PUNTOS, RECTAS
Y PLANOS
EN EL ESPACIOEN EL ESPACIO
2º Bachillerato
SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO
Un sistema de referencia para el plano consiste en el conjunto R = {O, {i , j , k}}
formado por:
- Un punto fijo O, llamado origen.- Una base {i , j , k}
→ →
→ →
Sistema de referencia en el espacio.
→
→
→k
→j
O
P
→OP
(a , b ,c)
→
a i
→
b j
→OP =
→p =
→i
→
c k
P
(a , b ,c)
APLICACIONES DE LOS VECTORES
Coordenadas del vector que une dos puntos.
→→
i
→a
A (x1,y1, z1 )
B (x2,y2,z2)
→b
→AB
→
k→
j→
i O
→OA + AB = OB
→ →
→AB = OB – OA = (x2 , y2 , z2) – (x1 , y1 , z1) = (x2 – x1 , y2 – y1 , z2 − z1)
→ →
→AB = (x2 – x1 , y2 – y1 , z2 −z1)
Coordenadas del vector que une dos puntos.
Ejemplo:
Hallar las coordenadas de PQ y de QP sabiendo que P(–5 , 3 , 2) y Q(7 , 1 , −3)→ →
→PQ = (7 , 1 , −3) – (–5 , 3 , 2) = (12 , –2 , −5)
APLICACIONES DE LOS VECTORES
→QP = (–5 , 3 , 2) – (7 , 1 , −3) = (–12 , 2 , 5)
Condición para que tres puntos estén alineados.
Los puntos A(x1 , y1 , z1), B(x2 , y2 , z2) y C(x3 , y3 , z3) están
alineados siempre que los vectores AB y BC sean paralelos. Es decir,
cuando sus coordenadas son proporcionales:
→
2 1 2 1 2 1x x y y z z
x x y y z z
− − −= =
− − −
→
APLICACIONES DE LOS VECTORES
3 2 3 2 3 2x x y y z z− − −
→AB = OB – OA = (x2 , y2 , z2) – (x1 , y1 , z1) = (x2 – x1 , y2 – y1 , z2 − z1)
→ →
→BC = OC – OB = (x3 , y3 , z3) – (x2 , y2 , z2) = (x3 – x2 , y3 – y2 , z3 − z2)
→ →
2 1 2 1 2 1
3 2 3 2 3 2
x x y y z z
x x y y z z
− − −= =
− − −
Comprobar si los puntos A(5,–1,–4), B(3,3,2) y C(2,5,5) están
alineados.
Ejemplo:
( )AB 2,4,6 = −
����
Condición para que tres puntos estén alineados.
APLICACIONES DE LOS VECTORES
( )
( )
AB 2,4,62 4 6
1 2 3BC 1,2,3
= − −
→ = =−
= −
����
Como las coordenadas son proporcionales, los puntos están
alineados.
APLICACIONES DE LOS VECTORES
Punto medio de un segmento.
→a
A (x1,y1,z1)
B (x2,y2,z2)
→b
M (m, m’,m’’)
→m
→AB = 2 AM
→
(x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1) = 2(m – x1 , m’ – y1 , m’’ – z1)→
j→
i O
→
k
( )
( )
( )
2 1 2 1 1 2 11
2 1 1
2 1 2 1 1 2 12 1 1 1
2 1 12 1 2 1 1 2 1
1
x x x x 2x x xm x
2 2 2x x 2 m xy y y y 2y y y
y y 2 m ' y m ' y2 2 2
z z 2 m '' z z z z z 2z z zm '' z
2 2 2
− − + + = + = =
− = − − − + +
− = − → = + = =
− = − − − + + = + = =
1 2 1 2 1 2x x y y z zM , ,
2 2 2
+ + + =
Ejemplo: Hallar el punto medio del segmento de extremos:
A(7 , –1 , 4), B(1 , 5 , –3)
→a
A(7 , –1 , 4)
B(1 , 5 , –3)
M (m , m’ , m’’)
7 1 1 5 4 3 1+ − + −
APLICACIONES DE LOS VECTORES
aB(1 , 5 , –3)
→b
→m
7 1 1 5 4 3 1M , , 4,2,
2 2 2 2
+ − + − = =
→
j→
i O
→
k
APLICACIONES DE LOS VECTORES
Simétrico de un punto respecto de otro.
→a
A (x , y , z)
A’ (x’ ,y’ , z’)
→a’
P (α , β , γ)
→p
x x '
2
y y '
2
z z '
+ α =
+
β =
+ γ =
→
k→a’
z z '
2
+ γ =
x ' 2 x
y ' 2 y
z ' 2 z
= α −
= β − = γ −
→
j→
i O
k
APLICACIONES DE LOS VECTORES
Simétrico de un punto respecto de otro.
Ejemplo: Hallar el punto simétrico del punto A(7 , 4 , −2) respecto
de P(3 , –11 , 7).A(7 , 4 , −2)
A’ (x’ ,y’ , z’)
P(3 , –11 , 7)
7 x '3
2 x ' 14 y '
11 y ' 26 A ' ( 1, 26,16)2
z ' 162 z '
72
+ =
= − +
− = → = − → = − − = − +
=
A’ (x’ ,y’ , z’)
ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuación vectorial de la recta.
→p
P
X
→d
X
→x
x p d= + ��
→
j→
i O
→
k
ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuaciones paramétricas de la recta.
x p d= + ��
(x, y, z) (p ,p ,p ) (d ,d ,d )= + λ
→p
P (p1 , p2 , p3)
X (x , y , z)
→d (d1 , d2 , d3)
1 2 3 1 2 3(x, y, z) (p ,p ,p ) (d ,d ,d )= + λX (x , y , z)
→x
→
j→
i O
→
k
1 1
2 2
3 3
x p d
y p d
z p d
= + λ
= + λ = + λ
ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuación de la recta en forma continua.
→p
P (p1 , p2 , p3)
X (x , y , z)
→d (d1 , d2 , d3)
11 1
1
22 2
2
x px p d
d
y py p d
d
y p
−= + λ → λ =
−
= + λ → λ = −
X (x , y , z)
→x
→
j→
i O
→
k3
3 3
3
y pz p d
d
−= + λ → λ =
31 2
1 2 3
z px p y p
d d d
−− −= =
ECUACIONES DE LA RECTA
Forma implícita de la ecuación de la recta.
→p
P (p1 , p2 , p3)
X (x , y , z)
→d (d1 , d2 , d3)
31 2
1 2 3
z px p y p
d d d
−− −= =
( )
( )2 1 2 1 1 2d x d y d p d p 0− + − + =
X (x , y , z)
→x
→
j→
i O
→
k
ax by cz d 0
a x b y c z d 0
+ + + =
′ ′ ′ ′+ + + =
( )3 2 3 2 2 3d y d z d p d p 0
− + − + =
ECUACIONES DE LA RECTA
Vectorial:
Paramétricas:
x p d= + ��
1 1
2 2
3 3
x p d
y p d
z p d
= + λ
= + λ = + λ
Implícita:
Continua: 31 2
1 2 3
z px p y p
d d d
−− −= =
ax by cz d 0
a x b y c z d 0
+ + + =
′ ′ ′ ′+ + + =
Ejemplo: Expresar de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa
por A(6 , –1 , 4), y B(–3 , 5 , 7).
ECUACIONES DE LA RECTA
Vectorial: x (6, 1, 4) (3, 2, 1) (6 3 , 1 2 ,4 )= − + λ − − = + λ − − λ − λ�
x 6 3 x 6 3= + λ ⋅ = + λ
AB ( 3,5,7) (6, 1,4) ( 9,6,3) (3, 2, 1) d (3, 2, 1)= − − − = − − − → = − −���� �
�
Paramétricas:
Implícita:
Continua:
( )
y 1 ( 2) y 1 2
z 4z 4 1
= − + λ ⋅ − → = − − λ
= − λ= + λ ⋅ −
x 6 y 1 z 4
3 2 1
− + −= =
− −
2x 3y 9 0
y 2z 9 0
− − + =
− + − =
ECUACIONES DE LA RECTA
Ejemplo: Obtener las ecuaciones paramétricas, continuas e implícitas de la recta
que pasa por P(0 , 1 , – 3) y es paralela al vector d(1 , –5 , 0).→
ECUACIONES DE LA RECTA
Ejemplo: Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(1 , 7 , 3)
y B(2 , –1 , –8), y obtener otros dos puntos de ella.
ECUACIONES DE LA RECTA
Ejemplo: Comprobar si alguno de los puntos A(3,2,−1),
B(−2,17,–1), C(1,5,0) y D(2,8,–1) pertenece a la recta r.
x 3
r : y 2 3
z 1
= − λ
= + λ = −
ECUACIONES DEL PLANO
Ecuación vectorial del plano.
P
X
→u
→v
→λu
→µv
u vλ + µ� �
→p →
x
x p u v= + λ + µ�� � �
O→
j→
i
→
k
v µv
ECUACIONES DEL PLANO
Ecuaciones paramétricas del plano.
→
P
X
x p u v= + λ + µ�� � �
→u
→v
→λu
→µv
u vλ + µ� �
→p →
x
O→
j→
i
→
k
1 2 3 1 2 3 1 2 3(x, y, z) (p ,p ,p ) (u ,u ,u ) (v , v , v )= + λ + µ
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x p u v
y p u v
z p u v
= + λ + µ
= + λ + µ = + λ + µ
ECUACIONES DEL PLANO
Ecuación implícita del plano.
1 1 1
2 2 2
3 3 3
u v x p
u v y p
u v z p
λ + µ = −
λ + µ = − λ + µ = −
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x p u v
y p u v
z p u v
= + λ + µ
= + λ + µ = + λ + µ
Sistema de ecuaciones con tres ecuaciones y dos incógnitas λ y µ.
Para que tenga solución tiene que cumplirse que:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
u v x p
u v y p 0
u v z p
−
− =
−
ax by cz d 0+ + + =
ECUACIONES DEL PLANO
Halla las ecuaciones paramétricas e implícita del plano que pasa por
A(2,3,5), B(1,1,2) y C(3,6,10)
Punto A(2,3,5)
AB ( 1, 2, 3)
AC (1,3,5)
= − − −
=
����
����
x 2
y 3 2 3
z 5 3 5
= − λ + µ
= − λ + µ= − λ + µ
Paramétricas:
Implícita:
1 1 x 2− −− − −
1 1 x 22 3 1 1 1 1
2 3 y 3 0 (x 2) (y 3) (z 5) 03 5 3 5 2 3
3 5 z 5
− −− − −
− − = → − − − + − =− − −
− −
u v ( 1,2, 1) vector normal del plano.
1(x 2) 2(y 3) 1(z 5) 0 x 2y z 1 0
× = − −
− − + − − − = → − + − =
� �
1(x 2) 2(y 3) 1(z 5) 0
x 2y z 1 0
− − + − − − =
− + − =
Implícita:
ECUACIONES DEL PLANO
Ecuación normal del plano.
0P X����
n(a,b,c)�
0 0 0 0P (x , y , z )
X(x, y,z)
0 0 0 0 0n P X n P X 0 (a, b,c) (x x , y y , z z ) 0⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ − − − =���� ����� �
0 0 0a(x x ) b(y y ) c(z z ) 0− + − + − =
ECUACIONES DEL PLANO
Relación entre la ecuación normal y la implícita del plano.
0P X����
n(a,b,c)�
0 0 0 0P (x , y , z )
X(x, y,z)
0 0 0
0 0 0
a(x x ) b(y y ) c(z z ) 0
ax ax by by cz cz 0
− + − + − =
− + − + − =
0 0 0ax by cz ( ax by cz ) 0
ax by cz d 0
+ + + − − − =
+ + + =
En la ecuación implícita del plano (a,b,c) es un vector normal del plano.
ECUACIONES DEL PLANO
Halla la ecuación implícita del plano que pasa por A(2,3,5), B(1,1,2) y
C(3,6,10)
Punto A(2,3,5)
AB ( 1, 2, 3)
AC (1,3,5)
= − − −
=
����
����
AB AC ( 1,2, 1) vector normal del plano.
1(x 2) 2(y 3) 1(z 5) 0 x 2y z 1 0
× = − −
− − + − − − = → − + − =
���� ����Implícita:
POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS Y RECTAS
Recta y plano:
Son paralelos
n�
n�
d�
n d⊥��
Se cortan en un punto
Recta contenida en plano
d�
n�
d�
n ⊥�
d�
n d⊥��
Estudia la posición relativa del plano y recta:
: x 3y 5z 11 0π − + + =
x 3 2
r y 1
z 4 6
= − λ
≡ = − λ = + λ
POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS Y RECTAS
( )
( )
P 11,0,0:
n 1, 3,5
π
π
π
−�
( )
( )
r
r
P 3,1,4r :
d 2, 1,6
− −�
Por lo tanto la recta y el plano se cortan en un punto. Para calcularlo:
( ) ( )rn d 1, 3,5 2, 1,6 2 3 30 31 0 nπ π⋅ = − ⋅ − − = − + + = ≠ → ⊥�� �
rd�
( ) ( ) ( )x 3y 5z 11 0 3 2 3 1 5 4 6 11 0 1− + + = → − λ − − λ + + λ + = → λ = −
( )1 P 5, 2, 2λ = − → = −
POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS Y RECTAS
Paralelos
Dos planos:
Se cortan en una recta
Paralelos
Coincidentes
POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS Y RECTAS
Dos planos:
ax by cz d 0
a x b y c z d 0
+ + + =
′ ′ ′ ′+ + + =
a b cM
=
a b c dM
′ = M
a b c
= ′ ′ ′
Ma b c d
′ = ′ ′ ′ ′
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ran M ran M 2 Los planos se cortan en una recta.
ran M 1; ran M 2 Los planos son paralelos.
ran M ran M 1 Los planos son coincidentes.
′= = →
′= = →
′= = →
POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
: ax by cz d 0 a b c a b c d
: a x b y c z d 0 M a b c M a b c d
: a x b y c z d 0 a b c a b c d
π + + + = − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′π + + + = → = = − ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′π + + + = −
POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
Estudia la posición relativa de los planos:
POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
Estudia la posición relativa de los planos:
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Sean dos rectas r y s con ecuaciones:
( )
( )
1 2 3
1 2 3
P p ,p , pr :
d d ,d ,d
�
( )
( )
1 2 3
1 2 3
P p , p ,ps :
d d ,d ,d
′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′�
Pueden darse cuatro situaciones:
Coincidentes Paralelas Secantes Se cruzan
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Sean dos rectas r y s con ecuaciones:
( )
( )
1 2 3
1 2 3
P p ,p , pr :
d d ,d ,d
�
( )
( )
1 2 3
1 2 3
P p , p ,ps :
d d ,d ,d
′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′�
P
P′d�
d′�
Si P s Las rectas son coincidentesCaso d d
Si P s Las rectas son paralelas
∈ →′
∉ →
� ��
P
P′
d�
d′�
Si los vectores directores no son paralelos puede ocurrir dos casos:
Caso 1:
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Sean dos rectas r y s con ecuaciones:
( )
( )
1 2 3
1 2 3
P p ,p ,pr :
d d ,d ,d
�
( )
( )
1 2 3
1 2 3
P p ,p , ps :
d d ,d ,d
′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′�
d,d y PP son coplanarios (linealmente dependientes)′ ′����� �
P
P′
d�
d′�
PP′����
R y s son secantes.
Si los vectores directores no son paralelos puede ocurrir dos casos:
Caso 2:
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Sean dos rectas r y s con ecuaciones:
( )
( )
1 2 3
1 2 3
P p ,p ,pr :
d d ,d ,d
�
( )
( )
1 2 3
1 2 3
P p ,p , ps :
d d ,d ,d
′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′�
d,d y PP no son coplanarios (linealmente independientes)′ ′����� �
P
P′
d�
d′�
PP′����
R y s se cruzan.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Posición relativa de las rectas:
x 3 5
r : y 2
z 5
= − λ
= + λ = − λ
x 1 10
s : y 4 2
z 2
= + µ
= − µ = µ
( )
( )
P 3, 2,5r :
d 5,1, 1
− −�
( )
( )
P 1, 4,0s :
d 10, 2, 2
′
′ −� ( )PP 2,2, 5′ = − −
����
( )r :
d 5,1, 1
− −�
( )s :
d 10, 2, 2
′ −� ( )PP 2,2, 5= − −
d d′� ��
x 1 10x 1 y 4 z 3 1 2 4 5
s : y 4 2 P s10 2 2 10 2 2
z 2
= + µ− − − −
= − µ → = = → ≠ ≠ → ∉− − = µ
r y s son paralelas.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Posición relativa de las rectas:
x 2 3
r : y 3 5
z
= − λ
= + λ = λ
x 1
s : y
z 5
= − µ
= µ =
( )
( )
P 2,3,0r :
d 3,5,1
−�
( )
( )
P 1,0,5s :
d 1,1,0
′
′ −� ( )PP 1, 3,5′ = − −
����
( )r :
d 3,5,1
−�
( )s :
d 1,1,0
′ −� ( )PP 1, 3,5= − −
d��d′�
3 1 1
5 1 3 14 0 Los vectores son linealmente independientes.
1 0 5
− − −
− = ≠ →
r y s se cruzan.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Posición relativa de las rectas:
x 2 3
r : y 3 5
z
= − λ
= + λ = λ
x 1
s : y 2
z 5
= − µ
= µ =
( )
( )
P 2,3,0r :
d 3,5,1
−�
( )
( )
P 1,0,5s :
d 1, 2,0
′
′ −� ( )PP 1, 3,5′ = − −
����
( )r :
d 3,5,1
−�
( )s :
d 1, 2,0
′ −� ( )PP 1, 3,5= − −
d��d′�
3 1 1
5 2 3 0 Los vectores son linealmente dependientes.
1 0 5
− − −
− = →
r y s son secantes.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
POR RANGOS.
( )
( )
1 2 3
1 2 3
P p ,p , pr :
d d ,d ,d
�
( )
( )
1 2 3
1 2 3
P p , p ,ps :
d d ,d ,d
′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′�
1 1
2 2
3 3
d d
M d d
d d
′ ′= ′
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
d d p p
M d d p p
d d p p
′ ′ − ′ ′ ′= − ′ ′ −
( ) ( )d d y P s ran M ran M 1 r y s coincidentes′ ′∈ ⇔ = = ⇔� �� ( ) ( )d d y P s ran M ran M 1 r y s coincidentes′ ′∈ ⇔ = = ⇔�
( ) ( )d d y P s ran M 1;ran M 2 r y s paralelas′ ′∉ ⇔ = = ⇔� ��
d�� ( ) ( ) ( )d y det d,d ,PP 0 ran M ran M 2 r y s se cortan′ ′ ′ ′= ⇔ = = ⇔
����� � �
d�� ( ) ( ) ( )d y det d,d ,PP 0 ran M 2;ran M 3 r y s se cruzan′ ′ ′ ′≠ ⇔ = = ⇔
����� � �
Posición relativa de las rectas:
x 3 5
r : y 2
z 5
= − λ
= + λ = − λ
x 1 10
s : y 4 2
z 2
= + µ
= − µ = µ
( )
( )
P 3,2,5r :
d 5,1, 1
− −�
( )
( )
P 1,4,0s :
d 10, 2,2
′
′ −� ( )PP 2,2, 5′ = − −
����
POSICIONES RELATIVAS POR RANGOS
( )r :
d 5,1, 1
− −�
( )s :
d 10, 2,2
′ −� ( )PP 2,2, 5′ = − −
r y s son paralelas.
5 10
M 1 2
1 2
−
= − −
5 10 2
M 1 2 2
1 2 5
− − ′ = − − −
( )
( )
ran M 1
ran M 2
=
′ =
Posición relativa de las rectas:
x 2 3
r : y 3 5
z
= − λ
= + λ = λ
x 1
s : y
z 5
= − µ
= µ =
( )
( )
P 2,3,0r :
d 3,5,1
−�
( )
( )
P 1,0,5s :
d 1,1,0
′
′ −� ( )PP 1, 3,5′ = − −
����
POSICIONES RELATIVAS POR RANGOS
( )d 3,5,1− ( )d 1,1,0′ −
3 1 1
5 1 3 14 0
1 0 5
− − −
− = ≠
r y s se cruzan.
3 1
M 5 1
1 0
− −
=
3 1 1
M 5 1 3
1 0 5
− − − ′ = −
( )
( )
ran M 2
ran M 3
=
′ =
Posición relativa de las rectas:
x 2 3
r : y 3 5
z
= − λ
= + λ = λ
x 1
s : y 2
z 5
= − µ
= µ =
( )
( )
P 2,3,0r :
d 3,5,1
−�
( )
( )
P 1,0,5s :
d 1,2,0
′
′ −� ( )PP 1, 3,5′ = − −
����
POSICIONES RELATIVAS POR RANGOS
( )r :
d 3,5,1
−�
( )s :
d 1,2,0
′ −� ( )PP 1, 3,5= − −
r y s son secantes.
3 1 1
5 2 3 0
1 0 5
− − −
− =
3 1
M 5 2
1 0
− −
=
3 1 1
M 5 2 3
1 0 5
− − − ′ = −
( )
( )
ran M 2
ran M 2
=
′ =
HAZ DE PLANOS PARALELOS HAZ DE PLANOS PARALELOS
Ejemplo:
Dado el plano π : 2x − y + z − 3 = 0 , escribe la expresión de un plano
paralelo a él.
Todos los planos paralelos al plano π : 2x − y + z − 3 = 0 pueden
expresarse mediante la ecuación 2x − y + z + d = 0 .
Para elegir uno de ellos, únicamente hay que dar un valor fijo a d.
Por ejemplo:
d = 2→ el plano π’ : 2x − y + z + 2 = 0 es paralelo al plano π
d = −4→ el plano π’’ : 2x − y + z − 4 = 0 es paralelo al plano π
HAZ DE PLANOS DE BASE UNA RECTA.
r
El haz de planos de base la recta r es el
conjunto de todos los planos que contienen
a la recta r. Sea r:
ax by cz d 0r :
a x b y c z d 0
+ + + =
′ ′ ′ ′+ + + =
La ecuación del haz de planos es:La ecuación del haz de planos es:
( ) ( )ax by cz d a x b y c z d 0′ ′ ′ ′α + + + + β + + + =
Y simplificada dividiendo por α ≠ 0 (Ojo: falta el segundo plano de r):
( ) ( )ax by cz d a x b y c z d 0
a x b y c z d 0
′ ′ ′ ′+ + + + λ + + + =
′ ′ ′ ′+ + + =
HAZ DE PLANOS SECANTES
HAZ DE PLANOS DE BASE UNA RECTA.Utiliza el haz de planos de base una recta para hallar la ecuación del
plano que contiene a r y pasa por P(1 , 2, 3)
2x y z 3 0r :
x y z 2 0
+ − + =
+ + − =
La ecuación del haz de planos es (x + y + z −2 = 0 no es la solución)La ecuación del haz de planos es (x + y + z −2 = 0 no es la solución)
( ) ( )2x y z 3 x y z 2 0+ − + + λ + + − =
Como P está en el plano:
( ) ( )2 2 3 3 1 2 3 2 0 4 4 0 1+ − + + λ + + − = → + λ = → λ = −
( ) ( ): 2x y z 3 x y z 2 0 : x 2z 5 0π + − + − + + − = → π − + =
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