8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
1/79
1
ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ
ΚΕΥΑΛΑΙΟ 2ο: ΤΝΑΡΣΗΕΙ - ΟΡΙΟ - ΤΝΕΦΕΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ
ΘΕΜΑ Α
Άσκηση 1
α) Έρςχ μια ρσάοςηρη f , η ξπξία είαι ξοιρμέη ρε έα κλειρςό διάρςημα , . Α η f είαι
ρσευή ρςξ , και f ( ) f ( ) , α δείνεςε όςι για κάθε αοιθμό μεςανύ ςχ f ( ) και
f ( ) σπάουει έα ςξσλάυιρςξ αοιθμό 0x ( , ) ςέςξιξ ώρςε 0f(x ) .
β) Έρςχ A έα σπξρύξλξ ςξσ . Τι ξξμάζξσμε ποαγμαςική ρσάοςηρη με πεδίξ ξοιρμξύ ςξA ;
Λύρη
α) Έρςχ όςι f ( ) f ( ) και f ( ) n f ( ) . Α θεχοήρξσμε ςη ρσάοςηρη
g(x) f (x) n , x , παοαςηοξύμε όςι:
Η g είαι ρσευή ρςξ , και g( )g( ) 0 , ατξύ g( ) f ( ) 0 και
g( ) f ( ) 0 . πξμέχ, ρύμτχα με ςξ θεώοημα ςξσ Bolzano, σπάουει 0x ,
ςέςξιξ, ώρςε 0 0g(x ) f (x ) 0 ξπόςε 0f(x ) .
β) Έρςχ A έα σπξρύξλξ ςξσ . Οξμάζξσμε ποαγμαςική ρσάοςηρη με πεδίξ ξοιρμξύ ςξA μια διαδικαρία (καόα) f , με ςη ξπξία κάθε ρςξιυείξ x A αςιρςξιυίζεςαι ρε έα μόξποαγμαςικό αοιθμό y . To y ξξμάζεςαι ςιμή ςη f ρςξ x και ρσμβξλίζεςαι με f(x) .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
2/79
2
Άσκηση 2
i. Πόςε δύξ ρσαοςήρει f και g λέγξςαι ίρε;
ii. Πόςε μία ρσάοςηρη f λέγεςαι γηρίχ αύνξσρα ρ’ έα διάρςημα ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ
ςη;
iii. Έρςχ μια ρσάοςηρη f ξοιρμέη ρε έα διάρςημα A και 0x A . Πόςε λέμε όςι η f είαι
ρσευή ρςξ0
x ;
Λύρη
i. Δύξ ρσαοςήρει f και g λέγξςαι ίρε όςα: έυξσ ςξ ίδιξ πεδίξ ξοιρμξύ A και για κάθε
x A ιρυύει f(x) g(x) .
ii. Μία ρσάοςηρη f λέγεςαι γηρίχ αύνξσρα ρ’ έα διάρςημα Δ ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ ςη,
όςα για ξπξιαδήπξςε 1 2x ,x με 1 2x x ιρυύει: 1 2f (x ) f (x ) .
iii. Έρςχ μια ρσάοςηρη f και 0x έα ρημείξ ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ A . Λέμε όςι η f είαι
ρσευή ρςξ 0x A , όςα0
0x xlim f(x) f(x )
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
3/79
3
Άσκηση 3
α) Πόςε μια ρσάοςηρη f λέγεςαι γηρίχ τθίξσρα ρε έα διάρςημα ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύςη;
β) Τι ξξμάζξσμε ρύθερη gof δύξ ρσαοςήρεχ f,g με πεδία ξοιρμξύ A,B αςίρςξιυα; Πξιξείαι ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη gof;
γ) Να διαςσπώρεςε ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή.
Λύρη
α) Μια ρσάοςηρη f λέγεςαι γηρίχ τθίξσρα ρ’ έα διάρςημα Δ ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ ςη,
όςα για ξπξιαδήπξςε 1 2x ,x με 1 2x x ιρυύει: 1 2f (x ) f (x ) .
β) Α f,g είαι δύξ ρσαοςήρει με πεδία ξοιρμξύ Α, Β αςίρςξιυα, ςόςε ξξμάζξσμε ρύθερη
ςη f με ςη g , και ςη ρσμβξλίζξσμε με gof, ςη ρσάοςηρη με ςύπξ 1gof :A , όπξσ ςξ
πεδίξ ξοιρμξύ 1A ςη gof απξςελείςαι από όλα ςα ρςξιυεία x ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ ςη f για ςα
ξπξία ςξ f(x) αήκει ρςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη g .
Δηλαδή είαι ςξ ρύξλξ 1A x A | f (x) B . ίαι ταεοό όςι η gof ξοίζεςαι α 1A ,δηλαδή α f (A) B .
γ) Έρςχ ξι ρσαοςήρει f,g,h. Α h(x) f(x) g(x) κξςά ρςξ 0x και 0 0x x x xlim h(x) lim g(x) ςόςε
0x xlim f (x)
.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
4/79
4
Άσκηση 4
i. Πόςε μια ρσάοςηρη f με πεδίξ ξοιρμξύ ςξ A λέμε όςι παοξσριάζει ξλικό ελάυιρςξ ρςξ
0x A ςξ 0f(x ) ;
ii. Να διαςσπώρεςε ςξ θεώοημα Bolzano
iii. Πόςε μια ρσάοςηρη f : A λέγεςαι ρσάοςηρη 1-1;
Λύρη
i. Μία ρσάοςηρη f με πεδίξ ξοιρμξύ A θα λέμε όςι:
παοξσριάζει ρςξ0
x ξλικό ελάυιρςξ, ςξ0
f(x ) , όςα 0f (x) f (x ) για κάθε x A .
ii. Έρςχ μια ρσάοςηρη f , ξοιρμέη ρε έα κλειρςό διάρςημα , .
Α η f είαι ρσευή ρςξ , και επιπλέξ, ιρυύει f ( )·f ( ) 0 ςόςε σπάουει έα
ςξσλάυιρςξ 0x ( , ) , ςέςξιξ ώρςε 0f (x ) 0 . Δηλαδή, σπάουει μια ςξσλάυιρςξ οίζα ςηενίρχρη f (x) 0 ρςξ αξικςό διάρςημα ( , ) .
iii. Μια ρσάοςηρη f : A λέγεςαι ρσάοςηρη "1-1", όςα για ξπξιαδήπξςε 1 2x ,x A ιρυύειη ρσεπαγχγή:
α1 2
x x ςόςε 1 2f (x ) f (x ) .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
5/79
5
Άσκηση 5
i. Να διαςσπώρεςε ςξ θεώοημα ςη μέγιρςη και ςη ελάυιρςη ςιμή.
ii. Πόςε μια ρσάοςηρη f δε είαι ρσευή ρε έα ρημείξ 0x ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ ςη;
Λύρη
i. Α f είαι ρσευή ρσάοςηρη ρςξ [ , ] , ςόςε η f παίοει ρςξ [ , ] μια μέγιρςη ςιμή M και μια ελάυιρςη ςιμή m .
ii. Μια ρσάοςηρη f δε είαι ρσευή ρε έα ρημείξ 0x ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ ςη όςα α) Δε
σπάουει ςξ όοιό ςη ρςξ0
x ή β) Υπάουει ςξ όοιό ςη ρςξ0
x , αλλά είαι διατξοεςικό από ςη
ςιμή ςη0
f(x ) , ρςξ ρημείξ0x.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
6/79
6
Άσκηση 6
Πόςε λέμε όςι μια ρσάοςηρη f είαι ρσευή ρε έα αξικςό διάρςημα (α,β) και πόςε ρε έακλειρςό διάρςημα [α,β];
Λύρη
Μια ρσάοςηρη f λέμε όςι είαι ρσευή ρε έα αξικςό διάρςημα (α,β), όςα είαι ρσευή ρεκάθε ρημείξ ςξσ (α,β).
Μια ρσάοςηρη f θα λέμε όςι είαι ρσευή ρε έα κλειρςό διάρςημα [α,β], όςα είαι ρσευή
ρε κάθε ρημείξ ςξσ (α,β) και επιπλέξxlim f(x) f( )
και
xlim f(x) f( )
.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
7/79
7
Άσκηση 7
i. Τι ξξμάζεςαι ακξλξσθία;
ii. Πόςε μπξοξύμε α ααζηςήρξσμε ςα όοιαxlim f (x)
καιxlim f (x)
;
Λύρη
i. Ακξλξσθία ξξμάζεςαι κάθε ποαγμαςική ρσάοςηρη *: N
ii. Για α έυει όημα ςξ όοιξxlim f (x)
ποέπει η f α είαι ξοιρμέη ρε έα διάρςημα ςη
μξοτή ( , ) . Για α έυει όημα ςξ όοιξxlim f (x)
ποέπει η f α είαι ξοιρμέη ρε έα
διάρςημα ςη μξοτή ( , ) .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
8/79
8
Άσκηση 8
i. Να διαςσπώρεςε ςξ θεώοημα Bolzano. Πξια είαι η γεχμεςοική ςξσ εομηεία;
ii. Να ρσγκοίεςε ςξσ αοιθμξύ x και x . Πόςε ιρυύει η ιρόςηςα;
Λύρη
i. Έρςχ μια ρσάοςηρη f , ξοιρμέη ρε έα κλειρςό διάρςημα , . Α η f είαι ρσευή ρςξ
, και επιπλέξ, ιρυύει f ( )·f ( ) 0 , ςόςε σπάουει έα ςξσλάυιρςξ 0x , , ςέςξιξ
ώρςε 0f (x ) 0 . Δηλαδή, σπάουει μια ςξσλάυιρςξ οίζα ςη ενίρχρη f (x) 0 ρςξ αξικςό
διάρςημα , .
Η γεχμεςοική εομηεία ςξσ Θ.Bolzano είαι όςι η γοατική παοάρςαρη ςη f ςέμει ςξ x x
ρεέα ςξσλάυιρςξ ρημείξ.
ii. Για κάθε x x x . Η ιρόςηςα ιρυύει μόξ όςα x 0 .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
9/79
9
Άσκηση 9
Δίεςαι ςξ πξλσώσμξ 11 1 0P(x) x x x
και 0x . Να απξδείνεςε όςι:
00
x xlim P(x) P(x )
.
Λύρη
Έρςχ ςξ πξλσώσμξ 11 1 0P(x) x x x
και 0x .
Έυξσμε:
0 0
1
1 0x x x xlim P(x) lim x x
0 0 01
1 0x x x x x xlim x lim x lim
0 0 0
1
1 0x x x x x xlim x lim x lim
1
0 1 0 0 0x x P(x )
πξμέχ0
0x xlim P(x) P(x )
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
10/79
10
Άσκηση 10
Δίεςαι η οηςή ρσάοςηρηP(x)
f(x)Q(x)
, όπξσ P(x) , Q(x) πξλσώσμα ςξσ x και 0x με
0Q(x ) 0 .
Να απξδείνεςε όςι:0
0
x x0
P(x )P(x)lim
Q(x) Q(x ) .
Λύρη
ίαι: 00 0
0
x x 0
x x x x0
x x
lim P(x)P(x )P(x)
lim f (x) limQ(x) lim Q(x) Q(x )
.
πξμέχ,0
0
x x0
P(x )P(x)lim
Q(x) Q(x ) , ετόρξ 0Q(x ) 0 .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
11/79
11
ΘΕΜΑ Β
Άσκηση 1
Δίεςαι η ρσάοςηρη f με ςύπξ:
2x 1f (x) 3e 5x 3 .
α) Να βοείςε ςξ είδξ ςη μξξςξία ςη f .
β) Να βοείςε ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη f .
γ) Να απξδείνεςε όςι η ενίρχρη f (x) 0 έυει ακοιβώ μια λύρη ρςξ .
Λύρη
α) Η ρσάοςηρη έυει f D . Για κάθε 1 2x ,x με 1 2x x έυξσμε:
1 2 1 2 1 2x x 2x 2x 2x 1 2x 1
1 2 1 22x 1 2x 1 2x 1 2x 1e e 3e 3e
και 1 2 1 2 1 2x x 5x 5x 5x 3 5x 3
άοα 1 22x 1 2x 11 2 1 23e 5x 3 3e 5x 3 f (x ) f (x )
.
Οπόςε η f είαι γηρίχ τθίξσρα.
β) Η f έυει πεδίξ ξοιρμξύ ςξ , είαι ρσευή και γηρίχ τθίξσρα, άοα έυει ρύξλξ ςιμώςξ:
x x
f( ) lim f(x), lim f(x)
.
ίαι:
2x 1x xlim f (x) lim 3e 5x 3
2x 1
x x3 lim e 5 lim x 3 3
(ατξύ 2x 1 x 2
x xlim e e lim (e ) e( )
).
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
12/79
12
2x 1
x xlim f (x) lim ( 3e 5x 3)
2x 1
x x3 lim e 5 lim x 3 0 3
(ατξύ 2x 1 2 xx xlim e e lim (e ) e·0 0
).
πξμέχ είαι f ( ) ( , ) .
γ) Ατξύ ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη f είαι ςξ πξσ πεοιέυει ςξ 0, θα σπάουει 0x ςέςξιξ
ώρςε0
f (x ) 0 . πειδή επιπλέξ η f είαι γηρίχ τθίξσρα ρςξ , η 0x είαι μξαδικήοίζα ςη ενίρχρη f (x) 0 .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
13/79
13
Άσκηση 2
Δίεςαι η ρσάοςηρη f με ςύπξ:2011f (x) 2x 5x 7, x .
i. Να απξδείνεςε όςι η ρσάοςηρη f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ .
ii. Να λύρεςε ςη ενίρχρη f (x) 0 .
iii. Να βοείςε ςξ ποόρημξ ςη ρσάοςηρη f .
Λύρη
i. Η ρσάοςηρη f έυει f D . Για κάθε 1 2x , x με 1 2x x . Έυξσμε:
2011 2011 2011 2011
1 2 1 2 1 2x x x x 2x 2x
και 1 2 1 2 1 2x x 5x 5x 5x 7 5x 7 άοα
2011 2011
1 1 2 2 1 22x 5x 7 2x 5x 7 f (x ) f (x ).
Οπόςε η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ .
ii. Η f είαι ρσευή ρςξ και γηρίχ αύνξσρα ρςξ διάρςημα ασςό. νάλλξσ
f (1) 2 5 7 0 και επξμέχ: f (x) 0 x 1
iii. ίαι: f(1) 0 και η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ , ξπόςε:
Για κάθε x 1 , έυξσμε: f (x) f (1) f (x) 0
Για κάθε x 1 , έυξσμε: f (x) f (1) f (x) 0
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
14/79
14
Άσκηση 3
Δίεςαι η ρσάοςηρη f μεxf (x) 4 e 2 3 .
i. Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη.
ii. Να βοείςε ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη.
iii. Να ξοίρεςε ςη 1f .
Λύρη
i. Ποέπει: x xe 2 0 e 2 x ln 2
Άοα f
D ln 2,
.
ii. Για κάθε 1 2x , x [ln 2, ) με 1 2x x έυξσμε:
1 2 1 2 1 2x x x x x x
1 2x x e e e 2 e 2 e 2 e 2
1 2 1 2x x x x4 e 2 4 e 2 4 e 2 3 4 e 2 3
1 2f (x ) f (x )
Άοα η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ [ln 2, ) . Οπόςε ατξύ η f είαι και ρσευή (ποάνειρσευώ) ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη είαι:
x
f ln 2, f ln 2 , lim f (x)
Έυξσμε:
ln2f (ln2) 4 e 2 3 4·0 3 3
x
x xlim f (x) lim(4 e 2 3)
Άοα f ln 2, 3,
iii. Η f είαι 1-1 χ γήρια αύνξσρα (ii) και επξμέχ αςιρςοέτεςαι.
Για κάθε x ln 2, έυξσμε: f (x) y
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
15/79
15
x
x
y 3e 2
44 e 2 3 y
y 30
4
2 2
x (y 3)y 3
x ln 2e 244
y 3 y 3
.
Άοα 2
1 (x 3)f (x) ln 24
με 1f D 3, .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
16/79
16
Άσκηση 4
Δίεςαι η ρσάοςηρη f με f (x) 2 ln( x 1 1) 3
i. Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη f .
ii. Να απξδείνεςε όςι η f είαι “1-1”.
iii. Να ξοίρεςε ςη 1f
.
iv. Να λύρεςε ςη ενίρχρη 1f (1 x) 2 .
Λύρη
i. Ποέπει:
x 1 0
x 1
x 1 1 0
άοα f D 1,
ii. Έρςχ 1 2x ,x 1, με 1 2f (x ) f (x ) . Έυξσμε:
1 2 1 2f (x ) f (x ) 2ln( x 1 1) 3 2ln( x 1 1) 3
1 22ln x 1 2ln x 1
1 2 1 2 1 2ln x 1 ln x 1 x 1 x 1 x x
Άοα η f είαι “1-1”.
iii. Έυξσμε:
y 3f (x) y y 2ln( x 1 1) 3 ln( x 1 1)2
2y 3 y 3
2 2e x 1 1 e 1 x 1
, ποέπειy 3
2e 1 0
, επξμέχ
y 322x (e 1) 1, y 3.
Άοα
x 3
1 22
f (x) (e 1) 1, x [3, )
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
17/79
17
iv.
x 1 3 x 21 2 22 2f (1 x) 2 (e 1) 1 2 (e 1) 1
x 2
2(e 1 1
ήx 2
2e 1 1)
x 2
2(e 2
ήx 2
2e 0
αδύαςξ x 2
) ln 2 x 2ln 2 22
.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
18/79
18
Άσκηση 5
Δίεςαι η ρσάοςηρη f με
x1
f (x) 3x 22
.
i.
Να βοείςε ςξ είδξ μξξςξία ςη f
ii. Να απξδείνεςε όςι σπάουει μξαδικό x για ςξ ξπξίξ η ρσάοςηρη παίοει ςηςιμή 2011.
iii. Να λύρεςε ςη αίρχρη: x x3x2 2 1
Λύρη
i. Η ρσάοςηρη έυει f D . Για κάθε 1 2x , x με 1 2x x έυξσμε:
1 2x x
1 2
1 1x x
2 2
και 1 2 1 2 1 2x x 3x 3x 3x 2 3x 2
άοα1 2x x
1 2 1 2
1 13x 2 3x 2 f (x ) f (x ).
2 2
Οπόςε η f είαι γηρίχ τθίξσρα ρςξ .
ii. Έυξσμε:
x
x x
1lim f (x) lim 3x 2
2
x
x x
1lim 3 lim x 2 2
2
, ατξύ1
0 12
ξπόςε
x
x
1lim
2
.
x
x x
1lim f (x) lim 3x 2
2
x
x x
1lim 3 lim x 2 0 2
2
, ατξύ1
0 1
2
ξπόςε
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
19/79
19
x
x
1lim 0
2
πειδή η f είαι ρσευή και γηρίχ τθίξσρα ρςξ , έυει ρύξλξ ςιμώ ςξ:
x xf ( ) lim f (x), lim f (x) ,
πειδή 2011 f( ) και η f είαι γηρίχ τθίξσρα, σπάουει μξαδικό x για ςξ ξπξίξ ηρσάοςηρη παίοει ςη ςιμή 2011.
iii. Η αίρχρη γίεςαι:
x
x x
x
1 13x2 2 1 3x 1 3x 1
2 2
x1
3x 2 3 f (x) 3 f (x) f (0) x 02
(ατξύ f (0) 3 ) και f γηρίχ τθίξσρα ρςξ .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
20/79
20
Άσκηση 6
Δίεςαι η ρσάοςηρη f με2011f (x) 3x 2x 5, x .
i. Να απξδείνεςε όςι η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ .
ii. Να απξδείνεςε όςι η ενίρχρη f (x) 0 έυει ακοιβώ μία οίζα ςη x 1 .
iii. Να βοείςε ςξ ποόρημξ ςη f .
Λύρη
i. Η ρσάοςηρη έυει f D . Για κάθε 1 2x , x με 1 2x x έυξσμε:
2011 2011 2011 2011
1 2 1 2 1 2x x x x 3x 3x
και 1 2 1 2 1 2x x 2x 2x 2x 5 2x 5 .
Άοα 2011 20111 1 2 2 1 23x 2x 5 3x 2x 5 f (x ) f(x ) .
Οπόςε η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ .
ii. Έυξσμε: f(1) 0 άοα x 1 οίζα ςη f (x) 0 και επειδή η f γηρίχ αύνξσρα ρςξ ηοίζα ασςή είαι μξαδική.
iii. Ατξύ η ρσάοςηρη f είαι ρσευή ρςξ χ πξλσχσμική και x 1 η μξαδική ςη οίζα,ςόςε ρύμτχα με ςξ θεώοημα Bolzano διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςα διαρςήμαςα ( ,1) και(1, ) .
Η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ άοα για κάθε x 1 ιρυύει f (x) f (1) 0 , εώ για κάθεx 1 ιρυύει f (x) f (1) 0 .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
21/79
21
Άσκηση 7
Να βοείςε ςξx 1limf(x)
, όςα:
i.
x 1
2x 1lim f(x)
ii. x 1
f(x)lim
4x 3
iii. x 1lim f (x)(3x 4)
Λύρη
i. Θέςξσμε2x 1
g(x)f(x)
και επειδήx 1limg(x)
είαι g(x) 0 για ςιμέ κξςά ρςξ 1.
πίρη:2x 1 2x 1
g(x) f (x)f (x) g(x)
Οπόςε:x 1 x 1 x 1
2x 1 1limf (x) lim lim (2x 1) 0
g(x) g(x)
ii. Θέςξσμε:f(x)
h(x)4x 3
, ξπόςε f(x) (4x 3)h(x)
πίρη x 1limh(x)
Άοα x 1 x 1limf (x) lim (4x 3)h(x) 7·
iii. Θέςξσμε:
f (x)(3x 4) (x) , ξπόςεx 1lim (x)
πίρη 3x 4 0 για ςιμέ κξςά ρςξ 1, ξπόςεk(x)
f(x)3x 4
Άοαx 1 x 1
1 1limf (x) lim k(x) ( )
3x 4 7
.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
22/79
22
Άσκηση 8
Δίεςαι η ρσευή και γηρίχ μξόςξη ρσάοςηρη f : 1,5 ςη ξπξία η γοατική παοάρςαρηπεοάει από ςα ρημεία A(1,8) και B(5,12) .
i.
Να απξδείνεςε όςι η f είαι γηρίχ αύνξσρα.
ii. Να απξδείνεςε όςι η ρσάοςηρη f παίοει ςη ςιμή29
3
iii. Υπάουει μξαδικό 0x 1,5 ςέςξιξ ώρςε:
0
2f (2) 3f (3) 4f (4)f(x )
9
Λύρη
i. ίαι: f (1) 8 και f (5) 12 και ατξύ γηρίχ μξόςξη θα είαι γηρίχ αύνξσρα(1 5 και f (1) f (5) ).
ii. Η f είαι γηρίχ αύνξσρα και ρσευή ρςξ 1,5 άοα έυει ρύξλξ ςιμώ ςξ:
f 1,5 f 1 , f 5 8,12
29 f 1,53
iii. πειδή η f είαι γηρίχ αύνξσρα για κάθε 1 2 f x , x D με 1 2x x θα είαι 1 2f (x ) f (x ) . Έςρι έυξσμε:
1 2 5 f (1) f (2) f (5) 8 f (2) 12 16 2f (2) 24
1 3 5 f (1) f (3) f (5) 8 f (3) 12 24 3f (3) 36
1 4 5 f (1) f (4) f (5) 8 f (4) 12 32 4f (4) 48
ξπόςε:72 2f (2) 3f (3) 4f (4) 108
2f (2) 3f (3) 4f (4)8 12
9
Άοα ρύμτχα με ςξ θεώοημα εδιαμέρχ ςιμώ θα σπάουει0
x (1,5) ςέςξιξ ώρςε:
0 2f (2) 3f (3) 4f (4)f(x )9
και ατξύ f γηρίχ αύνξσρα θα είαι μξαδικό.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
23/79
23
Άσκηση 9
Δίεςαι η ρσάοςηρη f μεxf(x) ln(3e 1) 2 .
i. Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη f .
ii. Να απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι.
iii. Να ξοίρεςε ςη 1f .
iv. Να λύρεςε ςη αίρχρη 1f (x) f (ln 5 2) 2 .
Λύρη
i. Για α ξοίζεςαι η f , ποέπει: x3e 1 0 πξσ αληθεύει για κάθε x R . Άοα, ςξ πεδίξξοιρμξύ ςη είαι: f D
ii. Για κάθε 1 2x , x με 1 2x x έυξσμε:
1 2 1 2 1 2x x x x x x
1 2x x e e 3e 3e 3e 1 3e 1
1 2 1 2x x x xn(3e 1) n(3e 1) n(3e 1) 2 n(3e 1) 2
1 2f(x ) f (x ).
Οπόςε η f είαι γηρίχ αύνξσρα, άοα 1 1 ξπόςε αςιρςοέτεςαι.
iii. Έυξσμε:x y 2 xf (x) y y 2 n(3e 1) e 3e 1
y 2 y 2x e 1 e 1e , 0
3 3
ξπόςε y 2
1x n (e 1), y 2.
3
Άοα 1 x 21
f (x) ln (e 1), x 2,3
iv. Έυξσμε:
1 x ln51
f (x) f (ln5 2) 2 ln 3e 1 2 ln e 1 23
x x x4 4
ln 3e 1 ln 3e 1 9e 3 43 3
x 1 1e x ln x ln99 9
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
24/79
24
Άσκηση 10
Δίεςαι η ρσάοςηρη f με3f (x) 2x 3x 1
i. Να βοείςε ςξ είδξ μξξςξία ςη f .
ii. Να απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι.
iii. Να λσθεί η ενίρχρη 1f (x) 2
iv. Να λσθεί η αίρχρη 1f (x) x 1
Λύρη
i. Η ρσάοςηρη f έυει πεδίξ ξοιρμξύ ςξ .
Για κάθε1 2
x , x με 1 2x x έυξσμε:
3 3 3 3
1 2 1 2 1 2x x x x 2x 2x
και
1 2 1 2 1 2x x 3x 3x 3x 1 3x 1
άοα
3 3
1 1 2 2 1 22x 3x 1 2x 3x 1 f (x ) f (x ).
Οπόςε η f είαι γηρίχ τθίξσρα.
ii. Η f είαι γηρίχ τθίξσρα άοα και 1 1 ξπόςε αςιρςοέτεςαι.
iii. 1 1f (x) 2 f f x f (2) x 23
iv. πειδή η f είαι γηρίχ αύνξσρα, θα ιρυύει:
1 1f (x) x 1 f f (x) f x 1
3 2x 2 x 3x 3x 1 3 x 1 1
3 22x 6x 10x 6 0 (Συήμα Horner)
2
x 1 · 2x 4x 6 0 x 1 (ατξύ 2
2x 4x 6 0 διόςι 16 48 32 0 )
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
25/79
25
Άσκηση 11
Δίεςαι η γηρίχ αύνξσρα ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει:
f (f (x)) f (x) 3x 2 για κάθε x και f (1) 3
i. Να βοείςε ςξ 1f (1) .
ii. Να βοείςε ςξ f(3)
iii. Να λσθεί η ενίρχρη 1f (x) 3
iv. Να βοεθεί ςξ x
3 x x xlim
f f x f (x) 2
Λύρη
i. Η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ άοα και 1 1 , ξπόςε αςιρςοέτεςαι. Θέςξσμε όπξσ x ςξ1f (1) ρςη δξθείρα ρυέρη και έυξσμε:
1 1 1f f f 1 f f 1 3f 1 2
1 1 1 2f (1) 1 3f (1) 2 4 2 3f (1) f (1)3
ii. Για x 1 η δξθείρα ρυέρη γίεςαι:
f f 1 f (1) 3·1 2 f (3) 3 5 f (3) 2
iii. ίαι:
1f (x) 3 x f (3) x 2 (από ii)
iv. ίαι:
x x3 x x x 3 x x x
lim limf f (x) f (x) 2 3x
x
x 1 x 1 1lim ·
x 3 x 3 3
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
26/79
26
ατξύ είαι:xx 1
x x x
1 x 1
x x x
και
x x
1 1lim lim 0
x x
Οπόςε από ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή θα είαι καιx
xlim 0
x
. Όμξια και για ςξ
x
xlim
x
.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
27/79
27
Άσκηση 12
Δίεςαι η ρσευή ρςξ ρσάοςηρη f για ςη ξπξία ιρυύει όςι:2x 1
f (x) x (x 1)lim 2
x 1
i.
Να απξδείνεςε όςι η γοατική παοάρςαρη ςη f πεοάει από ςξ ρημείξ M(1,1)
ii. Να βοείςε ςξ2x 1
3f (x) 2 1lim
x 1
Λύρη
i. Θέςξσμε: 22
f (x) x (x 1)g(x) f (x) (x 1)g(x) x (x 1).
x 1
Έςρι έυξσμε:
2
x 1 x 1limf (x) lim g(x)(x 1) x (x 1) 1
πειδή η f είαι ρσευή ρςξ θα ιρυύει:x 1
f(1) limf (x) 1
Άοα η γοατική ςη παοάρςαρη πεοάει από ςξ ρημείξ M(1,1)
ii. ίαι x 1lim 3f (x) 2 1 0
, ξπόςε 3f (x) 2 0 , κξςά ρςξ 0x
Άοα
22 2 2x 1 x 1 x 1
3 x 1 g(x) 3 x 3 (x 1) 33f (x) 2 1 3f(x) 3lim lim lim
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
3 x 1 (x 1)lim 3g(x) lim 3lim
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
x 1 u 0x 13 3 u
6 ·lim lim2 2 ux 1 x 1
3 3 216
4 2 4
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
28/79
28
Άσκηση 13
Δίεςαι η ρσάοςηρη f μεx 1
f (x) 2ln 31 x
.
i.
Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη f .
ii. Να απξδείνεςε όςι η f είαι ρσευή ρςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη.
iii. Να απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι και α μελεςήρεςε ςη 1f
χ ποξ ςη ρσέυεια.
iv. Να βοείςε ςα όοια:x 1limf(x)
και
x 1lim f(x)
Λύρη
i. Για α ξοίζεςαι η f , ποέπει:
22 2x 1 0 1 x 0 x 1 x 1 x 1 1 x 11 x
Άοα ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη είαι ςξ: f D 1,1
ii. Η f είαι ρσευή χ ρύθερη ςχ ρσευώ ρσαοςήρεχ 2f και 1f με
1f (x) 2 lnx 3 και 2x 1
f (x) 1 x
, ατξύ για κάθε x 1,1 , ιρυύει:
1 2 1 2 2x 1
f of (x) f f (x) 2ln f (x) 3 2ln 31 x
iii. Για κάθε 1 2x ,x ( 1,1) με 1 2f (x ) f (x ) έυξσμε:
1 2 1 21 2
1 2 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1f (x ) f (x ) 2ln 3 2ln 3
1 x 1 x 1 x 1 x
1 1 2 2 2 1 2 1 1 2x x x 1 x x 1 x x x x x .
Άοα η f αςιρςοέτεςαι.
ίαι:
y 3
2x 1 x 1
f (x) y y 2ln 3 e1 x 1 x
y 3y 3 y 3 y 3 y 3 2
2 2 2 2y 3
2
e 1x 1 e x·e (1 e )·x e 1 x
e 1
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
29/79
29
πειδή:y 3 y 3
2 2
y 3 y 3
2 2
e 1 e 11 x 1 1 1 1
e 1 e 1
και
y 3
2
y 3
2
e 11
e 1
ή 1 1 καιy 3
22e 0
πξσ αληθεύξσ για κάθε y , παίοξσμε:
x 3
21
x 3
2
e 1f (x) , x
e 1
Η 1f
είαι ρσευή χ πηλίκξ ςχ ρσευώ ρσαοςήρεχx 3
21
f (x) e 1
καιx 3
22f (x) e 1
. Η 1f είαι ρσευή χ ρύθερη ςχ ρσευώx
1g (x) e 1 και
2
x 3g (x)
2
Ποάγμαςι για κάθε x , ιρυύει:
x 3
21 2 1 2 1g og (x) g g x e 1 f (x)
Η2
f είαι ρσευή χ ρύθερη ςχ ρσευώ x1
h (x) e 1 και2
x 3h (x)
2
.
Ποάγμαςι για κάθε x R , ιρυύει:
x 3
21 2 1 2 2h oh (x) h h (x) e 1 f (x)
iv. ίαι:
x 1 x 1
x 1lim f (x) lim(2 ln 3)
1 x
Α θέρξσμεx 1
u1 x
και ατξύ για x 1 u , θα έυξσμε:
x 1 ulimf (x) lim (2ln u 3)
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
30/79
30
x 1 x 1 x 1
x 1lim f (x) lim f (x) lim 2ln 3
1 x
Α θέρξσμεx 1
u
1 x
και ατξύ για x 1 u 0 , έυξσμε
x 1 u 0limf(x) lim 2ln u 3
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
31/79
31
Άσκηση 14
Δίεςαι η ρσάοςηρη *f : και η ρσάοςηρη g με ςύπξx 2
g(x) ln2 x
i.
Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη fog.
ii. Να βοείςε ρσάοςηρη h για ςη ξπξία α ιρυύει: hog (x) x .
iii. Να απξδείνεςε όςι η ρσάοςηρη h είαι πεοιςςή.
Λύρη
i. Για α ξοίζεςαι η g , ποέπει: x 2
0 x 2,22 x
. Άοα ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη g είαι ςξ:
gD 2,2 .
πίρη έυξσμε: *f
D ξπόςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη fog είαι:
fog
x 2 x 2D x ( 2,2) / n 0 x ( 2,2) / 1
2 x 2 x
x ( 2, 2) / x 0 ( 2, 0) (0, 2) .
ii. Ιρυύει x 2
(hog)(x) x h g(x) x h ln x2 x
(1)
Θέςξσμεx 2
u ln2 x
, ξπόςε έυξσμε:
u u ux 2 x 2u ln e 2e xe x 22 x 2 x
u
u
2e 2x
e 1 ατξύ ue 1 0 , για κάθε
u .
Άοα η (1) γίεςαι:u
u
2e 2h(u)
e 1
ή
x
x
2e 2h(x) .
e 1
iii.
Για κάθε x και x .
Για κάθε x έυξσμε:x x xx
x x x
x
22
2e 2 2 2e 2e 2eh( x) h(x).1e 1 1 e 1 e
1
e
Άοα η h πεοιςςή.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
32/79
32
ΘΕΜΑ Γ
Άσκηση 1
Δίξςαι ξι ρσευεί ρςξ ρσαοςήρει f και g για ςι ξπξίε ιρυύξσ:
f (x) 0 για κάθε x .
Οι γοατικέ ςξσ παοαρςάρει ςέμξςαι ρςξ A(2, 1) .
1 1 και
2 5 είαι δύξ διαδξυικέ οίζε ςη g(x) 0 .
Να απξδείνεςε όςι:
α) η ρσάοςηρη f διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςξ .
β) g(x) 0 για κάθε x ( 1,5) .
γ)4 2
3x
f (3)·x 2x 1lim
g(2)·x 5
Λύρη
α) Η ρσάοςηρη f είαι ρσευή ρςξ και f (x) 0 για κάθε x .
Έρςχ1 2
x , x με 1 2f(x )·f(x ) 0 .
Τόςε από ςξ θεώοημα Bolzano σπάουει έα ςξσλάυιρςξ 0 1 2x (x , x ) ςέςξιξ ώρςε 0f (x ) 0 πξσ είαι άςξπξ.
Άοα η f διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςξ .
β) Η ρσάοςηρη g είαι ρσευή ρςξ ( 1,5) και g(x) 0 ρςξ ( 1,5) ατξύ 1 και 5 είαιδιαδξυικέ οίζε ςη g(x) 0 .
Άοα διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςξ ( 1,5) . πίρη g(2) 1 0 . Οπόςε g(x) 0 για κάθεx ( 1,5) .
γ) ίαι: f (2) 1 0 . Άοα από α) είαι f (x) 0 για κάθε x .
Οπόςε f (3) 0 . πίρη από β) g(2) 0 .
Άοα4 2
3x x
f (3)·x 2x 1 f (3)lim lim ·x
g(2)·x 5 g(2)
.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
33/79
33
Άσκηση 2
Δίεςαι η ρσάοςηρη f : (0, ) με ςύπξ:
4f (x) 2x 3ln x 1 .
i. Να ενεςάρεςε χ ποξ ςη μξξςξία ςη ρσάοςηρη f .
ii. Να βοείςε ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη ρσάοςηρη f .
iii. Να απξδείνεςε όςι για κάθε , η ενίρχρη f(x) έυει μξαδική οίζα.
iv. Να απξδείνεςε όςι σπάουει μξαδικό ποαγμαςικό αοιθμό 0 για ςξ ξπξίξ ιρυύει:
4 1 3 1ln2 2
Λύρη
i. Η ρσάοςηρη f έυει f D (0, ) . Για κάθε 1 2x ,x (0, ) με
1 2x x έυξσμε: 4 4 4 41 2 1 2 1 2x x x x 2x 2x και
1 2 1 2 1 2 1 2x x ln x ln x 3ln x 3ln x 3ln x 1 3ln x 1
άοα 4 41 1 2 2 1 22x 3ln x 1 2x 3ln x 1 f (x ) f (x ) .
Οπόςε η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ (0, ) .
ii. Η f είαι ρσευή και γηρίχ αύνξσρα ρςξ (0, ) άοα έυει ρύξλξ ςιμώ ςξ:
xx 0f ((0, )) (lim f (x), lim f (x))
.
ίαι:
4
x 0 x 0lim f (x) lim (2x 3ln x 1) 0 1
4
x xlim f (x) lim (2x 3ln x 1) ( ) ( ) 1
πξμέχ είαι: f ((0, )) ( , ) .
iii. Η ρσάοςηρη f είαι γηρίχ αύνξσρα και έυει ρύξλξ ςιμώ ςξ , άοα η ενίρχρη
f(x) , όπξσ , έυει μξαδική οίζα.
iv. Έυξσμε:
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
34/79
34
4 41 3 1ln 2 1 3(ln1 ln )2 2
4 42 1 3ln 2 3ln 1 0 f ( ) 0
Αοκεί α δείνξσμε λξιπό όςι σπάουει μξαδικό 0 ςέςξιξ ώρςε f ( ) 0 . Ασςό ιρυύει ατξύ0 f ((0, )) και η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ (0, ) .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
35/79
35
Άσκηση 3
Δίεςαι η ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει η ρυέρη: 32f (x) 3 2x 3f (x) , γιακάθε x .
i.
Να απξδείνεςε όςι η ρσάοςηρη είαι ρσευή ρςξ .
ii. Α ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη f είαι ςξ , α απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι και α
βοείςε ςη 1f .
iii. Να λύρεςε ςη ενίρχρη f (x) 0 .
iv. Να βοείςε ςα κξιά ρημεία ςχ γοατικώ παοαρςάρεχ ςχ ρσαοςήρεχ f και1f .
Λύρη
i.3 32f (x) 3 2x 3f (x) 2f (x) 3f (x) 2x 3 για κάθε x .
Για 0x x είαι3
0 0 02f (x ) 3f (x ) 2x 3 .
Αταιοώςα καςά μέλη, έυξσμε:
3 3 0 0 02 f (x) f (x ) 3 f (x) f (x ) 2(x x )
2 20 0 0 02 f (x) f (x ) f (x) f (x)f (x ) f (x ) 3 f (x) f (x )
02(x x )
00 2 2
0 0
2(x x )f (x) f (x )
2 f (x) f (x)f (x ) f (x ) 3
Ατξύ 2 20 02f (x) 2f(x)f(x ) 2f (x ) 3 0, διόςι είαι δεσςεοξβάθμιξ ςοιώσμξ χ ποξ f(x) με διακοίξσρα:
2 2 2 2
0 0 0 04f (x ) 4·2(2f (x ) 3) 4f (x ) 16f (x ) 24
2 20 o12f (x ) 24 12 f (x ) 2 0
Άοα:0
0 02 2
0 0
2 x xf (x) f (x ) 2 x x
2f (x) 2f(x)f(x ) 2f (x ) 3
.
Οπόςε 0 0 02 x x f (x) f (x ) 2 x x
Αλλά0 0
0 0x x x xlim 2 x x lim 2 x x 0
ξπόςε ρύμτχα με ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή, θα
ιρυύει:
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
36/79
36
0 00 0
x x x xlim[f(x) f(x )] 0 lim f(x) f(x )
.
ii. Έρςχ1 2
x ,x R με 1 2f (x ) f (x ) ςόςε3 3 3 3
1 2 1 2f (x ) f (x ) 2f (x ) 2f (x ) .
πίρη 1 2 1 2f (x ) f (x ) 3f (x ) 3f (x ) και ποξρθέςξςα καςά μέλη, έυξσμε:
3 3
1 1 2 2 1 2 1 22f (x ) 3f (x ) 2f (x ) 3f (x ) 2x 3 2x 3 x x .
Άοα η f είαι 1-1 και επξμέχ αςιρςοέτεςαι. Η 1f
έυει πεδίξ ξοιρμξύ ςξ ρύξλξ ςιμώ ςηf πξσ είαι ςξ .
ίαι: 1f (x) y x f (y)
Οπόςε:3 3 1
2f (x) 3f (x) 2x 3 2y 3y 2f (y) 3
Άοα3
1 2x 3x 3f (x) , x2
iii.3
1 2·0 3·0 3 3f (x) 0 x f (0)2 2
iv. Η1
f
είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ άοα και η f , ξπόςε ςα κξιά ςξσ ρημεία είαι ρςηy x .
31 1 2x 3x 3f (x) f (x) f (x) x x
2
3 32x 3x 3 2x 2x x 3 0 x 1
Παοαςήοηρη: Τι ποξςάρει
Α) Α η f είαι γηρίχ μξόςξη ςόςε και η 1f είαι γηρίχ μξόςξη με ςξ ίδιξ είδξμξξςξία.
Β) A η f είαι γηρίχ αύνξσρα ςόςε ςα κξιά ρημεία ςχ f C και 1f C , (α σπάουξσ),
βοίρκξςαι ρςη εσθεία y x .
Ποέπει α ςι απξδεικύξσμε για α ςι υοηριμξπξιήρξσμε ρε μία άρκηρη.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
37/79
37
Άσκηση 4 (εκτός εξεταστέας ύλης)
Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : 1,2 και ξ μιγαδικό αοιθμό:
2f ( 1) f (2)i
z 1 i
για ςξ ξπξίξ ιρυύει όςι3
Im(z) 2 και5
Re(z) 2 .
i. Να γοάφεςε ςξ z ρςη μξοτή i, , .
ii. Να απξδείνεςε όςι: 2f( 1) f(2) 3 .
iii. Να απξδείνεςε όςι σπάουει έα ςξσλάυιρςξ ( 1,2) ςέςξιξ ώρςε
f ( ) 1 2 f ( )0
2 1
Λύρη
i. ίαι:
2f( 1) f (2)i (1 i) 2f( 1) f (2) 2f( 1) f (2) iz
(1 i)(1 i) 2
2f( 1) f(2) 2f( 1) f(2)i
2 2
ii.3 2f ( 1) f (2) 3
Im(z) 2f ( 1) f (2) 32 2 2
iii. Για 2 και 1 η ενίρχρη ιρξδύαμα γίεςαι:
f ( ) 1 2 f ( )
0 1 f ( ) 1 ( 2) 2 f ( ) 02 1
f ( ) f ( ) 1 2 f ( ) 4 2f ( ) 0 3f ( ) 3 3 0 .
Έρςχ g(x) 3f(x) 3x 3 . Η g είαι ρσευή ρςξ 1,2 χ άθοξιρμα ρσευώρσαοςήρεχ.
πίρη:
g( 1) 3f( 1) 3( 1) 3 3 f ( 1) 2
g(2) 3f(2) 3·2 3 3f(2) 3 3 3 2f( 1) 3
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
38/79
38
12 6f ( 1) 6 f ( 1) 2
Παοαςηοξύμε όςι: 2g( 1)·g( 2) 18[f( 1) 2] 0 .
Διακοίξσμε ςι πεοιπςώρει:
Α g( 1)·g(2) 0 g( 1) 0 ή g(2) 0 , ςόςε f ( 1) 2 ξπόςε και f (2) 1 (απξ ςξ
(ii)). Τόςε όμχ θα είαι5 3
z i2 2
ΑΤΟΠΟΝ από ςη σπόθερη. Άοα θα είαι
g( 1)·g(2) 0 ςόςε από ςξ θεώοημα Bolzano ποξκύπςει όςι σπάουει έα ςξσλάυιρςξ( 1,2) ςέςξιξ, ώρςε
g( ) 0 3f ( ) 3 3 0
( 1) f ( ) 1 ( 2) 2 f ( ) 0
f ( ) 1 2 f ( )0
2 1
Δηλαδή ςξ ( 1,2) είαι οίζα και ςη αουική ενίρχρη.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
39/79
39
Άσκηση 5
Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : η ξπξία είαι γηρίχ μξόςξη ρςξ και η γοατικήςη παοάρςαρη διέουεςαι από ςα ρημεία A( 1,0) και B(2,3) .
i.
Να απξδείνεςε όςι η f είαι γηρίχ αύνξσρα.
ii. Να βοείςε ςξ ποόρημξ ςη f .
iii. Να λύρεςε ςη ενίρχρη xf (2e 1) 3 .
iv. Να λύρεςε ςη αίρχρη f (3x 5) 0 .
Λύρη
i. πειδή η f είαι γηρίχ μξόςξη και με 1 2 είαι f ( 1) 0 f (2) 3 , η f είαιγηρίχ αύνξσρα.
ii. ίαι: f ( 1) 0 και επειδή η ρσάοςηρη f είαι γηρίχ αύνξσρα (άοα και 1-1) η ςιμή πξσμηδείζει ςη f είαι μξαδική. πξμέχ για:
x 1 f (x) f ( 1) f (x) 0
x 1 f (x) f ( 1) f (x) 0 .
Άοα f (x) 0 για κάθε x ( , 1) και f (x) 0 για κάθε x ( 1, ) .
iii. Ατξύ η f είαι 1-1 έυξσμε:
x x xf (2e 1) 3 f (2e 1) f (2) 2e 1 2
x x 1 12e 1 e x ln x ln 22 2
iv. Ατξύ η f είαι γηρίχ αύνξσρα έυξσμε:
f (3x 5) 0 f (3x 5) f ( 1) 3x 5 1 3x 6 x 2 .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
40/79
40
Άσκηση 6 (εκτός εξεταστέας ύλης)
Δίξςαι ξι μιγαδικξί αοιθμξί: 1 2z 2 2i, z 2 2i και 1 2z x·z xz , x , x 0
Α
2
2
1 2
zf(x) z z x α σπξλξγίρεςε ςα όοια:
i. xlim f(x)
ii. x 0limf(x)
iii. x
1lim f
x
Λύρη
i. ίαι: z x(2 2i) x(2 2i) (2 x 2x) (2 x 2x)i , ξπόςε 2 2 2z (2 x 2x) (2 x 2x)
2 2 2 2 2 24 x 4x 8x x 4 x 4x 8x x 8 x 8x
1 2z z (2 2i)(2 2i) 4 4 8
πξμέχ
22 2
2
8 x 8x xf (x) 1
8x x
Άοα
22 2
2x x x
8 x 8x xlim f (x) lim lim 1 0 1 1
8x x
ατξύxx 1 1 x 1
x x x x x x
και
x x
1 1lim 0, lim 0
x x ξπόςε, λόγχ ςξσ
κοιςηοίξσ παοεμβξλή,x
xlim 0x
.
ii.
2
2
x 0 x 0
xlimf (x) lim 1 1 1 2
x
iii.
2
2
1x xy 0
x
1
1 yxlim f lim 1 lim 1 21x y
x
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
41/79
41
Άσκηση 7 (εκτός εξεταστέας ύλης)
Δίεςαι ξ μιγαδικό αοιθμό2i
z 2x , xx i
.
i.
Να γοατεί ξ μιγαδικό αοιθμό z ρςη μξοτή i .
ii. Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξxlim Re(z)
.
iii. Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξ:x
1lim Im(z) x
2
Λύρη
i. ίαι: 2 22i 2i(x i) 2xi 2
z 2x 2x 2xx i x 1 x 1
2 2
2 2x2x i
x 1 x 1
ii.2x x
2lim Re(z) lim 2x 0
x 1
iii. Για x 0 , έυξσμε: 2 2x x x1 1 2x x x
lim Im(z) x lim · x lim2 2 x 1 x 1
x x2
22
x x x 1lim lim · 0·1 0
11 x1x 1
xx
Ατξύxx 1 1 x 1
x x x x x x
και
x x
1 1lim lim 0
x x
ξπόςε από ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή έυξσμε καιx
xlim 0
x
.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
42/79
42
Άσκηση 8
Δίεςαι η ρσάοςηρη f ρσευή ρςξ [ 3,3] για ςη ξπξία ιρυύει 2 23x 4f (x) 27 για κάθεx [ 3,3] .
i.
Να βοείςε ςι οίζε ςη ενίρχρη f (x) 0 .
ii. Να απξδείνεςε όςι η f διαςηοεί ποόρημξ ρςξ διάρςημα ( 3,3) .
iii. Να βοεθεί ξ ςύπξ ςη f .
iv. Α επιπλέξ f (1) 6 α βοείςε ςξ όοιξx 0
3 3f(x)
2limx
.
Λύρη
i. Α οίζα ςη f (x) 0 , ςόςε έυξσμε: 2 2 23 4f ( ) 27 9 3 ή 3 .
ii. πειδή η ρσάοςηρη f , χ ρσευή ρςξ [ 3,3] , είαι ρσευή ρςξ ( 3,3) και δεμηδείζεςαι ρςξ διάρςημα ασςό, διαςηοεί ποόρημξ ρςξ ( 3,3) .
iii.
Α f (x) 0 , ςόςε από ςη ρυέρη 2 23x 4f (x) 27 έυξσμε:
227 3xf (x) , x [ 3,3]
2
Α f (x) 0 , ςόςε από ςη ρυέρη 2 23x 4f (x) 27 έυξσμε:
227 3xf (x) , x [ 3,3]
2
iv. f (1) 6 0 άοα από ςξ εοώςημα (Γ3) έυξσμε:
227 3xf (x) , x [ 3,3]
2
.
Οπόςε
2
2
x 0 x 0 x 0
3 3 27 3x 3 3f(x)
27 3x 3 32 2 2lim lim limx x 2x
2
2 2x 0 x 0
27 3x 27 3xlim lim 0
2x( 27 3x 3 3) 2( 27 3x 3 3)
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
43/79
43
Άσκηση 9
Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : 0, για ςη ξπξία ιρυύει:
2 8 2 x
x 2x 9 3 xf (x) x 3x 3 για κάθε x 0 .Να βοείςε:
i. Τξ όοιξ:2
x 0
x 2x 9 3lim
2x
.
ii. Τξ όοιξ: 7x 0
2limx
x .
iii. Τξ όοιξ:x 0limf(x)
.
iv. Τξ f(0) .
Λύρη
i.
2 2
x 0 x 0 2
x 2x 9 3 x 2x 9 9lim lim
2x 2x x 2x 9 3
x 0 2x x 2 1
lim62x x 2x 9 3
ii. πειδή2
1x
για κάθε x 0 , έυξσμε:
7 7 7 7 7 72 2 2x x · x x x xx x x
Αλλά 7 7x 0 x 0lim x lim x 0
Οπόςε ρύμτχα με ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή θα είαι 7x 0
2lim x 0
x
iii. Για κάθε x 0 έυξσμε:
2 8 2 xx 2x 9 3 xf (x) x 3
x 3
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
44/79
44
82
2 xx
x 2x 9 3 x 3f(x)x x
Αλλά
2 2
x 0 x 0
x 2x 9 3 x 2x 9 3 1lim 2limx 2x 3
(από i εοώςημα).
8
7
x 0 x 0
2 xx
2 1 1 1x 3lim lim x 0x x 3 3 3
(από ii εοώςημα)
Άοα ρύμτχα με ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή είαιx 0
1limf(x)
3
iv. Ατξύ η ρσάοςηρη f είαι ρσευή ρςξ 0, , είαι ρσευή και ρςξ x 0 . Άοα
x 0
1f (0) limf (x)
3 .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
45/79
45
Άσκηση 10
Δίεςαι η ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει: (fof)(x) 2f(x) 2x 1 για κάθε x και f (2) 5 .
i.
Να βοείςε ςξ f(5) .
ii. Να απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι.
iii. Να βοείςε ςξ 1f (2) .
iv. Να λύρεςε ςη ενίρχρη: 1 2f f (2x 7x) 1 2 .
Λύρη
i. Η ρυέρη (fof)(x) 2f(x) 2x 1 ιρυύει για κάθε x ξπόςε για x 2 έυξσμε:
f (f (2)) 2f (2) 2·2 1 f (5) 10 5 f (5) 5
ii. Έρςχ1 2
x , x με 1 2f (x ) f (x ) , ςόςε έυξσμε:
1 2 1 2f (x ) f (x ) f (f (x )) f (f (x )) (επειδή η f είαι ρσάοςηρη) και
1 2 1 2f (x ) f (x ) 2f (x ) 2f (x )
άοα 1 1 2 2 1 2 1 2f (f (x )) 2f (x ) f (f (x )) 2f (x ) 2x 1 2x 1 x x
ξπόςε η f είαι 1 1 , άοα αςιρςοέτεςαι.
iii. Θέςξσμε όπξσ x ςξ 1f (2) και έυξσμε:
1 1 1 1f (f (f (2))) 2f(f (2)) 2f (2) 1 f (2) 4 2f (2) 1
1 15 4 1 2f (2) f (2) 4 .
iv. Έυξσμε:
1 2 1 2 1f (f (2x 7x) 1) 2 f (2x 7x) 1 f (2)
1 2 2 2f (2x 7x) 5 2x 7x f (5) 2x 7x 5 0
1x 1 ή 2 5x 2 .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
46/79
46
Άσκηση 11 (εκτός εξεταστέας ύλης)
Δίξςαι η ρσάοςηρη f : 2,5 , ξ μιγαδικό αοιθμόf (2) i
z2 f (5)i
και η ρσάοςηρη g με
g(x) 2f(2x 1) f(x 1) .
i. Να γοάφεςε ςξ z ρςη μξοτή i .
ii. Α ξ z είαι ταςαρςικό α απξδείνεςε όςι f (5) 2f (2) .
iii. Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη g .
Λύρη
i. ίαι:
2 2 2
f (2) i 2 f (5)if (2) i 2f (2) f (5) f (2)f (5) 2z i
2 f (5)i 4 f (5) 4 f (5) 4 f (5)
ii. z ταςαρςικό άοα2
2f (2) f (5)Re(z) 0 0 f (5) 2f (2)
4 f (5)
.
iii. Ποέπει:
1x 2
2 2x 1 5 1 2x 4 2
1 x 2
2 x 1 5 1 x 4 1 x 4
.
Άοα gD 1,2 .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
47/79
47
Άσκηση 12 (εκτός εξεταστέας ύλης)
Δίεςαι η ρσάοςηρη f : με ςύπξ f (x) 2 z xi 1 για κάθε x , όπξσ z μιγαδικό
με z 2 και 2 Im(z) 2 . Να απξδείνεςε όςι:
i. 2f (x) 2 x 2 Im(z)·x 4 1 για κάθε x
ii. Η f είαι ρσευή.
iii. Υπάουει 0x 0,5 ςέςξιξ, ώρςε 0f (x ) 6
Λύρη
i. ίαι:2 2 2
z xi (z xi)(z xi) z zxi xzi x
2 2z xi x (z z)xi 4
2z xi x 2Im(z)x 4.
Άοα 2f (x) 2 x 2 Im(z)x 4 1 για κάθε x (Ατξύ Δ
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
48/79
48
Άσκηση 13
Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει 2 2x xf (x) 2 1 για κάθε*x , .
i.
Να απξδείνεςε όςι η f διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςξ .
ii. Α f (0) 2 α βοείςε ςξ ςύπξ ςη f .
iii. Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξ:x
x xx
2f(x) 3lim , 2
3·2 4·3
.
iv. Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξ:x
x xx
2f(x) 3lim , 3
3·2 4·3
Λύρη
i. ίαι 2
2 2x x xf (x) 2 1 1 0 για κάθε x
Η f είαι ρσευή ρςξ και f (x) 0 για κάθε x άοα, η f διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξρςξ .
ii. πειδή f (0) 2 είαι f (x) 0 για κάθε x
Άοα x xf (x) 1 1
iii.x
x xx
2f(x) 3lim
3·2 4·3
x x
x xx
2 2 3lim
3·2 4·3
x x
x
xxx
13 · 2 2 1
3 3 1lim
423 · 3· 4
3
, ατξύ1
0 1,0 13 3
και
20 1
3 άοα
x x x
x x x
2 1lim lim lim 0
3 3 3
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
49/79
49
iv.x
x xx
2f(x) 3lim
3·2 4·3
x x
x xx
2 2 3lim
3·2 4·3
x x x
x
xxx
1 32 · 2 2
2 2 2lim
32 3 4
2
, ατξύ3
1, 12 2
και
10 1
2 άοα
x x
x x3lim lim 0
2 2
και
x
x1lim2
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
50/79
50
Άσκηση 14
Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει: 4 4x 1 4f (x) x 2 για κάθεx .
i. Να απξδείνεςε όςι: 1 1f(0)4 2
και 1 3f (1)2 4
.
ii. Να βοείςε ςξ όοιξ: 4x 0
1lim x f
x
.
iii. Να βοείςε ςξ όοιξ:
5
2x 0
1x f 4 3x
xlim
2x 3 x
.
iv.
Να απξδείνεςε όςι σπάουει 0,1 ςέςξιξ, ώρςε f ( ) 0 .
Λύρη
i. Η ρυέρη4 4
x 1 4f (x) x 2 ιρυύει για κάθε x
Για x 0 , έυξσμε:
1 1
1 4f (0) 2 f (0)4 2
Για x 1 , έυξσμε:
1 32 4f (1) 3 f (1)
2 4
ii.Για x 0 , θέςξσμε όπξσ x ςξ1
x ρςη δξρμέη ρυέρη και έυξσμε:
4 4
4 4 41 1 1 1 1 1 1 11 4f 2 x x f xx x x 4 4 x 4 2
ίαι: 4x 0
1 1 1lim x
4 4 4
και 4x 0
1 1 1lim x
4 2 4
Άοα από ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή έυξσμε: 4x 0
1 1limx f
x 4
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
51/79
51
iii. ίαι:
5 4
2x 0 x 0
1 1 3x 1x f 4 3x x f 4 4·349x x x 4lim lim
x2x 3 x 0 3 12
2x 3 x
ατξύ 4x 0
1 1limx f
x 4
(από ii),x 0 x 0 u 0
3x 3x ulim 3lim 3lim 3·1 3
x 3x u
iv. Έρςχ g(x) f (x) x
Η g είαι ρσευή ρςξ 0,1 . πίρη ιρυύει:
g(0)·g(1) f (0)· f (1) 1 0 ατξύ1 1
f (0) f (0) 04 2
και1 3
f (1) f (1) 12 4
.
Άοα από ςξ θεώοημα Bolzano σπάουει έα ςξσλάυιρςξ (0,1) ςέςξιξ ώρςεg( ) 0 f ( ) 0
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
52/79
52
Άσκηση 15
i.Αx 0
2f(x) 4lim 2,
x
α βοείςε ςξ
x 0limf(x)
.
ii. Δίεςαι η ρσάοςηρη g : για ςη ξπξία ιρυύει:
xg(x) 2 2 x x x, για κάθε x .
Να βοείςε ςξx 0limg(x)
, α είαι γχρςό όςι σπάουει και είαι ποαγμαςικό αοιθμό.
iii. Να βοείςε ςξ όοιξ:2 2 2
2 2x 0
x f (x) (2x)lim
x x g(x)
Λύρη
i. Θέςξσμε:2f (x) 4 xh(x) 4
h(x) f (x)x 2
Έςρι, έυξσμε:
x 0 x 0
xh(x) 4limf (x) lim 2
2
ii. ίαι:
xg(x) 2 2 x x x , για κάθε x ξπόςε έυξσμε: xg(x) 2 x x x 2
Α x 0 , ςόςε:2 x x x 2 2( x 1) x
g(x) g(x) 1x x x
και
επξμέχ x 0 x 0lim g(x) 2·0 1 1 lim g(x) 0.
Α x 0 , ςόςε: 2 x x x 2 2( x 1) xg(x) g(x) 1x x x και
επξμέχ
x 0 x 0lim g(x) 2·0 1 1 lim g(x) 0.
Άοαx 0limg(x) 0
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
53/79
53
iii. ίαι:2
2 2
22 2 2
2 2 2x 0 x 02
(2x)x · f (x)
xx f (x) (2x) 4 4lim lim 8.
x x g(x) 1 0xx g(x)
x
Ατξύ
2 22 2
2 2x 0 x 0 u 0x 0
(2x) (2x) (2x) ulim li 4
(m
24lim 4lim 4
x (2x) ux)
και
2 2
x 0 x 0
x 1 xlim lim · 1
x x x
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
54/79
54
Άσκηση 16
Δίεςαι η ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει: 33f(x) 2f (x) 4x 1 για κάθε x .
i. Να απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι και α ξοίρεςε ςη 1f .
ii. Να απξδείνεςε όςι η 1f είαι γηρίχ αύνξσρα.
iii. Να βοείςε ςα ρημεία ςξμή ςχ γοατικώ παοαρςάρεχ ςχ ρσαοςήρεχ f και1f ,
α γχοίζεςε όςι ασςά βοίρκξςαι πάχ ρςη εσθεία με ενίρχρη y x .
iv. Να λσθεί η ενίρχρη: x 1f 2e f 3 x .
Λύρη
i. Έρςχ 1 2x , x με 1 2f (x ) f (x ) , ςόςε έυξσμε:
3 3 3 3
1 2 1 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 2f (x ) 2f (x )
και 1 2 1 2f (x ) f (x ) 3f (x ) 3f (x )
άοα 3 31 1 2 2 1 22f (x ) 3f (x ) 2f (x ) 3f (x ) 4x 1 4x 1
ξπόςε η f είαι 1 1 , άοα αςιρςοέτεςαι.
Θέςξσμε όπξσ x ςξ 1f (x) ρςη δξθείρα ρυέρη και έυξσμε:
3
1 1 13f f (x) 2 f f (x) 4f (x) 1
3 13x 2x 4f (x) 1
31 2x 3x 1f (x) .
4
ii. Για κάθε 1 2x , x R με 1 2x x έυξσμε:
3 3 3 3
1 2 1 2 1 2x x x x 2x 2x
και 1 2 1 2 1 2x x 3x 3x 3x 1 3x 1
άοα
3 3
3 3 1 1 2 21 1 2 2
2x 3x 1 2x 3x 12x 3x 1 2x 3x 14 4
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
55/79
55
1 1
1 2f (x ) f (x ),
ξπόςε 1f γηρίχ αύνξσρα.
iii. Έυξσμε:
1 1f (x) f (x) f (x) x
332x 3x 1 x 2x x 1 0 x 1.
4
iv. Η f είαι 1 1 , ξπόςε έυξσμε:
x 1 x 1 x 1
f (2e ) f (3 x) 2e 3 x 2e x 3 0
(1)
Η (1) έυει ποξταή οίζα ςη x 1 .
Έρςχ x 1g(x) 2e x 3 . Για κάθε
1 2x , x με 1 2x x έυξσμε:
1 2 1 2x 1 x 1 x 1 x 1
1 2 1 2x x x 1 x 1 e e 2e 2e
και 1 2 1 2x x x 3 x 3
άοα 1 2x 1 x 11 2 1 22e x 3 2e x 3 g(x ) g(x )
Οπόςε g γηρίχ αύνξσρα ρςξ . πξμέχ η οίζα x 1 είαι μξαδική.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
56/79
56
Άσκηση 17 (εκτός εξεταστέας ύλης)
Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f ρςξ και ξ μιγαδικό αοιθμό z f (x) 2( x)i , ςέςξιξ
ώρςε:2 2z 2Re(z) Im(z) 3x x 10 .
i. Να απξδείνεςε όςι η ρσάοςηρη g(x) f (x) 2 x διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςξ .
ii. Να βοείςε ςη ρσάοςηρη f α f (0) 10 .
iii. Να βοείςε ςξx 0
f (x) x 1 10lim
x
Λύρη
i. ίαι:
2 2z x 3x 2Re(z) Im(z) 10
2 2 2f (x) 4 x x 3x 4f (x) x 10
2 2f (x) 2 x x 3x 10 (1)
Υπξθέςξσμε όςι η ρσάοςηρη g δε διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ, ςόςε θα σπάουξσ 1 2x , x R
ςέςξια ώρςε: 1 2g(x )g(x ) 0 Άοα, ρύμτχα με ςξ θεώοημα ςξσ Bolzano σπάουει έα ςξσλάυιρςξ 0 1 2x x , x ώρςε
0g(x ) 0 .
Οπόςε:(1)
2 2
0 0 0 0g(x ) 0 g (x ) 0 x 3x 10 0 πξσ είαι άςξπξ ( 31 0 )
ii. ίαι: f (0) 10 0 , άοα από (i) έυξσμε: 2f (x) x 3x 10 2 x
iii. ίαι:
2
x 0 x 0
f (x) x 10 1 x 3x 10 2 x x 10 1lim lim
x x
2
x 0 x 0 x 0
x 3x 10 10 2 x x 1lim lim lim
x x x
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
57/79
57
2
x 0 2
x 3x 3lim 2·1 0 2
2 10x x 3x 10 10
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
58/79
58
Άσκηση 18
Δίξςαι ξι ρσαοςήρει f (x) x 1 1 και g(x) 2 x .
i. Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςχ ρσαοςήρεχ f και g .
ii. Να ξοιρθεί η ρσάοςηρη fog.
iii. Να απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι και α βοείςε ςη 1f .
iv. Να βοείςε ςξ είδξ ςη μξξςξία ςη ρσάοςηρη fofog.
Λύρη
i. Για α ξοίζεςαι η f , ποέπει: x 1 0 x 1
Άοα ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη είαι ςξ: f D 1, .
Τξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη g είαι ςξ: gD (πξλσχσμική)
ii. Τξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη fog είαι:
fogD x / 2 x 1 x / x 3 ,3
Άοα για κάθε x ,3 έυξσμε:
fog (x) f g(x) 2 x 1 1 3 x 1
iii. Για κάθε 1 2x , x 1, έυξσμε:
1 2 1 2 1 2f (x ) f (x ) x 1 1 x 1 1 x x .
Άοα, η f αςιρςοέτεςαι.
Έρςχ f (x) y y x 1 1 y 1 x 1 , (ποέπει y 1 ) 2x (y 1) 1 ξπόςε
21f (x) x 1 1 με x 1
iv. Για κάθε 1 2x , x 1, με 1 2x x έυξσμε:
1 2 1 2 1 2 1 2x x x 1 x 1 x 1 1 x 1 1 f (x ) f (x ) .
Άοα η f είαι γηρίχ αύνξσρα. Για κάθε 1 2x , x με 1 2x x έυξσμε:
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
59/79
59
1 2 1 2 1 2x x 2 x 2 x g(x ) g(x ) .
Άοα η g είαι γηρίχ τθίξσρα.
fofog fo (fog )
D D x ( ,3] / 3 x 1 1 ( , 3] .
Για κάθε 1 2x , x ,3 με
1 2 1 2 1 2x x g(x ) g(x ) f (g(x )) f (g(x )) g γμ.τθίμξσρα f γμ.αύνξσρα
1 2f f g x f f g x .
Άοα η ρσάοςηρη fofog είαι γηρίχ τθίξσρα ρςξ ,3 .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
60/79
60
Άσκηση 19
Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f με
2
2
2x x, x 0
x x
f(x) , x 0
8x x 16 3x, x 0
i. Να βοείςε ςα , .
ii. Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξ:xlim f (x)
.
iii.
Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξ: xlim f (x) .
iv. Να απξδείνεςε όςι η ενίρχρη f (x) 2ln(8x 1) έυει μία ςξσλάυιρςξ οίζα ρςξδιάρςημα 0,1 .
Λύρη
i. Η f είαι ρσευή ρςξ , άοα και ρςξ 0x 0
f : ρσευή ρςξ x 0 x 0x 0 lim f (x) lim f (x) f (0)
2x 0 x 0 x 0
x2 ·
2x x 2 ·1xlim f (x) lim lim 2x x 1 x 1
2x 0 x 0lim f (x) lim 8x x 16 3x 4
f(0)
Άοα: 4 και 2 4 2
ii. Για 2 και 4 έυξσμε:
2
2
2x 2 x, x 0
x x
f(x) 4, x 0
8x x 16 3x, x 0
ξπόςε:
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
61/79
61
2 2
2
2x x x
8x x 16 9xlim f (x) lim 8x x 16 3x lim
8x x 16 3x
2
2
x
2
1 16x 1
1x xlim8 31 16
x 8 3x x
iii. ίαι:
2x x x
x2 2
2x 2 x 1 xxlim lim lim 2 2 0,x x 1 x 1 x x
ατξύ:xx 1 1 x 1
x x x x x x
καιx x
1 1lim lim 0
x x
, ξπόςε από ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή έυξσμε:
x
xlim 0
x
iv. Θεχοξύμε ςη ρσάοςηρη g(x) f(x) 2ln(8x 1), x 0,1
Η g είαι ρσευή ρςξ 0,1 (χ ρύθερη και απξςέλερμα ποάνεχ ρσευώ)
πίρη:
g(0) f (0) 4 0
eg(1) f (1) 2 ln 9 2 2 ln 9 2 ln 0
9
Άοα από ςξ θεώοημα Bolzano έυξσμε όςι η ενίρχρη g(x) 0 f(x) 2ln(8x 1) έυει μιαςξσλάυιρςξ οίζα ρςξ (0,1) .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
62/79
62
Άσκηση 20
Δίεςαι η ρσάοςηρη f με
2
3 2
2
x 5x 6, x ( ,0) (0,2)
4(x 2x )
f(x)x 1
, x (2, )2( 4
x )
και η g : 0,1
για ςη ξπξία ιρυύει:
x 0
x·g(x) 2xlim 5
3x
και g(x 3) g(x) f(x) για κάθε x
Να βοείςε:
i. Τξ α σπάουει ςξx 2limf(x)
.
ii.
Τξ όοιξx 0limf(x)
.
iii. Τξ όοιξx 0limg(x)
.
iv. Τξ όοιξx 3limg(x)
.
Λύρη
i. ίαι:2
3 2 2x 2 x 2 x 2
x 5x 6 (x 2)(x 3) 1lim f (x) lim lim
4(x 2x ) 4x (x 2) 16
x 2 x 2
x 1lim f (x) lim
2(x 2)(x 2)
Έυξσμε:x 2lim ( x 1) 2 1
καιx 2lim 2(x 2)(x 2) 0
Α1
2 1 02
ςόςε ςξx 2lim f (x)
ή .
Α1
2 1 02
ςόςε έυξσμε:
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
63/79
63
x 2 x 2 x 2
1x 1
(x 2) 12lim f (x) lim lim .2(x 2)(x 2) 4(x 2)(x 2) 16
Δηλαδή σπάουει ςξ x 1limf(x) α και μόξ α
1
2
ii. ίαι:
2
23 2x 0 x 0x 0
x 2 x 3x 5x 6lim f (x) lim lim
4x x 24 x 2x
iii. Θέςξσμε:
xg(x) 2x
h(x) xg(x) 3xh(x) 2x3x
και για x 0 έυξσμε:
x 0 x 0 x 0 x 0
3xh(x) 2x 1 1limg(x) lim 3·5lim 2lim 15 2 13
x xx
x x
iv. ίαι: x u 3
x 3 u 0 u 0lim g(x) lim g(u 3) lim g(u) f (u) 13 ( )
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
64/79
64
ΘΕΜΑ Δ
Άσκηση 1 (εκτός εξεταστέας ύλης)
Δίεςαι η ρσάοςηρη f με ςύπξ:
55 3 *f (x) 2x z x 2 z , , z x C
α) Να ενεςάρεςε χ ποξ ςη μξξςξία ςη ρσάοςηρη f .
β) Να βοείςε ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη f .
γ) Να απξδείνεςε όςι η ενίρχρη f (x) 0 έυει ακοιβώ μία οίζα ρςξ διάρςημα 0, z .
δ) Α
5
3x 0
f (x) 2 zlim 1
x
, α βοείςε ςη καμπύλη ςξσ μιγαδικξύ επιπέδξσ, ρςη ξπξία
αήκξσ ξι εικόε ςξσ μιγαδικξύ αοιθμξύ z .
Λύρη
α) Για κάθε1 2
x , x με 1 2x x έυξσμε:
5 5 5 5
1 2 1 2 1 2x x x x 2x 2x και
3 3 3 3
1 2 1 2 1 2x x x x z x z x
5 53 3
1 2z x 2 z z x 2 z .
Άοα5 55 3 5 3
1 1 2 2 1 22x z x 2 z 2x z x 2 z f (x ) f (x ) .
Οπόςε η f είαι γηρίχ τθίξσρα ρςξ .
β) Η f έυει πεδίξ ξοιρμξύ ςξ , είαι ρσευή και γηρίχ τθίξσρα, άοα έυει ρύξλξ ςιμώ
ςξ:
x x
f( ) lim f(x), lim f(x)
. ίαι:
55 3x xlim f (x) lim 2x z x 2 z
5xlim 2x 2
55 3
x xlim f (x) lim 2x z x 2 z
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
65/79
65
5xlim 2x 2
πξμέχ είαι: f (R) ,
γ) Για ςη ρσευή ρσάοςηρη f ρςξ 0, z , ιρυύξσ:
5f (0) 2 z 0
5 4 5 4
f z 2 z z 2 z z 0
Άοα από ςξ θεώοημα Bolzano η f (x) 0 έυει μία ςξσλάυιρςξ οίζα ρςξ 0, z και επειδή η f
είαι γηρίχ τθίξσρα ρςξ
0, z η οίζα είαι μξαδική.
δ)
5
3x 0
f (x) 2 zlim
x
5 55 3
3x 0
2x z x 2 z 2 zlim
x
3 2 2
33x 0 x 0x 2x z 2x z zlim lim 1
x 1x
x
Άοα ξι εικόε ςξσ z ρςξ μιγαδικό επίπεδξ, αήκξσ ρςξ μξαδιαίξ κύκλξ.
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
66/79
66
Άσκηση 2
Δίεςαι η ρσάοςηρη f με3xf (x) 3ln 2x e 4x 2 .
i. Να ενεςάρεςε χ ποξ ςη μξξςξία ςη f .
ii. Να σπξλξγίρεςε ςα όοια:x 0limf(x)
και
xlim f (x)
.
iii. Να λσθεί η ενίρχρη3
2f (x) e
iv. Να βοείςε ςξ ποαγμαςικό θεςικό αοιθμό μ για ςξ ξπξίξ ιρυύει:
22 2 3( 1) 63ln 4 3ln(2 2) 4( 1) e e 8
Λύρη
i. Η ρσάοςηρη f έυει f D (0, ) . Για κάθε 1 2x ,x (0, ) με 1 2x x έυξσμε:
1 2 1 2 1 2 1 2x x 2x 2x ln2x ln2x 3ln2x 3ln2x
και 1 23x 3x1 2 1 2
x x 3x 3x e e
και
1 2 1 2 1 2x x 4x 4x 4x 2 4x 2.
Άοα 1 23x 3x1 1 2 2 1 23ln2x e 4x 2 3ln2x e 4x 2 f (x ) f (x ).
Οπόςε η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ (0, ) .
ii.ίαι:
3x
x 0 x 0limf (x) lim(3ln 2x e 4x 2) 1 0 2
ατξύx 0 u 0limln2x limlnu
, και 3x u
x 0 u 0lime lime 1
.
3x
x xlim f (x) lim(3ln2x e 4x 2)
ατξύx ulim ln 2x lim ln u
και
3x u
x ulim e lim e
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
67/79
67
iii.
3
2 1 1
f (x) e f (x) f x2 2
, (ατξύ η f γηρίχ αύνξσρα άοα και 1-1) και η οίζα
είαι μξαδική.
iv. ίαι:
22 2 3( 1) 63ln4 3ln(2 2) 4( 1) e e 8
26 2 3( 1) 23ln4 e 8 3ln2( 1) e 4( 1)
23(2 ) 2 3( 1) 23ln2·(2 ) e 4·(2 ) 2 3ln2( 1) e 4( 1) 2
2 2f (2 ) f ( 1) 1 2 1 (Διπλή οίζα).
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
68/79
68
Άσκηση 3
Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύξσ ξι ρσθήκε:
213 x 2xf (x) x
2 , για κάθε x .
24f(x) 3f(x 1) 2x 2013 , για κάθε x .
i. Να βοείςε ςξ όοιξx 0limf(x)
.
ii. Να βοείςε ςξ f (1) .
iii. Να απξδείνεςε όςι η γοατική παοάρςαρη ςη f ςέμει ςη γοατική παοάρςαρη ςη
ρσάοςηρη g(x) x 1 ρε έα ςξσλάυιρςξ ρημείξ με ςεςμημέη 0x (0,1) .
Λύρη
i. Ιρυύει: 21
3 x 2xf (x) x , x2
Για x 0, έυξσμε: 2 2 21 1 1
3 x 2xf (x) x x 3 x 2xf (x) x2 2 2
1 3 x 1 3 xx f (x) x ·4 2 x 4 2 x
αλλά:x 0
1 3 x 3lim x ·
4 2 x 2
καιx 0
1 3 x 3lim x ·
4 2 x 2
Για x 0 , έυξσμε:1 3 x 1 3 x
x · f (x) x ·4 2 x 4 2 x
αλλά
x 0
1 3 x 3lim x ·
4 2 x 2
καιx 0
1 3 x 3lim x ·
4 2 x 2
ξπόςε λόγχ ςξσ κοιςηοίξσ παοεμβξλή έυξσμε:
x 0
3lim f (x)
2
Άοαx 0 x 0
3lim f (x) lim f (x)
2 και επξμέχ
x 0
3limf(x)
2 .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
69/79
69
ii. Η ρυέρη 24f(x) 3f(x 1) 2x 2013 ιρυύει για κάθε x R άοα και για x 0 ξπόςεέυξσμε:4f (0) 3f (1) 2013. Αλλά f ρσευή ξπόςε:
x 0
3f (0) limf (x)
2
.
Άοα3
4· 3f (1) 2013 f (1) 6732
.
iii. Αοκεί α σπάουειo
x (0,1) ςέςξιξ, ώρςε 0 0 0 0f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) 0 Έρςχ h(x) f (x) g(x), x [0,1] . ίαι:
3 1h(0) f (0) g(0) 1 0
2 2
h(1) f(1) g(1) 673 0
Οπόςε:673
h(0)h(1) 02
πειδή η h είαι ρσευή ρςξ [0,1], χ διατξοά ρσευώ ρσαοςήρεχ, από ςξ θεώοημα
Bolzano ρσμπεοαίξσμε όςι σπάουει έα ςξσλάυιρςξ 0x (0,1) ςέςξιξ, ώρςε 0 0f (x ) g(x ) .
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
70/79
70
Άσκηση 4 (εκτός εξεταστέας ύλης)
Δίεςαι η ρσάοςηρη f με f (x) 2 z 2x 3 z , z C
i. Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη f .
ii. Να απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι.
iii. Α ξι γοατικέ παοαρςάρει ςχ f και1f έυξσ μόξ έα κξιό ρημείξ πάχ ρςη
εσθεία με ενίρχρη y x , α βοείςε ςξ γεχμεςοικό ςόπξ ςχ εικόχ ςξσ z.
iv. Α ξι εικόε ςχ μιγαδικώ1
z , 2z αήκξσ ρςξ ποξηγξύμεξ γεχμεςοικό ςόπξ, α
απξδείνεςε όςι1 27 z z 2 .
Λύρη
i. Ποέπει:
32x 3 z 0 x z
2 .
Άοαf
3D z ,
2
ii. Για κάθε 1 2 f x ,x D με 1 2x x έυξσμε:
1 2 1 2 1 2x x 2x 2x 2x 3 z 2x 3 z
1 2 1 22x 3 z 2x 3 z 2 z 2x 3 z 2 z 2x 3 z
1 2f (x ) f (x ) .
Οπόςε η ρσάοςηρη f είαι γηρίχ αύνξσρα άοα και 1-1 ξπόςε αςιρςοέτεςαι.
iii. Η f είαι γηρίχ αύνξσρα άοα για κάθε f x D έυξσμε:
1f (x) f (x) f (x) x 2 z 2x 3 z x
2 22x 3 z 2 z x 2x 3 z 4 z x 4 z x
22x 2 2 z 1 x 4 z 3 z 0
Ποέπει: 0 (ατξύ ξι 1f f C ,C έυξσ μόξ έα κξιό ρημείξ)
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
71/79
71
2 2 14 4 z 4 z 1 16 z 12 z 0 z7
Άοα ξ γεχμεςοικό ςόπξ είαι κύκλξ με κέςοξ 0 0,0 και ακςία1
7
iv. Ατξύ ξι εικόε ςχ μιγαδικώ1 2
z , z αήκξσ ρςξ ποξηγξύμεξ γεχμεςοικό ςόπξ ιρυύει:
1 2 1 2
1z z 2· 7 z z 2
7
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
72/79
72
Άσκηση 5 (εκτός εξεταστέας ύλης)
Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : και ξ μιγαδικό αοιθμό z 1 f (2)i για ςξ ξπξίξιρυύει z 9i 3 z i .
Να απξδείνεςε όςι:
i. z 3
ii. 2f (2) 8
iii. Υπάουει ςξσλάυιρςξ έα 0x (0,2) ςέςξιξ, ώρςε: 0x2
0 03x f (x ) 9 8 .
Λύρη
i. ίαι:
2 2
z 9i 3 z i z 9i 9 z i z 9i z 9i 9 z i z i
2 2z 9zi 9zi 81 9 z 9zi 9zi 9
28 z 72 z 3
ii. ίαι:2 2 2z 3 1 f (2)i 9 1 f (2) 9 f (2) 8
iii. Έρςχ 2 xg(x) 3xf (x) 8 9
Η g είαι ρσευή ρςξ 0,2 . πίρη g(0) 8 0 και 2g(2) 6f (2) 64 9 7 0 .
Άοα g(0)·g(2) 0 , ξπόςε λόγχ ςξσ θεχοήμαςξ ςξσ Bolzano, σπάουει 0x 0,2 ώρςε0x2
0 0 0
g(x ) 0 3x f (x ) 9 8
8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2
73/79
73
Άσκηση 6 (εκτός εξεταστέας ύλης)
Δίεςαι ρσάοςηρη f με
2
x 1z 3i , x 1
x 1
f(x)
1 (x 1)z 1 4i , x 1
4 x 1
Α σπάουει ςξx 1limf(x)
ςόςε:
i. Να βοείςε ςξ γεχμεςοικό ςόπξ ςχ εικόχ ςξσ z .
ii. Να βοείςε ςξ ρημείξ ςξσ γεχμεςοικξύ ςόπξσ πξσ απέυει ςη ελάυιρςη απόρςαρη από ςηαουή ςχ ανόχ.
iii. Να απξδείνεςε όςι σπάουει έα ςξσλάυιρςξ 0,1 ςέςξιξ ώρςε 14e 15 z 1 .
Λύρη
i. Ατξύ σπάουει ςξx 0limf(x)
θα ιρυύει:
x 1 x 1lim f(x) lim f(x)
ίαι:2
x 1 x 1
x 1lim f (x) lim z 3i
x 1
x 1
x 1 1lim z 3i z 3i
4(x 1)(x 1)( x 1)
και
x 1 x 1
1 (x 1) 1lim f (x) lim z 1 4i z 1 4i
4 x 1 4
διόςι
u 0x 1
(x 1) ulim lim 1
x 1 u
Άοα
2 21 1z 3i z 1 4i z 3i z 1 4i
4 4
z 3i z 3i z 1 4i z 1 4i
2 2z 3zi 3zi 9 z z 4zi z 1 4i 4zi 4i 16
Top Related