Material DidácticoDEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
M A T E R I A L D I D A C T I C O
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
M A T E M A T I C A S I I
Av. Michoacán y Calzada de la Purísima, Izíapalapa, C.P. 09340, México, D.F.
UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA - IZTAPALAPACasa abierta al tiempo
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
M A T E M Á T I C A S I I
C. B. I .
PROBLEMARIO
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M A T E R I A L D I D Á C T I C O
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
M A T E M Á T I C A S I I
C . B . I .
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M A T E M Á T I C A S II
División de Ciencias Básicas e Ingeniería
Problemario
Este material tiene por objeto brindar al profesor una guía para el
curso y poner al alcance del alumno material para su mejor desempeño
académico.
Agradecemos a los lectores sus sugerencias para mejorar este trabajo.
Estas se recibirán en la Coordinación del Tronco General de Matemáticas de
la División de Ciencias Básicas e Ingeniería.
Autores: Gerardo P. Aguilar Sánchez
Luis Aguirre Castillo
Jesús Manuel Cruz Cisneros
Luis Nuñez Rodríguez
Mecanografía: Martha Patricia Sánchez Sánchez
Martha Beatriz Arce Vargas
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS, UAM-I
Enero, 1987
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índice:
Sumas 1
Sumas de Riemann 7
Integral Definida 10
Teorema Fundamental del Cálculo 22
Regla Trapecial 30
Regla de Simpson 37
Función Logaritmo 41
Integral Indefinida 50
Integración de Fracciones Racionales 60
Integración por sustitución 73
Integrales Impropias 78
Coordenadas Polares 83
Gráficas en Coordenadas Polares 91
Cálculo de áreas en Coordenadas Polares . 107
Aplicaciones de la Integral Definida 112
Longitud de Arco „ 117
Volumen de Sólidos de Revolución „... 119
Trabajo 123
Otras Aplicaciones 124
Ecuacioes Diferenciales 138
Aplicaciones 151
Vectores en IR2 y K3 160
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SUMAS
En el cálculo de algunas sumas con varios sumandos se utili
za el símbolo £ para abreviar dichas sumas
Ejemplos:5
1.- 1+2+3+4+5 se puede abreviar como J k,k=l
Recuerde que el nombre de la variable utilizada, k (llama-
da índice) puede variar, por ejemplo, en este caso
5 5 5I k = I i = I j • • • etc.
k=l i=l j=l
n2.- La suma a + a + ..• + a se abrevia como J a . .
5 03 . - 2 + 4 + 6 + . . . + 1 0 0 = I 2 j
1004.- 13 + 14 + 15 + . . . + 100 = I k
k=13
Ejercicios: Escribir en forma abreviada las siguientes
sumas:20
1.- 1 + 2 + 3 + . . . + 2 0 Resp. I kk=l
10012.- 1 + 3 + 5 + ... + 2001 Resp. I (2k-l)
n3 . - 2 + 4 + 6 + . . . + 2 n R e s p . I 2k
k=l
n4.- 1 + 3 + 5 + . . . + (2n-l) Resp. I (2k-l)
k=l
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2.
n5.- I2 + 22 + 32 + ... + n2 Resp. I k2
m+5*- bm + bm+l + bm+2
+ •" + bm+5
Desarrolle las siguientes sumas:
Ejemplo:
8I 2X - 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 510i l
R e s p : 0 + 2 + 6 + 1 2 + 2 0 + 3 0
R e s p : 1 0 + 1 0 + 1 0 + . . . + 1 0
1 .
2 .
3 .
4 .
5 .
6I
k=l
50
i-1
1j=o
4I
r=0
n1
k=l
k(k-l)
10
X j
y r + 1
kk
50 veces
Resp: Xo + Xi + X2 + X3 + Xi + x$
Resp: y + y2 + y3 + y1* + y5
Resp: 1 + 22 + 33 + 4* + .., + n
Desarrollando, compruebe las siguientes igualdades:
f 2*"1 = I 2r = f 25-> = f 26-*r=l r=0 n=0 k=l
Hallar los valores numéricos de las sumas siguientes:
51. Ir Resp: 15
r=0DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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3.
5 n O2. I 2n~¿ Resp: 15
n=2
3. I kk Resp: 32k=l
54. £ (2¿+l) Resp: 36
i=0
I 1 45* A t/vin Resp: r
Compruebe las siguientes propiedades de la suma
n1. £ c = nc
k=l
n n n2. I (av+b, ) = i a, + í b, (Propiedad aditiva)
k=l K K k=l K k=l K
n n3. 1 (aai) = a I av (Propiedad homogénea)
k=l K k=l K
4.
5 .
6.
7.
n
n
i
i=k x
11 a-
i=k 1
ik+3b,)
rak-i)
£+r
i=k+r
£-r
i=k-r
= a n
a.
a.
no I a. +
k=l k
- a0
- r
+r
n
k=l(Linealidad)
(Propiedad telescópica)
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4.
Deducir fórmulas para las siguientes sumas
n1. I k Resp. r-^~
k=l
2. I k2 resp. n(n^l)C2nfl)k = l
3 . í k 3 r e s pk=l
4 ? W4 ,-pcn4. ) k resp
JC — -L
Ejemplo;
Usando la identidad ±li-(±-l)k = 4j_3-6i24-4i - 1 obtener el
siguiente resultado
nI i 3 = i (nV2n3
+n2) = ü
Solución
= 4i3-6i2+4i-l
Entonces podemos escribir
n ny (Í^-ÍÍ-D1*) = y (4i3-6i2+4i-D
i l i l
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Ahora bien, usando la propiedad telescópica
= n1*
Por otra parte:
3-6i2(4i3-6i2+4i-l) =
entonces
n n n nn* = 4 H 3 - 6 [ i2 + 4 [ i -
i l i l i l
de donde
n n n n
[nJn±lH2n±lL] • 4 [n(n+ l ) ]
- 2n(n+l) + n
Entonces
n -I i 3 = x [n^+nín+1) (2n+l) - 2n(n-l) + n ]l 4
= k ( nlf+2n3+3n2+n-2n2-2n+n)4
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= x (n"+.2n3+n)
= j (n2+2n+l)
(n+1)
Lo cual es el resultado deseado.
Calcule las siguientes sumas:
2001. I 2i (i3-l)
252 . I ( i 2 + l ) 2 i
3. I (- |)k'2
k=0 *
4. I C/Sk^T - 73IE+7)k=l
m5. I j(2j2+l)(5j+6)
6. I [(3"k-3k)2-(3k""1+3"k"1)2]k=l
n7. I [(k-1)3+6k2-3k+7]
k=l
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7.
SUMAS DE RIEMANN
Ejemplo:
Suponga que f(x) = x3 y que P es la partición del intervalo
[-2,4] en los 4 subintervalos determinados por XQ =- 2 ,
xi = 0, x2 = 1 # x3 = 3 y Xi* = 4 . Encuentre la suma de
Riemann correspondientes a f y a P cuando
a) É! =- 1 , í2 = 1 / £3 = 2 , U = 4
b) £i = 0 f £2 = 1 / 3 = 3 , £,« = 4 .
Solución:
La suma de Riemann de una función f , correspondiente a una
partición P : x0 = a < Xi < ... < x = b , del intervalo
[a,b] , dados ^.e[x._1#x.] (i=l,2,...,n) , es :
nI f(Ci)Axi , donde ^ ^ ^ " " ^ - i
En este caso tenemos
= x r x o = 0 - ( -2 ) = 2 , Ax2 = X2-Xi = 1-0 = 1
Ax3 = X3-X2 = 3-1 = 2 , Axi» = xH-x3 = 4-3 = 1
a) La suma de Riemann correspondiente es :
nI f U , ) A x = f U i ) A x 2 + f ( C 2 ) A x 2 + f ( 5 3 ) A x 3 + f
1 X
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8.
= f (-1) (2) + f U) U) + f (2) (2) + f (4) U)
= (-1)(2) + (1) ti) + 8(2) + 64(1)
= 79 .
b) En este caso tenemos que la suma de Riemann es
4
I f Ui)Axi = f (0) (2) + f (1) (1) + f (3) (2) + f (4) (1)
= 0(2) + ti) (1) + 27(2) + 64(1)
= 119 .
Encuentre las sumas de Riemann correspondientes,en cada caso.
1. f(x) = x2 P partición del intervalo [0,2j dado por
x0 = 0 , xx = y , x2 = 1 , x3 = *• , x^ = 2 , a) lix = x0 t
Í2 = xi , E,3 = x 2 , gi» = x3 , b) £ . = x . i=l,2f3/4.
Resp. a) x , b)
2. g(x) = 3x+l , P partición del intervalo [-1/3] dada por
P : x0 =- 1 , xi = 0 , x2 = j f x3 = 2 , xt» = 3 . ^¿ = x¿
i-1,2,3,4.
91Resp. -r-
3. h(x) = /x , P partición del intervalo [lf4] dada por
P : xa = 1 , Xj = j , x2 = 2 , x3 - 3 , xH = 4 Ci = 1 ,
Zz = j , Í3 = j , 5* = 4 . Resp. j + 2
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9 .
4. f (x) = sen x P partición del intervalo [-TWTT] dada por
P : X = ~ 7T , X i = - J t X 2 = Q , X 3 - j t Xi* = J r X 5 = TT ,
con 5 - = x . i = l , 2 , • • • , 5 .
Resp. - g-
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10.
INTEGRAL DEFINIDA
1. Calcule, directamente de la definción, las siguient€¡s inte
grales definidas
(3x2+l)dxi
Solución: Sea P la partición regular
del intervalo [l#3j. En n sub
intervalos:
P : x0 = 1 / Xi = 1+Ax , x2 = l+2Ax,..., x _ =l+(n-l)Ax ,
xn = 3 donde Ax = -^— = - .
O A O •
.#. P : x0 = 1 , xi = 1+- , x2 = 1+-, ,x¿ = l+-ji#...,xn = 3
Sean Ci = xx , £2 = x2 /.../ £ = x• n n
La suma de Riemann correspondiente a la función f (x) = 3x2+l y a
la partición P es :
n n puesto que la partición P es
Jif(f:i)Ax;. -Jif(x±)Ax (regular/ AXi=Ax i=1/2f...,n }
n r n A n A 2 o
".^-^n n 2 n3 n-*
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1 1 .
24 £ i* + y
c 4. 24r (n+l)i 24 n(n+l) (2n+l) . ~
8 + i f ( n + 1 ) + K"2 (2n2+3n+l)
28 + ü + ü + í 2n n n2
Sabemos que s i f : [a,b] •> 3R es integrable en [a,b] en ton
rb nees /Df(x)dx = lim I f(5±)Axi donde £± e [x ± - 1 r x±]
i : l # 2 # . . . f n y además, que s i fs[a,b] •* 3R es continua
entonces f es integrable en [&/b] .
En el caso de nuestro ejercic io , f (x) = 3x2+l es continua en
£ l , 3 ] , luego f es integrable en [1 ,3 ] . Aquí hemos elegido
una partición regular P que depende del número n de subin-
tervalos de igual longitud. De este modo se tiene que:
b nj f (x )dx = lím I f U )Ax con £. e [x . . , x . ]a n-»-00 i = l x
es d e c i r :3 n
/ (3x2+l)dx = l ím I f ( £ . )
= lím (28 + — + í ) =
= 28 .DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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12.
2. Calcule, directamente de la definición la integral
bj senx dxa
Sol. Sea P una pa r t i c ión regular en n subintervalos
del in te rva lo [a,b] ;
P : a=x0 , Xi=a+Ax , x2=a+2Ax , . . . / x = a+(n-l)Ax # x =bn~x n
donde Ax = —— sean £.=x. , i = l , 2 , . . . , n
Dado que f (x) = senx es continua en [a,b] , f (x.l es
in tegrable en [a,b] • Entonces,
b n n/ senx dx = lím ^ sen (£.)Ax = lim J sen (£.)Axa n->°° i= l 1 Ax->0 i= l X
Consideremos la Suma de Rieraann
n n nS = I s e n ( £ . ) A x = J s e n ( x . ) A x = A x £ s e n ( x . ) =
n i=l x i=l x i=l x
= Ax[sen (a+Ax) + sen (a+2Ax) +...+ sen (a+nAx)]
AxMultiplicando y dividiendo por 2 sen {—) y usando la
siguiente identidad trigonométrica
2 sena sen& = cos(a-$) - eos (a+3) , tenemos que
sn = Ax L2sen("Y")sen (a+Ax) + 2sen(-y-) sen(a+2Ax)
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13.
sen(a+nAx)]
*4-X r / . OJrV \ / " i ^ A - . X i / § ** A • \ /i*^
2sen(^)[cos(a+-y) - cos(a+2^x) + cos(a+jAx) - cos(a+jAx)
Ax
sen(^)
Ax
sen (-y)
b
[cos(a+^) - cos(b+^)] . Luego
^ ) cos(b+^)/ senx dx = lím — ^ — fcos(a+^) - cos(b+^)]a Ax->0 sen^ z Z
b• *. J senx dx = eos (a) - cos(b) = - cos(b) - (-cos(a)).
a
(Compare esta solución con la que se obtendrá usando el teorema
fundamental del cálculo).
b3. Calcule J xdx , directamente de la definición.
Solución: Sea P una partición regular del intervalo
[a,b] en n-subintervalos dada por:
=a , xa=a+Ax , x2=a+2Ax ,..., x.=a+iAx ,..., x =bi n
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b—adonde Ax = . Hacemos como antes £.=x. ; i=l,...,n
Entonces:
b n/ xdx = lím £ (£.) x = (puesto que la función f (x)=x esa n-»-°°i=l x integrable en [a,b]).
n= lím I (a+iAx)(Ax) *
n n= lím (I a(Ax) + (Ax)2 ^ i) =
= lira (a(Ax)n + (Ax) 2 n(n¿"1}) = ; pero Ax =¿ ) = ; pero Ax = ^n
n-»-°o
= lím (ab-a2 + ° ~í^a (n+1)) =
= lím2n
_ b a" 2 " 2
Calcule/ directamente de la definición de integral, las siguien
tes integrales definidas:
2 b b1. / (2x2-3)dx 4. / cosx dx 7. / kdx ; k = cte.
-1 a a
b 3 a
2. / x2dx 5. / /x dx 8. / f(x)dxa l a
b 4 .3. / x3dx 6. J =• dx
a 2 x
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15.
Respuestas;
1 . - 3 4. senb-sena 7. k(b-a)
2. b3"a3 5. 4 (3/J -1) 8. O
3. ° ~á 6. ln 2
9. Demuestre que:n . 2 .
n R. 2 2b) lím T 2i = f x2dx
i=l n 3 O
1 n 1
c) lím - I f(i) = f f(x)dx si f es integrable en |O,1n i=l n 0
10*. Usando directamente la definición de Integral definida,
calcular:
bj /x dx , donde a < b y a > 0
Sugerencia: tómese la partición P = {a,aq,aq2,...,aqn}
donde q = — usar el hecho de quea
n -Í
3 3
Respuesta: j (b - a2)
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16.
Suponiendo que todas las integrales involucradas existen, demues_
tre las siguientes propiedades de la integral definida;
b b b1. J (f+g) (x)dx = / f (x)dx + f g(x)dx
a a a
b b2. J kf(x)dx = k J f (x)dx ; k = constante
a a
b b b3. / (kf(x) + hg(x))dx = k j f(x)dx + h / g(x)dx , k,h
a a "~ a
b a/ f(x)dx = - J f(x)dxa b
b c b4. / f(x)dx = / f(x)dx + / f(x)dx , V c e IR
a a c
5. Si m £ f (x) £ M para xe£a,b] , entonces
bm(b-a) <_ I f (x)dx <_ M(b-a)
ab b
6. Si f(x) < g(x) V xe[a,bl. Entonces J f(x)dx <. j g(x)dx"~ a a
b b7. | J f(x)dx | <_ ¡ |f(x)|dx (sugerencia: -|f (x) |<J: (x)< | f (x) [)
a a
Aplicaciones de las propiedades de integral definida:
3 31. Utilizando que J (3x2+l)dx = 28 , J x3dx = 20 ,
1 1
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17.
5 3J C3x2+l)dx • 1QQ , j sen x dx = cos(l) - eos(3)3 1
calcule las integrales:
a)
c)
e)
3/ (x3+3x2
1
1/ (x3-sen
3( x2dx
Solución:
+1)
x)
dx
dx
b)
d)
3
1
5
(3
C3x
sen x - 6x2-2)dx
2+l)dx
a) De acuerdo con la propiedad 1 tenemos que:
3 3 3/ (x3+3x2+l)dx = j x3dx + / (3x2+l)dx1 1 1
= 20 + 28 » 48 .
3 3 3b) / (3 senx - 6x2-2)dx = 3 / senx dx - 2 j (3x2+l)dx (por propiedad 3)
1 1 1
- 3(cos(l) - eos (3) - 2(28) .
= 3 cos(l) - 3 cos(3) - 56
1J (x3-3
3c) j (x3-senx)dx = - / (x3-senx)dx
1
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18.
3 3= - C / x3dx - { senx dx ) = eos(1)-20-cos(3)
1 1
5 3 5d) ¡ (3x2+l)dx = J (3x2+l)dx + J (3x2+l)dx (propiedad 4)
= 28 + 100 = 128 .
3c) j x2dx . Para calcular esta integral consideremos
1
3 3 328 = / (3x2+l)dx = 3 / x2dx + / dx
1 1 1
3. * . 28 = 3 j x2dx + 2
1
. - . / x
2, Encontrar un intervalo donde este el valor de la integral
4J (x3-6x2+9x+l)dx .1
Solución;
El valor máximo absoluto de f(x) = x -6x +9x+l en el in
tervalo [l/4j es M = 5 y el valor mínimo m = 1
1 < f(x) < 5
1(4-1) < J f (x)dx < 5(4-1)
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19.
4.*. El valor de la integral / (x3-6x2+9x+l)dx está
1en el intervalo [3,15] .
2 23. Usando que j x2dx = 3 , j xdx = , evalué:
a)
b)
2
-1
2
- 1
(2x2-4x+5)dx
(8-x2)dx
- 1
Resp:
Resp:
15
21
2 t
c) / (2-5x+^K2)dx Resp: 0
2d) J (3x2-4x-l)dx Resp: 0
-1
e) í (2x+l)2dx Resp: -21¡ 2
f) í (x-1)(2x+3)dx Resp: -i-1 ¿
-1g) J 3x(x-4)dx Resp: 9
TT TT4. Utilice los valores j senx dx = 2 , J cosx dx = 0 ,
TT 0 0J sen2dx = /2 para evaluar:0
Q 9 _a) j (senx-2)zdx Resp; 8 - -JL
TT
b) f (2senx + 3 cosx + 1) dx Resp: TT + 40
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20.
TT ~
c) j 3 cos2x dx Resp:Q
TT
d) ¡ (cosx+4)2dx Resp: ¿ í~O
5. Encontrar un intervalo que contenga el valor de la inte
gral definida dada:
Resp: [4,12]
Resp: [ab-a2, b2-ab]
a < b
Resp: [0,576]
Resp: [O,
Resp: [0,6]
>: [y , l ]
a)
b)
c)
e)
d)
f)
3
1
b
a
0
- 4
4
0
4
- 1í
2xdx
xdx
(x"*-8x2+16)dx
X 2
|x-2|dx
1• Í — —
6. Demuestre que si f es continua en [-1,2], entonces:
2 1 0 - 1| f (x)dx + / f(x)dx + J f(x)dx + / f(x)dx = 0 .- 1 0 2 1
7. Pruebe que para cualquier t >_ 1 , se tiene la desigualdad
1
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21.
(Observe que si l<x entonces x ^1+x ^2x y por lo tanto
± < _!_ < i2X2" - 1+X2 - X
¿
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22.
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO
X.- Si f : [a,b] + BR es una función continua y
xf (x) = / f(t)dt , para xe[a,b] , entonces: F(x) es
auna función primitiva (o antiderivada) de f (x) en
[a,b], es decir
F1(x) = f (x) V xe[a,b] .
I I . - Si f : [a,b] -> IR es una función continua y si
G : [a,b] -* IR es una función primitiva de f en
[a,b] , entonces
b b| f(x)dx = [G(xl] = G(b) - G(a) .a a
Evalué las siguientes integrales:
31. / (3x2+l)dx . Solución: Aplicando el segundo teorema
fundamental del cálculo, como g(x) = 3x2+l es continua
en el intervalo [l,3], basta encontrar una función primi
tiva de 3x2+l en [1/3] y evaluarla en 3 y 1 .
Sea G(x) = x3+x , entonces G1(x) = 3x2+l asi que
G(x) es una antiderivada de 3x2+l • Luego:
3 3J (3x2+l)dx = x3+x|1 1
= 33+3 - (13
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23 .
= 28. Ccompare con e l ejem. 1de l a secc ión 3)•
b2. / senx dx , (a <, b) •
a
Solución: Como g(x) = senx es continua en a,b , nue
vamente tenemos que encontrar, de acuerdo con el 2? teore
ma fundamental del cálculo, una función primitiva de senx*
¿Qué función al derivarla es igual a senx para todo xe[a,b]?
Sea G(x) = cosx , entonces .*. Gf(x) = - senx = - g(x) •
Si definimos G(x) = - G(x) su derivada, G1(x) = g(x)
así que una función primitiva de senx es G(x) = - cosx.
Luego,b b/ senx dx = -cosx|a a
= - cos(b) - (-eos(a))
= eos(a) - cos(b) •
33. / |x+l|dx
-3
Solución: Por definición tenemos que :
x+1 si x^-1
-x-1 si x<-l
Usando la propiedad 4 de 3 y la definición de valor absolu
to de un número real:
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24.
3 - 1 3|x+l|dx = J |x+l|dx + / |x+l|dx
-3 -3 -1
-1 3= - J (x+l)dx + J (x+l)dx
-3 -1
Ahora, para evaluar estas últimas integrales tenemos que
encontrar una función primitiva de x+1 . Sea
x2
G(x) = j + x , entonces G1(x) = x+1 y :
/1-3 \ 2 2 /
*+ xl = í|2/ (x+l)dx = (|+ xl = í|+ 3 -
3Ix+lldx « 2 + 8 = 10 .
b4. f xn dx , n
Solución: ¿Qué función F(x) al derivar, es tal que
P1 (x) = xn para todo xe[a,b] ?
En algún momento, durante el curso de matemáticas I sur
gió la siguiente fórmula:
Dx Xa » n X11"1 n ^ 0
Y esta ahora nos será útil por que la función F(x) que
buscamos es tal que su derivada es una potencia de x .
En la fórmula vemos que cuando derivamos, el exponente
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25.
de x es disminuido en una unidad. De donde surge la idea
de proponer como una función "candidato" a la deseada, la -
siguiente:
G(x) = x n + 1 entonces G1 (x) = (n+l)xn
pero
G1 (x) = Cn+1) F'(x) y v*wi->*/ = F'(x)
tambiénn+1
n + 1LGíx) x
por lo que definimos F(x) = ^ L = ±L__ ; n ¿ - 1
Así, F(x) = 2L-J. y
b , n+1 n+1p _ an+1 ~ n+1
b - b5- J (^f(x))clx 6 / f'(x)dx con f' (x) continua en
a ^ a
[a,b]
Solución: Por el 2? teorema fundamental tenemos:
b b/ f '(x)dx = f ( x ) | = f(b) - f(.a) pues f (x )e s una primiti^
a va de f ' (x) claramente.
, b6. ^ j (2t*-3t+l)dt xe[a,b]
a
Solución: Como 2t**-3t+l es continua en [a#bj # utilizan
do el ler. teorema fundamental del cálculo tenemos:
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26.
A b
¿ J (2t"-3t+l)dt = 2x--3x+la
send f s e n xr3xHhz7 . -*— j ^r-r dx , suponiendo que el integrando esa
continuo en [a,b] •
Solución: Usando el ler. teorema fundamental del cálculo
tenemos:
d t sen x/3x+z , _ sen z/3z+2dz J x^Tl a x I
a2x2
8. ~ j (5z3-3/z~+l)dz
Solución: Sí hacemos G(x) = f (5z 3-Vz" +1) dz2x2 3
tenemos que G(2x2) = J ( 5 z 3 - ^ +l )dzJ
2x
G1(2x2) ^ (2x2) (por la regla de la cadena)
= (5(2x2) 3 - 3/2x2 +1) (4x) (pues G1 (x) = 5x3+ Vx +1
por el ler. teorema fundamental del cálculo) .
Ejercicios: Calcule las siguientes derivadas e integra
les definidas:
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2 7 .
b -2xa) J n.—2 dx suponiendo que el integrando es continuo
a /J-"X en [a ,b ] .
Sugerencia: Considere G(x) = 2/1-x2
Resp: 2(/F:E2 -
•ix <* rZ sen2x lnU 2 *!) . , . . o sen2z In(z2+1)2) ^ J JJ dx R. ^^
, x3. -£: í (z2-3z+l)dz R. 0
dt ¿
. í Dt [ sen t
es continuo en [x,y]
suponiendo que el integrando
3_ 1 ¿R ( y « 5 ) ( y 2 - 5 ) 4 _ (x->-5)?(x2-5)4
sen y sen x
5
5. -sr í 2x(x2-2)3dx R. 0dt {
A 9 ( ) , o
6. ^ f Oz^-I+Sídz R. (3 g*(x) ' g^xT +
7. Sí f es una función integrable en el intervalo [0,1] ,
¿a qué es igual el siguiente límite?:
i i ¿ (x)dxlím i ^ f(i) R. lím i I f¿) = / f
8. Usando el ejercicio anterior calcule el siguiente límite:
i e J-+2 +3 + . . »+n „ 1l ím _.. - R.
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28,
9. Calcule la derivada de las siguientes funciones:
X t 5"a) F(x) = J (25_.2) dt R.
4
b) F(x) = / (jr/dt R« P
10. Encuentre el área limitada por las siguientes curvas:
a ) y = / x , y = x 3 , O l ^ l 1 R*12"
2 3b) y = 2x , 4y = x , y = —> R. = ^
11. Evalué las siguientes integrales definidas:
R. 80
R. 0
R _ 41R* 6
R. -21
R HR* 35
R.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3
1
1
0
2x(x2+5)dx
2x1^+1 dx
(x5-3i6c+3x2-6)dx
- 1j (2x+l)2dx
2
•n
0
1T
0
sen7x dx
(cosx+4)2dx
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29
g\ / (x-1) (2x+3)dx-1
R - 3R. 2
h) j (/x - x/x^I) dx2
R. i (4-/2)-5/T5+/3
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30.
Ejercicios para el uso de la regla trapecial
Regla Trapecial
Si la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y
los números a = xof*i# *2,•••#x = b forman una partición re-
gular de [a,b] , entonces
J f(x)dx = [f(x0) + 2f.(xi)
Aproximar la integral /
Solución
usando la regla del trapecio
Empleando la regla del trapecio con n « 6 en el inter
valo [0,1]
b-a _ 1-25T " 12
xi
0.0000
0.1666
0.3333
0.5000
0.6666
0.8333
1.0000
i
0
1
2
3
4
5
6
f(xi)
1.0000
0.8373
0.6923
0.5714
0.4737
0.3956
0.3333
ki
1
2
2
2
2
2
1
kif(xi)
1.0000
1.6746
1.3846
1.1428
0.9474
0.7912
0.3333
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31.
I k.fCx.) = 7.2739i=0 1 x
x2+x+l 2 (7.2739) = 0.60615
Calcular el valor aproximado de la siguiente integral usando la
regla del trapecio con n = 4
irJ cosxdx , n = 4
Axb - a _ TT~H 4
b-a _ ir
i
0
1
2
3
4
f(x) =
X.i
0
*/4*/2
3^/4
cosx
4
Ii=0
f
1
0-
-1
ki f
.0000
.7071
.0000
.7071
.000
(x±) = 0
ki
12
2
2
1
1.
1.
0.
-1.
-1.
f(xi)
0000
4142
0000
4142
0000
^ TT 4
J c o s x d x J J k . f ( x . )0 ° i=0 x x
ir= £ co)
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32.
Regla del Trapecio
La tabla se obtuvo expe rimen taimen te., f (x) denota la fuerza que
actúa sobre un punto con coordenada x en una recta coordenada.
Usando la regla del trapecio estimar el trabajo realizado en el -
intervalo [a,b] donde los valores a y b son el menor y el ma-
yor respectivamente•
x/m
f(x)/Kg
0
7 .4
0.
8.
5
1
1.
8.
0
4
1
7
.5
.8
2
6
. 0
. 3
2 .
7.
5
1
3 .
5 .
0
9
3
6
.5
.8
4.
7.
0
0
4
8
.5
.0
5 .
9 .
0
2
Solución:
Usando la regla del trapecio
b/ f(x)dx « [f (xo)+2f(Xl) +...+ 2f(xn-1)+f(xn)]
tomando n = 10 Ax = - = P- = in lü ¿
b-a 5 ^ 1y 2n 20 4
J f(x)dx = ¿ [7.4+2(8.1)+2(8.4)+2(7.8)+2(6.3)+2(6.3)+2(7.1)+2(5.9)^a
+2(6.8)+2(7)+2(8)+9.2)] =
= j [7.4+16.2+16.8+15.6+12.6+14.2+11.8+13.6+14+16+9.2] =
= j [147.4] = 36.85 Kg«m
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33.
Encontrar una aproximación del área limitada por y = /xT-1
en la parte superior, x = 2 por la izquierda, x = 3 por
la derecha y el eje de las x / inferiormente .
Solución: Usando la regla del trapecio, tomamos n = 10
Entonces:
Ax = 3-2 b-aLO 10 >n 20
de modo que:
ZI dx = Yñ [f (xo)+2f (xi) +...+ 2f (x9) +f (xi o) ]
Construímos la siguiente tabla:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x.i
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
f <x±)
2.6458
2.8742
3.1061
3.3417
3.5811
3.8243
4.0714
4.3224
4.5773
4.8362
5.0990
k.
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
k.f(x.)
2.6458
5.7484
6.2122
6.6834
7.1621
7.6485
8.1427
8.6448
9.1547
9.6724
5.0990
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34
Luego:
' -1 dx = 2TT [ 7 6 . 8 1 4 0 ]20
= 3.8407 .
Encuentre una aproximación de l a i n t e g r a l j /4 -x 2 dx ,0
tomando n = 8
Solución: f(x) = / 4 - x 2 tomemos e l i n t e r v a l o [0>2]
0 .0
b-a 2^0 1_2n 16 8
f(xi)
2.0000
± f ( x i )
2.0000
1
2
3
4
5
6
7
8
.25
.5
.75
1.0
1.25
1.5
1.75
2.0
1.9843
1.9364
1.8540
1.7320
1.5612
1.3228
0.9682
0.0000
2
2
2
2
2
2
2
1
3.9686
3.8728
3.7080
3.4640
3.1224
2.6456
1.9364
0.0000
2 , 8 1í /4"=x2dx « i 7 k . f ( x . ) = =• (24 .7178) = 3 .0897
0 8 i=0 L X 8
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35.
Si £ es continua en [a,b] y si los números a=xo,x1,...x =bn
determinan una partición de [a,b] entonces
b . a¡ f(x)dx « "12. [ f(xo)+2f(xx)+2f(x2) + . . .+ 2 f (x n . 1 )+f (x )Ja
Área trapecio • í*- [f(x±_1) + f(x±)J
Ejemplo:
f (x) » /x ,xe [o ,5 ] , n - 10 Ax = ^ £ - 0.5
Ax = 0.5 y
x0 = 0 y0 = /O" = 0.000
Xi = 0.5 yx = /ÜT5" = 0.707
x2 = 1 y2 = / I = 1.000
x3 - 1.5 y3 = / I 3 = 1.225
x,, = 2 yH = / I = 1.414
xs = 2.5 y5 = /275~ = 1.581
x6 = 3 y6 = /3 = 1.732
x7 = 3.5 y7 - /3T5 = 1.871
x8 = 4 ya = /4" = 2.000
x9 » 4.5 y9 = /4T5" - 2.121
= 5 yio= /5 = 2.236
Aplicando
b -J f(x)dx » Ax (¿f(xo)+f(xi)+f(x2)J . . f(xM
a 7.3845DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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36.
Encuentre una aproximación a cada una de las integrales siguien
tes tomando los valores correspondientes para n .
4x5dx ; n = 4 Sol. 788
V 5j e dx ; n = 4 Sol. 1.12960
2J /I+x"dx ; n = 6 Sol. 3.6890
f0
n = 5 Sol. .88
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37.
Ejercicios para el uso de la regla de Siinpson
Regla de Simpson
Si la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] ,
2n es un entero par y los números a = x0 ;xi ,x2 /. .. ,x2 i#X2
hacen una partición regular del intervalo [a,b], entonces:
b K a
/ f(x)dx = [f (xo)+4f (Xi)+2f (x2)+4f (x2) + ...a
+ 4f(x2n_1)+f(x2n)]
1. Encontrar el área bajo la gráfica de la función
2j xVx5+4 dx usando la regla de Simpson0
x e [0,2] Ax = 2j£ = | , 2n * 10
XQ =
X, =
x2 =
X3 =
X, =
X5 =
x7 =
X8 =
X, =
X =10
o.2
.4
• 6
.8
1.0 ,
1.2
1.4
1.6 ,
1.8 ,
2.0
y0
Yi
y2
y3
y,
y5
y6
y7
y8
Ys
y1(
= 0.0000
= 0.0032
= 0.0513
= 0.2617
= 0.8521
= 2.2361
= 5.2819
= 11.7645
= 24.9431
= 50.2304
j= 96.0000DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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38 .
2 -xHyÍ5+4 dx = ( i ) LO+0.0128 + 0.1026 + 1.0468
0 S *
+ 1.7042 + 8.9444 + 10.5638 +
+ 47,058 + 49.8862 + 200.9216 + 96)
~ (416.2404) = 27.7494
dx = 27.7494
32. Usando la regla de Simpson evalué / /x^-l dx
2
dx 2n = 6 ^ ^
bf(x)dx =
xo
X l
x2
X 3
Xi*
X 5
X 6
S (y.+4yi+
= 2
= 2.166 ,
= 2.333 ,
= 2.5
= 2.666 ,
= 2.8333 ,
= 3 ,
yo =
yi =
y2 .
y3 =
y^ =
ys =
ye •
•2 y t + 4 y ! + y t )
• ( 2 ) 3 - 1
• ( 2 . 1 6 6 ) 3 - 1 =
• (2 .333)3-1 =
• ( 2 . 5 ) 3 - 1
• ( 2 . 6 6 6 ) 3 - 1 =
• (2 .8333 )3 -1 =
• ( 3 ) 3 - 1
2.6458
3.0284
3.4211
3.8243
4.2383
4.6632
5.0990
3 ! ,\ /xT^I dx = (j) (^) [2.6458+4(3.0284)+2 (3 .421D+4 (3.8243)
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39.
+2 (4.2382)+4(4.6632)+5.0990}
= ~ [2.6457+12.1136+6.8422 15.2972+8.4766+
18.6528+5.0990] =
= A, (69.1271) = 3.8404lo
1 ,j 7r . "i Aproxime la siguiente integral definida por la0 x
regla de Simpson con 2n = 4
Al aplicar la regla de Simpson tenemos
b" a - 1 v b" a
f(x) =X2+X+l
~ [f (xo)+4f (xi)+2f (x2)+4f (x3)+f(x.j]
0
1
2
3
4
0.
•
•
•
1.
0
25
5
75
0
1.0000
0.7619
0.5714
0.04324
.3333
1
4
2
4
1
1.0000
3.0476
1.1428
1.7296
0.3333
I k. f(x.) = 7.2533i=0 1
- - 6 0 4 4
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4 0 .
Encuentre una aproximación a cada una de las integrales siguien
tes:
4/ x/9+x2dx con 2n = 4 S o l . 32 .660
2j /i+x3dx con 2n = 4 Sol. 3.240
0 dx] •££- con 2n = 4 Sol. .693.{ 1-x
i e dx con 2n = 4 Sol. 1.46 37
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41
Función logaritmo,
1. Calcula la derivada de las siguientes funciones
i) f (x) = x ln (x) - x
Soluci6n= f• (x) =
l n ( x ) + x á
l ' ln(x) + x (i) - 1
= ln(x)
i i ) f(x) = 3 5 x
d[f(x)] _ d[35xJ = d [ e 5 x ( l n 3 ) ]dx dx dx
5x(ln3) d[5x(ln3)]e • dx
c , / o . 5x(ln3)5 ln(3) «e
= ln(35) «35x
2. Suponiendo que ln(2) = 0.6937 , ln(3) = 1.0986 y
ln(5) = 1.6094 calcule los siguientes números:
i) ln(80/81)
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42 .
Solución: ln (.80/81) = ln(80) - ln(81)
= lnU1») + ln(5) - 41n(3)
= 41n(2) + ln(5) - 41n(3)
= 4(0.6931) + 1.6094 - 4(1.0986)
= - 0.0126
/ 5 d u r1 du + / 5 d u' u .' u / uVs
1>.du /°du
i " 1 u
V 5 du
ln(8/5)
ln(23) - ln(5)
= 3-ln(2) - ln(5)
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43.
3. Pruebe que si k es un entero mayor que 1 , entonces
1/2 + 1/3 + ...+ 1/k < ln(k) < 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/k-l
Solución: Dado n un entero mayor que 1 puesto que
la función 1/x es decreciente en los reales positivos
tenemos que para toda xe[n-lfn] se satisface que
1 1 1— < — < — - . por tanton — x — n-l
n 1-—s- dx , es decir
n-l " n-l~ n-l n ~ 1
¿ < nn I¿1 x
S i hacemos n = 2 , . . . , k tenemos que
2 -1/2 < / ¿ dx < 1
3 11/3 < / ±. dx < 1/2
2 X
1/k < / £ dx < 1/k-l
Sumando estas desigualdades se tiene que
2 i 31 k 11/2 + 1/3 +...+ 1A < / =• dx + / - dx +....+ / - dx < 1 + 1/2 +...+ 1A~1
1 x 2 x k-1 x
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44.
es decir
ki1/2 + 1 /3 + . . . + 1/k < J ± dx = l n ( k ) < 1 + 1/2 + . . . + 1 / k - l
x
4. Si f es una función que tiene inversa y satisface que
f (a*b) = f(a) + f(b) para cualesquiera a,b e Df (do-
minio de f) , muestre entonces que
f'Mc+d) = f"Mc) f'Md) para cualesquiera c#deDf-i=Rf
(rango de f).
Solución:
Sean c,d e Df-X . Hacemos a = f^íc) , b = f~*(d) Df = Rf-i
Por hipótesis sabemos que
f(f~x(c).f"l(d)) = f(a-b)
= f(a) + f(b)
= f (f""1 (c)) + f (f"x(d))
= c+d
Por otra parte, ya que f ] es la inversa de f , se de
be tener que
f (f""1 (c+d) ) = c+d
Por lo tanto f (f~x (c) 'f"1 (d) ) = f(f~](c+d)) y como f
es inyectiva, tenemos que
f"1 (c+d) = f^1 (c) - f " 1 ( d )
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45.
5. Se sabe que una sustancia radioactiva se desintegra a una
velocidad, proporcional a la cantidad de sustancia presen
te.
i) Si F(t) representa la cantidad de sustancia al ins-
tante t , ¿qué tipo de relación satisface dicha fun-
ción?
ii) Muestre que F(t) esta dada por F(t) = Foe
donde Fo es la cantidad presente en el tiempo t = 0
y c es una constante positiva que depende de la sus
tancia.
iii) Determine la vida media de la sustancia, es decir, el
valor de t para el cual F(t) tiene el valor °/2.
(Dar la respuesta en términos de c )
Solución:
i) Sabemos que si F(t) representa la cantidad de sus-
tancia en el instante t , entonces F1(t) represen
ta la velocidad con que esta cambiando la cantidad de
sustancia el instante t , de tal forma que, como di-
cha velocidad es proporcional a la cantidad presente,
debemos tener que F1(t) = c F(t) donde c es
una constante de proporcionalidad, inherente a la sus
tancia.
Por otra parte, puesto que la cantidad de sustancia -
va disminuyendo con el tiempo, F(t) es una función
decreciente y por tanto su derivada debe de ser nega-
tiva, de manera que, como la cantidad de sustancia la
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medimos en números positivos, la ecuación anterior puede
quedar en la forma Ff(t) = - c F(t) con la hipóte-
sis adicional de que c es una constante positiva.
ii) de la relación obtenida en el inciso anterior, tenemos -
Por otra parte, derivando directamente, se obtiene que
= ¿ dn F(t)) es decir
(lnoF)'(t) = - c
Por tanto, de la identidad anterior se deduce que
ln(F(t)) = - ct + k (1)
Si llamamos Fo = F(0) , sustituyendo t = 0 en (1)
obtenemos que k = ln(F0)
De la identidad de (1) , se tiene que
F(t) = e"ct-ek
= eln(F0)e-ct
= F0e"ct
donde Fo es la cantidad de sustancia inicial y c es
una constante positiva que depende de la sustancia.
iii) Nos interesa saber para que valor de t se tiene la igual_
dad Foe c = Fo /> ' e s decir, e c = y
Aplicando el logaritmo natural a ambos miembros de esta -
última igualdad, obtenemos que -ct = ln(l/2) y por
tanto, que t = iSiltíL = =±ÜÍÜL = iütíl es .1 valor""C """C C
buscado.
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47.
Problemas Propuestos
1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
i) ln(sec(x) + tan(x)) (R: sec(x)) secx > 0
ii)'cos(x)
iii) ln[ (5x-7)1*(2x+3) 3]
tan(x)iv) e
v) ln(|x|) -e3x
vi) 2sen (x)
(R: tan(x)) cosx ^ 0
x < I(R: secMx) e
tan(x))
(R: e3x(31n(|x|) + |) ) x > 0
(R: 2S e n ( x ) ln(2CO S X))
2. Suponiendo que ln(2) = 0.6937 , ln(3) = 1.0986 y
ln(5) - 1.6094 , calcula los siguientes números
i) ln(10)
ii) ln(5/3)
iii) ln(62.5)
10
1 f
(R: 2.3025)
(R: 0.5108)
(R: 4.1357)
(R: 0.9163)
(R: 6.9075)0.01
3. Si c > 0 y r e 3 R , r ? ¿ 0 , calcule el siguiente límite
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48.
cX-llira — : — Sugerencia: use la regla de L1 Hospitalx+Q c -1
4. ¿Existe un número n e I tal que
1,000 ± 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/n ?
Si. ¿Cuál?, No. ¿Por qué?
(R: Sí, basta tomar n ^ a1;000-!)
5. ¿Cuál es la diferencia entre las funciones
f (x) = 2 ln(x) y g(x) = ln(x2)?
(R: El dominio de f solo son los reales positivos, mien
tras que el dominio de g son todos los reales distintos
de cero).
6. Una población bacteriana crece a una velocidad proporcio-
nal a la cantidad presente:
i) Si B(t) denota la cantidad de bacterias al instante
t , ¿qué tipo de relación debe satisfacer esta función?
(R: BV(t) = c B(t) donde c es una constante positiva
que solo depende del tipo de población)
ctii) Muestre que B (t) es de la forma B(t) == BQe
donde ,c es una constante positiva (¿por qué?) y BQ
es la cantidad de bacterias en t = 0 .
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49.
iii) ¿Cuál es el tiempo necesario para que la población de
bacterias se duplique?. Ve la respuesta en términos
de c . (R: t = ln(2)/c)
7. La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez
con la cual un cuerpo se enfría es proporcional a la di-
ferencia entre su temperatura y la del medio ambiente.
Un objeto caliente se encuentra en un medio cuya tempera-
tura es T :
m
i) Si T(t) es la temperatura del objeto en el instante
t , ¿qué tipo de relación cumple esta función?
(R: T1(t) = - k(T(t) - T ) con k una constante positim —
va la cual solo depende del objeto).
ii) Muestre que T(t) es de la forma
T(t) = (To - Tm)e ^ + Tm
donde To es la temperatura en el instante t = 0 .
iii) Si un objeto pasa de 120° a 40° centígrados en 40 mi-
nutos en un medio que se encuentra a 35° centígrados,
¿cuál es la temperatura del cuerpo en el minuto 100?
(R: T(100) * 35°)
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50.
Integral Indefinida
1. Encuentre la antiderivada (ó primitiva) más general de
las siguientes fundones:
i) f (x) = lOx* - 6x3 + 5
Solución5 Puesto la antiderivada más general de la fun-
n x n + 1
ción x (con n / - 1) es igual a — r y / y dado que -
la antiderivadá de una suma es la suma de las antideriva
das, se tiene Qltó
* 2x5- rj Kk + 5x + C
es la antiderivada más general de f(x) = lOx1* - 6x3 + 5.
ii) f(x) = eos2 (x) •aen(x) + 1
Solución: Ya que -sen(x) e? la derivada de eos(x) ,
por la regla de lá cadena, se tiene que
F(x);•'# - j eos3 (x) + x +"c
es la antiderivad.a más general de f(x) = eos2 (x) sen(x) +
iii) f (x) = e a x + J^J- la ¥ 0)
Solución: Usando nuevamente la regla de la cadena, tene-
mos que
Flxi^ie^ + ~ ln (x +1) + C
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51.
es la antiderivada más general de f (x) = e + "*2+j
2. Encuentre la función f que satisfaga las siguientes con
diciones f"(x) = 4x-l , f'(2) = - 2 y f(l) = 3
Solución: Puesto que f1 es una antiderivada de f" ,
entonces f'(x) = 2x2 - x + d y usando la condición
f'(2) = - 2 , tenemos que - 2 = f'(2) = 2(2) 2 - 2 + d
de donde d = - 8 . Así, f.1 (x) = 2x2 -. x - 8 .
Ahora, como f es una antiderivada de f1 •, debemos tener
2 x2
que f (x) = *• x3 - j - 8x 4- C2 , usando la condición
de que f(1) = 3 , entonces
3 = f (1) = | (1) 3 - ¿±±- - 8(1) + d
3 -
r - 6 5
2 ., x2 o_. , 65y por tanto f (x) = j x3 - j - 8x + ^—- satisface las -
condiciones deseadas.
3. Sean f(x) = |x| y F definida como
1
F(x) =
x¿ si x < 0
1si x > 0
Muestre que F es una antiderivada de f en (-00,00).
Solución: Sea Xqe (-»,«>) y supongamos primero que xo<O
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52.
Entonces podemos encontrar fi>0 tal que , si
xe(xQj*í/ XQ + 6 ) , se tiene que x<0 y por tanto
F(x) 2* - j x2 \ De aquí se deduce que
F1 (x0) - - x0 =ajxj = f (x0) . Procediendo de manera s
milar se cbhclu^é que si Xo>O , entonces
F1 (X-Q) = xo * |XQ¡ = f(x0) . Para calcular F1 (0) re
curriremos (directamente a la definición. Sabemos que
Ahora, para calcular este límite y mostrar que existe,
basta mostrar que los correspondientes límites laterales
existen ^ §on lífuálés.
- 0
Por tanto, F1(0) existe y además F1(0) = 0 = |0| = f(0)
Por lo tantos P' (X) = f(.x) V xe (-», °°) lo que prueba
que F(x) es una antiderivada de f en (-00,00) .
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53.
4. Si un automóvil parte del reposo, ¿qué aceleración cons-
tante se le debe imprimir para que recorra 100 metros en
10 segundos?
Solución: Supongamos que s(t) denota la distancia reco
rrida (medida en metros) por el automóvil en el instante
t (medido en segundos). En donde t = 0 será el instan
te en el que el automóvil parte del reposo. Sabemos que
la aceleración del automóvil en el instante t esta dada
por s"(t), de tal forma que, como la aceleración que se
le va a imprimir al automóvil es constante, debemos tener
que s" (t) = C en cualquier instante t . El problema
es determinar para que valor de C se tien que s(10) = 100,
Ahora, puesto que s'(t) es una antiderivada de s"(t) ,
tenemos entonces que s1(t) = ct + Ci y como el automó-
vil parte del reposo, entonces s1(0) = 0 de donde
0 = s'(0) = c*0 + Ci y por tanto s'(t) = ct .
Finalmente, ya que s(t) es una antiderivada de s'(t),
entonces s(t) = y c t2 + C2 y como el auto parte del
reposo, es decir s(0) = 0 , entonces
0 = s(0) =2-c-0 + C2 de modo tal que s(t) = j c t2 .
Puesto que lo que se desea es que s(10) = 100, entonces
100 = s(10) = j c (10) 2 de tal forma que C = 2 (m/seg2)
es la aceleración deseada.
5. Utilizando el método de integración por partes, calcule
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54.
las siguientes integrales indefinidas
i) / x(2x+3)"dx ii) / x ln(x)dx iii) / arcsen(x)dx
iv) j exsen(x)dx
Solución: (i) De acuerdo al método de integración por par
tes, si f(x) = x y g(x) = j^ (2x+3) , entonces
x(2x+3)"dx = / f(x) g'(x)dx
= f(x) g(x) - / f (x) g(x)dx
1 0 0- J 1 - ^ <2x+3)»«dx
(2X+3)1»0- ^ (-^x+S)1 0 1) + C
- ¿ J (2x+3)] + C
+ c
(ii) Como en el inciso anterior, si hacemos
f(x) = ln(x) y g(x) = y x2 , entonces
xln(x)dx = / f(x) g'(x)dx
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55.
= f(x) g(x) - j f(x) g(x)dx
4x2 ln(x) - / i x2dx
= j x2 ln(x) - j x2 + C
= ~ x2 (ln(x) - |) + C
(iii) En este caso, si hacemos f(x) = arcsen(x) y
g(x) = x , entonces
J arcsen (x)dx = / f(x) g'(x)dx
= f (x) g(x) - J f (x) g(x)dx
= x arcsen (x) - xdx
= x arcsen(x) + (1-x2) ' + C
(iv) En este caso será necesario utilizar dos veces el
método de integración por partes. Si f(x) = e y
g(x) = - eos(x) , entonces
J e sen(x)dx = j f(x) g'(x)dx
= f(x) g(x) - j f1 (x) g(x)dx
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56.
* - e*cos(x) + / excos(x)dx
Ahora, si en esta última integral hacemos f i (x) = e y
gi (x) = sen(x) , entonces
j excos(x}dx = / fiíx) gl(x)dx
fi(x) g i (x) - J fi(x) gi(x)dx
exsen(x) - / exsen(x)dx
Resumiendo, tenemos que
/ e sen(x) = - excos(x) + J excos(x)dx
*= - excos(x) + exsen(x) - / exsen(x)dx
de tal forma que
2 J exsen(x)dx = ex(sen(x) - cos(x)) y por tanto
r X e X
j e sen(x)dx = -^ (sen(x) - cos(x))
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57.
Problemas
1. Encuentre la antiderivada más general de las siguientes
funciones:
i) f Cxi = 3/x + l//x CSol: 2x3/2 + 2¿x + C)
(sol: 4 x5/2 „ 2 x3/2 + 6xl/2 +5 T5
iii) f (x) = 5/32x* (Sol: - x 9 / 5 + C)
iv) f (x) = ^ll^. (Sol: x + | 2 + | 3 + C)
2. Encuentre la función f que satisfaga las propiedades
que se mencionan
i) f (x) = 12x2 - 6x +1 y f (1) = 5
(Sol: f(x) = 4x3 -3x2 + x + 3)
ii) f1" (x) = 6x , f"(0) = 2 , f'(0) = - 1 , f(0) = 4
(Sol: f(x) = j + x2 - x + 4)
3. Una pelota rueda cuesta abajo sobre un plano inclinado con
una aceleración de 50 cm/seg2 . Si no se le imprime velo-
cidad inicial a la pelota, ¿qué distancia recorrerá en t
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58.
segundos? ¿Qué velocidad inicial habría que dar a la pelo
ta para que rodara 2 5m en 9 segundos?
(Sol. s.Ct) = 25t2, s'(0) = -—• cm/seg)
4. ¿Qué aceleración constante debe imprimirse a un automóvil
que viaje a 100 km/h para detenerlo en 10 segundos?
(Sol: - 10 — >
5. Suponga que la pendiente de la recta tangente en cualquier
punto P de la gráfica de una función f es igual al cua
drado de la abscisa de P . Encuentre la función f su-
poniendo que la gráfica contiene a :
x3
i) el origen (sol: f(x) = j)
ii) el punto (3,6) (Sol: f(x) - j - 3 )
iii) el punto (-1,1) (Sol: f(x) = j + 4/3)
6. Encuentre las siguientes integrales indefinidas por el m£
todo de integración por partes
X
LJL (Sol: 1 (l-6X)1/2(26X-5) + C)
n+1iii) J xnln(x)dx ; n^-1 (Sol: ^ (ln(x) - J—J + O
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5 9 .
±v\ ¡ xarctang (.x) dx (Sol: j [(x2+l) arctan(x) - x] + C)
v) / In(x2+l)dx (Sol: xln(x2+l) - 2x + 2 arctan(x) + C)
vi) j ±ii^¿- dx (Sol: f (ln(x))2 + C)
f o X 2 X 1
vii) J xcosz(x)dx (Sol: T + -j sen2x + ^ cos2x)
/ i i i ) / In(x+(l+x2)1/2)dx (Sol: xln(x + (l+x2)1 / 2) - (l+x2)x /* + C)
x arcsen(x)( S o l : _ {1^)l/2axcaea(x) + x + c )
x) J x arctan((x2-l)1/2)dx (Sol: | arctan
xi) / sen(x) ln(cos(x))dx (Sol: eos (x) (l-ln(cos (x)) + C)
2 2
xii) / x3e~x dx (Sol: - e/^~x (x2+l) + C)
dx (Sol: (x2+l)1 / 2(x2 - 2/3) + C)
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60.
Integración de fracciones racionales
1) Calcular el área de la región limitada por la curva
y = (x-1) (x2-5x+6f f el eje x y las rectas x = 4
y x = 6
Solución
El área corresponde a la integral siguiente
6í x-1
dx
hagamos
x-1 _ x-1 _ A Bx2-5x+6 "" (x-2) (x-3) x-2 (x-3)
entonces x - 1 = A(x-3) + B(x-2) ; para x = 3
tenemos 2 = B
Para x = 2
1 = - A o sea A = - 1
por lo tanto podemos escribir
x-1 _ _1_ _2_x*-5x+6 "" " x-2 x-3
y entonces:
(xX-5x+F)dx = ~ J6
+ 21n|x-3
4
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61.
= - lnl6-2 I + ln|4-2 +2 ln|6-3| - ln|4-3| *
= - ln 4 + ln 2 + 2 ln 3 - ln 1 =
ln|2»32| - ln| 4 • 11 = ln|- -¡ = ln | unidades cuadradas
2. Calcular ' dx
(3x+2)s
Solución
hacemos u = 3x+2 entonces du = 3 dx y dx =
Substituyendo en la integral
u"5 du = 1 u ^3 T 4
= ( u = ^(3x+2) 5 I 3 T -4 12(3x+2)
3* I (ax+b)n S i n ^ ! ' hagamos:
u = ax+b du = adx = dx = —a
í dx [ -n du = 1 u1"11 (ax+b)1"11
J (ax+b)n J a a 1-n u a (1-n)
Si n = 1 entonces
= i. ln|ax+b| + Cax+b a
a(1-n)dx
(ax+b)n
(ax+b)1"11 ^ n+ C ; sx n
I lnIax+bI + C ; si n = 1
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62.
4. Calcular dx
Solución:
Consideremos e l denominador x2+4x+13 observamos que e l discriminante
42-4(l)(13) es un número negativo, así que x2+4x+13
es irreducible y completemos el trinomio cuadrado perfe£
to:
x2+4x+13 = x2+4x+2 +13-2
= (x+2)2+9
por lo tanto:
f fx = í dxJ x*+4x+13 J (x+2)2+9
hacemos 9u2 = (x+2)2
entonces 3u = x+2 , u - (x+2)/3
y 3du = dx
Substituyendo en la integral
3*1 _ 3 r du i tan-i u + c
x2+4x+13 911 +9 9 u*+l 3
substituyendo los valores originales tenemos
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63.
v 3
5. Calcular X3-xt-?x d x
Solución
factorizainos el denominador
x-1 x-1X 3_ X2_2 X X(X"2)
Podemos escribir la ecuación como sigue:
x-1 A B C~— "•"" "i / «•* \ "T*xá-x2-2x x (x-2) (x+1) "
entonces
x-I = A (x-2) (x+1) + B x(x+l) + C x(x-2)
Esta ecuación es una identidad para todos los valores de
x y deseamos encontrar los valores de A,B y C.
Cuando x = 0 tenemos
- 1 = - 2A => A = I
Para x = 2
1 = 6B - * B = ¿
Para x = - 1
- 2 = 3 C = í > C = - |
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64.
Sustituyendo éstos yalores en la ecuación 1 tenemos:
1 1 -2
x*-x2-2x"* x + x^I + x+T a s í q u e P ° d e m o s escribir la inte-
gral como:
í x-1 - _ 1 í dx 1 f. dx 2«'¿.xa-óx d x 2" I x " + 6 \ x = T " 1
= | ln|x| + | ln|x-2| - | ln|x+l| + | ln C
16 ln
Cx (x-2)(x+1) *•
í (x3-l)J x2(x-2)6. Calcular 1 ..H.. "( 3dx
Solución:
El integrando lo podemos escribir como suma de fraccio-
nes parciales.
¿ (x-2) 3 " x2+ x + (x-2).s+ (x-2)2+ (x-2)
multiplicando ambos lados por x2(x-2)3
x3-l = A(x-2)3 + Bx(x-2)3 + Cx2 + Dx2 (x-2) + Ex2 (x-2)
Substituyendo x = 2 tenemos:
7 = 4C —*• C = j
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65.
al substituir x = O
- 1 = - 8A => A = ~
Substituyendo los valores obtenidos para A y C y desa
rrollando la expresión, tenemos:
3-l = |(x3-6x2+12x-8) + Bx(x3-6x2+12x-8)
+ Dx3 - 2Dx2 + Ex2 (x2-4x+4)
Agrupando términos para cada una de las potencias de x
escribimos:
X3-1 = (B+Ejx1* + (¿ - 6B + D-4E)x3 + (-y + 12B + j -2D + 4E)x2
+ (¿ - 8B)x-l
para que la expresión anterior sea válida se debe cumplir
que: B+E = 0
i - 6B+D - 4E = 1
- | + 12B + j - 2D + 4E = 0
| - 8B = 0
resolviendo obtenemos:
B - é ' D = i ' E = - éDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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66.
Por lo tanto podemos escribir
x ~ 1 _ 1 • . _ 3 _ _ • •• 7 , : • • 5 •. 3
2 (x-2} 3 8x2 16x 4U-2J.B 4(x-2}2 " 16(.x-2)
de manera que:
f x 3 - l , 1 f dx . • 3 f dx . 7 f dx , 5 f dxj xTTx^T 3 d x = 8 J 1 P + 16 j 1T + 4 j Tx^2T3+ 4 J Tx^5T2" 16
l n | x " 2
- -llx2 + 17x - 4 . 3 .~ 8x(x-2)2 "~~ + *^ ± n
xx-2
+ C
7. Calcular . ,> . • ! . . ._ , dxf x2+xJ X3-X2+X-l
Solución: Consideremos el integrando;
X2+X X2+X X2+Xx2(x-l)
Su desarrollo en fracciones parciales es de la forma;
x2+x ^ _ A Bx+Cy " x i x2+i
Determinaremos los valores de A,B y C . Multiplicando
por (x-1)(x2+l) se tiene que:
x2+x - A(x2+1) + (Bx+C)(x-1) ...(1)
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67.
Haciendo x = 1 obtenemos:
2 = 2A => A = 1
Sustituyendo A = 1 en (1) y realizando el producto in-
di cado:x2+x = x2+l + Bx2 - Bx + Cx - C
= (1+B)x2 + (C-B)x + 1-C
Comparando coeficientes:
1+B = 1
C-B = 1
1-C = 0
de manera que B = 0 y C = 1 •
Luego:
x2+x 1 1
¿be = í J x + ( dx
= ln x-11 -i- arctan + C
8. Calcular*/2
4sen9+3cos00
Solución:
Como 0 <_ 0 5 )l entonces u = tan( /2) va de 0 a 1 ,
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68.
podemos tomar:. eos 9 = j ~ 2 sen 6=3^2 y ¿6 = ffjp
y entonces escribimos
V2 1 2du
J 4sen8 + 3cos60
0
12du { 2du
8U+3-3U'' J (3u+l) (3-u)Ó
Considerando solo el integrando:
multiplicéuido por, (3u+l) (.3-u)
2 = A(3-u) + B(3u+1) ... (1)
Si u = 3 tenemos
2 = B (9+1) ==&• B = i
Por otra parte, si u = - j , se tiene que:
o 1 0 . • . 32 - T A "* A = S
Por lo tanto podemos escribir la integral como
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69.
1 1 3_2du _ f 5 J
8u+3-3u2 " J 3Ü+IclU +
O Q O
= [i ln|3u+l| - | ln|3-u|l =
(| ln 4 - | ln 2)-(| ln 1 - | ln 3)
ln 4 - ln 2 + ln 3 _ ln 65 ' ""5~
Q , 5x2+6x+17(x2+x+l)2(2-x)
Solución:
El desarrollo en fracciones parciales del integrando es
de la forma:
5x2 + 6x+17 A Bx-hD Ex+F(x z +x+ l ) 2 (2-x) 2 -x x2-fx+l (x 2 +x+l ) 2
Multiplicando por (x2+x+l)2(2-x) :
5x2+6x+17 = A(x2+x+l)2 + (Bx+D)(x2+x+l)(2-x) + (Ex+F)(2-x)
Si hacemos x = 2 , se obtiene : 49 = 49A así que
A = 1 .
Por otra parte, con A = 1 f desarrollamos los productos
indicados y agrupamos de acuerdo a las potencias de x ,DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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70.
obteniendo;
5x2+6x+17 = (l-B)x1* + (2-D+B)x3 + (3-E+B+D)x2 + (2+2E-F+2B+D)x +
+ (2F+2D+1)
Comparando coeficientes :
1 - B = 0
2 - D + B = 0
3 - E + B + D - 5
2 + 2E - F + 2B + D = 6
2F + 2D + 1 = 17
de donde se concluye que : B=lr D=3, E=2 y F=5.
Luego:
5x2+6x+17 1 . x+3 , 2x+5T +(x2+x+l)2(2-x) 2-x x2x+l (x2+x+l)2
Por lo que:
í 5x2+6x+17 ... í dx , í x+3 . . f 2x+5(x2+x+IT
Ahora bien:
Ü - - ln|2-x|
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7 1 .
x+3-—- 1 í_ j 2x+l 5_2
dxX 2 +X+l
= i In|x2+x+l| + - /I arctan Z3" + C:
2x+5(X2+X+1)2 dx =
dx(X2+X+1)2
2x+l3(x2+x+l) 3 J x2+x+lj
dx
xz+x+l+ 4 2x+l
Por lo tantio:
5x2+6x+17(x2+x+l) 2 (2-x)
•dx = ln (x2+x+l) 1/2
2-x arctan
3(X2+X+1)
Ejercicios propuestos
1.dx
x3+3x2 Sol. i ln x+3x
13x
2. x¿-4x+3¿dx Sol. ln 27
T
3. dxX2(X+1)2
Sol. 2 ln x+1x x+T + c
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72.
d94cos6+3sen6 Sol. 1+2 tanC6/2)
2 - tan(6/2)+ C
5.
1T/4
í dxl+2cosx-senx
Sol. 1 ,„, 3+2/2.j ln(—j1—)
• í Sol. 2e/*(/x-l) + C
xSo 1
8. Expresar como suma de fracciones simples
2x2+3x+lSol-...5c=T +
9. Expresar como suma de fracciones simples
5x3+llx2+6x+l Sol. 5x+6 + ^px x+1
10. Calcule 10xdx So1*10
-1) (4x2+9)Sol. ln arctan
117-52X18(4x2+9) + C
dx(X2-X)(X2-X+1)2 Sol. ln x-1
X10
arctan-l) /3
2x-l3(x2-x+l)
+ CDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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73,
Integración por substitución
dxEncontrar
Solución:
Completando el trinomio cuadrado perfecto
8+2x - x2
8 + 2x-x2 = - (x2-2x «8) = - (x2-2x+l -9)
= - [(x-l)2-32)] = 32 - (x-1)2
Substituyendo en la integral
dx ( dx
/8+2x-x2 1 /32-Cx-l)2
haciendo t = x - 1 y t = 3 sen9
dt = 3 cosG d0
tenemos:dt f 3 cosed6f dt f
J /32-t2 = J
3 r eos9 i
substituyendo el valor de 6 tenemos
dx
/32-t2x—1
= arcsen —=-- + C
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74.
í x 1 / 2Encontrar í
Solución:
hacemos x * u6 de nodo que dx = 6u5du substituyendo
la integral tenemos:
1 / 2 • u-rrr-2 6uMu
Efectuando la divisións
u5du * 6 | ( u ^ u W - 1 + ^3-) du
6 I +
pero como u * x obtenemos
í x 1 / 2 íx7 / 6 X5/6 x 1 / 2 1/6 - 1/6)
Hallar x/x+T dx
Solución:
hacemos u « /x+1 entonces u2 = x+1 así que x = u 2 - l
y dx = 2udu
substituyendo
x/Z+T dx = (u2- l ) (u) (2u)du = 2 (u '-u2) du
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75.
H-i
= 2+ c
= 2(Vx+T) x+1 1+ c
= 2(/x+T) x 25 ' 15 + C
_ 2(/x+T)3(3x-2)15
Encuentre ¿ n dxJ X "T" X
Solución:
x , 1 f 2x*TT dx = 2 xí+1 dx
haciendo t = x2+l ; dt = 2xdx y substituyendo en la ecua
ción anterior
22x
2dt _ 1
Hallar dx
Solución:
haciendo x = tan 0 ; x2
/x2+l = sec 0
= tan20 + 1 = sec26 dx = sec29d9
Sustituyendo:
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7 6 .
dx = í J££4 sec2ed0 = Í 5SSl| de
J tan 0 J tan 9
substituyendo sec26 = 1 + tan29 tenemos
f /xz+1 , _ í sec3e , _ f sec9(H-tan26) ,A _ í sec 6 ,ñJ " i r - d x " J tiíTe d " J —tSn~T5 de " J tlKT de +
( sec6tan26 ,Q _ f 1 d6 [ 1 sen6 ,fiJ tan 6 J cose sen9 J cose cose
haciendo t = cose , dt = - sene de para la segunda in
tegral:
í /72+T í f lx dx = cscede | 2 dt
= ln|esc9-cote| + £ + C
= ínlcsce-cotel + - i r + c
Sustituyendo por la variable original : 6 = arctan x
dx = lnI esc(arctan x) - cot(arctan x) 1 +eos(arctan x)
dx1. Encontrar I /^z^2 S Q 1 > a r c g e n fx-2x + Q
2. Encontrar x3/4-x2dx
I rj— "13. Encontrar I n dx Sol. -/4-x2 -3 sen { 1 + C
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77 .
4. Encontrar dx Sol. x - 2/x + C
5. Encontrar Sol . - + C
6. Encuentre Sol. (3+2x2)/x2^1 / o., 3+ C2 7x
7. Encuentre j x5dx
8. Encuentredx
gol .
í dx
9. Encuentre i+/~O
(2x5+3x2)dx10. Encontrar I+2x
Sol .3 / 2
15x'*-48x2+1281 + C
+ ifi. ln (v^c-2) (yx+4 - 2/2 )
C^c+2)
S o l . 4 - 2 l n 3
Sol. -i /T+2x3 (2x3+9) + C
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78.
Integrales impropias
dx1. Investigar si la integral diverge
Solución:dx c dx
Ó "*°° O
hacemos u = x - 2 entonces du = dx substituyendo
/-dulím y- « límt->-°° A t->-°°
f ui
~1/3du = lím || uI2
2 / 3]
= lím i (x-; = llm0
= lím |-[V(t-2)2-3/4t->oo ¿ L
Í dxCorao lím V(t-2) 2 = + °° / l a integral 3/—5- diverge.
t->°° J ^
Discutir la convergencia de las siguientes integrales impro^
pias:
1
dx2.
Solución:
1-tdx 1-t
= liradx
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lím í-2(l-x)t-+0+L
1 / 2 l1- t
= - lím
= 2
3. ln x dx = lím dx
u = ln x dv =dxx
j dxdu = —x v = ln x
-^ dx = ln x ln x - I ln x —X J X
2 I — dx = (ln x) 2 + CI —J x
| ^ d x = (ln_2£)2+ c
Entonces:
7 9 .
Evaluemos primero la integral indefinida i n . x dx
Integrando por partes:
límt-x»
ln x dx = lira (ln x) \ [= l í m | [ ( l n t ) 2 - ( ln i) ' ]
= l í m j ( l n t ) 2
= + 00
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80.
Por lo tanto | ^ x dx diverge.x
• í4. | x sen x dx
Ó
x sen x dx = lím x sen x dx = lím
Jsen x.- x eos x
= lím |sent - tcost - sen(0) + 0(cos0)
= lím (sent - tcost)
Como lím (sent - tcost) no existe,Í
I x sen x dx diverge-
5.i sen x
Analizar la convergencia de la integral 5— dx
Solución:
Sabemos que sen x
Ahora bien:
dxX^ = lím
12
Luego, la integral sen x dx es convergente y por
tanto la integral original también converge.
6. Calculardx
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81
Solución:2fi xV
dx
x^l = £Jj
= lirat->l
= l ímt+1
= sec
2r
r
sec"
[sec"
"I2 =
dx
^ 1 =
2
1 - 1 1
2 - sec t]
TF/3
7.
00
dxU+273
Ó
Solución:
dx•3
= l£ í L
1.8
Ejercicios
Discutir la convergencia de las siguientes integrales im-
propias:
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82.
1. I ;& Sol: 21ooo( dx
T Sol:
• \ k
oo
" a x
3. I =-=5— dx Sol: ln(l+ct) (a>-l)0 x e
Ldx
4. j ^ Sol: diverge-1
+ 0O
># J x*+4x+9— 00
dx n n IISol: —
/5-oo
6. e"lx'dx Sol: 2— 00
7. Averigüe si las siguientes integrales son convergentes:
2í dxa) j-—-- Sol: diverge
1+ oo
b) [ S e^ X dx Sol: converge
8. Determine un valor de n para el cual la integral impropia:+ 0O
(-XT ~ 2~*2T~)dx es convergente y evalúe la integral para(-XT
este valor de n .
Sol: n = ^ ; j ln jg
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EJERCICIOS DE COORDENADAS POLARES
Ejemplo 1 : Ubicar los puntos cuyas coordenadas polares son:
a) Pi(4,J)
b) Q( ~
c) R(5,-7T
a)
Solución:
Para localizar el punto P (4,5-) , toma
mos un segmento tal que uno de sus ex-
tremos coincide con el polo y el otro
extremo con el punto PJ sobre el eje
polar, este segmento de longitud de 4
unidades. Luego lo giramos en sentido
positivo un ángulo de j radianes con el
extremo en el polo fijo.
Localizamos primero el punto
= P(.3,y)
,- ~
como en a) y al reflejarlo con respecto
al polo encontramos a Q(-3,-~) , nótese
que ^1 lugar geométrico que ocupa este
punto, coincide con el del punto que
tiene coordenadas (3, -)
QO, ^
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8 4 .
c)
P a r a l o c a l i z a r e l p u n t o R ( 5 , - ~) , l oo
hacemos como en a) sólo que tomando el
ángulo en el mismo sentido de las mane
cillas del reloj, - 7- radianes.
R(5, - £)
Ejemplo 2 : Dadas las coordenadas polares de un punto, encontrar
las coordenadas cartesianas del mismo punto.
b) (-2, 30°).a) (2, %
Solución:
Si (x,y) son las coordenadas cartesianas de un punto, éstas es-
tan relacionadas con las coordenadas polares del mismo, de la si-
guiente manera:
x = r eos 9; y = r sen 9
Por lo que:
a) (x,y) = (r eos 9, r sen 6 ) =
= (2 eos3TT
, 2 sen
(-/2 , /2 )
/22
(x,y) = (-
b) (x,y) = (-2 eos 30°, -2 sen 30°) =
= (-/J, -1). (x,y) = (-/I, -1) .
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85.
Ejemplo 3 : Dadas las coordenadas cartesianas de un punto, (3,5),
encontrar las coordenadas polares del mismo.
Solución:
Como r = /x2 + y2 y 9 = are tan 2Lx
Se tiene que r =
= /34 .
y 0 = arctan | -
t 59(/34 / i o" ) son las coordenadas polares del punto
Ejemplo 4 : Hallar la ecuación en coordenadas polares que corres-
ponde a la ecuación x2 + y2 - 4x = 0 en coordenadas polares.
Solución:
Por las relaciones x = r eos 9, y = r sen 9 que existen entre
los dos sistemas coordenados, la ecuación cartesiana
x2 + y2 - 4x = 0 se convierte en:
r2cos29 + r2sen29 - 4 r eos 9 = 0 <=>
r2(cos26 +' sen20) - 4 r eos 9 = 0 <=>
r2 - 4 r eos 9 = 0 pues, eos29 + sen29 = 1 .
y, r(r - 4 cos9) = 0 <==> r = 0 ó r - 4 eos 9 = 0
.*. r = 0 ó r = 4 eos 0, pero cuando 9 = j ,
entonces r = 0 , de modo que la ecuación en coordenadas polares
estará dada por: r = 4 eos 9 .
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86.
Ejemplo 5 : Dada la ecuación r(2-cos6) = 2 en coordenadas po-
lares, hallar la ecuación en coordenadas cartesianas.
Solución:
Puesto que r = /x^+y2 y eos 6 =
Tenemos que r(2-cos6) = 2
xT (2 - —±— ) = 2x2+y
2 /x2+y2 - x = 2
2 /x2+y2 = x + 2
4(x2+y2) = (x+2)2
Luego la ecuación en coordenadas cartesianas es:
16
Ejercicios
1. Ubicar los puntos cuyas coordenadas polares son:
a) (-1,0) ; b) (4, - 1 ) ; c) (-3, ^ ) ; f) (-4,
g) (-3, -7T) .
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87.
a) b)
(-1,0)0
c)
g)
f)
2. A continuación se dan varios puntos representados con coordena-
das polares, encuentre sus coordenadas cartesianas auxiliándose
con un dibujo.
a) (2, j
d) (4, £)
f) (2,TT)
b) (3, - J)
c) (./3, ) d) (4, 1)
e) (3,-y-)
g) (1,0)
Soluciones:
a) (0,2) b) (0,-3)
c) (- j,^) d) (2/3, 2)
d) (2/3, 2) e) (- ^ ,
f) (-2,0) g) (1,0)
h) (-2, ir) i) (2, "/2) h) (2,0) i) (-1,0)
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88.
j) í-l,--y-) k) (2,-lj-) j) (/I, -1) k) (2, -2/3)
1) (-1, - j) m) (O, -ir) 1) (1^1,-^?} m) (0,0)
3. A continuación se dan varios puntos representados con coorde-
nadas cartesianas, encuentre sus coordenadas polares auxiliar^
dose con un dibujo:
Soluciones:
a) (0, |) i) (-2,2) a) (i , J) i) (2/2, f.)
b) (-/3, 1) j) (3,-3) b) (2, ^ ) j) (3/2, - J)
c) (1,-/1) k) (-/3,1) c) (2, ^L) k) (2, 2£)
d) (3,3) 1) (2/3,2) d) (3/2, |) 1) (4, £)
e) (0,4) m) (2,2/3) e) (4, J) m) (4, ^)
f) (-l,/3) f) (2, Zj-)
g) (0,-1) g) (1,- J)
h) (2,0) h) (2,0)
4. Se da una ecuación en coordenadas cartesianas. Hallar para
cada una, la ecuación en coordenadas polares que describe la
misma gráfica.
Soluciones:
a) x = - 2 a) r eos 9 = - 2
b) x - y = 0 b) 9 = ~
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89.
c) 2x + y/2 = Q
d) xy = 4
e) x2 + y2 + 2x - 4y = O
f) x2 + y2 + 2x + 6y = O
g) (x2 + y 2 ) 2 = 4(x2 - y2) g) r2 = 4 eos 2
h) x3 + y3 - 3axy = 0
c) r(2 eos 0 + /2 sen G) = 4
d) r2sen 20 = 8
e) r + 2 eos 6 - 4 sen 0 = 0
f) r + 2 eos 9 + 6 sen 6 = 0
h) r = 3a sen 292 (sen3 0 + eos3 0)
5. Encuentre una ecuación polinómica en coordenadas cartesianas
cuya gráfica contenga a cada ecuación dada en coordenadas po^
lares. Discuta las posibles soluciones extrañas.
a) r = 7
b) r = 3 eos 6
c) r eos 6 = 5
d) r eos (6 - j) = 2
e) r2cos 2 6 = 4
f) r2 = sen 2
g) r = 2 sec 6 tan 0
Soluciones:
a) x2 + y2 = 49
b) x2 + y2 - 3x = 0
c) x = 5
d) x+y = 2/7
e) x2 - y2 = 4
f) (x2 + y2) 2= 2xy
g) x2 = 2y
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90
h) r(l-2 eos 9) = 2 h) 3x2 - y2 + 8x + 4 = 0
i) r = a sen(3 6) i) (x2+y2)2 = a(3x2y-y3)
j) r = 1-2 sen 9 j) (x2+y2+2y)2 = x2+y2
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91.
GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES
Supongamos que r y 9 están relacionados por una ecuación
r = f (9) • Definimos la gráfica de una ecuación en coordena-
das polares (r,9) como el conjunto de todos los puntos P
que tienen por lo menos un par de qoordenadas polares (r,6)
que satisfacen la ecuación dada.
Ejemplo 6. Trace la gráfica de la ecuación dada.
r = 3 eos 2 6 .
Solución:
Primero veamos si la gráfica es simétrica con respecto al eje
polar, la recta 5- o el polo.
Simetría con respecto ál eje polar. Para esto sustituyamos las
coordenadas (r#9) por (r,-9) en la ecuación r = 3 eos 2 9
r = 3 eos 2(-9); = 3 eos(-29) = 3 eos 29 .
La ecuación no cambia, por lo tanto la gráfica ess simétrica con
respecto al eje polar.
Simetría con respecto a la recta y .Sustituyamos las coordena
das (r,9) por (r, TT-9) en la ecuación.
r = 3 eos 2(TT-9) = 3 COS(2TT-29) = 3(cas 2TT eos 2 6+ sen 2TT sen 2 9]
= 3 eos 29 . Y, entonces la gráfica es simétrica con respecto a
la recta y
Simetría con respecto al polo. Nuevamente las coordenadas (r,9)
de la ecuación las sustituimos por (r, TT+9) .
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9 2 .
r = 3 e o s 2 ( T T + 9 ) = 3 C O S ( 2 T T + 2 0 ) = 3 [ e o s 2TT eos 28 - s e n 2ir s e n 2 6 ]
= 3 eos 2 9
Así que la gráfica es simétrica con respecto al polo.
NOTA 1 . Se puede demostrar - hágalo como ejercicio - que si una
gráfica cumple con dos de las simetrías de las tres antes menciona
das aquí entonces cumple con la simetría restante. En este ejem-
plo, dado que se encontró simetría con respecto al eje polar y con
respecto al polo, se sigue de inmediato que la gráfica es simétri-
ca con respecto a la recta i .
A continuación tabulamos algunos puntos de la gráfica.
e
2 6
r
0
0
3
V2
Ve
2 . 6
Ve
V3
1 .5
V4
V2
0
V3
2V3
- 1 . 5
5TT
1 2
5_IL6
- 2 . 6
V2
- 3
Con esta tabulación podemos hacer la siguiente parte de la gráfica,
A la parte de la gráfica de la
Fig. 1 aplicando las simetrías
se completa a la de la Fig. 2.
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93.
FIG. 2
En general la gráfica de una ecuación de la forma r = a eos n 0
ó r = a sen n 6 es una rosa de n hojas si n es impar y
2n hojas si n es par.
Ejemplo 7 : Trace la gráfica de la ecuación dada.
r = 3 + 3 eos 9 .
Solución:
SIMETRÍAS:
Con respecto al eje polar, sustituimos (r,9) por (ri-8)
r = 3 + 3 eos (-6) = 3 + 3 eos 9. Luego la gráfica es simétri^
ca con respecto al eje polar.
Con respecto a la recta y , sustituimos (r,9) por (r,Tr-0).
r = 3 + 3 COS(TT-9) = 3 + 3 (COSTTCOS9 + seniTsen9) = 3 - 3 cos0 .
Por lo tanto la gráfica no es simétrica con respecto a la re£
ta y . Con respecto al polo, suponiendo que lo fuera, enton
ees como con respecto al eje polar hay simetría, la habría con
respecto a la recta ~ , io cual no puede ser. Por lo tanto
no es simétrica con respecto al polo. A continuación damos una
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94 .
tabulación para algunos valores del ángulo 6 con 0 <_ 9 <_ TI.
0
r
0
6
TT
6
5 . 6
TT
1
4 . 5
Tí
2
3
2TT
3
1.5
5 TT6
0 . 4
TT
0
La gráfica obtenida a partir de los puntos tabulados se muestra
en el siguiente párrafo con línea continua:
Tí/2
7Í/3
57T/6 TT/6
Dado que esta gráfica es simétrica con respecto al eje polar,
la otra parte se puede dibujar sin necesidad de volver a tabu-
lar, esta parte es la que esta punteada en el dibujo anterior.
Generalmente a las gráficas de este tipo se les llama cardioi-
des, su ecuación es de la forma:
r = a(l ± eos 6) o bien
r = a(l ± sen 0) donde aelR
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95.
El procedimiento para dibujar estas gráficas es similar al que
hemos desarrollado en este ejemplo•
Ejemplo 8 : Trazar la gráfica de la ecuación dada
r = 2 - 3 sen 9
Solución:
Analicemos las posibles simetrías.
Con respecto al eje polar, las coordenadas (r,6) las sustituí^
mos por (r,-9) en la ecuación r = 2 - 3 sen 9
r = 2 - 3 sen (-9)
= 2 + 3 sen 9
o bien las coordenadas (r,9) por {^r,i\-Q)
- r =. 2 - 3 | sen (TT-6) ] = 2 - 3 [sen TT eos 9 - eos TT sen 9 J
= 2 - 3 [0 eos 9 - (-1) sen 9 ] = 2 - 3 sen 9
- r = 2 - 3 sen 9
r = - 2 + 3 sen 9
Luego, no es simétrica con respecto al eje polar. Con respec-
TT
to al eje y , las coordenadas (r,9) las sustituimos por
(r,7T-9)
r = 2 - 3 sen (TT-9)
= 2 - 3 [sen TT eos 9 - eos TT sen 9 ]
= 2 - 3 sen 9
Así que es simétrica respecto al eje yNo puede haber simetría con respecto al polo, pues si la hubierade acuerdo a la nota 1 del ejemplo 5 habría simetría con respec-
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to al eje polar, lo cual no puede ser.
96.
TíEn seguida tabulamos algunos puntos para - y ± e </ T
r = 2 - 3 sen 6 .
e
r
TT
" 2
5
TT
" "3
4 . 6
TT
6"
3 . 5
0
2
TI
6"
0 . 5
TT
3
- 0 . 6
TT
2
- 1
La parte de la gráfica que se puede hacer con estos puntos se
muestra a continuación
dado que es simétrica con respecto al eje y , la otra parte
la obtenemos reflejándola con respecto a este eje, obteniendo:
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97.
A esta gráfica se le llama caracol o limazón. Si la ecuación
tiene la forma r = a + b eos 0 ó r = a + b sen 6 donde
a < b , la gráfica presenta un riso como en el ejemplo ante-
rior.
Ejemplo 9 : Trace la gráfica de la ecuación dada
r = 3 - 4 eos 0
Solución:
Analizamos las simetrías;
Con respecto al eje polar; para esto, sustituimos las coordena-
das (r,6) por (r,-6)
r = 3 - 4 cos(-0) = 3 - 4 eos 0
.*. la gráfica es simétrica con respecto al eje polar.
Con respecto al eje ^ . Hacemos la sustitución de (r,8) por
(r,TT-0)
r = 3 - 4 eos (TT-0)
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98.
= 3 - 4 [eos TT eos 0 + sen TT sen 9 ]
= 3 + 4 eos 0
o bien (r/0) por (-r,-0), coordenadas que también alteran
la ecuación. Por lo tanto no hay simetría con respecto a la
2L2recta ~ , y, por consiguiente tampoco con respecto al polo.
La única simetría que tiene es con respecto al eje polar por
ello tabularemos algunos valores de 9 entre 0 y TT .
r = 3 - 4 eos 0
0
r
0
- 1
TT
6"
- 0 . 4 6
I
1
2
3
2TT
~T
5
6
6.46
TT
7
La gráfica es la siguiente.
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99.
Dado que la gráfica es simétrica respecto al eje polar, la par
te punteada es obtenida al reflejar con respecto al eje polar
la porción de gráfica que dibujamos con los puntos tabulados.
Ejemplo 10 : Trace la gráfica de la ecuación dada
r = 4 - 3 eos 9
Solución:
Analicemos las simetrías;
Con respecto al eje polar. Sustituimos (r,0) por (r,-6)
r = 4 - -3 eos (-9)
= 4 - 3 eos 0
por lo tanto la gráfica es simétrica con respecto al eje polar.
Simetría respecto al eje j . Sustituimos (r,9) por (r,7T-9)
r = 4 - 3 eos (TT-9) =
= 4 - 3 [eos TT eos 9 + sen n sen 0 ]
= 4 + 3 eos 9
o bien (r,9) por (-r,-9)
- r = 4 - 3 eos (-0)
- r = 4 - 3 eos 9
Luego, la gráfica no es simétrica con respecto al eje y
tampoco con respecto al polo.
A continuación tabulamos algunos valores de 9 tales que
0 < 0 < TT
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100.
e
r
0
1
TT
6
1.40
TT
1
2 . 5
7
4
2TT
T
5 . 5
5TT
6
6 . 6
n
7
A continuación se presenta la gráfica
La parte punteada corresponde a la reflexión de la parte de la
gráfica que queda por arriba del eje polar, de la cual tabula-
mos algunos puntos. Esto se hizo porque la gráfica es simétri^
ca con respecto al eje polar. Las gráficas de esta forma se -
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101.
llaman limacones o caracoles, la diferencia con la anterior es
que no tiene el riso. Todas las gráficas de la ecuación
r = a + b eos 8 o r = a + b sen 9 con a > b tienen
esta forma.
Ejemplo 11 : Discutir la simetría y dibujar la gráfica de la
ecuación r2 = eos 2 8
Solución: (r#8) por (r,-6)
r2 = eos 2 (-6) = eos 2 8
.'. La gráfica es simétrica respecto al eje polar.
Sustituimos (r,7T-8) en lugar de (r,8) para ver la simetría
con respecto a la recta y
r2 = COS(2TT-28) = cos2 TT cos2 8 + sen2 TT sen2 8
= cos2 8
.*. es simétrica con respecto a la recta j
Como se tienen ya 2 simetrías se deben tener también la sime-
tría con respecto al polo.
Tabulemos algunos puntos (r,8) para " £ 9 £ j " 7 £ e £ "
r2 = eos 2 8
e
26
r
0
0
+ 1
TT
12
ir
6"
+ 0 .9
TT
6
TT
3~
+ 0 .7
ir
?
7T
2
0
TT
I
2TT
3
-
57T
12
5TT
6
-
TT
2
TT
-
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102.
Una parte de la gráfica se muestra a continuación, para tenerla
completa se hace tomando en cuenta las simetrías, con la parte
punteada. Queda construida la gráfica.
Ejercicios
6. Escribir la ecuación de un conjunto de puntos tales, que el
producto de sus distancias a los puntos Fi(a,0) y F2(~a,0)
sea una constante igual a a2 .
Respuesta: (x2 + y 2 ) 2 = 2a2(x2 - y2) la curva hallada
se llama lemniscata.
7. Escribir la ecuación de la lemniscata en coordenadas polares
y construir la curva
Respuesta: r2 = eos 2 0
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10 3.
8. En cada uno de los siguientes ejercicios esboce la gráfica
cuya ecuación se da con respecto a las coordenadas polares
(r,0). Haga una tabla para valores de r y 9 fácilmente cal.
culables.
Explorar cualquier simetría en la ecuación.
a) r = 2 sen
b) r = sen 3
c) r = 1 + eos
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104
d) r = 2 - sen 6
s) r = 2 (1 + 2 eos 0)
f) r = -Ó
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105
g) r =sen 9 - eos 9
h) r2 • - 9 sen 2 6
i) r = eos =•
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10 6
j) r = 1 + 2 sen 2 6
O
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10 7.
Cálculo de áreas en coordenadas polares
Sea R la región limitada por las rectas 0 = a y 0 = 3
y la curva cuya ecuación es r = f(0) donde f es continua
y no negativa en el intervalo cerrado [a,3] • Entonces si A
unidades cuadradas es el área de la región R :
35 1 I i 2 1 í
A = lím I £ f(E.) A.0 = ± i f(8) 2 d0||A||-0 i=l 2 L i J i 2 J
a
Si l a reg ión e s t á l imitada por l as r e c t a s 8 = a , 0 = 3 y
l a s dos curvas cuyas ecuac iones son r = f(8) , r = g(0) don
de f y g son con t inuas en e l i n t e r v a l o ce r rado [ot,3] y
f (9) >_ g(0) en [a , 3] y s i A unidades cuadradas es e l área
de l a r e g i ó n , en tonces :
A"||Í|H> Í
2 Ja
Ejemplo 11 : Calcular el área acotada por la curva r = 3 eos 2 0
Solución: La gráfica de la curva fue construida en el ejemplo
5.
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10 8,
TT/4
La gráfica es simétrica respecto al eje polar, la recta -r- y
el polo. Para obtener el área basta calcular la de la parte -
acotada por las rectas 6 = 0 , 6 = -j y
multiplicar el valor obtenido por ocho.
Tí
. " . A = 8 I • i [3 eos 2 6] 2 d6 =
r = 3 eos 2 6
8_2 9 cos220d9 = 36 cos22ed9 =
= 36 fl+cos49I 9
•} d9 = 18 (l+cos46) d6
[o
Tí
"4
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= 18 [I senu - O - sen 0
A = ~Y Unidades cuadradas
109.
) - 18 • J -Tí 9TT
Ejemplo 12 : Encontrar el área acotada fuera del rizo y dentro de la
cardioide
r = 3 - 4 eos 9
Solución: La gráfica fue construida en el ejemplo 9 y la
mostramos otra vez. ^/^
Como lo probamos anteriormente, esta gráfica es simétrica con
respecto al eje polar. El área que nos interesa calcular es
la que está fuera del rizo y dentro de la "cardioide11.
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110.
Esta gráfica se cruza en el eje polar . ' . r = 0 y el ángulo
0 de esta coordenada se calcula de la manera siguiente
si r = 0
0 = 3 - 4 eos 9
4 eos 0 = 3 => eos 0 = j
entonces 8 = +_ 0.23ir
El área acotada por la curva, tal que está fuera del rizo y
dentro de la cardioide esta dada por
. 23T ÍTí
A = 2 j | i (3 - 4 e o s e ) 2 d 9 - ~ (3 - 4 e o s 9 ) 2 de l0 . 2 3 T T 0
. 2 3 *
( 3 - 4 e o s 0 ) 2 d 0 - I ( 3 - 4 e o s 6 ) 2 d 6
0 . 2 3 T T 0
7T
I ( 9 - 2 4 e o s 0 + 1 6 1 + ^ Q s 2 9 ) d 0 -
0 . 2 3 T T
- 24 eos + 16 1 + CO2S 2 9) d0
Ejercicios
9. Hallar el área del campo limitado por un arco de la cicloi^
de x = a (T - sent) , y = a (1 - cost), y el eje absci-
sas. Respuesta: 3ira2
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111.
10. Hallar el área de la gráfica limitada por la hipocicloide:
x = a cos2t , y = a sen3t .
3Respuesta: p- na
11. Hallar el área total del campo limitada por la lemniscata
r2 = a2 eos 2 0Respuesta: a2
12. Calcular el área del campo limitado por un lazo de la cur-
va r = a sen 2 8 -Respuesta: -5- ira2
o
13. Calcular el área total del campo limitado por la cardioide
Respuesta: ~- TTa2r = a(l - eos 9) ^
3
14. Hallar el área del campo limitado por la curva r = a eos
_ . na2Respuesta: --r-
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1 1 2 .
APLICACIONES DE LA IiSÍTEGRAL DEFINIDA
1. Calcule el área limitada por las gráficas de
f(x) = x3-3x2+2x y g(x) = - x3+4x2-3x .
Solución:
Primero encontramos los puntos de intersección igualando
ambas ecuaciones y resolviendo la que se obtiene.
x3-3x2+2x = - x3+4x2-3x
2x3-7x2+5x = 0
x(2x-5) (x-1) = 0 < = > x = 0 ó 2x-5 = 0 6 x-1 = 0 .
Por lo tanto las gráficas se in tersec tan cuando x = Ü ,
x = 1 , x = — .
Tomemos un punto x 0 e [ 0 , l ] , digamos x0 = y , entonces
g(x0) = - Q- y f(x0) = -5- , vemos de aquí queo o
g(x0) < f(xo) y debido a que las funciones son continuas
concluimos que:
f(x) >_ g(x) en el intervalo [0, lj . Razonando de la mis_
ma manera tomamos un número real xf:\±f — \f digamos x} = 2.
xie[l, 2"] -
f(x2) = 0 y g(xx) = 2 . ". gtxj > f (xj y en tonrr
ces f(x) < g(x) en el intervalo [l> y] - A continuación
mostramos la gráfica
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113.
x
El área A que nos interesa es A = Ai+A2 , donde :
1 Í
Ai = (f(x)-g(x))dx y A2 = (g(x)-f(x))dx .
0
Luego:
íA = (2xJ-7x:
"_ 7x3 5x2
0
(-2xJ+7x -5x)dx =
\ 7x3 5 x ¿ ¡ ?
325396
unidades cuadr.
2. Encuentre el área de la región, limitada por las gráficas de
y = x2, x = y3 y x+y = 2 .
Solución:
Sean F(x) = 2 - x
G(x) = x2
H(x) = xaDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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Calculamos los puntos de intersección:
a) para G(x) y H(x)
x* =, x+'«> (x2) 3 - (xi) 3
Luego x6 - x = 0 = x(x5-l) = 0
> x6 = x
x = 0 ó x = 1
b) para F(x) y G(x)
x2 =:2-x <=^> x2+x-2=0 <==> (x+2) (x-1) = 0
» # . x ~ - 2 6 •• x = 1 .
c) para P (x) y H(x) , tenemos:
2~x « xT <==> x = (2-x) 3 <==> x =f - x3 + 6x2-12x 4- 8
< = > (x-1). (-x2+5x-8) = 0 (ya que -x2+5x-8 f 0
= 0 X =
A continuación mostrarnos una gráfica de estas ecuaciones
y = G(x)
= H(x¡
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115.
El área A es:
O 1
A = Ai + A2 = (F(x)-G(x) )dx + I (F(x)-H(x) ) dx =
-2 O
r 49(2-x)-x¿|dx + (2-x-x3)dx = pr- unidades cuadradas.
12O
3. Hallar el área de la región dentro del cardiode
r = a(l + eos 9) y fuera del círculo r = a
Solución:
Calculemos los puntos de intersección de estas curvas
r = a (1 + eos 9)
r = a entonces
a = a (1 + eos 9) ; a ^ 0 = >
1 + eos 9 = 1
. # . eos 9 = 0
luego 9 = y ° 9
de intersección son:
9 Y los puntos
(a, 2") & (a, -y) .
La gráfica se muestra a continuación.
= a
= a(l + cose)
Dado que la gráfica es simé-
trica con respecto al eje
polar, basta calcular el área
sombreada.
El área total sora el (lob 1 e
do ósta.
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116.
A = 2 j [a2 (l+cos6) 2-a2] de = I (a2+2a2cos6+a2cos2e-a2) de
4. Determine el área de la región limitada por las gráficas de
y2 = 4(x-2) & y = 2(x-2) - 4
Solución:
Para encontrar los puntos de intersección, despejamos x-2
de cualesquiera de las dos ecuaciones y este valor lo sus-
tituimos en la que nos haya quedado.
De y = 2(x-2) - 4
(x-2) = Z±i
sustituyendo este valor en y = 4(x-2) se obtiene que
y2 - 2y - 8 = 0
= > (y-4)(y+2) = 0 ; luego y = 4 ó y = - 2
entonces si y = 4 , al sustituir este valor en una de las
ecuaciones se encuentra que x = 6 . Si y = - 2 entonces
x = 3 .
Por lo tanto, los puntos de intersección son:
(3,-2) & (6,4) . La gráfica de la ecuación y2 = 4(x-2)
es una parábola con eje horizontal, mientras que la de
y = 2(x-2)-4 es una recta. A continuación mostramos la
gráfica en el mismos plano.
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X / y = 2(x-2)-4
117.
= 4(x - 2)
Tomando rectángulos paralelos al eje de las x tendremos
entonces y2 = 4x-8 = > x = y .+ 8
y = 2(x-2)-4 => x = *• + 4 .
4
.'. el área es í 1"ÍY . J _ fy +8-2
+ 41 - dy = 9u:
LONGITUD DE ARCO
Recuerde que si f : [a,b] -»• IR es una función de clase
C (es decir, diferenciable y con derivada continua),
entonces la longitud del arco formado por la trayectoria
de la gráfica de f en [a,b] , está dada por
b
L = /f'(x)2+1 dx.
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118.
5. Sea y = 3x+5 , O £ x £ 2 (segmento de recta) , entonces
la longitud es ; 2
/9+1 dx = 2/TO unidades.
0
(En este ejemplo se puede comprobar geométricamentef que
la distancia entre los puntos (0,5), (2,11} es precisa-
mente 2/Tü unidades).
6. Determine la longitud del arco de la curva parametrizada
descrita por las ecuaciones paramétricas:
V = t3+l , y = 2t9/2-4 sobre [l,3]
Solución: o
Sabemos que / f ' ( t ) 2 +g"( t ) 2 dt es la longitud del ar
a
co de la curva parametrizada por x = f(t) , y = g(t)
en [a,3] .
. * . En nuestro caso tenemos:
3
L = / (3t2)2+(9t7 / 2 ) 2
dt
1
3
I t2/I+9t3 dt
1
3= ~ (l+9t3)3/2
1
_ 4
(488/6T - 10/10) unidades.
(244/5T - 5/Tff) unidadesDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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119.
7. Determine la longitud del arco de f (x) = x ' en [q- / 4]
Solución:
L = /I + J x dx = |~ ~ 2 7 u n i d a d e s -
Volumen de Sólidos de revolución
8. Obtenga el volumen del sólido generado por la rotación, ..
alrededor del eje x , de la región acotada por la para,
bola y2 = 4x y la recta y = x .
Solución:
Sean f (x) = 2/x , g(x) = x
Calculamos los puntos de intersección:
4x = x2 <=> 0 = x2 - 4x = x(x-4)
. * . x = 0 , x = 4 y los puntos de intersección
son (0,0) (4,4) .
Sea P una partición del intervalo I 0,4 i :
P : x0 = 0 < Xi < x2 < ... < x = 4 y sean:n
= 1,2,...,n)
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12 0.
La medida del volumen del anillo circular es :
AVÍ =
n£
A.X
AV. es aproximadamente el volumen reque_
rido.
nVolumen = l ím :±)z - g u ^ 2 ] AXÍ
(f (x) 2 - g(x) 2)dx
= II I (4x-x2)dx = ~ ñ
0
9. Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al
girar, alrededor de la recta x = 4 , la región limitada
por la curva x = y2 , el eje x y la recta x = 4 .
Solución: Sea f(y) = y2 f2 x=y
-2 x=4
Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando
el rectángulo genérico de la figura gire alrededor de la
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121.
recta x = 4 , se produce un disco de radio r = 4-f(£.) ,
de altura h = Ay. y por tanto de volumen A .V = 11(4-(5 .) ) 2Ay
y volúmenes de los "n"-discos, correspondientes a los
n-rectangulos genéricos es:
I A.V = I II(4-fU ))2Ay=l
x i=i x x
Note la simetría de la parábola con respecto al eje x .
Luego, el volumen pedido es :
V = lim I il(4-f(ei))2 Ay± = 2 I n(4-y2)2dy
||p| .|+0i=l O
512 „ 3
10. Calcule el volumen de la esfera generada al girar alrede-
dor del diámetro, la región encerrada por la circunferen-
cia x2 + y2 = r2
^ X'
Como en el ejemplo anterior, di-
vidamos el área mediante franjas
horizontales,; cuando él rectán-
gulo genérico de la figura gire
alrededor del eje y , se produ
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122.
ce un disco de radio v = x , altura h = Ay. y de volu
men A.V = íl (x) 2Ay . La suma de los volúmenes de los
n-discos, correspondientes a los n-rectángulos genéricos
es:
£ A .V = £ II x2 Ay y el volumen pedido es:
r r
V = 2 f n(/P^y2)2dy = 2 n í (r2-y2)dyo o
11. Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor del
eje y la región acotada por y = 1 + sen x , el eje x ,
entre x = 0 y x = 211:
Solución:
Por el método de las capas ciY
2 lindricas (o concéntricas), -
y=l+senx tenemos que:
n 211 x
211
Volumen = 211 x ( l + sen x) dx
0
2n 2Ü
Volinnen = 211 xdx + II x sen x dx
0 0
= |2i[ y I + 2 ü | - x eos x + sen x
= 4II3 - 4n2 unidades c ú b i c a s .DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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TRABAJO:
12. Calcule el trabajo efectuado para estirar un resorte desde
su longitud natural de 8 cm. hasta una longitud de 11 cm,
si sabemos que 20Kg estira el resorte y cm.b ¿
Solución: Por definición, J f(x)dx = trabajo efectuadoa
por una función con fuerza continua f, al desplazar un obje^
to desde el punto x = a hasta el punto x = b . Ahora,
para encontrar la fuerza f(x) , de acuerdo a la ley de
Hooke f (x) = kx . Sustituimos x0 = y para f (xo) = 20
y k = 404 = 20
Así, f(x) = 40x y el trabajo será3 3
W = / f (x)dx = / 40xdx = 180 kg-cm.0 0
13. Un tanque que tiene la forma de un cilindro circular rec-
to de altura 4m y radio de la base 2m. se encuentra lleno
de agua. Calcule el trabajo efectuado al bombear toda el
agua del tanque hasta un nivel de 8 metros por encima de
la parte superior del tanque.
Solución:
Sea P un partición del intervalo [0>4]
P : yo = 0 < yi < y2 < .. • < yn = 4
Sean i " 1/2/---/n
Consideremos el i-ésimo disco
de altura Ay. y volumen:
± = ¡1(2) 2Ay±
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124.
.*. El trabajo realizado al bombear el agua de este disco
es: w. = F. d. , donde F. = 1000 Av. = fuerza necesa-
ria para levantar el i-ésimo disco, d. = 12-r . = distancia' i i
que se tiene que levantar el disco.
.'. w¿ = (1000n(4)Ayi)(12-C±)
w± = 400011(12-^)Ay±
n. *. I w. es aproximadamente el trabajo realizado al va-
i=l
ciar el tanque.
Finalmente el trabajo será:
w = 4000n(12~y)dy = 16000JI kq-m.
0
Otras aplicaciones.
14. Hallar el momento Mx respecto al eje x de una placa con
densidad constante 3 encerrada por y = 0 , y = sen x
para 0 ^ x ^ : 1
Solución:
Tenemos que la masa dm = p*dA = 3 sen < dx
tomemos . = y
. * . Mx = i y dmi
Mx =
3¿
(3 sen x) dx
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125.
15. Encontrar el centro de masa de una barra de 2 metros de lar
go si la densidad en un punto a x metros del extremo iz-
quierdo de la barra es p(x) , donde p(x) = /x2+5
Solución:
Colocamos la barra en el eje x con su extremo izquierdo
en el origen. Entonces
2
x/x2+5 dx
x =° —° (Si una barra de longitud L m
dx
0
tiene su extremo izquierdo en el origen y el número p(x)
representa la densidad a x metros del origen, con p
continua en [0 , L ] , entonces el centro de masa de la barra
es:
L
x p(x)dx
Óx =
fI • p(x) dx
0
(2 2Ahora x/x^T5 dx = y (x2+5)3/2 = ~ (27-5/5) y
0 0
• x^+S" dx = 5 [~ x/x*2T5 + i- ln (, 2 + 5 + x) ]L2 2 J 0
= 3 + j ln 5
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126.
El centro de masa de la barra es :
¿ (27-5/5)x = -——= * 1.05 .
3 + | ln 5
16. Determine el momento de inercia de un disco delgado de ra
dio R y masa M con respecto a uno de sus diámetros.
Solución:
La ecuación para un disco cir
cular es x2+y2= R2
y ,
. -.y = .+ . /R2-X2
Sean y arriba = /R2-x2
y abajo = - /R2-x2
Podemos tomar una diferencial de volumen de la siguiente
manera:
dv = t(y arriba - y abajo)dx * Substituyendo en esta ecua
ción las y arriba y y abajo tenemos:
dv = 2t /R2-x2dx i donde t = espersor del disco.
El momento de inercia está definido por:
M ÍI = — rzdv sobre el volumen completo v del cuerpo.
Entonces:
T = ü 2t /R2-x2dx
Si el volumen del disco es v = entonces:
I = M2HR2t
= j 1IR
-R
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127.
17. Un punto se desplaza por una recta que será el eje de las
y . Su velocidad en el tiempo t es v(t) (en m/seg. por
ejemplo). Encontrar el desplazamiento total desde el ins-
tante t = a hasta el instante t = 3 (a<3) •
Solución:
Sea P un partición de [a#3]
P = {to=a < ti < t2 < ... < t = B)
Para cada subintervalo de tiempo [t.^^t.] , la distancia
recorrida está entre m.(t.-t. -) y M.(t.-t. -) , donde
m. , M. son respectivamente la mínima y la máxima velocidad
en, el intervalo [t. -,t. J.
Si la partición es suficientemente refinada, podemos consi^
derar que la velocidad en cada subintervalo [t.-zt.] es
v(^.) donde £.e[t.-#t.] es cualquier instante. Por --
tanto, la distancia, aproximadamente, recorrida en el i-ésjL
mo intervalo es
n\ v(^.)At. es aproximadamente la distancia re-
corrida de • t = a a t = 3
n•*. Distancia recorrida = lím Y v(£.)At.
Distancia recorrida = I v(t)dt
a
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128.
18. Encuentre el área lateral de un cilindro de altura h y
radio r .
Solución:
Recordemos que el área lateral de la superficie de revolu
ción generada al hacer girar la gráfica de f alrededor
del eje x en La'kj e s :
A lateral = 2H f(x)/1+f•(x)2dx
a
Para resolver nuestro problema, consideremos el cilindro
como la superficie obtenida al girar alrededor del eje x
la recta y = r en el intervalo [0,h]
y<
-r
y=r
h
.*. área lateral = 2H ( r/l-f (0)
o
= 2nrh. M3
19. La corriente i(t) producida por un rectificador de media
onda se encuentra dada por:
I sen2ilt
i(t) =
O si
si 0 < t £ -j T
i- T < t < T¿
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129.
| r T
La constante I es la corrien
te máxima. ¿Cuál es la carga
total que se transporta durante
un ciclo completo?
Solución:
Como i * g£ ••/ dq = idt . Entonces la carga total es la suma
de todas la* dq , es decir,
i^l i(t)dt =
0
IT co,2nt^2f S T
ITTT *
0
1/2T
0
(0)dt
20. Un cable coaxial largo está constituido por dos cilindros
conce^tricbs de radios a y b . El conducto central lleva
una oorriehte i y el conductor externo proporciona el -
camino de regreso de i . Calcular la energía almacenada
en el campo magnético para un tramo de longitud 1 de ese
cable.
Solución:
Según le ley de ampere, el cam
po magnético está dado por
2 nr
La densidad de energía u para
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130 .
B 2
puntos colocados entre los conductores es u = ~ — ,
sustituyendo el valor de B :
.2
2p7 l2lTr;" = 8ÍbT2 "
Consideremos un elemento de volumen dv formado por un
cascarón cilindrico cuyos radios $on r y r+dr con una
longitud 1 . La energía dE contenida en él es
dE = udv• 2
.*. dE = j|^_2(2IIrl)dr .
d r
La energía total almacenada será :
b bE = ü l í l 1 É£ = ^ o i 2 l í dr
j -TIT r " ¡í j ra
m (J
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131.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Encuentre el área limitada por las funciones f(x) = /x y
g(x) = x2 .
Solución: ^ .
2. Calcule el área bajo la curva en el intervalo dado:
a) y = — ; l£x£2 Solución: ln 2 *
b) y = -iy ; Kx<3 : ln 2 .X X — —
c) y = ln x ; l£x<2 : 2 l n 2~1 *
d) y2 = 1-x ; 2<y<5 : 36 u2
3. Hallar el área de la región R si
a) R está limitada por y = x2 + l, y = x a , x = 0 , x = l .
b) R está limitada por el eje yf x = 1, g(x)=x2 + l, f (x) =xl'-x3-l
c) R limitada por f(x)=x3-3x2+2x, el eje x en [0,3]
d) R está limitada por f(x)=^ +1, g(x)=-~ x* + 3 en [0,3]
e) R está limitada por sen x en f -Ií, -j-\
Solución: a) ^ ; b) -rrr ; c) -j- ; d) T /3 ; e) 5 .
4. Determine el área de la región acotada por las gráficas de
y = x3+3 , y = 2x - x2 + 3 .
Solución: -^j- .
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132.
5. Calcule la longitud de arco de las siguientes funciones en
el intervalo dado:
a) y = £3+ ¿ de x = 2 a x = 5
393Solución: -**-
b) Y = I + Ü x 3 de X ~ 2 a X = 1
79Solución:
x
c ) y = / u d u de x = 0 a x = j
0^ n . (TT+4) /ÍT+4 - 8Solución: -—~—r-^
d) x = a cos36 , y = a sen36 # 0 < 6 < r IÍ
Solución: -y-
e) x = eos t + t sen t , y = sen t - t eos t 0 £ t. <_ ~
Solución: Q-
f) x = r eos 9 , y = r sen 0 en [0, 2IT]
Solución: 2ur
Solución: 2/1
6. Calcule el volumen de un cono troncado de radios ri y
v altura h .
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133.
Solución: 27T2a*b
8. Encontrar el volumen del sólido generado cuando se gira al
rededor de la recta x = 4 , acotada por y2 = x3 , x = 4
eje x .
Solución: - 29.26
b) encontrar el volumen del sólido generado al girar alrede^
dor de la recta y = 8 la región del inciso a)
Solución: ~- TT
9. Determine el volumen del sólido generado por la rotación,
alrededor del eje x = - 4 de la región, limitada por di-
cha recta y la parábola x = 4 + 6y - 2y2
Solución: "™QZ~"
10. Calcule e l área de las siguientes regiones
a) La región encerrada por r = 2 - sen Q
9Solución: ^ TÍ
b) La región encerrada por r = 4 eos 3 0
Solución: 4TT-8
c) La región dentro de r = a y fuera de r = a(l - eos 9)
Solución: A = 2a2 - a2 ~
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134.
d) Dentro de r2 = 4 sen 2 6 y fuera de r = /2~
2Solución: 2/3 - j TÍ
e) Dentro de r = 2 sen 0 y fuera de r = senG + cos0
Solución: TT~2
f) Contenida en r = a/cos 2 6
Solución: a2
11. Un resorte tiene una longitud natural de 12 cm. Una fuer
za de 600 dinas lo comprime a 10 cm. Determine el traba-
jo realizado al comprimir dicho resorte de 12 cm. a 9 cm.
3
Solución: w = 300 xdx = 1350 joules
0
12. El volumen y la presión de cierto gas varian de acuerdo -
1 2con la ley pv * = 115 , donde las unidades de medida son
pulgadas y libras. Encuentre el trabajo realizado cuando
el gas se expande de 32 a 40 pulgadas cúbicas.
b
Solución: w = pdv = 5 75
a
i - 52
13. Una partícula se mueve a lo largo del eje x desde x = 1
hasta x = 2 de acuerdo con la ley de fuerza
F(x) = x3+2x2+6x-l. Calcular el trabajo efectuado.
173Respuesta: -y=-
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135.
14. Si un resorte de longitud natural 10 cm. requiere 15 Kg. para
estirarse hasta 11,5 cm. calcular el trabajo efectuado para -
estirarlo:
a) De 10 a 12 cm. Solución: 20 Kg-cm.
b) De 12 a 14 cm. Solución: 60 Kg-cm.
15. Un tanque cilindrico vertical de 3 m de diámetro y 5m de al-
tura está lleno de agua hasta la mitad;
calcular el trabajo efectuado para bombear el agua hasta
la parte superior del tanque.
Solución: ~-¿~-—2_üü ; w e s e l peso del agua por cada
m3 (metro cúbico).
16* Un tanque hemisférico de 2m de diámetro está lleno de agua.
Solución:
a) Calcular el trabajo efectuado para bombear el agua por
encima del tanque
Solución: w j Kg-m
b) calcular el trabajo efectuado para vaciar el tanque me-
diante un tubo de 60 cm. colocado en la parte superior
del tanque:
Solución: -jñ W7T
w peso por metro cúbico.
17. Calcule el área lateral de un cono troncado de radios rx ,
r2
Solución: TTI ( n + r2) 1 = generatriz
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136.
18. Calcule el área lateral de la superficie generada al girar
alrededor del eje y
a) la gráfica de y = x¿ en 1.0,2]
Solución: J- (17/17 - 1)o
b) la gráfica y = ¿ (x2+2)3/2 en [0,3]
99Solución: -y-
19. Encontrar e l área l a te ra l de las superficies obtenida al
girar alrededor del eje x la gráfica de
a) y = x3 en [0,1]
Solución: — [lO/To - l]
b) y = IÍIX , x = 0 , x = 2
Solución: 47Tm /mk+l
\ i o o a ac) y = / a 2 -x 2 , x = ~ J ' x = 2
Solución: 2ua2
20. Encuentre el centro de gravedad de la región acotada por
x - :y = e , x = 1 , eje x , eje y
o -, 1 e+1Solución: x = — y , y = -—-
21. Encuentre el radio de gravedad de un semicirculo de radio
a .
Solución: (0, |~ )
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Casa abierta al tiempo
137.
22. Hallar el centro de gravedad del arco del primer cuadrante
limitada por la parábola y = 4-x2
Solución: [j , -r)
23. Encuentre las coordenadas del centro de masa de la región
limitada por las parábolas x = y2 , x2 = - 8y
— 9 — 9Solución: x = F- # y = - -TQ-
24. Calcule el centro de gravedad (x,0) del sólido generado
por la rotación de la región del problema 22 alrededor del
eje x .
Solución: x = -g-
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138,
Ecuaciones Diferenciales
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
Variables separables:
1, -T^ = ky (ley de crecimiento o decrecimiento) k = cteQ.X
Solución: La ecuación es de variables separables
separando las variables tenemos:
y
Integramos:
dx 2
dy = kydx
& = kdx
**<í f " í. * . ln y = kx+Ci Ci = constante
Aplicamos exponencial y tenemos:
ln ye = e
y = ce , donde c = eCl
ÉL = (x3+x2)ydx " x2(y3+2y)
Solución: Primero simplificamos
- (x3+x2)y = _ x2 (x+1) y = _ x+1
x2(y3+2y) ~ x2(y2+2)y
Luego:
dx y2+2DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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5 9 .
Separando variables:
(y -1-2) dy = - ix+Udx
Integrando:
^ + ¿y - ^ - x + c es la soluc, 61
- e ^ ^ d y = u
Solución: la ecuación es nuevaraente de variables separa-
b l e s : x+2y 2x-ye 7dx - e Jdy = 0
i 2x .
x 2y e , _ ^ , . v 2xe e dx - — - dy = 0 . Dividimos por e *v :x ¿\ 2x,
e e d x _ e dy . „\y 2x y 2y 2x
~ x , - )y , , ^t d x - e y a v - 0 . l n t e c i i a r a - f t - i ' - m o b :
e dx -
- e • ^ ..» - J e^ i a s lu
Soljcion: Separamos las variabLcs:
- — d x + -T-^-T dy = 0 . I n t e g r a l - . * u ñ e m o s
— d x + ' > i dy c •x y ^ - 1 y
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Casa abierta al tiempo
140.
. • . % x2 + ln|x| + | In|y2-l| = c
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
5. (x+3y)dx + xdy = 0
Solución: Sean M(x,y) = x+3y N(x,y) = x
Como M y N son funciones homogéneas del mismo grado (gra
do uno), la ecuación diferencial es homogénea. Sea y = xv,
de manera que:
dy = vdx + xdv
Sustituyendo en la ecuación original
(x+3xv)dx + x(vdx + xdv) = 0
(l+4v)dx + xdv = 0
dxX
í dxX
dvl+4v
í dvl+4v
ln x = - j ln| l+4v| 4- c
ln x(l+4v) 1 / 4 = c
. # . x1* (l+4yx""1) = c1 (c1 = ev
6. 3ydx + (x+2y)dy = 0 .
Solución:Esta ecuación es homogénea. En este caso conviene
hacer la sustitución x = vy . Entonces:
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dx =• vdy + ydv
Sustituyendo en la ecuación original tenemos:
3y(vdy + ydv) + (vy + 2y)dy - 0
(4v+2) dy + 3ydv = 0
51 + 3dv51 +
y 2 Í2v + 1_ A
9 í dy. í dv _
2 ln y + 3 j| ln(2v+l)| = c
ln y2 + | ln(2v+l) = c
ln y2 + | l n ( — + 1) = c
ln ¡ y Mf + l)3/2{ -c
^ + 1 ) 3 / 2 = ci (cj = eC)
dj; JT
dx
Solución: Hacemos la sustitución y = ux . Entonces
= u + x ~ . Sustituimos en la ecuación original
du _ x2+x(ux)+(ux)2
u + x dx xz
Integrando tenemos:
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are tan u =- ln x + c
u = tan (ln x + c)
.*. y = ux = x tan (ln,x\ + c)
8. (3y-7x+7)dx - (3x-7y-3)dy = O
Solución: Tenemos
£ = 3y-7x+7dx 3x-7y-3 . . . . 1
Esta ecuación se puede reducir a una ecuación diferencial
homogénea mediante las sustituciones:
x = Xi + h
y = yi + h ,
Se tiene que: -3-*-1 = -5 - y sustituyendo en 1 tenemos
dxi " 3xi-7yi + T3h-11í-3) m # - "
Escogemos h#k de tal forma que la ecuación (2) sea homo
genea:
f 3k-7h+7 = 0
. 3h-7k-3 = 0
Resolviendo el sistema tenemos h = 1 , k - 0 , por lo que
x = xi + 1 , y = yi
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143.
Sustituimos en 2
_ -7xx+3yi3xi-7yi
Sea yi = uxi . Entonces
du _ -7xi+3uxi _ -7+3uU X l dx! 3xi-7uxj ~ 3-7u
du _ 7u2-7Xl dx, 3 7u"
£2± du = í dXl
y ln¡(u+1) 5(u-1) 2| = ln Xi +
Sustituimos u = %r- Y aplicamos exponencialX 1
Finalmente, como x¡ = x - 1 # y¡ = y
5/7 , 2/7' t X - l -> '
Lineales de ler. orden
9. x 5x + (x+1)y = *3 Sol: Dividimos la ecuación por x
dx x *
La ecuación 1 es lineal de leré orderi,
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144.
El factor de integración es:
dx , nx x + ln x x
e7 = e = xe
Multiplicamos 1 por xe
x dy , x . , . > 3 xxe - - + e (x+1) y = x e
Dx(xe y) = x3e Integrando tenemos:
xeXy = I x3exdx = eX(x3~3x2+6x-6) + c
.*. y = — e + x2-3x+6 - —1 x x
10. (x2+l) -^- + 4xy = x con la condición inicial
y = 1 si x = 2 .
Solución: Dividimos la ecuación por x2+l y obtenemos:
y = ^ T T . . . 1 (lineal 1? orden)
El factor de integración es :
J ^ + T dx 2 In(x2+1) In|(x2 + l ) 2 | . ,, _ 2eJ = e = e ' = (x +1)
Multiplicamos 1 por (x2+l)2
(x2+l) 4xy = (x2+l) x
Dx|(x¿+l)2y| = (xz+l) x . Integrando tenemos
jQ.X
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145.
(x2+l)2y = ¡ (x3+x)dx = j
c 1 rxr x2^
solución general de la ecuación. Para obtener la solución
particular que cumple las condiciones iniciales y * 1 ,
x = 2 , sustituimos estos valores en la solución general:
fül\ lil2 <> 4 2
c = 19
Luego la solución particular es:
19 1 x1* x2^y = (x2+l) 2 + Tv2TiT2 1J + T i
11. xy1 + y = 4x3
Solución: Como ^— (xy) = xy1 + y , tenemos
^— (xy) = 4x3 . Integrando
= J 4x3xy = 4x3dx = x"+c
(Bernoulli) y Otras:
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146.
12. y1 + y - y2ex
Solución: La ecuación es una ecuación diferencial de Ber-
noulli. Para resolverla, dividimos la ecuación por y2:
. • . y 2 y ' + y 1 = e X
— dz — "Sea z = y l . Entonces: -=— = - y 2 yf
Sustituimos en 1
dz , x-=r— 4- z = edx
dz x n
- z = - e . . . . 2 que es una ecuación
diferencial lineal de ler. orden.
i "** r~] yEl factor de integración es: eJ = e
""Xmultiplicando 2 por e tenemos:
-x dz -x -e -5— ~ e z = - 1dx
Dx|e z| = - 1 . Integrando tenemos:
e z = - x + c
x xz = - xe + ce
Finalmente como z = y L , tenemos:
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147.
xx-xe + ce
13. 2(u2 + uv)du + (u2 + v2)dv = O
Solución: Reagrupamos los términos de la siguiente forma:
2u2du + v2dv + (2uvdu + u2dv) = 0
Por inspección reconocemos que : 2uvdu + u2dv es la
diferencial de u2v y que los términos restantes son in-
tegrables. Por lo tanto, integrando la ecuación diferen-
cial; se obtiene que:
2 v3
j u3 + rr + u2v = c , o bien ,
2u3 + v3 + 3u2v = c ?
14. (x2-y)dx - xdy = 0
Solución: Reagrupando términos tenemos:
x2dx - ydx - xdy = 0
.'. x2dx - (ydx + xdy) = 0
Integramos directamente, considerando que ydx + xdy es
la diferencial de yx :
x3
- xy = c
x2 . cY = 3 t
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148.
Ejercicios Propuestos
Resolver:
1. (l+x3)dy - x2ydx = 0 con las condiciones iniciales
x = 1 , y = 2 .
(Sol. y3 = 4(l+x3)).
2.a) §- + 25 = st2 (Sol. s(t) = ce ^ - 2t)dt 3
b) con las condiciones s(0) = 1 (c = 1) .
:L3. xdy + (2y-3)dx = 0 (Sol. |3-2y| 2 = ex).
4. |Z = eX~ y (Sol. y = ln(eX+c) ).
5. (3x+l)dx + eX+Ydy = 0 (Sol. x+y = ln | 3x+4+ceX | )
r 1 dx x /n i ln x N6. ln x -T— = — (Sol. y = c x ).
7. (cos2e-sen28)dr + 2r sen9cos6d6 = 0
(Sol. r2 = c eos 20 )
8. ydx - xdy = y2dx + dy con las condiciones x=l , y=l .1/2
(Sol. ye = (x+1) (1-y2) ) .
9. x2(y2+l)dx + y/x3+l dy = 0
(Sol. 4/x^ + l + 3 In(y2 + 1) = c ).
10. xy1 + y = (xy) 3 (Sol. (xy)"2 - c-2x) .
1 1 . xy 1 - y = Sx¿ + y2 ( S o l . y + ¿ixX+^z = ex 2 )
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149.
.„ dx x-tx2 ,_ , tx12' dt = tTxt2 ( S o 1' x e = c t ) '
13. cot x - r ^ + y + 3 = 0 (Sol. y = c eos x - 3)
t14. eX (^ + 1] = 1 ; x(0) = 0
u u 1—e
15. ^ = X ^ (Sol. x2-2xy - y¿ = c)dx x+y ii'
16. x -r*- - 2y = x2 + x con y = 1 si x = 1dx
(Sol. y = x2(2+ln|x|)-x)
17. p~ + 2y = e~X (Sol. y = (eX + c) e"2x )
^ + -rír = x3 condx x2+l
1 o 17 "1/2(Sol. y = i x2(x2+l) - — (x2+l)2 + =4 (x:
19. j^ - (tanx)y = sen x con y = 1 si x = 4
(Soi. y = (5§n!i + eos 4 - SgnÜ) s e c x .t
2 0 . a) - ^ = 30 - 2lJo ( S o l . y •= 2 0 0 ( 3 0 - c e
b) Con las condiciones iniciales y = 0 , t = 0
(y = 6000 (1 - e-t/20°)
21. y1 + sen X Y = sen — ^ (Sol. ln|tan ^| = c - 2 sen —
2+y222. (a2+y2)dx + 2x/ax-x2 dy = 0
(Sol. y = a tan/ - - 1).
23. (x2y3+y+x-2)dx + (x3y2+x)dy = 0 sea , t = xy
(Sol. 3x2-12x + 2x3y3+ 6xy = c)
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150
24. (y-^x^dy = - xy dx (Sol. x¿ = y" + cy6)
25. (2x-4y)dx + (x+y-3)dy = 0 (Sol. (y-2x+3) 3 = c(y-x+l)2)
26. y '+y eos x = sen x eos x : y(0) = 1
(Sol. y = 2 e " s e n x+ sen x-1)
1 n-1
27. I <})(ax)da = n <j»-(x) (Sol. 4> (x) = ex n )
0
28. y1 - ^ - = eX ( l+x) n (Sol . y = (x+l)n (c+ex)
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151.
Aplicaciones
1. Sea k una constante positiva. Hallar la curva con la pro
piedad de que para todo punto P de la curva, la distancia
de P al punto donde la recta tangente en P intersecta al
eje y en igual a k .
Solución:
Sea y=f(x) la curva buscada. Si P = (xo,yo) es un pun-
to de la curva, entonces la ecuación de la recta tangente -
que pasa por P es :
Y " Yo = yo (x-x0) , donde yj = f'(x0)
La ordenada al origen es :
(0 , - x0 yo + yu) / así que la distancia de P a
la ordenada al origen es :
k = /x§ + (y
de donde: k2 = x] + x*(yj)2
Como (xo,yo) es un punto arbitrario sobre la curva, teñe
mos la ecuación diferencial:
k2 = x2 + x2(y1) 2
/k2-x2
y1 = +_ integrando :
( ( . X+ dy = dx
J x
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Casa abierta al tiempo
152.
-k m
2. Un paracaidista cae con una velocidad de 176 pies/seg2 cuan
do abre su paracaidas. Si la resistencia del aire es de --
~yr Ib. , donde w es el peso del hombre y su paracaidas,¿DO
obtener la velocidad en función del tiempo después de abrir
el paracaidas.
Solución:
La fuerza neta del sistema es igual al peso del sistema me-
nos la resistencia del aire, es decir:
w dv _ wv2
g dt " w "" 256
256-v
v'¿'M-2 56 = "" T" "
2 = 156' d t ' c o m o 9 = 32 pies/seg2 tenemos;
= Sabemos que si t = 0 , v = 176
tds 1
s2-256 ~ 8176 '0
de
1 ,32 ln
s-16s+16
-, 6+5e. . v = 16
176 8 'o
-4t
3. Se lanza un cohete desde una posición inicial (xo,yo) .
Con una velocidad inicial v y un ángulo 6(0<6< '/2) .
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Casa abierta al tiempo
15 3.
Encuentre las coordenadas horizontales y verticales x(t),
y(t) respectivamente como funciones del tiempo.
Suponga que no hay resistencia del aire y que la fuerza
de gravedad es constante.
Solución:
d2y _ _dt* g y(t) Á
x(t)
Si t = O , v = v0 sen 9= -r~ • Sustituyendo tenemos:
c = v0 sen 0
•# _X = - gt + vo sen 0 . Integrando nuevamente:
y(t) = ~ k gt2 + (v0 sen 9)t + d
Si t = 0 , y(0) = ci , es decir, su posición inicial y0 ,
entonces:
y(t) = " § gt2 + (v0 sen 9)t + y0
Ahora, g^- = 0
^~ = k y para t = 0 , v = v O x = v0 eos 9
—- = v0 eos 9 . Integrando una vez más:
x(t) = (v0 eos 0)t + c1
Si t = 0 , x(0) = c1 es decir, su posición inicial Xj
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Casa abierta al tiempo
154.
.'. x(t) = (vQ eos 9) t + x0
4. Un lago que contiene un millón de m3 de agua está alimenta
do por corrientes, agua de lluvia y agua pura a razón de -
3500 m3 por día. Además, diariamente llega agua de desecho
de una planta industrial recien construida a razón de 1500
m3 . El agua de desecho representa el 2% de materias noci-
vas. Cuando el nivel del material nocivo en el lago alcan-
ce 0.5% se producirá un serio desequilibrio ecológico*
¿Está amenazado el lago en un futuro cercano?
Solución:
Primero observamos que diariamente entran al lago 50 00 m3
de agua y salen otros tantos, pues la cantidad total del
agua es cte.
También, diariamente, entran en el lago (2% de 1500 m3) =
30 m3 de materias nocivas.
Sea f(t) = cantidad de material nocivo en el lago en el
tiempo t (medido en días).
Si suponemos que el agua que entra en el lago se mezcla
con el agua existente, tenemos que diario salen del lago:
f (t) = Úo f (t) V de «"ferial nocivo.
Tenemos así la ecuación diferencial:
~~"dt— = 30 - 2*()o" f ^ c o n l a c o n d i c i ° n inicial f (0) = 0
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Casa abierta al tiempo
155.
De acuerdo con el ejercicio 20 b) propuesto de la sección
anterior tenemos que la solución de esta ecuación es:
t
y = f(t) = 6000 (1 - e~ 2 0 0)
Ahora bien# se producirá un desequilibrio ecológico cuando
sea f(t) >_ (0-5% de 1000 000 m3) = 5000 m3, es decir, —
cuando:
6000 (1 - e~ 2 0 0) ^ 5000
t„ ^ - 200 ^ 1
— O
< = >
< = > t ^ 360
.*. El lago se habrá contaminado en un año aproximadamente
si no se toman las debidas precuaciones.
Ejercicios Propuestos
1. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una al-
tura inicial de 6 m. La velocidad es v = 7 - 9.8t (m/s)
¿Después de cuantos segundos llegará la pelota a tierra?
Solución: t = 2 seg. aproximadamente .
2. Un automóvil frena con aceleración constante hasta un alto.
Si el tiempo de frenado es 20 sgs. durante los que el auto-
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Casa abierta al tiempo
156 .
móvil recorre 200 m, hallar la aceleración.
Solución: A = - 1 m/seg2 .
3. Se sabe que la rapidez con la cual se forma una sustancia
química en una reacción se gobierna por la ecuación
|| = (a-x) (b-x) ,
donde x es la cantidad (masa) de la substancia que hay
en el momento t y a,b son las cantidades de algunas -
otras substancias que hay en la reacción cuando t = 0 ,
donde 0 < b < a . Cuando t = 0 , x = j (a+b).
Encuentre x como función de t .
(a-b)tsoluci6n: x = i ^ ^ r r4. La tasa de crecimiento de una población queda descrita
por la ecuación:
§| = kx + be"1
Aquí, el término be representa el efecto de la inmigra
ción, que disminuye cuando crece el tiempo t , en años,
y kx , donde k es constante positiva, describe el efec
to del crecimiento natural de las familias. Podemos consi^
derar el número x como estimación del tamaño de la pobla
ción.
a) Si b = 0 , k = 0.03 , ¿cuántos años han de transcurrir
para que la población se duplique?
Solución: 2 3 años 1 mes 7 días 18 hrs. 2 3 minutos.
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15 7.
b) Si k = 0.03, b = 10,000 , x = 500 000 cuando t = 0 ,
encuentre x cuando t = 10 años.
Solución: x(10) * 688 034.39
5. La planta del ejemplo 4 instala un equipo de purificación
que reduce la cantidad de material nocivo en el agua de -
desecho hasta 1.5% . La compañía informa entonces que el
lago ya no se encuentra amenazado con 0.5% de contamina—
ción. Demuestre que la información de la compañía está -
justificada.
Solución: Leer cuidadosamente el ejemplo 4 .
6. Se ha establecido que la velocidad de la desintegración del
radio es directamente proporcional a su masa en cada instan
te dado. Encuentre la variación de la masa del radio en -
función del tiempo, si para t = 0 la masa del radio es
nio .
„ T dm , . -ktSolución: -TT- = - km . . m = moedt
7. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas
sus normales pasan por un punto fijo, es una circunferencia,
8. Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tan
gente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del
punto de contacto, es una parábola.
9. Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en
cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la
recta que une este punto con el origen de coordenadas.
Solución: y = ex
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158.
10. Hallar la curva que tiene la propiedad de que en el segmento
de la tangente a la curva comprendido entre los ejes de coor
denadas se divide por la mitad en el punto de contacto.
Solución: c = xy ; c ^ 0 .
11. Hallar la curva para la cual la razón de segmento intercepta
do por la tangente en el eje 0Y al radio vector es una can
tidad constante.
1 1 — Ir 1 1c4~ 1
Solución: Y = ± - ( c x ± K - - xK+1)2 c
12. Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm de espesor
con la velocidad v0 = 200 m/s traspasándola con la veloci-
dad vi = 80 m/s. Suponiendo que la resistencia de la tabla
al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la
velocidad, hallar el tiempo de movimiento de la bala por la
tabla.
Vo
13. Un barco retrasa su movimiento por la acción del barco. La
velocidad inicial del barco es 10 m/s, después de 5s su
velocidad será 8 m/s.
¿Después de cuánto tiempo la velocidad se hará 1 m/s?.
51nlQSolución: t = - ln0.8
14. Determinar el camino S recorrido por un cuerpo durante el
tiempo t , si su velocidad es proporcional al trayecto, sa
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159.
hiendo que en 10 seg. el cuerpo recorre 100 m y en 15 seg.,
200 m.
Solución: s = 25 x 2
t,5
15. Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del es
pejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejar-
se, son paralelos a una dirección dada:
Solución: y2 = 2cx + c2 , una parábola.
16. Hallar en coordenadas polares la ecuación de una curva tal
que, en cada uno de sus puntos, la tangente del ángulo for
mado por el radio vector y la tangente a la curva sea igual
a la magnitud inversa del radio vector, tomada con signo -
contrario.
Solución: r(6 + c) = 1 .
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160.
VECTORES EN IR2 Y IR3
Ejemplo 1. Sean A,B y C tres puntos en el espacio y sea M
el punto medio del segmento de recta BC . Demuestre que :
AM = j (AB + AC)
Solución: Considérese la siguiente figura
observemos que CB = ÁB - ÁC y además que ÁB - AC + (AB - AC)
Como M es el punto medio del segmento CB
CM = | CB = ¿ (AB - ÁC)
y ÁM = ÁC + CM = ÁC + | CB = ÁC + | (ÁB - ÁC) =
= AC + ^ AB - y AC = y AC + y AB
ÁC + AB
2 ; •-> AC "f* Afí
Por lo t a n t o AM = ——x
Ejemplo 2. Encontrar un vector v ortogonal al vector c = (-l#0/l)
Solución: Existe una infinidad de vectores que son ortogonales
a C , procederemos a encontrar solamente uno de ellos el vector
v tiene que ser de la forma v = (Vi,v2,v3).
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161.
Por definición, V será ortogonal a C si y sólo si O V = 0
Por lo que:
C-V = (-1,0,1) (Vi,V2,V3) = 0
- Vi + 0V2 + V3 = 0
V3 = Vi
Sea Vi = 1 entonces V3 = 1 y a V2
le podemos asignar cualquier valor, por ejemplo, 1 de modo que
V = (1,1,1) es un vector ortogonal al vector C .
Ejemplo 3. Encontrar la ecuación del plano que pasa por los s.i
guientes tres puntos.
(2,1,1),(3,-1,1),(4,1,-1)
Solución: Sean Pi = (2,1,3), P2 = (3,-1,1), P3 = (4,1,-1).
buscaremos un vector n que sea perpendicular a P1P2 y P1P3.
P2-P1 = (3,-l,l)-(2,l,3) = (1,-2,-2) = PTP2
P3-PI = (4,l,-l)t(2,l,3) = (2,0,-4) = PTP 3
Sea n = (n
Se debe tener entonces que
(nx,n2,n3)•(1,-2,-2) = 0
(nifn2/n3)•(2,0,-4) = 0
<=>
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16 2
ni - 2n 2 - 2n3 = O
2rii - 4n 3 = O
Resolviendo este sistema de ecuaciones se tiene que
m = 2n3 y n = -j (n¡ - 2:n3)
Hagamos n;i =• 1 . Entonces n i = 2 y n2 = 0 . Luego:
n = (2,0,1)
y la ecuación del plano es :
(x - Pi) • n = 0
(x-2,y-l,z-3) • (2,0,1) - 0
2x + z = 7
Ejemplo 4. Encontrar un vector que sea perpendicular a
(1,2,-3) y a (2,-1,3).
Solución:
Sea (x,y,z) un vector que es perpendicular a (1,2,-3) y
(2,-1, 3) . Entonces:
(x,y,z) • (1,2,-3) = 0 <=> x+2y - 3z = ü (*)
y (x,y,z) • (2,-1, 3) = 0 <=> 2x-y + 3z = 0
sumando miembro a miembro ambas ecuaciones resulta:
3x 4- y = 0
3x = - vDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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16 3.
sea y = 3 = > x = - 1
. *. sustituyendo en (*)
- l + 6 - 3 z = 0
3z = 5 y z = |
luego para este caso el vector buscado es (-1, 3, ^) •
Cabe hacer notar que existe una infinidad de estos vectores
aquí solo escogimos uno de ellos.
Ejemplo 5. Sea P el punto (1,-1,3,1) y Q el punto
(1,1,-1,2)• Sea A el vector (1,-3,2,1)y L la recta que
pasa por P y que es paralela al vector A .
a) Dado un punto X sobre la recta L , calcular la distan
cia entre Q & X . (Como una función f de un parámetro
t ) .
b) Demostrar que hay precisamente un punto Xo sobre la rec
ta, tal que esta distancia alcanza un mínimo y que este -
mínimo es igual a
/T5"c) Demostrar que Xo - Q es perpendicular a la recta L .
Solución:
a) La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1,3,1)
y que es paralela al vector A = (1,-3,2,1) está dada por
X(t) = (1,-1,3,1) + t (1,-3,2,1) : teTR
= (t+1, -l-3t, 2t+3, t+1)
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164.
La distancia de un punto cualquiera sobre la recta al punto
0(1,1,-1,2) está dada por
f(t) = d(x(t),Q) = /(t+1-1) 2 + (-l-3t-l) 2 + (3+2t+l)2 + (l+t-2)*
= /t2+(-2-3t)2 + (4+2t)2 +
= /15t2 + 26t + 21
Luego: f(t) = /15t2 + 26t + 21 es la función que da la distan
cia de cualquier punto sobre la recta al punto Q .
30t + 26b) f'(t) =
2/15t2 + 26t + 21
f • (t*) = O <==> 30t* + 26 = O
t* = - ür 15
Ejercicio: pruebe que f"(t*) > 0
Por lo tanto, cuando t = t* la función-distancia asume un va-
lor mínimo igual a :
El punto XQ sobre la recta tal que la distancia al punto Q
es mínima :
x - r - M + i - i + Ü - 2 6 _ + 3 . M + ii0 ~ *• TF 15 ' 15 ' 15 '
f 2 8 19 _2_ ,X° " v 15- ' 5 ' T5 ' 15 J
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165.
c) X - O - í- ±2- I 11 _ 28 ,C) A ° g " í 15 ' 5 ' 15 ' 15 -'
(Xo - Q) - X ( t ) = [ - ± | f - , g r - J | J . ( t + l # - 3 t - l , 2 t + 3 ,
= 0 V teffi
Ejemplo 6. La dirección y magnitud de una fuerza están dadas por
el vector a = - i + 5j - 3k . Calcular el trabajo efectuado si
el punto de aplicación se mueve de P(4,0,-7) a Q(2,4,0) .
Solución:
El vector correspondiente a PQ = (-2,4,7) y
el vector correspondiente a a = (-1,5,-3)
El trabajo efectuado será
a«P~Q = 2 + 20 - 21 = 1
Ejemplo 7. Encuentre C tal que los vectores ii = 3i - j + ck
y b = 2ci + 3j + 4k sean ortogonales
Solución:
Si los vectores son ortogonales, entonces:
aȃ> = 0 , es decir
(3r-l,c)•(2c,3,4) = 0
6c - 3 + 4c = 0
10c - 3 = 0
c - 3/10
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166 .
Ejemplo 8. Encontrar los cosenos directores de PQ donde
P(7,-2,4) y 0(3,2,-1)
Solución:
Sea a el vector asociado a PQ , entonces a = (-4,4,-5)
Los cosenos directores de a están definidos como
eos a = — — , eos 6 = -~2 f eos y = — ~
donde | |a| | = /16+16+25 + /§7 y a = (a
por lo tanto:
-4 4 -5
eos a = y -y , eos 3 = f?rj , eos y =
Ejercicios Propuestos
1. Encuentre un vector que tenga la misma dirección que
(-6,3,0) y (a) el doble de su magnitud; (b) la mitad
de su magnitud.
Solución:
a) (-12,6,0) ; b) (-3, | , 0)
2. Demuestre que I P.P. - + P P2 es el vector cero, dondei=l x 1 + x n
P1,P2,...,P son puntos coordenados arbitrarios en un pía
no coordenado. Ilustrar este hecho para n = 3,4,5,6 .
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16 7.
3. Demuestre gráficamente que | |a+b| | <_ | |a| | +
4.
a)
¿Bajo que condiciones ||a+b| b
Dados los vectores a = (-8,-3,2) ; b = (5,-3,1)
para cada uno un valor unitario tal que :
a) tenga la misma dirección
b) tenga la dirección opuesta
Solución:
' /7T ' /Ti /35" # 35"
determine
b) V7T ' ST7 /35" ' /35 ' 35
5. Sea Vi,V2,V3 e IR3 vectores diferentes al cero que son
mutuamente perpendiculares; en otras palabras, V.#V. = 0
si i T¿ j . Sean c1#c2 /C3 números reales tales que
Vi + c2V2 + c3V3 = 0
Demuestre que Ci = c2 = C3 = 0
Sugerencia: use adecuadamente las propiedades del produc_
to escalar.
6. Sea v,w e IR3 y 6 el ángulo formado por ellos.
Si eos 9 = 1-, demostrar que v & w tienen el mismo sen-
tido. Si eos 0= - 1, demostrar que v & w tienen senti_
do opuesto.
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16 3 .
Ayuda: Si c es la componente de v a lo largo de w ,
demostrar que ¡ |v-cw|J2 = 0 , donde w = ¡
7. Para cualesquiera vectores v,w e IR3 , probar las siguien
tes relaciones.
v + w | I2 + I Iv-w| I2 = 2 I |v| I2 + 2 i |w| |2
(interprétese como la ley del paralelogramo).
b) ||v+w||¿ = ¡|v||2 + ||w||2 + 2 v w
c) ||v+w||z - I I v—w| I = 4 v w
8. Determinar el coseno de los ángulos del triángulo cuyos
vértices son:
a) (2,-1,1),(1,-3,-5),(3,-4,-4)
35 -6Solución: ^j^ , ,JT^ , 0
b) (3,1,1), (-1/2,1) , (2,-2,5)
1 -16 25Solución: •17-26 ' /17-41 ' /26*41
9. Sean u,v#w e IR3 distintos del cero. Si u»v = u*w ,
entonces demostrar mediante un ejemplo que no necesariamen_
te se tiene que v=w .
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169
10. Demostrar que si 0 es el ángulo formado por v y w ,
entonces
I I v-w¡ V w - 2 | I v í W ! C O S '•» .
11. Sean v,w vectores diferentes al vector cero, mutuamente
perpendiculares. Demostrar que para cualquier número c ,
s e t i e n e 1 I v + c w I I > v i l .
12. Sean v,w c IR:
póngase que
vectores diferentes al vector cero. Su-
v+cw > I|v|I para todo número c .
Demostrar que v,w son perpendiculares entre si.
(Sugerencia: tómese c con valor muy grande, ya sea
tivo o negativo).
13. Sean Vi,V2/V3 vectores de longitud igual a 1 en el espa
ció de tres dimensiones, mutuamente perpendiculares; esto
es v.-v. = 0 si i T¿ j . Sea v un vector IR3
y sea c. la componente de v a lo largo de V. . Sean
Xi,x2,x3 números.
Demostrar que :
v - c2V2 + c3V3 V - iVj + X 2 V 2 + X3V3)
14. Encontrar una ecuación paramétrica de la recta que pasa por:
a) (1,1,-1) y (-2,1,3) Solución: X(t) = (1,1,-1) + t(3,0,-4)
b) (-1,5,2) y (3,-4,1) Solución: X(t) = (-1,5,2) + t(-4,9,l)
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170.
15. Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular al vec
tor N y que pasa por el punto P dado.
a) N = (1,-1,3), P = (4,2,-1) Sol: x-y + 3z = - 1
b) N = (-3,-2,4), P = (2,TT,-5) Sol: 3x + 2y - 4z =-2JT + 26
c) N = (-1,0,5), P = (2,3,7) Sol: x - 5z = - 33
16. Encontrar la ecuación del plano que pasa por
a) (-2,3,-1),(2,2,3),(-4,-1,1) Sol: 7x - 8y - 9z = - 29
b) (-5,-1,2),(1,2,-1),(3,-1,2) Sol: y + z = 1
17. Sea P el punto (1,2,3,4) y Q el punto (4,3,2,1) .
Sea V el vector (1,1,1,1) . Sea L la recta que pasa
por P y que es paralela al vector V .
a) Dado un punto X sobre la recta L , calcular la distancia
entre Q y X (como una función de un parámetro t ) .
b) Demostrar que hay precisamente un punto Xo sobre la recta,
tal que esta distancia alcanza un mínimo y que este mínimo
es igual a 2/5* .
c) Demostrar que Xo-Q es perpendicular a la recta.
Solución: a) f(t) = /4t* + 20
18. Encontrar un vector que sea paralelo a la recta formada por
la intersección de los planos.
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171.
2x - y 4- z = 1
3x + y + z = 2
Solución: (-2,1,5) .
19. Encontrar el coseno del ángulo formado por los siguientes
planos.
a) x + 2y - z = 1
- x + 3 y + z = 2
4Solución:
•66
b) 2x + y + z = • 3
x - y + z = TÍ
Solución: - •=-
20. Sean P,Q puntos y n un vector, todos en IR3 . Sea P1
el punto de intersección de la recta que pasa por P , en
la dirección de n , y del plano que pasa por Q perpen
dicular a n . Definimos la distancia de P a ese plano
como la distancia que hay entre P y P1 . Demuestre que
la distancia esta dada por
I ( Q - P ) - n i
In
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