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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo Curso 2003-2004
Programa
• 20.1 Introducción• 20.2 Concepto de modo. Clasificación de los modos• 20.3 Líneas de transmisión. Propagación entre dos planos paralelos.• 20.4 Estudio elemental de una guía rectangular• 20.5 Parámetros característicos.• 20.6 Cavidades resonantes.
Lección 20Líneas de Transmisión y guías de ondas
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Bibliografía
Collin Lección 3Jackson Lección 8Pomer Lección 18Reitz-Milford-Christy Lección 18
Lección 20Líneas de Transmisión y guías de ondas
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02
22 =
∂∂
−∇tEEr
rεµ
jwteEE −= 0
rr022 =+∇ EE
rrεµω 022 =+∇ EkE
rr
0=∂∂
+∇=∇ zt uzr ( ) ( ) zyxiezfyxezyxE jwt
ii ,,)(,,, == −
0)()()( 22
22 =+
∂∂
+∇ zfekezfz
ezf xxxt
Líneas de transmisión y guías de ondasConcepto de modo. Clasificación de los modos
εµω=k
4
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0)(
11 22
22 =+
∂∂
+∇ kzf
zfe
e xtx
0)( 222 =−+∇ xzxt ekkefkzf
z2
2
2
−=∂∂
EkzE
z
rr
22
2
−=∂∂ zjkjwt
xxzeeeE −= )( wtzkj zeeE −= r
r
fz
vkt
z==
∂∂ ω
φ
tzkz ωφ −=
Líneas de transmisión y guías de ondasConcepto de modo. Clasificación de los modos
22
21zkz
ff
−=∂∂
5
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zt uzr
∂∂
+∇=∇
( ) tjzikzt
tjzik eeeeeeeE zz ωω −− +==rrrr
( ) tjzikzt
tjzik eehheehH zz ωω −− +==rrrr
Concepto de modo. Clasificación de los modos
Líneas de transmisión y guías de ondas
tBEx∂∂
−=∇r
r
tDHx∂∂
=∇r
r
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tBEx∂∂
−=∇r
r
( ) ( ) ( ) tjzjkzt
tjzjkztzzt eehhjeeeexujk zz ωω µω −− +=++∇
rrrrr0
( )ztzzztzzzttt hhjexujkexujkexexrrrrrrrr
+=++∇+∇ 0µω
ztt hjexrr
0µω=∇
Concepto de modo. Clasificación de los modos
Líneas de transmisión y guías de ondas
ttzzzzt hjexujkuxerrrr
0µω=+∇
ttzzztz hjexujkexurrrr
0µω=+∇−
(1)
(2)
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tDHx∂∂
=∇r
r
ztt ejhx rr0εω−=∇
ttzzztz ejhxujkhxu rrrr0εω−=+∇−
Líneas de transmisión y guías de ondasConcepto de modo. Clasificación de los modos
(3)
(4)
8
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( ) ( ) tztzzzztzz hxujexuxujkexuxurrrrrrr
0µω=+∇−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ztzzz
zzttzzzzzztztzz hxuejjk
juueeuujkuueeuu ∇+−=−+∇−∇−rrrrrrrrrrrr
001
εωµω
( ) ( ) ztzz
zz
tzzt hxuk
ejk
ejke ∇+−=−+∇rrr 0
00 µω
εωµω
ztztzz
tz
z ehxuk
ek
jjk ∇−∇=
+−
rr 0002 µωµεω ( ) ztzztztz ejkhxujek ∇+∇−=+−
rr000
22 µωµεω
( )ztzztzz
t ejkhxujkk
e ∇+∇−−
=rr
022
1µω ( )ztzztz
zt hjkexuj
kkh ∇+∇
−=
rr022
1εω
Líneas de transmisión y guías de ondasConcepto de modo. Clasificación de los modos
Cálculo de et
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Concepto de modo. Clasificación de los modos
Líneas de transmisión y guías de ondas
Modo TM (o E) hz=0 ez≠0
( )ztzztzz
t ejkhxujkk
e ∇+∇−−
=rr
022
1µω ( )ztz
zt ejk
kke ∇
−= 22
1r
( )ztzztzz
t hjkexujkk
h ∇+∇−
=rr
022
1εω
( ) ( )tzz
ztzz
t exuk
exujkk
h rrrr0
022
1 εωεω =∇
−=
kkZk
he
Z z
t
tTM0
0
0 ===ωε
rr
Ω== 3770
00 ε
µZ
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Concepto de modo. Clasificación de los modos
Modo TE (o H) hz ≠ 0 ez = 0
Líneas de transmisión y guías de ondas
( )ztzztzz
t ejkhxujkk
e ∇+∇−−
=rr
022
1µω
( )ztzz
t hjkkk
h ∇−
= 22
1r
zzt
tTE
kkZ
khe
Z 00 ===
ωεrr
20ZZZ TETM =
( )ztzztzz
t hjkexujkk
h ∇+∇−
=rr
022
1εω
( ) ( )tzz
ztzz
t hxuk
hxujkk
errrr 0
022
1 µωµω −=∇−
−=
11
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Líneas de transmisión y guías de ondasConcepto de modo. Clasificación de los modos
Modo TEM hz = 0 ez = 0
( )ztzztzz
t ejkhxujkk
e ∇+∇−−
=rr
022
1µω
0≠thr
( )ztzztzz
t hjkexujkk
h ∇+∇−
=rr
022
1εω
kkkk zz =⇒=− 0220≠ter ⇒
0=∇ tt hxr
0=∇ tt exr
( ) 00
ZZcE
Bexukh TEMtzt =⇒=⇒=
rrrrr
µω
Modos híbridos hz ≠ 0 ez ≠ 0
( ) ( )yxyxe tt ,, φ−∇=r 0=∇ tter ( ) 0,2 =∇ yxtφ
0=∇ tthr
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( ) 0,2 =∇ yxtφ
−=
02
20
10
20 V
oSenV
SenV
φ
ee ttrr
=−∇= φ
Líneas de transmisión y guías de ondasLíneas de transmisión.
( )tzt exukh rrr
0µω=
zjkt
zjkt eeeEE φ−∇===
rrr zjktzt eexukHH rrrr
0ωµ==
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zjkeVV 0=
0
22
IdlJldhS
sS
t == ∫∫rr
zjkeII 0=
JDjHxrrr
+=∇ ω st Jhxnrrr
=
0=texnrr
0=∇ hxtr
Líneas de transmisión y guías de ondas
Líneas de transmisión.
( ) ( )[ ] 012
2
1
2
1
2
1
VSSlddldldlde
S
S
S
St
S
St −=−−=−=∇−= ∫∫∫ φφ
φφ
rrrr
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0112
2
2 =∂∂
+
∂∂
∂∂
ϕφφ
rrr
rr
01=
∂∂
∂∂
rr
rrφ
21 ln CrC +=φ arenV == 0φ
bren == 0φ
210 ln CaCV += 21 ln0 CbC += bCC ln12 −=
=
ba
VCln
01 ( )
( )babr
Vln
ln0=φ
Líneas de transmisión y guías de ondasLíneas de transmisión. Línea coaxial
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( ) ( )jkzrjkzrjkz
r eru
abVe
ru
baVe
ruE
rrrr
lnln00 =−=
∂∂
−=φ
( )jkzjkz
tz eru
abVkeexukH ϕ
ωµωµ
rrrr
ln0
00
==
( )jkzz
rs eau
abVkHxuHxnJ
rrrrrr
ln0
0ωµ===
Líneas de transmisión y guías de ondasLíneas de transmisión. Línea coaxial
zjkeVV 0=
( ) ( )abVkda
abaVkI
ln2
ln0
0
2
0
0
00
πωµ
ϕωµ
π
== ∫
zjkeII 0=
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( )( ) ( )abVkda
rdrd
abVkrdrduExHP
b
az
b
a lnln21Re
21 2
0
0
2
02
20
0
2
0
*
ωµπ
ϕϕ
ωµϕ
ππ
=== ∫∫∫∫r
Líneas de transmisión y guías de ondasLíneas de transmisión. Línea coaxial
( ) ( )abVkIVVIP
ln2
21
21Re
21 2
0
000
* πωµ
===
0
00 IVZ =
∫= zSdHxEPrrr
*Re21
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Líneas de transmisión y guías de ondasLíneas de transmisión.
Análisis de parámetros distribuidos
∫=S
dSHHII
L **
00
0rrµ
∫=S
dSEEVV
C **
00
rrε
∫+
=21
**
00 SS
m dSHHIIRR
rr
∫= dSEEVV
G **
00
'' rrωε
dvHBLIIUV
Tm
rr∫==
21
21
21
21 *
00
dvDECVVUV
Te
rr∫==
41
41 *
00
εεε ′′+′=
18
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Líneas de transmisión y guías de ondasLíneas de transmisión.
Análisis de parámetros distribuidos
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tiLdziRdzdz
zvvv
∂∂
+=
∂∂
+−tiLiR
zv
∂∂
−−=∂∂
tvCdzvGdzdz
ziii
∂∂
+=
∂∂
+−tvCvG
zi
∂∂
−−=∂∂
Líneas de transmisión y guías de ondasLíneas de transmisión.
Análisis de parámetros distribuidos
20
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ztiL
ziR
zv
∂∂∂
−∂∂
−=∂∂ 2
2
2
2
22
tvC
zvG
zti
∂∂
−∂∂
−=∂∂∂
Líneas de transmisión y guías de ondasLíneas de transmisión.
Análisis de parámetros distribuidos
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+=∂∂
2
2
2
2
tvC
tvGL
tvCGvR
zv
( ) 02
2
2
2
=−∂∂
−∂∂
+−∂∂ RGv
tvLC
tvRCLG
zv
( )( )jwtzjVev −= γRe ( ) 022 =−+++− RGLCwRCLGjwγ
21
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IjwLRzV )( −−=∂∂ VjwCG
zI )( −−=∂∂
( ) 0)( 22
2
=+++−∂∂ VLGRCjwVLCwRGzV
zjzj eVeVV γγ −−+ += ( )[ ] 212 )( LGRCjwLCwRG +++−=γ
( )zjzjzjzj eVeVjwLR
eIeIV γγγγ γ −−+−−+ −−
=−= 21
−−
=−
=jwCGjwLRjwLRZc γ
Líneas de transmisión y guías de ondasLíneas de transmisión.
Análisis de parámetros distribuidos
( )[ ] LCwLGRCjwLCwRGGR
=+−−−==
= 212 )(
00
γεµε
εµC
LCCLZc ====
22
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( ) ( )tzxHtzxE ,,;,,rr
cteEx = xx uee rr0= ae012 =−φφ
yy uceh rr
0
0
µ=
xjwtikz ueeeE rr
−= 0y
jwtikz ueeceH rr
−=0
0
µ of kwv
µε0
1==
( ) 200
20
0
20
0
0
0
20*
211
21
21
21Re
21 hZe
Ze
ceHxEN =====
µε
µ
rrr
Líneas de transmisión y guías de ondasPropagación entre dos planos paralelos
¿Habrá solución TEM?z
x y
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0≠ze ( ) 0222 =−+∇ zzzt ekke
( ) zxzzz
z ekekkxexe 2222
2
)( −=−−=∂∂
⇒ xBsenkxkAe xxz += cos
000 =⇒=⇒= Aex z πnakaBsenkeax xxz =⇒=⇒=⇒= 00
22
−=⇒=ankk
ank
nzxππ
Solución TM
Líneas de transmisión y guías de ondasPropagación entre dos planos paralelos
22
−=ankk
nzπ
24
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axnBsenez
π=
axnB
kkjex
zx
πcos=
axnB
kk
Zje
Zh
xxTMy
πcos11
0
== 22
−
==
ank
wkwvnz
fπ
( )axnB
kkk
ZhehZe
ZhxeN
x
zyxy
TMxTMttz
π222
0
22* cos121
21
211
21Re
21
=====rr
Líneas de transmisión y guías de ondasPropagación entre dos planos paralelos
abBkkk
ZaB
kkk
ZbdSNP
x
z
x
zaxby
yx
zz2
20
22
000
141
21
21
=== ∫==
==
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2
002
22
−=
−=
an
ankk
nzπ
εµωπ
0=nzk
Líneas de transmisión y guías de ondasPropagación entre dos planos paralelos
Frecuencia de corte
anc
an
ncππ
εµω ==
00
1
TMomodningunexistenoSi c1ωω <
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0≠zh
( )xkBxAsenkkkjkh xxxx
zx cos2 +−=
xBsenkxkAh xxz += cos
000 =⇒=⇒= Bex y
22
−=⇒=ankk
ank
nzxππ
( )xkBxAsenkkkjk
ke xxx
x
z
zy cos2
0 +−−=ωµ
anknakeax
nxxyπ
π =⇒=⇒=⇒= 0
axnAhzπcos=
−=
axnAsenk
kjkh xx
zx
π2
−−=
axnAsenk
kjk
ke x
x
z
zy
πωµ2
0
Solución TE
Líneas de transmisión y guías de ondasPropagación entre dos planos paralelos
( ) 022222 =+∇=−+∇ zxztzzzt hkhhkkh
27
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( )wtzkj zeyxeE −= ),(r ( )wtzkj zeyxhH −= ),(
rr
( ) 0222 =−+∇ ekke ztrr ( ) 0222 =−+∇ hkkh zt
rr
0,0:,0 ==== zy EEaxx 0,0:,0 ==== zx EEbyy
00 == zz HyETEM 00 ≠= zz HyETE
00 =≠ zz HyETM 00 ≠≠ zz HyEhibridos
Líneas de transmisión y guías de ondasGuía de sección rectangular
y
x ba
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Líneas de transmisión y guías de ondasGuía de sección rectangular
Solución TM
yxt uy
ux
rr2
2
2
22
∂∂
+∂∂
=∇ ( ) 011 222
2
2
2
=−+∂∂
+∂∂
zkkyg
gxf
f
02222 =−−− zyx kkkk xkBxAsenkxf xx cos)( += ykDyCsenkyg yy cos)( +=
)()( ygxfez =
0,00 === yxparaez 0== DBxAsenkxf x=)(
yCsenkyg y=)(
yxsenkAsenke yxz = byaxparaez === ,0πmakasenk xx =⇒= 0
πnbkbsenk yy =⇒= 022
2
−
−=
bn
amkkz
ππ ( ) ( )wtzkjwtzkjzz
zz eybnsenx
amAseneeE −− ==
ππ
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ybnsenx
amA
am
kkjke
z
zx
πππ cos22 −=
ybnx
amsenA
bn
kkjke
z
zy
πππ cos22 −=
ybnx
amsenA
bn
kkjh
zx
πππεω cos220
−−
=
ybnsenx
amA
am
kkjh
zx
πππεω cos220
−=
Líneas de transmisión y guías de ondasGuía de sección rectangular
30
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( )( )ykDysenkCxkBxsenkAh yyxxz coscos ++=
( )( )yDsenkykCxkBxsenkAkkk
jkh yyxxyz
zy −+
−= coscos22
( )( )ykDysenkCxBsenkxkAkkk
jkh yyxxxz
zx coscos22 +−
−=
000 =⇒== Axparahx 000 =⇒== Cyparahy
( )( ) ykxkBykDxkBh yxyxz coscoscoscos ==
Líneas de transmisión y guías de ondasGuía de sección rectangular
Solución TE
( )ztzz
t hjkkk
h ∇−
= 22
1r
31
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ykxBsenkkkkjkh yxx
z
zx cos22 −
−= yxsenkkBk
kkjkh yxy
z
zy cos22 −
−=
amkaxparah xxπ
=⇒== 0bnkbyparah yyπ
=⇒== 0
222
−
−=
bn
amkkz
ππ ysenkxkBkkk
je yxyz
x cos220
−−
=µω
ykxBsenkkkk
je yxxz
y cos220
−=
µω
t
t
he
Z v
r
= Ω== 3770
00 ε
µZ
kkZkZ zzTM
00
==ωε zz
TE
kkZ
kZ 0
0 ==ωµ
Líneas de transmisión y guías de ondasGuía de sección rectangular
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kz=0 corte del modo w de corte par el modo TMnm
2220
−
−=
bn
amk ππ
µε22 wk =
22
1
+
=
bn
amwc
ππµε
Las frecuencias mas pequeñasentre los TMnm corresponden a n=m=1
(b>a)
Las frecuencias mas pequeñas entre los TEnm corresponden a m=0 y n=1 si b>a el TE10 sera el fundamental
Líneas de transmisión y guías de ondasParámetros característicos de una guía
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Velocidad de fase T
bn
amk
wkwv g
zf
λ
ππ=
−
−
==22
2
Longitud de onda de la guía λgg
zk λπ2
=
2
2
0022
cwwk == µε cv f >
+
−
=22
2
2
1bn
am
wc
cv fππ
Líneas de transmisión y guías de ondasParámetros característicos de una guía
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cvc
kwv
fzg <==
∂∂
=2
L
Transporte de energía ∫=Seccion
SdHxEPrrr) *
21Re)Re(
ztt udShxeSdHxE rrrrrr** =
Impedancias
Líneas de transmisión y guías de ondasParámetros característicos de una guía
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Caso TM
( ) === ztztz
ztt udSexuxekwudShxeSdHxE rrrrrrrrrr
0** ε
( ) ( ) ( )[ ] dSekwudSeueeeu
kwudSexuxe
kw
tz
ztztttzz
ztztz
20**00 rrrrrrrrrrrr εεε=−=
dSehdSekwP
Seccionttt
Seccionz∫∫ ==
rrr
21
220ε
Líneas de transmisión y guías de ondasParámetros característicos de una guía
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dSehdShkwP
Seccionttt
Seccionz∫∫ ==
rrr
21
22
0εCaso TE
LBLELuuu +=
Energía almacenada
( ) =+=== ∫∫∫ dVeedVEdVDEuV
ztVV
LE22
0
2
0*
41
41
41 rrrrr
εε
( )dSeeLLdSdVV
zt∫ +=== 2204
1 rrε
Líneas de transmisión y guías de ondasParámetros característicos de una guía
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Cavidades resonantes
a
b
c Caja paralelepípeda metálica
0=ter
cpkzπ
=
Líneas de transmisión y guías de ondasCavidades resonantes
2
2
zkpc π
=
ZkzZ
z2
2
2
−=∂∂ zkBzAsenkZ zz cos+=
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czpsen
byn
axmAhz
πππ coscos=
Caso TE nos quedamoscon senkz z para que hz se anule en z=0 y z=c
Caso TM nos quedamoscon coskz z para que se anule la componente transversal.Ni n ni m pueden ser cero, p si que puede ser cero
czp
bynsen
axmAsenez
πππ cos= 2222 kkkk zyx =++
2222
+
+
=
cp
bn
am
cπππω
Líneas de transmisión y guías de ondasCavidades resonantes
n o m pueden ser cero (uno deellos) p ≠0
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