100
Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES
Tema 5.6 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
(Estudiar la Sección 15.8 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 23)
Ejemplo 1 en Coordenadas Cilíndricas:
Evalúe la integral triple: dVyx
E
∫∫∫ + 22 , en donde E es el volumen dentro del
cilindro 122 =+ yx , debajo del plano 4=z , y arriba del paraboloide
221 yxz −−=
[ ] ( )[ ] ( )
5
122
5
6
5
11
5
314
2
0
1
0
2
0
5
3
2
0
1
0
422
0
1
0
222
0
1
0
4
1
2
2
0
1
0
4
1
22
0
1
0
4
1
22
2
22
ππθθ
θθθ
θθ
ππ
πππ
ππ
=⋅=
+=
+=
=+=−−==
===+
∫∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫
−
−−
ddr
r
ddrrrddrrrddrzr
ddrdzrddrrdzrdVyx
r
rrE
Ejemplo 2 en Coordenadas Cilíndricas: Evalúe la integral
( )∫ ∫ ∫+
−
−+
−− +
+2
2
4
4
222
2
2 22
x
x yx
dxdydzyx cambiando a coordenadas cilíndricas,
Solución:
La curva de intersección del cono 22yxz += , y el plano 2=z , es el círculo de
422 =+ yx , que limita la región de integración:
[ ]
( )
5
162
5
8
5
328
522
2
0
2
0
2
0
542
0
2
0
43
2
0
2
0
2 2
0
2
0
2332
0
2
0
22
ππ
θθθ
θθθ
πππ
π ππ
=⋅=
=
−=
−=−=
===
∫∫∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
ddrr
ddrrr
ddrzrddrdzrddrrdzrr
rr
101
Ejemplo 3 en coordenadas esféricas: Evalúe la integral ( )
dVe
E
zyx∫∫∫ ++ 23
222
, en
donde ( ){ }1,,222 =++= zyxzyxE
Solución:
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) ( )( )1
3
42
3
12
3
12
cos3
1
3
11
3
1
3
1
2
0
0
2
00
2
00
2
0
0
2
0
1
00
22
0
1
0
3323
222
−=⋅−
=−
=
−−
=−
=−=
==
∫
∫∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ++
ee
de
de
ddsene
ddsene
ddsenedddsenedVe
E
zyx
ππθ
θϕϕθϕϕθϕ
ϕθϕϕθρϕρ
π
πππ ππ π
π πρ
π πρ
Ejemplo 4 en coordenadas esféricas: Encuentre el volumen del sólido sobre el cono 22
yxz += y debajo de la esfera zzyx =++ 222
Solución:
Completando el cuadrado la ecuación de la esfera es:
22
22
2
1
2
1
=
−++ zyx y en
coordenadas esféricas es: ϕρρ cos2 = , o simplificada: ϕρ cos= . Entonces:
( )[ ]8
214
1
12
10cos4cos
12
1
4
cos
3
1
cos3
1
3
2
0
44
0
2
0
4
4
0
2
0
34
0
2
0
cos
0
3
4
0
2
0
cos
0
22
ππθπθ
φ
φθϕϕφθϕρ
φθρϕρφθρϕρ
ππ
π
π ππ πϕ
π π ϕ
=
−
−=−
−=
−=
=
=
===
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
dd
ddsenddsen
dddsendddsendVV
102
Diferencial de volumen en coordenadas esféricas:
Para la próxima clase estudiar las secciones 15.8 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas 16.1 Campos Vectoriales
Tarea para entregar la próxima clase Tarea No. 23 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
ρd θϕρ dsen
ϕρ d
( )( )( )
ϕθρϕρ
θϕρϕρρ
dddsendV
dsendddV
2=
=
103
Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 23 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
(Sección 15.8 del Stewart 5ª Edición)
En los problemas 1 y 2 evalúe la integral triple en coordenadas cilíndricas:
P1: Evalúe ∫∫∫E
dVy en donde E es el sólido que está entre los
cilindros 4,12222 =+=+ yxyx , arriba del plano xy, y abajo
del plano 2+= xz
0:1R
P2: Evalúe ∫∫∫E
dVx2
en donde E es el sólido que está dentro del
cilindro 122 =+ yx , arriba del plano 0=z , y abajo del cono
22244 yxz +=
5
2:2
πR
En los problemas 3 y 4 evalúe la integral triple en coordenadas esféricas:
P3: Evalúe ∫∫∫E
dVz , donde E está entre las esferas
4,1222222 =++=++ zyxzyx en el primer octante.
16
15:3
πR
P4: Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono 3πφ = y
debajo de la esfera φρ cos4= π10:4R
P5: Transforme a coordenadas cilíndricas y evalúe la integral:
( )∫ ∫ ∫−
−
−−
−−
+
+1
1
1
1
22322
2
2
22
22
dxdydzyxx
x
yx
yx
35
8:5
πR
P6: Transforme a coordenadas esféricas y evalúe la integral:
∫ ∫ ∫−
−
−−
−−
++3
3
9
9
9
0
222
2
2
22x
x
yx
dxdydzzyxz 5
243:6
πR