Series de tiempo con aplicaciones:Enfoque temporal
Gladys E. Salcedo E.25o Simposio Internacional de Estadística
Agosto 6,7 de 2015Armenia, Quindío
Datos 1: Series igualmente espaciadas
Mes
Turbi
edad
0 20 40 60 80 100
2040
6080
Mes
Silica
tos
0 20 40 60 80 100
050
150
Mes
Cloro
fila
0 20 40 60 80 100
040
8012
0
Mes
Nitrit
os
0 20 40 60 80 100
0.00
0.15
0.30
Mes
pH
0 20 40 60 80 100
7.08.0
9.0
Mes
Ortof
osfat
os
0 20 40 60 80 100
0.00.2
0.40.6
Datos 2: Series estacionales
Datos 3: Series desigualmente espaciadas
0 100 200 300 400
0.10.3
0.5
Delta_i
Nitrit
os
0 100 200 300 400
0.51.0
1.52.0
Delta_i
Fosfa
tos
0 100 200 300 400
7.07.5
8.08.5
Delta_i
pH
0 100 200 300 400
13
57
Delta_i
Silica
tos
0 100 200 300 400
02
46
8
Delta_i
Cloro
fila
1. Algunas generalidades
Sea (Ω,A,P) un espacio de probabilidad y sea T un conjunto deíndices, un proceso estocástico es una función X(t, ω), definida enT × Ω, tal que para cada t fijo X(t, ω) es una variable aleatoria sobre(Ω,A,P) y para cada ω fijo, X(t, ω) es una trayectoria, realización,función muestral del proceso o una serie de tiempo.
Graficamente un proceso estacionario puede representarse así:
Proceso estocástico como una familia de variables aleatorias
Proceso estocástico como una familia de trayectorias
Tiempo
Xt
0 20 40 60 80 100
−2−1
01
23
La serie de tiempo como una trayectoria
El proceso Xt, t ∈ T se dice que es estrictamente o fuertementeestacionario si las distribuciones conjuntas de (Xt1 , Xt2 , ..., Xtk)
′ y(Xt1+h, Xt2+h, ..., Xtk+h)
′ son iguales para todo t1, t2, . . . , tk, h ∈ T, osea, son invariantes a translaciones en el tiempo. Esto es,
FXt1 ,Xt2 ,...,Xtk(x1, x2, . . . , xk) = FXt1+h,Xt2+h,...,Xtk+h(x1, x2, . . . , xk).
Proceso estocástico estacionario
Dado el proceso Xt, t ∈ T se defineI la función media del proceso por
µt = E(Xt) =
∫ ∞
−∞Xt dFXt ,
I la función varianza del proceso por
σ2t = E(Xt − µt)
2 =
∫ ∞
−∞(Xt − µ)2 dFXt ,
I y la función de autocovarianza entre las variables Xt1 y Xt2 por
γx(t1, t2) = E(Xt1 − µ1)(Xt2 − µ2)
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞(Xt1 − µ1)(Xt2 − µ2) dFXt1 ,Xt2
.
si las integrales de Riemann-Stieltjes son finitas.
Cuando un proceso Xt, t ∈ T es estrictamente estacionario, conEX2
t < ∞, se tiene en particular que FXtk(x) permanece invariante
para todo k. Por otra parte,
FXt1 , Xt2(x1, x2) = FXt1+k,Xt2+k(x1, x2)
implicando que
i) E(Xt) = µt = µ, ∀ t ∈ T;
ii) Var(Xt) = σ2 = σ2x , ∀ t ∈ T;
iii) γx(ti, tj) = γx(|ti − tj|) = γx(k), para cualesquier ti, tj, k ∈ T .Esto es, la covarianza entre las dos variables Xti y Xtj sólodepende de su separación |ti − tj| = k.
Note que γx(0) = σ2x y γx(k) = γ(−k) , es decir, la función de
autocovarianza tiene su máximo en cero y es una función simétricaalrededor de cero.Un proceso Xt, t ∈ T que satisface las propiedades (i), (ii) y (iii) sedice que es débilmente estacionario o estacionario de segundoorden.
Xt, t ∈ T es un proceso gaussiano si y solamente si las funcionesde distribución de Xt1 , Xt2 , ..., Xtk , para cualquier k, son todasnormales multivariadas.
Cómo correlacionar las variables del proceso?
La Función de Autocorrelación Simple (FAS) del proceso Xt, t ∈ Ta rezago k se define mediante la función
ρx(k) = Corr(Xt, Xt+k) =γx(k)γx(0)
, k ∈ Z.
La FAS de un proceso estacionario cumple las siguientes propiedades:
i) ρx(0) = 1,ii) |ρx(k)| ≤ 1, ∀k ∈ Z,
iii) ρx(−k) = ρx(k), ∀k ∈ Z,iv) ρx(k) es no negativa definida en el sentido que∑n
j=1∑n
k=1 ajakρx(|ti − tj|) ≥ 0, para cualesquier realesa1, . . . , an y t1, . . . , tn de Z.
La Función de Autocorrelación Parcial(FAP) entre Xt y Xt+k
corresponde a la función de correlación entre los errores et y et+k
dada porϕx(k) = Corr(et, et+k),
donde
Xt = α1Xt+1 + α2Xt+2 + . . .+ αk−1Xt+k−1 + et
yXt+k = β1Xt+1 + β2Xt+2 + . . .+ βk−1Xt+k−1 + et+k.
Función de Autocorrelación
Cuando ambas funciones de autocorrelación, la simple y la parcial,son todas nulas para todo k = 0 se dice que el proceso es sin memoriao es un ruido blanco.Una sucesión de variables aleatorias at, t ∈ T es un proceso ruidoblanco de media cero si
i) E(at) = 0, ∀ t ∈ T
ii) γ(k) =
σ2a para k = 0
0 para k = 0,
Función de Autocovarianza de un Ruido Blanco
o sea que su esperanza es cero, su varianza es constante y losat, t = 1, 2, ..., son variables aleatorias no correlacionadas.
Transformaciones a series estacionariasDada una serie Xt, t ∈ T , considere el operador de rezagosBd, d ∈ Z+, tal que
BdXt = Xt−d, t ∈ T
I B0Xt = Xt y BdC = C, para C una constante.I A partir del operador Bd se puede construir un nuevo operador
(1 − B)d, el cual transforma la serie Xt, t ∈ T en la serie de lasd-ésimas diferencias.
Ejm. Si d = 1, se tiene
Yt = (1 − B)Xt = Xt − BXt = Xt − Xt−1,
Y1 = X2 − X1
Y2 = X3 − X2...
...
Yt−1 = Xt − Xt−1
Si d = 2, se tiene
Wt = (1 − B)2Xt = (1 − B)(1 − B)Xt = (1 − B)Yt = Yt − Yt−1,
es decir que Wt, t ∈ T es la serie con las variaciones de las primerasdiferencias, o sea la serie de las segundas diferencias de Xt, t ∈ T. .Y así sucesivamente.
Cuando la no estacionariedad de una serie se debe a que la mediapresenta tendencias polinómicas de orden d, una transformación de laserie original a través del operador (1 − B)d permite convertirla enuna serie estacionaria.
En la práctica rara vez se requieren los valores de d mayores a 2.
Ejemplos:
0 10 20 30 40 50
020
4060
80100
120140
(a)t
Xt
0 10 20 30 40 50
01000
20003000
40005000
(b)t
Xt
Series no estacionarias generadas en el programa R
Note que las series presentan tendencia, la figura (a) muestra unatendencia de tipo lineal mientras que la figura (b) presenta unatendencia de tipo cuadrático.
0 10 20 30 40 50
020
4060
80100
120140
(a)t
Xt
0 10 20 30 40 50
−30−20
−100
1020
30
(b)t
Yt=diff(Xt
)
Serie estacionaria luego de transformada
Cuando la no estacionariedad se debe a que la varianza no permanececonstante se podría realizar una Transformación de Box y Cox:
I Suponga que la varianza σ2t de la variable aleatoria Xt puede
expresarse como una función de su media, es σ2t = f (µt).
I Si T(∗) es una función cuya primera derivada existe, por laexpansión de Taylor de primer orden se puede obtener lasiguiente aproximación lineal de T(Xt) alrededor de µt:
T(Xt) ≈ T(µt) +
(dTdXt
∣∣∣∣Xt=µt
)(Xt − µt).
I Aplicando varianza a ambos lados y resolviendo el lado derechode la ecuación anterior se obtiene una aproximación lineal a lavarianza de T(Xt) dada por
Var(T(Xt)) ≈
(dTdXt
∣∣∣∣Xt=µt
)2
f (µt).
I Se desea entonces que Var(T(Xt)) = C2, esto es(dTdXt
∣∣∣∣Xt=µt
)2
f (µt) = C2
de dondeT(µt) =
∫C√f (µt)
dµt.
I Restringiendo la forma funcional de f a la familia de funcionespotencia, resulta fácil determinar la transformación T .
I Si la varianza es proporcional a µ2(1−α)t para algún α, se tiene
que
T(µt) =
∫C
µt1−α
dµt =
Cµtα
α α = 0Cln(µt) α = 0
I En general, la función T que estabiliza la varianza de Xt es
T(Xt) =
Xtα
α α = 0ln(Xt) α = 0
que es la Transformación de Box y Cox.
El valor de α puede identificarse mediante el siguiente procedimiento:
1. Divida la realización en varios subconjuntos y calcule para cadasubconjunto la media, el rango y la desviación típica.
2. Haga un gráfico cartesiano con los valores de las medias en el ejehorizontal y las desviaciones típicas en el vertical.
3. Si los puntos presentan una tendencia paralela al eje horizontaltome α = 1 y en tal caso no se necesita una transformación. Silos puntos se aproximan a una recta con pendiente positiva tomeα = 0 y en este caso la transformación logarítmica es adecuada.
Valores de α para la transformación de Box y Cox
2. Modelos Lineales para Series de Tiempo
De acuerdo al tipo de relación lineal que se establezca entre lasvariables del proceso, los modelos lineales para series de tiempopueden ser Autorregresivos(AR), de Medias Móviles(MA) yAutorregresivos de Medias Móviles (ARMA).
2.1. Los Procesos Autorregresivos
El proceso Xt, t ∈ T es Autorregresivo de orden p, p ∈ Z+, si
Xt = C + ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + · · ·+ ϕpXt−p + at,
donde at, t ∈ T es un ruido blanco.
Notación: AR(p).
Si el proceso es estacionario en media, y tomando esperanza a amboslados de esta ecuación se tiene
E[Xt] = E[C] + ϕ1E[Xt−1] + ϕ2E[Xt−2] + · · ·+ ϕpE[Xt−p] + E[at],
µ = C + ϕ1µ+ ϕ2µ+ · · ·+ ϕpµ, de donde,
C = µ(1 −p∑
i=1
ϕi).
I Reemplazando C y denotando por Xt = Xt − µ, se tiene
Xt = ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + · · ·+ ϕpXt−p + at,
la cual corresponde a un AR(p) de media cero.I En términos del operador B el modelo queda en la forma
Xt = ϕ1BXt + ϕ2B2Xt + · · ·+ ϕpBpXt + at
(1 − ϕ1B − ϕ2B2 − · · · − ϕpBp)Xt = at,
ϕp(B)Xt = at.
I ϕp(B) = 0 es la ecuación característica del proceso.I El proceso AR(p) es estacionario si todas las raíces de ϕp(B) = 0
están fuera del círculo unitario.
2.1.1. Procesos Autorregresivos de orden 1
En particular cuando p = 1 se tiene
Xt = ϕ1Xt−1 + at,
donde ϕ1(B) = 1 − ϕ1B y la ecuación característica 1 − ϕ1B = 0tiene su raíz fuera del círculo unitario cuando |ϕ1| < 1, lo cualcorresponde a la condición de estacionariedad para el proceso AR(1).
Si el proceso también es estacionario en varianza se tiene que
V(Xt) = ϕ21V(Xt) + V(at),
de donde
σ2x =
σ2a
(1 − ϕ21).
Luego la condición de estacionariedad, |ϕ1| < 1, también garantizaque σ2
x sea finita y positiva.
I La función de autocorrelación simple del proceso AR(1) tiene laforma
ρx(k) = ϕk1, para |k| ≥ 1,
y por lo tanto cuando el proceso es estacionario, la función ρx(k)decrece a cero en forma exponencial.
I La función de autocorrelación parcial tiene la forma
ϕx(k) =
ϕ1 si k = 10 si k = 1.
I Gráficamente:
0 2 4 6 8 10
0.00.2
0.40.6
0.81.0
Rezago
FAS
2 4 6 8 10
0.00.2
0.40.6
Rezago
FAP
FAS y FAP de un modelo AR(1) para ϕ1 = 0.65
Ejemplo:
Mes
Color Ri
o Quind
io
0 20 40 60 80 100 120
23
45
67
89
Serie Color Rio Quindío
0 5 10 15 20
−0.20.0
0.20.4
0.60.8
1.0
Rezago
FAS
5 10 15 20
−0.20.0
0.20.4
0.60.8
Rezago
FAP
FAS y FAP para Color
Modelo:Xt = 3.51 + 0.86Xt−1 + at
Mes
Residua
les colo
r
0 20 40 60 80 100 120
−2−1
01
23
Serie residual para modelo de Color
0 5 10 15 20
−0.20.0
0.20.4
0.60.8
1.0
Rezago
FAS
5 10 15 20
−0.10.0
0.10.2
Rezago
FAP
FAS y FAP para residuales de Color
2.1.2. Procesos Autorregresivos de orden 2
Cuando p = 2, se tiene
Xt = ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + at,
donde ϕ2(B) = 1 − ϕ1B − ϕ2B2 = 0, es la ecuación característica ytiene sus raíces fuera del círculo unitario cuando se cumplen las tressiguientes condiciones:
|ϕ2| < 1,
ϕ1 + ϕ2 < 1,
ϕ2 − ϕ1 < 1,
las cuales corresponden a las condiciones de estacionariedad delproceso AR(2), y además también garantizan que la varianza de Xt seafinita, dado que
Var(Xt) =(1 − ϕ2)σ
2a
(1 + ϕ2)(1 − ϕ1 − ϕ2)(1 + ϕ1 − ϕ2).
Si el modelo AR(2) se premultiplica por Xt−k y se toma valoresperado se llega a la ecuación en diferencias
γx(k) = ϕ1γx(k − 1) + ϕ2γx(k − 2), |k| ≥ 1.
Al dividir la anterior ecuación entre γx(0) se obtiene
ρx(k) = ϕ1ρx(k − 1) + ϕ2ρx(k − 2), |k| ≥ 1,
cuya ecuación característica es justamente
ϕ2(B) = 1 − ϕ1B − ϕ2B2 = 0.
Luego la función de autocorrelación simple ρx(k), para el procesoAR(2), depende de la solución de la ecuación característica, así:
i) Si ambas raíces denotadas G−11 y G−1
2 son reales pero distintasentonces ρx(k) = A1Gk
1 + A2Gk2 con A1 y A2 dos constantes
resultantes de aplicar las condiciones iniciales ρ(0) = 1 yρ1 = ϕ1
1−ϕ2.
ii) Si ambas raíces son reales e iguales (G−1), entoncesρx(k) = A1Gk + A2kGk donde A1 y A2 se obtienen de lascondiciones iniciales.
iii) Si las raíces son un par de complejos conjugados denotados G−11
y G−12 , entonces la función de autocorrelación tiene una forma
sinusoidal amortiguada dada por
ρx(k) = signo(ϕ1)k r|k| sin(kω + α)
sinα
donde r =√−ϕ2, cosω = ϕ1
2√−ϕ2
, tanα = 1+r2
1−r2 tanω.
La función de autocorrelación parcial del proceso AR(2) tiene laforma
ϕx(k) =
ρ1 = ϕ1
1−ϕ2si k = 1
ρ2−ρ21
1−ρ21= ϕ22 si k = 2
0 si k ≥ 3.
En resumen gráficamente:
0 2 4 6 8 10
−0.4−0.2
0.00.2
0.40.6
0.81.0
Rezago
FAS
2 4 6 8 10
−0.6−0.4
−0.20.0
0.20.4
Rezago
FAP
FAS y FAP de un AR(2) para ϕ1 = 0.85 y ϕ2 = −0.55
En general, para el proceso AR(p)
ϕp(B)Xt = at,
la ecuación característica ϕp(B) = 0, tiene p raíces, G−11 ,
G−12 , ...,G−1
p , con lo cual se genera la solución general de la ecuaciónen diferencias, de la forma
ρx(k) = A1Gk1 + A2Gk
2 + · · ·+ ApGkp, |Gi| < 1,
donde los Ai se obtienen de las condiciones iniciales y los Gi sonreales o complejos; por lo tanto la función de autocorrelación simpleρx(k) es una combinación lineal de funciones sinusoidalesamortiguadas.
Note que la función de autocorrelación parcial caracteriza losprocesos autorregresivos, ya que el número de valores no nulos deesta función corresponden a su orden.
Ejemplo:
Mes
Turbidez
0 20 40 60 80 100
2040
6080
100
Serie de Turbidez Ciénaga Grande
0 5 10 15 20
−0.20.0
0.20.4
0.60.8
1.0
Rezago
FAS
5 10 15 20
−0.2−0.1
0.00.1
0.20.3
0.40.5
Rezago
FAP
FAS y FAP para la serie de Turbidez
El modelo:
Xt = C + ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + at,
ϕ1 ϕ2 C0.3457 0.3434 56.5328
(0.0901) (0.0905) 4.7558
Modelo sin constante:
Xt = ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + at,
ϕ1 ϕ2 C0.3457 0.3434 -0.7055
(0.0901) (0.0905) 4.7558
Normalidad residual:
Test p-valorKolmogorov-Smirnov 0.489
Mes
Residua
les
0 20 40 60 80 100
−200
2040
60
Serie residual de Turbidez Ciénaga Grande
0 5 10 15 20
−0.20.0
0.20.4
0.60.8
1.0
Rezago
FAS
5 10 15 20
−0.2−0.1
0.00.1
0.2
Rezago
FAP
FAS y FAP para la serie residual del modelo AR(2)
2.2. Procesos de Medias Móviles
Cuando las variables del proceso dependen solamente de las variablesde un proceso ruido blanco, surgen los modelos de Medias Móviles(MA).
Un modelo de Medias Móviles de orden q está dado por
Xt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − · · · − θqat−q, q ∈ Z+,
donde at, t ∈ T es un proceso de ruido blanco.I En términos del operador de rezagos B, el modelo MA(q) puede
representarse como
Xt = (1 − θ1B − θ2B2 − · · · − θqBq)at
Xt = θq(B)at,
donde θq(B) representa el polinomio característico del proceso.
I De la ecuación Xt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − · · · − θqat−q,
I observe que E(Xt) = 0 y Var(Xt) = (1 + θ21 + · · ·+ θ2
q)σ2a,
I así que el proceso MA(q) es siempre estacionario y si las raícesde la ecuación θq(B) = 0 caen fuera del círculo unitario, se diceque el proceso es invertible.
2.2.1. Procesos de Medias Móviles de orden 1
En el modelo MA(q), cuando q = 1 se tiene el proceso de mediasmóviles de orden 1, MA(1)
Xt = (1 − θ1B)at,
así que el proceso es invertible si |θ1| < 1.
I La función de autocorrelación del proceso es dada por
ρx(k) =
−θ1
1+θ21
si k = 1
0 si k > 1,
I La función de autocorrelación parcial es dada por
ϕx(k) =−θk
1(1 − θ21)
1 − θ2(k+1)1
, k ≥ 1.
I En un MA(1) la FAS es cero a partir del rezago dos, mientrasque la FAP decrece a cero exponencialmente.
0 2 4 6 8 10
−0.50.0
0.51.0
Rezago
FAS
2 4 6 8 10
−0.4−0.3
−0.2−0.1
0.00.1
Rezago
FAP
FAS y FAP de un MA(1) para θ1 = −0.75
2.2.2. Procesos de Medias Móviles de orden 2
I Cuando q = 2 se tiene el proceso Xt = (1 − θ1B − θ2B2)at.
I El proceso estacionario, y las condiciones de invertibilidad son:
|θ2| < 1, θ1 + θ2 < 1, θ2 − θ1 < 1.
I La función de autocorrelación del proceso MA(2) es dada por
ρx(k) =
−θ1(1−θ2)
1+θ21+θ2
2si k = 1
−θ21+θ2
1+θ22
si k = 2
0 si k > 2
0 2 4 6 8 10
−0.20.0
0.20.4
0.60.8
1.0
Rezago
FAS
2 4 6 8 10
−0.3−0.2
−0.10.0
0.10.2
Rezago
FAP
FAS y FAP de un MA(2) para θ1 = 0.94 y θ2 = −0.33
En general, en el proceso MA(q),
Xt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − · · · − θqat−q,
la varianza es dada por Var(Xt) = σ2a∑q
j=0 θ2j .
I Por su parte, la función de autocorrelación simple tiene la forma
ρx(k) =
−θk+θ1θk+1+···+θq−kθq
1+θ21+···+θ2
qsi k = 1, 2, . . . , q
0 si k > q.
I Como en el proceso MA(2), la función de autocorrelación parcialdel proceso MA(q) decae a cero, en forma exponencial osinusoidal, dependiendo de las raíces de la ecuacióncaracterística 1 − θ1B − · · · − θqBq = 0.
I Note que, en los procesos de medias móviles, el número devalores no nulos de la función de autocorrelación simplecaracterizan su orden.
Muchas situaciones prácticas corresponden a procesos mixtos, esdecir que tienen parte autorregresiva y parte promedio móvil, seconocen como procesos ARMA.
2.3. Procesos de Autoregresivos de Medias Móviles
Un modelo ARMA(p, q) con p el orden de la parte autorregresiva y qel orden del promedio móvil, tiene por ecuación
Xt = ϕ1Xt−1+ϕ2Xt−2+· · ·+ϕpXt−p−θ1at−1−θ2at−2−· · ·−θqat−q+at.
En términos del operador de rezagos la ecuación toma la forma
ϕp(B)Xt = θq(B)at,
dondeϕp(B) = 1 − ϕ1B − ϕ2B2 − · · · − ϕpBp
yθq(B) = 1 − θ1B − θ2B2 − · · · − θqBq.
La estacionariedad y la invertibilidad del proceso depende de que lasraices de las ecuaciones ϕp(B) = 0 y θq(B) = 0 estén fuera del C.U.
I Para construir la FAS se se multiplica la ecuación del modelo aambos lados por Xt−k y se toman las esperanzas
γk −ϕ1γk−1− . . .−ϕpγk−p = E[Xt−kat−1]−· · ·−θqE[Xt−kat−q].
Puede verificarse, que para k > q los valores esperados se hacencero. Dividiendo luego por γ0 se llega a
ρk − ϕ1ρk−1 − · · · − ϕpρk−p = 0,
o sea,ϕp(B)ρk = 0, k > q.
I Por lo tanto para valores de k > q la FAS tiene el mismocomportamiento que el ρk de un AR(p) y para k = 1, 2, · · · , q, elcomportamiento depende de los parámetros ϕi y θi. Así que laFAS tiene un comportamiento irregular en los primeros q valoresy a partir de allí se comporta como un AR(p).
I En cuanto a la función de autocorrelación parcial, ya que elproceso ARMA(p, q) contiene el proceso MA(q), la FAP cae enforma exponencial o sinusoidal dependiendo de las raices de lasecuaciones ϕp(B) = 0 y θq(B) = 0.
2.3.1. Procesos ARMA(1,1)
La situación más simple en los procesos ARMA(p, q) ocurre cuandop = q = 1. En tal caso la ecuación del proceso está dada por
(1 − ϕ1B)Xt = (1 − θ1B)at
o tambiénXt = ϕ1Xt−1 − θ1at−1 + at
así el proceso es estacionario cuando |ϕ1| < 1 y para que seainvertible se requiere que |θ1| < 1.
I La FAS de un ARMA(1, 1) es
ρk =
1 para k = 0
(ϕ1−θ1)(1−ϕ1θ1)
1+θ21−2ϕ1θ1
para k = 1
ϕ1ρk−1 para k > 1
I Note que ρk tiene un decrecimiento geométrico que se inicia apartir de k = 1.
En cuanto a la función de autocorrelación parcial, ya que el procesocontiene un MA(1) la FAP decrece exponencialmente, y su formadepende de las magnitudes y signos de los parámetros del modelo, loque gráficamente puede representarse en la siguiente forma:
0 2 4 6 8 10
0.00.2
0.40.6
0.81.0
Rezago
FAS
2 4 6 8 10
−0.10.0
0.10.2
0.3
Rezago
FAP
FAS y FAP de un ARMA(1,1) para ϕ1 = 0.87 y θ1 = −0.62
0 2 4 6 8 10
−0.20.0
0.20.4
0.60.8
1.0
Rezago
FAS
2 4 6 8 10
−0.6−0.4
−0.20.0
0.20.4
0.6
Rezago
FAP
FAS y FAP de un ARMA(1,1) para ϕ1 = 0.73 y θ1 = −0.45
2.4. Procesos ARIMA
Lo analizado hasta ahora parte del supuesto de que el procesoXt, t ∈ T es estacionario en media. De no serlo sería necesario unatransformación del tipo Yt = (1 − B)dXt, y el análisis se haríaentonces sobre el proceso Yt, t ∈ T.Para obtener nuevamente Xt se requiere la transformación inversa
Xt =Yt
(1 − B)d ,
y por ejemplo para d = 1 se tiene
Xt =Yt
(1 − B)=
∞∑i=0
BiYt =
∞∑i=0
Yt−i =
t∑j=−∞
Yj,
o sea que Xt resulta ahora de un proceso de “Integración” de Yt.
La ecuación del proceso después de restar la media, toma entonces lasiguiente forma:
ϕp(B)Yt = θq(B)at,
que corresponde a
ϕp(B)(1 − B)dXt = θq(B)at,
o sea que depende de tres parámetros (p, d, q) con p como el orden dela parte autorregresiva, q el orden de la parte promedio móvil y d elorden de diferenciación para conseguir estacionariedad en media. Sedice entonces que el proceso Xt, t ∈ T es del tipo ARIMA(p, d, q),esto es, Autorregresivo Integrado de Médias móviles.
Ejemplo:
Semestre
Estudian
tes de P
eriodism
o
0 5 10 15 20 25 30
100200
300400
500
Semestre
Serie d
iferencia
da
0 5 10 15 20 25 30
−400
2040
0 5 10 15
−0.40.0
0.40.8
Rezago
FAS
2 4 6 8 10 12 14
−0.20.0
0.20.4
0.6
Rezago
FAP
Serie de ingresos semestrales a Periodismo UQ
Modelo ARIMA(1,1,0):
ϕ1(B)(1 − B)Xt = at,
(1 − 0.68B)Zt = at
Zt = 0.68Zt−1 + at.
Semestre
Residua
les
0 5 10 15 20 25 30
−40−20
020
Serie residual para modelo de Periodismo
p-valor test de Kolmogorov-Smirnov = 0.8378
0 5 10 15
−0.4−0.2
0.00.2
0.40.6
0.81.0
Rezago
FAS
2 4 6 8 10 14
−0.3−0.2
−0.10.0
0.10.2
0.3
Rezago
FAP
FAS y FAP para la serie residual
2.5. Procesos SARIMASuponga que se desconoce que el proceso Xt, t ∈ T presenta unacomponente periódica y se le ajusta un modelo ARIMA(p, d, q), estoes
ϕp(B)(1 − B)dXt = θq(B)Nt.
Obviamente Nt, t ∈ T no será un ruido blanco, y presentarácorrelaciones entre períodos estacionales, esto es
ρN(ks) =E(Nt − µN)(Nt−ks − µN)
σ2N
= 0, k = 1, 2, . . . .
Puede demostrarse que los períodos estacionales siguen un modeloARIMA(P,D,Q)
ΦP(Bs)(1 − Bs)DNt = ΘQ(Bs)at.
dondeΦP(Bs) = 1 − Φ1Bs − Φ2B2s − · · · − ΦPBPs
yΘQ(Bs) = 1 −Θ1Bs −Θ2B2s − · · · −ΘQBQs.
si las raíces de esos polinomios caen fuera del círculo unitario, delmodelo del proceso Nt, t ∈ T se puede llegar a la expresión
ϕp(B)ΦP(Bs)(1 − Bs)D(1 − B)dXt = θ(B)ΘQ(Bs)at,
que se denomina el modelo ARIMA estacional multiplicativo oSARIMA(p, d, q)× (P,D,Q)s.
Mes
Salinidad
0 20 40 60 80 100
05
1015
2025
3035
Serie Salinidad mensual Ciénaga Grande de Santa Marta
0 5 10 15 20 25 30
−0.20.0
0.20.4
0.60.8
1.0
Rezago
FAS
0 5 10 15 20 25 30
−0.20.0
0.20.4
0.6
Rezago
FAP
FAS y FAP para la serie de salinidad
Mes
Salinidad
diferenc
iada
0 20 40 60 80 100
−20−10
010
20
Serie salinidad diferenciada CGSM
0 5 10 15 20 25 30
−0.20.0
0.20.4
0.60.8
1.0
Rezago
FAS
0 5 10 15 20 25 30
−0.3−0.2
−0.10.0
0.10.2
Rezago
FAP
FAS y FAP para la serie de salinidad diferenciada
Algunos modelos candidatosModelo SARIMA AIC σ2
a Test K-S
(0, 1, 1)(1, 0, 0)12 644.41 31.08 0.3788(0, 1, 0)(1, 0, 1)12 648.82 32.15 0.162(0, 1, 0)(1, 0, 0)12 648.06 33.33 0.083(0, 1, 1)(0, 0, 1)12 651.15 34.80 0.292(0, 1, 0)(0, 0, 1)12 653.27 36.37 0.220
Mes
Residuales
Modelo 2
0 20 40 60 80 100
−20−10
010
Serie residual para el Modelo 1
0 5 10 15 20 25 30
−0.20.0
0.20.4
0.60.8
1.0
Rezago
FAS
0 5 10 15 20 25 30
−0.2−0.1
0.00.1
0.2
Rezago
FAP
FAS y FAP de la serie residual del Modelo 1
Referencias Bibliográficas
1. Box,G.E.P. and Jenkins,G.M.(1976), Time Series AnalysisForescasting and Control, 2nd. Ed., Holdan-Day, San Francisco.
2. Heyse, J.F. and Wei, W.W.S. (1984), Partial ProcessAutocorrelation for Vector Time Series, Tech. Report No.30,Department of Statistics, Temple University.
3. Lutkepohl, H. (1991), Introduction to Multiple Time SeriesAnalysis (MTS), Heidelberg. Springer Verlang.
4. Reinsel, G.C. (1993), Elements of Multivariate Time SeriesAnalysis, Springer Verlag, New York.
5. Wei, W.W.S. (1990), Time Series Analysis: Univariate andMultivariate methods, Addison Wesley, California.
Top Related