Problemas Resonantes paraEcuaciones Diferenciales
Pablo De Ná[email protected]
Universidad de Buenos Aires
Primer Encuentro Nacional de Ecuaciones Diferenciales ENED 2006
Problemas ResonantesMuchos problemas en análisis no lineal puedenescribirse en la forma:
Lx = Nx
dondeL es un operador diferencial lineal, definido enalgún espacio funcional adecuado, yN es un operadorno lineal (involucrando por lo general los términos deorden menor).Ejemplos:
x′′(t) = f(t, x(t), x′(t))
−∆u− λu = f(x, u,∇u)
con condiciones de frontera adecuadas.
El problema se llamano resonantecuando el operadorL es inversible. En este caso el problema puedereducirse a un problema de punto fijo:
x = L−1Nx
y se puede utilizar teoremas de punto fijo, o la teoríade grado de Leray-Schauder para resolverlo.Cuando el operadorL no es inversible, el problema sedenominaresonante.
Problemas ElípticosEl problema
∆u+ λu+ g(u) = f(x) en Ω ⊂ Rn
u = 0 en ∂Ω
es resonante sí y sólo siλ ∈ σD(−∆).
Cuando el problema esno resonante, y g : R → R escontinua y sublineal:
lım|u|→+∞
g(u)
u= 0
es fácil ver (utilizando el teorema de Schauder) quesiempre hay solución para todaf ∈ L2(Ω))
Si embargo, cuando el problema esresonanteesto nosucede, y es necesario introducir otras condicionespara tener existencia.
En un trabajo clásico, E. Landesman y A. Lazer(J. Math. Mech, 1970) estudiaron el caso en que lafuncióng : R → R es continua, y que tiene límites eninfinito:
g(±∞) = lımx→±∞
g(x)
Supongamos queλ = λk es un autovalor simple delLaplaciano con autofunciónϕk, y consideramos
Ω+ = x ∈ Ω : ϕk(x) > 0
Ω− = x ∈ Ω : ϕk(x) < 0
Teorema 1 (Landesman-Lazer)Si se verfica lacondición:
g(−∞)
∫
Ω+
ϕk(x)dx+ g(+∞)
∫
Ω−
ϕk(x)dx
<
∫
Ω
ϕk(x)f(x)dx
< g(+∞)
∫
Ω+
ϕk(x)dx+ g(−∞)
∫
Ω−
ϕk(x)dx
Entonces el problema elíptico resonante tiene almenos una solución débil. Si además
g(−∞) < g(x) < g(+∞), entonces dicha condiciónes necesaria para tener existencia.
Soluciones períodicas de EDOTeorema 2 Supongamos quec > 0, p ∈ C(R) es2π-periodica y queg ∈ C(R) posee límites eninfinito. Entonces, la ecuación resonante (escalar)
x+ cx+ g(x) = p(t)
admite una solución2π-periodica si
g(−∞) < p =1
2π
∫ 2π
0
p(t) < g(+∞)
Además, sig satisface que:
g(−∞) < g(x) < g(+∞) ∀ x ∈ R
es también necesaria para tener existencia.
Un ejemplo con núcleo bidimen-sionalConsideremos la ecuación ordinaria de segundo orden
x+m2x+ g(x) = p(t)
dondem > 0 es un entero yg ∈ C(R) tiene límites eninfinito. Introduzcamos los coeficientes de Fourier
am(p) =
∫ 2π
0
p(t) cos(mt) dt
bm(p) =
∫ 2π
0
p(t) sin(mt) dt
Teorema 3 (A. Lazeer y D.E. Leach,1969)Ladesigualdad
√
am(p)2 + bm(p)2 < 2 |g(+∞) − g(−∞)|
es suficiente para la existencia de soluciones2π-periodicas. Además , sig satisface que
g(−∞) < g(s) < g(+∞), entonces también es unacondición necesaria.
Un problema de ordenNConsideramos ahora el problema de ordenN
Lx+ g(x, x′, . . . , x(N−2)) = p(t)
Lx = x(N) + aN−1x(N−1) + . . .+ a0x
bajo condiciones periódicas
x(0) = x(2π)
x′(0) = x′(2π)
. . .
x(N−1)(0) = x(N−1)(2π)
siendog continua y acotada.
Asumimos queL es un operador resonante. Entoncesel polinomio:
P (λ) = λN + aN−1λN−1 + . . .+ a0
admite exactamente dos raices imaginarias de laforma±im (m ∈ Z). que son simples.
Por razones de conveniencia notacional, introducimoslos vectores simbólicos(N − 1)-dimensionalesV±±
given by
V++ = (+∞,+∞,−∞,−∞, . . . ,±∞)
V+− = (+∞,−∞,−∞,+∞, . . . ,±∞)
V−+ = (−∞,+∞,+∞,−∞, . . . ,±∞)
V−− = (−∞,−∞,+∞,+∞, . . . ,±∞)
donde las secuencias de símbolos son4-periodicas.
Teorema 4 Supondremos queg : RN−1 → R es una
función continua tal que los cuatro límites
lıms→V±±
g(s) := g±±
existen. Seap ∈ L2(0, 2π) y consideramos los
coeficientes de Fourier:am(p), bm(p) como antes.
Si además suponemos que
a2m(p) + b2m(p) <
2
π2
[
(g+− − g−+)2 + (g++ − g−−)2]
entonces la ecuación de ordenn admite al menos unasolución2π-periodica enHN
per(0, 2π).
Una formulación abstracta(Mawhin)SeanX eY dos espacios de Banach reales,L : dom(L) → Y un operador lineal. SupondremosqueL es un operador de Fredholm de índice0, esdecir que: Im(L) es un subespacio cerrado deY , y
dim(Ker(L)) = codim(Im(L)) <∞
En este caso, existen proyectores continuosP : X → X y Q : Y → Y tales que Im(P ) = Ker(L)y Ker(Q) = Im(L).
Como Im(Q) = coIm(L) es isomorfa a Ker(L), existeun isomorfismoJ : Im(Q) → Ker(L).
L-compacidadSeaB ⊂ X un abierto acotado.Supondremos queN : X → Y una aplicacióncontinua. que esL−compacta enΩ en el siguientesentido:
• QN(B) es acotado• KP (I −Q)N : B → X es compacto.
Teorema de continuación deMawhinTeorema 5 SeaL un operador de Fredholm de índicecero y seaN un operador no lindealL−compacto enB. Supongamos quue
1. Para cadaλ ∈ (0, 1], x ∈ ∂B tenemos queLx 6= λNx
2. QNx 6= 0 para cadax ∈ Ker(L) ∩ ∂B
3. El grado de Brower:dB(JQN,B ∩ Ker(L), 0) 6= 0
Entonces la ecuaciónLx = Nx tiene al menos unasolución en dom(L) ∩ B.
Aplicación del teoremaEn nuestro caso, consideraremosX = HN−1
per (0, 2π),Y = L2(0, 2π) y L el operador diferencial quedefinimos antes, condom(L) = HN
per(0, 2π).
Ker(L) = Em es el subespacio generado porsin(mt)
y cos(mt), Im(L) = E⊥m.
Además tomamos comoQ es el operador deproyección ortogonalPm sobreEm enL2(0, 2π) y Pcomo la restricción dePm aHN−1
per (0, 2π). B será unabierto acotado enHN−1
per (0, 2π). y
Nx = p(t) − g(x, . . . , x(N−2))
Estimaciones a prioriLema 1‖x− Pm(x)‖HN−1 ≤ c ‖Lx‖L2 ∀x ∈ HN
per(0, 2π)
De la compacidad de la inmersión de SobolevHN−1
per (0, 2π) ⊂ HNper(0, 2π) deducimos queN es
L-compacto enB, para cualquier abierto acotadoB ⊂ HN−1
per (0, 2π).
Lema 2 Bajo las hipótesis de nuestro teorema, lassoluciones de
L(x) = λ(p(t) − g(x, . . . , x(N−2)))
dondeλ ∈ (0, 1] están acotadas a priori enHN−1
per (0, 2π).
Cálculo del gradoComo el abiertoB tomaremos una bola
B = u ∈ HN−1per (0, 2π) : ‖u‖HN−1 < R
conR suficientemente grande.Lema 3 ParaR suficientemente grande,
d(QN,B ∩ Ker(L), 0) = −1
Prueba de la estimación a prioriSeaxn(t) una sucesión de soluciones de
Lxn = λn
(
p(t) − g(xn, . . . , x(N−2)n )
)
conλn ∈ (0, 1] y supongamos por contradicción que‖xn‖HN−1 → +∞. Escribimos:
xn = yn + zn
dondeyn = Pm(xn) y zn = xn − Pm(xn) ∈ E⊥m. Por el
lema 1, tenemos que:
‖zn‖HN−1 ≤ c1
∥
∥
∥p(t) − g(xn, . . . , x
(N−2)n )
∥
∥
∥
L2
≤ c2
Por la compacidad de la inmersiónHN−1 → CN−2[0, 2π] podemis asumir que:
zn → z enCN−2[0, 2π].
Tenemos que‖yn‖HN−1 → ∞. ComoPm(xn) ∈ Em,
yn(t) = αn cos(mt− βn)
dondeαn ≥ 0, αn → +∞ y βn ∈ [0, 2π]. Podemosasumir queβn → β.
xn(t) = z(t) + αn cos(mt− βn) + o(1)
g(xn(t), . . . , x(N−2)n (t)) →
g+− si t ∈ C++β
g−− si t ∈ C−+β
g−+ si t ∈ C−−β
g++ si t ∈ C+−β
donde
C++β = t ∈ [0, 2π] : cos(mt−β) > 0, sin(mt−β) > 0
C−+β = t ∈ [0, 2π] : cos(mt−β) < 0, sin(mt−β) > 0
C−−β = t ∈ [0, 2π] : cos(mt−β) < 0, sin(mt−β) < 0
C+−β = t ∈ [0, 2π] : cos(mt−β) > 0, sin(mt−β) < 0
Por otra parte, siϕ ∈ Em yL∗x = (−1)Nx(N) +(−1)N−1aN−1x
(N−1) + . . .+a0x,
integrando por partes tenemos que:
0 =
∫ 2π
0
xnL∗(ϕ) dt
= λn
∫ 2π
0
[p(t) − g(xn, . . . , x(N−2)n )]ϕdt
Tomandoϕ = cos(mx) y ϕ = sin(mx), y usando elteorema de convergencia mayorada deducimos que:
a2m(p)+b2m(p) =
1
π2[(cosβ−sin β)2+(cosβ+sin β)2]
[
(g+− − g−+)2 + (g++ − g−−)2]
=2
π2
[
(g+− − g−+)2 + (g++ − g−−)2]
una contradicción.
Cómo calculamos el grado:Llevamos el problema aR2 . . .: Consideramos el
isomorfismo:ψ : R2 → Em = Ker(L) dado por:
ψ(a, b) = a cos(mt) + b sin(mt)
y definimosh = ψ−1QNψ
Entonces, siR grande
d(QN,B∩Ker(L), 0) = d(h, B, 0) siendoB = ψ(B∩E
Calculamos los límites radiales...Si introducimos coordenadas polaresa = r cosω,b = r sinω:
lımr→∞
h(r cosω, r sinω) = (am(p), bm(p)) −1
πC(ω)
uniformemente paraω ∈ [0, 2π], dondeC(ω) = (C1(ω), C2(ω)) ∈ R
2 está dada por
C1(ω) = (A(cosβ − sin β) +B(cosβ + sin β)
C2(ω) = (A(cosβ + sinβ) +B(cosβ − sin β)
siendoA = g+− − g−+ y B = g++ − g−−.
Hacemos una homotopía ...Introduzcamos la funciónh : R
2 → R2 definida por:
h(x, y) = (am(p), bm(p)) − T
(
x
‖(x, y)‖,
y
‖(x, y)‖
)
si ‖(x, y)‖ ≥ 1, y
h(x, y) = (am(p), bm(p)) − T (x, y)
si ‖(x, y)‖ < 1, dondeT : R2 → R
2 es el operadorlineal dado por:
T (x, y) =1
π(A(x−y)+B(x+y), A(x+y)−B(x−y))
conA y B como antes.