8/18/2019 Plantilla Entrega de Trabajos Colaborativos
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
ECUACIONES DIFERENCIALES
FASE UNO
Presentado a:
Tutor
Entregado por:
Grupo: 10041 A ! ""
UNI#ERSIDAD NACIONAL A$IERTA % A DISTANCIA & UNADESCUELA DE CIENCIAS AGR'COLAS( PECUARIAS % DEL )EDIO A)$IENTE
PROGRA)A DE INGENIERIA A)$IENTALCEAD *OS+ ACE#EDO % G,)E-
FE$RERO 1. de/ 01$OGOT D2C2
INTRODUCCION
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DESARROLLO DE LA ACTI#IDAD INDI#IDUAL
Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales
Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:
E3ua3 5n O6ser7a3 ones: Ordende e3ua3 5n( L nea/ o no/ nea/ 8 9ust 3a3 5n2
Estud ante ;ue rea/
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Es importante resaltar que al anali%ar el e&erciciose puede sacar raí%cuadrada a cada ladodando como resultado'cero , y se obtiene raí%cuadrada de unaderivada cuadrada menosuna derivada lineal, iguala cero.
En conclusión la ecuaciónno es lineal, #acereferencia a una ecuaciónde orden
E. ( y2− 1 )d x+6 xdy= 0
( y2− 1 ) dxdy
=− 6 x
( y2− 1 ) dxdy
+6 x= 0
dxdy
+( 6 y2 − 1) x= 0
En esa ecuacióndiferencial lineal, la
variable de pendiente esX y es lineal en Xporque * y sus derivadatiene e!ponente 1 y todoscoeficientes sonfunciones de YEs variable independientey es de primer orden
Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden
Se menciona el ejercicio y se anexa la plantilla con procedimiento y comentarios
C. Resol er la si!uiente ecuación diferencial "allando el factor inte!rante:
# $ (% $& ' )
RespuestaNo=6re estud ante ;ue rea/ PRESI,N )ATE) TICA
RA-ON O E>PLICACION
+. e− y+e−2 x− y= e x y dy
dxeali%amos separación de t-rminos de *
y de , a cada lado del e&ercicio para
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lograr integrar, por lo que tomamos a un
lado los t-rminos de dx y al otro lado los
elementos que van con dy.
e− y+e−2 x− y= e x y dydx
e−2 x− y
e x ¿− e− y y dy
dx
e−2 x− y dx
e x ¿− e
− y y dy
/ntegramos los elementos.
∫ e− 2 x dx∗∫ e− y dx∗∫ 1e x
dx=− ∫ e− y dy∗∫ y
− 12
e− 2 x∗e− y∗ln e x= e− y∗ y2
2 +C
− 12
e− 2 x∗e− y∗ x= y2∗e− y
2 +C
− 12
e− 2 x∗e− y∗ x= y2∗e− y
2 +C
− 12
x e−2 x− y= y2
∗e− y
2+C
Resultado final
RespuestaNo=6re estud ante ;ue rea/
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PROPOSICION ENUNCIADO OE>PRESI,N )ATE) TICA
RA-ON O E>PLICACION
0. (1− lnx)dy=(1 +lnx+ y x )dx
(1 +lnx+ y x )dx− (1− lnx )dy= 0 →M = 1 +lnx+ My= 1
x Nx= 1
x
"a ecuación es e!acta porque
My= Nx= 1 x
fx= 1 + lnx + y x
fy= lnx − 1 F ( x , y)= C
N ( x , y)− aay [∫ M ( x , y)dx](¿)dx∫ ¿
M ( x , y)dx+(¿¿ ]∫ ¿
f ( x , y )= ¿
∫ 1 +lnx+ y x dx= x+ xlnx+ ylnx
aay [∫ M ( x , y )dx]= lnx
lnx(¿− 1− lnx )dx
f ( x , y)= x+ xlnx+ ylnx+∫ ¿
¿ x+ xlnx+ ylnx+∫ − 1 dx= x+ xlnx+ ylnx− x
f ( x , y)= x+lnx ( x+ y)− x
f ( x , y)= lnx ( x+ y)
Resultado final
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C. Resol er la si!uiente ecuación diferencial "allando el factor inte!rante:# $ (% $& ' )
RespuestaNo=6re estud ante ;ue rea/ PRESI,N )ATE) TICA
RA-ON O E>PLICACION
C. 6 xydx+(4 y+9 x2 )dy= 0
1ea M = 6 xy y N = 4 y+9 x2
"uego M y= 6 x
y N x= 18 x
2allamos el factor integrante:
μ y= e∫ N x− M y M dy →μ y= e
∫ 18 x− 6 x6 xy dy →μ y= e∫ 2 y dy → μ
Ahora multiplicamos el factorintegrante a la Ecuación diferencialdada:
( y2 ) [6 xydx+ (4 y+ 9 x2)dy= 0]→ 6 x y3 dx +(4 y3 + Por tanto la ecuación diferencial6 x y3 dx+(4 y 3+9 x2 y2 )dy= 0 es
Exacta. Porque:
1ea M = 6 x y3
y N = 4 y3 +9 x2 y2
,entonces:
∂ M ∂ y = 18 x y
2
=∂ N ∂ x Como sus
derivadas parciales son iguales, seasegura que la ecuación diferencialobtenida es exacta
"uego:∂ f ∂ x
= 6 x y3 y∂ f ∂ y
= 4 y3 +9 x2 y2
Entonces:f ( x , y)=∫ 6 x y3 dx+g ( y)→ f ( x , y)= 3 x2 y3 +g(
+sí:∂ f ∂ y = 9 x
2
y2
+g ´ ( y)= 4 y3
+9 x2
y2
Por consiguiente:g ´ ( y)= 4 y3 →∫ g ´ ( y)= ∫ 4 y3 dy → g ( y)= y4
e esta forma la solución de laEcuación en forma implícita es
3 x2 y3 + y4 = c
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RespuestaNo=6re estud ante ;ue rea/ PRESI,N )ATE) TICA
RA-ON O E>PLICACION
D. y2+ yx¿ dx − x2 dy= 0
( y2+ yx¿ dx − x2 dy= 0
m (x, ! " y2+ yx , m(tx, t ! "
t 2 y2 +tytx " y2
t 2 ¿ # x!
n (x, ! " − x2
, n (tx, t ! " t 2 (− x)2
"− x2
t 2 ¿ !
∝ = 2 β "$
%denti&camos cual es el termino m eltermino n, como podemos observarhaciendo la comprobación m n son degrado $ por lo tanto es una ecuacióndiferencial homog'nea
(ux)(¿¿2 + xux)dx− x2 (udx + xdu)
¿
Aplicamos la sustitución para resolvereste tipo de ecuaciones:
y= ux→dy = udx+ xdu
u2 x2 +u x2 dx− u x2 +dx + x3 du perando los t'rminos
x2(u 2 dx +udx − udx + xdu) )acando el factor com*n
udx (¿¿2 )
¿
perando nuevamente se observa que
pasando x2
Al otro lado se simpli&ca
operando agrupando diferencialesel resto de la expresión nos que de estaforma.
− 1 x
dx = 1u 2
)eparando los diferenciales dx du nos
queda esta expresión. +a aplicando la sustitución diferencialhomog'nea nos ha llevado a quetenemos una ecuación diferencialseparable.
nm
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− 1 x
dx= ¿∫ 1u2
du
∫ ¿
Procedo a integrar a ambos lados.
lnx"
1
u #c
-espu's de reali ar la integración nos
que esta expresión
lnx" x y #c → "
xc1 − ln ( X )
)e sustitu e la u para hallar la solución&nal.
RespuestaNo=6re estud ante ;ue rea/ PRESI,N )ATE) TICA
RA-ON O E>PLICACION
E. ( x2+ 2 y2 ) dx
dy− xy= 0 Podemos
y= ux →dy = udx + xdu 1e tiene
( x2+2 y2 x2 )dx− μ2 x2 (u dx + x du)= 0
x2 dx +2 μ2 x2 dx− u2 x2 dx− u x3 du= 0
x2 (1− u 2 )dx− u x3 du = 0dx x
− u du1 +u2
= 0
/ntegramos
∫ dx x −∫ u du1 +u2
= 0
ln | x|−∫ u du1 +u2 = 0
Pero
∫ u du1+ u2
2acemos que
x= r +u2 Por lo tanto
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dx= 2 udu
dx2
=u du
¿∫
dx
2 x
¿ 12 ∫
dx x
= 2 ln | x| →∫ u du1+u2
¿ 12
ln |1 +u2|+C
ln | x|− 12
(1 +u 2)= 0 +C
ln | x|− 12 (1 +u2)= C
Por propiedades de logaritmos y como 4es constante tenemos que
x2
(1+u 2 )= C 1
como
y= ux →u = x y
empla%ando
x2
(1+u 2 )= C 1
x2= C 1 (1 +u2 )
x2= C 1(1 + y2 x2 ) x4= C 1 ( x2 + y2 )
Dando el resultado final
DESARROLLO DE LA ACTI#IDAD COLA$ORATI#A
Pr =era A3t 7 dad
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Considere un !ran tanque que contiene 1 * de a!ua, dentro del cual una solución salada desal+uera e+pieza a fluir a una elocidad constante de # * +in. *a solución dentro del tanque se+antiene bien a!itada - flu-e "acia el e terior del tanque a una elocidad de #* +in. /0 laconcentración de sal en la sal+uera que entra en el tanque es de 1 ! *, deter+ine cuando ser2 de1 '3! * la concentración de sal en el tanque.
PROPOSICION ENUNCIADO OE>PRESION )ATE)ATICA
RA-ON O E>PLICACION
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Segunda A3t 7 dad
E*ERCICIO % SOLUCI,N PLANTEADA O$SER#ACIONES( ANE>OS()ODIFICACIONES A LA SOLUCI,N
PLANTEADAEnunciado:
5n paracaidista de masa 677 8g (incluyendo suequipo) se de&a caer de un avión que vuela a unaaltura de 777 m, y cae ba&o la influencia de lagravedad y de la resistencia del aire.1upongamos que la resistencia del aire es
proporcional a la velocidad del paracaidista encada instante, con constante de proporcionalidad37 9.s m con el paracaídas cerrado, y ;7 9.s mcon el paracaídas abierto. 1i el paracaídas seabre a los die% segundos del lan%amiento, #allar el instante apro!imado en el que el paracaidistallega al piso.
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Aue equivale addt (em! t )= g e m! t
/ntegrando respecto a t, tenemos
e! m
t = m
! g e
! m
t +C
= mg!
+C e− ! m
t
+plicando las condiciones iniciales, #aciendo
(0 )= 0 ,
0 =mg!
+C C = 0−mg!
Entonces la ecuación de la velocidad en cualquier
t
(t )= mg!
+(0 − mg! )e− ! m
t
Beniendo en cuenta que (t )=dxdt , y
#aciendo x(0 )= x0 , se llega a que
dxdt
= mg!
+( 0− mg! )e−! m
t
/ntegrando respecto a t
x= mg!
− m!
e− ! m
t +m
2 g! 2
e−! m
t +C
Entonces, x0=−m
! 0 e
− ! m
t +m
2 g! 2
e−! m
t +C
C = x0+m!
0 e− ! m
t − m
2 g! 2
e− ! m
t
e donde,
x(t )= mg!
t − m!
0 e− ! m
t + m
2 g! 2
e− ! m
t + x0 +
m!
0 e−
x(t )= mg!
t − m! (0− mg! )e
− ! m
t + x0 +
m! (
eagrupando,
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x(t )= mg!
t + m! (0 − mg! )(1 − e
− ! m
t )+ x04onsiderando la gravedad como
g= 10 m
seg2
y la tapa inicial en la que el
paracaídas est cerrado, donde x0= 0 , 0 = 0 y ! = 30 Ns/m ,
(t )= 1003
− 1003
e− 310
t y
x(t )= 1003
t +1000
9 e
− 310
t
"uego a los die% segundos, t = 10
(10 )" 31.6737 ms
la distancia recorrida por el paracaidistadurante los primeros die% segundos serapro!imadamente
x(t )= 227,7541 mPara la segunda etapa, es decir, cuando elparacaídas est abierto, se toma como instante
t = 0 aquel en el que el paracaídas se abre y
! = 90 N . sm , con lo que se tiene
x(0 )= 227,7541 m y (0 )= 31.6737 ms
Entonces, (t )=100
9 +20,5626 e
− 910
t y
x(t )= 1009
t − 22,8473 e− 910
t +250,6014
Entonces, como x(t )= 2000 tenemos,100
9 t − 22,8473 e
− 910
t + 250,6014 = 2000
Es decir, que t = 2,0563 e−910
t +157,4459
En la anterior ecuación el t-rmino
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2,0563 e−910
t se desprecia para valores de
tiempo relativamente grandes (mayores que 67),es decir, este valor tiende a cero, entonces,
t = 157,4459 seg . e aquí se deduce que elparacaidista tarda apro!imadamente,
10 seg +157,4459 seg = 167,4459 seg enllegar al suelo desde que se arro&ó del avión."a velocidad de -ste al llegar al suelo es de
apro!imadamente100
9 #mseg
= 11,11 #mseg
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CONCLUSIONES
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REFERENCIAS $I$LIOGR FICAS