Regla de Cramer o método
por determinantesG. Edgar Mata Ortiz
Sistemas de ecuaciones
lineales
• Una ecuación lineal se caracteriza porque
sus incógnitas están elevadas a una
potencia unitaria.
• No contiene funciones trascendentes como
logaritmo, seno o coseno, entre otras.
• Un sistema de ecuaciones lineales consta de
dos o más ecuaciones, generalmente con el
mismo número de incógnitas.
Solución de un Sistemas de
ecuaciones lineales
• La solución de un sistema de ecuaciones
lineales está formada por los valores de las
incógnitas que, al mismo tiempo, hacen
verdaderas a todas las ecuaciones que
forman el sistema.
• Se puede comprobar si la solución obtenida
es correcta sustituyendo los valores
obtenidos en todas las ecuaciones: Si se
obtienen identidades, la solución es correcta.
Solución de un Sistemas de
ecuaciones lineales
• No todos los sistemas de ecuaciones tiene
solución, y cuando la tienen, no siempre es
solución única.
• Existen diferentes métodos de solución de
sistemas de ecuaciones lineales:
– Método gráfico
– Métodos algebraicos
– Métodos lineales
Solución de un Sistemas de
ecuaciones lineales
• A veces es preferible un método de solución,
en otras ocasiones no es posible emplear
algún método en particular, por ello, es
necesario conocer diferentes métodos y
elegir el que mejor responde a las
necesidades específicas de cada problema.
• En este material estudiaremos el método de
Cramer o método por determinantes.
3
3
3
4
1 2
4
2
2
Método de Cramer
• El método de Cramer puede resultar
laborioso, pero tiene la ventaja de que es
mecánico y repetitivo, por lo que es
relativamente fácil de aprender y de
automatizar con la ayuda de una
computadora.
3
3
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4
1 2
4
2
2
3
3
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1 2
4
2
2
Método de Cramer
• Un ejemplo de resolución de un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas por el
método de Cramer, automatizado con Excel
se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2012/10/metodo-de-cramer-determinantes-en-excel.html
- 3 + 2 x = + 2.00
- 2 + 5
y = + 1.00
Ecuación 1: - 3 x + 2 y = - 4 Dx = - 4 + 2 = - 20 - 2 = - 22
Ecuación 2: - 2 x + 5 y = + 1 + 1 + 5
Dy = - 3 - 4 = - 3 - 8 = - 11
- 2 + 1
Método de Cramer.
- 11Sisyema de dos ecuaciones con
dos incógnitas.DP = = - 15 + 4 =
Método de Cramer
• La mejor forma de aprender estos métodos
es a partir de ejemplos.
• En las siguientes diapositivas se irá
desarrollando el procedimiento, paso a paso,
para resolver un sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas por el método de Cramer
o por determinantes.
Ejemplo:Resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18
+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11
- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17
• Los coeficientes de las incógnitas se
convierten en el determinante principal
del sistema.
Ejemplo:Resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18
+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11
- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17+ 3 - 6 + 9
DP = + 2 - 4 + 5
- 3 - 4 + 6
2. Calcular el valor del DP
• Existen varias formas de calcular el
determinante principal, una de ellas consiste
en agregar, a la derecha, las dos primeras
columnas del mismo determinante.
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
2. Calcular el valor del DP
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4- 72 + 90 - 72
• Ahora se multiplica, en diagonal, como se
muestra en la figura.
2. Calcular el valor del DP
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4- 108 + 60 + 72
• Nuevamente se multiplica en diagonal, y
se cambia el signo a los resultados.
2. Calcular el valor del DP
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4- 108 + 60 + 72 - 72 + 90 - 72
DP = -30
• Finalmente se suman algebraicamente los
seis resultados de las multiplicaciones.
3. Determinante para x1 (Dx1)
+ 18 - 6 + 9
Dx1 = + 11 - 4 + 5
+ 17 - 4 + 6
• El determinante para x1 es como el determinante principal, pero se cambia la primera columna, anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.
+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18
+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11
- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17
+ 18 - 6 + 9 + 18 - 6
Dx1 = + 11 - 4 + 5 + 11 - 4
+ 17 - 4 + 6 + 17 - 4
4. Calcular el valor del Dx1
• Se multiplican las 6 diagonales (no olvides cambiar los signos en tres
de ellas) y se suman los seis resultados anteriores
Dx1 =
5. Determinante para x2 (Dx2)
• Es como el determinante principal, pero se cambia la segunda columna, anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.
+ 3 + 18 + 9
Dx2 = + 2 + 11 + 5
- 3 + 17 + 6
+ 3 + 18 + 9 + 3 + 18
Dx2 = + 2 + 11 + 5 + 2 + 11
- 3 + 17 + 6 - 3 + 17
6. Calcular el valor del Dx2
• Se multiplican las 6 diagonales (no olvides cambiar los signos en tres
de ellas) y se suman los seis resultados anteriores
Dx2 =
7. Determinante para x3 (Dx3)
• Es como el determinante principal, pero se cambia la tercera columna,
anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.
+ 3 - 6 + 18
Dx3 = + 2 - 4 + 11
- 3 - 4 + 17
+ 3 - 6 + 18 + 3 - 6
Dx3 = + 2 - 4 + 11 + 2 - 4
- 3 - 4 + 17 - 3 - 4
8. Calcular el valor del Dx3
• Se multiplican las 6 diagonales (no olvides cambiar los signos en tres
de ellas) y se suman los seis resultados anteriores
Dx3 =
Resultados de los
determinantes
DP = -30
Dx1 = +30
Dx2 = +60
Dx3 = -30
+ 3 - 6 + 9
DP = + 2 - 4 + 5
- 3 - 4 + 6
+ 18 - 6 + 9
Dx1 = + 11 - 4 + 5
+ 17 - 4 + 6
+ 3 + 18 + 9
Dx2 = + 2 + 11 + 5
- 3 + 17 + 6
+ 3 - 6 + 18
Dx3 = + 2 - 4 + 11
- 3 - 4 + 17
Valores de las incógnitas
Se obtienen dividiendo cada
determinante de x1, x2 y x3
entre el determinante
principal:
11
22
33
x
P
x
P
x
P
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Valores de las incógnitas
11
22
33
x
P
x
P
x
P
Dx
D
Dx
D
Dx
D
1 1
2 2
3 3
301
30
602
30
301
30
x x
x x
x x
GRACIAS POR SU ATENCIÓN
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