Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Prof: Dr. Francisco Cubillos M
Depto Ingeniería Quimica - USACH
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Capítulo 4 Controladores No Convencionales
Capítulo 1 Introducción al control de procesos
Capítulo 2 Teoría de sistemas dinámicos lineales
Capítulo 3 Sistemas en lazo cerrado
>>>>>> Uso de un simulador<<<<<
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Los sistemas lineales son la base para el desarrollo de la teoria de sistemas dinámicos. La razon es que estos sistemas poseen solución analítica por lo que su comportamiento puede ser determinado de manera exacta.
SISTEMAS DINAMICOS LINEALES
Un sistema dinámico lineal esta descrito por la siguiente ODE
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
La mayoría de los equipos y sistemas utilizados en la industria de procesos presentan características complejas (parámetros variables, variables acopladas, efectos no lineales) por lo que generalmente los modelos son No-lineales sin solución analítica , lo que restringe un análisis general.
Para desarrollar un análisis aproximado se recurre a la técnica de "LINEALIZACION" que consiste en aproximar un modelo complejo en un modelo Lineal que posee solución analítica
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
VARIABLES DE DESVIACION
Junto con linealizar un sistema es conveniente "referir" su respuesta con respecto a un punto específico de operación, generalmente el punto de linealización Xs
Se definen las variables de desviación de un sistema según
suuu
sXXX
_
;_
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Las ventajas es que al expresar el sistema en variables de desviación, el punto del sistema linealizado es (0,0)
0 0u x
_XX
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
ANÁLISIS EN EL PLANO DE LAPLACE
La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver.
F(t): una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t<0S:una variable compleja (LAPLACE)
F(s): transformada de Laplace
Se define la Td L según
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
F(t) F(s) F(t)
La principal ventaja de usar las T de L en el análisis de los sistemas dinámicos es que las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas, más fáciles de operar desde el punto de vista matemático.
Lic. plano t
Y(t)
Lic. Plano S
Y(s)
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA G(s)
Sea un sistema dinámico lineal expresado en variables de desviación según :
01
1
0
10
1
tn
n
t
nt
nnn
n
dt
)t(fd....
dt
)t(dfs)t(fs)s(fs
dt
)t(fdL
Si aplicamos T.d.L mediante la transformación de derivada
0 por estar en V.D
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Se define a la Función de Transferencia (FT) como el cuociente entre las salidas y las entradas en el plano de Laplace y expresadas como variables de desviación
)()()(
0.... 11
1
0.... 11
1 sGsusY
aSanSanSnan
bSbmSbm
mSbm
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Otra forma de escribirla es :
)()()(
))(2)(1(
))(2)(1(sG
susY
npspspsmcscscs
Ci los ceros y pi los polos de la F.T
Observaciones:
•Una F.T se aplica a un sistema lineal en V.D.
•Una F.T es físicamente realizable si nm
•Una F.T relaciona 1 entrada con una salida (SISO)
Y(s)u(s) G(s)
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Las Funciones de transferencia son útiles para representar uno o mas procesos interconectados entre si
La base es el "Álgebra de Bloques" que entrega las reglas de interacción, basadas en el principio de los sistemas lineales
Mediante este mecanismo podemos representar sistemas En serie, En Paralelo, con reciclos, con múltiples entradas y salidas, con atrasos.
T0
T3T4
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Permitido No Permitido
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
SISTEMAS EN SERIE
COMBINACION DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
GS(s) GT(s)GT1(s) GV(s)
v(s) F0(s) T1(s) T2(s) TSAL(s)
)()(1)(2)()(
)(
)(0)(0
)(1)(1
)(2)(2
)()(
)(
)(
svGsTGsTGssG sG
sv
sF
sFsT
sTsT
sT
sSALTsG
sv
sSALT
G(s)v(s) TSAL(s)
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Notar que los componentes de un lazo de control están conectados en serie.
Sensor- transductor – controlador
Controlador - conversor – valvula – proceso- variables
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
SISTEMAS EN PARALELO
G1(s)
G2(s)
u(s) Y(s)
)12)(11(
)1(
)(
)(
ss
sipK
su
sY
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5
1
1.5
time
outp
ut v
aria
ble,
Y’(t
)
0
-2
1
2
3
4
-1
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
SISTEMAS CON ATRASO
= dead time
)()(
)()( sXesX
tXtX
ins
out
inout
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
SISTEMAS CON RECICLO
T0
T3T4
GH1(s) GR(s)
GH2(s)
T0(s)
T1(s) T3(s)
T4(s)
T2(s)
)()(
)()(
)(
)(
sGsG
sGsG
sT
sT
HR
HR
2
1
10
4
+
+
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
PASOS PARA ENCONTRAR LA F.T. DE UN PROCESO
CAMINO TEORICO
•Modelo matemático
•Especificar variables E/S (y,u,d)
•Linealizacion ( si es no lineal)
•Variables de Desviación
• Aplicar T.de L
•Despejar y(s) como función de u(s)
•Identificar las G(s); y(s)/u(s) , y(s)/d(s)
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
PASOS PARA ENCONTRAR LA F.T. DE UN PROCESO
CAMINO PRACTICO-EXPERIMENTAL
•Seleccionar par de variables entrada salida
• Aislar efecto de otras variables
• Hacer cambio escalón en la entrada a un tiempo dado.
• Registrar la salida (grafico o data historica) hasta nuevo equilibrio.
•Identificar el tipo de FT más adecuada y ajustar los parámetros
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
T
A
F,To
F,T
Q
En el proceso adjunto, consideramos V cte y el fluido absorbe una cantidad de calor Q, entrando a una temperatura To (que puede variar), Entonces :
G1(s)
G2(s)
To(s)
T(s)
Q(s)
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
SISTEMAS DE 1º ORDEN
)()()(
tuKtYdt
tdY
K : Ganancia estática, relación E.E. K=(Y/u)s
: Constante de tiempo (t)
La correspondiente Función de transferencia es:
)/
1(* et
AKY(t)
La solución en el tiempo para un escalón de magnitud A es :
)1()()(
SK
susY
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
0 20 40 60 80 100 120
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
time
t
0 20 40 60 80 100 1200.5
1
1.5
2
time
Máximapendiente“t=0”
Cambio inmediato
Salida Monotonica sin oscilación
Nuevo E E
Y = K u
63% del E E cuando t=
u = Escalón en u
El Estado estacionario se alcanza aproximadamente en t= 5*
Por lo que es una medida directa de la rapidez de respuesta
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
SISTEMAS DE 2º ORDEN
EstaticaGananciaK
iónAmortiguacdeFactor
naturaloscilaciondePeriodo
tuKtYdt
dY
dt
tdY
)()(22
)(22
)1222()(
)(
SS
K
su
sY
La F de T correspondiente es
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Los sistemas de 2º orden son habitualmente determinados por:
•2 sistemas de primer orden en serie
•2 sistemas de primer orden interactuando (acoplados) ej Masa y energía. O con reciclo
• Sistemas basados en fuerzas (B C M)
La solución de un sistema de segundo orden se puede generalizar según :
tseAtseAtY 2211)( Con A1 y A2 Constantes que dependen del tipo de función forzante (u), y s1 y s2 las raíces de la ecuación característica
01222 SS
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
12
S
Resolviendo la ecuación, las raíces son:
Dependiendo del valor podemos distinguir varios comportamientos:
>1 : s1 y s2 son reales negativos y la solución para Y(t) es exponencial decreciente, por lo que se denomina "Sistema Sobre Amortiguado"
Cuando =1 se denomina "Críticamente Amortiguado"
Ej: 2 sistemas de 1º orden en serie
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Si 0 < < 1 : s1 y s2 son raíces imaginarias conjugadas con parte real negativa y la solución para Y(t) es la superposición de una función sinusoidal y una exponencial decreciente por lo que se denomina "Sistema Sub Amortiguado"
21
i
SLas raíces se expresan de la forma
La solución para un escalón unitario
esta dada por:
)/(1
/;21
)]sin(/11[)(
Tan
tteKtY
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
La oscilación aumenta a medida que --> 0
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Caracterización de respuesta Sub-Amortiguada
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
2exp
1
a
b
21pt
2
22
2exp
1
c a
a b
2
2
1p
a. Overshoot
b. Tiempo 1º maximo
c. Razón de Decaimiento (entre maximos)
d. Período de oscilación
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
La respuesta sub-amortiguada es característica de los sistemas acoplados o retro-alimentados
Ejemplo, dos sistemas de 1º Orden retroalimentados resultan en un sistema de 2º orden sub-amortiguado
Una regla de control dice que un sistema está controlando bien si responde con razón de decaimiento 1:4
Programa en Instrumentación y Control de Procesos - Universidad de Santiago de Chile
Si =0 El sistema oscila armónicamente ya que la raíz es
puramente imaginaria, s = i/
Si < 0 El sistema posee raíces con parte real positiva lo que incorpora
exponencial positivo en la solución ==> Sistema Inestable
0 1 2 3 4 5 6-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 20 40 60 80 100 120
-40
-20
0
20