Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3 1
SESIN 3
ANUALIDADES
EVALUACIN FINANCIERA DE PROYECTOS
Concepto de Anualidad
Anualidades anticipadas, diferidas y perpetuas
Valor Presente y Futuro de Anualidades
Ejercicios
2
AGENDA
Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Concepto de Anualidad
Una Anualidad es una serie de pagos iguales que se efectan
a intervalos fijos durante cierto nmero de periodos.
Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las
siguientes condiciones:
Todos los pagos son de igual valor.
Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.
A todos los pagos se les aplica la misma tasa de inters.
El nmero de pagos es igual al nmero de periodos.
Aunque Anualidad se refiere a 1 ao, NO necesariamente es un pago anual.
3 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Tipos de Anualidades Hay varios tipos de Anualidades:
Tipo de Anualidad Descripcin
Anualidad cierta Cuando las fechas son fijas y establecidas de antemano.
Anualidad contingente Cuando la fecha del primer pago depende de un hecho que se sabe ocurrir, pero no se sabe cuando. (Ej. Renta por viudez).
Anualidad simple Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalizacin de los intereses.
Anualidad general Cuando el periodo de pago no necesariamente coincide con el periodo de capitalizacin de los intereses.
Anualidad vencida Tambin conocida como ordinaria. Cuando los pagos se efectan al final de cada periodo.
Anualidad anticipada O pagadera. Cuando los pagos se realizan al principio de cada periodo.
Anualidad inmediata Cuando los cobros (pagos) se efectan inmediatamente despus de la formalizacin del contrato.
Anualidad diferida Cuando se posponen la realizacin de los cobros (periodos de gracia).
Las Anualidades ms comunes son: la Simple, la Cierta, la Ordinaria y la Inmediata. 4
Anualidad Regular (diferida)
Anualidad cuyos pagos se efectan al final de cada periodo.
0 1 2 3 4 5
10,000 10,000 10,000 10,000 10,000
Aos
0 2 4 6 8 10
5,000 5,000 5,000 5,000 5,000
Aos
0 3 6 9 12 15
400 400 400 400 400
Meses
Una anualidad diferida de S/.10 mil durante 5 aos a intervalos anuales.
Una anualidad diferida de S/.5 mil durante 10 aos a intervalos bianuales.
Una anualidad diferida de S/.400 durante 15 meses a intervalos trimestrales.
5 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Anualidad Anticipada o inmediata
Anualidad cuyos pagos iguales realizan al inicio de cada periodo.
0 1 2 3 4 5
8,000 8,000 8,000 8,000 8,000
Aos
0 3 6 9 12 15
2,500 2,500 2,500 2,500 2,500
Aos
0 1 2 3 4 5
1,400 1,400 1,400 1,400 1,400
Meses
Una anualidad anticipada de S/.8 mil durante 5 aos a intervalos anuales.
Una anualidad anticipada de S/.2.5 mil durante 12 aos a intervalos de tres aos.
Una anualidad diferida de S/.1.4 mil durante 5 meses a intervalos mensuales
6 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Ejemplo 01
Anualidades
Qu cantidad se acumular en 5 meses, si al finalizar cada mes se hace un
pago de $100 a una cuenta de inversiones que rinde 36% compuesto anual?
0 1 2 3 4 5
100 100 100 100 100
meses
En principio construyamos los Flujos:
Datos:
i = 36% anual = 0.36 anual
i = 0.36/12 = 0.03 mensual
n = 5 meses.
Note que el Flujo
en cada periodo
es el mismo
($100), por ello se
trata de una
Anualidad.
Cada Flujo hay que llevarlo al 5to mes
a la misma tasa mensual (3%) y de
acuerdo al nmero de periodos
correspondiente. 7 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Anualidades
Luego el Valor Futuro (VF) de la Anualidad en el quinto mes. ser la suma
de los Valores Futuros de cada flujo en dicho mes:
5to flujo 4to flujo 3er flujo 2do flujo 1er flujo
Cada termino expresa el Valor del Flujo en el 5to mes, que es donde se
desea hallar el Valor de la Anualidad.
A partir de este mtodo de razonamiento, se deducen Frmulas que nos permiten calcular de
manera directa y prctica, el Valor Futuro y Presente de una Anualidad.
8 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Valor Presente y Valor Futuro de Anualidades Frmulas
9
VP = A 1 (1+i)-n
i VF = A
(1+i)n 1
i
VF = A (1+i)n 1
i (1+i) VP = A
1 (1+i)-n
i (1+i)
VALOR PRESENTE VALOR FUTURO
ANUALIDAD VENCIDA
ANUALIDAD ANTICIPADA
Leyenda:
i : tasa de inters
n : nmero de periodos
A : anualidad
Note que la diferencia entre los VP y los VF, para una
Anualidad Vencida o Anticipada, es el factor (1+i). Esto se
debe a que el pago se hace con 1 periodo de desfase.
Valor Presente y Valor Futuro de Anualidades MS Excel
10
VP = VA(tasa, nper, pago,,0) VF = VF(tasa, nper, pago,,0)
VALOR PRESENTE (VP) VALOR FUTURO (VF)
ANUALIDAD VENCIDA
ANUALIDAD ANTICIPADA
VP = VA(tasa, nper, pago,,1) VF = VF(tasa, nper, pago,,1) Leyenda:
tasa : tasa de inters
nper : nmero de periodos
pago : anualidad
0 : anualidad vencida
1 : anualidad anticipada Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Anualidad Perpetua
Anualidad cuyos pagos iguales se espera que se prolonguen indefinidamente.
Este tipo de anualidad se presenta, cuando se coloca un capital y nicamente
se retiran los intereses.
0 1 2 3 4 5
6,000 6,000 6,000 6,000 6,000
0 2 4 6 8 10
3,200 3,200 3,200 3,200 3,200
Aos
0 3 6 9 12 15
800 800 800 800 800
Meses
Una anualidad perpetua de S/.6 mil a intervalos anuales.
Una anualidad perpetua de S/.3.2 mil a intervalos bianuales.
Una anualidad perpetua de S/.800 a intervalos trimestrales.
Aos
. . .
. . .
. . .
11 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Valor Presente y Valor Futuro de una Anualidades Perpetua
Solo existe el Valor Presente de una Anualidad Perpetua. El Valor
Final (Futuro) de una Anualidad infinita sera infinito.
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VP = A 1 (1+i)-n
i
VALOR PRESENTE
VALOR FUTURO
Leyenda:
i : tasa de inters
n : nmero de periodos (n )
A : anualidad
lim n = A
1 (1+i)-n
i lim n
lim n = A
1 0
i =
A
i
Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Valor Presente y Valor Futuro de una Anualidades Perpetua
La Anualidad Perpetua es un Mtodo interesante para calcular el Valor de
Rescate (Valor de Desecho) de un Proyecto de Inversin.
Cuando se quiere liquidar un Proyecto hay 3 Mtodos para calcular el
Valor de Rescate:
Mtodo Contable: Valor en libros de los activos del proyecto.
Mtodo Comercial: Valor de mercado de los activos del proyecto.
Mtodo Econmico: Valor de los Flujos Futuros que el proyecto
seguir generando (Anualidad Perpetua).
Este tercer mtodo es vlido cuando quin compra el proyecto, va a seguir
operndolo y no piensa liquidarlo.
13 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Ejemplo 02
Valor Presente y Valor Futuro de una Anualidades Perpetua
Juan le ofrece a su amigo Pedro el traspaso de su negocio, el cual actualmente
genera una utilidad neta de 2,000 soles mensuales. Pedro tiene una oportunidad de
inversin que le rendira 10% mensual. Cunto es lo mximo que debera pagarle
Pedro a Juan en caso aceptar comprarle el negocio?
Como Pedro Tiene una
Oportunidad de inversin de 10%
mensual, este sera el rendimiento
mnimo que debera esperar por la
compra del negocio de Juan.
Por lo tanto:
i = 10% = 0.1 mensual
Por otro lado, como el negocio
est estabilizado y generar de
manera constante una utilidad
neta de 2,000 soles mensuales, se
trata de una Anualidad Perpetua.
A = 2,000
14 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Valor Presente y Valor Futuro de una Anualidades Perpetua
Luego, lo que Pedro debe pagar
por el negocio de Juan es el Valor
Presente de una Anualidad Perpetua
de 2,000 soles mensuales a una Tasa
Mensual del 10%.
VP= A
i
Pedro debe pagar como mximo
20,000 soles.
Si Pedro paga ms de 20,000 soles NO
obtendra el rendimiento de 10% mensual
que espera y sera mejor para l invertir en
la otra oportunidad de negocio que tiene,
aunque esto afecte su amistad con Juan.
Aunque la idea de calcular el valor de
Rescate por el mtodo de la
Anualidad Perpetua es interesante,
adolece de una debilidad.
Cul cree que sea? y cmo la
corregira?
15 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
EJEMPLOS PROPUESTOS
Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro (VF) de las siguientes
anualidades:
Una anualidad diferida de S/.14.5 mil durante 7 aos a intervalos anuales.
Una anualidad diferida de S/.2.5 mil durante 10 aos a intervalos bianuales.
Una anualidad diferida de S/.750 durante 12 meses a intervalos
bimestrales.
* En todos los casos considerar una TEA de 10%.
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Valor Presente y Valor Futuro de Anualidad Regular (diferida)
Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Valor Presente y Valor futuro de Anualidad Inmediata o Anticipada
EJEMPLOS
Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro (VF) de las siguientes
anualidades:
Una anualidad anticipada de S/.3.4 mil durante 15 aos a intervalos
anuales.
Una anualidad anticipada de S/.500 durante 12 meses a intervalos
mensuales.
Una anualidad anticipada de S/.1.8 mil durante 4 aos a intervalos
semestrales.
* En todos los casos considerar una TEA de 8%.
17 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin
3
Ejercicio 1
Explique:
a) Qu diferencia hay entre una anualidad regular y una anualidad inmediata?
b) En igualdad de condiciones Qu anualidad tiene mayor valor futuro: una anualidad
regular o una anualidad inmediata?Por qu?
c) Suponga un depsito de S/.7,500 al final de cada uno de los tres aos siguientes en una
cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. Cunto tendr al terminar el periodo de tres
aos?
d) Suponga un depsito de S/.7,500 al inicio de cada uno de los tres aos siguientes en una
cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. Cunto tendr al terminar el periodo de tres
aos?
e) Qu diferencia hay en el valor futuro de la anualidad de S/7,500 de acuerdo a los
resultados de c y d?
18 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Ejercicio 2
19
Para la compra de un automvil que vale $25,000, se exige una cuota inicial del 40%
y el resto se cancela en cuotas mensuales, A cuanto ascender la cuota, si los
intereses son del 1.5% efectivo mensual?
Una persona arrienda una casa en $5,000 pagaderos por mes anticipado. Si tan
pronto como recibe cada arriendo lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo
mensual. Cul ser el monto de sus ahorros al final del ao?
El contrato de arriendo de una casa estipula pagos mensuales de $4,000, al principio
de cada mes, durante un ao. Si suponemos un inters del 12% nominal anual
capitalizable mensualmente. Cul ser el valor del pago nico que, hecho al
principio del contrato, lo cancelaria en su totalidad?
Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Ejercicio 3
20
Palma Industria S.A. requiere contar con oficinas, por un periodo de 10 aos, para ello
tiene dos alternativas, emplear el edificio A o emplear el edificio B. Ambos edificios
cumplen con las especificaciones que requiere la empresa, la diferencia radica en:
a) El edificio A requiere S/.5 millones cada ao como costo de mantenimiento y S/.6
millones cada 5 aos para reparaciones
b) El edificio B requiere S/.5.1 millones cada ao como costo de mantenimiento y
S/.1 milln cada 2 aos para reparaciones.
Suponiendo una TEA del 15% Cul de los edificios le resulta mas conveniente utilizar?
Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Ejercicio 4
Palma Industria S.A. desea adquirir un equipo de procesamiento para su planta. En la
lnea de tiempo mostrada a continuacin le presentan la serie de pagos (en dlares) que
debera hacer al inicio de cada ao, durante 5 aos. Palma Industria desea que le ayude
a sustituir esta serie de pagos por el equivalente a una serie de 5 pagos anuales:
a) Iguales anticipados
b) Iguales vencidos
21
0 1 2 3 4 5
10,000
Aos
10,000 10,000
5,000 5,000
TEA = 10%
Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Ejercicio 5
Se desea reunir un fondo de S/.100,000 mediante depsitos trimestrales de
S/8,000 cada uno. Si la TEA es 12%:
a) Cuntos depsitos completos de S/.8,000 deberan efectuarse?
b) Con que depsito final, hecho simultneamente con el ltimo depsito de
S/8,000 completara el fondo?
c) Con que depsito final, hecho un trimestre despus del ltimo depsito
de S/8,000 completara el fondo?
22 Evaluacin Financiera de Proyectos - Sesin 3
Ejercicio 6
Los padres de Jos instruyen para que se haga un deposito de $20,000 en el banco
cuando Jos cumpla 9 aos. Ello para que a partir de los 10 aos Jos empiece a
recibir todos los meses, a fin de mes, los intereses que genera el deposito hecho
por sus padres. Los intereses los recibir mientras Jos este vivo. La tasa de inters
efectiva mensual que paga el banco es 1%. Hoy es el cumpleaos nmero 8 de
Jos.
A cuando ascender el valor actual de todos los montos que recibir Jos?
A cuando ascender el valor futuro de todos los montos que recibir Jos?
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