Procesamiento Digital de Señales: Señales y Sistemas
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Objetivo
Exponer los principios y particularidades del tratamiento de señales, sus clasificaciones y su relación con su representación digital.
El alumno aprenderá las características básicas de la señales y su impacto en el diseño de los sistemas digitales.
Al finalizar esta unidad el alumno deberá tener una idea clara sobre la relación existente entre la representación digital de una determinada señal respecto a la señal analógica original.
Definición● El Procesamiento de Señales comprende la representación, transformación y manipulación de señales con especial énfasis en la información que contienen.
● El procesamiento de señales se lleva a cabo mediante distintos medios con los cuales se trata de identificar el comportamiento de un fenómeno con respecto a las variaciones de una o varias variables independientes. Siendo estas, por lo general, el tiempo o el espacio (distancias X, Y, Φ, etc. ).
Procesamiento de señales
Descripción de fenómenos físicos● CLIMA (Temperatura, Humedad, etc.)
● Sonido (Presión en un punto 3D)
● Grabación de Audio (Flujo Magnético)
● Fotografía (Intensidad de Luz/Color sobre papel)
Señales
Monitoreo continuo vs discreto● Sonido / Grabación de Audio
Señales
Monitoreo continuo vs discreto● Registro de Precipitación de lluvia
Señales
Representación mediante una función:
Señales
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● La señal analógica es aquella que presenta una variación o fluctuación continua con el tiempo, es decir, que para cualquier valor de la variable independiente existe un valor de la variable dependiente que le corresponde.
● Una señal digital es aquella que presenta una variación discontinua con el tiempo y que sólo puede tomar ciertos valores discretos.
● Las señales digitales no se producen en el mundo físico como tales, sino que son creadas por el hombre.
Señales
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Las señales pueden clasificarse a partir de sus características
● Según el dominio o comportamiento con respecto a la variable independiente:
● Continua en el tiempo : f(t), t ∈ [a,b] ● Discreta en el tiempo: f[t] ∈ {t₀,t₁,...,tn}
● Según el intervalo o variabilidad de la amplitud de la variable dependiente:
● Continua en amplitud ● Discreta en amplitud
Señales
Se dice que una señal es:
● Continua: si es continua en todo t
● Continua a tramos: si presenta un valor finito o infinito numerable de discontinuidades siempre y cuando se produzcan saltos de amplitud finita
Señales
Dominio (variable Independiente)
Continuat >f (t)
Discretan > f [n]
Dominio (variable Independiente)
Señales
Sea t1 un instante de tiempo y e un número que pertenece a los reales positivo e infinitesimalmente pequeño Y sean:
Si se cumple
Se dice que la señal es continua en t=t1 si no se dice que la señal es discontinua en t1.
Intervalo (variable Dependiente)
x ( t+ )=x (t−)=x (t1 )
t+=t1 +e
t−=t1−e
Señales
Se dice que una señal es de:
● Valor discreto si la variable dependiente solo toma valores de un conjunto numerable.
● Valor continuo si la variable dependiente toma valores en un conjunto en los reales
Señales
Intervalo (variable Dependiente)
Parámetros de las Señales
● Duración
● Periodicidad
● Amplitud
● Velocidad de cambio (Frecuencia)
● Fase
Señales
El modelado de una señal ( o sistema de control) se lleva a cabo mediante tres representaciones o modelos:
Ecuaciones diferenciales, integrales, derivadas y otras relaciones matemáticas.
Diagrama de bloques.
Diagrama de flujo de análisis.
Modelado de Señales
Trasformada de Laplace
Se aplica para la solución del modelado matemático de los Sistemas de Control de Tiempo Continuo. Esta se define para una señal X(t) de la siguiente manera:
X ( s )=∫−∞
+∞
x( t )e−st dt
Modelado de Señales
Herramientas
Trasformada Z
Se aplica para la solución del modelado matemático de los Sistemas de Control de Tiempo Discreto. Esta se define para una señal X[n] de la siguiente manera:
X ( z )= ∑n=−∞
+∞
x [ n ] z−n
Modelado de Señales
Herramientas
Una función de transferencia es un modelo matemático a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). Se determina por la siguiente expresión:
)(
)()(
sU
sYsH
Modelado de Señales
Herramientas
Señales Finitas vs Acotadas● Las señales Finitas son aquellas que están definidas por un punto de inicio y otro de fin.
- Señales en el universo real
● Las señales acotadas son aquellas cuya relación permite definir un valor de convergencia a lo largo de los valores de la variable independiente.
Modelado de Señales
x ( t )=∑n=1
∞ 1
2n = 1
E.g. : Promedio● Señales Lentas y Suaves
Modelado de Señales
x ⋍ -0.034121
x̄ = 1b−a∫a
b
f(t)dt
E.g. : Promedio● Señales Lentas y Suaves
Modelado de Señales
x = -0.036392
x̄ =1N ∑n=0
N-1
x[n]
E.g. : Promedio● Señales Rápidas y Abruptas
Modelado de Señales
Error● Diferencia entre los datos adquiridos y la función real (ideal)
● Imprecisiones del sistema de adquisición
● No linealidades (e.g.: offset)
● Ruido
● Velocidad de muestreo
Características de las Señales
● Toda señal variable en el tiempo se puede representar en el ámbito de sus valores de frecuencia (espectro). Dicho espectro brinda información sobre la velocidad de la señal y se compone por una frecuencia fundamental y un conjunto de armónicos.
● El proceso matemático que permite esta descomposición se denomina análisis de Fourier.
Características de las Señales
Velocidad de cambio (espectro de Frecuencias)
● Representación cartesiana permite la representación de un sistema en coordenadas rectangulares, la posición de un punto se encuentra determinada por 2 o 3 magnitudes independientes que definen su relación con los llamados planos coordenados.
● El cálculo vectorial proporciona una notación para representar a través de ecuaciones matemáticas modelos de las distintas situaciones físicas y de las dinámicas que los afectan en diversas situaciones.
Características de las Señales
Representación de variables
● El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula:
Características de las Señales
Teorema de Muerstreo (Nyquist & Shannon)
x ( t )=∑n=-∞
∞
x [n]sin (π(t−nT S)/T S)
π( t−nT S)/T S
● El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula:
Características de las Señales
Teorema de Muerstreo (Nyquist & Shannon)
x ( t )=∑n=-∞
∞
x [n]sin (π(t−nT S)/T S)
π( t−nT S)/T S
Señal continua en el tiempo
● El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula:
Características de las Señales
Teorema de Muerstreo (Nyquist & Shannon)
x ( t )=∑n=-∞
∞
x [n]sin (π(t−nT S)/T S)
π( t−nT S)/T S
Cada muestra discreta está multiplicada por una función sinc
● El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula:
Características de las Señales
Teorema de Muerstreo (Nyquist & Shannon)
x ( t )=∑n=-∞
∞
x [n]sin (π(t−nT S)/T S)
π( t−nT S)/T S
Pre-requisito: que la señal no sea muy rápida
Representación digital●
Importancia
● Almacenamiento
● Procesamiento
● Transmisión
Características de las Señales
Representación digital●
Almacenamiento
● Independiente del medio
● Independiente del contenido
● Compatibilidad
● “Inmune” a la Evolución tecnológica
Características de las Señales
Representación digital●
Procesamiento
● Multiplicidad de aplicaciones
● Dispositivos de propósito general
● (CPU, MCU o DSP)
● Alta flexibilidad
● Insensible al medio ambiente
● Independencia de la plataforma
tecnológica
Características de las Señales
Transmisión digital
● Mayor flexibilidad
● Simplicidad y re-uso de HW
● Reconstrucción de señales
● Compresión de datos
● Mayor aprovechamiento del canal
● Posibilidad de uso de repetidores
regenerativos
Características de las Señales
Transmisión digital●
Degradación de la señal
Características de las Señales
MedioRxTx
Transmisión digital●
Degradación de la señal
Características de las Señales
MedioRxTx
x̂ (t )x (t) 1/G+
σ (t)
Transmisión digital●
Degradación de la señal
Características de las Señales
x̂ (t)x (t) 1/G+
σ (t)
x (t )
Transmisión digital●
Degradación de la señal
Características de las Señales
x (t )⋅1G
x̂ (t)x (t) 1/G+
σ (t)
Transmisión digital●
Degradación de la señal
Características de las Señales
x (t)⋅1G+σ(t )
x̂ (t)x (t) 1/G+
σ (t)
Transmisión digital●
Degradación de la señal
Características de las Señales
x̂ (t)⋅G
x̂ (t)x (t) 1/G+
σ (t)
Transmisión digital●
Degradación de la señal
Características de las Señales
x̂ (t)x (t) 1/G+
σ (t)
Transmisión digital●
Degradación de la señal
Características de las Señales
x̂1(t)x (t )
1/G1+
σ1(t)
x̂2(t)
1/G2+
σ2(t)
Transmisión digital●
Degradación de la señal
Características de las Señales
x̂1(t)x (t )
1/G1+
σ1(t)
x̂2(t)
1/G2+
σ2(t)
x̂2(t)
Transmisión digital●
Regeneración de Pulsos
Características de las Señales
Tipos de Señales
Señales discretas (tiempo)
● Secuencia unidimensionales (nivel básico)
● Notación: x[n]
● Secuencias bilaterales: x : ℤ → ℂ
-∞, … x[-1], x[0], x[1], … , ∞
● El índice n carece de dimensiones (min, s, ms, ns, ...)
● Análisis : Mediciones de secuencias periódicas
● Síntesis : Secuencia de muestras generadas numéricamente
Tipos de Señales
Señales discretas (tiempo)
● Delta Diracx [n] = δ[n]
Tipos de Señales
Señales discretas (tiempo)
● Delta Diracx [n] = δ[n]
Tipos de Señales
Señales discretas (tiempo)
● Unit Stepx [n] = u [n]
Tipos de Señales
Señales discretas (tiempo)
● Unit Stepx [n] = u [n]
Tipos de Señales
Señales discretas (tiempo)
● Decremento Exponencial x [n] =∣a∣n u [n ] ∣a∣<1
Tipos de Señales
Señales discretas (tiempo)
● Decremento Exponencial x [n] =∣a∣n u [n ] ∣a∣<1
Tipos de Señales
Señales discretas (tiempo)
● Sinusoidal x [n] = sin (ω0 n+θ)
Tipos de Señales
Señales discretas (tiempo)
● Sinusoidal x [n] = sin (ω0 n+θ)
Tipos de Señales
Clases de Señales
● Duración-Finita
● Duración-Infinita
● Periódica
● Secuencia de intervalo (limitada)
Tipos de Señales
De Duración-Finita
● Notación de una secuencia : x[n], n = 0, 1, …, N-1
● Notación vectorial : x = [x0, x1, … , xN-1] T
● Usadas en paquetes como: Matlab/Octave, Python ó Perl
● x=linspace(0,4*pi,100);
● x = [0:0.1:2*pi];
● for(i=1:15) % No es recomendable !!!!
y(i)=i^2;
end
Tipos de Señales
De Duración-Infinita
● Notación de una secuencia : x[n] , n ∈ ℤ (enteros)
● Abstracción
● Usadas en el análisis y desarrollo Matemático
● Propiedades
● Teoremas
● Transformaciones
● No existen en la realidad
Tipos de Señales
Periódicas
● Secuencia periódica N: ã[n] = ã[n+kN], n, k, N ∈ ℤ
● La secuencia contiene la misma información que la secuencia « de duración finita » de longitud N
● Las señales periódicas son un puente natural entre las secuencias finitas e infinitas
● Elongación del período
● Copia y repetición de secuencias
Tipos de Señales
Secuencia de intervalo
● Secuencia definida por:
● La secuencia contiene la misma información que la secuencia « de duración finita » de longitud N
● Otro puente entre las secuencias finitas e infinitas
x̄ [n] = { x[n] if 0 ≤n<N−1 0 otherwise }
Manipulación de Señales
Operaciones básicas
● Escala y[n] = α x[n]
● Suma y[n] = x[n] + z[n]
● Producto y[n] = x[n] · z[n]
● Corrimiento (retardo) y[n] = x[n - k]
Manipulación de Señales
Corrimiento (retardo)
[ x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 ]
Manipulación de Señales
Corrimiento (retardo)
x[n] = … , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , ...
Manipulación de Señales
Corrimiento en Secuencia de intervalo
x [n] = … 0 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , 0, 0, 0 ...
Manipulación de Señales
Corrimiento en Secuencia de intervalo
x [n-1] = … 0 , 0 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , 0, 0 ...
Manipulación de Señales
Corrimiento en Secuencia de intervalo
x [n-2] = … 0 , 0 , 0 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , 0...
Manipulación de Señales
Corrimiento en Secuencia de intervalo
x [n-3] = … 0 , 0 , 0 , 0 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7...
Manipulación de Señales
Corrimiento en Secuencia Periódica
x [n] = … x6 , x7 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x0 , x1 ...~
Manipulación de Señales
Corrimiento en Secuencia Periódica
x [n-1] = … x5 , x6 , x7 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x0 ...~
Manipulación de Señales
Corrimiento en Secuencia Periódica
x [n-2] = … x4 , x5 , x6 , x7 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ...~
Manipulación de Señales
Corrimiento en Secuencia Periódica
x [n-3] = … x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ...~
Manipulación de Señales
Corrimiento en Secuencia Periódica
x [n-4] = … x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ...~
Manipulación de Señales
Energy & Power
● Diferencia entre las definiciones de energía y potencia
Energía :
Potencia :
E x=∑n=-∞
∞
∣ x [n ]∣2
Px=limN →∞
12N−1 ∑n=-N
N
∣ x [n ]∣ 2
Potencia = Energía instantánea = Etotal / Período
Manipulación de Señales
Energy & Power
● Para señales Periódicas :
Energía :
Potencia :
E x̃=∞
Px̃ ≡1N ∑n=0
N−1
∣ x̃ [n ]∣2
Potencia = Energía instantánea = Etotal / Período
Manipulación de Señales
Representación de frecuencia
● Representación de exponenciales complejas
● Periodicidad
● Efecto de la periodicidad con respecto a la velocidad
● Frecuencias del ámbito digital respecto al mundo real
Manipulación de Señales
Elementos que componen las oscilaciones
● Frecuencia de oscilación ω (radianes / s)
● Fase inicial Φ (radianes)
● Amplitud de las oscilación (unidades varias)
● Representación trigonométrica
x [n ] = Acos(ω n+φ)
Manipulación de Señales
Representación trigonométrica en DSP's ● Dentro del procesamiento digital de señales se emplean de manera extensiva las exponenciales complejas:
● Euler
x [n ] = A [cos(ωn+φ) + j sen(ωn+φ)]
x [n ] = Ae j(ωn+φ)
Manipulación de Señales
¿Por que usar exponenciales complejas? ● Los sistemas digitales pueden representar números complejos con gran facilidad
● Agrupa al seno y al coseno en una sóla expresión
● Simplifica la matemática, convierte los problemas trigonométricos en problemas algebraicos
● Notación más sencilla
● El corrimiento de fase se convierte en una simple multiplicación de exponentes
Manipulación de Señales
¿Por que usar exponenciales complejas? ● Ejemplo:
- Cambio de fase de un coseno puro.
cos (ω n+φ)= a cos (ωn) + b sen (ωn)donde a = cos φ y b = sen φ
cos (α±β)= cosα cosβ ∓ senα senβ
Manipulación de Señales
¿Por que usar exponenciales complejas? ● Ejemplo:
- Cambio de fase de un coseno puro.
- En términos de exponenciales complejas el coseno representa la parte real del número complejo
cos (ω n+φ)= a cos (ωn) + b sen (ωn)donde a = cos φ y b = sen φ
cos (ωn+φ) = ℜe {ej (ωn+φ)}= ℜe {e
j (ωn)e j (φ)}
Manipulación de Señales
¿Por que usar exponenciales complejas? ● Ejemplo:
- Cambio de fase de un coseno puro.
● Las funciones seno y coseno siempre están relacionadas (trigonometría)
● El cambio de fase se reduce a una simple multiplicación
● La notación compleja es más simple.
cos (ωn+φ) = ℜe {ej (ωn+φ)}= ℜe {e
j (ωn)e j (φ)}
Manipulación de Señales
¿Por que usar exponenciales complejas?
e jα = cosα + j senαIm
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
Manipulación de Señales
¿Por que usar exponenciales complejas?
e jα = cosα + j senαIm
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
cos α
α
Manipulación de Señales
¿Por que usar exponenciales complejas?
Im
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
cos α
sen αα
e jα = cosα + j senα
Manipulación de Señales
Rotación z = e jωn
Im
Re
1
-1
-1 1
Círculo unitario
z
Manipulación de Señales
Rotación
Im
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
z`
αz
z = e jωn
Manipulación de Señales
Rotación
Im
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
z`
αz
z = e jωn
z ' = e jωn e jα
Manipulación de Señales
Rotación
Im
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
z`
αz
z = e jωn
z ' = e jωn e jα
e jα = cosα + j senα
Manipulación de Señales
Rotación → Cambio de Fase
α
x [n ] = e jωn
x [n ] = e jωn e jα
Manipulación de Señales
Rotación recursiva
x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];
e jα = cosα + j senα
Manipulación de Señales
Rotación recursiva
Im
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
z`
z
x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];
e jα = cosα + j senα
Manipulación de Señales
Rotación recursiva
Im
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
αz
x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];
e jα = cosα + j senα
z`
Manipulación de Señales
Rotación recursiva
Im
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
αz
x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];
e jα = cosα + j senα
z`
Manipulación de Señales
Rotación recursiva
x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];
e jα = cosα + j senα
Im
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
z`
αz
Manipulación de Señales
Rotación recursiva
Im
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
z`
αz
e j α periodic ←→ α =MN
2 π
x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];
donde M , N ∈ ℕ
Manipulación de Señales
Rotación
Señal de 200Hz muestreada a 2000Hz
0 < α < π
Manipulación de Señales
Rotación x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];
0 < α < πIm
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
z`
αz
Manipulación de Señales
Rotación x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];
0 < α < πIm
Re
1
-1
-1 1
Círculo unitario
z`
α1
z α1 =23π
Manipulación de Señales
Rotación x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];
0 < α < πIm
Re
1
-1
-1 1
Círculo unitario
z`z
α1 = πα1
Manipulación de Señales
Rotación α = π
Manipulación de Señales
Rotación x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];
0 < α < πIm
Re
1
-1
-1 1
Círculo unitario
z`
z
α1 = πα1
Manipulación de Señales
Rotación
Señal de 1000Hz muestreada a 2000Hz
α = π
Manipulación de Señales
Rotación
Im
Re
1
-1
-1 1
Círculo unitario
z`
α
z
x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];
π < α < 2π
Manipulación de Señales
Rotación
Señal de 2200Hz muestreada a 2000Hz
π < α < 2π
Manipulación de Señales
Rotación en sentido inverso (CW)
Im
Re
1
-1
-1 1
Círculo unitario
z`
α
z
π < α < 2π
-2π+α1
Manipulación de Señales
Rotación en sentido inverso (CW)
Im
Re
1
-1
-1 1
Círculo unitario
z`z
α1 = π=− πα1
-2π+α1
Manipulación de Señales
Rotación en sentido inverso (CW)
Im
Re
1
-1
-1 1
Círculo unitario
z`-2π+α
zαα
0 < α < π
Manipulación de Señales
Rotación x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e− jα x [n ];
Im
Re
1
-1
-1 1
Círculo unitario
z`
-α
z
Elementos constructores en DSP's
Elementos constructores
z-1
+
z-2
+
z-3
+
Filtro Digital
x[n] y[n]a b
c
d
e
Elementos constructores
+Sumador x[n]
z[n]y[n]
x[n]
z[n]y[n]
Elementos constructores
Multiplicador x[n] y[n]
x[n] y[n] = ½ (x[n])
α=1/2
α
Elementos constructores
Corrimiento x[n] x[n-1]
x[n] x[n-1]
z-1
Elementos constructores
Corrimiento x[n] x[n-N]
x[n] x[n-N]
z-N
N=3
Elementos constructores
Ejemplo: Promedio de 2 elementos
m =a + b
2
Elementos constructores
Ejemplo: Promedio de 2 elementos
m =a + b
2
y [n ] =x [n ] + x [n−1]
2
moving average = promedio local
Elementos constructores
Ejemplo: Promedio de 2 elementos
y [n ] =x [n ] + x [n−1]
2
Elementos constructores
Ejemplo: Promedio de 2 elementos
y [n ] =x [n ] + x [n−1]
2
z-1
+x[n] y[n]1 1/2
Elementos constructores
Ejemplo: Promedio de 2 elementos
x[n] y[n]
y [n ] =x [n ] + x [n−1]
2
Elementos constructores
Ejemplo: Promedio de 2 elementos
x[n]=δ[n] y[n]
y [n ] =x [n ] + x [n−1]
2
Elementos constructores
Ejemplo: Promedio de 2 elementos
x[n]=δ[n] y[n]
y [n ] =x [n ] + x [n−1]
2
Elementos constructores
Ejemplo: Promedio de 2 elementos
x[n]=u[n] y[n]
y [n ] =x [n ] + x [n−1]
2
Elementos constructores
Ejemplo: Promedio de 2 elementos
x[n]=u[n] y[n]
y [n ] =x [n ] + x [n−1]
2
Tareas para Matlab :
y[n ] =x [n ] + x [n−1]
2
Im
Re
1
-1
-1 1
α
Círculo unitario
z`
α zTarea 1
Tarea 2
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