PPTC
ANM
TGEA
0300
5V3
Congruencia y semejanza de triángulos
Pregunta oficial PSU
1. Figuras congruentes
1.1 Definición
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:
1. Figuras congruentes
1.2 Triángulos congruentes
A
C
B D
F
E
Para determinar si dos triángulos son congruentes, podemos utilizar los siguientes criterios:
1° Lado, lado, lado (L.L.L.): Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC Δ DEF
1. Figuras congruentes
1.2 Triángulos congruentes
2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.):Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
aa
5
3
5
3
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
1. Figuras congruentes
1.2 Triángulos congruentes
3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A.): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
aa
1212
Ejemplo:
b b
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
2. Figuras semejantes
2.1 Definición
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.
G
F
J
I
Ha
b
gd
e
A
E
DC
Bab
gd
e
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
2. Figuras semejantes
2.1 Definición
A
E
DC
Bab
gd
e
G
F
J
I
Ha
b
gd
e
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
2. Figuras semejantes
2.2 Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos son proporcionales.
Ejemplo:
A B
C
a
b
g
E
F
D
a
b
g
Los lados homólogos están en razón: 1:3 = k
5
3
15
94 12
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homólogo a DEBC es homólogo a EFAC es homólogo a DF
ABDE
BCEF
ACDF
13= = = = k
2. Figuras semejantes
2.3 Criterios de semejanza
1° Criterio AA.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
Ejemplo:
A B
C
34o 55o
E
F
D
34o
55o
Δ ABC ~ Δ DFE por AA
Además ABDF
BCFE
ACDE
= = = k
2. Figuras semejantes
2.3 Criterios de semejanza
2° Criterio LLL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
A B
C
4
E
F
D
5
6
12 8
10
Además BAC = DFE, CBA = EDF y ACB = FED
ABFD
BCDE
ACFE
12
= = = = k
3. Figuras semejantes
3.3 Criterios de semejanza
3° Criterio LAL.• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
Ejemplo:
A B
C
4
E
F
D
5 12
15
57°
57°
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
Además BAC = DFE y CBA = FED
ACFD
BCED= 4
12515
13= = = k
3. Figuras semejantes
3.3 Criterios de semejanza
Ejemplo:Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
a
b
g4 10
Q
R
P
a
g
b
6Solución:
60 = 4∙QR 15 = QREs decir:
Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que
Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:
Con k razón de semejanzaABPR
CBQR
ACPQ
= = = k
ABPR
10QR
46
= = 10QR
46
=
2. Figuras semejantes
2.4 Razón entre áreas y perímetros
• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo:Q
610
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
PABC
PPQR
=12
24
=1
2
= k
3. Figuras semejantes
3.5 Razón entre áreas y perímetros
• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo: Q
610
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
AB
PQ= = k
5
10=
1
2
AABC
APQR
= 6
24
=1
4
= k2
Pregunta oficial PSU
ALTERNATIVA CORRECTA
B
Síntesis de la clase
Figuras CongruentesÁngulos congruentes
Lados congruentes
A
C
B D
F
E
3 36 6
8 8
LLL
LAL A
D
E
BC
F2
2
44
ALA
A
DB
E
FC
3
3
Triángulos Congruentes
Figuras Equivalentes
Igual área
4
9
4
9
6
6
6
6
Síntesis de la clase
Figuras semejantes
Triángulos semejantes
Ángulos respectivos congruentes
Lados homólogos proporcionales
A B
C
4
E
F
D
5
6 12
8 10
Δ ABC ~ Δ DEF
CriteriosElementos homólogos
Lados proporcionales
AC
DF=
CB
FE=
AB
DE= k =
12
Razones
Perímetro ÁreaP Δ ABC = k P Δ DEF
Á Δ ABC = k2 Á Δ DEF
AA
LLL
LAL
Profesora de Matemática Margarita Oyanedel
Top Related