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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Trabajar en lgebra consiste en manejar relaciones numricas en las que una o ms cantidadesson desconocidas. Estas cantidades se l laman variables, incgnitas o indeterminadas y serepresentan por le t ras.
Una expresin algebraica es una combinacin de letras y nmeros l igadas por los s ignos de lasoperaciones: adic in, sustraccin, mult ip l icacin, div is in y potenciacin.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hal lar reas y volmenes.
Longitud de la circunferencia: 2r, donde r es el radio de la circunferencia. rea del cuadrado: S = l 2, donde l es el lado del cuadrado.Volumen del cubo: V = a3 , donde a es la arista del cubo.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS COMUNES
El doble o duplo de un nmero: 2x
El tr ip le de un nmero: 3x
E l cudruplo de un nmero: 4x
La mi tad de un nmero: x/2
Un terc io de un nmero: x/3
Un cuarto de un nmero: x/4
Un nmero es proporcional a 2, 3, 4.. . : 2x, 3x, 4x...
Un nmero a l cuadrado: x
Un nmero a l cubo: x
Un nmero par: 2x
Un nmero impar: 2x + 1
Dos nmeros consecut ivos: x y x + 1
Dos nmeros consecut ivos pares: 2x y 2x + 2
Dos nmeros consecut ivos impares: 2x + 1 y 2x + 3
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 x
La suma de dos nmeros es 24: x y 24 x
La diferencia de dos nmeros es 24: x y 24 + x
El producto de dos nmeros es 24: x y 24/x
El cociente de dos nmeros es 24: x y 24 x
MONOMIOSUn monomio es una expresin algebraica en la que las nicas operaciones que aparecen
entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
2x2 y3z
Partes de un monomio
1 Coef icient e
E l coef ic iente de l monomio es e l nmero que aparece mul t ip l icando a las var iab les.
2 Parte l i tera l
La parte l i teral est consti tu ida por las letras y sus exponentes.
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3 G ra do
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
El grado de 2x2y3z es: 2 + 3 + 1 = 6
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando t ienen la misma parte l i teral.
2x2y3 z es semejante a 5x 2y3 z
OPERACIONES CON MONOMIOS
1. Suma de monomios
Slo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que t iene la misma parte l i teral y cuyo
coefic iente es la suma de los coefic ientes.
axn + bxn= (a + b)xn
Ejemplo
2x2y
3z + 3x
2y
3z = (2 + 3)x
2y
3z = 5x
2y
3z
Si los monomios no son semejantes, a l sumarlos, se obt iene un po l inomio.
Ejemplo:
2x2y
3+ 3x
2y
3z
2. Producto de un nmero por un monomio
El producto de un nmero por un monomio es otro monomio semejante cuyo coefic iente es el
producto de l coef ic iente de l monomio por e l nmero.
Ejemplo:
5 (2x2y
3z) = 10x
2y
3z
3. Mult ipl icacin de monomios
La mult ip l icacin de monomios es otro monomio que t iene por coefic iente el producto de los
coefic ientes y cuya parte l i teral se obtiene mult ip l icando las potencias que tengan la misma
base, es decir, sumando los exponentes.
axn bxm= (a b)xn + m
Ejemplo:
(5x2y
3z) (2y
2z
2) = (2 5) x
2y
3 + 2z
1 + 2= 10x
2y
5z
3
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4. Divisin de monomios
Slo se pueden div idir monomios cuando:
1 Tienen la misma parte l i tera l
2 El grado del div idendo es mayor o igual que el del div isor
La div is in de monomios es otro monomio que t iene por coefic iente el cociente de los
coefic ientes y cuya parte l i teral se obtiene div idiendo las potencias que tengan la misma
base, es decir, restando los exponentes.
axn : bxm = (a : b)xn m
Ejemplo:
Si el grado del div isor es mayor, obtenemos una fraccin algebraica .
Ejemplo:
5. Potencia de un monomio
Para real izar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que
ind ique la potenc ia .
(axn) m = am xn m
Ejemplos:
(2x3)
3= 2
3 (x
3)
3= 8x
9
(3x2)
3= (3)
3 (x
2)
3= 27x
6
POLINOMIOSUn polinomio es una expresin algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an 1x
n 1+ an 2xn 2+ ... + a1x
1+ a0
Siendo:an, an1... a1, aonmeros, llamados coeficientes
n un nmero naturalx la variable o indeterminadaanes el coeficiente principalaoes el trmino independiente
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Grado de un Polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.
Segn su grado los polinomios pueden ser de:
TIPO EJEMPLO
PRIMER GRADO P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO P(x) = 2x2+ 3x + 2
TERCER GRADO P(x) = x3 2x2+ 3x + 2
Tipos de polinomios
1 Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.
P(x) = 0x2
+ 0x + 0
2 Polinomio homogneo
Es aquel polinomio en el que todos sus trminos o monomios son del mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
3 Polinomio heterogneo
Es aquel polinomio en el que no todos sus trminos no son del mismo grado.
P(x) = 2x3
+ 3x2 3
4 Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los trminos desde el trmino independiente hasta el trmino de mayor grado.
P(x) = 2x3+ 3x
2+ 5x 3
5 Polinomio incompleto
Es aquel polinomio que no tiene todos los trminos desde el trmino independiente hasta el trmino de mayorgrado.
P(x) = 2x3+ 5x 3
6 Polinomio ordenado
Un polinomio est ordenado si los monomios que lo forman estn escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3+ 5x 3
7 Polinomios iguales
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Dos polinomios son iguales si verifican:
Los dos polinomios tienen el mismo grado.
Los coeficientes de los trminos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3+ 5x 3
Q(x) = 5x 3 + 2x
3
8 Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.P(x) = 2x
3+ 5x 3
Q(x) = 3x3+ 7x 2
Valor numrico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un nmero cualquiera.
P(x) = 2x3+ 5x 3 ; x = 1
P(1) = 2 13+ 5 1 3 = 2 + 5 3 = 4
SUMA DE POLINOMIOSPara sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los trminos del mismo grado.
P(x) = 2x3+ 5x 3 Q(x) = 4x 3x
2+ 2x
3
1 Ordenamos los polinomios, si no lo estn.
Q(x) = 2x3 3x
2+ 4x
P(x) + Q(x) = (2x3+ 5x 3) + (2x
3 3x
2+ 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3+ 2x
3 3 x
2+ 5x + 4x3
3 Sumamos los monomios semejantes.P(x) + Q(x) = 2x3+ 2x3 3 x2+ 5x + 4x 3
Tambin podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantesqueden en columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4
+ 4x2+ 7x + 2
Q(x) = 6x3+ 8x +3
P(x) + Q(x) =
= 7x4+ 6x
3+ 4x
2+ 15x + 5
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Resta de polinomios
La resta de pol inomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) Q(x) = (2x3+ 5x 3) (2x
3 3x
2+ 4x)
P(x) Q(x) = 2x3+ 5x 3 2x
3+ 3x
2 4x
P(x) Q(x) = 2x3 2x
3+ 3x
2+ 5x 4x 3
P(x) Q(x) = 3x
2
+ x 3
MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
1. Mult ipl icacin de un nmero por un polinomio
Es otro pol inomio que t iene de grado el mismo del pol inomio y como coefic ientes el producto
de los coef ic ientes de l po l inomio por e l nmero y de jando las mismas partes l i tera les.
Ejemplo
3 (2x3 3x
2+ 4x 2) = 6x
3 9x
2+ 12x 6
2. Mult ipl icacin de un monomio por un polinomio
Se mul t ip l ica e l monomio por todos y cada uno de los monomios que forman e l po l inomio.
Ejemplo:
3x2 (2x
3 3x
2+ 4x 2) =
= 6x5 9x
4+ 12x
3 6x
2
3. Mult ipl icacin de polinomios
Este t ipo de operaciones se puede l levar a cabo de dos formas dist intas.
Mira la demostrac in con e l s igu iente e jemplo:
P(x) = 2x2
3 Q(x) = 2x3 3x
2+ 4x
OPCIN 1
1 Se mult ip l ica cada monomio del primer pol inomio por todos los elementos del segundo
pol inomio.
P(x) Q(x) = (2x2 3) (2x
3 3x
2+ 4x) =
= 4x5
6x4+ 8x
3 6x
3+ 9x
2 12x =
2 Se suman los monomios de l mismo grado.
= 4x5 6x
4+ 2x
3+ 9x
2 12x
3 Se obtiene otro pol inomio cuyo grado es la suma de los grados de los pol inomios que se
mul t ip l ican.
Grado del po l inomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5
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OPCIN 2
DIVISION O COCIENTE DE POLINOMIOS
Para expl icar la d iv is in de po l inomios nos va ldremos de un e jemplo prct ico:
P(x) = x5+ 2x
3 x 8 Q(x) = x
2 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo . S i e l po l inomio no es completo dejamos huecosenlos lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x
2= x
3
Multiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamosdel polinomio dividendo:
Volvemos a dividir e l primer monomio del div idendo entre el primer monomio del div isor. Y el
resultado lo mult ip l icamos por el div isor y lo restamos al div idendo.
2x
4
: x
2
= 2 x
2
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Procedemos igual que antes.
5x3 : x
2= 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x
2= 8
10x 16 es el resto , porque su grado es menor que el del divisory por tanto no se
puede continuar div idiendo.
x3 + 2x2 + 5x + 8 es e l cociente .
Regla de RuffiniPaolo Ruff ini (1765, 1822) fue un matemtico i ta l iano, que estableci un mtodo ms breve
para hacer la divisin de polinomios , cuando e l divisor es un binomio de la forma x a .
Para expl icar los pasos a apl icar en la regla de Ruff ini vamos a tomar de e jemplo la d iv is in:
(x4 3x
2+ 2 ) : (x 3)
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1 Si el pol inomio no es completo, lo completamos aadiendo los trminos que faltan con
ceros.
2 Colocamos los coefic ientes del div idendo en una l nea.
3 Abajo a la izqu ierda colocamos el opuesto del trmino independendiente del div isor .
4 Trazamos una raya y bajamos el primer coefic iente.
5 Mult ip l icamos ese coefic iente por el div isor y lo colocamos debajo del s iguiente trmino.
6 Sumamos los dos coef ic ientes.
7 Repet imos e l proceso anter ior .
Volvemos a repetir e l proceso.
Volvemos a repetir.
8 El l t imo nmero obten ido, 56, es e l res to.
9 El cociente es un pol inomio de grado inferior en una unidad al div idendo y cuyos
coefic ientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
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Ejemplo
D iv id i r por la reg la de Ruf f in i :
(x5 32) : (x 2)
IDENTIDADES NOTABLES
Binomio al cuadrado
(a + b)2= a2+ 2 a b + b2
(a b)2= a2 2 a b + b2
Ejemplos
1. (x + 3)2= x 2+ 2 x 3 + 32= x 2+ 6 x + 9
2. (2x 3)2= (2x)2 2 2x 3 + 32= 4x2 12 x + 9
Suma por diferencia
(a + b) (a b) = a2
b2
Ejemplo
1. (2x + 5) (2x - 5) = (2x)252= 4x2 25
2. (2x + y) (2x y) = (2x)2(y)2= 4x4 y6
Binomio al cubo
(a + b)3= a3+ 3 a2 b + 3 a b2+ b3
(a b)3= a3 3 a2 b + 3 a b2 b3
Ejemplos
1. (x + 3)3=
= x3+ 3 x
2 3 + 3 x 3
2+ 3
3=
= x3+ 9x
2+ 27x + 27
2. (2x 3)3=
= (2x)3 3 (2x)
2 3 + 3 2x 3
2 3
3=
= 8x3 36x
2+ 54x 27
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Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2= a2+ b2+ c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c
Ejemplo
(x2x + 1)
2=
= (x2)2+ (x)
2+ 1
2+ 2 x2 (x) + 2 x2 1 + 2(x) 1=
= x
4
+ x
2
+ 1 2x
3
+ 2x
2
2x== x
4 2x
3+ 3x
2 2x + 1
Suma de cubos
a3+ b3= (a + b) (a2 ab + b2)
Ejemplo
8x3+ 27 =
= (2x + 3) (4x2 6x + 9)
Diferencia de cubosa3b3= (a b) (a2+ ab + b2)
Ejemplos
8x327 =
= (2x 3) (4x2+ 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un trmino comn
(x + a) (x + b) = x2+ (a + b) x + ab
Ejemplos
(x + 2) (x + 3) =
= x2+ (2 + 3) x + 2 3 =
= x2+ 5x + 6
RAICES DE UN POLINOMIO
Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x a) si y slo si P(x = a) = 0.
Al valorx = ase le llama razo cerode P(x).
Races de un polinomio
Son los valores que anulan el polinomio.
Ejemplo
Calcular las races del polinomio:
P(x) = x2 5x + 6
P(2) = 22 5 2 + 6 = 4 10 + 6 = 0
P(3) = 32 5 3 + 6 = 9 15 + 6 = 0
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x = 2 y x = 3 son races o ceros del polinomio : P(x) = x2 5x + 6, porqueP(2) = 0 y P(3) = 0.
Propiedades de las races y factores de un polinomio
1 Los ceros o races enteras de un polinomio son divisores del trmino independiente del polinomio.
2A cada raz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x a).
3 Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x a),
que se correspondan a las races, x = a, que se obtengan.
Ejemplo
x2 5x + 6 = (x 2) (x 3)
4 La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5 Todo polinomio que no tenga trmino independiente admite como raz x = 0, o lo que es lo mismo, admite
como factor x.
Ejemplo x
2+ x = x (x + 1)
Races: x = 0 y x = 1
6 Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.
Ejemplo
P(x) = x2+ x + 1
Clculo de las races y factores de un polinomio
Partimos de los divisores del trmino independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto y sabremospara que valores la divisin es exacta.
Ejemplo
Q(x) = x2x 6
Los divisores del trmino independiente son: 1, 2, 3.
Q(1) = 12 1 6 0
Q(1) = (1)2 (1) 6 0
Q(2) = 22
2 6 0
Q(2) = (2)2 (2) 6 = 4 + 26 = 0
Q(3) = 32 3 6 = 9 3 6 = 0
Las races son: x = 2 y x = 3.
Q(x) = (x + 2) (x 3)
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
Sacar factor comn
Consiste en aplicar la propiedad distributiva:
a b + a c + a d = a (b + c + d)
Ejemplos
Descomponer en factores sacando factor comn y hallar las races
1. x3+ x2= x2(x + 1)
La races son: x = 0y x = 1
2. 2x4+ 4x2= 2x2(x2+ 2)
Slo tiene una raz x = 0; ya que el polinomio, x2+ 2, no tiene ningn valor que lo anule; debido a
que al estar la x al cuadrado siempre dar un nmero positivo, por tanto es irreducible.
3. x2 ax bx + ab =x (x a) b (x a) = (x a) (x b)
La races son x = ay x = b.
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
a2 b
2= (a + b) (a b)
Ejemplos
Descomponer en factores y hallar las races
1. x2 4 =(x + 2) (x 2)
Las races son x = 2y x = 2
2. x4 16 = (x2+ 4) (x2 4) =
= (x + 2) (x 2) (x2+ 4)
Las races son x = 2y x = 2
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.
a2 2 a b + b
2= (a b)
2
Ejemplos
Descomponer en factores y hallar las races
1.
La raz esx = 3, y se dice que es una raz doble.
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2.
La raz es x = 2.
Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax2+ bx + c , se iguala a cero y se
resuelve la ecuacin de 2 grado. Si las soluciones a la ecuacin son x1y x2, el polinomio descompuesto
ser:
ax2+ bx + c = a (x x1) (x x2)
Ejemplos
Descomponer en factores y hallar las races1.
Las races son x = 3y x = 2.
2.
Las races son x = 3y x = 2.
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Trinomios de cuarto grado de exponentes pares
Para hallar las races se iguala a cero y se resuelve laecuacin bicuadrada.
Ejemplos
1. x4 10x2+ 9
x2= t
x4 10x2+ 9 = 0
t2 10t + 9 = 0
x4 10x2+ 9 = (x + 1) (x 1) (x + 3) (x 3)
2. x4 2x2 3
x2= t
t2 2t 3 = 0
x4 2x2+ 3 = (x2+ 1) (x + ) (x )
Factorizacin de un polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las races enteras.
Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:
P(x) = 2x4+ x
3 8x
2 x + 6
1 Tomamos los divisores del trmino independiente: 1, 2, 3.
2 Aplicando elteorema del restosabremos para que valores la divisin es exacta.
http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.htmlhttp://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.htmlhttp://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.htmlhttp://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.html7/25/2019 Polinomios, Factorizacin y Expresiones Racionales
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P(1) = 2 14+ 1
3 8 1
2 1 + 6 = 2 + 1 8 1 + 6 = 0
3 Dividimos por Ruffini.
4 Por ser la divisin exacta, D = d c
(x 1) (2x3+ 3x
2 5x 6 )
Una raz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podra estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 13+ 3 1
2 5 1 6 0
P(1) = 2 (1)3+ 3 (1)
2 5 (1) 6 = 2 + 3 + 5 6 = 0
(x 1) (x + 1) (2x2+x 6)
Otra raz es x = 1.
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuacin de 2 grado o tal como venimos hacindolo,
aunque tiene el inconveniente de que slo podemos encontrar races enteras.
El 1 lo descartamos y seguimos probando por 1.
P(1) = 2 (1)2+ (1) 6 0
P(2) = 2 22+ 2 6 0
P(2) = 2 (2)2+ (2) 6 = 2 4 2 6 = 0
(x 1) (x + 1) (x + 2) (2x 3)
Sacamos factor comn2 en ltimo binomio y encontramos una raz racional.
2x 3 = 2 (x 3/2)
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La factorizacin del polinomioqueda:
P(x) = 2x4+ x
3 8x
2 x + 6 = 2 (x 1) (x +1) (x +2) (x 3/2)
Las races son : x = 1, x = 1, x = 2 y x = 3/2
Races racionales
Puede suceder que el polinomio no tenga races enteras y slo tenga races racionales.
En este caso tomamos los divisores del trmino independiente dividido entre los divisores del trmino
con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
P(x) = 12x3+ 8x
2 3x 2
Probamos por: .
Sacamos factor comn 12 en el tercer factor.
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FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fraccin algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:
P(x) es el numerador.
Q(x) es el denominador.
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas
son equivalentes, y lo representamos por:
si se verifica que P(x) S(x) = Q(x) R(x).
Ejemplo
son equivalentesporque:
(x+2) (x 2) = x2 4
Dada una fraccin algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fraccinpor un
mismo polinomio distinto de cero, la fraccin algebraica resultante es equivalente a la dada.
Simplificacin de fracciones algebraicas
Para simplificar una fraccin algebraica se divide el numerador y el denominador de la fraccin por un
polinomio que sea factor comn de ambos. EJEMPLO:
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Amplificacin de fracciones algebraicas
Para amplificar una fraccin algebraica se multiplica el numerador y el denominador de la fraccin por
un polinomio.
Ejemplo
REDUCCION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS A COMUN DENOMINADOR
Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a comn denominador es encontrar dosfracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador.
Pasos para reducir a comn denominador
Nos valdremos de las fracciones siguientes:
1.Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mnimo comnmltiplo, que ser el comn denominador.
x2 1 = (x + 1) (x 1)
x2+ 3x + 2 = (x +1 ) (x + 2)
m.c.m. (x2 1, x 2+ 3x + 2) = (x + 1) (x 1) (x + 2)
2.Dividimos el comn denominador entre los denominadores de las fracciones dadasy el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.
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