UBICACIÓN DEL CENTRO DE MASA Y CENTRO DE RIGIDEZ EN EDIFICACIONES CON MUROS DE DUCTILIDAD LIMITADA
DR. GENNER VILLARREAL CASTRO ING. MARCO CERNA VASQUEZ
~ 1 ~
SISTEMA DE MUROS DE DUCTILIDAD LIMITADA
EJEMPLO 1: Calcular la ubicación de los centros de rigidez y de masa de una
vivienda construida con muros de ductilidad limitada, cuyo plano se muestra en
el plano de arquitectura.
PLANO DE ARQUITECTURA
COMEDOR
PATIO DESERVICIO
KITCHENET
0.1
03
.05
0.1
01
.10
0.1
01
.15
0.1
00
.65
2.7
00
.10
0.10 3.15 0.10 2.50 0.10 4.25 0.10
P-0.80x2.10
P-0.70x2.10
P-0
.70x2.1
0
P-0
.90x2.1
0
V-1
2.00 1.50
0.90
V-2
1.40 1.50
0.90
V-2
1.40 1.50
0.90
V-2
1.40 1.50
0.90
V-3
0.70 0.50
1.90
V-3
0.70 0.50
1.90
V-4
0.70 1.50
0.90
V-2
1.40 1.50
0.90
0.6
00
.70
1.40 0.10 0.70 0.10 0.85
1.5
50
.35
2.7
0
3.8
0
0.6
01
.40
0.9
5
3.40
1.2
00
.10
1.6
5
0.00
0.10 2.25 0.10
0.9
04
.70
0.65 1.40 0.45 1.38 2.00 0.88
0.10 0.70 1.00 1.08 2.13 0.10 0.95
3.0
5
1.600.10
2.4
0
2.4
0
1.60 0.10 3.20
0.1
0
0.10
6.0
0
2.5
04
.70
0.1
2
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DATOS COMPLEMENTARIOS:
Altura libre de piso a techo (h) : 2.40 m
Espesor del muro (e) : 0.10 m
Modulo de Elasticidad del Concreto (Ec) : 2173000 T/m2
Peso por unidad de Volumen : 2.4 T/m3
Coeficiente de Poisson : 0.2
Coeficiente de Expansión Térmica: 9.900 E-06
Resistencia a la compresión del concreto (f´c) : 2100 T/m2
Esfuerzo de Fluencia del Acero (fy) : 42000 T/m2
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SOLUCION
CÁLCULO DEL CENTRO DE MASA
Para determinar la ubicación en el eje X e Y del centro de masa de una
edificación, se indica que deben cumplirse las siguientes expresiones:
;
PROCEDIMIENTO
1. Teniendo en consideración el plano general, se le asignará una
codificación a cada muro de la estructura en los ejes X e Y para poder
realizar los cálculos con mayor eficiencia. Se puede visualizar los nombres
de los muros en el siguiente plano. Cabe resaltar que la junta de dilatación
de fragua (1) es a criterio del proyectista.
Mx1 Mx2
My1
Mx3 Mx4
Mx5
Mx6
Mx7Mx8
Mx9
Mx10 Mx11
Mx12
My2
My3
My4
My5
My6
My8
My11
My10My14
My13
My15
My16
My7
My9
My12JUNTA EN MURO
JUNTA EN MURO
JUNTA EN MURO
JUNTA EN MURO
Mx13
Plano 1. Distribución y codificación de los muros
(1) Para muros mayores de 4 metros se recomienda una junta de dilatación de fragua
por la concentración de esfuerzos que pueda experimentar el muro.
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2. Luego se determinan las características de los Muros, necesitando conocer
su longitud y distancia al centroide de cada muro en los dos ejes. En los
siguientes planos, se especifica el procedimiento que se debe seguir para
determinar las características que necesitamos.
y
x Mx1
My1
Mx5
Mx7
My2 My5
My6
My7
3.150
0.7
00
Plano 2. Ejemplo de la
longitud de un muro
y
x Mx1
My1
Mx5
Mx7
My2 My5
My6
My7
1.675
0.3
50
Plano 3. Ejemplo de las
distancias al centroide para
un muro
Luego, al haber obtenido las características necesarias de los muros en X e
Y, se procesan los valores como se muestra en las Tablas 1 y 2 para el
caso de Centro de Masa.
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Tabla 1. Cuadro de Cálculos de los Muros en el eje X
MURO X H e L (T/m3) P X PX
MX1 2.4 0.10 3.25 2.4 1.872 1.675 3.136
MX2 2.4 0.10 0.65 2.4 0.3744 3.675 1.376
MX3 2.4 0.10 1.93 2.4 1.1088 6.363 7.055
MX4 2.4 0.10 0.88 2.4 0.504 9.763 4.921
MX5 2.4 0.10 1.50 2.4 0.864 0.85 0.734
MX6 2.4 0.10 1.70 2.4 0.9792 5 4.896
MX7 2.4 0.10 3.35 2.4 1.9296 1.675 3.232
MX8 2.4 0.12 1.00 2.4 0.6912 5.45 3.767
MX9 2.4 0.10 3.25 2.4 1.872 1.725 3.229
MX10 2.4 0.10 0.65 2.4 0.3744 3.825 1.432
MX11 2.4 0.10 3.50 2.4 2.016 7.4 14.918
MX12 2.4 0.10 3.40 2.4 1.9584 1.8 3.525
MX13 2.4 0.10 0.65 2.4 0.3744 3.825 1.432
Σ 14.9184 53.654
Tabla 2. Cuadro de Cálculos de los Muros en el eje Y
MURO Y H e L (T/m3) P Y PY
MY1 2.4 0.10 0.70 2.4 0.4032 0.35 0.141
MY2 2.4 0.10 1.75 2.4 1.008 2.975 2.999
MY3 2.4 0.10 0.70 2.4 0.4032 6.25 2.520
MY4 2.4 0.10 1.05 2.4 0.6048 8.525 5.156
MY5 2.4 0.10 0.65 2.4 0.3744 3.125 1.170
MY6 2.4 0.10 1.55 2.4 0.8928 3.925 3.504
MY7 2.4 0.10 3.90 2.4 2.2464 1.95 4.380
MY8 2.4 0.10 0.40 2.4 0.2304 5.7 1.313
MY9 2.4 0.10 0.65 2.4 0.3744 3.475 1.301
MY10 2.4 0.10 2.40 2.4 1.3824 6 8.294
MY11 2.4 0.10 1.85 2.4 1.0656 8.125 8.658
MY12 2.4 0.10 3.80 2.4 2.1888 2 4.378
MY13 2.4 0.10 0.60 2.4 0.3456 6.9 2.385
MY14 2.4 0.10 2.50 2.4 1.44 6.05 8.712
MY15 2.4 0.10 2.60 2.4 1.4976 1.3 1.947
MY16 2.4 0.10 3.50 2.4 2.016 4.35 8.770
Σ 16.4736 65.628
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3. Mediante las expresiones indicadas anteriormente, calculamos las
coordenadas de ubicación del Centro de Masa de este edificio.
Para la coordenada X
Para la coordenada Y
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CALCULO DEL CENTRO DE RIGIDEZ
Para el presente cálculo, se adoptó un criterio de sección transformada, pues al
presentarse muros en sentido transversal a los analizados, estos tienen una
cierta participación favorable a la rigidez de los mismos.
La sección transformada fue considerada 4 veces el espesor del muro (0.40 m)
en la dirección y lugar del muro transversal, así también como para el lado
opuesto del mismo. En muros donde las longitudes de los muros transversales
fueron menores que 0.80 m, se consideró la longitud real dividida en partes
iguales para cada lado del muro.
Para el cálculo del centro de rigidez, deben de cumplirse las siguientes
expresiones:
;
PROCEDIMIENTO
1. Como ejemplo ilustrativo se tomó los muros MX11 y MY4. Los resultados
obtenidos de esta sección, fueron con el soporte del programa
AutoCAD2007. A continuación se detalla el análisis realizado:
MURO MY4
Mx12
My4
1.0
5
3.40
Plano 4. Sección del Muro
Longitud real:
3.50m
Espesor: 0.10 m
Área (A): 0.350m2
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Sección Transformada:
Mx12
My4
0.40 0.40
Plano 5. Sección
transformada del Muro MY4
En el plano, se puede visualizar la sección transformada del muro MY4. El
muro perpendicular MX12, cuya longitud es mayor de 0.80m, nos indica que
debemos considerar 4 veces el espesor del muro (0.40 m) en la dirección
del muro transversal.
2. Aplicando el comando Massprop, obtenemos:
Área (At): 0.1850 m2
Principal moments and X-Y directions about centroide: (i)
J: 0.0200 along (0.0000 1.0000)
Gráfico 1. Ventana del comando Massprop del Muro MY4
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3. Con las siguientes cuatro ecuaciones se procederá a obtener los datos
necesarios del muro en estudio.
Donde:
Ec: Modulo de elasticidad del concreto
h: altura libre (2.4 m)
G: Módulo de Corte
: Coeficiente de Poisson
4. Con el factor “K” obtenemos KYi, resultante del producto de K con Yi
(distancia del punto de origen al centroide de la sección o muro real. El
resumen de los cálculos realizados se presenta en las Tablas 3 y 4.
5. De igual forma, realizamos el mismo proceso para el muro MX11. El
procedimiento de este muro se muestra a continuación.
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~ 10 ~
MURO MX11
Mx11
My14
My13
3.50
0.6
0
2.5
0
Plano 6. Sección del Muro
Sección Transformada:
0.3
00
.30
0.4
00
.40
Plano 7. Sección transformada del Muro MX11
En el plano anterior, se puede visualizar la sección transformada del muro en
estudio. El muro perpendicular MY14, al ser mayor de 0.80m, nos indica que
consideraremos 4 veces el espesor del muro (0.40 m) en la dirección del muro
transversal, en cambio, el muro MY13 se dividirá en dos partes iguales (0.30m) para
cada lado del muro indicado.
6. Aplicando el comando Massprop, obtenemos:
Área (At): 0.500 m2
Principal moments and X-Y directions about centroide: (i)
J: 0.7736 along (0.0000 1.0000)
Longitud real: 3.50m
Espesor: 0.10 m
Área (A): 0.350m2
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Gráfico 2. Ventana del comando Massprop
7. Como en el ejemplo anterior, usaremos las ecuaciones para obtener los
datos necesarios del muro en estudio.
8. Con el factor “K” obtenemos KXi, resultante del producto de K con Xi
(distancia del punto de origen al centroide de la sección o muro real. El
resumen de los cálculos realizados se presentan en las Tabla 3 y 4.
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Tabla 3. Cuadro de Cálculo de los Muros en el eje X
Sección
Transformada
MURO X Area J f K X KX
MX1 0.415 0.4839 1.277 6760.376 1.675 11323.629
MX2 0.065 0.0023 1.000 103.901 3.675 381.836
MX3 0.273 0.0716 1.416 2036.931 6.363 12960.994
MX4 0.178 0.0162 2.029 520.047 9.763 5077.223
MX5 0.305 0.1154 2.033 1841.958 0.85 1565.664
MX6 0.325 0.1530 1.912 2290.699 5 11453.493
MX7 0.415 0.3428 1.239 6256.656 1.675 10479.898
MX8 0.120 0.0100 1.000 427.222 5.45 2328.361
MX9 0.445 0.5985 1.369 6800.009 1.725 11730.015
MX10 0.155 0.0077 2.385 268.440 3.825 1026.783
MX11 0.500 0.7736 1.429 7376.806 7.4 54588.364
MX12 0.430 0.5455 1.265 7276.516 1.8 13097.729
MX13 0.155 0.0077 2.388 268.350 3.825 1026.437
42227.90995 137040.427
Tabla 4. Cuadro de Cálculo de los Muros en el eje Y
Sección
Transformada
MURO Y Area J f K Y KY
MY1 0.15 0.0063 2.143 239.460 0.35 83.811
MY2 0.255 0.0599 1.457 1740.510 2.975 5178.018
MY3 0.15 0.0063 2.143 239.460 6.25 1496.622
MY4 0.185 0.02 1.762 664.634 8.525 5666.007
MY5 0.155 0.0061 2.385 224.853 3.125 702.666
MY6 0.245 0.0699 1.581 1743.686 3.925 6843.969
MY7 0.47 0.734 1.205 9028.241 1.95 17605.069
MY8 0.13 0.0061 3.250 177.676 5.7 1012.754
MY9 0.155 0.0077 2.385 268.440 3.475 932.829
MY10 0.24 0.0002 1.000 9.425 6 56.548
MY11 0.325 0.1731 1.757 2673.117 8.125 21719.072
MY12 0.55 1.0721 1.447 8284.838 2 16569.675
MY13 0.15 0.0063 2.500 223.764 6.9 1543.971
MY14 0.33 0.2175 1.320 4212.691 6.05 25486.778
MY15 0.34 0.2421 1.308 4528.190 1.3 5886.647
MY16 0.35 0.0003 1.000 14.137 4.35 61.494
34273.11961 110845.930
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~ 13 ~
En el siguiente plano, se muestra las secciones transformadas de todos los
muros de la edificación, que fueron usados para obtener los parámetros del
Cálculo de Rigidez.
SECCIONES TRANSFORMADAS
Mx11Mx10
Mx12 Mx13
Mx6
Mx1Mx2 Mx3 Mx4
Mx5
Mx7 Mx8
Mx9
Plano 8. Secciones transformadas de los muros del eje X
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~ 14 ~
SECCIONES TRANSFORMADAS
My11
My15
My7
My4
My5
My6
My8
My10
My14
My16
My12
My13
My1
My9
My3
My2
Plano 9. Secciones transformadas de los muros del eje Y
9. Mediante las expresiones indicadas anteriormente, calculamos las
coordenadas de ubicación del Centro de Rigidez de este edificio.
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~ 15 ~
Para la coordenada X
Para la coordenada Y
En el siguiente plano, ubicamos los valores obtenidos para el caso del
Centro de Masa y Centro de Rigidez, para luego realizar los ajustes que
fueran necesarios, con la finalidad de cumplir con la Norma E030, con la
determinación del Centro de Masa Real.
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~ 16 ~
3.596
3.2453.9
83
3.2
34
CR
CM
y
x
Plano 10. Ubicación del Centro de Masa y Centro de Rigidez
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~ 17 ~
10. Ahora procederemos a calcular las respectivas excentricidades que nos
brindará el nuevo centro de masa.
Entre el centro de masas y el centro de rigidez se cumple:
ex =Xcm-Xcr = 3.596 - 3.245 = 0.351
ey =Ycm-Ycr = 3.983 - 3.234 = 0.749
Para efectos de torsión se consideró la excentricidad accidental (Norma
E030-2006) en cada nivel, como 0.05 veces la dimensión del edificio en
la dimensión perpendicular a la aplicación de la fuerza.
ex’ =0.05 Lx = 0.05*10.30 = 0.515
ey’ =0.05 Ly = 0.05*9.05 = 0.453
11. Finalmente el cambio del centro de masa con respecto a la excentricidad
accidental es:
Xcm = 3.596 + 0.515 = 4.111 m
Ycm = -(3.983 + 0.453) =- 4.436 m (2)
(2) En este caso, al estar ubicado el punto (0, 0) en la parte superior (ver planos), el
signo de esta excentricidad cambia.
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