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ALGEBRA
ARTHU
1. BINOMIO AL CUADRADO (TCP)
o 2 2 2(a+b) =a +2ab+b (binomio suma)
o 2 2 2(a-b) =a -2ab+b (binomio diferencia)
Tener en cuenta que:2 2(a-b) =(b-a)
2. IDENTIDADES DE LEGENDRE
o 2 2 2 2(a+b) +(a-b) =2(a +b )
o 2 2(a+b) - (a-b) =4ab
o
4 4 2 2(a+b) -(a-b) =ab(a +b )
3. IDENTIDAD DE LAGRANGE
o 2 2 2 2 2 2
(a!+b") +(a"-b!) =(a +b )(! +" )
. DI!ERENCIA DE CUADRADOS
o 2 2(a+b)(a-b)=a -b
En "enera#$m n m n 2m 2n(a +b )(a -b )=a - b
%. TRINOMIO AL CUADRADO2 2 2 2(a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc
LLuu
##
LE$E% &E E'*E*TE%
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2
&. BINOMIO AL CUBO
o 2 2 (a+b) =a +a b+ab +b (forma desarro,,ada)
o (a+b) =a +b +ab(a+b) (forma abreviada - Cauchy)
o
2 2
(a-b) =a -a b+ab -b (forma desarro,,ada)o
(a-b) =a -b -ab(a-b) (forma abreviada - Cauchy)Otra' r*e+a+e'$
o 2 2(a+b) +(a-b) =2a(a +b )
o 2 2(a+b) -(a-b) =2b(a +b )
,. SUMA - DI!ERENCIA DE CUBOS
o 2 2a +b =(a+b)(a -ab+b )
o 2 2a - b =(a-b)(a +ab+b )
. TRINOMIO AL CUBO
o (a+b+c) =a +b +c +(a+b)(a+c)(b+c)
o
(a+b+c) =a +b +c +(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc
o
2 2 2(a+b+c) =a +b +c +a (b+c)+b (a+c)+c (a+b)+abc
/. PRODUCTO DE MULTIPLICAR BINOMIOS CON UN T0RMINO COMN
o2(!+a)(!+b)=! +(a+b)!+ab
o 2(!+a)(!+b)(!+c)=! +(a+b+c)! +(ab+ac+bc)!+abc
o 2(!-a)(!-b)(!-c)=! -(a+b+c)! +(ab+ac+bc)!-abc
1. IDENTIDAD TRINMICA (ARGAN4D)
o2 2 4 2(! +!+.)(! -!+.)=! +! +. (I5rtante)
o2 22 2 4 2 2 4(! +!"+" )(! -!"+" )=! +! " +"
En general:
o
2n n 2n n 4n 2n(! +! +.)(! -! +.)=! +! +.
o
2m m n 2n 2m m n 2n 4m 2m 2n 4n(! +! " +" )(! -! " +" )=! +! " +"
11. IGUALDADES CONDICIONALES
%i: a676c8/ se demues0ra 1ue:
o
2 2 2a +b +c =-2(ab+ac+bc)
o a +b +c =abc (I5rtante)
o
4 4 4 2 2 2 2 2 2a +b +c =2(a b +a c +b c )
iensa en #rande/ iensa en3
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o
a +b +c =-abc(ab+ac+bc)
o
2 a +b +c =(abc) -2(ab+ac+bc)
o
2 2 2 2 4 4 4(a +b +c ) =2(a +b +c )
o
2 2 2 2 2 2 2(ab+ac+bc) =a b +a c +b c
o
2 2 2 a +b +c a +b +c a +b +c=
2
o
2 2 2 5 5 5a +b +c a +b +c a +b +c=
2 5
CASOS ESPECIALES EN R
%i:2 2 2a +b +c =ab+ac+bc , en0onces:
o a = b = c
%i:
a +b +c =abc , en0onces:
o a = b = c
%i se 6eri7ca 1ue:2 2 2 2a +b +c +888+n =9 , en0onces se cum,ir cuando:
o a = b = c = 3 = n = 9
E9ERCICIOS PROPUESTOS : BLO;UE I
E9ERCICIO N< 1
Reducir:2 2 2
L (! .) (! 2) 2(! .)= + + + - -
a) 10x+3 b) 10x+1 c) 10x-3 d) 0 e) 3x+5
E9ERCICIO N< 2
%i:4 4 2 2
a b 24 " a b - = - = ; ca,cu,ar:2 2
a b+
a) 21 b) 8 c) 12 d) 6 e) 27
E9ERCICIO N< 3;arcar ()
?82 2(a 2) a 4888888888888( )+ = +
??82 2
(b .) b b .88888888( )- = + +
???82
(. !)(. !) . ! 888888( )+ - = -
a) b) !! c) !!! d) ! e) !E9ERCICIO N<
3
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4
Reducir:2 2 2
L (! .) (! 2) 2! = + + - - -
a) -x b) -2x c) -3x d) -"x e) 2x
E9ERCICIO N< %
Reducir: (! ) (! ) .9'= + + - -
a)2
' b) 2x c)
4' d)
2' e)
2'-
E9ERCICIO N< &
Reducir:2 2 4
@ (! ")(! " )(! ") "= + + - +
a) y b) x c)2
" d)2
! e)4
!
E9ERCICIO N< ,
%i: a + b = 5 " ab = ca,cu,ar:2 2
a b+
a)2# b)3# c)"# d)1# e)#
E9ERCICIO N<
%i: ! " = ca,cu,ar:2
* (! ") 4"(2" !) = - - - +
a)52 b)62 c)72 d)82 e)#2
E9ERCICIO N< /
&e0erminar:2
(! " C)(! " C) (! C)+ - - - - -
a)2
" b) -2
" c)2
C d) -2
C e)1
E9ERCICIO N< 1Reducir:2
(! 4)(! 4! .) !(! 2)(! 2) 4+ - + - + - -
a)0 b)5" c)50 d)3x e)"x
E9ERCICIO N< 11%i:
a b c .9 " ab ac bc 4+ + = + + = ; Ca$cu$are e$ va$or de%2 2 2
a b c+ +
a). b)D9 c)D2 d) e)4
E9ERCICIO N< 13&adas ,as condiciones:2 2 2
a b c 2 = (a b c)(. ab bc ca) 2 =
a,cu,e: a+b+c
a)4 b). c) 2 d)4 e).
E9ERCICIO N< 1
iensa en #rande/ iensa en3
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%iendo: ! 4" DC 9 =
%e#Fn e,,o reducir:
2 2 2! 2" 2" C C !
!" "C !C
a)42 b)- c) d). e)2!"C
E9ERCICIO N< 1%
%iendo: !" .99 .9 .
2 2 ! " . .9=
a,cu,ar e, 6a,or de:
4 4! " ! "
a)44 b) c) -.99 d)- e)9E9ERCICIO N< 1&
u, es e, 6a,or 1ue asume ,a e!resin
2 2! " ! 2" 2"
T!" 2! ! "
=
%i:
. . 4
! " ! " =
a)44 b) c) -.99 d)- e)9E9ERCICIO N< 1,
%abiendo 1ue se cum,e 1ue:
a b2
b a =
Ha,,ar e, menor 6a,or de:
2 22 2 2 2
2 22 2 2 2
a b a bE
a b a b
=
a) b)2 c) . d)9 e)2ab
E9ERCICIO N< 1
%i:
2! C C
.C " (! ")(C ")
=
Ha,,ar:
2 2 2C ! ! " C "
E" C !
=
a)5 b) c)4 d) e)
E9ERCICIO N< 1/
%i se sabe 1ue:
2 2 2! " C !" !C "C =
a,cu,ar e, 6a,or de:
.9
D.9 .9 .9
! " C;
! " C
=
a)4 b) c) d)2 e).E9ERCICIO N< 2
5
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6
%i:. .
!" "! 2
= 8 a,cu,ar e, 6a,or de:
n n
2n
! "!
;"!
=
a)29 b). c).5 d). e).D
E9ERCICIOS PROPUESTOS = BLO;UE II
E9ERCICIO N< 1
%i:a b 2 ab = =
8 a,cu,ar:
2 2
a b;
a b
=
a) b)4 c) d)5 e)
E9ERCICIO N< 2
%i: .! ! = 8 a,cu,ar e, 6a,or de:2 2
; ! ! ! !
=
a) b)4 c) d)5 e)
E9ERCICIO N< 3
A ar0ir de ,a i#ua,dad:
! " C4
"C !C !" =
a,cu,ar e,
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a,cu,ar e, 6a,or de:
(! a)(! b) !
Ea 2! b ab
=
%i:2
(a 2! b)(a 2! b) (a b) =
Ia).. b)9 c)4 d)2 e)
E9ERCICIO N< ,
a,cu,ar e, 6a,or de:2 2 .2
(. !)(. !)(. ! ! )(. ! ! )(. ! ! )
%abiendo 1ue:-! 2
a)- b)- c)-4 d)-5 e)-
E9ERCICIO N<
A, reducir:
2 2E 2 2
=
/ se ob0iene:
a).. b).9 c)D d) e)5
E9ERCICIO N< /
a,cu,ar: ; . ! . ! si ! = 9/5
a). b)2 c) d)4 e)
E9ERCICIO N< 1
%abiendo 1ue:
+ +a b
+
b a
=
/ ademas: a J b
a,cu,ar:
a bE
b a=
a) b)4 c)44 d)2 e)
E9ERCICIO N< 11
%i:- - -a b c 9 =
a,cu,ar:
D abc (a b c);
ab bc ac
=
a) b)4 c) d)2 e)5
E9ERCICIO N< 12
%i:
4 4
2 2 2 2 2 2
(a b) (a b)4
(a b ) (a b )
=
a,cu,ar:
5a b;
a 4b
=
7
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8
a). b)2 c)-2 d) e)4
E9ERCICIO N< 13E, e1ui6a,en0e de:
2 4(! .)(! .)(! .)(! .)8888n fac0ores
es:
a)n .
! 2
b)n .
2! .
c)n .
4! .
d)n .
2! .
e)n .
2! 2
E9ERCICIO N< 1
%i:2n 2n 2na b c 9 =
a,cu,ar e, 6a,or de:
n n na b c
;bc ac ab
=
a)4 b) c)2 d) e)
E9ERCICIO N< 1%%i: ab = .8 E, 6a,or de:
2 2
2 2
b . a .; a8 b8
a . b .
=
a). b) c) d)2 e)4
E9ERCICIO N< 1&
Ha,,ar e, 6a,or numKrico de:
2 2 2(a b) (b c) (a c)
;.2
=
%i se sabe 1ue: (a b) (b c) += =
a)9 b). c)2 d) e)4
E9ERCICIO N< 1,
%i:
. a b!
2 b a
=
Encon0rar e, 6a,or de:+
(! -!)
a)
+ +a b
b a
b)
+a b
c)+ +
a ab b
d)
2 2
a bb a
e)
+ +
a bb a
E9ERCICIO N< 1
%i:2 2 2 2
2(! ") 2(C M) (! " C M) (! " C M) =
Ha,,ar:
.9! "
EC M
=
iensa en #rande/ iensa en3
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a)9 b). c)2 d) e)4
E9ERCICIO N< 1/
%i: (a b c d)(a b c d) (c d a b)(c d a b) =
a,cu,ar:
2 2
2 2
a b;
c d
=
a)9 b) c). d)2 e)-.
E9ERCICIO N< 2E, e1ui6a,en0e sim,i7cado de ,a e!resin:
- + + - - - - + + - .D (m m n n )(m n )(m m n n ) n/ ser:
a)9 b) 2
m c)+
m d)-
m e)D
n
E9ERCICIO N< 21
%i:+
! . 9 ! .= / ca,cu,ar:
+ +
2
(! .) (! .)A
!!
=
a)9 b)2 c). d)-2 e)-.
E9ERCICIO N< 22
%i:
a b b cc a .
b a
= >
&e0erminar e, 6a,or de:
2 2 2a 2b c a b 2c b c 2a
b c a
a) b)2 c). d). e)9
E9ERCICIO N< 23
%i:
+ +
+ +
. .! " .
" C = =
8Ha,,ar e, 6a,or de:.92
(!"C) .
a)2 b)-. c)9 d). e)-2
E9ERCICIO N< 2
%i:
{ }
a/ b/c R
/ ca,cu,ar:
2
2
a
b c
%i se cum,e 1ue:2 2 2
a 2b 2a(b c) 2c=
a)2 b) c)4 d) e).9
E9ERCICIO N< 2%
ua,es de ,as si#uien0es roosiciones son 6erdaderas
#
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10
?82 2 (a-b)(a +ab+b )=a +b
??82 2(a+b) -(a-b) =4ab
???82 2 4 2(! +!+.)(! -!+.)=! +! +.
?>>< b) >> c) >> d) >> e)
E9ERCICIO N< 2
?ndicar 6erdadero o fa,so:
?8 Todo 0rinomio es cuadrado erfec0o8
??82! -es diferencia de cuadrados8
???8 ! - " es diferencia de cuadrados8
?
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E9ERCICIO N< 3
%i:+ + +
a b c - a b c 24 = =
a,cu,ar: E (a b)(a c)(b c)
a)9 b)2 c)4 d) e)
E9ERCICIO N< 31%i N!O " su in6erso mu,0i,ica0i6o suman 8 a,cu,ar e, 6a,or de ,a si#uien0e e!resin:
. . !!! !. .E ! !
! !
a)29 b)2. c)9 d)22 e)2
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