FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
“Año de la promoción de la Industria Responsable y del compromiso climático”
Construcción y determinación de un adecuado envase para la nueva cera lavavajillas.
CURSO: CALCULO 1
DOCENTE:
ZUBIAGA VERA, WILLY
INTEGRANTES:
MEDINA CHAVEZ, MELISSA
GONZALES CESPEDES, SERGIO.
REYNA MARQUINA, KENYI
TORRES AVILA, KARINE
VILLACORTA CORTIJO, GEANCARLO
2014
Calculo I Página 3
TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN:.............................................................................4
CAPITULO 1:........................................................................................5
2. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA:..........................................................6
3. OBJETIVOS.....................................................................................6
A. OBJETIVO GENERAL.........................................................................6
B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS..................................................................6
4. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS.............................................................7
a) Lavavajillas:.....................................................................................7
CAPITULO N° 2:....................................................................................9
5. PLANTEAMIENTO………………………………………………………………………… 10 6. DESARROLLO DEL RECIPIENTE CUADRADO....................................12
7. DESARROLLO DEL RECIPIENTE CIRCULAR………………………………………18 8. CONCLUSIONES…………………………………………………………………………….21 9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................22
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1. INTRODUCCIÓN:
La empresa industrial AMC creada en el año 2004, es una empresa
dirigida a elaborar diferentes productos de limpieza en la cocina y se encuentra
ubicado en la Av. América Sur (Santa María - en Trujillo).
Esta empresa tiene un sistema de trabajo muy estricto pues no sólo ve la
variedad de productos sino que también tiene en cuenta los recipientes y
empaques en los cuales son presentados sus productos al mercado, en donde
la demanda, el prestigio y la competencia son puntos claves.
Pues dicha empresa desea lanzar una nueva cera lavavajillas al mercado
y necesita saber qué tipo de envase es el adecuado para producir y lanzar su
producto al mercado. Para esto hay dos opciones: envase con base cuadrada o
con base circular.
Asimismo el trabajo que presentamos busca resolver el problema e
inquietud que atraviesa esta empresa, por medio de la utilización de la
definición de funciones, criterios de máximos y mínimos y la aplicación de los
criterios de la primera y segunda derivada del cálculo diferencial, los cuales nos
permitan saber qué tipo de recipiente es el adecuado para la nueva cera
lavavajillas.
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CAPITULO N° 1:“Construcción y determinación de
un adecuado envase para la nueva
cera lavavajillas”
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2. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA:
La empresa AMC desea lanzar una nueva cera lavavajillas al mercado,
motivo por el cual necesita saber en qué tipo de envase lo va a presentar. Para
esto hay dos opciones: envase con base cuadrada o envase con base circular,
y se sabe que el precio del plástico necesario para los envases es de 0.01 soles
el cm2, el costo del lavavajillas es de 0.0008 soles el gramo, el precio al
mercado del producto será de 0.0029 soles el gramo, la densidad de la cera es
de 1.74 gr/cm3 y, según norma, todos los envases que tengan un volumen
menor a 300 cm3 se pueden llenar hasta el 98.5%, los mayores o igual solo se
pueden llenar hasta el 97%.
3. OBJETIVOS
A. OBJETIVO GENERAL
Mostrar la aplicación de la derivada de funciones reales de
variable real para la construcción y determinación del tipo de
recipiente para lanzar al mercado el nuevo producto de la empresa
AMC (cera lavavajilla).
B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Realizar un prototipo del recipiente de la nueva lavavajilla para
der lanzada al mercado.
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Utilización de la definición de funciones en la formulación del
modelo del recipiente.
Aplicación de criterios de derivación del diferencial.
4. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS
a) Lavavajillas:
Para qué sirve y como actúa:
La lavavajilla en pasta es un detergente usado para la grasa y
suciedad de vasos, vajilla, utensilios, etc. De una forma que no corroa el
material y quite el mal olor. Los lavavajillas no solo los encontramos en
pasta, sino que también podemos encontrar en forma líquida. Es
antibacterial, desinfecta y limpia platos y utensilios de cocina. Su pH es
controlado y sus propiedades humectantes evitan resequedad en las
manos.
Este producto limpiador trabaja penetrando en la base de la
mancha hasta reducir el contacto con la superficie del material,
facilitando así la eliminación física. En otras ocasiones, la limpieza se
produce por reacción química con la mancha, transformándola en otra
sustancia fácilmente eliminable.
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Componentes de un lavavajillas:
• Alcohol Etílico:
El Alcohol Etílico no solo es un producto químico
orgánico sintético más antiguo empleado por el hombre sino
también uno de las importantes.
• Trietanolamina:
Este producto químico se utiliza como ingrediente para
balancear el pH en preparaciones cosméticas, de higiene y
en productos de limpieza. Entre los productos cosméticos y
de higiene en el cual es usado con este fin se incluyen
lociones para la piel, etc.
• Bicarbonato de sodio:
Sirve también para la limpieza por su poder abrasivo y
desodorante (por ejemplo, para quitar el olor “a nuevo” de las
neveras). Se usa además como blanqueador dental ya que
se pule la superficie del esmalte.
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CAPITULO N° 2:
“Desarrollo del proyecto”
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PLANTEAMIENTO
Minimizar Costo de Producción
Ahorro de materia prima para envasar 500000 cm3 de cera lavavajilla
Como envasar
Recipiente tipo A = V a (485 cm3 )MPa=(300 ) cm2
Recipiente tipo B = V b (553cm3 )b= (300 ) cm2
Costo materia prima por cm2
Va: 500000/485 =1030
Vb: 500000/553=904
Ganancia = (N° de productos vendidos). (Costo de producción unitario + Ganancia)
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RECIPIENTE DE BASE CIRCULAR
V = 485 cm3
MP = 300 cm2
RECIPIENTE DE BASE CUADRADA
V = 553 cm3
MP = 300 cm2
DESARROLLO DEL RECIPIENTE CUADRADO
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Definición de funciones:
Encontraremos las ecuaciones que representen tanto el Área como el volumen:
Área:
Área de la base: (medida del largo de la base)*(medida del
ancho de la base):=X*X
Área lateral: 4*(medida del largo de la base )*(medida de la
altura)=4*x*y
Área total: (Área de la base) + (Área lateral)
La ecuación que representa el área es:
A = AB +AL
A= x2+4 xy ………………………………………………………….(1)
Volumen:
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Y
X
X
Volumen: (medida del largo de la base)*(medida del ancho de la
base)*(medida de la altura)=x*x*y
La ecuación que representa el volumen es:
V=x*x*y ……………………….(2)
Tenemos 2 relaciones, área y volumen, despejaremos una variable en la
ecuación de área y reemplazaremos ese valor en el volumen; luego
calcularemos puntos críticos y aplicando los criterios de primera y segunda
derivada demostraremos que es un volumen máximo.
De la ecuación (1) dejaremos la variable “y”:
A= x2+4 xy
EL valor del Área es dato del problema. A=300
300= x2+4 xy
Y=(300-x2)/(4x)…………………………….(3)
Reemplazamos el valor de “y” de la ecuación (3) en la ecuación (2)
V (x )=x2*y
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V (x )=x2(300−x2)
4 x
V (x )=x(300−x2)
4……………………………………….. (4)
Aplicación Derivada
V ( x )= x(300−x2 )4
=300 x4
− x3
4=300−3 x2=0
V ' ( x )=[x (300−x2 )
4] '=( 300 x
4− x
3
4) '=300−3 x2
Igualamos V’(x) a cero para analizar puntos críticos
V ' ( x )=300−3x2 = 0
x=±√ 3003 =10
V ' (x )=3004
−3 x2
4↔V ' ( x )=0
Máximos y mínimos (criterios 1° y 2° desarrollo)
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+’’ < Máxima
+’’ > Mínima
V ' ' ( x )=−6 x4
V ' ' (10 )=−6∗104
=−15
V ( x )=x2 y=102∗5=500cm3
llenar :0.97∗V (x )=0.97∗500=485
El primer Envase de base cuadrada llena un aproximado de 485 gr.
Análisis de la gráfica
Volumen:
Área= x2+4xy
300=x2+4 xy
y=300−x2
4 x
V ( x )=x2 . y=x2( 300−x2
4 x)
V ( x )=300x4
− x3
4D=300
4−3 x
2
4
V (10 )=30004
−10004V ' (x )=0
V (10 )=500 3004
−3x2
4=0
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Y
X
X
V (−10 )=−30004
+10004300=3 x2
¿500 x=±10
V ( x )=0V ( x )=3004
−3 x2
4
300 x− y3=0V (−15 )=¿ 243.75
x (300−x2 )=0V (−5 )=¿93.75
x=0V (5 )=¿56.25
Y=10 √3V (15 )=¿-93.75
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Desarrollo del recipiente de base circular:
Definición de funciones:
Area=π x2
2
+2π x2y
300=π4x2+πxy
y=300−π
4x2
πx
y=1200−π x2
4 πx↔1200−121π
44 π=5.931≅ 6
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Aplicación de volumen
V ( x )=π x2
4 ( 1200−π x24 πxx )
V ( x )= 116
(1200 x−π x3 )
V ' (x )= 116
(1200−3 π x2)=0↔x √ 12003 π =¿ 20√π
=11,283≅ 11¿
Puntos críticos
V ' (x )=0
V ' ' (11 )= 116
(1200−3π x2 )=0
x=√ 2003πV ' ' ( x )= 1
16(−6πx )
V ' ' (11 )=−38π (7 )<0
V ( x )=π x2 y4
=π (121 )64
En el segundo de base circular llena un aproximado de 553 gr.
Análisis de la gráfica:
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V(X) = ( π x24 )( 1200−π x24 πx )
V(X) = 116
(1200 x−π x3 )
X = 11
V(X) = 116
[1200 (11 )−π (11 )3 ]
V(X) = 56300
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Y
CONCLUSIONES
Al terminar el presente proyecto de aplicación, se llegó a la conclusión
que gracias a la aplicación de la derivada de funciones con variable
real, se pudo determinar el tipo de recipiente que la empresa AMC,
necesitaba para lanzar su nuevo producto de lavavajillas al mercado.
Del cual se obtuvo como resultado que de los dos tipos de recipientes,
el más óptimo es el de base cuadrada, ya que sólo se llenará un
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aproximado de 485gr de cera lavavajilla, a diferencia del otro
recipiente que ocupa 553gr del producto, lo que representa una
mayor ganancia para dicha empresa.
Referencias Bibliográficas
• Rodríguez Sosa, Miguel Ángel. Investigación científica.
Teoría y métodos. Pacífico editores, Lima, 1994. Archivo
en computadora.
• Guía de envases y embalajes. © primera edición: junio
2009. Reproducción autorizada citando la fuente.
Depósito legal: 2009-08329-Ministerio de Comercio
Exterior y Turismo-vice ministerio de comercio exterior.
• Análisis Matemático 1. Eduardo Espinoza Ramos.
• Análisis Matemático 1. La Salle y Sullivan. 5°edicion-
mayo 1972.
• Análisis Matemático 1. Armando Beneros. 2° edición.
Lima-2012.
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• Pita Ruiz –Cálculo diferencial.
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