PROBABILIDADES
El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación:
¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería?¿ Qué posibilidad hay de que me pase un accidente automovilístico ?¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no.¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el primer parcial ?,
Vamos a introducirnos un poco en este par de esquemas
POBLACIONMUESTRA
DEDUCTIVO
INDUCTIVO
POBLACIONMUESTRA
OCURRENCIA
EVENTO SITUACION, SUCESO
DESTINO (VOLUNTAD DIVINA)
AZAR
MANIPUTACIONCIRCUNSTANCIAS
INCERTIDUMBRE
búsqueda
DEFINICION DE CONCEPTOS BÁSICOS
Para iniciar nuestro estudio e este nuevo campo es necesario conocer
algunas definiciones básicas.
Experimento: Es cualquier proceso o actividad que genere resultados (eventos) bien definidos.
Resultado: Es lo que resulta de un experimento.
Experimento Aleatorio: Es un proceso de observación, donde el resultado exacto no se conoce, prevaleciendo por tanto cierto margen de duda.
repetir indefinidamente
no se puede predecir R
pertenece a un conjunto conocido
Aleatorio No aleatorio
Sea el experimento: “Resultado a la aceptación de un proyecto arquitectónico ”.
El espacio muestral es: Ω =Aprobado, Desaprobado
El espacio muestral es:Ω = primero, segundo , tercero.
Sea el experimento: “resultado de los 3 primeros puestos un concurso de proyectos arquitectonicos ”.
Evento A= primero .Evento B = segundo.Evento C = tercero.
Suceso o Evento ():
Espacio Muestral. (Ω):
Probabilidad (p)
Valor numérico entre 0 y 1 que describe la posibilidad (certeza) de que se dará determinado resultado, o lo que es lo mismo que sucederá determinado evento.
La probabilidad de escoger un material con que se va a construir un edificio(ladrillo, adobe, sillar, quincha) :
PROBABILIDAD(P)
1 MATERIAL
4 MATERIALES
Resultado a la aceptación de un proyecto arquitectónico ”
ACEPTADO
NO ACEPTADO
Probabilidad (p)
4 PERSONAS SE PRESENTAN CONSECUTIVAMENTE PARA QUE LE REVISEN SU PROYECTO ARQUITECTONICO .
A = APROBAR B = NO APRUEBA
A
B
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
A
AAAA
AAAB
AABA
AABB
(4)
(3)
(2)(1)
(1)
(1)(0)
0.54=0.625
Número de personas
A
B
A
BA
B
A
BA
B
A
BA
B
A
B
ABAAABAB
ABBAABBB
BAAA
BAAB
BABABABB
BBAB
BBAA
BBBA
BBBB
(2)
(3)
(3)
(2)(2)
(1)(3)(2)
(2)
ENFOQUES DE LA
PROBABILIDAD
PROBABILIDAD OBJETIVA
PROBABILIDAD CLÁSICA
PROBABILIDAD EMPÍRICA
PROBABILIDAD SUBJETIVA
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS:
PROBABILIDAD EMPÍRICA
La constructora ha realizado 86 proyectos de los 100 presentados antes sus clientes en este año .¿ cual es la probabilidad de que realice el igual numero de proyectos el siguiente año ?
P(G)86
1000.86
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS
MATERIALES
TIPOS DE MATERIALES PARA CONSTRUCCION DE UNA EDIFICACION SEA RUSTICA O MATERIAL NOBLE
Ω = 1.ADOBE, 2.LADRILLO, 3.QUINCHA, 4. CONCRETO. 5.TAPIAL , 6. ACERO
Evento A Evento B Evento A Evento B
M. NOBLE
M. RUSTICA
ALGUNAS REGLAS DE PROBABILIDAD
REGLA DEL COMPLEMENTO: (Es lo que le falta al evento para ser igual al Ω) Se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del número 1 la probabilidad de que el evento no ocurra. Se denota como: ~A, Ac , etcSean A, B y C eventos mutuamente excluyentes
EJEMPLO 3• La probabilidad de encontrar
viviendas en reque de diferentes niveles
5-12
LLEGADA Frecuencia
1 piso 100
2 piso 75
3 piso 800
4 piso 25
Total 1000
Sea el evento que un vuelo: A :1 piso B: 2 piso C: 3 piso D: 4 piso
P(A) = 100 /1000 = 0.1. P(B) = 75 /1000 = 0.075. P(C) = 800 /1000 = 0.8. P(D) = 25 /1000 = 0.025.
• P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [0.8 + 0.025] = 0.175
C = 0.8
D=0.025
5-17
A=0.1 B=0.075
(C o D)C = (A o B)= 0.175
REGLA DE ADICION Sean A, B y C eventos mutuamente excluyentes:
P(AoB) = P(AB) = P(A) + P(B)P(AoBoC) = P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)
Si A, B y C no son eventos mutuamente excluyentes:P(AoB) = P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB).
P(AoBoC) = P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) –P(BC) + P(ABC).
PROBABILIDAD CONJUNTA: Es la probabilidad que expresa la posibilidad de que dos o más eventos ocurran en forma simultánea.
Sean A y B dos eventos P(A y B) = P(AB).
La probabilidad de encontrar casas de uno y dos pisos esP(A o B) = P(A U B) = P(A) + P(B) = 0.1+0.075 = 0.175
De 500 habitantes , 300 aseveraron tener viviendas de 1 patio , 280 dijeron tener viviendas con corral . y al preguntarles quienes tenían ambos 180 respodieron que tenian patio y corral
Si un habitante es seleccionado aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga casa con patio , tenga con corral., y ambos tanto 1 como 2?
patio corralambos
300 280180
P(p) = 300 /500 = 0.6P(c) = 280 /500 = 0.56P(p y c) = 180 /500 = 0.36P(p o c) = P(p) + P(c) - P(p y c)
= 0.6 + 0.56 - 0.36 = 0.8
REGLA DE MULTIPLICACION Sean A, B y C eventos independientes. La ocurrencia de uno de ellos no influirá en la probabilidad del otro.P(A y B) = P(AB) = P(A) x P(B)P(AyByC) = P(ABC) = P(A) x P(B) x P(C)
REGLA GENERAL DE MULTIPLICACIONSe utiliza para determinar la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos. En general, la regla indica que para dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se evalúa al multiplicar la Probabilidad de que el evento A ocurra, por la Probabilidad Condicional de que suceda el evento B.Es decir:P(A y B) = P(AB) = P(A) x P(B/A)
donde P(B/A): se lee como la Prob. deque ocurra el evento B,dado que el evento A yaocurrió.
TEOREMA 1. Si es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra debe ser cero.
p()=0
TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)
TEOREMA 3. Si un evento A B, entonces la p(A) p(B).
TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p(B) – p(AB).
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sea un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;
Donde: p(AE) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrióp(AE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempop(E) = probabilidad de que ocurra E.
)E(p
)EA(p)E|A(p