos de agrupación y luego la reducción de términos semejantes.
Por ejemplo: (-5x3+4x2-4x+1) + (5x3+4x2-3x-1) - (2x3+3x2-5x-4)
= -5x3+4x2-4x+1+5x3+4x2-3x -1 -2x3 - 3x2 +5x +4
= -5x3+5x3-2x3+4x2+4x2-3x2-4x-3x+5x+1-1+4
= -2x3+5x2-2x+4 Se suman los términos semejantes.
Multiplicación de polinomios: La multiplicación de polinomios es otro polinomio que se
obtiene al realizar el producto (Multiplicación) de cada término del primer polinomio con cada
uno de los términos del segundo polinomio, aplicando la propiedad distributiva y las
propiedades de la potenciación.
Ejemplo:
Efectuar la siguiente multiplicación (2m2+5n3)(m2n-3n2)
=(2m2+5n3)(m2n-3n2) Se toma el primer término del polinomio y se multiplica por cada uno de
los términos del segundo polinomio, luego realizamos el mismo procedimiento con el segundo
término del primer polinomio.
=(2m2)(m2n)+(2m2)(-3n2)+(5n3)(m2n)+(5n3)(-3n2)
=2m2+2n+(-6m2n2)+5m2n3+1+(-15n3+2)
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=2m4n-6m2n2+5m2n4-15n5
Operaciones combinadas entre polinomios: En algunas operaciones entre polinomios
aparecen simultáneamente sumas, restas y multiplicaciones, con los signos de agrupaciones.
Se realizan los siguientes pasos:
1. Se resuelven los productos indicados entre los paréntesis.
2. Se eliminan los signos de agrupación.
3. Se reducen términos semejantes.
Ejemplo:
a. Simplificar la siguiente expresión algebraica: 2a4-7{a3+3a[4a2-6a(2a2+a)]-9a2}. Vamos a
suprimir los signos de agrupación de adentro hacia afuera, en ese orden de ideas vamos
a desaparecer el paréntesis, además aplicamos la propiedad distributiva.
= 2a4-7{a3+3a[4a2-(6a)(2a2)-(6a)(a)]-9a2}
=2a4-7{a3+3a[4a2-12a3-6a2]-9a2}
Vamos a eliminar el corchete aplicando la ley distributiva
=2a4-7{a3+3a*4a2-3a*12a3-3a*6a2-9a2}
=2a4-7{a3+12a3-36a4-18a3-9a2}
Ahora se elimina la llave, aplicando la ley distributiva
=2a4-7a3-84a3+252a4+126a3+63a2
Los agrupamos por términos semejantes.
=(2a4+252a4) +(-7a3-84a3+126a3)+63a2
=254a4+(-91a3+126a3) +63a2
Rta =254a3+35a3+63a2.
b. ( 1
2x -
1
4 y) (
1
2𝑥 +
1
4𝑦) – 12xy(
2
3𝑥 −
3
4𝑦) vamos a aplicar la ley distributiva.
=1
2𝑥 ∗
1
2𝑥 +
1
2𝑥 ∗
1
4𝑦 −
1
4𝑦 ∗
1
2𝑥 −
1
4𝑦 ∗
1
4𝑦 − 12𝑥𝑦 (
2
3𝑥 −
3
4𝑦).
=1
2∗2x1+1+
1∗𝑥𝑦
2∗4 -
1∗𝑦𝑥
4∗2−
1
4∗4𝑦1+1-12xy*
2
3𝑥+12xy*
3
4𝑦 =
𝑥2
4+
𝑥𝑦
8−
𝑥𝑦
8−
𝑦2
16−
24
3x2y+
36
4xy2
=1
4x2+
1
8xy-
1
8xy-
1
16y2-8x2y+9xy2 Se realizan las operaciones
=1
4x2 -
1
16y2 -8x2y +9xy2 Esta es la respuesta a la expresión simplificada.
División entre polinomios: Existe un polinomio dividendo, un polinomio divisor, un polinomio
cociente y un polinomio residuo. En algunos casos el residuo no es un polinomio sino un
número. Si el número de la división es cero, se dice que la división es exacta y que el polinomio
dividendo es divisible entre el polinomio divisor.
Para que el cociente de una división entre polinomios sea un polinomio se requiere que el
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grado del polinomio dividendo sea mayor que el grado del
polinomio divisor (Recuerda que grado es lo mismo que exponente).
La división de polinomios se realiza de la siguiente manera:
1. Se escriben los dos polinomios ordenados en forma descendiente con respecto a una
de las variables; si faltan términos se deja el espacio.
2. Se confirma que el grado del polinomio dividendo es mayor que el grado del polinomio
divisor.
3. Se ubican los polinomios de la misma forma que la división de números naturales.
4. Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del polinomio
divisor, cuyo resultado será el termino del cociente.
5. Se multiplica el término que se obtiene por cada uno de los términos del polinomio
divisor y se restan de los términos del polinomio del dividiendo.
6. Se baja el siguiente termino del dividendo y se realiza la división entre el primer término
que aparece después de efectuada la resta y el primer término del divisor y este será el
segundo término del polinomio cociente.
7. Luego, se repite el procedimiento hasta llegar a un residuo con menor grado que el
polinomio divisor.
Por ejemplo: Al divisor (9x2 +4 -12x) ÷(3x-1), se debe tener en cuenta que: el polinomio
dividendo es 9x2+4-12x. Y procedemos a ordenarlo con respecto a la variante x en forma
descendente:
9x2-12x+4.
El polinomio divisor es 3x-1: Ya está ordenado con respecto a x.
El grado del polinomio dividendo en este caso es 2, es mayor que el grado del polinomio
divisor que es 1.
Luego se divide así:
9x2-12x+4 3x-1
-9x2+3x 3x-3
-9x+4
9x-3
1
Luego se multiplica -3(3x-1) y se realiza el mismo proceso hasta obtener residuo 1.
Por tanto, el cociente o resultado es: 3x-3. Para verificar el resultado de la división se suma
el residuo al producto o resultado de multiplicar el cociente por el divisor, así:
[(3x-3)(3x-1)]+1
=9x2-3x-9x+3+1
=9x2-12x+4
Como el resultado es igual al dividendo la división es correcta.
Se divide 9x2 entre 3x de donde se obtiene 3x.
Se multiplica: 3x(3x-1) y se resta el opuesto del producto al polinomio del dividendo.
Ahora se divide -9x entre 3x donde resulta -3.
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Ejemplos:
1. Realizar cada división entre polinomios.
a. (6x6 -2x4) ÷ (2x3-x)
El polinomio dividiendo es: 6x2-2x4 y su grado es 6
El polinomio divisor es: 2x3-x y su grado es 3
El grado del polinomio dividendo es mayor que el grado del divisor. Por lo tanto, se
divide así:
6x6-2x4 2x3-x
-6x6+3x4 3x3+1
2x
x4
-x4 +
1
2x2
1
2x2
Se divide x4 entre 2x3. Luego, se multiplica por (2x3-x) y se repite el procedimiento.
b. (1
2x2+
1
3x -
1
4)÷(
1
2x+
2
3)
El polinomio dividendo es 1
2x2+
1
3x -
1
4, ya se encuentra ordenado en forma descendente con
respecto a la variable x, su grado es 2.
El polinomio divisor es 1
2x+
2
3, ya esta ordenado y su grado es 1.
Luego se divide así
1
2x2+
1
3x-
1
4 1
2x+
2
3
-1
2x2+
1
3x x-
2
3
-1
3x -
1
4
1
3x+
4
9
7
36
Se divide 6x6 entre 2x3. Luego se multiplica el resultado por (2x3-x). El opuesto del producto se ubica debajo del
polinomio del dividendo y se suma.
Se divide 1
2x2 entre
1
2x. Luego se multiplica el
resultado por (1
2𝑥+
2
3).
El opuesto del producto se suma al polinomio
dividendo.
Se divide - 1
3𝑥 entre
1
2𝑥 y se nefectua el mismo
procedimiento.
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ACTIVIDAD:
1. De tres ejemplos de binomio, trinomio y polinomio.
2. Establece el grado absoluto de cada polinomio. Luego determina el grado relativo del
polinomio con respecto a la variable x.
a. 6x5y2 + 3x4y – 8x3 + 1
b. - 7
8m11x9 -
2
3x4m15 – 5 +
1
4m10x10
3. Ordena los siguientes polinomios en forma ascendente con respecto a la variable
indicada. Luego, determina el término independiente en cada polinomio.
a. –a4b3 + 3a3b4 – 10 + 1
2a2b5, con respecto a b.
b. x4m3 - 2
5x2m2 – 13, con respecto a m.
4. Determinar en cada polinomio cuáles son los términos semejantes.
a. 3x – 8y + 5x – 4z + 2x – 11y – 2z.
b. 8
7m2 -
3
10m3n +
1
4n2 +
2
5nm3 -
1
7m2
5. Hallar el opuesto de cada polinomio.
POLINOMIO POLINOMIO OPUESTO
-[2m6 – 8m4 + 3]
7a2b – 4ab + 2b - 1
−1
5m5 + 4m4 + 2mn - 8
6. Determina el valor numérico de los siguientes polinomios si x= -2, y= 1
3 y z= -5.
a. 3x2y - 5xy2 + x - 3y + 2
b. 3
4x3y2z -
7
2x2y3z2 +
1
5xy4z
7. Determina el perímetro de las siguientes figuras si a=3, b=2 y c= 1
2.
8. Determina el área de la siguiente figura si x=6, y=4 y z=1.
a. b.
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9. El dueño de una fábrica de mesas elaboradas a mano, ha observado que el costo por
mesa depende del número de mesas producidas.
El costo total C, para elaborar x mesas está dado por la siguiente expresión:
C= x3+5x+16.000
Responde:
a. ¿Cuál es el costo de producción por una mesa?
b. ¿Cuál es el costo de producción por 40 mesas?
10. Realiza las siguientes sumas
a. (-15xy2 + 8x2y - 9x) + (-18x2y - 3x + 6)
b. (-12x3y2 + 5x2y3 - 9) + (- 8
3x3y2 +
4
7)
11. Realiza las siguientes restas
a. (6x2 - 3x + 8) - (8x2 + 7x + 5)
b. (-6xy2 + 8x2y) - ( 1
5xy2 -
3
4x2y2)
12. Elimina los signos de agrupación y, luego, reduce términos semejantes
a. -4x -(5x2 + 7x) + (8x2-15x)
b. [7
5x2 - (
5
2𝑥 +
2
7)] - [
3
2x2-
7
5x + 1]
13. Halla el polinomio que hace falta en la operación
(5m - 3n -1) + = 4n-10
14. Hallar los términos de la siguiente operación
5x2 - + 7y2 – 30
5xy - +
+ xy – 36y2 ____________________ -21x2 – 8xy + 2y2 + 15
15. Realiza los siguientes productos
a. (5m2)(-3m2n+8)
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b. (-3
2xy2+
4
5x2y)(-
1
7𝑥𝑦)
16. Multiplica los siguientes polinomios
a. (4m2n+7mn2)(-3m2n+2mn2)
b. (2
3a3b -
4
7ab)(
8
5ab-
6
5a2b)
17. Realiza las siguientes divisiones
a. (x2+3x+8) ÷ (x+2)
b. (m2-m+2m3-16) ÷ (m-2)
c. ( 1
6a2 +
5
36a -
1
36) ÷ (
1
3a -
1
3)
NOTA: De esta actividad saldrán 4 notas de la siguiente manera:
La primera nota será sobre la realización de los ejercicios del 1 al 5.
La segunda saldrá de calificar los ejercicios del 6 al 9.
La tercera nota se obtendrá de revisar los ejercicios del 11 al 14.
La cuarta nota se obtendrá de la calificación de los ejercicios 15 al 17.
HORARIO DE ATENCIÓN: DE LUNES A VIERNES
HORA: DE 8:00am a 5:00pm.
Las consultas se realizaran a través del WhatsApp. 315 5852114
Quien pueda enviar los trabajos, hacerlos llegar al correo
Enlaces para apoyo o esfuerzo:
Hipertextos grado 8.
Algebra Baldor.
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