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NOMBRE DEL ESTUDIANTE:

_______________________________________________

INSTITUCIÓN EDUCATIVA:

________________________________________________

MODALIDAD DE BACHILLERATO:

__________________________________________

SECCIÓN: _________________

NOMBRE DEL DOCENTE APLICADOR:

______________________________________

FECHA:

_______________________________________________________________

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES

DE EDUCACIÓN MEDIA

DOCUMENTO PARA EL DOCENTE DE

MATEMÁTICA

PRAEM 2010

Ministerio de Educación Dirección Nacional de Educación

PRAEM 2010

Actividades de Refuerzo de Matemática – Segunda Prueba de Avance 2

Actividades de refuerzo académico sugeridas para que los estudiantes superen las

deficiencias mostradas en el desarrollo de los ítems de la prueba

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 1 y 2

Bloque de contenido: Estadística

Contenido: Probabilidad

Indicadores de logro: 4.3 Aplica, con interés y

confianza, las operaciones de conjuntos a los espacios muéstrales.

4.4 Resuelve, con seguridad,

ejercicios y problemas de aplicación a los espacios muéstrales.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:

1. Dificultad para elaborar arreglos usando diagrama de árbol.

2. Dificultad para obtener e interpretar el espacio muestral.

3. Dificultad para realizar operaciones con conjuntos. Actividad 1: Reforcemos saberes previos

Descripción:

Debido al enfoque de la asignatura, las actividades iniciarán planteando una situación problemática; a partir de ella y con base en los conocimientos previos, se harán cuestionamientos sobre los diferentes conceptos que se necesitan para resolverlas.

Para el cálculo de la probabilidad, los conceptos y operaciones básicas que se requieren son: Conjunto

El concepto de conjunto es intuitivo pero básico en la matemática, aquí se expone la terminología que puede ser usada para ayudar a explicar la probabilidad.

Todo conjunto se representa por una letra mayúscula y hay tres formas de expresarlo:

Por extensión, listando los elementos entre llaves.

Ejemplo Edad de cinco personas de la familia Hernández, S = {6, 9, 12, 35, 40}

Por comprensión, estableciendo las condiciones que cumplen los elementos.

Ejemplo

Esta expresión se lee “S es el conjunto de todos los números naturales que son impares, mayores que 5 y menores que 1 501”


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Utilizando un Diagrama de Venn o Diagrama de Euler.

Ejemplo

Sea U = El conjunto de todos los estudiantes del Institutito Nacional “Manuel José Arce” A = Conjunto de todos los estudiantes del segundo Año A. B = Conjunto de todos los estudiantes del segundo Año B.

El área total representada por la letra U se llama conjunto Universal o población.

Arreglos de objetos

Los procedimientos para encontrar el número de arreglos posibles de los elementos de un conjunto, son esenciales en el estudio de la probabilidad. Los arreglos pueden encontrarse a partir de un diagrama de árbol.

Ejemplo

En una bolsa se tienen 4 chibolas (canicas) 2 de color rojo (R) y 2 de color blanco (B). Encuentre el número de arreglos que se forman si se extraen tres una después de la otra.

U

A B

Arreglos

B BBB

B

R BBR

B

B BRB

R

R BRR

Inicio

B RBB

B

R RBR

R

B RRB

R

R RRR


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Existen ocho formas posibles en las que pueden aparecer las chibolas.

S = {BBB, BBR, BRB, BRR, RBB, RBR, RRB, RRR}

Si queremos encontrar los sucesos en que se extraen más canicas de color rojo, obtenemos:

A = {BRR, RBR, RRB, RRR}

Encuentre el evento “Se obtiene un número impar de canicas blancas”

Considerando que el espacio muestral es

S = {BBB, BBR, BRB, BRR, RBB, RBR, RRB, RRR}

B = {BBB, BRR, RBR, RRB}

Operaciones con conjuntos En diagrama de Venn

A U B = A ó B Significa que ocurre A, B o ambos. A ∩ B = A y B Significa que ocurren ambos. Ac es el complemento. Significa que no ocurre A. A – B es la diferencia de eventos. Significa aparece en A pero no en B.

Al conjunto formado por todos los sucesos o resultados posibles se le llama espacio muestral y se si simboliza con S.

Cualquier subconjunto del espacio muestral recibe el nombre de evento.


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Realizaremos algunas operaciones a partir del problema planteado al inicio.

A = Se obtienen más canicas rojas que blancas; A= {BRR, RBR, RRB, RRR}

B = Se obtiene un número impar de canicas blancas; B= {BBB, BRR, RBR, RRB}

Encontremos

A o B = Se obtienen más canicas rojas o un número impar de canicas blancas.

A U B = {BRR, RBR, RRB, RRR} U {BBB, BRR, RBR, RRB}

= {BRR, RBR, RRB, RRR, BBB} A y B = Se obtienen más canicas rojas y un número impar de canicas blancas.

A ∩ B = {BRR, RBR, RRB, RRR} ∩ {BBB, BRR, RBR, RRB}

{BRR, RBR, RRB,} Ac = No se obtienen más canicas rojas que blancas (se tienen más blancas que rojas)

Si S = {BBB, BBR, BRB, BRR, RBB, RBR, RRB, RRR} y A = {BRR, RBR, RRB, RRR}, entonces:

Ac = {BBB, BBR, BRB, RBB} Actividad 2: Encontremos espacios muéstrales y eventos Descripción: Se trata de la aplicación de procedimientos para encontrar eventos y espacios muéstrales usando el diagrama de árbol. Ejercicios

1. Una señora tiene cuatro abrigos (rojo, gris, rosa y amarillo) y dos sombreros (blanco y negro) ¿De cuantas formas puede combinar un abrigo y un sombrero?

2. En una cajita hay cuatro dulces dos de naranjas (N) y dos de uva (U). Si se extraen tres uno después del otro, encuentre los eventos:

A = Se tiene tres dulces de naranja.

B = Se tienen tres dulces de uva.

A ∩ B =

3. Encontrar el espacio muestral (S) asociado al lanzamiento de dos dados y los eventos siguientes:

A = La suma de los puntos en la cara superior es igual a 5

B = La cara con dos puntos aparece al menos una vez


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Actividades sugeridas para los ítems número 3, 4 y 8

Bloque de contenido: Estadística

Contenido: Probabilidad

Indicadores de logro: 4.9 Resuelve con

autonomía, problemas aplicando los enfoques subjetivo, empírico y clásico de probabilidades.


1. Confusión entre los casos probables y los casos posibles 2. Dificultad para reconocer los sucesos de un evento 3. Dificultad al aplicar la fórmula del cálculo de la probabilidad

Actividad 1: Reforcemos saberes previos

Descripción:

En esta actividad se realizarán procesos hasta darle respuesta a cada una de las situaciones planteadas.

Número primo

Un número primo es aquel que solo es divisible entre sí mismo y la unidad.

El 13 es un número primo porque 13= 13 x 1 y no puede escribirse como el producto de ningún otro par de números naturales.

En cambio 15 no es un número primo porque 15 = 3 x 5, es divisible entre si mismo y la unidad pero también entre 3 y 5.

Una manera de encontrar números primos hasta 100, consiste en escribir los números del 1 al 100. El número 1 se elimina como número primo por definición. El primer número primo es 2, por lo que eliminamos todos los números múltiplos de 2. De los que quedan, el número después del 2 es el 3, este es el siguiente primo. Tachamos todos los múltiplos de 3. El siguiente número sin tachar es el 5, por lo que tachamos los múltiplos de 5. El siguiente es el 7,...

Completa la tabla de los números primos Para ello, sigue estos pasos: A partir del 2, tacha los múltiplos de 2. A partir del 3, tacha los múltiplos de 3. A partir del 5, tacha los múltiplos de 5. A partir del 7, tacha los múltiplos de 7. A partir del 11, tacha los múltiplos de 11.

A partir de la actividad anterior los números primos que resultan son los siguientes.

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}


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Fenómenos aleatorios

En la vida cotidiana observamos fenómenos que al repetirse, se obtienen los mismos resultados y otros en los que obtenemos resultados diferentes al repetirlos.

A continuación aparecen algunos fenómenos, escribe una X en el espacio de acuerdo a la conveniencia.

Fenómeno Se obtiene los

mismos resultado

No se obtiene los mismos

resultados

a) Medir varias veces con la misma regla la longitud de un lápiz

b) Lanzar varias veces una moneda al aire y anotar si cae cara o cruz

c) Soltar varias veces una piedra desde la misma altura y medir el tiempo que tarda en llega al suelo

d) Meter varias veces la mano en un recipiente con agua en las mismas condiciones

e) Jugar a la lotería para obtener el premio mayor

f) Extraer una baraja de un mazo de cartas para ver si es un as

Si se obtiene siempre el mismo resultado, es un fenómeno determinista.

De los anteriores, ¿cuáles son fenómenos deterministas? _______________

Si los resultados sufren variaciones y no sabemos que ocurrirá la próxima vez, se trata de un fenómeno aleatorio.

Escribe el espacio muestral de los experimentos siguientes:

1) Lanzar una moneda al aire.

2) Lanzar un dado al aire

3) Determinar la última cifra del premio mayor de la lotería.

4) Extraer tres bolitas de una urna que contiene 3 bolitas blancas y tres negras, una

después de la otra.

5) Lanzamiento de dos dados uno después otro.

6) Seleccionar un número natural de dos cifras.

Probabilidad

Obtener la probabilidad de un evento, consiste en encontrar el número que nos indica qué tan “probable” es que ese evento ocurra. Dicho número es el cociente entre la cantidad de sucesos esperados y la de sucesos posibles o puntos muéstrales.


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Ejemplo

En el experimento de lanzar dos monedas al aire, una después de la otra,

¿Cuál es la probabilidad que al menos una moneda caiga cara?

Encontrar el espacio muestral usando una tabla de doble entrada:

S = {(cara, cara), (sello, cara), (cara, sello), (sello, sello)} El número de puntos del espacio muestral es 4 Encontrar el evento E: Que al menos una moneda caiga cara

E = {(cara, cara), (sello, cara), (cara, sello)} El número de puntos muéstrales del evento esperado es 3 Aplicar la fórmula:

P(E) = = 0.75

R: La probabilidad que al lanzar dos monedas al aire, al menos una caiga cara es de 0.75

A partir de este momento a los puntos muestrales del evento le llamaremos casos favorables (f) y a los espacios muestral casos posibles (n)

Moneda

1

cara sello

Moneda

2

cara (cara, cara) (sello, cara)

sello (cara, sello) (sello, sello )


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Si E es un evento:

Ejemplo

Sea el conjunto: {10, 11, 12,13,...99}

¿Cuál es la posibilidad de que al seleccionar un número entero positivo de dos cifras, este sea primo y termine en tres?

Los casos posibles del evento son los números enteros positivos de dos cifras {10, 11, 12,…99} haciendo un total de 90. Los casos favorables {13, 23, 43, 53, 73, 83} son 6. Aplicar la fórmula:

Simplificando

R: La posibilidad de que al seleccionar un número entero positivo de dos cifras, este sea primo y termine en tres es de 0.067 ¿Es posible que una probabilidad de un evento sea mayor que 1?

No, porque el número de casos favorables nunca será mayor que el de casos posibles. Ejemplo

Completar las casillas, para el experimento “lanzar un dado al aire”

Evento Casos favorables Casos posibles Probabilidad

E1 = Números par E1 = {2, 4, 6}

3 casos

S = {1,2,3,4,5,6}

6 casos

E2 = Número

mayor que 6

E1 = { }

0 casos

E3 = número

menor que 7


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Actividad 2: Encontremos la probabilidad

Descripción:

En esta actividad se pretende reforzar los procedimientos para encontrar la probabilidad aplicando la fórmula. Ejercicios 1. Si en una bolsa hay 5 canicas, 2 rojas y 3 blancas, ¿Cuál es la probabilidad de

extraer, sin ver, los eventos siguientes:

Evento Casos favorables Casos posibles Probabilidad

E1 = una canica roja

E2 = una canica blanca

E3 = Una canica azul

2. Si en una caja hay 4 pelotas numeradas del 1 al 4. Cuál es la probabilidad de extraer una y que esta sea:

E1 = par P(E1) = ____________

E2 = impar P(E2) = ____________

E3 = mayor que 5 P(E3) = ____________

E1 = menor que 3 P(E1) = ____________

E1 = número primo P(E1) = ____________

E2 = múltiplo de 2 P(E2) = ____________

E3 = mayor que 0 P(E3) = ____________

E1 = múltiplo de 3 P(E1) = ____________

3. María y Juan lanzan dos dados uno después del otro y suman los números obtenidos, ¿cuál es la probabilidad de que la suma resulte un múltiplo de tres?


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 5, 6 y 7

Bloque de contenido

Estadística

Contenido:

Probabilidad

Indicadores de logro

4.11Determina, con orden, la probabilidad de ocurrencia de eventos independientes o dependientes.

4:13 Calcula la probabilidad de eventos solapados, con orden.

4.14 Determina y explica la probabilidad de ocurrencia en eventos condicionados.


1) Dificultad para identificar cuando el evento es compuesto

2) Aplicación incorrecta del conectivo disyuntivo (o) en eventos

3) Aplicación incorrecta del conectivo de conjunción (y) en eventos

4) Dificultad para identificar la ocurrencia de eventos condicionados


Descripción:

La actividad sugiere procesos para darle respuesta a cada una de las situaciones planteadas.

Probabilidad compuesta

¿Cuál es la probabilidad obtener 4 ó 5 en el lanzamiento de un dado?

Se puede observar que en el planteamiento del problema existe un conectivo lógico entre un evento y otro, este es “o”. Por lo tanto, la probabilidad que se pide es de A o B.

Son conectivo lógicos las palabras: no, y, o, si entonces, si y solo si. Las proposiciones que para describirse utilizan conectivos lógicos se denominan proposiciones compuestas.

¿Cuándo es un evento independiente?

Si se forma con el conectivo lógico

La proposición es una

no Negación

o Disyunción

y Conjunción

Llamaremos evento compuesto a aquel que se describe mediante una negación, una disyunción o una conjunción.

Dos eventos son independientes si la recurrencias o no de uno de ellos, no afecta la probabilidad del otro.


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Ejemplo

Se extraen, sin ver, 2 pelotas de una urna que contiene 2 pelotas blancas y 3 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos extraídas sean negras, si después de extraer la primera, esta no se devuelve a la caja?

La probabilidad de que la primera extracción sea negra es

La probabilidad del segundo evento depende de:

a) Si la primera bola fue negra, solo quedan dos en la urna entonces la probabilidad

es

b) Si la primera pelota no fue negra

Entonces la probabilidad de extraer una pelota negra en la segunda ocasión es

En el primer experimento los eventos son independientes.

En el segundo experimento, la probabilidad del segundo evento resulta afectada por la realización del primero, aquí los eventos son dependientes (el segundo depende del primero).

Probabilidad de la unión de eventos a partir de la disyunción

Si el experimento es: “Extraer de una caja, sin ver, una de las 10 tarjetas numeradas del 1 al 10”. Dos de los eventos que pueden resultar de extraer una carta, son:

E1 = Que sea un número menor o igual que 4

E2 = Que sea el número 7.

La proposición compuesta usando el conectivo “o” con los eventos anteriores, es: ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta que tiene un número menor que 4 ó el número 7?

Para este caso, El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Los valores que cumple con E1 = {1, 2, 3, 4}

El valor que cumple con E2 = {7}

Entonces el nuevo evento E1 v E2 = {1, 2, 3, 4, 7}

En diagrama de Venn

E1 U E2 = E1 v E2


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Encontremos la probabilidad

P(E1) = P(E2) = P(E1 U E2 ) =

Si E3 = Que sea un número par E3 = {2, 4, 6, 8, 10} P(E3) =

E4 = Que sea un número mayor que 6, de una cifra E4 = {7, 8, 9} P(E4) =

E5 = Que sea un múltiplo de 5 E5 = {5, 10} P( E5) =

Algunas proposiciones compuestas con el conectivo “o” son: E4 U E5 = Que sea un número mayor que 6, de una cifra o múltiplo de 5

P(E4) =

P( E5) =

E3 U E4 = Carta con número par o número mayor que 6, de una cifra E3U E4 = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

p(E3) =

p(E4) =

En los dos primeros ejemplos, la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades de cada evento. Esto no se cumple en el tercer ejemplo, ya que E3 y E4 tienen elementos en común. Como E3 ∩ E4 = { 8 }, al sumar las probabilidades se cuenta dos veces este elemento, por lo que a la suma se le resta la probabilidad de la intersección.

P(E3 ∩ E4) =

Entonces E3 U E4 = + -

=

E3 U E4 = p(E3) + p(E4) - P(E3 ∩ E4)

P (E4 U E5) =

P (E3U E4) =


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Podemos concluir Para el problema: Encontrar la probabilidad de que en el lanzamiento de un dado se tenga 4 ó 5, analizamos lo siguiente:

Al tirar el dado no se pueden tener dos lados simultáneamente, esto indica que son mutuamente excluyentes.

Si S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E1 = {4} y E2 = {5} entonces P(E1) =

P(E2) =

P(E1 v E2 ) = P(E1 U E2 )

= P(E1) + P(E2)

= +

=

R: La probabilidad de obtener 4 ó 5 en un lanzamiento de dado es ¿Qué pasaría si la proposición en lugar de ser una disyunción (o ) es una conjunción (y). Consideremos la situación siguiente: Un joven matrimonio desea tener dos hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean niñas? Solución S = {niño-niño, niño-niña, niña-niño, niña-niña}

E1 = el primer hijo es niña P(E1) =

E2 = el segundo hijo es niña P(E2) =

E1 E2 El primero y el segundo de sus hijos fueron niñas

P(E1 ∩ E2) = =

Si E1 y E2 son dos eventos sin elementos comunes (mutuamente excluyente), entonces

P(E1 v E2 ) = P(E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2)

Si E1 y E2 son dos eventos con elementos comunes, entonces

P(E1 v E2 ) = P(E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2 )

×


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En este caso los eventos son independientes, por lo que no afecta la probabilidad uno del otro

R: la probabilidad de que los dos hijos sean niñas es de

Ejercicios

¿Cuál es la probabilidad de que en un lanzamiento de un dado, se obtenga un número

par y menor que 5?

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E3 = Número par = {2, 4. 6} P(E3) =

E4 = Número menor que 5 = {1, 2, 3, 4} P(E4) =

E3 E4 = Número par y menor que 5

Al lanzar el dado puede ocurrir cualquiera de los eventos

P(E3 ∩ E4) =

= =

Podemos concluir que: Si E1 y E2 son eventos independientes, entonces

P(E1 E2) = P(E1∩ E2) = P (E1) x P (E2)

Probabilidad condicional

La probabilidad que llueva el 3 de mayo en El Salvador es de 50 % y la probabilidad de que llueva el 3 y 4 es de 40%, si llovió el 3 de mayo, ¿Cuál es la probabilidad que llueva el 4 de mayo?

Para resolverlo es necesario considerar, que la probabilidad de que ocurra un evento depende de que ocurra el otro evento. En este caso, tenemos una probabilidad condicionada.

La probabilidad de que ocurra A cuando B ha ocurrido se simboliza P(A / B) por lo que P(B / A) es la probabilidad que ocurra B dado que A ha ocurrido.

×

1 S

5 1

3

E3 E4

4

2 6

0


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Las formulas a utilizar son:

Probabilidad condicional de A Probabilidad condicional de B

P(A / B ) =

P(B / A ) =

Donde:

P(A ∩ B) es la probabilidad de que ocurran ambos.

P(A) y P (B) se denominan probabilidades marginales. Volviendo al problema: La probabilidad que llueva el 3 de mayo en El Salvador es de 50 % y la probabilidad de que llueva el 3 y 4 es de 40%, si llovió el 3 de mayo, ¿Cuál es la probabilidad que llueva el 4 de mayo? P(A ∩ B) = 40% = 0.4, P(A) = 50 % = 0.5 y P(B) = ? P(B / A ) =

Como el planteamiento del problema está en porcentaje es necesario expresar la respuesta también en porcentaje.

0.8 x 100 = 80 %

R: La probabilidad que llueva el 4 de mayo es de un 80% Actividad 2 Encontremos probabilidades de eventos compuestos

Descripción:

Reforzar los procedimientos para encontrar probabilidad de eventos compuestos y condicionados

Ejercicios

1. En una caja hay 12 ficha de color rojo, 9 verde, 5 azules y 4 amarillas. Si se extrae una ficha, sin ver, considerar los eventos:

E1 = Extraer ficha verde P(E1) = 9/30 = 3/10

E2 = Extraer ficha roja P(E2) P(E2) = 12/30 = 2/5

E3 = Extraer ficha amarilla P(E3) = 4/30 = 2/15

E4 = Extraer ficha azul P(E4) = 5/30 = 1/6

E5 = Extraer ficha blanca P(E5) = 0/30 = 0

E6 = Extraer ficha roja o verde o amarilla P(E6) = 25/30 = 5/6


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Encuentra los siguientes eventos compuestos y encuentra su probabilidad

E1 E2 =

E5 E3 = E1 E6 = E2 E6 = E4 E6 =

2. La probabilidad de que el segundo premio de la Lotería Nacional termine en 5 ó

en 8 es: 3. La probabilidad de que al lanzar una moneda caiga cara o corona es: 4. ¿Cuál es la probabilidad en que al lanzar un dado éste caiga en número impar o

menos que 4? 5. Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿cuál es la probabilidad

que el número sea tres o cinco? Probabilidad intersección de eventos independientes

1. En una caja hay 4 botones blancos, 2 rojos y 1 amarillo. Si se extraen de ella 2 botones, sin ver, devolviendo el primero antes de la segunda extracción. ¿Cuál es la probabilidad que ambos botones sean amarillos?

2. Si se extrae una carta de un mazo de barajas españolas, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de oros y menos que 5?

3. En una competencia, un deportista acertó 3 de 4 tiros, mientras que otro acertó 2 de 4. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos den en el blanco en el quinto tiro?

4. Cierta águila tiene la probabilidad de 3/5 de capturar su presa en cada intento. Si esto es así y cada intento es independiente del otro, ¿cuál es la probabilidad de que en una cacería logre atrapar una presa en el segundo intento sabiendo que no lo hizo en el primero?

Probabilidad condicional

1. Si al lanzar un par de dados comunes, la suma de las caras es 6. Hallar la probabilidad de que una de ellas sea 2. Considerando que existen 5 probabilidades de que la suma sea 6 y los elementos comunes en que pueden aparecer son de 2 maneras.

2. Consideramos una urna que contiene 4 bolitas rojas y 5 blancas. De las 4 bolitas rojas 2 son lisas y 2 rayadas y de las 5 bolitas blancas 4 son lisas y 1 es rayada. Supongamos que se extrae una bolita y sin que la hayamos mirado alguien nos dice la bolita es roja. ¿Cuál es la probabilidad que la bolita sea rayada?


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM 9

Bloque de contenido:

Probabilidad

Contenido:

Distribución binomial

Indicadores de logro:

5.5 Utiliza, con precisión y seguridad, la fórmula para el cálculo de la probabilidad de una distribución binomial en la sucesión de ejercicios.


1. Dificultad para interpretar la situación.

2. Dificultad para determinar que se trata de una distribución binomial e identificar la fórmula a utilizar.

3. Dificultad para realizar los cálculos a partir de la fórmula.


Descripción:

En esta actividad, se presenta un repaso del contenido a partir de un ejemplo, para colaborar con aquellos estudiantes que por alguna razón no cuentan con el desarrollo del contenido.

La distribución binomial es una distribución de probabilidad imprescindible para el estudio de la inferencia estadística, una de las llamadas distribuciones discretas (que sólo pueden tomar un número finito, o infinito numerable, de valores). Fue estudiada por Jakob Bernoulli (Suiza, 1654-1705), quién escribió el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El arte de pronosticar).

La distribución binomial o de Bernoulli está asociada a experimentos en los que:

Se considera sólo la posibilidad de éxito o fracaso.

El éxito o fracaso en cada ocasión es independiente del éxito o fracaso en las demás ocasiones.

La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.

Ejemplos:

1. Partiendo de la probabilidad empírica.

Si lanzamos una moneda 5 veces y obtenemos 3 caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras en 4 lanzamientos?

Este es un ejemplo de distribución binomial, pues estamos repitiendo el experimento de lanzar una moneda.


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El éxito es: obtener cara, que representa 3 de 5 posibilidades (5

3).

El fracaso es: no sacar cara, que representa 2 de 5 posibilidades (5

2).

Si a la probabilidad de éxito le llamamos p, entonces p 5

3 0.6

Si a la probabilidad de no éxito o fracaso le llamamos q, entonces q 5

2 0.4

El ejemplo nos solicita la probabilidad de obtener 2 caras en 4 lanzamientos, esto es n

4 y x 2.

Aplicando la fórmula xnxqpx

nnxP

;

Obtenemos 2424.06.0

2

44;2

P

16.036.06

3456.04;2 P

2. Partiendo de la probabilidad teórica.

¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras en 5 lanzamientos de una moneda?

En este caso, no hay indicador de la probabilidad de éxito por lo que se considera que hay 1 de 2 posibilidades (cara, cruz).

El éxito es: obtener cara, que representa p 2

1.

El fracaso es: no sacar cara, que representa q 2

1.

El ejemplo nos solicita la probabilidad de obtener 2 caras en 4 lanzamientos, esto es n

5 y x 2.

Aplicando la fórmula xnxqpx

nnxP

;

Obtenemos 2525.05.0

2

55;2

P

125.025.010

3125.04;2 P


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3. Acumulando probabilidades

Cuando se nos pide encontrar la probabilidad para un intervalo de datos, encontramos la suma de las probabilidades de cada uno de los datos del intervalo.

¿Cuál es la probabilidad de que en 7 lanzamientos de un dado se obtenga el número 3, al menos 2 veces?

Para resolver, encontramos la suma de las probabilidades para: 0, 1 y 2 veces.

p 6

1 porque hay un número entre las 6 caras del dado.

q 6

5 que representa el complemento (p+q 1)

7083333.0166667.0

0

77;0

P 0.27908

6183333.0166667.0

1

77;1

P 0.39071

5283333.0166667.0

2

77;2

P 0.23443

P ( x ≤ 2) = 0.27908 + 0.39071 + 0.23443

P ( x ≤ 2) = 0.90422

Actividad 2: Resolvamos problemas

Descripción:

Consta de una serie de ejercicios para aplicación de la fórmula, se presenta un problema para cada uno de los casos presentados en el refuerzo.

1. Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.

2. La probabilidad de que un alumno de 2º de Bachillerato apruebe Matemática es de 0.7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben Matemática?

3. Los alumnos de cierta clase se encuentran en una proporción del 67% que estudian inglés y el resto francés. Tomamos una muestra de 15 alumnos de la clase, calcular:

a) Probabilidad de que al menos encontremos tres alumnos de inglés.

b) Probabilidad de que los 15 alumnos estudien inglés.

c) Probabilidad de que estudien inglés entre 7 y 10 alumnos.


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Actividades sugeridas para los ítems 10, 11 y 12

Bloque de contenido:

Probabilidad

Contenido:

Distribución normal


5.9 Utiliza, con precisión y seguridad, las tablas para encontrar áreas bajo la curva normal.

5.10 Resuelve ejercicios y problemas aplicados a la vida cotidiana sobre variables con distribución normal, con seguridad.


1. Dificultad para estandarizar el valor de la variable.

2. Dificultad al utilizar la tabla para áreas bajo la curva normal.

3. Interpretación inadecuada del valor de z. (Valores estandarizados)

4. Ubicación incorrecta de la probabilidad como área de la curva normal.


Descripción:

En esta actividad se desarrolla el contenido considerando las 2 primeras causas por las que respondió incorrectamente y que son básicas para el aprendizaje del contenido.

Desarrollo:

La distribución normal se utiliza para representar probabilidades de aspectos cotidianos, como:

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas) de un mismo tipo. Como tallas, pesos, envergaduras, etc.

Caracteres fisiológicos, como el efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.

Caracteres sociológicos, como el consumo de ciertos productos por individuos de un mismo grupo humano.

Caracteres psicológicos, como el cociente intelectual, grado de adaptación a un medio.

Caracteres físicos, como la resistencia a la rotura de ciertas piezas. . .

Todos ellos, tienen en común que “se distribuyen normalmente”.

¿Qué significa la expresión “se distribuyen normalmente?


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Significa que el mayor porcentaje de los datos se encuentra cerca de la media aritmética y disminuyen a medida que se alejan de ella. Por ejemplo, si hacemos una estadística para conocer la altura de 1400 mujeres y representamos los resultados en un histograma, obtenemos:

Estas gráficas presentan poca frecuencia en los extremos y un aumento paulatino hasta llegar a la parte central, donde está la mayoría de ellos.

Una distribución normal que tiene media igual a 0 y desviación estándar igual a 1 se denomina distribución normal estándar.

Los valores de la variable X (altura, peso,…) se estandarizan como valores z, utilizando la fórmula:

Ejemplo:

El ingreso mensual que una corporación grande ofrece a los graduados en MBA tiene una distribución normal con media de $2000 y desviación estándar de $200.

¿Cuál es el valor z para un ingreso de $2200? y ¿cuál para uno de $1700?

Para X = $2200, 1200

20002200

z

Para X = $1700, 5.1200

20001700

z

Estatura

N° de mujeres


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La representación gráfica de la función de densidad de una distribución de probabilidad normal estándar es una curva positiva continua, simétrica respecto a la media, de máximo en la media, y que tiene 2 puntos de inflexión -1 ( − σ) y 1 ( + σ) situados a

ambos lados de la media, es decir de la forma:

Uso de las tablas

La distribución normal estándar se encuentra tabulada, para valores desde 0 hasta 3.99.

1) Utilizaremos una sección de la tabla para encontrar z = 0.45

a) se busca la parte entera y las décimas (0.4) en la primera columna.

b) las centésimas se buscan en la primera fila (0.05)

La probabilidad que buscamos se encuentra en el punto común a la fila y la columna que encontramos, en este caso. 0.2088

Por lo tanto, para z = 0.45 el valor que le corresponde es 0.2088

2) Para encontrar z = - 1.56 buscamos el valor sin considerar el signo (1.5 en la primera columna y 0.06 en la primera fila).

Actividad 2: Encontremos probabilidades

Descripción:

En esta sección se encontrarán áreas bajo la curva normal y se resolverán problemas, considerando que hay dominio de lo presentado en la actividad 1. Si sus estudiantes tienen buen manejo de la fórmula y la tabla, puede iniciar el refuerzo con esta actividad.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368

0.4 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088

0.5 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422


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Áreas bajo la curva normal

Iniciamos, recordando que:

El área total bajo la curva normal es 1 por lo que 0.5 será menor que la media y 0.5 mayor.

68% del área bajo la curva normal está a menos de una desviación estándar respecto a la media (entre μ -

95% del área bajo la curva normal está a menos de dos desviaciones estándar de

99.74% del área bajo la curva normal está a menos de tres desviaciones estándar

Si queremos calcular una probabilidad para un valor de z mayor que 3.99, basta fijarse en que las probabilidades correspondientes a valores tales como 3.62 y mayores son 0.9999 (prácticamente 1). Por eso, para estos valores mayores que 3.99, diremos que la probabilidad es aproximadamente 1.

La P(z ≤ 5.62) ≈ 1 aunque no aparezca en la tabla.

Ejemplo:

El consumo de agua diario por persona tiene una distribución normal con media de 20 galones y desviación estándar de 5 galones.

¿Entre qué valores está el 68% del consumo de agua diario por persona?

Si μ - –

Está entre 15 y 25 galones.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar use menos de

20 galones por día?

Como X es igual a la media, los valores menores representan 0.5 de la curva.

P(X<20) = 0.5

¿Qué porcentaje usa entre 20 y 24 galones?

Los valores asociados a z son:

Con X = 20 05

2020

z

Con X = 24 8.05

2024

z


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El área bajo la curva entre z = 0 y z = 0.8 es P(0<z<0.8) = 0.2881

P(20 < X < 24) = 28.81%

¿Qué porcentaje usa menos de 24 galones?

Al área anterior le agregamos el 50% de la izquierda, como lo muestra el gráfico.

P (X < 24) = 0.5 + P (0< z < 0.8)

= 0.5 + 0.2881

= 0.7881

P (X < 24) = 78.81%

¿Qué porcentaje usa entre 12 y 22 galones? Los valores asociados a z son:

Con X = 12 6.15

2012

z

Con X = 22 4.05

2022

z

El área bajo la curva entre z = -1.6 y z = 0.4 es la suma del área entre z = 0 y z = -1.6 más el área entre z = 0 y z = 0.4.

P (12 < X < 22) = P (-1.6<z<0.4)

= P (z > -1.6) + P (z < 0.4)

= 0.4452 + 0.1554

= 0.6006

P (12 < X < 22) = 60.06%


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¿Qué porcentaje usa más de 26 galones?

El valor asociado a z es 2.15

2026

z

Al utilizar la tabla obtenemos el área de z = 0 a z = 1.2 y no la que necesitamos, por lo que a 0.5 le restamos el valor encontrado.

P (X > 26) = P (z > 1.2)

= 0.5 - P(z > 1.2)

= 0.5 - 0.3849

= 0.1151

P (X > 26) = 11.51%

Ejercicios 1) La cantidad de propina que un mesero recibe por turno en un restaurante

exclusivo tiene una distribución normal con media de $80 y desviación estándar de $10 ¿Cuál es la probabilidad de que reciba $65?

2) Un profesor determinó que el promedio final en su curso de estadística tiene una distribución normal con media de 7.2 y desviación estándar de 0.5. Si para aprobar el curso la nota mínima es 7 ¿qué porcentaje de alumnos lo reprobaron?

3) Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo a una distribución normal de media 168 cm y desviación típica 8 cm. ¿Cuántos soldados miden entre 166 y 170 cm?

4) Los pesos de 60 empleados siguen una distribución normal con media 67 kg y desviación típica 5 kg. Calcular la probabilidad de que el peso sea:

a) mayor de 80 kg. b) 50 kg. o menos c) menos de 60 kg. d) Entre 60 y 70 kg.


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS 13, 14, 15 y 16

Bloque de contenido

Trigonometría

Contenido

Triángulos oblicuángulos

Teorema del seno

Teorema del coseno

Indicador de logro

6.3 Utiliza el teorema del seno, al solucionar ejercicios sobre triángulos oblicuángulos, con seguridad y precisión.

6.4 Resuelve con actitud propositiva y perseverante, problemas aplicando el teorema del seno.

6.6 Utiliza el teorema del coseno, al solucionar ejercicios sobre triángulos oblicuángulos con seguridad y precisión.

6.7 Resuelve trabajando en equipo, problemas, aplicando el teorema del coseno con actitud propositiva y perseverante.

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem

1. Aplica equivocadamente el teorema de Pitágoras.

2. Utiliza indistintamente el teorema del seno o el del coseno. Actividad 1: Saberes previos sobre los teoremas del seno y del coseno

Descripción:

Se presentan una serie de actividades en las cuales los estudiantes se apropiarán de los conocimientos necesarios para luego aplicarlos sobre los teoremas del seno y del coseno, descritos en 4 casos probables.

Desarrollo:

El docente deberá de presentar diferentes triángulos y solicitar a los estudiantes que identifiquen los triángulos rectángulos y/o plantear interrogantes o diálogos como el siguiente:

“Si observas que un triángulo tiene un ángulo recto (es decir de 90°) y colocas un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! “

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", los otros dos son llamados catetos y a la relación entre ellos se le llama Teorema de Pitágoras.


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La definición formal del Teorema de Pitágoras, es: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):

a2 + b2 = c2

Para los triángulos rectángulos también se establecen las siguientes razones trigonométricas, entre las longitudes de sus lados:

Todo triángulo que no es rectángulo, se clasifica como oblicuángulo y en ellos no es posible aplicar el Teorema de Pitágoras ni establecer las anteriores razones trigonométricas.

Para resolver un triángulo oblicuángulo, se utilizan los siguientes casos de los teoremas del seno y el coseno.


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Caso 1

Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él

Ejercicio:

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°.

Calcula los restantes elementos.

Caso 2

Conociendo dos lados y el ángulo comprendido


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Ejercicio:

De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°.

Calcula los restantes elementos.

Caso 3

Conociendo dos lados y un ángulo opuesto

Ejercicio:

Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.

Caso 4

Conociendo los tres lados

Ejercicio: Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

sen B > 1. No hay solución

sen B = 1 Triángulo rectángulo

sen B < 1. Una o dos soluciones


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Actividad 2: Utilicemos los teoremas del seno y del coseno

Descripción:

Se presentan 3 grupos de ejercicios en los que inicialmente solo es de utilizar el

algoritmo y poco a poco necesitará el estudiante ir razonando lógicamente en forma

matemática más profundo y aplicando otros conocimientos complementarios.

1. Calcula la altura (h) de la figura:

2. Encontrar el área del siguiente triángulo.


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3. Halle el valor del ángulo X y los valores de los lados a y b, según se muestran en las figuras


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Actividad 2: Apliquemos los teoremas del seno y del coseno

Descripción:

Se presentan 3 problemas de aplicación, en los cuales el estudiante descubrirá que no basta saber la formulas, sino que necesita aplicar lenguaje matemático y el razonamiento lógico, debe sugerirle que en cada uno de ellos realice un diagrama para poder visualizar de mejor manera la situación a resolver.

Ejemplo:

Un topógrafo mide los tres lados de un campo triangular y obtiene 114, 165 y 257 metros. ¿Cuánto mide el mayor ángulo del triángulo?

1. Un avión vuela 40 Km. hacia el norte y luego 70 Km. formando un ángulo de 37° hacia el norte del este. ¿Qué distancia total ha sobrevolado?

2. Un barco sale desviado de su rumbo para evitar una tormenta 26.57°, después de navegar 6.19Km. retorna a su rumbo original .Si su destino quedaba originalmente a 7.27km.

a. ¿Cuánta distancia le falta recorrer para llegar a su destino cuando cambio de rumbo?

b. ¿Cuántos grados debe girar el barco para retomar su rumbo?


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMES 17 y 18

Bloque de contenido: Geometría Analítica

Contenido:

Elementos de geometría analítica

Distancia entre dos puntos.

Punto medio de un segmento de recta

Indicador de logro:

7.2 Resuelve problemas utilizando la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos.

7.4 Resuelve problemas utilizando la fórmula para el punto medio de un segmento de recta, con precisión y confianza.

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem

1. Ubica erróneamente puntos en el plano cartesiano.

2. Utiliza incorrectamente la formula de distancia entre dos puntos.

3. Confunde la ecuación que utilizara con la punto medio.

4. Sustituye incorrectamente los valores de los puntos dados.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos sobre plano cartesiano, ubicación de puntos, distancia entre dos puntos, punto medio

Descripción:

Se presentan 3 situaciones en las cuales deberá verificar que los estudiantes realicen por si mismos la actividad, tratando que la intervención docente, sea la minima necesaria

a. El docente debe de presentar el plano cartesiano, llevar escritos los puntos : a(2,3), b(-3, 6), c( -4, -7), d(4, -5), e(-5,0), f(0,7), g(6,0), h(0, -2); y solicitar que los ubiquen en el plano, verificando los resultados.

b. Llevar en un cartel el grafico y demostrar que la formula corresponde a una interpretación del teorema de Pitágoras, pedir a los estudiantes que lo comprueben construyéndolo en su cuaderno con A(2,1) y B(6,4)

Punto medio de un segmento de recta.


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c. Presente en un cartel la siguiente figura ,utilizando los puntos A( 6, 7) y B(8, 11) , solicite que pasen a la pizarra a medirla, determinando el punto medio de esta (sus coordenadas) , luego pida que expresen sus ideas de como debe ser la fórmula para determianr este punto

Actividad 2: Utilicemos la distancia entre puntos

Descripción:

Se presentan 3 diferentes tipos de ejercicios del simple al complejo, ya que en el tercero de ellos deberá de aplicar conocimientos básicos de geometría

Ejercicios:

1. Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5)

2. Determinar a con la condición de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) disten una unidad (d = 1)

3. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Actividad 2: Apliquemos el punto medio

Descripción:

A continuación hay 2 ejercicios, siendo el segundo en el que el estudiante deberá de prestar mayor concentración, sugiera que lo grafique en el plano a manera de comprobación.

1. Dados los puntos A(3, −2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.

2. Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D.


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 19

Bloque de contenido: Geometría.

Contenido: Pendiente de una recta.


7.6 Determina y explica, con interés el ángulo de inclinación de una recta y su relación con la pendiente de la misma.


1. Dificultad para aplicar la ley de los signos en la suma y la multiplicación.

2. Dificultad para ubicar mentalmente los puntos en el plano.

3. Dificultad para encontrar la pendiente de una recta

4. Duda en la aplicación del inverso de la tangente para encontrar el ángulo.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos.

Descripción:

Reforzar los conocimientos previos que son necesarios en la solución de éste ítem, como los siguientes:

Ley de los signos para la suma y la resta: Se debe hacer énfasis en que dicha ley es diferente a la aplicada en la multiplicación y división, ya que los estudiantes suelen aplicarla de la misma manera.

Para el caso de la suma y resta pueden darse los siguientes casos: Los números tienen el mismo signo: en este caso se suman los números y al resultado se le escribe el signo común.

Ejemplos:

5 + 27 = 32 (El signo más de los números 5 y 32 no se escribe)

- 8 – 35 = - 43

Los números tienen signos diferentes: en este caso se restan y el minuendo será la cantidad de mayor valor absoluto. Al resultado se le colocará el signo de esta cantidad.

Ejemplo:

5 – 27 = - 22, ya que 27 es el mayor valor absoluto y posee signo menos.

18 – 11 = 7, ya que 18 es el mayor valor absoluto y posee signo más.


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Ley de los signos para la multiplicación y división Hacer énfasis en identificar la operación que se desea realizar, para no confundir la ley de los signos. La ley es la misma para la multiplicación y la división y nos dice que al multiplicar o dividir cantidades con signos iguales se obtiene una cantidad con valor positivo y al multiplicar o dividir cantidades con signos contrarios se obtiene una cantidad con signo negativo. Tener en cuenta que dicha ley aplica de dos en dos.

Ejercicios

Simplificar cada una de las expresiones siguientes:

a) 15

23

b) 3 - [ 2 – ( 4 – 5 – 8 ) – ( 2 + 3 – 9 )

c) 15

24

d) 13 - [-8 – (- 4 +3 -8 + (15 – 20)- (13 – 40)

e) -20 – [(13 + 12) + 15 – (1 – 8 – 9 + 3)

f) 52

14


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Actividad 2: Recordemos puntos y coordenadas

Descripción: Recordaremos y ejercitaremos la identificación y ubicación de puntos el plano.

Observemos los puntos ubicados en el plano y determinemos algunas características.

Actividad 3: Encontremos la pendiente (inclinación) de una recta

Descripción: Recordaremos algunas definiciones y conceptos de inclinación y pendiente de una recta. Si queremos saber cual de las siguientes rectas está más inclinada…

Diremos que la inclinación de una recta es la medida del ángulo que forma la recta con el eje x medido en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, entonces expresamos que:

es la inclinación de la recta L 1 y es la inclinación de la recta L 2

concluimos que L 1 está más inclinada que L 2

¿Qué características tienen la puntos ubicadas sobre los ejes x y eje y?

¿Qué par ordenado identifica el punto intersección del los ejes x y y?

¿Cuál es el punto que representa el par ordenado (3,3)?

¿En qué cuadrante se encuentra el punto (2,2)?

¿En qué cuadrante se encuentra el punto

(-3,2)?

¿Identifica el punto (-3,-2) y en que cuadrante se encuentra?

¿Identifica el punto (-1,2) y en que cuadrante se encuentra?


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Ejemplos de inclinaciones de algunas rectas

Se le llama pendiente de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación con respecto a la horizontal. Ejemplo: Calcula la pendiente de las siguientes rectas: Para calcular la pendiente de una recta encuentra haciendo uso de la calculadora científica la tangente de su ángulo de inclinación. a) m = tan 60º = 1.73 Encuentra los otros ángulos: a y b.

Pendiente = tangente de

Se denota: m = tan

a) b)

c)


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Ejemplo: Observa la inclinación de estas dos rectas: a) b) Las pendientes de las rectas a y b son: a) tan 150º = -0.58 b) tan 60º = 1.73 Si tenemos la recta y los puntos por donde pasa la recta, aplicamos la definición de tangente. Calcular la recta que posa por los puntos A(-2, -3) y B(3, 1). En general la pendiente m se calcula con la siguiente expresión:

m = tan

Donde cateto opuesto es y 2 - y 1

m = tan

La línea punteada vertical es el cateto opuesto, es decir cateto opuesto = 1-(-3)= 4 Y el cateto adyacente es la línea punteada horizontal = 3 – (-2) = 5.

tan = 5

4 = 0.8 por lo que m = 0.8


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Cateto adyacente es x 2 - x 1

Ejemplo: Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, -5) y B(-4, 7) Solución:

Ejercicios:

1. Calcula la pendiente de la recta:

a) cuya inclinación es 45º

b) Pasa por los puntos (-7, -3) y (4, 8)

2. Encuentra la inclinación de la recta b.

Si queremos encontrar el ángulo (inclinación) de la recta que pasa por los puntos A(2, -5) y B(-4, 7),

m = -2

y como tan = m, entonces el ángulo es:

Tan-1 (-2) = -63.4º

Puedes concluir que toda recta inclinada a la izquierda, tiene una pendiente negativa, si está inclinada a la derecha, es positiva.


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Bloque de contenido: Geometría

Contenido: Pendiente de una recta


7.7 Resuelve problemas utilizando la fórmula de la pendiente de una recta, con interés y seguridad.


1. Tiene dificultad en identificar los valores de un punto cualquiera de la recta.

2. Inseguridad en la aplicación de la ecuación de la recta pertinente a la situación.

3. Confusión al sustituir los valores en la ecuación punto-intersecto.

Actividad 1: Recordemos los elementos de la ecuación de la recta punto - pendiente

Descripción: Para recordar los elementos de la ecuación punto-pendiente partiremos de una situación haciendo una breve explicación en interacción con el estudiante. María desea encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4, 1) y (-2, 3). Solución Graficamos la recta para visualizar su posición, para resolver no es necesario.

Utilizamos la ecuación dos puntos para ver el desarrollo y comprobar que se puede resolver en otras ecuaciones de la recta más sencillas.

Sustituimos

, encontramos la pendiente, despejamos y tenemos:

x + 3y – 7 = 0


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Si conocemos la pendiente, podemos resolver utilizando la ecuación punto pendiente:

y - y 1 = m(x - x 1 )

Si m = -3

1 y p 1 (4, 1), al sustituir y despejar nos queda: x+ 3y – 7 = 0

Observa que se obtiene exactamente el mismo resultado si tomamos la pendiente -3

1

con el otro punto (-2, 3).

Utilizamos la misma ecuación y - y 1 = m(x - x 1 ) y sustituimos:

y – 3 = -3

1(x – (-2))

y – 3 = -3

1(x + 2)

x + 3y – 7 = 0, observa que es exactamente la misma ecuación. Ejercicio: Determina la ecuación punto - pendiente y la ecuación punto – intersecto que pasa por los puntos: a. (2, 3), (5, 8) b. (-1, 4), (4, 2) c. (-2, -2), (4, 2) d. (3, -5), (1, -1) e. (-4, 2), (-4, 5) e. (2, 3), (-4, 3)

Actividad 2: Recordemos los elementos de la ecuación pendiente – intersecto

Descripción: Partiremos de una gráfica para observar los elementos y características que determinan la identificación de la ecuación pendiente – intersecto. Si tenemos la gráfica:

Observa que dos puntos de la recta son: A(0, 3) y B(-2, 0)

La pendiente es m = 02

30

=

2

3

=

2

3;

Sustituyes en la ecuación el punto A.

y – 3 = 2

3(x – 0)

y = 2

3x + 3


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¿Qué elementos puedes observar directamente de la recta?

2

3 es la pendiente de la recta: m=

2

3

3 es el valor intersecto de la resta con el eje y.

y = 2

3x + 3

Pendiente Intersecto en y

Si expresamos la ecuación punto – intersecto como: y = mx + b; el valor b corta la recta en el eje y, también se le llama ordenada en el origen. Ejemplo:

Encuentra la ecuación cuya pendiente es 5 y la intersección en y es 4. Solución

Si m = 5 y b = 4; sustituimos en la ecuación y = mx + b. la ecuación nos queda: y = 5x + 4 Ejercicios:

Encuentra el valor de la pendiente y el intersecto de las ecuaciones: a. y = 2x – 1 b. 2x + y = -1 c. 3x + 2y = 0

d. y = -3

2x + 5 e. y = -8x - 10 f. y =

4

3x – 6

Determina la ecuación pendiente – intersecto de las rectas, si:

a. m = -3, b = 5 b. m = -5

3, b = -10 c. m =

2

1 , b = 2


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(a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 21, 22 y 27


Contenido: Paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas


7.9 Deduce y explica la expresión matemática que denota el paralelismo y/o perpendicularidad entre dos rectas, con seguridad. 7.10 Utiliza la expresión matemática que denota el paralelismo y / 0 perpendicularidad entre dos rectas. Con precisión y confianza para resolver ejercicios.


1. Confunde las rectas paralelas con las perpendiculares.

2. Dificultad para factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c = 0

3. Duda o no recuerdo el principio de perpendicularidad.

4. Tiene inseguridad en la sustitución de los valores del par ordenado en la ecuación punto – pendiente.

5. Falta de ejercicios de fijación.

Actividad 1: Recordemos la factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c = 0 Descripción: Recordaremos la multiplicación binomio por binomio y el caso de factoreo en trinomios

de la forma x2 +bx + c = 0, ejercitando algunos casos.

Binomio por binomio:


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3x + 2 3x + 2 9x2 + 6x + 6x + 4 9x2 + 12x + 4

Para multiplicar dos polinomios también aplicamos la propiedad distributiva, para facilitar podemos colocar los polinomios de la manera siguiente: Multiplicar (3x + 2) (3x + 2)

Encontremos el producto de los binomios siguientes

a) (m + n ) (m + n) d) (m + n ) (m - n)

b) (5p – 3) (5p – 3) e) (2x – 3) (2x + 3)

Pasos para factorizar trinomios que no son cuadrados perfectos

En esta actividad vamos a factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c.

Ejemplo: x2 + 2x - 24

Observamos que el trinomio está ordenado y que el tercer término no tiene raíz cuadrada exacta, por lo que no es un trinomio cuadrado perfecto.

Estos trinomios se descomponen en dos factores que tienen en común la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

x2 + 2x – 24 = (x )(x ) El signo del segundo término del primer factor es el signo del segundo término del trinomio.

x2 + 2x – 24 = (x + )(x )

El signo del segundo término del segundo factor resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.

x2 + 2x - 24 = (x + )(x - )

por


PRAEM 2010


Cuando los signos de los factores son diferentes, se buscan dos números que restados resulten el coeficiente del segundo término del trinomio y multiplicados resulten el tercer término del trinomio.

6 – 4 = 2 (el coeficiente del segundo término es 2)

6 (- 4) = - 24 (el tercer término del trinomio es – 24) Entonces: x2 + 2x - 24 = (x + 6)(x - 4)

Ejercicios:

Factorar los siguientes trinomios.

a) x2 + 12x + 36

b) 1 + 20n + 100n2

c) 25p2 + 90p + 81

d) 4 – 16x2 + 64x2

Actividad 2: Recordemos el principio de la perpendicularidad Descripción: Como en la actividades de refuerzo de los ítems 19 y 20 se enfatizó sobre como se obtiene la pendiente en el desarrollo del refuerzo de éste ítem, nos centraremos en el principio de la perpendicularidad, Si observamos la gráfica:

f) Y2 – 2y – 15

g) X4 + 5x2 + 4

h) m2 – 9m + 20

i) -2 + 3x + x2

El gráfico representa dos rectas perpendiculares: L 1 y L 2 .

Para dos rectas perpendiculares se cumple que en el punto de intersección forman un ángulo de 90°.

Por ser la rectas L 1 y L 2 .perpendiculares se cumple que:

m 1 m 2 = -1, entonces: m 1 = -2

1

m, por lo que decimos: La

pendiente de una de las rectas es el recíproco negativo de la otra.

Dos rectas L 1 y L 2 son perpendiculares si y solo si el

producto de sus pendientes es igual a -1.


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Actividad 3: Utilicemos el principio de perpendicularidad y encontremos rectas paralelas. Descripción: En esta actividad encontraremos ecuaciones de rectas perpendiculares y realizamos ejercicios. Ejemplo: Pedro quiere determinar la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento (mediatriz) que une a (5, -3) con (1, 7). Ayudemos a Pedro a encontrarla. Solución

Determinamos el punto medio aplicando la fórmula:

x = 2

15 = 3 ; y =

2

73 = 2. El punto medio está en (3, 2)

Encontramos la pendiente de la recta que une a (5, -3) con (1, 7):

m = 15

73

= -

2

5

Aplicamos el principio de la perpendicularidad, así tenemos que la pendiente de la

mediatriz es m = 5

2.

Aplicamos la fórmula de ecuación punto – pendiente a (3, 2) y m = 5

2

Y - 2 = 5

2 (x – 3)

Reduciendo y despejando tenemos:

2x - 5y + 4 = 0

Observa la gráfica correspondiente:

2x - 5y + 4 = 0


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Ejemplo:

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) y es perpendicular a la recta: 2y + 3x – 1 = 0.

Solución

Despejamos y en la ecuación: 2y + 3x – 1 = 0.

2y = -3x + 1

y = -2

3x +

2

1

La pendiente de esta recta es -2

3, como lo que buscamos es la perpendicular a esta

recta, entonces la pendiente se obtiene de la siguiente manera:

m =

2

31

1

m = 3

2

Si conocemos la pendiente3

2 y el punto (3, 4) por donde la recta pasa. Al hacer uso de

la ecuación punto – pendiente se tiene:

y - y 1 = m(x - x 1 )

y – 4 = 3

2(x – 3) sustituyendo valores

y – 4 = 3

2x – 2

y = 3

2x – 2 + 4

y = 3

2x + 2

La gráfica resultante es:


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Contenido: Angulo entre dos rectas.


7.11 Deduce y explica la expresión matemática para calcular el ángulo entre dos rectas, con seguridad.


1. Dificultad para reconocer la pendiente de las rectas L 1 y L 2 .

2. Desconoce la fórmula para obtener el ángulo entre dos rectas que se cruzan.

3. Confunde términos y signos.

4. Falta de ejercicios de fijación.

Actividad 1: Recordemos cómo encontrar pendientes y ángulos entre dos rectas que se cruzan. Descripción: En actividades anteriores hemos encontrado pendientes de rectas, veremos como encontrar ángulos entre rectas que se cruzan; también deduciremos la fórmula. Analicemos los ángulos en las siguientes rectas: Tomando en cuentas que cunado dos rectas se cortan, forman cuatro ángulos, iguales dos a dos opuestos por el vértice y suplementarios los adyacentes.

Si observamos la recta L 1

y su ángulo de inclinación

1 , y la recta L 2 y su

ángulo de inclinación 2 .

Si llamamos y los

ángulos que forman al

cortarse las rectas L 1 y

L 2 , como se indica en la

figura, vamos a determinar cada uno de esos ángulos:


PRAEM 2010


Veamos el ángulo :

1 + + = 180º = 180º - ( + 1 )

+ 2 = 180º = 180º - 2

Por lo tanto: 2 = 1 + , este es un teorema de geometría plana: “El ángulo

exterior de un triángulo ( 2 ), es igual a la suma de los ángulos interiores no

adyacentes” ( + 1 ).

Despejando: = 2 - 1

Según la trigonometría tan = tan ( 2 - 1 ), Este ecuación nos lleva a la identidad: la

tangente de la diferencia de dos ángulos:

tan = tan ( 2 - 1 ) =21

12

tan.tan1

tantan

Pero: tan 2 = m 2 y tan 1 = m 1 , sustituyendo tenemos:

Ejemplo: Encuentra los ángulos del triángulo cuyos vértices son A(-2,3), B(8, -5), C(5, 4). Grafiquemos los puntos para observar su ubicación.

tan = 21

12

1 mm

mm

Encontremos las pendientes:

m AB = 82

53

= -

5

4

m AC = 25

34

=

7

1

m BC = 85

54

= -3

Con estos datos, aplicamos la formula del ángulo entre rectas:

tan =

21

12

1 mm

mm


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tanA =

5

4.

7

11

5

4

3

1

=

35

3135

33

=31

33, por tanto, A=tan

1

31

33= 46.78º

tanB =

35

41

35

4

=

15

1715

11

=17

11, por tanto, B=tan

1

17

11= 32.9º

tanC =

3.7

11

7

13

=

7

47

22

= 2

11, por tanto, C = tan

1

2

11 = 100.3º

R: Hemos encontrado los ángulos: A = 46.78º, B = 32.9º y C = 100.3º

Ejercicios:

Demostrar, por pendientes, que los punto A(3, -4), B(3, 4) y C(-1, 0) forman un triángulo rectángulo.

La recta que pasa por los puntos 3,4 y 0,6 corta a la recta que pasa por los

puntos 0,0 y 5,1 . Hallar los ángulos.

Hallar los ángulos del triángulo cuyos vértices son: 2,4 , 1,0 , 1,6 .

Demostrar, por pendientes, que los punto A(-4, -1), B(0, 1) y C(9, 6) son colineales.

Recordemos que la distancia de la recta al punto es positiva.

Si observas la gráfica, verás que el punto está por debajo de la recta por lo que al sustituir en la fórmula, el denominador de es negativo.

d = 22

11

BA

CBAx

, sustituimos los valore de la

ecuación de la recta y el punto. Recuerda que la ecuación general de la recta es Ax + By + c = 0

d = 254

12)1(5)3(2

=

29

23

R: La distancia es

29

2923

29

29

29

23 x


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Contenido:

Distancia de un puno a una recta.


7.18 Deduce, aplica y explica la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta, con confianza.


1. Desconoce la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta. 2. Inseguridad en la sustitución de valores en la fórmula. 3. Falta de ejercicios de fijación del contenido.

Actividad 1: Encontremos la distancia de un punto a una recta aplicando la fórmula, sustituyendo los valores con seguridad. Descripción: Para ejercitar, partiremos de un ejemplo de cómo se puede encontrar la distancia de un punto a una recta, aclarando oportunamente en el desarrollo de la misma. Ejemplo:

Encontremos la distancia desde la recta 2x – 5y + 12 = 0, hasta el punto (3, -1).

Recordemos que si y 1 > y 0 , la distancia es positiva, si y 1 < y 0 , la distancia es negativa.

Graficarla nos facilita observar la recta y el punto.

R: La distancia es

29

2923

29

29

29

23 x

Recordemos que la distancia de la recta al punto es positiva.

Si observas la gráfica, verás que el punto está por debajo de la recta por lo que al sustituir en la fórmula, el denominador de es negativo.

d = 22

11

BA

CBAx

, sustituimos los valore de la

ecuación de la recta y el punto. Recuerda que la ecuación general de la recta es Ax + By + c = 0

d = 254

12)1(5)3(2

=

29

23


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Ejemplo: Calculemos la distancia del punto R(2, 1) a al recta 2x –y + 5 = 0 Solución: Consideremos. A = 2, B = -1 y C = 5.

Además, si consideramos el punto R(2, 1) como (r, s), entonces: r = 2 y s = 1

Sustituimos estos valores en la fórmula:

d= 58.35

8

)1(2

5)1)(1()2(2

22

Ejercicios:

Calcula la distancia del punto s(-3,2) a la recta 3x – 4y +2 = 0

Calcula la distancia del punto a la recta de cada uno de los siguientes ejercicios: a) x + y -5 = 0, (2, 5)

b) 4x + 5y -3 = 0, (-2, 4)

c) 3x + 4y -5 = 0, (1, 1)


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ACTIVIDAD DE REFUERZO PARA EL ÍTEM 25

Bloque de contenidos

Apliquemos elementos de geometría analítica.

Contenido

Distancia entre rectas paralelas.

Indicadores de logro

7.21 Resuelve problemas, con confianza en sus capacidades, aplicando las ecuaciones y gráfico de la línea recta.


1. Desconoce la fórmula de la distancia entre dos rectas. 2. Dificultad al sustituir los datos en la ecuación distancia entre dos rectas. 3. Dificultad en aplicar el valor absoluto.

Actividad 1: Recordemos saberes previos Descripción Esta actividad es sobre conocimientos previos sobre las diferentes ecuaciones de la recta. Ejemplo:

Observa la siguiente grafica, ¿cuál es la distancia entre las rectas?

La gráfica anterior se refiere a la distancia entre dos rectas, cuya distancia la podemos

encontrar como si estuviéramos encontrando la distancia de un punto cualquiera de L1 a

otro punto de L2, y se encuentra haciendo uso de la expresión matemática 2

12

1 m

bbd

.

Si conocemos los valores de los puntos, utilizamos la fórmula de la distancia entre dos

puntos, si tenemos las dos ecuaciones de las rectas, encontramos los valores de las

variables y luego las sustituimos en la ecuación de la distancia entre dos rectas y

encontraremos la distancia buscada.


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Actividad 2: Encontremos la distancia entre dos rectas Descripción: Resuelve problemas de distancia entre dos rectas paralelas utilizando la fórmula de distancia entre rectas. Ejemplo: ¿Cual es la distancia que separa a las rectas 2x + y – 5 = 0 y la recta 2x + y – 14 = 0? Solución La recta 2x + y – 5 = 0 tiene variables b1 = 5, m = - 2 y la recta 2x + y – 14 = 0 tiene variables b2 = 14, m = - 2; como la fórmula de la distancia entre dos rectas es

2

12

1 m

bbd

, al sustituir los valores en la ecuación nos resulta:

2

12

1 m

bbd

22 21

514

d

41

9

d

5

9d

236.29d

d= 4.03 R: La distancia entre las rectas es 4.03 unidades. Ejemplo: ¿Cuál es la distancia que separa a la recta 3x + 4y = 2 y la recta 3x + 4y = - 6? Solución Despejando y en la ecuación de la recta 3x + 4y = 2, tenemos:

4y = - 3x + 2

423 xy

42

43 xy

21

43 xy

21

1 b y 43m


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En la ecuación de la recta 3x + 4y = -6, al realizar el mismo proceso

463 xy

46

43 xy

23

43 xy

23

2 b y 43m

Se observa que m es la misma en las dos ecuaciones. Al sustituir los valores en la ecuación de la distancia entre dos rectas nos resulta:

2

12

1 m

bbd

2

43

23

21

1

d

1625

2d

d = 1.6 Actividad 3: Resolvamos ejercicios sobre rectas Indicación:

Encontrar la distancia que separa a las paralelas:

a. 5x-12y+10=0 y 5x-12y-16=0:

c. x – y + 7 =0 y 5x – y + 9 = 0

d. 3x + 2y - 6 = 0 y 3x + 2y – 4 =0

e. 12x + 5y = 15 y 12x + 5y = 12

169

23

21

1

d

4

5

2d

169

1616

24

d

1016d


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ACTIVIDAD DE REFUERZO PARA EL ÍTEMES 26

Bloque de contenidos: Geometría analítica

Contenido: Ecuación general de la recta:

Indicador de logro: 7.16 Construye, utiliza y explica

la ecuación general de una recta, valorando su utilidad.


1. Desconoce la fórmula de la ecuación general de la recta.

2. Confunde la ecuación general con la ecuación de la forma pendiente – intercepto.

Actividad 1: Recordemos saberes previos Descripción En esta actividad se estudiará la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 donde A, B, C son números reales.

Observa la gráfica. ¿Qué características presenta la recta y cuál es su ecuación?

Al observar la gráfica nos damos cuenta que en la recta cuya ecuación es Ax + By +C = 0; A ≠ 0 y B ≠ 0, lo que indica que la inclinación es diferente de 0º y 90º. Si A = 0, la recta es paralela al eje x con pendiente igual a cero. Si B = 0, la recta es paralela al eje y con pendiente indefinida. Actividad 2: Encontremos la ecuación general de la recta Descripción: En esta actividad se desarrollan ejercicios de fijación del contenido. Ejemplos:

1) Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (5, -3) Solución

En el punto (- 2, 4), x1 = -2 y y1 = 4, para el punto (5, - 3), x2 = 5 y y2 = - 3 Sustituyendo los valores en la ecuación dos puntos de la recta se tiene:


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1112

12 xxyyxx

yy

242543 y

2425

7 xy

2477 xy

214 xy

En la ecuación de la recta y - y1 = m (x - x1), la pendiente es m = -1; además se tiene que y – 4 = -1(x + 2).

Para obtener la ecuación general de la recta se despeja la ecuación anterior:

y – 4 = -1(x + 2)

y – 4 = - x – 2,

y – 4+ x + 2 =:

x + y – 2 = 0 Esta es la ecuación general de la recta.

2) Encontrar la ecuación general de la recta con pendiente 3

1 y que pasa por el punto (7, -

3).

Solución

Sustituir los valores m=3

1, x1 = 7 y y1 = -3 en la ecuación punto pendiente

11 xxmyy

73

13 xy

73

13 xy

7133 xy

3y + 9 = x - 7

Igualando a cero

3y + 9 - x + 7 = 0

3y - x + 16 = 0 es la ecuación general de la recta


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3) Hallar la ecuación de la recta con pendiente 4

3 e intersecto en el origen

5

2

y = mx + b

y = 4

3 x +

5

2 multiplicamos por el mcm del denominador

20y = 20 (4

3 x) + 20 (

5

2) simplificamos

20y = - 15x + 8 15x + 20y – 8 = 0 es la ecuación general de la recta Ejercicios:

Hallar la ecuación general de las rectas

a. Pasa por los puntos (- 3, 0) y (3, - 5)

b. Pasa por los puntos (4, -2) y (2, 6)

c. Con pendiente 3

2 y pasa por el punto (-2, -1)

d. Con pendiente 4

1e intersecto en el origen

6

5


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Bloque de contenidos: Geometría analítica.

Contenido: Ecuación simétrica de la recta.

Indicadores de logro: 7.15 Construye, utiliza y explica

la ecuación simétrica de una recta, valorando su utilidad.


1. Desconoce la fórmula de la ecuación simétrica de la recta. 2. Confunde la ecuación simétrica de la recta con la forma pendiente intersecto.

Actividad 1: Recordemos saberes previos Descripción: En esta actividad recordaremos conocimientos previos sobre las ecuaciones de la recta; entre ellas la simétrica. Ejemplo:

Observa la siguiente gráfica, ¿cuál es su ecuación?

Solución

La recta L intersecta los ejes x y y en los puntos A(a, 0) y B(0, b).

Encontremos la ecuación:

axya

b

000

axya

b

aab

ab xy

bxyab

byxab

1b

y

ax


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La ecuación anterior se conoce como ecuación segmentaria, canónica, simétrica o intersecto de la línea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje: y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x) x = 0, resulta y = b (Intercepto con el eje y) Actividad 2: Resolvamos problemas sobre ecuaciones simétricas de la recta. Descripción: En esta parte vamos a resolver ecuaciones de la recta en la que identificaremos los intercectos para construir la fórmula simétrica de la recta. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,0) y (0,-5) Para desarrollar la ecuación observamos que el intercepto para x es 3 y para y es -5, que al sustituirlos directamente en la forma simétrica de la recta tenemos:

1b

y

ax

153

yx, luego la ecuación de la recta intercepto es

153

yx

Ejercicios: Resolver los ejercicios siguientes

a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4,0) y (0,-3) b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-6,0) y (0,6)


PRAEM 2010



Bloque de contenidos Apliquemos elementos de geometría analítica

Contenido Distancia de un punto a una recta.

22

12

BA

bbd

Indicadores de logro 7.18 Deduce, aplica y explica la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta, con confianza.


1. Desconoce la fórmula de la distancia de un punto a una recta. 2. Obtiene los datos de las ecuaciones de las rectas, pero sustituye mal los datos

en la ecuación de distancia entre dos rectas. 3. Tiene dificultad en el valor absoluto y no lo aplica bien el las operaciones

Actividad 1: Recordemos saberes previos Descripción: Esta actividad sobre conocimientos previos es sobre distancia de un punto a la recta que

es 22

12

BA

bbd

, que se trabajará como un preámbulo a las actividades que darán

respuesta a los ítemes 30. Ejemplo: Observa la siguiente grafica, ¿cuál es la distancia entre el punto y la recta?

Solución En la gráfica, se observa que hay una distancia desde un punto P(x,y) no contenido en la

recta a la recta L y la fórmula para encontrar dicha distancia viene dada por la expresión

22

11

BA

CByAxd


PRAEM 2010


Si conocemos los valores del punto y la ecuación de la recta, también podemos encontrar los valores de las variables y luego sustituirlas en la ecuación de la distancia de un punto a la recta y encontraremos la distancia buscada. Actividad 2: Resolvamos problemas de distancia de un punto a una recta. Descripción: En ésta actividad se resolverá problemas para encontrar la distancia de un punto a una recta, se encontrará la pendiente de la recta dada su ecuación y otros. Ejemplo: Las coordenadas de un punto son (2,6) y la ecuación de la recta L es 4x + 3y=12. Hallar:

a) La pendiente de la recta b) La ecuación de la recta L1 perpendicular a L c) Las coordenadas del punto P1(x,y) cuyas coordenadas de intersección unen a L

y L1. d) La longitud del punto a la recta L.

Solución

a. Para hallar la pendiente de L, lo que se hace es despejar la ecuación y llevarla a la forma pendiente – intercepto, así: 4x + 3y = 12, luego: 3y = - 4x + 12

312

34 xy

434 xy

De la ecuación anterior, se observa que la pendiente de la recta es

34m

b. Con la pendiente de L encontrada podemos hallar la ecuación de la recta L1

perpendicular a L, conociendo que su pendiente m1 es el recíproco negativo de m, por lo que el valor de m1 es:

43m


PRAEM 2010


Sustituyendo m1 y los valores de p(2,6) en la ecuación de la recta tenemos:

11 xxmyy

2643 xy

2364 xy

63244 xy despejando tenemos

4y = 3x + 24 – 6

4y = 3x + 18:

4y – 3x = 18

3x – 4y = -18

418

43 xy

29

43 xy

La recta buscada es 4y – 3x = 18, 3x – 4y = -18 ó 29

43 xy

c. Para encontrar las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas L y L1,

simultaneamos las dos ecuaciones así:

4x + 3y = 12 multiplicándola por 3

3x – 4y = - 18 multiplicándola por - 4

12x + 9y = 36

-12x + 16y = 72

25y = 108

25108y

Sustituyendo el valor de y en 4x + 3y = 12 tenemos:

123425

108 x

12425

324 x

25324

253004 x

25244 x

14

2524

x

10024x

256x


PRAEM 2010


De la ecuación anterior, se conocen las coordenadas del punto de intersección y es:

25

108256

1 ,p

d. La distancia del punto a la recta se puede encontrar de dos maneras, por la fórmula

de la distancia del punto p a p1 ó por la fórmula de la distancia del punto a la recta d1. distancia del punto p a p1 d2. distancia del punto a la recta

La recta es 4x + 3y = 12 y el punto p(2,6)

los valores: A= 4, B= 3, C=12, x=2, y=6

22

11

BA

CByAxd

22 34

126324

d

916

12188

d

, 25

14d

d= 2.8